பொருட்கள்: பொருட்களின் எதிர்ப்பு மற்றும் இலகுத் தன்மை கோட்பாடு

அடிப்படைகள்

பொருட்களின் வலிமைத் துறையின் பணி, ஒரு உறுதியான உடல் (உதா., கட்டிடம், கட்டமைப்பு பகுதி அல்லது நிலம்) எந்த வெளிப்புற விசைகளைத் தாங்க முடியும் என்பதை நிர்ணயிப்பதாகும். இந்தக் கேள்விக்குப் பதில் அளிக்க இரண்டு அளவுகோல்கள் எடுத்துக்கொள்ளப்படுகின்றன: ஒருபுறம், அழுத்தங்கள் பொருளின் வகையைப் பொறுத்த சில வரம்புகளை மீறக்கூடாது; மறுபுறம், வெளிப்புற மற்றும் உள்புற விசைகளுக்கிடையிலான சமநிலை நிலையானதாக இருக்க வேண்டும். இதற்கேற்ப, பொருட்களின் வலிமை தொடர்பான அனைத்து பிரச்சினைகளையும் “அழுத்தப் பிரச்சினைகள்” மற்றும் “நிலைத்தன்மைப் பிரச்சினைகள்” எனப் பிரிக்கலாம்.

கம்பிகள், கம்பிவாரிகள் மற்றும் அவற்றால் அமைக்கப்பட்ட தாங்கிகள் (கம்பிச்சட்டங்கள், சட்டகங்கள்) ஆகியவற்றில் அழுத்தங்களை நிர்ணயிப்பது இரண்டு கட்டங்களில் செய்யப்படுகிறது; முதலில் அளிக்கப்பட்ட வெளிப்புற விசைகளின் அடிப்படையில் குறுக்கு வெட்டின் வழியே கடத்தப்படும் உள் விசைகளின் பெறுமானம் கணக்கிடப்படுகிறது, பின்னர் இந்த “குறுக்கு வெட்டு விசைகள்” இலிருந்து அழுத்தங்கள் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன. செயல்முறையின் முதல் பகுதி, கட்டிட அமைப்புகளின் நிலைநிறுத்தவியல் எனும் தனித்துவமான, பரந்த துறையாகும்; இதற்கு வளர்ச்சியடைந்த சொந்த முறைகள் உள்ளன, மேலும் அது பொதுவாக பொருட்களின் எதிர்ப்பு என்ற துறையிலிருந்து பிரிக்கப்படுகிறது; அதன் பணி கொடுக்கப்பட்ட குறுக்கு வெட்டு விசைகளிலிருந்து அழுத்தங்களை நிர்ணயிப்பதாகும்.

பொருட்களின் வலிமை பற்றிய அடிப்படை கருத்துகள்

அழுத்தத்தின் வரையறை பின்வரும் அடிப்படை கருத்துகளின் மூலம் பெறப்படுகிறது. ஒரு உடல்மீது சமநிலை கொண்ட வெளிப்புற விசைகள் செயல்படுகின்றன என்று கொள்ளலாம். ஒரு சீரற்ற குறுக்குவெட்டின் மூலம் அந்த உடலை இரண்டு பகுதிகளாகப் பிரித்து, அவற்றில் ஒன்றை அதன்மீது செயல்படும் விசைகளுடன் சேர்த்து நீக்கியதாகக் கருதுவோம்; அப்போது, விசைகளின் சமநிலையும் மாற்றங்களின் பகிர்வும் மாறாமல் இருக்க, அந்தப் பகுதியின் மற்ற பகுதியின் மீதான செயல்பாடு குறுக்குவெட்டு மேற்பரப்பின் வழியாக மாற்றப்படும் கூடுதல் விசைகளால் மாற்றப்பட வேண்டும். இவ்வாறு உள்ள “உள்” விசைகள் குறுக்குவெட்டு மேற்பரப்பில் தொடர்ந்து பகிர்ந்துள்ளன, எனவே மேற்பரப்பின் ஒவ்வொரு dF கூறுக்கும் dβ விசை ஏற்படுகிறது. dβ/dF என்ற விகிதத்தை அமைத்து dF -> 0 என்ற எல்லை மாற்றம் செய்யும்போது, அந்த விகிதம் அழுத்தம் எனப்படும் எல்லை மதிப்பை நோக்கிச் செல்கிறது. ஒரு குறிப்பிட்ட மேற்பரப்பு கூறிலுள்ள அழுத்தம், dβ போலவே, dF-க்கு செங்குத்தாகவும் தொட்டுநோக்கும் கூறுகளாகப் பிரிக்க முடியும்; அதாவது சாதாரண அழுத்தம் σ மற்றும் வெட்டு அழுத்தம் τ.

ஒரே புள்ளி வழியாக வெவ்வேறு திசைகளில் வெட்டுகள் மேற்கொள்ளப்பட்டால், அவற்றிற்கு வெவ்வேறு அழுத்தங்களும் ஏற்படும். குறிப்பாக, படத்தில் 1 காட்டப்பட்டுள்ள அடிப்படை கனசதுரம் உடலிலிருந்து பிரிக்கப்பட்டால், அதன் ஆறு மேற்பரப்புகளிலும் அச்சுச் சீர்கோடுகள் x, y, z திசைகளில் மூன்று கூறுகளாகப் பிரிக்கக்கூடிய ஒரு அழுத்த வெக்டர் செயல்படும். எதிர்முக மேற்பரப்புகளில் செயல்படும் அழுத்தங்கள், நிச்சயமாக, மிகச்சிறிய வேறுபாட்டிற்கே வேறுபடும்; ஆகையால் 3 * 3 = 9 என்ற எண்ணிக்கையிலான கூறு அழுத்தங்களை வேறுபடுத்த வேண்டும், அவை பின்வருமாறு குறிக்கப்படுகின்றன:

சாதாரண அழுத்தங்கள் σக்கு, அவை எந்த அச்சுத் திசையில் அமைகின்றன என்பதைக் காட்டும் குறியீடு வழங்கப்படுகிறது; இழுவை ஏற்படுத்தினால் நேர்மறை, அழுத்தம் ஏற்படுத்தினால் எதிர்மறை எனக் கருதப்படும். அறுத்து அழுத்தங்கள் τக்கு இரண்டு குறியீடுகள் வழங்கப்படுகின்றன; அவற்றில் முதலாவது தொடர்புடைய சாதாரண அழுத்தத்தின் குறியீட்டுடன் ஒன்றாக இருக்கும், இரண்டாவது அறுத்து அழுத்தம் செயல்படும் அச்சைக் குறிக்கும். தொடர்புடைய சாதாரண அழுத்தத்தின் நேர்மறை திசை, நேர்மறை (எதிர்மறை) ஒருங்கிணை அச்சுத் திசையிலிருந்தால், அறுத்து அழுத்தமும் நேர்மறை (எதிர்மறை) ஒருங்கிணை அச்சுத் திசையில் செயல்பட்டால் நேர்மறை எனக் கருதப்படுகிறது.

படம் 1.

 தூண்டுச்சக்தி மாறுகளின் இணைப்பு

ஒரு அடிப்படை கனபகுதி, படம் 1, குறித்து, x அச்சை ஒட்டி அனைத்து விசைகளின் தருணம் பூஜ்யம் என்ற நிபந்தனை விதிக்கப்படும் போது, τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz கிடைக்கிறது. இதிலிருந்து, மேலும் y மற்றும் z அச்சுகளுக்கான தொடர்புடைய இரு சமன்பாடுகளிலிருந்தும், ஒரே குறியீடுகளைக் கொண்ட வெட்டு அழுத்தங்கள் ஒன்றுக்கொன்று சமம் என்பதும் பெறப்படுகிறது: τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (1)

கூறியல் வடிவமாற்றங்கள்

மேலே வரையறுக்கப்பட்ட அழுத்தங்கள் உடல் சார்ந்த அர்த்தம் உடையவை என்பது, வெளிச் சக்திகளின் தாக்கத்தில் ஒவ்வொரு உடலும் அனுபவிக்கும் வரையறையுடன் அவற்றின் தொடர்பிலிருந்து தெரிய வருகிறது. பட. 2 என்பது ஒரு அடிப்படை கனஅச்சை காட்டுகிறது; அது வளைவுக்கு முன் செவ்வகமாக இருந்து, dx, dy, dz என்ற விளிம்பு நீளங்களைக் கொண்டிருந்தது. வளைவுக்குப் பின் விளிம்பு நீளங்களை dx + Δdx, dy, + Δdy, dz + Δdz எனக் குறிக்கலாம். விகிதங்கள் εx = Δdx|dx, εy =Δdy|dy, εz = Δdz|dz ஆகியவை விரிவாக்கங்கள் என அழைக்கப்படுகின்றன. இவை பரிமாணமற்ற அளவுகள்; கட்டுமானத்தில் கருத்தில் கொள்ளப்படும் அனைத்து பொருட்களுக்கும் 1-க்கு ஒப்பிடுகையில் இவை சிறியது. விளிம்பு நீளங்களின் நீட்டிப்பைத் தவிர, dx * dy * dz என்ற அடிப்படை கனஅச்சு தனது பக்கங்களுக்கிடையேயிருந்த முதன்மை நேர்முக்கோணக் கோணங்களின் மாற்றத்தையும் அனுபவிக்கக்கூடும்.

படம் 2. கூறு விரிவு

வடிவமாற்றத்திற்குப் பின்னர் OC விளிம்பில் சந்திக்கும் தளங்களுக்கிடையிலான கோணம்  க்கு சமமாக இருக்கட்டும்; அதேபோல் AO விளிம்பிலான செங்கோணக் குறைவு γyz, மற்றும் OB விளிம்பிலான குறைவு γzx ஆக இருக்கட்டும். இந்த மூன்று கோண மாற்றங்கள் γxy, γyz, γzx ஆகியவை கிளைச்சல்கள் (shear strains) என அழைக்கப்படுகின்றன; அவை எப்போதும் 1-ஐ ஒப்பிடும்போது சிறியவையாகும். ஆறு கூறுகள் ε மற்றும் γ மூலம் சிறிய வடிவமாற்ற நிலையில் ஒரு அடிப்படை செவ்வகக் கனத்தின் வடிவமாற்றம் முழுமையாக நிர்ணயிக்கப்படுகிறது. பருமன் கூறு d_V = dx * dy * dz_ இன் மாற்றம் ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, ஆகும்; இதில் நீள்வின் பெருக்கல்கள் உயர்நிலைச் சிறு அளவுகள் என்பதால் புறக்கணிக்கப்படும்போது, கனபருமன் நீள்வு ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2) கிடைக்கிறது

நகர்வுகள்

கடின உடலின் வடிவமாற்றத்தை முழுமையாகவும் இவ்வாறு விவரிக்கலாம்: அதன் ஒவ்வொரு புள்ளிக்கும் அந்தப் புள்ளி அனுபவித்த நகர்வை வழங்கினால் போதும். திட உடலின் நகர்வுக்கு ஏற்ப பெரிய அளவிலான நகர்வுகள் கண்காணிப்பிலிருந்து நீக்கப்பட்டால், தேவையெனில் கணக்கில் நகரக்கூடிய ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பை ஏற்றுக்கொள்வதன் மூலம், கூறு நகர்வுகள் μ, ν, ω எப்போதும் சிறிய அளவுகளாக இருக்கும்; அவற்றின் ஒருங்கிணைப்புகளுக்கு எதிரான வேறுபாடுகளும் 1-க்கு ஒப்பில் சிறியவை. அந்த முன்னணியின் கீழ், படம். 3-க்கு ஏற்ப, வரி கூறு OA = dx இன் நீளம் வடிவமாற்றத்துக்குப் பிறகு

அதாவது  (3)

இதேபோல், படம் 3-இலிருந்து γxy γ1 + γ2 எனச் சறுக்கு இருப்பது காணப்படுகிறது: மேலும்

 (4)

படம் 3 சரிவு

(5)  (6)

இந்த தொடர்புகள் பொருந்துதல் நிபந்தனைகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன; மாற்றமடைந்த கூறுகள் மோசைக் போல ஒன்றோடொன்று பொருந்தி, அந்த நேரத்தில் இடம் இடைவிடாது நிரம்பியிருக்க வேண்டும் என்பதை இது வெளிப்படுத்துகிறது. கூறுகளின் மாறுபாடுகள் சீரற்றதாக இருந்தால் இதை அடைய முடியாது. பொருந்துதல் நிபந்தனைகள் என்பது வேறுபாட்டுச் சமன்பாடுகள் ஆகும்; ஆகவே, ஒவ்வொரு தனித்தனி கனசதுரத்திற்கும் உரிய ஆறு கூறு மாறுபாடுகளும் ஒன்றுக்கொன்று சார்பற்றவையாகும். ஆனால் அவற்றின் ஒழுங்கமைப்பு, ஒவ்வொரு இறுதியாக பரவிய பகுதிக்குள்ளும், (5) மற்றும் (6) என்ற நிபந்தனைகளால் கட்டுப்படுத்தப்படுகிறது.

இந்த நிபந்தனைகள் சமன்பாடுகள் (3) மற்றும் (4) இலிருந்து வேறுபடுத்துவதன் மூலம் பெறப்பட்டுள்ளதால், அவற்றை உருவாக்கும் போது ஆரம்ப சமன்பாடுகளில் உள்ள உறவுகளின் ஒரு பகுதி இழக்கப்படுகிறது. ஆகவே, இந்த இரண்டு சமன்பாட்டு அமைப்புகளில் ஒன்றை மட்டும் பூர்த்தி செய்வது போதாது; வடிவமாற்ற இணக்கத்தன்மை உறுதிசெய்யப்பட வேண்டுமானால், இரு அமைப்புகளும் பூர்த்தி செய்யப்பட வேண்டும்.

உலகமாற்றக் கணக்கீடுகள் – நெகிழ்வுத்தன்மை அமைப்பு

எலாஸ்டிக் உடல்களில் ஏற்படும் அழுத்தங்களையும் வடிவமாற்றங்களையும் கணக்கிட பின்வரும் சமன்பாடுகள் பயன்படுகின்றன:

அளவுத்தொகுதி உறுப்பின் சமநிலை நிபந்தனைகள். மூன்று அச்சுகளின் சுற்றியுள்ள தருணங்கள் பூஜ்ஜியத்துக்கு சமமாக இருக்க வேண்டும் என்பதான நிபந்தனைகள், சமன்பாடு (1) பெறும் பணியில் ஏற்கனவே பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளன. விசைகளின் சமநிலை நிபந்தனைகள் படி 4 வழங்குகின்றன

படம் 4

(7a-c)

X, Y, Z மூலம் அலகு அளவிற்கு உடல் விசைகளின் கூறுகள் (எ.கா., எடை, மையவிலக்கு விசை) குறிக்கப்படின். அழுத்தங்களுக்கும் வடிவமாற்றங்களுக்கும் இடையிலான தொடர்புகள். இதன் மூலம் கூறு அழுத்தங்களுக்கும் கூறு வடிவமாற்றங்களுக்கும் இடையிலான தொடர்பு பொருள்படும். நெகிழ்தன்மை கோட்பாட்டில் பொதுவாக நேரியல் தொடர்பே கருத்தில் கொள்ளப்படுகிறது; அது Hooke விதியால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது:

(8a-c)

(8d-f)

சமன்பாடுகள் (8a-c) ஆகியவற்றை அழுத்தங்களின் அடிப்படையில் தீர்த்தால், பெறப்படுகிறது

(8 a)

கோஎஸ் மற்றும் அதற்கேற்ற இரண்டு சமன்பாடுகள். Hooke-ன் சட்டம் சமன்பாடு (8) மூலம் வெளிப்படுத்தப்படுவது கடுமையாக நிறைவேறும் இயற்கைச் சட்டம் அல்ல; அது பொருளின் தன்மை மற்றும் அழுத்தத்தின் அளவினைப் பொறுத்து அதிலிருந்து அதிகமாகவோ குறைவாகவோ விலகும் உண்மையான நடத்தையின் ஒரு ஐடியலாக்கம் ஆகும். சிக்கலான, நேரியல் அல்லாத அழுத்தம்–வளைவு தொடர்புகளைக் கொண்ட பொருட்கள் பிரச்சினைகளை கணிதரீதியாகக் கையாளுதல் ஒப்பிடமுடியாத அளவிற்கு அதிக சிரமங்களை ஏற்படுத்துகிறது; அது உண்மையில் மிக எளிய சந்தர்ப்பங்களில் மட்டுமே செய்ய இயலும் என்பதைக் கருத்தில் கொண்டால், Hooke-ன் சட்டத்திலிருந்து குறிப்பிடத்தக்க விலகல் காட்டும் பொருட்களிலும் (கான்கிரீட்!) அதன் அடிப்படையில் செய்யப்பட்ட கணக்கீடுகள் முதற்கட்டமாகவும், பெரும்பாலும் ஒரே சுமார் தீர்வாகவும் பயன்படுத்தப்பட வேண்டும்; அது வழக்கமாக மிகவும் பயன்படத்தக்கதும், வெறும் தரவுரு அளவைக் கடந்த ஒரு புரிதலையும் வழங்கும். G = E|2 (1+μ).

இது அழுத்தம் மற்றும் வடிவமாற்றம் இடையிலான தொடர்பிலிருந்து (8), அழுத்தங்களுக்கான மாற்றுச் சமன்பாடுகளிலிருந்து (16) மற்றும் கூறு வடிவமாற்றங்களுக்கான தொடர்புடைய சமன்பாடுகளிலிருந்து அவசியமாகத் தோன்றுகிறது. E மற்றும் G க்கு அழுத்தத்தின் பரிமாணம் உண்டு, மேலும் அனைத்து கட்டுமானப் பொருட்களிலும் தோன்றக்கூடிய σ மற்றும் τ அழுத்தங்களைப் பொருத்தவரை இவை பெரியவையாகும். ஆனால் இந்த உண்மையின் மீது, நெகிழ்வியல் கோட்பாட்டில் எங்கும் ஏற்றுக்கொள்ளப்படும், வடிவமாற்றங்கள் சிறியவை என்ற கருதுகோள் தங்கியுள்ளது. குறுக்கு விரிவு மாறி (பாய்சன் எண்) μ பரிமாணமற்றது; இது எப்போதும் 0 மற்றும் 1/2 இடையில் இருக்கும்.

கூறுகளின் நீளமாற்றங்களுக்கும் இடப்பெயர்வுகளுக்கும் இடையிலான தொடர்புகள். இந்த தொடர்புகள் சமன்பாடுகள் (3), (4) மூலம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. இவை முற்றிலும் வடிவவியல் இயல்புடையவை. இந்த மூன்று தொகுதிகள் 3+6+6=15 சமன்பாடுகளை 15 அறியப்படாத அளவுகளுக்காக வழங்குகின்றன; அதாவது 6 கூறியல் அழுத்தங்கள், 6 கூறியல் நீளமாற்றங்கள் மற்றும் 3 கூறியல் இடப்பெயர்வுகள். எனவே இவை இந்த அறியப்படாதவற்றை நிர்ணயிக்க போதுமானவை. இவ்வளவு பரந்த வேறுபாட்டு சமன்பாடுகளைக் கொண்ட அமைப்பை கணிதரீதியாக சமாளிப்பது, இயற்கையாகவே, சிறப்பு நிலைகளில் மட்டுமே சாத்தியம். சமன்பாடு (8)-இல் கூறியல் நீளமாற்றங்கள், சமன்பாடுகள் (3) மற்றும் (4) படி கூறியல் இடப்பெயர்வுகளால் மாற்றப்பட்டு, பின்னர் சாதாரண அழுத்தங்கள் σ மற்றும் வெட்டு அழுத்தங்கள் τ, சமன்பாடுகள் (8 d - f) படி, சமநிலை நிபந்தனைகளில், சமன்பாடு (7)-இல் கொண்டு வரப்படும்போது, நெகிழ்தன்மை கோட்பாட்டின் அடிப்படை சமன்பாடுகள் எனப்படும் வேறுபாட்டு சமன்பாடுகள் கிடைக்கின்றன.

(9)

இதில்  என்பது லாப்லாஸ் செயலி எனக் குறிக்கப்படுகிறது. (2) என்பதைக் கருத்தில் கொண்டால், இவை மூன்று கூறு இடப்பெயர்வுகள் μ, ν, ω உடைய மூன்று வேறுபாட்டு சமன்பாடுகள்; இவற்றிலிருந்து வேறுபடுத்தலின் மூலம் (3), (4) மற்றும் (8) அடிப்படையில் அனைத்து கூறு அழுத்தங்களும் மாற்றங்களும் பெற முடியும். சமன்பாடுகள் (9) சிறப்பு நிகழ்வுகளை ஆய்வு செய்வதற்கான அடிக்கடி ஏற்ற தொடக்கப் புள்ளியாகும்.

வடிவமாற்ற வேலை

வரையறை

ஒரு தாங்கி சுமையிடப்படும்போது, வெளிப்புற விசைகளின் செயற்பாட்டு புள்ளிகள் நெகிழ்வான இடப்பெயர்ச்சிகளை அனுபவிக்கின்றன, மேலும் விசைகள் அதனால் ஒரு குறிப்பிட்ட பணியை செய்கின்றன. இவ்வாறு கொண்டுவரப்பட்ட ஆற்றல் பல்வேறு வடிவங்களுக்கு மாற முடியும். ஏற்றம் திடீரெனப் பயன்படுத்தப்பட்டால், மாற்ற உருவாக்கும் செயல்முறை குறிப்பிடத்தக்க வேகத்தைக் கொண்டிருந்தால், இந்த ஆற்றலின் ஒரு பகுதி இயக்க ஆற்றலாக மாறுகிறது; அது காலப்போக்கில், சில நேரங்களில் மண்ணிற்கு மாற்றப்பட்டு முடிவற்றதிற்குள் மறையும் நெகிழ் அலைவாக அல்லது உள் உராய்வின் மூலம் வெப்பமாக மாறி சிதறுகிறது. சுமைகள் மிகவும் மெதுவாகப் பொருத்தப்பட்டு, அதனால் கணிசமான இயக்க ஆற்றல் அதிகரிப்பு ஏற்படவில்லை என்றால், அதாவது பூஜ்யத்திலிருந்து மெதுவாக உயர்கின்ற சுமைகள் உள் விசைகளுடன் நிலையான சமநிலையில் இருந்தால், அந்த ஆற்றல் தெளிவாக உடலின் மாற்றத்திற்கே செலவாகிறது; அப்போது அது மாற்றப் பணி என்று அழைக்கப்படுகிறது.

வடிவமாற்ற வேலைக்கான கணக்கீட்டை முதலில் ஒருதிசை இழுவைக்கு உட்பட்ட ஒரு சிறு பகுதியின் மீது காண்பிப்போம் (படம் 5).

இருப்பிலுள்ள நெருப்பு σ மற்றும் அதற்குரிய நீள்வு ε ஆகியவை dσ மற்றும் dε என்ற அதிகரிப்புகளை அடையட்டும். அப்போது dε * dl என்ற பாதையில் விசை σdF ஆற்றும் வேலை σdF * dεdl = σdεdV ஆகும்; இங்கு dV என்பது சிறு துண்டின் பருமனைக் குறிக்கும். நெருப்பு பூஜ்யத்திலிருந்து அதன் இறுதி மதிப்பு வரை அதிகரித்து, அதற்கேற்ப நீள்வு 0 முதல் ε வரை சென்றால், ஒரை பருமனுக்கு செய்யப்பட்ட மொத்த வேலை பின்வருமாறு இருக்கும்:

அதேபோல், வெட்டு அழுத்தம் τ (படம் 6) கொண்ட கூறிற்கும், ஒருமீதள அளவுக்கு வடிவமாற்றப் பணி (சிறப்பு வடிவமாற்றப் பணி, நெகிழ்வுத் திறன்):

இதில் நான்கு τ * dF விசைகளில் ஒன்று மட்டுமே வேலை செய்கிறது.

பொது நிலையில், ஆறு கூறு அழுத்தங்களும் ஒரு அடிப்படை துகள்மீது செயல்படும்போது, ஒவ்வொரு கூறு அழுத்தத்தின் வேலைகளை கூட்டுவதன் மூலம் குறிப்பிட்ட வடிவமாற்ற வேலை பெறப்படுகிறது:

(10)

இந்த ஒருங்குகளின் ஒவ்வொன்றின் மேல் எல்லையைப் பொருத்து வேறுபடுத்தினால், மிகவும் பொதுவான நிலையில் பொருந்தும் உறவுகள் கிடைக்கின்றன:

(11)

மற்ற கூறியல் வடிவமாற்றங்களுக்கும் இதேபோல். உடல் இழுவிசைநிலையுடையதாக இருந்தால், ஒவ்வொரு குறிப்பிட்ட நெருப்பு நிலையிற்கும் எப்போதும் அதே வடிவமாற்ற நிலையே ஏற்படும்; அது ஏற்றத்தின் போது அடையப்பட்டதா அல்லது சுமை நீக்கத்தின் போது அடையப்பட்டதா என்பதற்கு வேறுபாடு இல்லை. அப்போது ஒருங்கிணைப்புகளின் கீழ் ஒரே மதிப்பைக் கொண்ட செயல்பாடுகள் இருக்கும்; ஏற்றமும் பின்னர் முழுமையான சுமைநீக்கமும் செய்யும் போது செலவாகும் மொத்த ஆற்றல் a = 0 ஆகும், ஏனெனில் இந்த நிலையில் ஒருங்கிணைப்புகளின் மேல் எல்லைகள் பூஜ்யமாகிவிடுகின்றன. ஆகவே, ஏற்றத்தின் போது உடலுக்கு வழங்கப்பட்ட மொத்த ஆற்றல் சுமை நீக்கத்தின் போது மீண்டும் பெறப்படுகிறது.

படம் 6

படம் 7

முழுமையாக இல்லாத நெகிழ்வுத்தன்மை கொண்ட உடலுக்கு, முழு ஏற்றம் மற்றும் இறக்கச் சுழற்சிக்கான அழுத்தம் மற்றும் வடிவமாற்றம் இடையிலான தொடர்பு, படத்தில் 7 O A B கோடுகளால் சுமார் காட்டப்பட்டுள்ள வடிவத்தை உடையதாகும். ஏற்றத்தின் போது வழங்கப்படும் சக்தி  OAA பரப்பளவுக்கு சமமானது; இறக்கத்தின் போது மீண்டும் கிடைக்கும் சக்தி ABA பரப்பளவிற்கு சமமானது; ஆகவே நிழலிடப்பட்ட பரப்பளவிற்கு இணையான வேலை இழக்கப்படுகிறது (வெப்பமாக மாறுகிறது). அதிர்வுச் செயலில் அழுத்தம் காலமுறைப்படி நேர்மறை எல்லை மதிப்பு  மற்றும் எதிர்மறை எல்லை மதிப்பு  இடையில் மாறினால், நிலையற்ற வடிவமாற்றம் படத்தில் 7 புள்ளியிட்ட கோடுகளால் காட்டப்பட்டுள்ளதைப் போல நடைபெறும்; மேலும் ஒவ்வொரு அதிர்வு காலத்திலும், அலகு அளவுக்குத் தலா, DABCD என்ற சக்தி வெப்பமாக மாறுகிறது. இவ்வாறு வடிவமாற்றத்தின் போது, வடிவமாற்றம் அழுத்தத்தைவிட பின்னடையும் நடத்தைக்கு நெகிழ் ஹிஸ்டெரிசிஸ் எனப்படும்; மேலும் DABCD வளைவு ஹிஸ்டெரிசிஸ் வளையம் ஆகும்.

மாற்றப்பணி மற்றும் ஹூக் சட்டம்

சமன்பாடு (10)-இல் உள்ள ஒருங்கிணைகளில் Hooke-ன் விதியைப் பயன்படுத்தினால், ஒருங்கிணைப்பு செய்ய முடியும்; அதனால் குறிப்பிட்ட மாற்றப் பணிக்கான வெளிப்பாடுகள் பெறப்படுகின்றன:

(12a)

(12b)

(12c)

இந்த இரு வடிவங்களில் இரண்டாவதைக் சமன்பாட்டில் (11) இடும் போது, மீண்டும் ஹுக் சட்டம், சமன்பாடுகள் (8), அழுத்தங்களின் அடிப்படையில் தீர்க்கப்பட்ட வடிவில் கிடைக்கிறது. மாற்று வேலை கூறு வடிவமாற்ற கூறுகளின் மீதுவே சார்ந்துள்ளது என்ற கூற்று, சமன்பாடு (12b) மூலம் காட்டப்பட்டபடியே, ஆகவே ஹுக் சட்டத்திற்குச் சமமானது. சமன்பாடு (12c) அழுத்தங்களின்படி வேறுபடுத்தப்பட்டால், பெறப்படுகிறது

(13)

இந்த வடிவங்கள், (11) வடிவங்களிலிருந்து மாறாக, ஹூக் விதிப்படி நடக்கும் உடல்களுக்கே பொருந்தும்; மேலும் அழுத்தங்களுக்கும் விரிவீடுகளுக்கும் இடையிலான தொடர்புகள் வேறுபடும் போது பயன்படுத்த முடியாது. நிச்சயமாக, சமன்பாடுகள் (13) இன் வலப்புறத்தில், அழுத்தங்களால் உண்டான கூறு விரிவீடுகளே இடம்பெறுகின்றன; வெப்பநிலை மாற்றம், க்ரீப், வீக்கம், மறுஅளித்தல் போன்ற காரணங்களால் ஏற்பட்டிருக்கக்கூடிய மற்ற அனைத்து விரிவீடுகளும் நீக்கப்படுகின்றன.

எலாஸ்டிசிட்டி கோட்பாட்டில் ஒருங்கிணைந்த கண்ணோட்டங்கள்

மெய்நிகர் இடப்பெயர்வுகள். சாத்திய ஆற்றலின் குறைந்தபட்சக் கோட்பாடு

Hooke-ன் விதி போல, சமன்பாடுகள் (8) ஐ ஒரே ஒரு சமன்பாடு (12b) மாற்றக்கூடியதைப் போல, சமநிலை நிபந்தனைகளுக்குப் பதிலாகவும் இயந்திரவியலின் பொதுவாகப் பொருந்தும் அடிப்படை விதியாக மெய்நிகர் இடப்பெயர்வுகளின் கோட்பாட்டை அறிமுகப்படுத்தலாம். இந்த விதி சமநிலை நிலைகள் என்பது, வடிவமாற்ற நிலையிலான சிறிய மாற்றத்தில் அனைத்து பலங்களும் செய்த மொத்த வேலை பூஜ்யமாக இருப்பதன் மூலம் வேறுபடுகின்றன என்பதைச் சொல்கிறது. நெகிழ்வான இடப்பெயர்வுகளில் சிறிய மாற்றங்களை δμ δν, δω எனக் குறித்தால், சமன்பாடு (7) மூலம் வரையறுக்கப்படும் கனசக்திகள் மெய்நிகர் வேலை செய்கின்றன

உடலின் வெளிப்புற மேற்பரப்பின் dF கூறின் மீது செயல்படும் மேற்பரப்பு விசைகள் px, py, pz வேலை செய்கின்றன

இதில் மும்மடங்கு ஒருங்கிணைப்பு முழு கனஅளவையும் குறிக்கிறது, இரட்டை ஒருங்கிணைப்பு உடலின் முழு வெளிப்பரப்பையும் குறிக்கிறது. உள்ச் சக்திகள் செய்யும் வேலையை கணக்கிட சமன்பாடு (12b) பயன்படுத்தப்படுகிறது, ஆகவே ஒவ்வொரு அலகு கனஅளவுக்கான வேலை கிடைக்கிறது

இதன் அடிப்படையில் மெய்நிகர் நகர்வுகளின் கோட்பாடு வழங்குகிறது

(14)

X, Y, Z px, py., pz ஆகிய ஏற்றங்கள் ஈர்ப்பு விசையின் கூறுகளாக (சுய எடை மற்றும் வெளிப்புற ஏற்றம்) கருதப்பட்டால், வலப்புற உள்ள ஒருங்கிணைப்புகள் இவ்வேற்றங்கள் இழந்த சாத்திய ஆற்றலைக் குறிக்கின்றன; இடப்புறம் உடலின் சாத்தியமான (எலாஸ்டிக்) ஆற்றல் அதிகரிப்பைக் காட்டுகிறது. ஆகவே, இந்தக் கோட்பாடு சமநிலை நிலையில் தாங்கியும் அதன் மேல் உள்ள ஏற்றங்களும் கொண்ட மொத்த சாத்திய ஆற்றல் ஒரு உச்ச மதிப்பை அடைகிறது என்பதை வெளிப்படுத்துகிறது. இந்த உச்ச மதிப்பு குறைந்தபட்சமாக இருந்தால், சமநிலை நிலையானதாகும்.

சாத்திய ஆற்றலின் குறைந்தபட்சக் கோட்பாடு சமன்பாடு (14) மூலம் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது; வடிவமாற்றப் பணி என்ற வெளிப்பாடு (12b), வடிவமாற்றங்களின் இணக்கத்திற்கான நிபந்தனைகள் (5), (6) ஆகியவை எலாஸ்டிசிட்டி கோட்பாட்டை உருவாக்குவதற்குப் போதுமான சமன்பாடுகளின் அமைப்பாகும், மேலும் அடிப்படையில் இது சமன்பாடுகளின் தொகுப்பிற்கு இணையானது. வேறுபாட்டு சமன்பாடுகள் (9) ஐ பூர்த்தி செய்வது கணக்கீட்டு சிரமங்களை ஏற்படுத்தும் சூழல்களில் இந்த அமைப்பு குறிப்பாக பயனுள்ளதாக இருக்கலாம்; அதனால் அண்மித்த தீர்வைத் தேட வேண்டி வருகிறது, உதாரணமாக, இடப்பெயர்வுகளுக்காக முன்கூட்டியே சில சுதந்திர மாறிலிகளை உடைய ஏற்ற வடிவம் ஊகிக்கப்படுகிறது; பின்னர் அவை சமன்பாடு (14) பூர்த்தி செய்யப்பட வேண்டும் என்ற தேவையிலிருந்து நிர்ணயிக்கப்படுகின்றன. இவ்வாறு கடுமையான தீர்வு கிடைப்பதில்லை; தேர்ந்தெடுத்த தீர்வு வடிவத்துடன் பெறக்கூடிய மிகச் சிறந்த அண்மைத்தான் கிடைக்கிறது. அந்த அண்மிப்பு போதுமானதா என்பது முதன்மையாக ஏற்றுக்கொண்ட தீர்வு வடிவத்தைப் பொறுத்தது; எனவே இந்த முறையின் வெற்றிகரமான பயன்பாட்டிற்கு திறமையும் அனுபவமும் அவசியமாகிறது.

Castigliano-v கோட்பாடு

குறைந்தபட்ச சாத்திய ஆற்றல் கோட்பாட்டில், வடிவமாற்ற இணக்க நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்யும் அனைத்து வடிவமாற்ற நிலைகளும் ஒப்பிடப்படுகின்றன, மேலும் அவற்றில் தொடர்புடைய அழுத்தங்கள் சமநிலை நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்யும் நிலைகள் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகின்றன; Castigliano கோட்பாட்டில், சமநிலை நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்யும் அனைத்து அழுத்த நிலைகளும் ஒப்பிடப்படுகின்றன, மேலும் அவற்றில் தொடர்புடைய வடிவமாற்றங்கள் வடிவமாற்ற இணக்க நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்யும் நிலைகள் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகின்றன. இந்த கோட்பாடு இவ்வாறு கூறுகிறது: சாத்தியமான அனைத்து சமநிலை நிலைகளில், உண்மையில் நிகழ்வது மிகக் குறைந்த வடிவமாற்ற வேலையுடையதே. Castigliano கோட்பாடு, வடிவமாற்ற வேலிக்கான சமன்பாடு (12c) மற்றும் சமநிலை நிபந்தனைகளுடன் சேர்ந்து, பொருளின் எதிர்ப்புத்திறனைக் கட்டமைக்கத் தேவையான சமன்பாடுகளின் ஒரு அமைப்பை உருவாக்குகிறது. இந்த கோட்பாடு Hooke விதியை உள்ளடக்கியிருப்பதால், அதைப் பயன்படுத்தும் வாய்ப்பு, வடிவமாற்றங்களை இந்த விதியால் முழுமையாக விவரிக்க முடியும் என்ற கருதுகோளுடன் தொடர்புடையது. இதற்கு பொருளின் நேரியல் இலகுவான நடத்தை மட்டுமல்ல, வெப்பநிலை மாற்றங்களையும் விலக்குகிறது.

நெகிழ்வுத் தளங்களுக்குமேல் பொருட்களின் நடத்தை

நிலையான சுமைபோது நிகழ்வுகள்

மன அழுத்தத்தின் தாக்கத்தில் பொருளின் வடிவமாற்றம் மிகவும் சிக்கலான நிகழ்வாக இருப்பதால், அதை புரிந்துகொள்ள பல வகைகளில் எளிமைப்படுத்த வேண்டியுள்ளது. இவ்வெளிமைப்படுத்தல்களில் ஒன்று, எடுத்துக்காட்டாக இழுவிசை மற்றும் அழுத்த சோதனைகளில் மாதிரிகளின் மீது செய்வதுபோல், சுமைகள் படிப்படியாகப் பொருத்தப்படுகின்றன என்ற முன்னணியாகும்.

இழுவிசைக்கு உட்பட்ட ஒரு எஃகு கம்பியை மெதுவாக அதிகரிக்கும் சுமைக்கு உட்படுத்தி, அதன் நீட்டிப்பு ε-ஐ அளந்தால், படம் 8-இல் காட்டப்பட்ட வரைபடம் கிடைக்கும். ஆரம்பத்தில் நீட்டிப்பு மிகச் சிறியது, மேலும் ஹூக் சட்டம் கோருவது போல அது அழுத்தத்துக்கு நேர்பாடானதாக இருக்கும். ஒரு குறிப்பிட்ட அழுத்தத்திலிருந்து அந்த நேர்பாடு முடிவடைந்து, நீட்டிப்பு வேகமாக அதிகரிக்கிறது. இந்த நேர்பாட்டின் எல்லையின் துல்லியமான இடத்தைத் தீர்மானிப்பது கடினம். அளவீடு எவ்வளவு துல்லியமாக இருக்கிறதோ, அவ்வளவு அது குறைவாகக் கிடைக்கும். பெரும்பாலான பொருட்களுக்கு அது σ = 0-இல் இருக்கும்; அப்போதில் ஹூக் சட்டம் என்பது இலகுவான நடத்தை பற்றிய முதல் அணுகுமுறை மட்டுமே, அதாவது ஒருங்கிணைப்பு தொடக்கத்தைச் சுற்றியுள்ள ε = ε (σ) செயலின் டெய்லர் தொடர்விரிவின் முதல் சொற்றொகுதி.

கம்பி தளர்த்தப்பட்டால், அழுத்தம் மிக அதிகமாக இல்லாதபோது, Hook-ன் விதிப்படி வடிவமாற்றமும் மறைந்து விடுகிறது என்பதைக் காணலாம். ஆனால், விகிதாசார எல்லைக்கு அருகில் இருக்கும் ஒரு குறிப்பிட்ட அழுத்தம், அதாவது இலகுத் திறன் எல்லை, மீறப்பட்டால் இதுவும் மாறுகிறது; அப்போது மொத்த வடிவமாற்றம் இலகு (திரும்பக்கூடிய) மற்றும் இலகுவற்ற (நிரந்தர) பகுதிகளைக் கொண்டதாக இருக்கும். இலகுத் திறன் எல்லையையும் துல்லியமாக நிர்ணயிக்க முடியாது; அளவீட்டின் துல்லியம் அதிகரிக்கும் அளவுக்கு அது மேலும் கீழாகத் தோன்றும். இருப்பினும், அது தொழில்நுட்ப ரீதியாக மிக முக்கியமானது; ஏனெனில் பொருட்களின் எதிர்ப்புத்தன்மையில் நடைபெறும் ஏறத்தாழ எல்லா கணக்கீடுகளிலும் அது முக்கியத்துவத்தின் எல்லையைச் சுட்டிக்காட்டுகிறது, அதேசமயம் முதல் நிரந்தர சேதங்கள் உருவாகும் எல்லையும் அதுவே. ஆகவே, மாதிரிகளைச் சோதிக்கும் போது அது ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட ஒரு மரபின்படி தெளிவாக வரையறுக்கப்படுகிறது; உதாரணமாக, 0.2% எல்லையாக, நிரந்தர நீளவிரிவு 0.2% எட்டும் அழுத்தம் குறிப்பிடப்படுகிறது.

இலகுமை வரம்பை மீறிய உடனே வடிவமாற்றம் திடீரென அதிகரித்து, அதை நிர்வாணக் கண்களால் காண முடியும்; சுமை கிட்டத்தட்ட நிலையாக இருக்கும் போது கம்பி தொடர்ந்து நீளமடைகிறது. இந்த சுமை மகசூல் வரம்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. பொருள் சோதனைக்கான ஹைட்ராலிக் இயந்திரங்களில், மகசூல் தொடங்கிய பின் சுமையில் அதிகமாகவோ குறைவாகவோ தெரிவான வீழ்ச்சியைக் காணலாம்; பட. 8 இல் இடைமறை கோடாக காட்டப்பட்டுள்ளதுபோல்; அப்போது அதிகபட்சம் மேல்மட்ட மகசூல் வரம்பு என அழைக்கப்படுகிறது, அதன் பின்னர் வரும் நிலையான மகசூல் சுமை கீழ்மட்ட மகசூல் வரம்பு ஆகும்.

ஒரு குறிப்பிட்ட நீட்டிப்பு அடைந்த பின், அது பெரும்பாலும் மீள்தன்மையற்றதாக இருக்கும்; அப்போது அழுத்தம் மீண்டும் அதிகரிக்கத் தொடங்குகிறது, பொருள் கடினமடைகிறது. இந்தச் சுமை நிலைமையில், (மீள்தன்மையற்ற) பக்கச் சுருக்கத்தின் காரணமாக கம்பியின் குறுக்கு வெட்டுப் பகுதி குறிப்பிடத்தக்க அளவில் குறைகிறது; பின்னரும் அழுத்தம் மற்றும் மாற்ற வரைபடத்தின் போக்கு முதன்மையாக, அழுத்தம் σ-ஐ கணக்கிடும் போது கம்பியின் மீது செயல்படும் இழுவை விசை P முதன்மை குறுக்கு வெட்டு F0 மூலம் பகுக்கப்படுகிறதா அல்லது உடனடி குறுக்கு வெட்டு F மூலம் பகுக்கப்படுகிறதா என்பதைப் பொறுத்தது. தொழில்நுட்ப நோக்கங்களுக்காக, P|F0 எனும் அழுத்தமே முக்கியமானது. இந்த அழுத்தம் ஒரு அதிகபட்சத்தை அடைகிறது; அதையே பொருளின் வலிமை என்று அழைக்கிறார்கள். அந்த அதிகபட்சத்தைத் தாண்டியதும், கம்பி ஒரு இடத்தில் கடுமையாகச் சுருங்கி உடைந்து விடுகிறது. “உண்மையான அழுத்தம்” P|F முறிவுவரை அதிகரிக்கிறது.

படம் 8.

மற்ற உலோகங்களின் நடத்தை இங்கு விவரிக்கப்பட்டதிலிருந்து பல வகையில் மாறுபடுகிறது. பாய்ச்சி நடத்தை பெரும்பாலும் தெளிவாக இருக்காது, மேலும் இலகு வரம்பை மீறிய உடனே கடினமாதல் தொடங்குகிறது. முறிவான பொருட்களில் (கல், கண்ணாடி, கான்கிரீட்) நெகிழ்வற்ற வளைவுகள் பொதுவாக சிறியவையாகவே இருக்கும், மேலும் சிறிய நீட்டிப்பிலேயே முறிவு ஏற்படுகிறது. பொருள் முறிவுவரை அனுபவிக்கும் மொத்த நீட்டிப்பு அதன் நீட்டிப்புத்தன்மையின் அளவாகும் (இதன் எதிர்மறை: முறிவு தன்மை) மற்றும் அது எஃகுக்காக தொழில்நுட்ப நிபந்தனைகளில் துல்லியமாக நிர்ணயிக்கப்படுகிறது. எனினும், முறிவிற்கு முன் மேலதிக வடிவமாற்றம் அருகிலுள்ள குறுக்குவெட்டு சுருங்கிய பகுதிகளில் திரளுவதால், அளவிடும் நீளமாக கம்பியின் பெரியதா அல்லது சிறியதா பகுதியை எடுத்துக்கொள்ளும் என்பதனைப் பொருத்து முறிவின் போது நீட்டிப்பின் மதிப்பு மாறுபடும்; ஆகவே ஒரே பொருள் கொண்டதும் ஒன்றுடன் ஒன்றை ஒப்பிடக்கூடியதுமான முடிவுகளை பெற முன்கூட்டியே ஒரு குறிப்பிட்ட மரபை ஏற்க வேண்டும். முறிவின் போது ஏற்படும் நீட்டிப்பு பொதுவாக, விட்டம் d உடைய வட்டக் கம்பியில் சோதனைக்கு முன் அளவிடும் நீளம் Ι = 10 d எனக் குறிக்கப்பட்டு, அதன் நீட்டிப்பு ΔΙ இலிருந்து முறிவுநீட்டிப்பு εs_Ι = ΔΙ|Ι எனக் கணக்கிடப்படுகிறது._ குறுக்குவெட்டில் வேறுபட்ட கம்பிகளைப் பரிசோதிக்க வேண்டுமானால், அதே குறுக்குவெட்டு பரப்பளவு கொண்ட வட்ட உருளைக் கம்பியின் விட்டத்தின்படி அளவிடும் நீளம் நிர்ணயிக்கப்படுகிறது.

நீடித்த சுமை

இழுவைச் சோதனையின் போக்கில், சுமை முறிவுவரை 10 mநிமிடங்களிலோ அல்லது சில மணிநேரங்களிலோ அதிகரிக்கிறதா என்பது பெரிதாகப் பொருட்படுவதில்லை. ஆனால், சுமை ஆண்டுகள் அல்லது பத்து ஆண்டுகளாக செயல்பட்டால், குறிப்பிட்ட சூழ்நிலைகளில், விளைவு எல்லைக்கு கீழேயும் நிலையான அழுத்தத்தின் கீழ் காலத்துடன் சேர்ந்து வளைவு மெதுவாக அதிகரிப்பது காணப்படுகிறது. அப்போது நெகிழ்வான பகுதி, அதாவது இறுதி சுமை அகற்றலில் மறையும் பகுதி, குறிப்பிடத்தக்க அளவில் மாறாது. நீண்ட காலத்தில் நிகழும் இந்த நெகிழ்வற்ற வளைவு அதிகரிப்பு ஊர்வு (creep) எனப்படுகிறது. உலோகங்களில், ஈயத்தைத் தவிர, ஊர்வு உயர்ந்த வெப்பநிலைகளில் மட்டுமே முக்கியமானது; ஆனால் கட்டுமான பொறியாளருக்கு அது அழுத்தத்தின் கீழ் மெதுவாக தளரும் கான்கிரீட்டில் முக்கிய பங்காற்றுகிறது, இதனால் அது இருந்தால், அழுத்தப்பட்ட இரும்புக்கூட்டில் அழுத்தம் அதிகரிக்கும்.

மாறும் சுமை

இழுவைப் பரிசோதனையில் பெறப்பட்ட பொருட்களின் இயந்திரக் குணங்களை, கட்டமைப்புகளுக்கான அனுமதிக்கத்தக்க சுமையின் அளவுகோலாகப் பயன்படுத்த, பொருள் ஒவ்வொரு மறு சுமையிலும் ஒருமுறை சேதமின்றி தாங்கிய அழுத்தத்தையே மீண்டும் தாங்க வேண்டும் என்பது நிபந்தனை. முழுமையாக சமநிலையாக்கப்படாத இயந்திரங்களின் ஜடப் பலங்களால் சுமை ஏற்றப்படும் கம்பிகள் போன்ற நிகழ்வில், பொருள் அடிக்கடி சுமை ஏற்றம் மற்றும் இறக்கத்துக்கு உட்பட்டால் இந்த நிபந்தனை பூர்த்தியாகாது. போதுமான அடிக்கடி சுமை மீளச்சுழற்சிகள் ஏற்பட்டால், வழக்கமான நிலைத்த பரிசோதனையால் நிர்ணயிக்கப்படும் பொருள் வலிமையை விட வெகுவாகக் குறைந்த அழுத்தத்திலும் ஒரு கட்டமைப்பு பகுதி முறிவுக்கு உள்ளாகலாம். இவ்வகை முறிவு சோர்வால் ஏற்படும் முறிவு என அழைக்கப்படுகிறது. பொருள் தாங்கக்கூடிய n சுமைச் சுழற்சிகளின் எண்ணிக்கை அழுத்தத்தின் அளவு σ இற்கு சார்ந்தது; அதனால் அழுத்தம் குறைந்திருக்கும் அளவிற்கு அது அதிகமாக இருக்கும். இந்த சார்பின் வழக்கமான உதாரணம் படம் 9 இல் காட்டப்பட்டுள்ளது; அதில் பொருள் வலிமைக்கு ஒரு கீழ் எல்லை இருப்பது, அது எவ்வளவு பெரிய சுமைச் சுழற்சிகளிலும் தாங்கப்படக்கூடியது, மேலும் அது படைப்புவியல் வலிமை என அழைக்கப்படுகிறது. இவ்வகை வரைபடங்கள் (படம் 9) Wӧhler வளைவுகள் எனப்படுகின்றன.

படம் 9.

கட்டமைப்புகளின் பாதுகாப்பு

கட்டமைப்புகளுக்கு இரண்டு எல்லைச் சுமைகள் முக்கியமானவை: முதல் நிரந்தர சேதங்கள் தோன்றும் சுமை (ஓட்டப்பாய்ச்சி எல்லை), மற்றும் கட்டமைப்பின் தாங்கும் திறன் முழுமையாக தீர்ந்து, அது முறியும் சுமை (முறிவு எல்லை). ஓட்டப்பாய்ச்சி எல்லைக்கு முன்பாக, பொருள் எதிர்ப்பியலின் கருதுகோள்கள் குறைந்தபட்சம் தோராயமாகப் பொருந்துகின்றன என்பதால் (சிறிய இடப்பெயர்வுகள், Hooke-ன் விதி), நிரந்தர வடிவமாற்றங்களுக்கு எதிரான பாதுகாப்பை, கணிதச் சிரமங்களை சமாளிக்க முடிந்த அனைத்து சந்தர்ப்பங்களிலும் நம்பகமாக மதிப்பிடலாம். அழுத்தம் சுமைக்கு நேரான விகிதமாக இருந்தால், ஓட்டப்பாய்ச்சி அழுத்தத்தின் உச்ச அழுத்தத்துடன் உள்ள விகிதம், கட்டமைப்பில் தோன்றும் அதிகபட்ச அழுத்தத்துடன் ஓட்டப்பாய்ச்சி ஏற்படும் சுமையின் விகிதத்துக்கு சமமாக இருக்கும்; இது ஓட்டப்பாய்ச்சிக்கு எதிரான பாதுகாப்புக் காரகத்தை பிரதிபலிக்கிறது. இருப்பினும், பல சந்தர்ப்பங்களில் இந்த எளிய தொடர்பு இல்லை: இழுவை நீக்கப்பட்ட வளைவு, வளைந்த மேற்பரப்புகளுக்கிடையிலான அழுத்தம், அமைப்பு மாறுபடும் முறைகள், மேலும் குறிப்பாக விரும்பத்தகாதது, அச்சுச் சுமையுடன் கூடிய வளைவு. இவ்வனைத்து சந்தர்ப்பங்களிலும் சுமையில் ஒப்பீட்டளவில் சிறிய அதிகரிப்பே அழுத்தத்தில் பெரிய அதிகரிப்பை ஏற்படுத்தலாம்; அப்போது வழக்கமான பாதுகாப்புக் காரகத்தை அழுத்தங்களுக்கு değil, சுமைக்கே பயன்படுத்த வேண்டும்.

பாய்வு வரம்பை மீறி முறிவு வரை நிகழும் நிகழ்வுகளை பெரும்பாலும் இனிமேல் தரமான முறையில் மட்டுமே பின்தொடர முடியும். பொருள் நெகிழ்வானதாக இருந்தால், முதலில் பாய்வு வரம்பை எட்டிய பகுதிகள், மேலும் நிலையான மின்னழுத்தத்திலோ அல்லது சிறிது அதிகரிக்கும் மின்னழுத்தத்திலோ தொடர்ந்து வடிவமாறும் பகுதிகள், மேலதிக சுமையை ஏற்றுவதில் குறைவாகவே பங்கேற்கும்; எனவே கட்டமைப்பின் அமைப்பை கருத்தில் கொண்டு இயன்றால், குறைவாகச் சுமை ஏற்றப்பட்ட பிற பகுதிகள் தாங்குதலில் அதிகமாகப் பங்கேற்கும். மின்னழுத்த உச்சங்களை சமப்படுத்துவதற்கான இந்த முனைப்பு, ஒரு பாதுகாப்புக் காப்பகத்தை வழங்குகிறது; சில பகுதிகளில் ஒருமுறை ஏற்பட்ட குறிப்பிடத்தக்க சுமையால் உருவான நிலையான வடிவமாற்றம் தீங்கானதாக இல்லாவிட்டால், கணக்கீட்டில் இதைப் பயன்படுத்த முடியும் (வரம்புச் சுமை முறை).

பொருள் முறிவானதாக இருந்தால், முதற்கட்ட நிரந்தர சேதம் பிளவுகளாக வெளிப்படும்; அவற்றின் காரணமாக பாதிக்கப்பட்ட இடத்தில் அழுத்தக் குவிவு மேலும் அதிகரித்து, அது உடனடியாக முறிவை ஏற்படுத்துகிறது. சோர்வால் ஏற்படும் முறிவு, இழுவைத் தன்மை கொண்ட பொருட்களிலும், முறிவான முறிவின் பண்புகளை உடையதாகும்.

 விவித குறுக்கு வெட்டு தளங்களுக்கான அழுத்தங்களின் தொடர்புகள்

மாற்றுச் சமன்பாடுகள்

படம் 1 இல் உள்ள ஒன்பது கூறிய அழுத்தங்கள், மூன்று சமநிலை நிபந்தனைகளுடன் தொடர்புடையவை. மீதமுள்ள ஆறு அளவுகள் σx, σy, σz τxy, τyz, τzx என்பவை, ஒருவருக்கொருவர் சார்பின்றி, இச்செயற்பாட்டு எலாஸ்டிசிட்டி கோட்பாட்டின் வேறுபாட்டு சமன்பாடுகளின் வெளியீட்டில் காண்பதுபோல், விருப்பமான மதிப்புகளைப் பெறலாம். எனினும், இம்மதிப்புகள் கொடுக்கப்பட்டால், உறைந்த உடலின் ஒரு புள்ளியில் உள்ள அழுத்த நிலை முழுமையாக நிர்ணயிக்கப்படுகிறது; அதாவது ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தான மூன்று தளங்களுக்கு அழுத்தங்கள் தெரிந்தால், கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியைக் கடந்து அதன் நார்மல் எந்தவொரு திசையையும் கொண்ட நான்காவது தளத்திற்கான அழுத்தத்தையும் ஒரே அர்த்தத்தில் நிர்ணயிக்க முடியும்.

படம் 10-இல் OABC என்ற டெட்ராஹெட்ரான் காட்டப்பட்டுள்ளது; அதன் மூன்று முகங்கள் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பின் x, y, z தளங்களுக்கு இணையானவை, நான்காவது முகம் ABC = dF. என்ற 任வொரு திசை அமைப்புடைய பரப்புத் தனிமத்தை பிரதிநிதித்துவப்படுத்துகிறது. அதன் திசையையும், அதன் மூலம் பரிமாறப்படும் அழுத்தத்தின் திசையையும் குறிக்க, ξ அச்சு dF.-க்கு செங்குத்தாக இருக்கும் மற்றொரு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு அறிமுகப்படுத்தப்படுகிறது.

படம் 10

ξ அச்சின் திசையில் இந்த டெட்ராஹீட்ரான்மீது செயல்படும் விசைகளின் சமநிலை நிபந்தனை வழங்குகிறது

இதைக் கருத்தில் எடுத்தால், அது

பெறப்படுகிறது

மேலும் அச்சு η-வின் திசையில் சமநிலைக் நிபந்தனையிலிருந்து:

இவை ஒழுங்காணுக் கோஆர்டினேட் மாற்றத்தின் போது ஏற்படும் அழுத்தங்களை கணக்கிட பயன்படும் சமன்பாடுகள். குறிப்பாக, dF எனும் மேற்பரப்பு கூறுகளில் ξ-அச்சு z-அச்சுடன் ஒத்துப்போகும் sådana கூறுகளை மட்டுமே பரிசீலிப்பது முக்கியம். இந்த நிகழ்வுக்கான வடிவங்களை முந்தைய வடிவங்களை எளிமைப்படுத்தி பெறலாம் அல்லது நேரடியாக படம் 11-இல் இருந்து வாசிக்கலாம்:

படம் 11

சாதாரண அழுத்தம் α = α0 என்ற திசைகளில் அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச மதிப்புகளை எடுக்கிறது; அத்திசைகளுக்காக dσξ/dα = 0. வேறுபடுத்துவதன் மூலம் சமன்பாடு (16) இலிருந்து பெறப்படுகிறது

எனவே, இந்த வெளிப்பாடு பூஜ்யத்துக்கு சமமாக்கப்படும் போது

அழுத்தம் τξη இவ்விரு தளங்களிலும் மொத்த வெட்டு அழுத்தமாகவும் இருக்கும், τyz = τzx = 0 என்றால். அப்போது சமன்பாடு (17) மூலம் ஒருவருக்கொருவர் செங்குத்தான இரண்டு திசைகள் நிர்ணயிக்கப்படுகின்றன; அவற்றுக்கு: 1. மொத்த வெட்டு அழுத்தம் பூஜ்யமாக இருக்கும், மேலும், 2. இயல்பு அழுத்தம் மிகை மதிப்புகளை (அதிகபட்சம் மற்றும் குறைந்தபட்சம்) கொண்டிருக்கும். இத்திசைகள் முதன்மை அழுத்தத் திசைகள் எனப்படுகின்றன; அதற்குரிய அழுத்தங்கள் முதன்மை அழுத்தங்கள் எனப்படுகின்றன. அவை σ1 மற்றும் σ2 என குறிக்கப்படுகின்றன, மேலும் அவை நேரடியாக சூத்திரத்திலிருந்து கணக்கிடப்படலாம்

 Mohr வட்டம்

சமன்பாடுகள் (16) தெளிவாக வரைபட வடிவில் காட்டப்படலாம். இதற்காக அவற்றை பின்வரும் வடிவத்துக்கு மாற்ற வேண்டும்:

இந்த சமன்பாடுகள் σ, τ என்ற ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில், படம் 12-இல் வரையப்பட்ட வட்டத்தின் சமன்பாட்டின் அளவுரு வடிவத்தை வெளிப்படுத்துகின்றன; அதன் மையத்தின் ஒருங்கிணைப்புகள் σ = 1/2 (σx + σy), τ = 0 ஆகும், மேலும் அதன் ஆரம்

இந்த வட்டம் Mohr-இன் வட்டம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. x புள்ளி வழியாக x =const. என்ற வெட்டுக்கு இணையான கோடு வரையப்பட்டால், அதில் σx, τxy அழுத்தங்கள் கடத்தப்படுகின்றன; அது வட்டத்தை p புள்ளியில் வெட்டும், அந்தப் புள்ளி Mohr-இன் வட்டத்தின் pól என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த pól வழியாக வரையப்படும் ஒவ்வொரு pξ கோடும் வட்டத்தை ξ புள்ளியில் வெட்டுகிறது; அது _pξ_க்கு இணையான வெட்டின் வழியாக கடத்தப்படும் σξ, τξη அழுத்தங்களை நிர்ணயிக்கிறது.

Mohr வட்டத்தை வரைக்கும் போது பன்னொக்கு அழுத்தங்களின் குறியீட்டை கருத்தில் கொள்ள வேண்டும்; படம் 12c-இல் காட்டப்பட்ட திசை இருந்தால் அவை மேல்நோக்கி குறிக்கப்பட வேண்டும். ஆகவே இணைந்த அழுத்தங்களான τxy, τyx ஆகிய இரண்டில் ஒன்று எப்போதும் நேர்மையானது, மற்றொன்று எதிர்மையானது.

எல்லை மதிப்புகளான σ1, σ2 இயல்பழுத்தங்களுக்கு, வட்டத்தில் 1 மற்றும் 2 என்ற புள்ளிகள் பொருந்துகின்றன; மேலும் _p_1 மற்றும் _p_2 நேர்கள் பிரதான அழுத்தங்களின் திசைகளை அளிக்கின்றன.

x-y தளத்தில் உள்ள அழுத்தங்களை Mahr வட்டத்தின் மூலம் காட்டுவது, இந்த தளத்துக்கு செங்குத்தான σz, τxz, τyz ஆகிய அழுத்தங்களைப் பற்றிய எந்தக் கருதுகோளுடனும் தொடர்புடையது அல்ல.

படம் 12

அதன்படி, இங்கே z மற்றும் ξ அச்சுகளாகத் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டுள்ள அதே நேர்கோட்டைக் கடந்து செல்லும் பிரிவு தளங்களை மட்டுமே ஒப்பிட்டால், மிகப் பொதுவான மூவிமான அழுத்த நிலையுக்கும் இது பொருந்தும். பொதுத் மாற்றச் சமன்பாடுகள் (15) படி, சாதாரண அழுத்தம் σ எந்தப் பிரிவு தளத்திலும் முடிவிலியாக ஆக முடியாததால், அது ஒரு தளத்திற்கு இறுதித் அதிகபட்சம் σ1-ஐ, மற்றொரு தளத்திற்கு குறைந்தபட்சம் σ3-ஐ கொண்டிருக்க வேண்டும்; இவை இரண்டும், இயல்பாகவே, எதிர்மறையாகவும் இருக்கலாம். σ1 மற்றும் σ3 வெக்டர்களின் வழியாக ஒரு தளம் இழுத்து Mohr வட்டம் (படம் 13) வரையப்பட்டால்

படம் 13

இந்த தளத்தில் படர்ந்துள்ள அழுத்தங்களுக்கு (அதாவது, இந்த தளத்திற்கு செங்குத்தான எல்லாத் திசைகளுக்கும்), τότε σ1 மற்றும் σ3 என்பவை தோன்றக்கூடிய அதிகபட்சமும் குறைந்தபட்சமும் ஆன சாதாரண அழுத்தங்களாகும்; ஆகையால் அவை ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாக இருக்க வேண்டும். 1 மற்றும் 3 ஆகிய திசைகள் 2 என்ற திசையால் நிரப்பப்பட்டு, இந்த மூன்று திசைகளும் செங்கோண ஒருங்கிணைப்புக் கட்டமைப்பை உருவாக்கினால், மேலும் 1 ~2 மற்றும் 2 ~ 3 தளங்களுக்கான Mahr வட்டங்கள் வரையப்பட்டால், σ2 இந்த வட்டங்களில் ஒன்றுக்கான அதிகபட்ச சாதாரண அழுத்தமாகவும் மற்றொன்றுக்குக் குறைந்தபட்ச சாதாரண அழுத்தமாகவும் இருக்கும்; எனவே 1, 2 மற்றும் 3 திசைகளுக்கு செங்குத்தான வெட்டுகளில் கத்தித் திருப்பு அழுத்தம் பூஜ்ஜியமாகும். கத்தித் திருப்பு அழுத்தங்கள் இல்லாத, ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தான மூன்று சாதாரண அழுத்தங்கள் σ1, σ2 மற்றும் σ3 ஆகியவை முதன்மை அழுத்தங்கள் என அழைக்கப்படுகின்றன.

    மூப்பு வரம்பு மற்றும் இடிவு வரம்பு — இடவியல் மின்னழுத்த நிலை

அழுத்த நிலை ஒன்று-, இரண்டு- அல்லது மூன்று-பரிமாணமானது என அழைக்கப்படுகிறது; வேறுவிதமாகச் சொன்னால் நேரியல், தளம் அல்லது வெளி நிலை, முதன்மை அழுத்தங்களில் ஒன்று, இரண்டு அல்லது மூன்றும் பூஜ்யத்திலிருந்து வேறுபடுகிறதா என்பதைப் பொறுத்தது. அதிகம் பயன்படுத்தப்படும் கட்டமைப்பு உறுப்புகள், அதாவது இழுவை, அழுத்தம் மற்றும் வளைவு பட்டை ஆகியவற்றில், குறைந்தது அதிக அழுத்தம் உள்ள இடங்களில், அழுத்த நிலை ஒருபரிமாணமானது; அதேபோல் பொருட்களின் சோதனையில் அனுமதிக்கப்படும் அழுத்தங்களை நிர்ணயிக்க பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படும் இழுவை, அழுத்தம் அல்லது வளைவு சோதனைகளிலும் இதே நிலை காணப்படுகிறது. மாறாக, தங்கள் தளத்திலோ அதற்கு செங்குத்தாகவோ ஏற்றம் சுமக்கும் தகடுகளில், அதேபோல் குண்டலங்களில், அழுத்த நிலை இருபரிமாணமானது; சில சந்தர்ப்பங்களில் மூன்று-பரிமாண அழுத்த நிலைகளும் தோன்றுகின்றன. எனவே, ஒருபரிமாண அழுத்த நிலையில் தீர்மானிக்கப்பட்ட மகசூல் எல்லை மற்றும் முறிவு எல்லையின் அடிப்படையில், வெளி அழுத்த நிலையில் பொருளின் நடத்தை குறித்த முடிவுகளை எடுக்க வேண்டும்.