მასალები: მასალების წინააღმდეგობა და ელასტიურობის თეორია

საფუძვლები

მასალების სიმტკიცის ამოცანაა დაადგინოს, რა გარე ძალებს შეუძლია გაუძლოს მყარ სხეულს (მაგ., შენობა, კონსტრუქციული ნაწილი ან მიწა). ამ კითხვაზე პასუხის გასაცემად ვეყრდნობით ორ კრიტერიუმს: ერთი მხრივ, ძაბვები არ უნდა გადააჭარბოს გარკვეულ ზღვარს, რომელიც მასალის ტიპზეა დამოკიდებული, ხოლო მეორე მხრივ გარე და შიდა ძალებს შორის წონასწორობა უნდა იყოს სტაბილური. ამის შესაბამისად, მასალების სიმტკიცის ყველა ამოცანა შეიძლება დაიყოს „ძაბვის ამოცანებად“ და „სტაბილურობის ამოცანებად.“

ღეროებისა და სხივების, აგრეთვე მათგან შედგენილი მზიდების (ფერმები, ჩარჩოები) შემთხვევაში ძაბვების განსაზღვრა ხდება ორ ეტაპად, კერძოდ ისე, რომ ჯერ მოცემული გარე ძალების საფუძველზე გამოითვლება შიდა ძალების რეზულტანტი, რომელიც გადადის განივ კვეთაზე, ხოლო შემდეგ ამ „კვეთის ძალებიდან“ განისაზღვრება ძაბვები. პროცედურის პირველი ნაწილი წარმოადგენს ცალკე, ფართო დისციპლინას — სამშენებლო კონსტრუქციების სტატიკას, რომელსაც აქვს შემუშავებული საკუთარი მეთოდები და რომელიც, ჩვეულებრივ, განცალკევებულია მასალათა გამძლეობიდან, რომლის ამოცანა კი მოცემული კვეთის ძალებიდან ძაბვების განსაზღვრაზე დაიყვანება.

მასალების გამძლეობის ძირითადი ცნებები

დაძაბულობის განსაზღვრამდე მივდივართ შემდეგი ძირითადი მოსაზრებების გზით. ვთქვათ, სხეულზე მოქმედებს გარე ძალების წონასწორული სისტემა. წარმოვიდგინოთ, რომ სხეული ნებისმიერი კვეთით ორ ნაწილად გავყავით და ერთ-ერთი მათგანი მასზე მოქმედ ძალებთან ერთად მოვაცილეთ; მაშინ მისი მოქმედება მეორე ნაწილზე, რათა ძალთა წონასწორობა და დეფორმაციების განაწილება უცვლელი დარჩეს, უნდა ჩანაცვლდეს დამატებითი ძალებით, რომლებიც კვეთის ზედაპირზე გადაეცემა. ეს „შინაგანი“ ძალები უწყვეტად არის განაწილებული კვეთის ზედაპირზე, ისე რომ ზედაპირის ყოველ ელემენტს dF შეესაბამება ძალა dβ. თუ წარმოვქმნით შეფარდებას dβ/dF და განვახორციელებთ ზღვრულ გადასვლას dF -> 0, მაშინ ეს შეფარდება მიისწრაფვის ზღვრულ მნიშვნელობამდე, რომელსაც ეწოდება დაძაბულობა. დაძაბულობა ზედაპირის მოცემულ ელემენტში, როგორც dβ, შეიძლება დაიშალოს dF-ისადმი ნორმალურ და ტანგენციალურ კომპონენტებად — ნორმალური დაძაბულობა σ და შემჭრელი დაძაბულობა τ.

თუ ერთსა და იმავე წერტილში სხვადასხვა მიმართულებით ჩავატარებთ ჭრილებს, მათ შეესაბამება განსხვავებული დაძაბულობებიც. განსაკუთრებით, თუ სხეულიდან გამოყოფილია ელემენტარული პარალელეპიპედი, ნაჩვენები ნახ. 1, მისი ექვსივე ზედაპირზე იმოქმედებს დაძაბულობის ვექტორი, რომელიც შეიძლება დაიშალოს სამ კომპონენტად კოორდინატულ ღერძთა x, y, z მიმართულებით. დაპირისპირებულ ზედაპირებზე მოქმედი დაძაბულობები ერთმანეთისგან განსხვავდება, რა თქმა უნდა, მხოლოდ დიფერენციალით, ამიტომ უნდა განვასხვავოთ 3 * 3 = 9 კომპონენტური დაძაბულობებისა, რომლებიც შემდეგნაირად აღინიშნება:

ნორმალურ ძაბვებს σ ეძლევა იმ ღერძის ინდექსი, რომლის მიმართულებითაც ისინი მდებარეობენ და დადებითად ითვლებიან, თუ გაწელვას იწვევს, უარყოფითად — თუ შეკუმშვას იწვევს. წანაცვლების ძაბვებს τ ეძლევა ორი ინდექსი, პირველი მათგანი იგივეა, რაც შესაბამისი ნორმალური ძაბვის ინდექსი, ხოლო მეორე შეეხება იმ ღერძს, რომლის მიმართულებითაც მოქმედებს წანაცვლების ძაბვა. თუ შესაბამისი ნორმალური ძაბვის დადებითი მიმართულება დადებითი (უარყოფითი) საკოორდინატო ღერძის მიმართულებითაა, მაშინ წანაცვლების ძაბვაც დადებითად ითვლება, თუ ის მოქმედებს დადებითი (უარყოფითი) საკოორდინატო ღერძის მიმართულებით.

სურ. 1.

 შემჭრელი დაძაბულობების კონიუგირებულობა

თუ ელემენტარული პარალელეპიპედისთვის, სურ. 1, დავაყენებთ პირობას, რომ ყველა ძალის მომენტი x ღერძის მიმართ ნულია, მივიღებთ τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz აქედან და y და z ღერძებისთვის შესაბამისი ორი განტოლებიდან მივიღებთ, რომ ერთი და იმავე ინდექსის მქონე წანაცვლებითი ძაბვები ერთმანეთის ტოლია τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (1)

კომპონენტური დეფორმაციები

რომ ზემოთ განსაზღვრულ დაძაბულობებს ფიზიკური აზრი აქვთ, ეს გამომდინარეობს მათი კავშირისგან იმ განსაზღვრებასთან, რომელსაც ყოველი სხეული განიცდის გარე ძალების ზემოქმედების ქვეშ. სურ. 2 გვიჩვენებს ერთ ელემენტარულ პარალელეპიპედს, რომელიც დეფორმაციამდე მართკუთხა იყო და ჰქონდა წიბოების სიგრძეები dx, dy, dz. დეფორმაციის შემდეგ წიბოების სიგრძეები შეიძლება აღვნიშნოთ როგორც dx + Δdx, dy, + Δdy, dz + Δdz; კოეფიციენტები εx = Δdx|dx, εy =Δdy|dy, εz = Δdz|dz ეწოდება დილატაციები. ეს არის უმგანზომილებო სიდიდეები და მშენებლობაში განსახილველ ყველა მასალისთვის მცირეა 1-თან შედარებით. წიბოების დაგრძელების გარდა, ელემენტარულ პარალელეპიპედს dx * dy * dz შეიძლება დაერღვეს თავდაპირველად მართი კუთხეებიც მის გვერდებს შორის.

სურათი 2. კომპონენტური დეფორმაცია

ვივარაუდოთ, რომ დეფორმაციის შემდეგ კუთხე იმ სიბრტყეებს შორის, რომლებიც ერთმანეთს ეჭიდება კიდე OC-ის გასწვრივ, ტოლია და მსგავსად ამისა, მართი კუთხის შემცირება კიდე AO-ს გასწვრივ ტოლია γyz, ხოლო კიდე OB-ს გასწვრივ შემცირება ტოლია γzx. კუთხის ეს სამი ცვლილება γxy, γyz, γzx ეწოდება სრიალებს და ასევე ყოველთვის მცირეა 1-თან შედარებით. ექვსი კომპონენტური ε და γ-ით მთლიანად განისაზღვრება ელემენტარული კვადრის დეფორმაცია „პატარა დეფორმაციისას“. მოცულობის ელემენტის d_V = dx * dy * dz_ ცვლილება არის ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, საიდანაც, როცა დეფორმაციების ნამრავლები უგულებელყოფილია როგორც უფრო მაღალი რიგის მცირე სიდიდეები, მიიღება კუბური დეფორმაცია ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2)

გადანაცვლებები

მყარი სხეულის დეფორმაცია შეიძლება სრულად აღიწეროს ასევე იმ გზით, რომ მისი თითოეული წერტილისთვის მიეთითება ამ წერტილის მიერ განცდილი გადაადგილება. თუ განხილვიდან გამოირიცხება სასრული ზომის გადაადგილებები, რომლებიც მყარ სხეულს შეესაბამება, და თუ საჭირო იქნება, გამოთვლაში მივიღებთ მოძრავ საკოორდინატო სისტემას, მაშინ კომპონენტური გადაადგილებები μ, ν, ω ყოველთვის მცირე ზომისაა, ხოლო მათი წარმოებულები კოორდინატების მიმართ მცირეა 1-თან შედარებით. ამ დაშვების მიხედვით, ნახ. 3-ის თანახმად, ხაზოვანი ელემენტის OA = dx სიგრძე დეფორმაციის შემდეგ

ამგვარად  (3)

ანალოგიურად სურ. 3-დან ჩანს, რომ მოცურება γxy არის γ1 + γ2: და ასევე

 (4)

სურათი 3 წანაცვლება

(5)  (6)

ამ კავშირებს თავსებადობის პირობები ეწოდება და ისინი მიუთითებს, რომ დეფორმირებული ელემენტები შეიძლება თავსდეს მოზაიკასავით ისე, რომ სივრცე უწყვეტად იყოს შევსებული; ეს ვერ მიიღწევა, თუ ელემენტების დეფორმაციები თვითნებურია. თავსებადობის პირობები დიფერენციალური განტოლებებია, ამიტომ, ცხადია, თითოეული ცალკეული პარალელეპიპედისთვის ყველა ექვსი კომპონენტური დეფორმაცია ერთმანეთისგან დამოუკიდებელია, მაგრამ მათი განაწილება ყოველ საბოლოო გადანაწილებულ არეში შეზღუდულია პირობებით (5) და (6).

რადგან ეს პირობები მიღებულია განტოლებებისგან (3) და (4), მათი გამოყვანისას იკარგება თავდაპირველ განტოლებებში ჩადებული კავშირების ნაწილი. ამიტომ საკმარისი არ არის ამ ორი განტოლებათა სისტემიდან მხოლოდ ერთის შესრულება; საჭიროა ორივე სისტემის დაკმაყოფილება, თუ გვსურს დეფორმაციის თავსებადობის უზრუნველყოფა.

ელასტიურობის სისტემის დიფერენციალური განტოლებები

ელასტიკურ სხეულებში დაძაბულობებისა და დეფორმაციების გამოსათვლელად გამოიყენება შემდეგი განტოლებები:

მოცულობითი ელემენტის წონასწორობის პირობები. პირობები, რომ სამივე ღერძის გარშემო მომენტები ნულის ტოლი იყოს, უკვე გამოყენებული იყო განტოლების (1) გამოყვანისას. ძალთა წონასწორობის პირობები სურ. 4-ის მიხედვით იძლევა

ნახაზი 4

(7a-c)

თუ X, Y, Z-ით აღვნიშნავთ მოცულობითი ძალების კომპონენტებს (მაგ., წონა, ცენტრიდანული ძალა) ერთეულ მოცულობაზე. დაძაბულობებისა და დეფორმაციების კავშირები. ამაში იგულისხმება კავშირი კომპონენტალურ დაძაბულობებსა და კომპონენტალურ დეფორმაციებს შორის. ელასტიურობის თეორიაში, როგორც წესი, მხედველობაში მიიღება მხოლოდ ხაზოვანი კავშირი, რომელიც ჰუკის კანონით გამოისახება:

(8a-c)

(8d-f)

თუ განტოლებები (8a-c) ძაბვებზე ამოიხსნება, მიიღება

(8 a)

კso და ორი შესაბამისი განტოლება. Hooke-ის კანონი, რომელიც განტოლებით (8) არის გამოხატული, არ წარმოადგენს მკაცრად შესრულებულ ბუნების კანონს, არამედ რეალური ქცევის იდეალიზაციას, რომელიც მისგან მეტ-ნაკლებად გადახრილია მასალისა და დაძაბულობის სიდიდის მიხედვით. იმის გამო, რომ მასალების სიმტკიცის პრობლემების მათემატიკური დამუშავება, დაძაბულობასა და დეფორმაციებს შორის რთული, არაწრფივი კავშირების შემთხვევაში, გაცილებით დიდ სირთულეებს ქმნის და რეალურად შეიძლება განხორციელდეს მხოლოდ უმარტივეს შემთხვევებში, იმ მასალებზეც კი (ბეტონი!), რომელთა ქცევაც მნიშვნელოვნად განსხვავდება Hooke-ის კანონისგან, მასზე დაფუძნებული გამოთვლები უნდა გამოყენებულ იქნას, პირველ რიგში და უმეტესად ერთადერთადაც, როგორც მიახლოებითი გადაწყვეტა, რომელიც გარდა ამისა, წესისამებრ, ძალიან გამოსადეგია და იძლევა არა მხოლოდ ხარისხობრივზე მეტ ხედვას. G = E|2 (1+μ).

ის აუცილებლობით გამომდინარეობს დაძაბულობასა და დეფორმაციას შორის კავშირიდან (8), დაძაბულობებისთვის გარდაქმნის განტოლებებიდან (16) და შესაბამისი განტოლებათა სისტემიდან კომპონენტური დეფორმაციებისთვის. E და G დაძაბულობის განზომილებას აქვთ და ყველა სამშენებლო მასალისთვის დიდია იმ შესაძლო დაძაბულობებთან შედარებით, σ და τ, რომლებიც შეიძლება წარმოიშვას. თუმცა ამ ფაქტზეა დაფუძნებული ელასტიურობის თეორიაში ყველგან მიღებული ვარაუდი, რომ დეფორმაციები მცირეა. განივი დილატაციის კოეფიციენტი (პუასონის რიცხვი) μ განზომილების გარეშეა და ყოველთვის მდებარეობს 0 და 1/2 შორის.

კომპონენტული დეფორმაციებისა და გადაადგილებების კავშირები. ეს კავშირები მოცემულია განტოლებებით (3), (4). ისინი წმინდა გეომეტრიული ხასიათისაა. ეს სამი სისტემა იძლევა 3+6+6=15 განტოლებას 15 უცნობისთვის, ანუ 6 კომპონენტული ძაბვისთვის, 6 კომპონენტული დეფორმაციისთვის და 3 კომპონენტული გადაადგილებისთვის. ამდენად, ისინი საკმარისია ამ უცნობების განსაზღვრისთვის. ასეთი მასშტაბური დიფერენციალური განტოლებების სისტემის მათემატიკური დაძლევა, რასაკვირველია, მხოლოდ სპეციალურ შემთხვევებშია შესაძლებელი. თუ განტოლებაში (8) კომპონენტური დეფორმაციები შეიცვლება კომპონენტური გადაადგილებებით, განტოლებების (3) და (4) მიხედვით, და შემდეგ ნორმალური ძაბვები σ და მაკრელი ძაბვები τ, განტოლებების (8 d - f) მიხედვით, შეიტანება წონასწორობის პირობებში, განტ. (7), მიიღება დიფერენციალური განტოლებები, რომლებსაც ეწოდება ელასტიურობის თეორიის ძირითადი განტოლებები.

(9)

სადაც  მითითებულია ლაპლასის ოპერატორი. (2)-ის გათვალისწინებით, ეს არის სამი დიფერენციალური განტოლება სამ კომპონენტურ გადაადგილებასთან μ, ν, ω; ამათგან კი დიფერენცირებით, (3), (4) და (8) საფუძველზე, შეიძლება მივიღოთ ყველა კომპონენტური ძაბვა და დეფორმაცია. განტოლებები (9) ხშირად წარმოადგენს მოსახერხებელ საწყის წერტილს განსაკუთრებული შემთხვევების შესასწავლად.

დეფორმაციული სამუშაო

განმარტება

როდესაც მზიდი ელემენტი იტვირთება, გარე ძალების მოქმედების წერტილები განიცდის ელასტიკურ გადაადგილებებს და ძალები ამ დროს გარკვეულ სამუშაოს ასრულებს. ამ გზით შეტანილი ენერგია შეიძლება სხვადასხვა სახედ გადაიქცეს. თუ დატვირთვა უეცრად მოქმედებს ისე, რომ დეფორმაციის პროცესი მნიშვნელოვნად სწრაფია, ამ ენერგიის ნაწილი კინეტიკურ ენერგიად გადაიქცევა, რომელიც დროთა განმავლობაში იფანტება, ან ისე, რომ ნიადაგს გადაეცემა ელასტიკური ტალღის სახით, რომელიც უსასრულობაში იკარგება, ან ისე, რომ შიგა ხახუნით სითბოდ გარდაიქმნება. თუ დატვირთვები ისე ნაზად მიიმართება, რომ ამ დროს კინეტიკური ენერგიის შესამჩნევი ზრდა არ წარმოიშობა, ანუ ნულიდან თანდათან მზარდი დატვირთვები შიგა ძალებთან მუდმივ წონასწორობაშია, ენერგია აშკარად მთლიანად იხარჯება სხეულის დეფორმაციაზე და ამ შემთხვევაში მას დეფორმაციის სამუშაო ეწოდება.

დეფორმაციული მუშაობის გამოთვლას ჯერ ვაჩვენებთ ერთ მიმართულებით გაწევაზე დატვირთულ მცირე ნაწილზე (სურ. 5).

არსებული დაძაბულობა σ და შესაბამისი დეფორმაცია ε მიიღებს მატებებს dσ და dε. მაშინ ძალა σdF გზაზე dε * dl შეასრულებს სამუშაოს σdF * dεdl = σdεdV, თუ dV-ით აღვნიშნავთ მცირე ნაწილის მოცულობას. თუ დაძაბულობა ნულიდან გაიზრდება თავის საბოლოო მნიშვნელობამდე და დეფორმაცია შესაბამისად 0-დან ε-მდე, ერთეულ მოცულობაზე შესრულებული საერთო სამუშაო იქნება:

ამგვარადვე, წანაცვლების ძაბვით დატვირთული ელემენტისთვის τ (ნახ. 6) დეფორმაციის მუშაობა მოცულობის ერთეულზე (სპეციფიკური დეფორმაციის მუშაობა, ელასტიკური პოტენციალი):

როდესაც მხოლოდ ოთხი ძალიდან ერთ-ერთი τ * dF ასრულებს სამუშაოს.

ზოგად შემთხვევაში, როცა ელემენტარულ ნაწილაკზე მოქმედებს ყველა ექვსი კომპონენტური ძაბვა, მიიღება სპეციფიკური დეფორმაციული ნამუშევარი ცალკეული კომპონენტური ძაბვების ნამუშევრების შეკრებით:

(10)

თითოეული ამ ინტეგრალის ზედა ზღვრის მიხედვით დიფერენცირებით მიიღება თანაფარდობები, რომლებიც მოქმედებს ყველაზე ზოგად შემთხვევაში:

(11)

და სხვ. კომპონენტური დეფორმაციებისთვისაც. თუ სხეული ელასტიკურია, დაძაბულობის თითოეულ განსაზღვრულ მდგომარეობას ყოველთვის ერთი და იგივე დეფორმაციის მდგომარეობა შეესაბამება, მიუხედავად იმისა, ეს მდგომარეობა დატვირთვისას იქნა მიღწეული თუ განტვირთვისას. მაშინ ინტეგრალების ქვეშ დგას ერთმნიშვნელოვანი ფუნქციები და სრული ენერგია, რომელიც იხარჯება დატვირთვისას და შემდეგ სრული განტვირთვისას, არის a = 0, რადგან ამ შემთხვევაში ინტეგრალების ზედა საზღვრები ნულს უდრის. შესაბამისად, სხეულისთვის დატვირთვისას მიწოდებული სრული ენერგია განტვირთვისას უკან ბრუნდება.

სურათი 6

სურათი 7

არასრულად ელასტიკური სხეულისთვის ძაბვასა და დეფორმაციებს შორის კავშირი დატვირთვა-განტვირთვის მთელი ციკლისთვის აქვს ფორმა, რომელიც მიახლოებით ნაჩვენებია სურ. 7 ხაზებით O A B. დატვირთვისას შეტანილი ენერგია უდრის ფართობს OAA, ხოლო განტვირთვისას დაბრუნებული ენერგია ფართობს ABA, ისე რომ იკარგება (სითბოდ გარდაიქმნება) შტრიხირებული ფართობის შესაბამისი სამუშაო. თუ რხევით პროცესში ძაბვა პერიოდულად იცვლება დადებით ზღვრულ მნიშვნელობასა და უარყოფით ზღვრულ მნიშვნელობას შორის, არაელასტიკური დეფორმაცია მიმდინარეობს ისე, როგორც ნაჩვენებია წყვეტილი ხაზებით სურ. 7-ზე და რხევის თითოეულ პერიოდში მოცულობის ერთეულზე სითბოდ გარდაიქმნება ენერგია DABCD. ასეთი ქცევა დეფორმაციისას, როდესაც დეფორმაცია ძაბვას ჩამორჩება, ეწოდება ელასტიკური ჰისტერეზისი, ხოლო მრუდს DABCD — ჰისტერეზისის მარყუჟი.

დეფორმაციული სამუშაო და ჰუკის კანონი

თუ განტოლებაში (10) ინტეგრალებში შევიყვანთ ჰუკის კანონს, შესაძლებელია ინტეგრირება და სპეციფიკური დეფორმაციული მუშაობისთვის მიიღება გამოსახულებები:

(12a)

(12b)

(12c)

თუ ამ ფორმებიდან მეორე ჩაისმება განტოლებაში (11), კვლავ მივიღებთ ჰუკის კანონს, განტოლებებს (8), დაძაბულობებით ამოხსნილ ფორმაში. მტკიცება, რომ დეფორმაციული მუშაობა დამოკიდებულია შემადგენელ დეფორმაციებზე, როგორც ნაჩვენებია განტოლებით (12b), შესაბამისად ჰუკის კანონის ეკვივალენტურია. როდესაც განტოლება (12c) დაძაბულობებით დიფერენცირდება, მიიღება

(13)

ეს ფორმულები, ფორმულებისგან (11) განსხვავებით, ვრცელდება მხოლოდ იმ სხეულებზე, რომლებიც Hooke-ის კანონის მიხედვით იქცევიან და ვერ გამოიყენება მაშინ, როდესაც ძაბვებსა და დეფორმაციებს შორის კავშირი სხვაგვარია. ცხადია, რომ განტოლებების (13) მარჯვენა მხარეს მოთავსებულია მხოლოდ ძაბვებით გამოწვეული კომპონენტური დეფორმაციები, ხოლო გამორიცხულია ყველა სხვა, რომელიც შესაძლოა წარმოშობილიყო ტემპერატურის ცვლილების, ცოცვის, შეშუპების, რეკრისტალიზაციის და ა.შ. შედეგად.

ინტეგრალური დებულებები ელასტიურობის თეორიაში

ვირტუალური გადაადგილებები. მინიმალური პოტენციური ენერგიის პრინციპი

როგორც ჰუკის კანონი, განტოლებები (8) შეიძლება ერთი განტოლებით (12b) ჩანაცვლდეს, ასევე წონასწორობის პირობების ნაცვლად შეიძლება შემოვიღოთ ვირტუალური გადაადგილებების პრინციპი, როგორც მექანიკის ზოგადი მოქმედების ძირითადი კანონი. ეს კანონი აღნიშნავს, რომ წონასწორობის მდგომარეობებს ის ახასიათებს, რომ მცირე დეფორმაციის მდგომარეობის ცვლილებისას ყველა ძალის მიერ შესრულებული საერთო მუშაობა ნულის ტოლია. თუ ელასტიკური გადაადგილებების მცირე ცვლილებებს აღვნიშნავთ δμ δν, δω-ით, მაშინ მოცულობითი ძალები, რომლებიც განსაზღვრულია განტოლებით (7), ასრულებენ ვირტუალურ მუშაობას

ა ზედაპირული ძალები px, py, pz, რომლებიც მოქმედებენ სხეულის გარე ზედაპირის ელემენტ dF-ზე მუშაობა 

ამასთან, სამმაგი ინტეგრალი ეხება მთელ მოცულობას, ხოლო ორმაგი — სხეულის მთელ გარე ზედაპირს. შიდა ძალების მიერ შესრულებული სამუშაოს გამოსათვლელად გამოიყენება განტოლება (12b), რის შედეგადაც მოცულობის ერთეულზე სამუშაოსთვის მიიღება

აქედან გამომდინარე, ვირტუალური გადაადგილებების პრინციპი იძლევა

(14)

თუ დატვირთვები X, Y, Z px, py., pz გაგებული იქნება როგორც სიმძიმის ძალის კომპონენტები (საკუთარი წონა და გარე დატვირთვა), მაშინ მარჯვენა მხარეს არსებული ინტეგრალები წარმოადგენს ამ ტვირთების მიერ დაკარგულ პოტენციურ ენერგიას, ხოლო მარცხენა მხარე წარმოადგენს სხეულის პოტენციური (ელასტიკური) ენერგიის მატებას, ასე რომ ეს პრინციპი გამოხატავს, რომ საყრდენისა და მასზე მდებარე ტვირთების საერთო პოტენციურ ენერგიას წონასწორობის შემთხვევაში ექსტრემალური მნიშვნელობა აქვს. თუ ეს ექსტრემალური მნიშვნელობა მინიმუმია, წონასწორობა სტაბილურია.

პოტენციური ენერგიის მინიმუმის პრინციპი, რომელიც გამოხატულია განტოლებით (14), გამოსახულება (12b) დეფორმაციული მუშაობისთვის, დეფორმაციების თავსებადობის პირობები (5), (6) წარმოადგენს განტოლებათა სისტემას, რომელიც საკმარისია ელასტიურობის თეორიის ასაშენებლად და არსებითად ეკვივალენტურია განტოლებათა სისტემისა. ეს სისტემა განსაკუთრებით სასარგებლო შეიძლება იყოს იმ შემთხვევებში, როდესაც დიფერენციალური, ეცლნებები (9) გამოთვლით სირთულეებს ქმნის და ამიტომ უნდა მოიძებნოს მიახლოებითი ამოხსნა, მაგალითად, გადაადგილებებისთვის წინასწარ მივიღოთ შესაფერისი ფორმა, რომელიც შეიცავს რამდენიმე თავისუფალ მუდმივას, ხოლო ესენი განისაზღვრება მოთხოვნით, რომ განტოლება (14) დაკმაყოფილდეს. ამგვარად, მართალია, ამოცანის ზუსტი ამოხსნა არ მიიღება, არამედ მხოლოდ საუკეთესო მიახლოება, რომლის მიღწევაც შერჩეული ამონახსნის ფორმით არის შესაძლებელი. რამდენად საკმარისია მიახლოება, პირველ რიგში დამოკიდებულია მიღებულ ამონახსნის ფორმაზე, ამიტომ ამ მეთოდის წარმატებული გამოყენება მოითხოვს მოხერხებულობასა და გამოცდილებას.

კასტილიანოს პრინციპი

მინიმალური პოტენციური ენერგიის პრინციპის შემთხვევაში შედარებულია დეფორმაციის ყველა მდგომარეობა, რომლებიც აკმაყოფილებენ დეფორმაციების თავსებადობის პირობებს და მათგან გამოიყოფა ის მდგომარეობები, რომლებშიც შესაბამისი დაძაბულობები აკმაყოფილებენ წონასწორობის პირობებს, ხოლო კასტილიანოს პრინციპის შემთხვევაში შედარებულია დაძაბულობის ყველა მდგომარეობა, რომლებიც აკმაყოფილებენ წონასწორობის პირობებს და მათგან გამოიყოფა ის მდგომარეობები, რომლებშიც შესაბამისი დეფორმაციები აკმაყოფილებენ დეფორმაციების თავსებადობის პირობებს. ეს პრინციპი ასე ფორმულირდება: ყველა შესაძლო წონასწორული მდგომარეობიდან რეალურად წარმოიშობა ის, რომელსაც შეესაბამება ყველაზე მცირე დეფორმაციული სამუშაო. კასტილიანოს პრინციპი, განტოლებასთან (12c) დეფორმაციული სამუშაოსთვის და წონასწორობის პირობებთან ერთად, ქმნის განტოლებათა სისტემას, რომელიც საკმარისია მასალების სიმტკიცის განსაზღვრისთვის. იმის გამო, რომ ეს პრინციპი მოიცავს ჰუკის კანონს, მისი გამოყენების შესაძლებლობა დაკავშირებულია იმ წინაპირობასთან, რომ დეფორმაციები სრულად შეიძლება აიხსნას ამ კანონით. ეს მოითხოვს არა მხოლოდ მასალის ხაზობრივ ელასტიკურ ქცევას, არამედ გამორიცხავს ტემპერატურის ცვლილებებს.

მასალების ქცევა ელასტიკურობის ზღვარს ზემოთ

მოვლენები სტატიკური დატვირთვისას

ძაბვის ზემოქმედების ქვეშ მასალის დეფორმაცია მეტად რთული მოვლენაა, ამიტომ მისი გასაგებად სხვადასხვა მიმართულებით უნდა გამარტივდეს. ასეთ გამარტივებათა ერთ-ერთი არის ვარაუდი, რომ დატვირთვები თანდათანობით მოაქვს, როგორც ეს, მაგალითად, კეთდება ნიმუშებთან გაჭიმვისა და დაჭერის ცდებისას.

თუ დაჭიმვაზე დატვირთულ ფოლადის ღეროს თანდათან მზარდ დატვირთვას მივცემთ და მის დილატაციას ε გავზომავთ, მიიღება სურ. 8-ზე ნაჩვენები დიაგრამა. დასაწყისში დილატაცია ძალიან მცირეა და ძაბვის პროპორციულია, როგორც ამას ჰუკის კანონი მოითხოვს. გარკვეული ძაბვის შემდეგ პროპორციულობა წყდება და დილატაცია უფრო სწრაფად იზრდება. ამ პროპორციულობის საზღვრის ზუსტი მდებარეობის დადგენა ძნელია. რაც უფრო ზუსტია გაზომვა, მით უფრო დაბლა მიიღება იგი. მასალათა უმეტესობისთვის იგი მდებარეობს σ = 0-ზე, და ჰუკის კანონი მაშინ წარმოადგენს ელასტიკური ქცევის მხოლოდ პირველ მიახლოებას, ფუნქცია ε = ε(σ)-ის ტეილორის მწკრივში განვითარების პირველ წევრს საკოორდინატო დასაწყისის მახლობლად.

თუ ღერო განტვირთულია, შეინიშნება, რომ როცა დაძაბულობა ზედმეტად დიდი არ ყოფილა, დეფორმაციაც ქრება, ჰუკის კანონის შესაბამისად. მაგრამ ესეც იცვლება, თუ გადაჭარბებულია გარკვეული დაძაბულობა, რომელიც პროპორციულობის ზღვართან ახლოს მდებარეობს, ე.წ. ელასტიურობის ზღვარი; მაშინ საერთო დეფორმაცია შედგება ელასტიკური (უკან დასაბრუნებელი) და არაელასტიკური (მუდმივი) ნაწილისგან. ელასტიურობის ზღვრის ზუსტად განსაზღვრაც შეუძლებელია; ის მით უფრო დაბლა მდებარეობს, რაც უფრო მაღალია გაზომვის სიზუსტე. თუმცა, რადგან მას დიდი ტექნიკური მნიშვნელობა აქვს, რადგან წარმოადგენს საზღვარს თითქმის ყველა გამოთვლაში მასალების გამძლეობაში, და ამავე დროს იმ ზღვარსაც, სადაც ჩნდება პირველი მუდმივი დაზიანებები, ნიმუშების გამოსაცდელად იგი მკაცრად განისაზღვრება მიღებული კონვენციით, და, მაგალითად, როგორც საზღვარი 0.2% აღინიშნება ის დაძაბულობა, რომლის დროსაც მუდმივი დილატაცია აღწევს 0.2%.

ელასტიკურობის ზღვრის გადალახვისთანავე დეფორმაცია მკვეთრად იზრდება და შიშველი თვალითაც შესამჩნევია; თითქმის მუდმივი ძაბვისას ღერო უწყვეტად გრძელდება. ამ ძაბვას ეწოდება დინების ზღვარი. მასალების გამოსაცდელ ჰიდრავლიკურ მანქანებზე, დინების დაწყების შემდეგ შეიძლება ასევე შეინიშნოს ძაბვის მეტ-ნაკლებად გამოხატული დაცემა; როგორც ნაჩვენებია სურ. 8-ზე წყვეტილი მრუდით; მაშინ მაქსიმუმს ეწოდება დინების ზედა ზღვარი, ხოლო შემდეგ შემდგარი მუდმივი დინების ძაბვა არის დინების ქვედა ზღვარი.

როდესაც მიიღწევა გარკვეული დილატაცია, რომელიც თითქმის მთლიანად არაელასტიკურია, ძაბვა კვლავ იწყებს ზრდას, მასალა იკუმშება. ამ დატვირთვის უბანში ღეროს განივი კვეთის შესამჩნევი შემცირება ხდება (არაელასტიკური) გვერდითი შეკუმშვის შედეგად, და ძაბვა-დეფორმაციის დიაგრამის შემდგომი მიმდინარეობა უპირველესად დამოკიდებულია იმაზე, დაძაბულობის σ გამოთვლისას ღეროზე მოქმედი გამწევი ძალა P იყოფა თუ არა საწყის კვეთაზე F0 თუ მიმდინარე კვეთაზე F. ტექნიკური მიზნებისთვის საინტერესოა ძაბვა P|F0. ეს ძაბვა გადის მაქსიმუმს, რომელსაც მასალის სიმტკიცე ეწოდება, და როცა ეს მაქსიმუმი გადაილახება, ღერო ერთ ადგილას ძლიერ ვიწროვდება და წყდება. “ნამდვილი ძაბვა” P|F იზრდება გატეხვამდე.

ნახაზი 8.

სხვა მეტალების ქცევა მრავალი თვალსაზრისით განსხვავდება აქ აღწერილისგან. დინება ხშირად არ არის გამოხატული, ხოლო გამაგრება იწყება ელასტიურობის ზღვრის გადალახვისთანავე. მყიფე მასალების შემთხვევაში (ქვა, მინა, ბეტონი) არაელასტიკური დეფორმაციები საერთოდ მცირეა და უკვე მცირე დილატაციაზეც ხდება მარცხი. მთლიანი დილატაცია, რომელსაც მასალა მარცხამდე განიცდის, არის მასალის გაწელვადობის (საპირისპირო: მყიფეობის) საზომი და იგი ფოლადისთვის ზუსტად განისაზღვრება ტექნიკურ პირობებში. თუმცა, რადგან მარცხის წინ შემდგომი დეფორმაცია კონცენტრირდება შევიწროებული კვეთის მიმდებარე ადგილებზე, მარცხის დროს დილატაციის განსხვავებული მნიშვნელობა მიიღება იმის მიხედვით, მერის სიგრძედ ღეროს უფრო დიდი თუ უფრო მცირე ნაწილი მიიღება, ამიტომ ერთმნიშვნელოვანი და ურთიერთშედარებადი შედეგების მისაღებად წინასწარ უნდა განისაზღვროს რაიმე გარკვეული კონვენცია. მარცხის დროს დილატაცია, წესით, იზომება ისე, რომ მრგვალ ღერზე დიამეტრით d გამოცდამდე აღინიშნება მერის სიგრძე Ι = 10 d და მისი დაგრძელებიდან ΔΙ გამოითვლება მარცხის დროს დილატაცია εs_Ι = ΔΙ|Ι ._ თუ საჭიროა სხვა კვეთის ღეროების გამოცდა, მერის სიგრძე განისაზღვრება წრიული ცილინდრული ღერის დიამეტრის მიხედვით, რომელსაც იგივე კვეთის ფართობი აქვს.

ხანგრძლივი დატვირთვა

გაწევის ცდის მიმდინარეობისთვის თითქმის სულერთია, დატვირთვა მორღვევამდე 10 mწუთის თუ რამდენიმე საათის განმავლობაში იზრდება. თუმცა, თუ დატვირთვა მოქმედებს წლების ან ათწლეულების განმავლობაში, გარკვეულ პირობებში შეინიშნება, რომ დენადობის ზღვარს ქვემოთაც კი, მუდმივი დაძაბულობის პირობებში დეფორმაცია დროთა განმავლობაში ნელა იზრდება. ამასთან ელასტიკური ნაწილი, ე.ი. ის ნაწილი, რომელიც საბოლოო განტვირთვისას ქრება, არსებითად არ იცვლება. არაელასტიკური დეფორმაციის ეს ზრდა, რომელიც ხანგრძლივი დროის განმავლობაში ხდება, կոչდება კრიპი. ლითონებში, ტყვიის გარდა, კრიპი მნიშვნელოვანია მხოლოდ მაღალ ტემპერატურებზე; თუმცა სამშენებლო ინჟინრისთვის ის მნიშვნელოვან როლს ასრულებს ბეტონში, რომელიც წნევის ქვეშ ნელა დეფორმირდება, რის გამოც დაძაბულობა იზრდება დაჭიმულ არმატურაში, თუ ასეთი არსებობს.

ცვლადი დატვირთვა

იმისათვის, რომ მასალის მექანიკური მახასიათებლები, რომლებიც განზიდვის გამოცდითაა მიღებული, გამოყენებულ იქნეს კონსტრუქციების დასაშვები დატვირთვის საზომად, საჭიროა, რომ მასალამ ყოველი განმეორებითი დატვირთვისას გაუძლოს იმავე ძაბვას, რომელსაც ოდესღაც დაზიანების გარეშე გაუძლო. ეს პირობა არ სრულდება, თუ მასალა ხშირად განიცდის დატვირთვისა და განტვირთვის განმეორებას, როგორც ეს, მაგალითად, ხდება არასრულად დაბალანსებული მანქანების ინერციული ძალებით დატვირთულ მჭიდებზე. დატვირთვის საკმარისად ხშირი განმეორებით კონსტრუქციული ნაწილი შეიძლება მიიყვანოს მტვრევამდე იმ ძაბვაზეც კი, რომელიც მნიშვნელოვნად დაბალია ჩვეულებრივი სტატიკური გამოცდით განსაზღვრულ მასალის სიმტკიცეზე. ამ ტიპის მტვრევას ეწოდება მტვრევადობა დაღლილობის გამო. დატვირთვის n ციკლის რაოდენობა, რომელსაც მასალა შეუძლია გაუძლოს, დამოკიდებულია ძაბვის σ სიდიდეზე, ამიტომ რაც უფრო მცირეა ძაბვა, მით უფრო დიდია ეს რაოდენობა. ამ დამოკიდებულების ტიპური მაგალითი ნაჩვენებია ნახ. 9-ზე, საიდანაც ჩანს, რომ მასალის სიმტკიცეს გააჩნია ქვედა ზღვარი, რომელსაც ის უძლებს დატვირთვის ციკლების ნებისმიერი რაოდენობისას და რომელსაც ეწოდება მასალის დინამიკური სიმტკიცე. ასეთი სახის დიაგრამებს (ნახ. 9) ვიოლერის მრუდები ეწოდება.

სურათი 9.

კონსტრუქციების უსაფრთხოება

კონსტრუქციებისთვის მნიშვნელოვანი ორი ზღვრული დატვირთვა არსებობს: დატვირთვა, რომლის დროსაც ჩნდება პირველი მუდმივი დაზიანებები (დენადობის ზღვარი), და დატვირთვა, რომლის დროსაც კონსტრუქციის მზიდუნარიანობა ამოიწურება და იგი ტყდება (მტვრევის ზღვარი). რადგან დენადობის ზღვრამდე სულ მცირე დაახლოებით მაინც მოქმედებს მასალების გამძლეობის თეორიის წინაპირობები (მცირე გადაადგილებები, ჰუკის კანონი), მუდმივი დეფორმაციების მიმართ უსაფრთხოება შეიძლება საიმედოდ შეფასდეს ყველა იმ შემთხვევაში, როცა მათემატიკური სირთულეების დაძლევა ხერხდება. თუ ძაბვა დატვირთვის პროპორციულია, დენადობის ძაბვისა და კონსტრუქციაში წარმოქმნილი მაქსიმალური ძაბვის შეფარდება ტოლია იმ დატვირთვისა, რომლის დროსაც დენადობა იწყება, და რეალური დატვირთვის შეფარდებისა და წარმოადგენს უსაფრთხოების კოეფიციენტს დენადობის მიმართ. თუმცა რიგ შემთხვევებში ეს მარტივი დამოკიდებულება არ არსებობს: მოღუნვა დაჭიმვის გამორიცხვით, დაპრესვა ამოზნექილ ზედაპირებს შორის, სისტემები, რომელთა სტრუქტურა ცვალებადია და, რაც განსაკუთრებით არახელსაყრელია, ღერძული ძალით მოღუნვა. ყველა ამ შემთხვევაში დატვირთვის შედარებით მცირე ზრდამ შეიძლება გამოიწვიოს ძაბვის დიდი ზრდა და მაშინ საკმარისი აღარ არის ჩვეულებრივი უსაფრთხოების კოეფიციენტის ძაბვებზე გამოყენება, არამედ ის დატვირთვაზე უნდა იქნას გამოყენებული.

ფენომენები, რომლებიც დენადობის ზღვრის გადალახვის შემდეგ ნგრევამდე ვითარდება, უმეტეს შემთხვევაში უკვე მხოლოდ ხარისხობრივად შეიძლება დავაკვირდეთ. თუ მასალა დუქტილურია, ის ნაწილები, რომლებშიც დენადობის ზღვარი პირველად მიღწეულია და რომლებიც შემდგომ დეფორმირდება მუდმივი ან ოდნავ მზარდი ძაბვის პირობებში, მცირე წილად მონაწილეობენ შემდგომი დატვირთვის მიღებაში, ისე რომ კონსტრუქციის სხვა, ნაკლებად დაძაბული ნაწილები, თუ ეს შესაძლებელია მისი სტრუქტურის გათვალისწინებით, უფრო მეტად მონაწილეობენ ტვირთის ტარებაში. ძაბვის პიკების გათანაბრების ამ ტენდენციაში დევს გარკვეული უსაფრთხოების მარაგი, რომლის გამოთვლით გამოყენება შეიძლება მაშინ, თუ ცალკეული ნაწილების მუდმივი დეფორმაცია, რომელიც წარმოიშვა მხოლოდ ერთი მნიშვნელოვანი დატვირთვისას, საზიანო არ არის (ზღვრული დატვირთვის მეთოდი).

თუ მასალა მყიფეა, პირველი მუდმივი დაზიანება ბზარების სახით ვლინდება, რის გამოც საფრთხის ქვეშ მყოფ ადგილზე დაძაბულობა კიდევ უფრო ძლიერად კონცენტრირდება და ეს მაშინვე იწვევს მტვრევას. დაღლილობით გამოწვეულ მტვრევას, თუნდაც გამწელ მასალებში, ასევე ახასიათებს მყიფე მსხვრევის ნიშნები.

 ძაბვებს შორის კავშირი სხვადასხვა კვეთით სიბრტყეებისთვის

ტრანსფორმაციის განტოლებები

სურ. 1-ზე მოცემული დაძაბულობის ცხრა კომპონენტი დაკავშირებულია წონასწორობის სამ პირობასთან. დარჩენილი ექვსი სიდიდე σx, σy, σz τxy, τyz, τzx შეიძლება ერთმანეთისგან დამოუკიდებლად მიიღოს ნებისმიერი მნიშვნელობები, როგორც ჩანს ელასტიურობის თეორიის დიფერენციალური განტოლებების გამოყვანიდან. თუმცა, როდესაც ეს სიდიდეები მოცემულია, მყარი სხეულის რომელიმე წერტილში დაძაბულობის მდგომარეობა სრულად არის განსაზღვრული, ანუ როდესაც ცნობილია სამი ურთიერთმართობული სიბრტყისთვის დაძაბულობები, შეიძლება ერთმნიშვნელოვნად განისაზღვროს დაძაბულობა კიდევ რომელიმე მეოთხე სიბრტყისთვის, რომელიც გადის მოცემულ წერტილში და რომლის ნორმალსაც ნებისმიერი მიმართულება აქვს.

ნახ. 10-ზე ნაჩვენებია ტეტრაედრი OABC, რომლის სამი გვერდი პარალელურია კოორდინატთა სისტემის x, y, z სიბრტყეებთან, ხოლო მეოთხე წარმოადგენს ზედაპირის ნებისმიერზე ორიენტირებულ ელემენტს ABC = dF. მის მიმართულებისა და იმ ძაბვის მიმართულების აღსანიშნავად, რომელიც მის მეშვეობით გადადის, შემოაქვთ მეორე კოორდინატთა სისტემა, რომლის ξ ღერძი მართობულია dF-ზე.

სურათი 10

ამ ტეტრაჰედრონზე ξ ღერძის მიმართულებით მოქმედ ძალთა წონასწორობის პირობა იძლევა

თუ მხედველობაში მივიღებთ, რომ

მიიღება

და მსგავსად ამისა, წონასწორობის პირობებიდან η ღერძის მიმართულებით:

ეს არის განტოლებები, რომლებიც კოორდინატების გარდაქმნისას დაძაბულობის გამოსათვლელად გამოიყენება. განსაკუთრებული მნიშვნელობა აქვს მხოლოდ ისეთი ზედაპირის ელემენტების განხილვას _dF, რომელთათვისაც ξ-ღერძი ემთხვევა z-ღერძს. ამ შემთხვევისთვის ფორმულები შეგვიძლია მივიღოთ წინა ფორმულების გამარტივებით ან პირდაპირ წავიკითხოთ სურ. 11-დან:

სურ. 11

ნორმალური ძაბვა იღებს უკიდურეს მნიშვნელობებს მიმართულებებისთვის α = α0 , რომელთათვისაც dσξ/dα = 0. დიფერენცირებით განტოლებიდან (16) მიიღება

ამიტომ, როდესაც ეს გამოსახულება ნულის ტოლია

ძაბვა τξη ამავე დროს იქნება სრული ძვრის ძაბვა ამ სიბრტყეებში, თუ τyz = τzx = 0. მაშინ განტოლებით (17) განისაზღვრება ორი ურთიერთმართობული მიმართულება, რომელთათვისაც: 1. სრული ძვრის ძაბვა ნულია და, 2. ნორმალური ძაბვა აქვს უკიდურეს მნიშვნელობებს (მაქსიმუმს და მინიმუმს). ეს მიმართულებები ეწოდება მთავარი ძაბვების მიმართულებები, ხოლო შესაბამის ძაბვებს მთავარი ძაბვები. ისინი აღინიშნება σ1 და σ2-ით და შეიძლება პირდაპირ გამოითვალოს ფორმულიდან

 Mohr-ის წრე

განტოლებები (16) შეიძლება გრაფიკულად თვალსაჩინო სახით გამოისახოს. ამ მიზნით ისინი უნდა გარდავქმნათ შემდეგ ფორმაში:

ეს განტოლებები კოორდინატულ სისტემაში σ, τ წარმოადგენს წრის განტოლების პარამეტრულ ფორმას, რომელიც ნაჩვენებია სურ. 12-ზე; მისი ცენტრის კოორდინატებია σ = 1/2 (σx + σy), τ = 0 და მისი რადიუსია

ამ წრეს მოორის წრე ეწოდება. თუ x წერტილში გავლებულია წრფე, რომელიც პარალელურია x =const. კვეთასთან, რომლის მეშვეობითაც გადადის ძაბვები σx, τxy, ის წრეს p წერტილში გადაკვეთს, რომელსაც მოორის წრის პოლუსი ეწოდება. ამ პოლუსზე გავლებული ყოველი pξ წრფე წრეს ξ წერტილში კვეთს, რომელიც განსაზღვრავს ძაბვებს σξ, τξη, რომლებიც გადაიცემა pξ-ის პარალელური კვეთის მეშვეობით.

რაც შეეხება მოჭრითი ძაბვების ნიშანს მოორის წრის აგებისას, უნდა გავითვალისწინოთ, რომ ისინი ზემოთ მიიღება მაშინ, თუ მათ აქვთ სურ. 12c-ზე ნაჩვენები მიმართულება. შესაბამისად, ორი კონიუგირებული ძაბვიდან τxy, τyx, ერთი ყოველთვის დადებითია, ხოლო მეორე უარყოფითი.

ზღვრულ მნიშვნელობებს σ1, σ2 ნორმალური ძაბვების შეესაბამება წერტილები 1 და 2 წრეზე, ხოლო წრფეები _p_1 და _p_2 მთავარი ძაბვების მიმართულებებს იძლევა.

x-y სიბრტყეში მდებარე ძაბვების გამოსახვა მორის წრის გამოყენებით არ არის დაკავშირებული ამ სიბრტყისადმი მართობულ ძაბვებზე σz, τxz, τyz რაიმე დაშვებასთან.

სურათი 12

აქედან გამომდინარე, ეს ასევე ვრცელდება ყველაზე ზოგად სამგანზომილებიან ძაბვით მდგომარეობაზე, თუ შედარებულია მხოლოდ ის კვეთის სიბრტყეები, რომლებიც ყველა გადის ერთსა და იმავე წრფეზე, რომელიც აქ არჩეულია z და ξ ღერძად. რადგან ზოგადი გარდაქმნის განტოლებების (15) მიხედვით ნორმალური ძაბვა σ ვერც ერთ კვეთის სიბრტყეში ვერ გახდება უსასრულო, ამიტომ მან ერთ სიბრტყეში უნდა მიიღოს საბოლოო მაქსიმუმი σ1, ხოლო მეორეში მინიმუმი σ3, რომელთაგან ორივე, რასაკვირველია, შეიძლება უარყოფითიც იყოს. თუ ვექტორების σ1 და σ3 გავლით გაივლება სიბრტყე და აიგება მორ- ის წრე (ნახ. 13)

სურათი 13

იმ დაძაბულობებისთვის, რომლებიც ამ სიბრტყეში მდებარეობს (ანუ ყველა მიმართულებისთვის, რომლებიც ამ სიბრტყეს მართობულია), მაშინ σ1 და σ3 არის ყველაზე დიდი და ყველაზე მცირე ნორმალური დაძაბულობები, რომლებიც შეიძლება წარმოიშვას და, შესაბამისად, ისინი ერთმანეთის მიმართ მართობული უნდა იყოს. თუ მიმართულებებს 1 და 3 დავუმატებთ მიმართულებას 2, ისე რომ ეს სამი მიმართულება ქმნიდეს მართკუთხა საკოორდინატო სისტემას, და თუ დახაზავთ მაჰრის წრეებს სიბრტყეებისთვის 1 ~2 და 2 ~ 3, მაშინ σ2 ამ წრეებიდან ერთ-ერთისთვის ყველაზე დიდი, ხოლო მეორესთვის ყველაზე მცირე ნორმალური დაძაბულობაა, და შესაბამისად, გადაკვეთებში, რომლებიც მართობულია მიმართულებებზე 1, 2 და 3, მჭრელი დაძაბულობა ნულის ტოლია. სამი ერთმანეთის მიმართ მართობული ნორმალური დაძაბულობა σ1, σ2 და σ3, რომლებსაც არ შეესაბამება მჭრელი დაძაბულობები, ეწოდება მთავარი დაძაბულობები.

    დადინების ზღვარი და ნგრევის ზღვარი სივრცული ძაბვითი მდგომარეობისას

ძაბვის მდგომარეობას უწოდებენ ერთ-, ორ- ან სამგანზომილებიან მდგომარეობას, სხვაგვარად: ხაზობრივ, ბრტყელ ან სივრცობრივს, იმის მიხედვით, ნულიდან განსხვავებულია ერთი, ორი თუ სამივე მთავარი ძაბვა. ყველაზე ხშირად გამოყენებულ საკონსტრუქციო ელემენტებში, ანუ გაჭიმულ, დაჭიმულ და მოხრილ ღეროში, ძაბვის მდგომარეობა, სულ მცირე, ყველაზე მეტად დატვირთულ ადგილებში, ერთგანზომილებიანია; ასევეა გაჭიმვაზე, დაწოლაზე ან მოხრაზე ჩატარებული ცდების შემთხვევაშიც, რომლებიც მასალების გამოცდისას თითქმის მხოლოდ დასაშვები ძაბვების განსაზღვრისთვის გამოიყენება. ამის საპირისპიროდ, საკუთარ სიბრტყეში ან მის მიმართ მართობულად დატვირთულ ფირფიტებში, ისევე როგორც გარსებში, ძაბვის მდგომარეობა ორგგანზომილებიანია, ხოლო გარკვეულ შემთხვევებში გვხვდება სამგანზომილებიანი ძაბვის მდგომარეობებიც, ამიტომ საჭიროა, ერთგანზომილებიან ძაბვის მდგომარეობაში განსაზღვრული დენადობის ზღვრისა და მსხვრევის საზღვრის საფუძველზე გაკეთდეს დასკვნები მასალის ქცევის შესახებ სივრცობრივი ძაბვის მდგომარეობის შემთხვევაში.