Grunnlag
Materiallære har som oppgave å fastslå hvilke ytre krefter et fast legeme kan tåle (f.eks. en bygning, en konstruksjonsdel eller grunnen). For å besvare dette spørsmålet tar man utgangspunkt i to kriterier: på den ene siden må spenningene ikke overstige visse grenser som avhenger av materialtypen, og på den andre siden må likevekten mellom ytre og indre krefter være stabil. I samsvar med dette kan alle problemer innen materiallære deles inn i «spenningsproblemer» og «stabilitetsproblemer.»
Ved staver og bjelker og bæresystemer sammensatt av disse (fagverk, rammer) fastsettes spenningene i to trinn, ved at man først på grunnlag av de påførte ytre kreftene beregner resultantene av de indre kreftene som overføres gjennom tverrsnittet, og deretter bestemmes spenningene ut fra disse «snittkreftene». Den første delen av fremgangsmåten utgjør en egen, omfattende disiplin, konstruksjonsstatikk, som har utviklede egne metoder og som vanligvis skilles fra materialenes resistenslære, hvis oppgave reduseres til å bestemme spenningene ut fra gitte snittkrefter.
Grunnleggende begreper innen materialstyrke
Til definisjonen av spenning kommer man ved følgende grunnleggende betraktninger. La det virke et likevektssystem av ytre krefter på legemet. La oss tenke oss at vi har delt legemet i to deler ved et vilkårlig snitt, og at vi har fjernet den ene av dem sammen med kreftene som virker på den; da må dens virkning på den andre delen, for at kreftenes likevekt og deformasjonsfordelingen skal forbli uendret, erstattes av tilleggskrefter som overføres gjennom snittflaten. Disse “indre” kreftene er jevnt fordelt over snittflaten, slik at hvert flateelement dF svarer til kraften dβ. Hvis vi danner forholdet dβ/dF og lar grenseovergangen dF -> 0 skje, vil dette forholdet gå mot en grenseverdi som kalles spenning. Spenningen i et bestemt flateelement er, i likhet med dβ, og kan deles opp i komponenter normal og tangentiell på dF, normalspenning σ og skjærspenning τ.
Hvis snitt trekkes gjennom samme punkt i ulike retninger, vil de også tilsvare ulike spenninger. Særlig hvis man av kroppen skiller ut et elementært kvadrat, vist på fig. 1, vil i hver av de seks flatedelene virke en spenningsvektor som kan deles opp i tre komponenter i retning av koordinataksene x, y z. Spenningene som virker på motsatte sideflater, skiller seg naturligvis bare differensielt fra hverandre, slik at man må skille mellom 3 * 3 = 9 komponentspenninger, som betegnes på følgende måte:
Normalspenninger σ gis en indeks for aksen de ligger langs, og anses som positive dersom de forårsaker strekk, negative dersom de forårsaker trykk. Skjærspenninger τ får to indekser; den første er den samme som indeksen til den tilsvarende normalspenningen, og den andre gjelder aksen i den retningen skjærspenningen virker. Hvis den positive retningen til den tilsvarende normalspenningen er i retning av den positive (negative) koordinataksen, anses også skjærspenningen som positiv dersom den virker i retning av den positive (negative) koordinataksen.
Figur 1.
Konjugasjon av skjærspenninger
Dersom det for en elementær kube, fig. 1, settes som betingelse at momentet av alle krefter med hensyn til x-aksen er null, fås τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz Herav, og fra de to tilsvarende ligningene for y- og z-aksene, følger at skjærspenningene med samme indekser er innbyrdes like τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (1)
Komponentdeformasjoner
At de ovenfor definerte spenningene har fysisk mening, følger av deres forbindelse med den deformasjonen som ethvert legeme utsettes for under påvirkning av ytre krefter. Fig. 2 viser et elementært kvader som før deformasjon var rektangulært og hadde kantlengdene dx, dy, dz. Kantlengdene etter deformasjon kan vi angi som dx + Δdx, dy, + Δdy, dz + Δdz; kvotientene εx = Δdx|dx, εy =Δdy|dy, εz = Δdz|dz kalles tøyninger. Dette er størrelser uten dimensjon og for alle materialer som er aktuelle i bygging, små i forhold til 1. I tillegg til forlengelsen av kantene kan det elementære kvaderet dx * dy * dz også gjennomgå en endring av de opprinnelig rette vinklene mellom sidene.
Figur 2. komponentdeformasjon
La vinkelen mellom flatene som møtes langs kanten OC etter deformasjonen være lik 
, og la på samme måte reduksjonen av den rette vinkelen langs kanten AO være lik γyz, og reduksjonen langs kanten OB lik γzx. Disse tre vinkelendringene γxy, γyz, γzx kalles skjærvridninger og er også alltid små i forhold til 1. Med de seks komponentene ε og γ er deformasjonen av det elementære kvaderet fullt ut bestemt i «små deformasjoner». Endringen av volumelementet d_V = dx * dy * dz_ er ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, hvorfra, når produktene av tøyningene som små størrelser av høyere orden neglisjeres, kubisk dilatasjon ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2)
Forskyvninger
Deformasjonen av et fast legeme kan også beskrives fullt ut på den måten at man for hvert av dets punkter angir den forskyvningen punktet har gjennomgått. Hvis man ser bort fra forskyvninger av endelig størrelse som svarer til forskyvningen av et stivt legeme, ved at man om nødvendig velger et bevegelig koordinatsystem i beregningen, er også komponentforskyvningene μ, ν, ω alltid små størrelser, og deres deriverte med hensyn til koordinatene er små i forhold til 1. Under denne forutsetningen er, ifølge fig. 3, lengden av linjeelementet OA = dx etter deformasjonen
altså 
(3)
På lignende måte ser man av fig. 3 at glidningen γxy γ1 + γ2: og også
(4)
Fig. 3 glidning
(5) 
(6)
Disse relasjonene kalles kompatibilitetsbetingelser og uttrykker at de deformerte elementene kan passe sammen som et mosaikkmønster slik at rommet samtidig fylles kontinuerlig, noe som ikke kan oppnås dersom elementenes deformasjoner er vilkårlige. Kompatibilitetsbetingelsene er differensialligninger, så alle de seks komponentdeformasjonene for hver enkelt blokk er selvsagt innbyrdes uavhengige, men deres fordeling i hvert endelig utstrakt område er bundet av betingelsene (5) og (6).
Ettersom disse betingelsene er fremkommet ved differensiering av ligningene (3) og (4), går en del av sammenhengene som finnes i de opprinnelige ligningene tapt under utledningen. Derfor er det ikke nok at bare ett av disse to ligningssystemene er oppfylt; begge ligningssystemene må tilfredsstilles dersom deformasjonskompatibiliteten skal være sikret.
Differensiallikninger for elastisitetsystemet
For beregning av spenninger og deformasjoner i elastiske legemer brukes følgende ligninger:
Likevektsbetingelser for et voluminært element. Betingelsene om at momentene om de tre aksene er lik null, er allerede brukt ved utledningen av ligning (1). Betingelsene for kraftlikevekt gir ifølge fig. 4
Figur 4
(7a-c)
Hvis komponentene av volumkrefter (f.eks. tyngde, sentrifugalkraft) per volumenhet betegnes med X, Y, Z. Sammenhenger mellom spenninger og deformasjoner. Med dette menes sammenhengen mellom komponentspenninger og komponentdeformasjoner. I elastisitetsteorien kommer som regel bare en lineær sammenheng i betraktning, som uttrykkes ved Hookes lov:
(8a-c)
(8d-f)
Hvis likningene (8a-c) løses med hensyn til spenningene, får man
(8 a)
kso og to tilhørende ligninger. Hookes lov uttrykt ved ligning (8) er ikke en strengt oppfylt naturlov, men en idealisering av den faktiske oppførselen, som avviker mer eller mindre fra den, avhengig av materialet og størrelsen på belastningen. Siden den matematiske behandlingen av materialstyrkeproblemer med kompliserte, ikke-lineære sammenhenger mellom spenninger og deformasjoner medfører langt større vansker og i praksis bare kan gjennomføres i de enkleste tilfellene, må beregninger basert på den også for materialer (betong!) hvis oppførsel avviker betydelig fra Hookes lov, brukes som den første, og som oftest også eneste, tilnærmede løsningen, som dessuten som regel er svært anvendelig og gir en innsikt som er mer enn bare kvalitativ. G = E|2 (1+μ).
Den følger nødvendigvis av sammenhengen mellom spenning og deformasjon (8), av transformasjonsligningene (16) for spenninger og det tilhørende ligningssystemet for komponentdeformasjoner. E og G har spenningsdimensjon og er for alle byggematerialer store i forhold til de spenningene σ og τ som kan opptre. På dette faktum bygger forutsetningen som er brukt overalt i elastisitetsteorien, at deformasjonene er små. Koeffisienten for tverrutvidelse (Poissons tall) μ er dimensjonsløs og ligger alltid mellom 0 og 1/2 .
Sammenhengen mellom komponentdeformasjoner og forskyvninger. Disse sammenhengene er gitt ved ligningene (3), (4). De er av rent geometrisk natur. Disse tre systemene gir 3+6+6=15 ligninger for 15 ukjente, dvs. for 6 komponentspenninger, 6 komponentdeformasjoner og 3 komponentforskyvninger. De er derfor tilstrekkelige til å bestemme disse ukjente. Matematisk håndtering av et så omfattende system av differensialligninger er selvsagt bare mulig i spesielle tilfeller. Hvis komponentdeformasjonene i ligning (8) erstattes av komponentforskyvninger etter ligningene (3) og (4), og deretter normalspenningene σ og skjærspenningene τ, etter ligningene (8 d - f), innføres i likevektsbetingelsene, lign. (7), fås differensialligninger som kalles grunnligninger i elastisitetsteorien.
(9)
hvorved 
er Laplace-operatoren betegnet. Med hensyn til (2) er dette tre differensialligninger med tre komponentforskyvninger μ, ν, ω; ved differensiering av disse kan alle komponentspenninger og deformasjoner bestemmes på grunnlag av (3), (4) og (8). Ligningene (9) utgjør ofte et hensiktsmessig utgangspunkt for studiet av spesielle tilfeller.
Deformasjonsarbeid
Definisjon
Når en bjelke belastes, utsettes angrepspunktene for de ytre kreftene for elastiske forskyvninger, og kreftene utfører samtidig et visst arbeid. På denne måten kan den tilførte energien gå over i ulike former. Hvis belastningen påføres brått, slik at deformasjonsprosessen skjer med stor hastighet, omdannes en del av denne energien til kinetisk energi, som etter hvert spres, enten ved at den overføres til grunnen som en elastisk bølge som forsvinner i det uendelige, eller ved at den omdannes til varme gjennom indre friksjon. Hvis lastene påføres så langsomt at det ikke oppstår noen merkbar økning i kinetisk energi, altså at lastene som øker gradvis fra null er i konstant likevekt med de indre kreftene, brukes energien åpenbart utelukkende til å deformere legemet, og da kalles den deformasjonsarbeid.
Beregningen av deformasjonsarbeidet skal vi først vise på en liten del belastet i strekk i én retning (fig. 5).
La den eksisterende spenningen σ og den tilhørende tøyningen ε få tilvekstene dσ og dε. Da vil kraften σdF på veien dε * dl utføre arbeidet σdF * dεdl = σdεdV, dersom dV betegner volumet av elementet. Hvis spenningen øker fra null til sin endelige verdi og tøyningen tilsvarende fra 0 til ε, vil det totale arbeidet per volumenhet være:
Tilsvarende gjelder for et element belastet med skjærspenningen τ (fig. 6) deformasjonarbeidet per volumenhet (spesifikt deformasjonarbeid, elastisk potensial):
hvorav bare én av de fire kreftene τ * dF utfører arbeid.
I det generelle tilfellet, når alle seks komponentspenningene virker på et elementært utsnitt, fås den spesifikke deformasjonshastigheten ved å summere arbeidene til de enkelte komponentspenningene:
(10)
Ved å derivere med hensyn til den øvre grensen for hvert av disse integralene får vi relasjoner som gjelder i det mest generelle tilfellet:
(11)
og tilsvarende for de øvrige komponentdeformasjonene. Dersom legemet er elastisk, svarer den samme bestemte spenningstilstanden alltid til den samme deformasjonstilstanden, uavhengig av om tilstanden er nådd under belastning eller avlastning. Da står det entydige funksjoner under integralene, og den totale energien som forbrukes under belastning og deretter fullstendig avlastning er a = 0, siden de øvre integralgrensene i dette tilfellet blir null. Følgelig fås den totale energien som tilføres legemet under belastning tilbake under avlastning.
Figur 6
Figur 7
For et ufullstendig elastisk legeme har sammenhengen mellom spenning og deformasjon for hele belastnings- og avlastningssyklusen en form som tilnærmet er vist på fig. 7 med linjene O A B. Energien 
som tilføres ved belastning, er lik arealet OAA, og energien som tilbakeføres ved avlastning arealet ABA, slik at arbeidet som svarer til det skraverte arealet går tapt (omdannes til varme). Hvis spenningen i en oscillerende prosess periodisk varierer mellom den positive grenseverdien 
og den negative grenseverdien, 
forløper den uelastiske deformasjonen på samme måte som vist med stiplede linjer på fig. 7, og ved hver svingeperiode omdannes energien DABCD per volumenhet til varme. Slik oppførsel ved deformasjon, der deformasjonen henger etter spenningen, kalles elastisk hysterese, og kurven DABCD en hysterese-loop.
Deformasjonsarbeid og Hookes lov
Hvis man i integralene i likning (10) innfører Hookes lov, kan integrasjonen utføres, og for det spesifikke deformasjonarbeidet får man uttrykkene:
(12a)
(12b)
(12c)
Hvis den andre av disse formene settes inn i ligning (11), får man igjen Hookes lov, ligningene (8), i form løst med hensyn på spenningene. Påstanden om at deformasjonarbeidet avhenger av komponentdeformasjonene, slik det er vist ved ligning (12b), er derfor ekvivalent med Hookes lov. Når ligning (12c) deriveres med hensyn på spenningene, får man
(13)
Disse formene, i motsetning til formene (11), gjelder bare for legemer som følger Hookes lov og kan ikke anvendes når sammenhengen mellom spenninger og deformasjoner er annerledes. Det sier seg selv at det på høyre side av ligningene (13) bare er komponentdeformasjonene forårsaket av spenninger som inngår, mens alle andre som eventuelt kan ha oppstått på grunn av temperaturendring, kryp, svelling, rekristallisering osv. utelates.
INTEGRERTE SETNINGER I ELASTISITETSTEORIEN
Virtuelle forskyvninger. Prinsippet om minimum potensiell energi
På samme måte som Hookes lov kan ligningene (8) erstattes av én ligning (12b), kan også prinsippet om virtuelle forskyvninger innføres i stedet for likevektsbetingelsene, som en allment gyldig grunnlov i mekanikken. Denne loven uttrykker at likevektstilstander kjennetegnes ved at det samlede arbeidet utført av alle krefter ved en liten endring i deformasjonstilstanden er lik null. Hvis vi betegner små endringer i elastiske forskyvninger med δμ δν, δω, så utfører volumkrefter definert ved ligning (7) virtuelt arbeid
og overflatespennene px, py, pz som virker på elementet dF av kroppens ytre flate arbeid 
hvor tredobbelt integral gjelder hele volumet, og dobbelt integral hele kroppens ytre overflate. For å beregne arbeidet som utføres av indre krefter, brukes ligning (12b), og for arbeid per volumenhet fås
Prinsippet om virtuelle forskyvninger gir på dette grunnlaget
(14)
Hvis belastningene X, Y, Z px, py., pz oppfattes som komponenter av tyngdekraften (egenvekt og ytre belastning), representerer integralene på høyre side den potensielle energien som disse lastene har mistet, mens venstre side representerer tilveksten i kroppens potensielle (elastiske) energi, slik at dette prinsippet uttrykker at den samlede potensielle energien til bærekonstruksjonen og lastene som ligger på den, i likevektstilfelle har en ekstremverdi. Hvis denne ekstreme verdien er et minimum, er likevekten stabil.
Prinsippet om minste potensielle energi uttrykt ved ligningen (14), uttrykket (12b) for deformasjonsarbeidet, samt kompatibilitetsbetingelsene for deformasjon (5), (6) utgjør et ligningssystem som er tilstrekkelig for oppbyggingen av elasticitetsteorien, og som i hovedsak er ekvivalent med ligningssystemet. Dette systemet kan være særlig nyttig i tilfeller der oppfyllelse av de differensielle ligningene (9) medfører beregningsmessige vanskeligheter, og det derfor må søkes en tilnærmet løsning, f.eks. ved at forskyvningene på forhånd antas å ha en passende form som inneholder noen frie konstanter, og disse bestemmes ut fra kravet om at ligningen (14) skal være oppfylt. På denne måten får man riktignok ikke noen eksakt løsning av problemet, men bare den beste tilnærmingen som kan oppnås med den valgte løsningsformen. Om tilnærmingen er tilstrekkelig, avhenger først og fremst av den valgte løsningsformen, og en vellykket anvendelse av metoden krever derfor dyktighet og erfaring.
Castiglianos prinsipp
Mens man ved prinsippet om minimum potensiell energi sammenligner alle deformasjonstilstander som oppfyller kravene til deformasjonskompatibilitet og blant dem velger de som svarende spenninger oppfyller likevektsbetingelsene, sammenligner man ved Castiglianos prinsipp alle spenningstilstander som oppfyller likevektsbetingelsene og blant dem velger de som svarende deformasjoner oppfyller kravene til deformasjonskompatibilitet. Dette prinsippet lyder: av alle mulige likevektstilstander inntreffer i virkeligheten den som svarer til det minste deformasjonarbeidet. Castiglianos prinsipp sammen med ligningen (12c) for deformasjonarbeidet og likevektsbetingelsene danner et ligningssystem som er tilstrekkelig for å bygge opp materialenes motstand. Ettersom dette prinsippet inneholder Hookes lov, er muligheten for å bruke det knyttet til antakelsen om at deformasjonene fullstendig kan beskrives ved denne loven. Dette krever ikke bare lineær elastisk oppførsel hos materialet, men utelukker også temperaturendringer.
Materialets oppførsel over elastisitetsgrensene
Forekomster ved statisk belastning
Deformasjonen av materialet under påvirkning av spenninger er et meget komplisert fenomen, og må derfor forenkles på ulike måter for at den skal kunne forstås. En av disse forenklingene er antakelsen om at belastningene påføres gradvis, slik det for eksempel gjøres med prøver ved strekk- og trykkprøving.
Hvis en stålstang som er belastet i strekk utsettes for en last som gradvis øker, og forlengelsen ε måles, får man diagrammet vist på fig. 8. I begynnelsen er forlengelsen svært liten og proporsjonal med spenningen, slik Hookes lov krever. Fra en bestemt spenning opphører proporsjonaliteten, og forlengelsen øker raskere. Den nøyaktige grensen for denne proporsjonaliteten er vanskelig å fastsette. Jo mer nøyaktig målingen er, desto lavere blir den. For de fleste materialer ligger den ved σ = 0, og Hookes lov representerer da bare den første tilnærmingen til den elastiske oppførselen, det første leddet i Taylor-serien for funksjonen ε = ε (σ) i nærheten av origo.
Hvis stangen avlastes, ser man at når spenningen ikke har vært for stor, forsvinner også deformasjonen, i samsvar med Hookes lov. Men også dette endres hvis en viss spenning overskrides, som ligger nær proporsjonalitetsgrensen, den såkalte elastisitetsgrensen; da består den totale deformasjonen av en elastisk (tilbakegående) og en uelastisk (varig) del. Heller ikke elastisitetsgrensen kan bestemmes nøyaktig; den ligger desto lavere jo større målenøyaktigheten er. Siden den imidlertid har stor teknisk betydning, fordi den utgjør grensen for gyldighet i nesten alle beregninger i materialenes styrkelære, og samtidig grensen der de første varige skadene oppstår, defineres den ved prøving av prøver skarpt gjennom en vedtatt konvensjon, og for eksempel betegnes som grense 0.2% den spenningen der den varige tøyningen når 0.2%.
Umiddelbart etter at elastisitetsgrensen er overskredet, øker deformasjonen brått og kan observeres med det blotte øye; ved nær konstant spenning forlenges stangen kontinuerlig. Denne spenningen kalles flytegrensen. Ved hydrauliske materialprøvingsmaskiner kan man dessuten etter at flyt har begynt, observere et mer eller mindre tydelig spenningsfall; slik det er vist på fig. 8 med stiplet kurve; da kalles maksimumet øvre flytegrense, mens den konstante flytespenningen som deretter inntrer, kalles nedre flytegrense.
Når en viss dilatasjon er nådd, som er nesten helt uelastisk, begynner spenningen å stige igjen, og materialet herder. I dette belastningsområdet oppstår en merkbar reduksjon av stangens tverrsnitt på grunn av (uelastisk) sidekontraksjon, og den videre utviklingen av spennings–deformasjonsdiagrammet avhenger først og fremst av om man ved beregning av spenningen σ deler strekkraften P som virker på stangen med det opprinnelige tverrsnittet F0 eller med det aktuelle tverrsnittet F. For tekniske formål er spenningen P|F0 interessant. Denne spenningen passerer et maksimum som kalles materialets styrke, og når dette maksimumet er passert, innsnevres stangen kraftig på ett sted og ryker. “Den virkelige spenningen” P|F øker fram til brudd.
Figur 8.
Oppførselen til andre metaller avviker i stor grad fra det som er beskrevet her. Flyting er ofte ikke tydelig, og herding begynner umiddelbart etter at elastisitetsgrensen er overskredet. For sprø materialer (stein, glass, betong) er de uelastiske deformasjonene generelt små, og brudd oppstår allerede ved liten dilatasjon. Den samlede dilatasjonen som materialet utsettes for fram til brudd, er et mål på materialets strekkbarhet (motsatt: sprøhet), og for stål er den nøyaktig fastsatt i de tekniske spesifikasjonene. Siden videre deformasjon like før brudd konsentreres til de nærliggende områdene med innskrenket tverrsnitt, får man imidlertid ulike verdier for dilatasjon ved brudd, avhengig av om man tar den større eller mindre delen av stangen som målelengde, slik at en bestemt konvensjon på forhånd må fastsettes for å oppnå entydige og gjensidig sammenlignbare resultater. Dilatasjon ved brudd måles som regel ved at man på en rundstang med diameter d markerer målelengden Ι = 10 d før forsøket og beregner dilatasjonen ved brudd εs_Ι = _ΔΙ|Ι _ ut fra forlengelsen ΔΙ. Hvis det er nødvendig å prøve stenger med annet tverrsnitt, fastsettes målelengden i forhold til diameteren til en sirkulær sylindrisk stang som har samme tverrsnittsareal.
Langvarig belastning
For strekkprøvens forløp er det ganske likegyldig om belastningen økes til brudd i løpet av 10 m minutt eller flere timer. Dersom belastningen derimot virker i årevis eller tiår, observeres under visse forhold at deformasjonen, også under flytegrensen, ved konstant spenning øker svakt over tid. Den elastiske delen, altså den delen som forsvinner ved full avlasting, endres ikke merkbart. Denne økningen i uelastisk deformasjon som skjer over lang tid kalles kryp. For metaller, med unntak av bly, er kryp bare av betydning ved høye temperaturer; for byggingeniøren spiller det likevel en rolle for betong som under trykk gir etter litt, slik at spenningen øker i den trykksatte armeringen, dersom slik finnes.
Variabel last
For at de mekaniske egenskapene til materialet, oppnådd ved strekkprøve, skal kunne brukes som mål for konstruksjoners tillatte belastning, er det en forutsetning at materialet ved hver ny belastning tåler den spenningen det en gang har tålt uten skade. Denne forutsetningen er ikke oppfylt dersom materialet utsettes for hyppige gjentakelser av belastning og avlastning, slik tilfellet for eksempel er for bærere belastet av treghetskrefter fra ufullstendig balanserte maskiner. Ved tilstrekkelig hyppige belastningsgjentakelser kan en konstruksjonsdel bringes til brudd selv ved en spenning som ligger langt under materialets styrke bestemt ved vanlig statisk prøving. Dette bruddforløpet kalles utmattingsbrudd. Antallet n belastningssykluser materialet kan tåle avhenger av spenningens størrelse σ, og er desto større jo mindre spenningen er. Et typisk eksempel på denne sammenhengen er vist i fig. 9, hvorav det fremgår at det for materialstyrken finnes en nedre grense som tåles selv ved et vilkårlig stort antall belastningssykluser, og som kalles dynamisk materialstyrke Diagrammer av denne typen (fig. 9) kalles Wöhler-kurver.
Figur 9.
Konstruksjoners sikkerhet
To grensebelastninger er viktige for konstruksjoner: belastningen der de første varige skadene oppstår (flytegrensen), og belastningen der konstruksjonens bæreevne er uttømt, slik at den bryter sammen (bruddgrensen). Ettersom materiallæreens forutsetninger i det minste tilnærmet gjelder før flytegrensen (små deformasjoner, Hookes lov), kan sikkerheten mot varige deformasjoner vurderes pålitelig i alle de tilfellene hvor de matematiske vanskelighetene lar seg overvinne. Hvis spenningen er proporsjonal med belastningen, er forholdet mellom flytespenningen og den største spenningen som opptrer i konstruksjonen lik forholdet mellom belastningen ved flyt og den faktiske belastningen, og utgjør sikkerhetskoeffisienten mot flyt. I en rekke tilfeller finnes imidlertid ikke dette enkle forholdet: bøyning når strekk utelukkes, trykk mellom konvekse flater, systemer med variabel struktur og, særlig ugunstig, bøyning med aksialkraft. I alle disse tilfellene kan en relativt liten økning i belastningen føre til en stor økning i spenningen, og da er det ikke tilstrekkelig å anvende den vanlige sikkerhetskoeffisienten på spenningene; den må i stedet anvendes på belastningen.
Fenomenene som opptrer etter at flytegrensen er overskredet og frem til brudd, kan i de fleste tilfeller bare følges kvalitativt. Hvis materialet er duktilt, vil de delene der flytegrensen først nås, og som videre deformeres ved konstant spenning eller en spenning som øker ubetydelig, i liten grad bidra til å ta opp videre last, slik at de øvrige, svakere belastede delene av konstruksjonen, så langt det er mulig med hensyn til dens struktur, i større grad deltar i bæreevnen. I denne tendensen til utjevning av spenningsspissene ligger en viss sikkerhetsreserve, som beregningsmessig kan utnyttes dersom den permanente deformasjonen av enkelte deler, som oppstår ved bare én betydelig belastning, ikke er skadelig (metode for bruddlast).
Hvis materialet er sprøtt, viser den første varige skaden seg i sprekker, som fører til enda sterkere spenningskonsentrasjon på det utsatte stedet, og dette utløser umiddelbart brudd. Brudd som følge av utmatting har også ved duktil materiale karakter av sprøtt brudd.
Sammenhenger mellom spenningene for ulike snittplan
Likninger for transformasjon
De ni komponentspenningene i fig. 1 er knyttet til tre likevektsbetingelser. De seks gjenværende størrelsene σx, σy, σz τxy, τyz, τzx kan, uavhengig av hverandre, få vilkårlige verdier, slik det fremgår av utledningen av de differensialligningene i elastisitetsteorien. Når disse verdiene er gitt, er spenningstilstanden i et punkt i et fast legeme fullstendig bestemt; dvs. når spenningene for tre gjensidig vinkelrette plan er kjent, kan spenningen for et fjerde plan som går gjennom det gitte punktet og hvis normal har vilkårlig retning bestemmes entydig.
På fig. 10 er tetraederet OABC vist, der tre av sidene er parallelle med koordinatsystemets plan x, y, z, mens den fjerde utgjør et vilkårlig orientert flateelement ABC = dF. For å angi dets retning og retningen til spenningen som overføres gjennom det, innføres et annet koordinatsystem, der ξ-aksen er normal på dF.
Bilde 10
Betingelsen for likevekt for kreftene som virker på denne tetraederen i retning av ξ-aksen gir
Hvis man tar i betraktning at det er
oppnås
og på tilsvarende måte ut fra likevektsvilkåret i retning av aksen η:
Dette er ligninger som brukes til å beregne spenninger ved transformasjon av koordinater. Av særlig betydning er det at man bare betrakter slike overflateelementer dF for hvilke ξ-aksen sammenfaller med z-aksen. Uttrykkene for dette tilfellet kan vi få ved å forenkle de foregående uttrykkene eller lese direkte av fig. 11:
Figur 11
Normalspenningen får ekstremverdier for retningene α = α0 , for hvilke dσξ/dα = 0. Ved derivasjon fås fra ligning (16)
og når dette uttrykket settes lik null
Spenningen τξη vil samtidig være den totale skjærspenningen i disse planene, dersom τyz = τzx = 0. Da er det ved ligning (17) bestemt to innbyrdes vinkelrette retninger for hvilke: 1. den totale skjærspenningen er null og, 2. normalspenningen har ekstreme verdier (maksimum og minimum). Disse retningene kalles hovedspenningsretninger, og de tilhørende spenningene hovedspenninger. De betegnes med σ1 og σ2 og kan beregnes direkte ut fra uttrykket
Mohrs sirkel
Ligningene (16) kan grafisk fremstilles på en tydelig måte. Til dette formålet må de omformes til formen:
Disse ligningene representerer i koordinatsystemet σ, τ den parametriske formen av ligningen for en sirkel, tegnet inn på fig. 12, hvis koordinater for sentrum er σ = 1/2 (σx + σy), τ = 0 og hvis radius er
Denne sirkelen kalles Mohrs sirkel. Hvis man gjennom punktet x trekker en rett linje parallell med snittet x =const., hvor spenningene σx, τxy overføres, vil den skjære sirkelen i punktet p, som kalles polen til Mohrs sirkel. Hver linje pξ trukket gjennom denne polen skjærer sirkelen i punktet ξ, som bestemmer spenningene σξ, τξη som overføres gjennom snittet parallelt med pξ.
Når det gjelder fortegnet til skjærspenningene ved tegning av Mohrs sirkel, må man være oppmerksom på at de avsettes oppover dersom de har den retningen som er vist på fig. 12c. Følgelig er av de to konjugerte spenningene τxy, τyx den ene alltid positiv og den andre negativ.
Grenseverdiene for normalspenningene σ1, σ2 svarer til punktene 1 og 2 på sirkelen, og linjene _p_1 og _p_2 gir retningene til hovedspenningene.
Fremstillingen av spenninger som ligger i x-y-planet ved hjelp av Mahr-sirkelen er ikke knyttet til noen antakelse om spenningene σz, τxz, τyz vinkelrett på dette planet.
Figur 12
Det samme gjelder derfor også for den mest generelle tredimensjonale spennningstilstanden, dersom man bare sammenligner de snittflatene som alle går gjennom den samme rette linjen, som her er valgt som z- og ξ-akse. Siden, ifølge de generelle transformasjonslikningene (15), den normale spenningen σ ikke kan bli uendelig for noen snittflate, må den for en viss flate ha et endelig maksimum σ1, og for en annen et minimum σ3, hvor begge, for så vidt, også kan være negative. Hvis man trekker en flate gjennom vektorene σ1 og σ3 og tegner Mohrs sirkel (fig. 13)
Figur 13
for spenninger som ligger i dette planet (dvs. alle retninger som er vinkelrette på dette planet), er da σ1 og σ3 de største og minste normalspenningene som kan opptre, og må derfor være innbyrdes vinkelrette. Hvis retningene 1 og 3 kompletteres med retningen 2, slik at disse tre retningene danner et rettvinklet koordinatsystem, og hvis Mohrs sirkler tegnes for planene 1 ~2 og 2 ~ 3, da er σ2 for den ene av disse sirklene den største, og for den andre den minste normalspenningen, og derfor er skjærspenningen lik null i snitt vinkelrette på retningene 1, 2 og 3. De tre innbyrdes vinkelrette normalspenningene σ1, σ2 og σ3, som ikke har tilhørende skjærspenninger, kalles hovedspenninger.
Flytegrensen og bruddgrensen ved romlig spenningstilstand
Spenningstilstanden kalles en-, to- eller tredimensjonal, også kalt lineær, plan eller romlig, avhengig av om én, to eller alle tre hovedspenningene er ulike null. For konstruksjonsdeler som oftest brukes, dvs. for strekk-, trykk- og bøyesstaver, er spenningstilstanden, i det minste på de mest belastede stedene, endimensjonal, og det samme gjelder for prøver i strekk, trykk eller bøyning, som ved materialprøving nesten utelukkende brukes til å bestemme tillatte spenninger. Motsatt er spenningstilstanden todimensjonal for plater belastet i sitt plan eller vinkelrett på det, samt for skall, og i visse tilfeller opptrer også tredimensjonale spenningstilstander, slik at det på grunnlag av flytegrensen og bruddgrensen, bestemt ved en endimensjonal spenningstilstand, er nødvendig å trekke slutninger om materialets oppførsel ved romlig spenningstilstand.