Osnovne informacije
Zadatak otpornosti materijala je da utvrdi koje spoljne sile može da izdrži čvrsto tijelo (napr., građevina, konstruktivni dio ili zemljište). Da bi se dao odgovor na ovo pitanje polazi se od dva kriterijuma: s jedne strane naponi, ne smiju da prekorače izvesne granice koje zavise od vrste materijala, a s druge strane ravnoteža između spoljnih i unutrašnjih sila mora da bude stabilna. U skladu sa ovim, svi problemi otpornosti materijala mogu se podijeliti na “Probleme napona” i “probleme stabilnosti.
Kod štapova i greda i od njih sastavljenih nosača (rešetke, okviri) određivanje napona vrši se u dva koraka, i to tako što se prvo na osnovu zadatih spoljnih sila izračuna rezultanta unutrašnjih sila koje se prenose preko poprečnog presjeka, a zatim se iz ovih “presečnih sila” određuju naponi. Prvi dio postupka predstavlja posebnu, obimnu disciplinu, statiku građevinskih konstrukcija, koja ima razrađene sopstvene metode i koja se obično odvaja od otpornosti materijala, čiji se zadatak svodi na određivanje napona iz datih presečnih sila.
Osnovni pojmovi o otpornosti materijala
Do definicije napona dolazi se putem sljedećih osnovnih razmatranja. Neka na tijelo djeluje ravnotežni sistem spoljnih sila. Zamislimo da smo tijelo proizvoljnim presjekom podijelili na dva dijela, i da smo jedan od njih uklonili zajedno sa silama koje na njega djeluju; tada se njegovo djelovanje na drugi dio, da bi na ovome ravnoteža sila i raspored deformacija ostali nepromijenjeni, morao zameniti dopunskim silama koje se prenose preko površine presjeka. Ove “unutarnje” sile su neprekidno raspoređene po površini presjeka, tako da svakom elementu površine dF odgovara sila dβ. Ako se obrazuje količnik dβ dF i načini granični prelaz dF -> 0, tada ovaj količnik teži graničnoj vrijednosti koja se naziva napon. Napon u određenom elementu površine je, kao i dβ, i može se razložiti na komponente normalnu i tangencijalnu na dF, normalni napon σ smičući napon τ.
Ako se kroz istu tačku povuku preseci u različitim pravcima, njima će odgovarati i različiti naponi. Posebno, ako se iz tijela izdvoji elementarni kvadar, prikazan na sl. 1, u svakoj od njegovih šest površina djelovaće vektor napona koji se može razložiti na tri komponente u pravcu koordinatnih osa x, y, z. Naponi koji djeluju na naspramne strane površine razlikuju se međusobno, naravno, samo za diferencijal, tako da treba razlikovati 3 * 3 = 9 komponentnih napona, koji se obilježavaju na sljedeći način:
Normalnim naponima σ daje se indeks osovine u čijem pravcu leže i smatraju se pozitivnim ako izazivaju zatezanje, negativnim, ako izazivaju pritisak. Smičući naponi τ dobivaju dva indeksa, prvi je od njih isti kao i indeks odgovarajućeg normalnog napona, a drugi se odnosi na osovinu u pravcu koje smičući napon djeluje. Ako je pozitivni smjer odgovarajućeg normalnog napona u smjeru pozitivne (negativne) koordinatne osovine, i smičući napon se smatra pozitivnim ako djeluje u smjeru pozitivne (negativne) koordinatne osovine.
Prikaz 1.
Konjugovanost smičnih naprezanja
Ako se za elementarni kvadar, sl. 1, postavi uslov da je moment svih sila u odnosu na osovinu x jednak nuli, dobija se τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz Odavde, i iz dvije odgovarajuće jednačine za osovine y i z, dobija se da su smičući naponi s istim indeksima međusobno jednaki τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (1)
Komponentne deformacije
Da naprijed definisani naponi imaju fizički smisao, proizilazi iz njihove veze sa deformacijom koju trpi svako tijelo pod uticajem spoljašnjih sila. Sl. 2 prikazuje jedan elementarni kvadar, koji je prije deformacije bio pravougaonog oblika i imao dužine ivica dx, dy, dz. Dužine ivica poslije deformacije možemo obilježiti sa dx + Δdx, dy, + Δdy, dz + Δdz količnici εx = Δdx|dx, εy =Δdy|dy, εz = Δdz|dz nazivaju se dilatacije. Ovo su veličine bez dimenzije i kod svih materijala koji dolaze u obzir u građevinarstvu male prema 1. Osim izduženja ivica, elementarni kvadar dx * dy * dz može pretrpjeti još i promjenu prvobitno pravih uglova između njegovih stranica.
Ilustracija 2. komponentalna deformacija
Neka je poslije deformacije ugao između ravni koje se sustižu duž ivice OC jednak 
i slično tome neka je smanjenje pravog ugla duž ivice AO jednako γyz, a smanjenje duž ivice OB jednako γzx. Ove tri promjene uglova γxy, γyz, γzx nazivaju se klizanja i takođe su uvijek male prema 1. Sa šest komponentalnih ε i γ potpuno je određena deformacija elementarnog kvadera “deformacija u malom”. Promjena elementa zapremine d_V = dx * dy * dz_ je ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, odakle se, kada se zanemare proizvodi dilatacija kao male veličine višeg reda, dobija kubna dilatacija ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2)
Pomjeranja
Deformacija čvrstog tijela može se potpuno opisati i na taj način što se za svaku od njegovih tačaka zada pomjeranje koje je ta tačka pretrpjela. Ako se iz posmatranja isključe pomjeranja konačne veličine koja odgovaraju pomjeranju krutog tijela, tako što se, po potrebi, u računu usvoji pokretni koordinatni sistem, tada su i komponente pomjeranja μ, ν, ω uvijek male veličine, a njihovi izvodi prema koordinatama mali u odnosu na 1. Pod tom pretpostavkom je prema sl. 3 dužina linijskog elementa OA = dx nakon deformacije
prema tome 
(3)
Na sličan način se iz sl. 3 vidi da je klizanje γxy γ1 + γ2; i također
(4)
Prikaz 3 klizanje
(5) 
(6)
Ove veze se nazivaju uslovi kompatibilnosti i ukazuju da se deformisani elementi mogu uklopiti kao mozaik tako da pri tome prostor bude neprekidno ispunjen, što se ne može postići ako su deformacije elemenata proizvoljne. Uslovi kompatibilnosti su diferencijalne jednačine, pa su, razumije se, svih šest komponentalnih deformacija za svaki pojedini kvadar međusobno nezavisne, ali je njihov raspored u svakoj konačno rasprostrtoj oblasti vezan uslovima (5) i (6).
Pošto su ovi uslovi dobiveni diferenciranjem iz jednačina (3) i (4), prilikom njihovog izvođenja gubi se dio veza sadržanih u prvobitnim jednačinama. Zato nije dovoljno da bude ispunjen samo jedan od ova dva sistema jednačina, već se moraju zadovoljiti oba sistema jednačina, ako se želi da kompatibilnost deformacije bude obezbijeđen.
Diferencijalne jednačine sistema elastičnosti
Za izračunavanje napona i deformacija kod elastičnih tijela služe sljedeće jednačine:
Uslovi ravnoteže zapreminskog elementa. Uslovi da su momenti oko tri ose jednaki nuli iskorišćeni su već pri izvođenju jednačine (1). Uslovi ravnoteže sila daju prema sl. 4
Ilustracija 4
(7a-c)
Ako se sa X, Y, Z označe komponente zapreminskih sila (npr. težina, centrifugalna sila) na jedinicu zapremine. Veze između napona i deformacija. Pod ovim se podrazumijeva veza između komponentalnih napona i komponentalnih deformacija. U teoriji elastičnosti po pravilu dolazi u obzir samo linearna veza, koja se iskazuje Hooke-ovim zakonom:
(8a-c)
(8d-f)
Ako se jednačine (8a-c) riješe po naponima, dobija se
(8 a)
kso i dvije odgovarajuće jednačine. Hooke-ov zakon iskazan jednačinom (8) ne pretstavlja neki strogo ispunjen prirodni zakon, nego idealizaciju stvarnog ponašanja, koje od njega otstupa više ili manje, u zavisnosti od materijala i od veličine naprezanja. S obzirom na to da matematička obrada problema otpornosti materijala sa komplikovanim, nelinearnim vezama između napona i deformacija pričinjava neuporedivo veće teškoće i može se stvarno sprovesti samo u najprostijim slučajevima, moraju se i kod onih materijala (beton!) čije ponašanje znatno otstupa od Hooke-ovog zakona, proračuni zasnovani na njemu koristiti kao prvo, i većinom i jedino približno rješenje, koje je uostalom po pravilu vrlo upotrebljivo i da je uvid koji je više nego samo kvalitativan. G = E|2 (1+μ).
Ona nužno slijedi iz veze između napona i deformacije (8), iz jednačina transformacije (16) za napone i odgovarajućeg sistema jednačina za komponentalne deformacije E i G imaju dimenziju napona i kod svih građevinskih materijala su veliki prema naponima σ i τ koji se mogu pojaviti. No ovoj činjenici počiva pretpostavka usvojena svuda u teoriji elastičnosti, da su deformacije male. Koeficijent poprečne dilatacije (Poisson-ov broj) μ je bez dimenzije i nalazi se uvijek između 0 i 1/2 .
Veze između komponentalnih deformacija i pomjeranja. Ove veze date su jednačinama (3), (4). One su čisto geometrijske prirode. Ova tri sistema daju 3+6+6=15 jednačina za 15 nepoznatih, tj. za 6 komponentalnih napona, 6 komponentalnih deformacija i 3 komponentalna pomjeranja. One su prema tome dovoljne za određivanje ovih nepoznatih. Matematičko savladavanje ovako obimnog sistema diferencijalnih jednačina moguće je, razumije se, samo u specijalnim slučajevima. Ako se u jednačini (8) komponentalne deformacije zamijene komponentalnim pomjeranjima prema jednačinama (3) i (4) i zatim normalni naponi σ i smičući naponi τ, prema jednačinama (8 d - f), uvedu u uslove ravnoteže, jedn. (7), dobijaju se diferencijalne jednačine koje se nazivaju osnovne jednačine teorije elastičnosti.
(9)
pri čemu je 
označen Laplaceov operator. S obzirom na (2) ovo su tri diferencijalne jednačine sa tri komponentalna pomjeranja μ, ν, ω; iz ovih se pak diferenciranjem na osnovu (3), (4) i (8) mogu dobiti svi komponentalni naponi i deformacije. Jednačine (9) često predstavljaju pogodnu polaznu tačku za proučavanje posebnih slučajeva.
Deformacijski rad
Određenje
Kada se nosač optereti, napadne tačke spoljnih sila trpe elastična pomjeranja i sile pri tome vrše izvjestan rad. Na ovaj način dovedena energija može preći u različite oblike. Ako se opterećenje na njega naglo nanese, tako da proces deformacije ima znatnu brzinu, jedan dio ove energije pretvara se u kinetičku energiju, koja se tokom vremena rasipa, bilo na taj način što se prenese na tle kao elastični talas koji se gubi u beskonačnosti, bilo što se unutrašnjim trenjem pretvara u toplotu. Ako se tereti nanose tako lagano da pri tome ne nastaje primjetan priraštaj kinetičke energije, dakle, da su tereti koji postepeno rastu počevši od nule u stalnoj ravnoteži sa unutrašnjim silama, energija se očigledno isključivo troši na deformisanje tijela i tada se naziva deformacioni rad.
Proračunavanje deformacionog rada prikazaćemo najprije na dijelu opterećenom na zatezanje u jednom pravcu (sl. 5).
Neka postojeći napon σ i odgovarajuća dilatacija ε pretrpe priraštaje dσ i dε. Tada će sila σdF na putu dε * dl izvršiti rad σdF * dεdl = σdεdV, ako se za dV označi zapremina delića. Ako napon raste od nule do svoje konačne vrijednosti i dilatacija u skladu s tim od 0 do ε, ukupno izvršeni rad po jedinici zapremine iznosiće:
Na sličan način i za element opterećen smičućim naponom τ (sl. 6) deformacioni rad po jedinici zapremine (specifični deformacioni rad, elastični potencijal):
pri tome samo jedna od četiri sile τ * dF obavlja rad.
U opštem slučaju, kada na elementarni dio napadaju svih šest komponentalnih napona, dobija se specifični deformacioni rad sabiranjem radova pojedinih komponentalnih napona:
(10)
Diferenciranjem po gornjoj granici svakog od ovih integrala dobijaju se relacije koje važe u najopštijem slučaju:
(11)
i slično za ostale komponentne deformacije. Ako je tijelo elastično, svakom određenom stanju napona odgovara uvijek isto stanje deformacije, bez obzira na to da li je stanje dostignuto pri opterećenju ili rasterećenju. Tada pod integralima stoje jednoznačne funkcije i ukupna energija utrošena pri opterećenju i zatim potpunom rasterećenju je a = 0, s obzirom na to da u ovom slučaju gornje granice integrala postaju nula. Prema tome, ukupna energija dovedena tijelu pri opterećenju dobija se natrag pri rasterećenju.
Fotografija 6
Fotografija 7
Za nepotpuno elastično tijelo veza između napona i deformacija za cijeli ciklus opterećenja i rasterećenja ima oblik približno prikazan na sl. 7 linijama O A B. Energija 
dovedena pri opterećenju jednaka je površini OAA, a energija vraćena prilikom rasterećenja površini ABA, tako da se gubi (pretvara u toplotu) rad koji odgovara šrafiranoj površini. Ako se u oscilatornom procesu napon periodično mijenja između pozitivne granične vrijednosti 
i negativne granične vrijednosti, 
neelastična deformacija teče slično tome kako je prikazano isprekidanim linijama na sl. 7 i prilikom svake periode oscilacije pretvara se po jedinici zapremine u toplotu energija DABCD. Takvo ponašanje prilikom deformacije, pri kojem deformacija zaostaje za naponom, naziva se elastični histeresis, a kriva DABCD petlja histeresisа.
Rad deformacije i Hookeov zakon
Ako se u integrale u jednačini (10) uvede Hooke-ov zakon, može se izvršiti intcgriranje, pa se za specifični deformacioni rad dobijaju izrazi:
(12a)
(12b)
(12c)
Ako se drugi od ovih oblika unese u jednačinu (11), dobija se opet Hooke - ov zakon, jednačine (8), u obliku riješenom po naponima. Iskaz da defrmacioni rad zavisi od komponentalnih deformacija, onako kako je prikazano jednačinom (12b), je prema tome ekvivalentan Hooke-ovom zakonu. Kada se jednačina (12c) diferencira po naponima, dobija se
(13)
Ovi obrasci, za razliku od obrazaca (11), važe samo za tijela koja se ponašaju prema Hooke-ovom zakonu i ne mogu se primijeniti kada su veze između napona i deformacija drukčije. Razumije se da se na desnoj strani jednačina (13) nalaze samo komponentalne deformacije izazvane naponima, a isključuju se sve ostale koje su eventualno mogle nastati usljed promjene temperature, puzanja, bubrenja, rekristalizacije, itd.
Integralni pristupi u teoriji elastičnosti
Virtualna pomjeranja. Princip o minimumu potencijalne energije
Kao što se Hooke-ov zakon, jednačine (8) može zamijeniti jednom jednačinom (12b), tako se i umjesto uslova ravnoteže može uvesti princip virtualnih pomjeranja, kao opšte važeći osnovni zakon mehanike. Ovaj zakon iskazuje da se ravnotežna stanja odlikuju time što je kod njih ukupno izvršeni rad svih sila pri maloj promjeni stanja deformacija jednak nuli. Ako male promjene elastićnih pomjeranja označimo δμ δν, δω, tada zapreminske sile definisane jednačinom (7) vrše virtualan rad
a površinske sile px, py, pz koje djeluju na element dF spoljne površine tijela rad 
pri čemu se trostruki integral odnosi na čitavu zapreminu, a dvostruki na čitavu spoljašnju površinu tijela. Za sračunavanje rada koji vrše unutarnje sile koristi se jednačina (12b), pa se za rad po jedinici zapremine dobija
Princip virtuelnih pomjeranja na osnovu toga daje
(14)
Ako se opterećenja X, Y, Z px, py., pz shvate kao komponente sile teže (sopstvena težina i spoljno opterećenje), integrali na desnoj strani predstavljaju potencijalnu energiju koju su ovi tereti izgubili, dok lijeva strana predstavlja priraštaj potencijalne (elastične) energije tijela, tako da ovaj princip iskazuje da ukupna potencijalna energija nosača i tereta koji na njemu leže u slučaju ravnoteže ima ekstremnu vrijednost. Ako je ova ekstremna vrijednost minimum, ravnoteža je stabilna.
Princip o minimumu potencijalne energije iskazan jednačinom (14), izraz (12b) za deformacioni rad, uslovi kompatibilnosti deformacija (5), (6) predstavljaju sistem jednačina koji je dovoljan za izgradnju teorije elastičnosti i koji je u osnovi ekvivalentan sistemu jednačina. Ovaj sistem može biti naročito koristan u slučajevima kada zadovoljavanje diferencijalnih jednačina (9) predstavlja računarske teškoće i zbog toga mora da se traži približno rješenje, npr. za pomjeranja unaprijed se pretpostavi pogodan oblik koji sadrži nekoliko slobodnih konstanti pa se one određuju iz zahtjeva da jednačina (14) bude zadovoljena. Tako se doduše ne dobija strogo rješenje problema, nego samo najbolja aproksimacija koja se može postići s izabranim oblikom rješenja. Da li je približavanje dovoljno, zavisi prije svega od usvojenog oblika rješenja, i uspješna primjena ove metode zato zahtijeva spretnost i iskustvo.
Castiglianovo načelo
Dok se kod principa o minimumu potencijalne energije upoređuju sva stanja deformacije koja ispunjavaju uslove kompatibilnosti deformacija i između njih izdvajaju ona za koja odgovarajući naponi zadovoljavaju uslove ravnoteže, kod Castiglianovog principa upoređuju se sva stanja napona koja zadovoljavaju uslove ravnoteže i između njih se izdvajaju ona za koja odgovarajuće deformacije zadovoljavaju uslove kompatibilnosti deformacija. Ovaj princip glasi: od svih mogućih ravnotežnih stanja nastupa stvarno ono kome odgovara najmanji deformacioni rad. Castiglianov princip zajedno sa jednačinom (12c) za deformacioni rad i uslovima ravnoteže obrazuje sistem jednačina koji je dovoljan za izgradnju otpornosti materijala. S obzirom na to da ovaj princip sadrži Hookeov zakon, mogućnost njegove primjene vezana je za pretpostavku da se deformacije mogu potpuno opisati ovim zakonom. Ovo zahtijeva ne samo linearno elastično ponašanje materijala, već i isključuje promjene temperature.
Ponašanje materijala iznad granice elastičnosti
Pojave pri statičkom opterećenju
Deformacija materijala pod uticajem napona je veoma komplikovana pojava, tako da se mora na različite načine uprošćavati da bi se mogla razumjeti. Jedno od ovih uprošćavanja je pretpostavka da se opterećenja nanose postepeno, kao što se to, npr., radi sa uzorcima prilikom opita na zatezanje i pritisak.
Ako se čelična šipka opterećena na zatezanje izloži opterećenju koje postepeno raste i mjeri njena dilatacija ε, dobija se dijagram prikazan na sl. 8. U početku je dilatacija veoma mala i proporcionalna naponu, onako kako to zahtijeva Hookeov zakon. Počev od jednog određenog napona prestaje proporcionalnost i dilatacija raste brže. Tačan položaj granice ove proporcionalnosti teško se može odrediti. Što je mjerenje tačnije, utoliko se ona dobija niža. Za većinu materijala ona leži na σ = 0, i Hookeov zakon predstavlja tada samo prvo približenje elastičnom ponašanju, prvi član razvitka u Taylorov red funkcije ε = ε (σ) u okolini koordinatnog početka.
Ako se štap rastereti, primjećuje se da, kada napon nije bio suviše veliki, nestaje i deformacija, u skladu sa Hook-eovim zakonom. Ali i ovo se mijenja ako se prekorači izvjestan napon koji leži blizu granice proporcionalnosti, tzv. granica elastičnosti; tada se ukupna deformacija sastoji iz elastičnog (povratnog) i neelastičnog (trajnog) dijela. Ni granica elastičnosti ne može se tačno odrediti, ona se nalazi utoliko niže ukoliko je tačnost mjerenja veća. Međutim, kako ona ima veliki tehnički značaj, jer pretstavlja granicu važnosti kod skoro svih proračuna u otpornosti materijala, a istovremeno i granicu na kojoj nastaju prva trajna oštećenja, ona se za ispitivanje uzoraka oštro definiše nekom usvojenom konvencijom, pa se, napr, kao granica 0.2% označava onaj napon pri kome trajna dilatacija dostiže 0.2%.
Neposredno po prekoračenju granice elastičnosti deformacija naglo raste i može se primijetiti golim okom; pri skoro konstantnom naponu štap se neprekidno izdužuje. Ovaj napon se naziva granica tečenja. Kod hidrauličkih mašina za ispitivanje materijala može se uz to zapaziti poslije početka tečenja više ili manje izražen pad napona; kako je naznačeno na sl. 8 isprekidanom krivom; tada se maksimum naziva gornja granica tečenja, a konstantni napon tečenja koji zatim nastupa donja granica tečenja.
Pošto se dostigne određena dilatacija, koja je skoro potpuno neelastična, napon počinje ponovo da raste‚, materijal učvršćava. U ovoj oblasti opterećenja nastaje primjetno smanjenje poprečnog presjeka štapa usljed (neelastične) bočne kontrakcije, i dalji tok dijagrama napona i deformacija zavisi u prvom redu od toga da li se pri računanju napona σ sila zatezanja P koja djeluje na štap dijeli sa prvobitnim presjekom F0 ili trenutnim presjekom F. Za tehničke svrhe interesantan je napon P|F0 . Ovaj napon prolazi kroz maksimum koji se naziva jačina materijala i kada se taj maksimum prođe, štap se na jednom mjestu jako sužava i kida. “Stvarni napon” P|F raste do sloma.
Ilustracija 8.
Ponašanje drugih metala u mnogome odstupa od ovdje opisanog. Tečenje često nije izraženo, a očvršćavanje počinje neposredno poslije prekoračenja granice elastičnosti. Kod krhkih materijala (kamen, staklo, beton) neelastične deformacije su uopšte male i već kod male dilatacije dolazi do loma. Ukupna dilatacija koju materijal pretrpi do loma je mjera istegljivosti (suprotno: krhkosti) materijala i ona se za čelik tačno propisuje u tehničkim uslovima. Međutim, kako se neposredno prije loma dalja deformacija koncentriše na okolna mjesta suženog presjeka dobija se različita vrijednost dilatacije pri lomu, prema tome da li se za mjernu dužinu usvaja veći ili manji dio štapa, tako da se za dobijanje jednoznačnih i međusobno uporedivih rezultata mora unaprijed usvojiti neka određena konvencija. Dilatacija pri lomu po pravilu se mjeri tako što se na okruglom štapu prečnika d prije opita označi mjerna dužina Ι = 10 d i iz njenog izduženja ΔΙ sračuna dilatacija pri lomu εs_Ι = ΔΙ|Ι ._ Ako je potrebno da se ispituju štapovi drukčijeg presjeka, mjerna dužina određuje se prema prečniku kružnog cilindričnog štapa koji ima istu površinu poprečnog presjeka.
Dugoročno opterećenje
Za tok opita zatezanja prilično je svejedno da li se opterećenje do sloma povećava u toku 10 minuta ili nekoliko sati. Međutim, ako opterećenje djeluje godinama ili desetinama godina, pod izvjesnim uslovima primjećuje se da i ispod granice tečenja deformacija pri konstantnom naponu tokom vremena lagano raste. Pri tome se elastični dio, tj. onaj dio koji pri konačnom rasterećenju nestaje, ne mijenja osjetno. Ovaj porast neelastične deformacije koji se događa tokom dugog vremena naziva se puzanje. Kod metala, osim kod olova, puzanje je od značaja samo na visokim temperaturama, međutim, za građevinskog inženjera ono igra ulogu kod betona koji pod pritiskom lagano popušta, tako da napon raste u pritisnutoj armaturi, ako ova postoji.
Promjenljivo opterećenje
Da bi se mehaničke karakteristike materijala, dobivene pri opitu na zatezanje, mogle primijeniti kao mjerilo za dopušteno opterećenje konstrukcija, uslov je da materijal pri svakom ponovnom opterećenju podnosi napon koji je jednom bez oštećenja podnio. Ovaj uslov nije ispunjen ako je materijal izložen čestom ponavljanju opterećenja i rasterećenja, kao što je to, napr., slučaj kod nosača opterećenih inercijalnim silama nepotpuno izbalansiranih mašina. Dovoljno čestim ponavljanjem opterećenja može se konstruktivni dio dovesti do sloma i pri naponu koji leži daleko ispod jačine materijala određene običnim statičkim ispitivanjem. Pojava sloma ove vrste naziva se slom usljed zamaranja. Broj n ciklusa opterećenja koje materijal može da podnese zavisi od veličine napona σ, tako da je utoliko veći ukoliko je manji napon. Tipičan primjer ove zavisnosti pokazan je na sl. 9, iz koje se vidi da za jačinu materijala postoji donja granica, koju podnosi i pri proizvoljno velikom broju ciklusa opterećenja i koja se naziva dinamička jačina materijala Dijagrami ove vrste (sl.9) nazivaju se Wӧhler-ove krive.
Prikaz 9.
Sigurnost građevinskih konstrukcija
Dva granična opterećenja su značajna za konstrukcije: opterećenja pri kome nastaju prva trajna oštećenja (granica tečenja), i opterećenje pri kome je nosivost konstrukcije iscrpna, pa se ona lomi (granica lomljenja). Kako pre granice tečenja bar približno važe pretpostavke otpornossti materijala (mala pomeranja, Hook-eov zakon), sigurnost prema trajnim deformacijama može se pouzdano proceniti u svim onim slučajevima u kojima pođe za rukom da se savladaju matematičke teškoće. Ako je napon proporcionalan opterećenju, odnos napona tečenja prema najvećem naponu koji se u konstrukciji pojavljuje jednak je odnosu između opterećenja pri kome nastaje tečenje i stvarnog opterećenja i predstavlja koeficijent sigurnosti prema tečenju. Međutim, u nizu slučajeva ovaj jednostavni odnos ne postoji: savijanje kada se isključuje zatezanje, pritisak između ispupčenih površina, sistemi čija je struktura promenljiva i, što je naročito nepogodno, savijanje sa aksijalnom silom. U svim ovim slučajevima može srazmjerno malo povećanje opterećenja da dovede do velikog povećanja napona, i tada nije dovoljno da se uobičajeni koeficijent sigurnosti primijeni na napone, već se on mora primijeniti na opterećenje.
Pojave koje se dešavaju nakon prekoračenja granice tečenja do loma mogu se u većini slučajeva pratiti još samo kvalitativno. Ako je materijal rastegljiv, dijelovi u kojima je najprije dostignuta granica tečenja i koji se dalje deformišu pri konstantnom naprezanju ili naprezanju koje neznatno raste, malo učestvuju u prihvatanju daljeg opterećenja, tako da ostali, slabije napregnuti dijelovi konstrukcije, ukoliko je to moguće s obzirom na njenu strukturu, više učestvuju u nošenju. U ovoj težnji ka izjednačavanju vrhova napona leži izvjesna rezerva sigurnosti, koja se proračunski može iskoristiti ako trajna deformacija pojedinih dijelova, nastala pri samo jednom znatnom opterećenju, nije štetna (metoda graničnog opterećenja).
Ako je materijal krt, prvo trajno oštećenje ispoljava se u prslinama, usljed kojih na ugroženom mjestu dolazi do još jače koncentracije napona, koja odmah izaziva slom. Slom usljed zamora i kod rastegljivih materijala ima karakteristike krtog lomljenja.
Veze između napona za različite presječne ravni
Jednadžbe transformacije
Devet komponentalnih napona na sl. 1, vezani su sa tri uslova ravnoteže. Šest preostalih veličina σx, σy, σz τxy, τyz, τzx mogu, nezavisno jedna od druge, dobiti proizvoljne vrijednosti kao što se vidi iz izvođenja diferencijalnih jednačina teorije elastičnosti. Međutim, kada su ove vrijednosti zadate, stanje napona u nekoj tački čvrstog tijela potpuno je određeno, tj. kada su poznati naponi za tri međusobno upravne ravni, može se jednoznačno i napon za neku četvrtu ravan koja prolazi kroz datu tačku i čija normala ima proizvoljan pravac.
Na slici 10 prikazan je tetraedar OABC čije su tri strane paralelne ravnima koordinatnog sistema x, y, z, a četvrta predstavlja proizvoljno orijentisan element površine ABC = dF. Da bi se označio njegov pravac i pravac napona koji se preko njega prenosi, uvodi se drugi koordinatni sistem, čija je osa ξ upravna na dF.
Prikaz 10
Uslov ravnoteže sila koje djeluju na ovaj tetraedar u pravcu ξ ose daje
Uzevši u obzir da je
postiže se
i slično tome iz uslova ravnoteže u pravcu ose η:
Ovo su jednačine koje služe za proračun napona pri transformaciji koordinata. Od posebnog je značaja da se posmatraju samo takvi elementi površine _dF za koje se ξ-osovina poklapa sa z-osovinom. Obrasce za ovaj slučaj možemo dobiti uprošćavanjem prethodnih obrazaca ili ih neposredno pročitati iz sl. 11:
Prikaz 11
Normalni napon uzima ekstremne vrijednosti za pravce α = α0 , za koje je dσξ/dα = 0. Diferenciranjem se iz jednačine (16) dobija
pa se, kada se ovaj izraz izjednači s nulom
Napon τξη će ujedno biti totalni smičući napon u ovim ravnima, ako je τyz = τzx = 0. Tada su jednačinom (17) određena dva međusobno upravna pravca za koje: 1. totalni smičući napon je nula i, 2. normalni napon ima ekstremne vrijednosti (maksimum i minimum). Ovi pravci se nazivaju pravci glavnih napona, a odgovarajući naponi glavni naponi. Oni se označavaju sa σ1 i σ2 i mogu se sračunati neposredno iz obrasca
Mohrov kružni dijagram
Jednadžbe (16) mogu se grafički prikazati na očigledan način. U tu svrhu treba ih transformisati na oblik:
Te jednačine u koordinatnom sistemu σ, τ daju parametarski zapis jednačine kruga, ucrtanog na sl. 12, čije su koordinate središta σ = 1/2 (σx + σy), τ = 0 i čiji je poluprečnik
Ovaj krug se naziva Mohr-ov krug. Ako se kroz tačku x povuče prava paralelna sa presekom x =const., preko koga se prenose naponi σx, τxy ona će sjeći krug u tački p, koja se naziva pol Mohr-ovog kruga. Svaka prava pξ povučena kroz ovaj pol siječe krug u tački ξ koja određuje napone σξ, τξη koji se prenose preko preseka paralelnog sa pξ.
Što se tiče znaka smičućih napona pri crtanju Mohr-ovog kruga, treba voditi računa da se oni nanose naviše ako imaju pravac prikazan na sl. 12c. Prema tome, od dva konjugovana napona τxy, τyx, jedan je uvijek pozitivan, a drugi negativan.
Graničnim vrijednostima σ1, σ2 normalnih napona odgovaraju tačke 1 i 2 na krugu, a prave _p_1 i _p_2 daju pravce glavnih napona.
Prikazivanje napona koji leže u x-y ravni pomoću Mahr-ovog kruga nije vezano ni za kakvu pretpostavku o naponima σz, τxz, τyz upravnim na ovu ravan.
Fotografija 12
Ono prema tome važi i za najopštije trodimenzionalno stanje napona, ako se upoređuju samo one presečne ravni koje sve prolaze kroz istu pravu, koja je ovde izabrana za z i ξ osovinu. Kako prema opštim jednačinama transformacije (15) normalni napon σ ne može da postane beskonačan ni za jednu presečnu ravan, to on mora da ima za neku ravan konačni maksimu σ1, a za drugu minimum σ3, od kojih oba, razumije se, mogu da budu i negativni. Ako se kroz vektore σ1 i σ3 povuče ravan i nacrta Mohr-ov krug (sl. 13)
Fotografija 13
za napone koji leže u ovoj ravni (tj. sve pravce koji su upravni na ovu ravan), tada su σ1 i σ3 najveći i najmanji normalni naponi koji se mogu pojaviti i prema tome moraju da budu međusobno upravni. Ako se pravci 1 i 3 dopune pravcem 2, tako da ova tri pravca čine pravougli koordinatni sistem, i ako se nacrtaju Mahr-ovi krugovi za ravni 1 ~2 i 2 ~ 3, tada je σ2 za jedan od ovih krugova najveći, a za drugi najmanji normalni napon, i prema tome je u presecima upravnim na pravce 1, 2 i 3 smičući napon jednak nuli. Tri međusobno upravna normalna napona σ1, σ2 i σ3, kojima ne odgovaraju smičući naponi, nazivaju se glavni naponi.
Granica tečenja i granica loma pri prostornom stanju napona
Stanje napona se naziva jedno-, dvo- ili trodimenzionalno, drukčije: linearno, ravno ili prostorno, prema tome da li su jedan, dva ili sva tri glavna napona različiti od nule. Kod konstruktivnih dijelova koji se najčešće primjenjuju, tj. kod zategnutog, pritisnutog i savijenog štapa, stanje napona, bar na najviše napregnutim mjestima, je jednodimenzionalno, a isto tako i kod opita na zatezanje, pritisak ili savijanje, koji se pri ispitivanju materijala gotovo isključivo primjenjuju za određivanje dozvoljenih napona. Suprotno tome, kod ploča opterećenih u svojoj ravni ili upravno na nju, kao i kod ljuski, stanje napona je dvodimenzionalno, a u izvjesnim slučajevima pojavljuju se i trodimenzionalna stanja napona, tako da je potrebno da se na osnovu granice tečenja i loma, određene pri jednodimenzionalnom stanju napona, izvuku zaključci o ponašanju materijala u slučaju prostornog stanja napona.