સામગ્રી: સામગ્રીનો પ્રતિકાર અને પ્રાપ્યસ્થિતિત્વ સિદ્ધાંત

મૂળભૂત બાબતો

સામગ્રી પ્રતિકારનું કાર્ય એ નક્કી કરવાનું છે કે કઠોર પદાર્થ (જેમ કે, ઇમારત, સંરચનાત્મક ભાગ અથવા જમીન) કયા બાહ્ય બળો સહન કરી શકે છે. આ પ્રશ્નનો જવાબ આપવા માટે બે માપદંડોથી શરૂઆત કરવામાં આવે છે: એક તરફ તાણો સામગ્રીના પ્રકાર પર આધારિત ચોક્કસ સીમાઓને ઓળંગવા ન જોઈએ, અને બીજી તરફ બાહ્ય અને આંતરિક બળો વચ્ચેનું સંતુલન સ્થિર હોવું જોઈએ. આ મુજબ, સામગ્રી પ્રતિકારની બધી સમસ્યાઓને “તાણ સમસ્યાઓ” અને “સ્થિરતા સમસ્યાઓ”માં વહેંચી શકાય છે.

દંડો અને બીમો તથા તેમનીથી બનેલા વાહકો (ટ્રસ, ફ્રેમો) માં તાણનું નિર્ધારણ બે પગલામાં થાય છે, જેમાં પહેલા નિર્ધારિત બાહ્ય બળોના આધાર પર આડછેદ મારફતે વહેંચાતી આંતરિક બળોની પરિણામી ગણવામાં આવે છે, અને પછી આ “આડછેદીય બળો” પરથી તાણો નક્કી થાય છે. પ્રક્રિયાનો પહેલો ભાગ એક વિશિષ્ટ, વિસ્તૃત શાખા છે, બંધારણોની સ્થિતિકી, જેની પોતાની વિકસિત પદ્ધતિઓ છે અને જે સામાન્ય રીતે સામગ્રી પ્રતિકારથી અલગ ગણાય છે, કારણ કે તેનો કાર્ય આપેલા આડછેદીય બળોમાંથી તાણ નક્કી કરવાનો છે.

સામગ્રીની મજબૂતીના મૂળભૂત ખ્યાલો

તાણની વ્યાખ્યા નીચેના મૂળભૂત વિચારો દ્વારા પ્રાપ્ત થાય છે. માનીએ કે પદાર્થ પર બાહ્ય બળોની સંતુલિત પ્રણાલી કાર્ય કરે છે. કલ્પના કરીએ કે આપણે પદાર્થને મનસ્વી આછેદથી બે ભાગોમાં વહેંચ્યો છે, અને તેમાંનો એક ભાગ તેના પર લાગતા બળો સાથે દૂર કર્યો છે; ત્યારે બીજા ભાગ પર તેનું પ્રભાવ, જેથી બળોનું સંતુલન અને વિકૃતિઓનું વિતરણ અપરિવર્તિત રહે, આછેદની સપાટી મારફતે વહેંચાતા પૂરક બળોથી બદલવું પડે છે. આ “આંતરિક” બળો આછેદની સપાટી પર સતત રીતે વિતરિત હોય છે, એટલે કે સપાટીના દરેક તત્વ dF ને dβ બળ અનુરૂપ હોય છે. જો dβ / dF નો ગુણોત્તર બનાવવામાં આવે અને dF -> 0 ની સીમા પર જવામાં આવે, તો આ ગુણોત્તર તાણ કહેવાતી સીમા મૂલ્ય તરફ જાય છે. સપાટીના નિર્ધારિત તત્વમાં તાણ, dβ ની જેમ, dF પર લંબ અને સ્પર્શીય ઘટકોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે: સામાન્ય તાણ σ અને અડક તાણ τ.

જો એક જ બિંદુમાંથી વિવિધ દિશાઓમાં વિભાગો લેવામાં આવે, તો તેમને અનુરૂપ તાણ પણ અલગ-અલગ હશે. ખાસ કરીને જો શરીરમાંથી આકૃતિ 1 માં દર્શાવેલો પ્રાથમિક ઘનખંડ અલગ કરવામાં આવે, તો તેની છ સપાટીઓમાંની દરેક પર તાણનો વેક્ટર કાર્ય કરશે, જેને x, y, z સંયોજક દિશામાં ત્રણ ઘટકોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે. સામે-સામે આવેલી સપાટીઓ પર કાર્ય કરતા તાણો, સ્વાભાવિક રીતે, ફક્ત ડિફરેનશિયલ માટે જ એકબીજાથી અલગ હોય છે, તેથી 3 * 3 = 9 ઘટક તાણોને અલગ પાડવા જોઈએ, જેને નીચે મુજબ દર્શાવવામાં આવે છે:

સામાન્ય તાણો σ ને તે અક્ષનો સૂચકાંક આપવામાં આવે છે જેના દિશામાં તેઓ સ્થિત હોય છે અને જો તેઓ તાણ ઉત્પન્ન કરે તો સકારાત્મક, દબાણ ઉત્પન્ન કરે તો નકારાત્મક ગણાય છે. કાતર તાણો τ ને બે સૂચકાંકો મળે છે, જેમાંથી પહેલો અનુરૂપ સામાન્ય તાણના સૂચકાંક જેવો જ હોય છે, અને બીજો તે અક્ષને દર્શાવે છે જેના દિશામાં કાતર તાણ કાર્ય કરે છે. જો અનુરૂપ સામાન્ય તાણની સકારાત્મક દિશા સકારાત્મક (નકારાત્મક) કોઓર્ડિનેટ અક્ષની દિશામાં હોય, તો કાતર તાણને પણ સકારાત્મક ગણવામાં આવે છે જો તે સકારાત્મક (નકારાત્મક) કોઓર્ડિનેટ અક્ષની દિશામાં કાર્ય કરે.

ચિત્ર 1.

 કાતણી તાણોની સંયોગિતા

જો પ્રાથમિક ઘન માટે, આકૃતિ 1, આ શરત મુકવામાં આવે કે x ધરી અંગે તમામ બળોના ક્ષણનું મૂલ્ય શૂન્ય છે, તો મળે છે τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz. અહીંથી, અને y તથા z ધરીઓ માટેની બે અનુરૂપ સમીકરણોમાંથી, મળે છે કે સમાન સૂચકોવાળા કાતરી તાણો પરસ્પર સમાન છે τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (1)

ઘટક વિસ્ફોટો

ઉપર વ્યાખ્યાયિત તાણોનું ભૌતિક અર્થ હોવું એ તેમની અને બાહ્ય બળોના પ્રભાવ હેઠળ દરેક દેહને સહન કરવી પડતી વિકૃતિની વ્યાખ્યા વચ્ચેના સંબંધમાંથી સ્પષ્ટ થાય છે. ચિત્ર 2 એક મૂળભૂત ઘન દર્શાવે છે, જે વિકૃતિ પહેલાં આયતાકાર હતો અને તેની કિનારીઓની લંબાઈ dx, dy, dz હતી. વિકૃતિ પછી કિનારીઓની લંબાઈઓને dx + Δdx, dy, + Δdy, dz + Δdz તરીકે દર્શાવી શકાય છે; અનુપાતો εx = Δdx|dx, εy =Δdy|dy, εz = Δdz|dz ને વિસ્તરણો કહેવામાં આવે છે. આ પરિમાણવિહિન રાશિઓ છે અને બાંધકામમાં આવતાં બધા સામગ્રી માટે 1ની સરખામણીએ નાની હોય છે. કિનારીઓના લંબાવા ઉપરાંત, મૂળભૂત ઘન dx * dy * dz તેની બાજુઓ વચ્ચેના મૂળભૂત સમકોણોમાં ફેરફાર પણ અનુભવી શકે છે.

ચિત્ર 2. ઘટક વિકૃતિ

માનીએ કે વિકૃતિ પછી OC કિનારી સાથે મળતી સપાટીઓ વચ્ચેનો કોણ બરાબર છે અને એ જ રીતે AO કિનારી સાથેના સમકોણના ઘટાડો γyz બરાબર છે, તેમજ OB કિનારી સાથેનો ઘટાડો γzx બરાબર છે. કોણના આ ત્રણ ફેરફારો γxy, γyz, γzx ને સ્લાઇડિંગ કહેવામાં આવે છે અને તેઓ પણ હંમેશા 1ની સરખામણીમાં નાના હોય છે. છ ઘટક ε અને γ સાથે “નાની વિકૃતિ” કહેવાતી મૂળભૂત ઘનપ્રિઝમની વિકૃતિ સંપૂર્ણ રીતે નિર્ધારિત થાય છે. આયતન તત્વ d_V = dx * dy * dz_ નો ફેરફાર ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, છે, જ્યાં વિકૃતિના ગુણાકારોને ઉચ્ચ ક્રમના નાના પરિમાણ તરીકે અવગણતા ઘનાત્મક વિકૃતિ ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2) મળે છે

સ્થાનાંતરણો

ઘન પદાર્થની વિકૃતિને સંપૂર્ણ રીતે આ રીતે પણ વર્ણવી શકાય છે કે તેની દરેક બિંદુ માટે તે બિંદુએ અનુભવેલું વિસ્થાપન આપવામાં આવે. જો અવલોકનમાંથી અંતિમ પરિમાણના, કઠોર પદાર્થના વિસ્થાપનને અનુરૂપ, વિસ્થાપનોને દૂર કરવામાં આવે, એટલે કે જો જરૂરી હોય તો ગણતરીમાં ખસેડી શકાય તેવી નિર્દેશાંક પ્રણાલી સ્વીકારવામાં આવે, તો ઘટક વિસ્થાપનો μ, ν, ω હંમેશાં નાના પરિમાણના હોય છે, અને નિર્દેશાંકો પ્રમાણે તેમના અવકલનો 1ની સરખામણીએ નાના હોય છે. આ ધારણા હેઠળ, આકૃતિ 3 મુજબ, રેખીય તત્વ OA = dx ની લંબાઈ વિકૃતિ પછી

અ 따라서  (3)

એ જ રીતે આકૃતિ 3 પરથી દેખાય છે કે સરકાણું γxy γ1 + γ2: અને પણ

 (4)

ચિત્ર 3 સરકણું

(5)  (6)

આ સંબંધોને સુસંગતતા શરતો કહેવામાં આવે છે અને તે દર્શાવે છે કે વિકૃત તત્વો موزેકની જેમ એવી રીતે ગોઠવી શકાય કે જગ્યા સતત રીતે ભરાય, જે તત્વોના વિકૃતિઓ મનસ્વી હોય તો શક્ય નથી. સુસંગતતા શરતો ભિન્ન સમીકરણો છે, તેથી, સ્વાભાવિક રીતે, દરેક અલગ ક્વાડ્ર માટેના છેય ઘટક વિકૃતિઓ પરસ્પર સ્વતંત્ર હોય છે, પરંતુ કોઈપણ સીમિત વિસ્તૃત ક્ષેત્રમાં તેમનો વિતરણ (5) અને (6)ની શરતો સાથે બંધાયેલો રહે છે.

કારણ કે આ શરતો સમીકરણો (3) અને (4)માંથી અવકલન કરીને મેળવવામાં આવી છે, તેમનાં વ્યૂત્પન્ન કરતી વખતે મૂળ સમીકરણોમાં રહેલા સંબંધોનો એક ભાગ ગુમાઈ જાય છે. તેથી deformability ની સુસંગતતા સુનિશ્ચિત કરવી હોય તો માત્ર આ બે સમીકરણ-પ્રણાલીઓમાંથી એક પૂરતી નથી, પરંતુ બંને સમીકરણ-પ્રણાલીઓ પૂર્ણ થવી આવશ્યક છે.

લવચીકતા પ્રણાલીની ડિફરેનશિયલ સમીકરણો

સ્થિતિસ્થાપક દેહોમાં તાણ અને વિકૃતિઓની ગણતરી માટે નીચેના સમીકરણો વપરાય છે:

આયતન તત્વ માટે સંતુલન શરતો. ત્રણેય અક્ષોની આસપાસના આઘાતબળો શૂન્ય હોવાની શરતોનો ઉપયોગ પહેલેથી જ સમીકરણ (1) ની રચનામાં કરવામાં આવ્યો છે. બળોના સંતુલનની શરતો આકૃતિ 4 મુજબ આપે છે

આકૃતિ 4

(7a-c)

જો X, Y, Z દ્વારા એકમ આયતન દીઠ દેહબળોની ઘટકો (જેમ કે વજન, કેન્દ્રાતિ બળ) દર્શાવવામાં આવે. તાણ અને વિકૃતિ વચ્ચેના સંબંધો. આથી ઘટક તાણો અને ઘટક વિકૃતિઓ વચ્ચેના સંબંધનો અર્થ થાય છે. લવચીકતા સિદ્ધાંતમાં નિયમ મુજબ માત્ર રેખીય સંબંધ ધ્યાનમાં લેવાય છે, જે હૂકના નિયમ દ્વારા વ્યક્ત થાય છે:

(8a-c)

(8d-f)

જો સમીકરણો (8a-c)ને તાણો મુજબ ઉકેલવામાં આવે, તો મળે છે

(8 a)

અને તેની બે અનુરૂપ સમીકરણો. Hooke-નો નિયમ સમીકરણ (8) દ્વારા વ્યક્ત થાય છે, તે કોઈ કડક રીતે પૂર્ણ થતો પ્રાકૃતિક નિયમ નથી, પરંતુ વાસ્તવિક વર્તનની આદર્શીકરણ છે, જે સામગ્રી અને તણાવના પરિમાણ અનુસાર વધુ કે ઓછું તેનાથી ભિન્ન પડે છે. કારણ કે તણાવ અને વિકૃતિ વચ્ચે જટિલ, અરેખીય સંબંધો ધરાવતા સામગ્રી-પ્રતિરોધના પ્રશ્નોની ગણિતીય પ્રક્રિયા અત્યંત વધુ મુશ્કેલીઓ ઊભી કરે છે અને વાસ્તવમાં માત્ર સૌથી સરળ કેસોમાં જ કરી શકાય છે, તેથી એવી સામગ્રી (કૉંક્રીટ!) માટે પણ, જેના વર્તન Hooke-ના નિયમથી નોંધપાત્ર રીતે ભિન્ન છે, તેના આધારે કરાયેલા ગણિતો પ્રથમ, અને મોટાભાગે એકમાત્ર અંદાજિત ઉકેલ તરીકે ઉપયોગમાં લેવા પડે છે, જે તદુપરાંત સામાન્ય રીતે બહુ ઉપયોગી પણ હોય છે અને માત્ર ગુણાત્મક કરતાં વધુ સમજ પૂરી પાડે છે. G = E|2 (1+μ).

તે તાણ અને વિકૃતિ વચ્ચેના સંબંધ (8), તાણો માટેની રૂપાંતરણ સમીકરણો (16) તથા ઘટક વિકૃતિઓ માટેના સંબંધિત સમીકરણ-પ્રણાલીમાંથી અનિવાર્ય રીતે આવે છે. E અને G ને તાણની પરિમાણી હોય છે અને તમામ નિર્માણ સામગ્રીમાં તે ઉપસ્થિત થઈ શકે એવા તાણો σ અને τની સરખામણીએ મોટા છે. આ તથ્ય પર સ્થિત એ ધારણા, જે સ્થિતિસ્થાપકતાના સિદ્ધાંતમાં સર્વત્ર સ્વીકારવામાં આવે છે, કે વિકૃતિઓ નાની હોય છે. આડવી વિસ્તરણનો ગુણાંક (પોઈસનનો આંક) μ પરિમાણરહિત છે અને હંમેશાં 0 અને 1/2 વચ્ચે રહે છે.

ઘટક વિકૃતિઓ અને સ્થળાંતર વચ્ચેના સંબંધો. આ સંબંધો સમીકરણો (3), (4) દ્વારા આપેલા છે. તેમનો સ્વરૂપ માત્ર ભૂમિતિગત છે. આ ત્રણ પ્રણાલીઓ મળીને 3+6+6=15 સમીકરણો આપે છે 15 અજ્ઞાતો માટે, એટલે કે 6 ઘટક તાણો, 6 ઘટક વિકૃતિઓ અને 3 ઘટક સ્થળાંતરો માટે. તેથી આ અજ્ઞાતો નક્કી કરવા માટે તે પૂરતાં છે. આવા વિશાળ ભિન્ન સમીકરણોની પ્રણાલીનું ગણિતીય નિરાકરણ, સ્વાભાવિક છે કે, માત્ર વિશેષ કિસ્સાઓમાં શક્ય છે. જો સમીકરણ (8)માં ઘટક વિકૃતિઓને સમીકરણો (3) અને (4) મુજબ ઘટક સ્થળાંતરોથી બદલી અને પછી સામાન્ય તાણો σ તથા કાતર તાણો τ ને, સમીકરણો (8 d - f) મુજબ, સમતુલ્યતાની શરતોમાં, સમીકરણ (7), દાખલ કરવામાં આવે, તો જે ભિન્ન સમીકરણો મળે છે તેમને સ્થિતિસ્થાપકતા સિદ્ધાંતના મૂળભૂત સમીકરણો કહેવામાં આવે છે.

(9)

જ્યાં  દ્વારા Laplace ઓપરેટર દર્શાવવામાં આવ્યો છે. (2) ધ્યાનમાં લેતાં, આ ત્રણ ઘટક સ્થળાંતર μ, ν, ω સાથેની ત્રણ ડિફરેનશિયલ સમીકરણો છે; આમાંથી આગળ, (3), (4) અને (8)ના આધારે અવકલન કરીને તમામ ઘટક તાણો અને વિકૃતિઓ મેળવી શકાય છે. સમીકરણો (9) વિશેષ પરિસ્થિતિઓના અભ્યાસ માટે ઘણી વાર અનુકૂળ પ્રારંભબિંદુ રજૂ કરે છે.

વિકૃતિ કાર્ય

પરિભાષા

જ્યારે બીમ પર ભાર મૂકવામાં આવે છે, ત્યારે બાહ્ય બળોના લાગુ પડતા બિંદુઓ પર સ્થિતિસ્થાપક વિસ્થાપનો થાય છે અને તે દરમિયાન બળો ચોક્કસ કાર્ય કરે છે. આ રીતે આપેલી ઊર્જા વિવિધ સ્વરૂપોમાં રૂપાંતરિત થઈ શકે છે. જો ભાર અચાનક મૂકવામાં આવે, જેથી વિકૃતિની પ્રક્રિયા નોંધપાત્ર ઝડપથી થાય, તો આ ઊર્જાનો એક ભાગ ગતિજ ઊર્જામાં પરિવર્તિત થાય છે, જે સમય સાથે વિખેરાઈ જાય છે, είτε તેને ભૂમિમાં સ્થિતિસ્થાપક તરંગરૂપે પ્રસારી દેવામાં આવે છે જે અનંતમાં લુપ્ત થઈ જાય છે, είτε આંતરિક ઘર્ષણ દ્વારા તાપમાં રૂપાંતરિત થાય છે. જો ભાર એટલો ધીમે મૂકવામાં આવે કે ગતિજ ઊર્જામાં કોઈ નોંધપાત્ર વધારો ન થાય, એટલે કે શૂન્યથી શરૂ થતા અને ક્રમશઃ વધતા ભારો આંતરિક બળો સાથે સતત સમતોલમાં રહે, તો ઊર્જા સ્પષ્ટપણે ફક્ત દેહને વિકૃત કરવા પર જ વપરાય છે અને ત્યારે તેને વિકૃતિ કાર્ય કહેવામાં આવે છે.

વિકૃતિ કાર્યની ગણતરી અમે પહેલાં એક દિશામાં તાણ ભાર ધરાવતા નાના ભાગ પર દર્શાવીશું (આકૃતિ 5).

ચાલો માનીએ કે વર્તમાન તણાવ σ અને અનુરૂપ વિસ્ફાર ε માં અનુક્રમે dσ અને dε જેટલા વધારો થાય. ત્યારે માર્ગ dε * dl પર બળ σdF કાર્ય કરીને σdF * dεdl = σdεdV જેટલું કાર્ય કરશે, જો dV દ્વારા તુકડાના ઘનફળને દર્શાવીએ. જો તણાવ શૂન્યથી તેની અંતિમ કિંમત સુધી વધે અને તે અનુસાર વિસ્ફાર 0 થી ε સુધી જાય, તો પ્રતિ એકમ ઘનફળ પર કુલ કરવામાં આવેલ કાર્ય થશે:

એ જ રીતે, કાપણી તણાવ τ (આકૃતિ 6)થી લોડ થયેલ તત્વ માટે આયતનની એકમ દીઠ વિકૃતિ કાર્ય (વિશિષ્ટ વિકૃતિ કાર્ય, સ્થિતિસ્થાપક સંભાવના):

જેમા માત્ર ચાર બળોમાંથી એક τ * dF કાર્ય કરે છે.

સામાન્ય સ્થિતિમાં, જ્યારે મૂળભૂત તત્વ પર તમામ છ ઘટક તાણો કાર્ય કરે છે, ત્યારે જુદા જુદા ઘટક તાણોના કાર્યના સરવાળાથી વિશિષ્ટ વિકૃતિ-કાર્ય પ્રાપ્ત થાય છે:

(10)

આ સમીકરણોની દરેકની ઉપરની સીમા પ્રમાણે અવકલન કરીને, સૌથી સામાન્ય કિસ્સામાં માન્ય સંબંધો પ્રાપ્ત થાય છે:

(11)

અને અન્ય ઘટક વિકૃતિઓ માટે પણ આવું જ. જો દેહ સ્થિતિસ્થાપક હોય, તો દરેક નિશ્ચિત તાણસ્થિતિને હંમેશાં એકસરખી વિકૃતિસ્થિતિ અનુરૂપ હોય છે, ભલે તે ભારણ દરમિયાન પ્રાપ્ત થઈ હોય કે ભારણમુક્તિ દરમિયાન. ત્યારે સમાકલનો હેઠળ એકમૂલ્ય ફંક્શનો આવે છે અને ભારણ તેમજ પછી સંપૂર્ણ ભારણમુક્તિ દરમિયાન વપરાયેલી કુલ ઊર્જા a = 0 થાય છે, કારણ કે આ સ્થિતિમાં સમાકલની ઉપરની સીમાઓ શૂન્ય બની જાય છે. તેથી ભારણ વખતે દેહને અપાયેલ કુલ ઊર્જા ભારણમુક્તિ દરમિયાન પાછી મળે છે.

ચિત્ર 6

ચિત્ર 7

અપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક દેહ માટે, સમગ્ર ભારણ અને ભારઉતરાણ ચક્ર દરમિયાન તણાવ અને વિકૃતિ વચ્ચેનો સંબંધ લગભગ આકૃતિ 7 માં O A B રેખાઓથી દર્શાવ્યા મુજબ હોય છે. ભાર મૂકતી વખતે પૂરી પાડવામાં આવેલી ઊર્જા OAA ક્ષેત્રફળ જેટલી હોય છે, અને ભારઉતરાણ વખતે પાછી મળતી ઊર્જા ABA ક્ષેત્રફળ જેટલી હોય છે, તેથી છાયાંકિત ક્ષેત્રફળને અનુરૂપ કાર્ય નષ્ટ થાય છે (તાપમાં રૂપાંતરિત થાય છે). જો દોલનાત્મક પ્રક્રિયામાં તણાવ આવર્તક રીતે ધન સીમા મૂલ્ય અને ઋણ સીમા મૂલ્ય વચ્ચે બદલાતો રહે, તો અસ્થિતિસ્થાપક વિકૃતિ આકૃતિ 7 માં તૂટક રેખાઓથી દર્શાવ્યા મુજબ આગળ વધે છે અને દોલનની દરેક અવધિ દરમિયાન પ્રતિ એકમ ઘનફળે DABCD ઊર્જા તાપમાં ફેરવાય છે. વિકૃતિ દરમિયાન આવું વર્તન, જેમાં વિકૃતિ તણાવની પાછળ રહે છે, તેને સ્થિતિસ્થાપક હિસ્ટેરેસિસ કહેવામાં આવે છે, અને વક્ર DABCD ને હિસ્ટેરેસિસ લૂપ કહેવામાં આવે છે.

વિકૃતિ કાર્ય અને હૂકનો કાયદો

જો સમીકરણ (10)ના ઇન્ટેગ્રલોમાં Hooke-નો નિયમ દાખલ કરવામાં આવે, તો સમાકલન કરી શકાય છે, અને વિશિષ્ટ વિકૃતિ કાર્ય માટે નીચેના અભિવ્યક્તિઓ મળે છે:

(12a)

(12b)

(12c)

જો આ સ્વરૂપોમાંનું બીજું સમીકરણ (11) માં મૂકવામાં આવે, તો ફરીથી Hooke નો નિયમ, સમીકરણો (8), દબાણોના દૃષ્ટિકોણે ઉકેલાયેલા સ્વરૂપમાં પ્રાપ્ત થાય છે. આ નિવેદન કે વિકૃતિ કાર્ય ઘટક વિકૃતિઓ પર આધાર રાખે છે, જેમ કે સમીકરણ (12b) દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યું છે, તેથી Hooke ના નિયમના સમકક્ષ છે. જ્યારે સમીકરણ (12c) ને દબાણોના દૃષ્ટિકોણે અવકલિત કરવામાં આવે છે, ત્યારે મળે છે

(13)

આ સ્વરૂપો, સ્વરૂપો (11)થી ભિન્ન, ફક્ત તે જ દેહો માટે માન્ય છે જે Hookeના નિયમ અનુસાર વર્તે છે અને જ્યારે તણાવો અને વિકૃતિઓ વચ્ચેનો સંબંધ અલગ હોય ત્યારે લાગુ કરી શકાતા નથી. સ્વાભાવિક છે કે સમીકરણો (13)ની જમણી બાજુએ ફક્ત તણાવોથી ઉત્પન્ન થયેલી ઘટક વિકૃતિઓ જ હોય છે, અને તાપમાનમાં ફેરફાર, ક્રિપ, સોજો, પુનઃસ્ફટીકરણ વગેરેના કારણે શક્ય થયેલી બાકીની બધી વિકૃતિઓ બહાર રાખવામાં આવે છે.

એલાસ્ટિસિટી સિદ્ધાંતમાં સમાકલનીય સિદ્ધાંતો

વર્ચ્યુઅલ સ્થળાંતર. સંભાવિત ઊર્જાના ન્યૂનતમનો સિદ્ધાંત

જેમ Hookeનો નિયમ, સમીકરણો (8) એક જ સમીકરણ (12b) દ્વારા બદલી શકાય છે, તેમ સંતુલનની શરતોને બદલે વર્ચ્યુઅલ વિસ્થાપનોના સિદ્ધાંતને પણ સામાન્ય રીતે લાગુ પડતા યાંત્રિકશાસ્ત્રના મૂળ નિયમ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. આ નિયમ કહે છે કે સંતુલન અવસ્થાઓની વિશેષતા એ છે કે તેમાં વિકૃતિની અવસ્થામાં નાના ફેરફાર સમયે તમામ બળો દ્વારા કરવામાં આવેલ કુલ કાર્ય શૂન્ય સમાન હોય છે. જો સ્થિતિસ્થાપક વિસ્થાપનોમાં નાના ફેરફારોને δμ δν, δω તરીકે દર્શાવીએ, તો સમીકરણ (7) દ્વારા નિર્ધારિત દેહબળો વર્ચ્યુઅલ કાર્ય કરે છે

અને સપાટી બળો px, py, pz જે શરીરની બાહ્ય સપાટી ના dF તત્વ પર કાર્ય કરે છે તે કામ 

જ્યારે ત્રિગુણ સમાકલ સમગ્ર આયતન પર લાગુ પડે છે, અને દ્વિગુણ સમાકલ પદાર્થની સમગ્ર બાહ્ય સપાટી પર. આંતરિક બળો દ્વારા કરવામાં આવેલા કાર્યની ગણતરી માટે સમીકરણ (12b) વપરાય છે, તેથી આયતન એકમ દીઠ કાર્ય માટે મળે છે

વર્ચ્યુઅલ વિસ્થાપનોનો સિદ્ધાંત તેના આધાર પર આપે છે

(14)

જો ભાર X, Y, Z px, py., pz ને ગુરુત્વાકર્ષણ બળના ઘટકો તરીકે માનીએ (સ્વવજન અને બાહ્ય ભાર), તો જમણી બાજુના ઇન્ટિગ્રલો આ ભારોએ ગુમાવેલી સંભવિત ઊર્જાનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, જ્યારે ડાબી બાજુ શરીરની સંભવિત (લવચીક) ઊર્જામાં થયેલ વધારો દર્શાવે છે, જેથી આ સિદ્ધાંત જણાવે છે કે સમતોલની સ્થિતિમાં આધારક અને તેના પર મૂકાયેલા ભારોની કુલ સંભવિત ઊર્જા ચરમ મૂલ્ય ધરાવે છે. જો આ ચરમ મૂલ્ય લઘુત્તમ હોય, તો સમતોલ સ્થિર હોય છે.

સંભવિત ઊર્જાના ન્યૂનતમના સિદ્ધાંતને સમીકરણ (14) દ્વારા વ્યક્ત કરાયો છે, વિકૃતિ કાર્ય માટેનું વાક્ય (12b), તથા વિકૃતિઓની સુસંગતતાની શરતો (5), (6) સમીકરણોની એવી પ્રણાલી રચે છે જે સ્થિતિસ્થાપકતા સિદ્ધાંતની રચના માટે પૂરતી છે, અને મૂળભૂત રીતે સમીકરણોની પ્રણાલી સાથે સમકક્ષ છે. આ પ્રણાલી ખાસ કરીને ત્યારે ઉપયોગી થઈ શકે છે જ્યારે ડિફરેનશિયલ, સમીકરણો (9) સંતોષવામાં ગણતરીની મુશ્કેલીઓ આવે અને તેથી અંદાજિત ઉકેલ શોધવો પડે, ઉદાહરણ તરીકે, સ્થળાંતરો માટે અગાઉથી અનુકૂળ સ્વરૂપ ધારણ કરવામાં આવે જેમાં થોડાં મુક્ત સ્થિરાંકો હોય અને પછી સમીકરણ (14) સંતોષાય તેવી શરત પરથી તે નક્કી કરવામાં આવે. આમ, સમસ્યાનો કડક ઉકેલ તો મળતો નથી, પરંતુ પસંદ કરેલા ઉકેલ સ્વરૂપથી મેળવી શકાય તેવી શ્રેષ્ઠ અનુમાનિત નજીકતા જ મળે છે. આ નજીકતા પૂરતી છે કે નહીં, તે મુખ્યત્વે સ્વીકારેલા ઉકેલના સ્વરૂપ પર આધાર રાખે છે, અને આ પદ્ધતિનો સફળ ઉપયોગ તેથી કુશળતા અને અનુભવ માગે છે.

કાસ્ટિગ્લિયાનોનું સિદ્ધાંત

જ્યારે લઘુત્તમ સંભવિત ઊર્જાના સિદ્ધાંતમાં વિકૃતિની સુસંગતતા શરતો પૂર્ણ કરતી તમામ વિકૃતિ અવસ્થાઓની તુલના કરવામાં આવે છે અને તેમની વચ્ચે તે અલગ કરવામાં આવે છે કે જેમા અનુરૂપ તાણો સમતુલા શરતો પૂર્ણ કરે છે, ત્યારે કાસ્ટિલિયાનોના સિદ્ધાંતમાં સમતુલા શરતો પૂર્ણ કરતી તમામ તાણ અવસ્થાઓની તુલના કરવામાં આવે છે અને તેમની વચ્ચે તે અલગ કરવામાં આવે છે કે જેમા અનુરૂપ વિકૃતિઓ વિકૃતિની સુસંગતતા શરતો પૂર્ણ કરે છે. આ સિદ્ધાંત કહે છે: શક્ય તમામ સમતુલા અવસ્થાઓમાંથી વાસ્તવમાં તે જ અવસ્થા થાય છે, જેને અનુરૂપ સૌથી નાનું વિકૃતિ કાર્ય હોય. કાસ્ટિલિયાનોનો સિદ્ધાંત, વિકૃતિ કાર્ય માટેની સમીકરણ (12c) અને સમતુલા શરતો સાથે મળીને, સમીકરણોની એવી પ્રણાલી રચે છે જે સામગ્રીની પ્રતિકાર ક્ષમતા નિર્માણ કરવા માટે પૂરતી છે. આ સિદ્ધાંતમાં હૂકનો નિયમ સમાવાયેલ હોવાથી, તેની લાગુ પડવાની શક્યતા એ ધારણા સાથે જોડાયેલી છે કે વિકૃતિઓને આ નિયમ દ્વારા સંપૂર્ણપણે વર્ણવી શકાય. આ માટે માત્ર સામગ્રીનું રેખીય સ્થિતિસ્થાપક વર્તન જ નહીં, પરંતુ તાપમાનમાં ફેરફાર પણ બહાર રાખવામાં આવે છે.

સ્થિતિસ્થાપકતાની સીમાઓથી ઉપર સામગ્રીનું વર્તન

સ્થિર ભારણ હેઠળની ઘટનાઓ

તણાવના પ્રભાવ હેઠળ સામગ્રીનું વિરૂપાંકન અત્યંત જટિલ ઘટના છે, તેથી તેને સમજવા માટે તેને વિવિધ દિશાઓમાં સરળ બનાવવું પડે છે. આવા સરળિકરણોમાંનું એક એ અનુમાન છે કે ભાર ધીમે ધીમે મૂકવામાં આવે છે, જેમ કે, ઉદાહરણ તરીકે, ખેંચાણ અને દબાણના પરીક્ષણ વખતે નમૂનાઓ સાથે કરવામાં આવે છે.

જો ખેંચાણ હેઠળ મૂકાયેલા સ્ટીલના સળિયાને ધીમે ધીમે વધતા ભારને આધીન કરી તેના લંબાણ εને માપવામાં આવે, તો ચિત્ર 8માં દર્શાવેલો આલેખ મળે છે. શરૂઆતમાં લંબાણ ખૂબ નાનું હોય છે અને તાણના પ્રમાણમાં હોય છે, જેમ હૂકના નિયમ મુજબ હોવું જોઈએ. એક નિશ્ચિત તાણથી આગળ પ્રમાણાનુપાત સમાપ્ત થાય છે અને લંબાણ વધુ ઝડપથી વધે છે. આ પ્રમાણાનુપાતની સીમાનું ચોક્કસ સ્થાન નક્કી કરવું મુશ્કેલ છે. માપ જેટલું વધુ ચોક્કસ, તેટલું તે નીચું મળે છે. મોટા ભાગના પદાર્થો માટે તે σ = 0 પર હોય છે, અને હૂકનો નિયમ ત્યારે માત્ર લવચીક વર્તનની પ્રથમ નજીકવણી, એટલે કે ε = ε (σ) કાર્યોના ટેલર શ્રેણી વિકાસનો પ્રથમ પદ, ગણાય છે, જે કોઓર્ડિનેટ મૂળની આસપાસ છે.

જો દંડને ભારમુક્ત કરવામાં આવે, તો જો તાણ બહુ મોટો ન હતો, તો હૂકના નિયમ મુજબ વિકૃતિ પણ અદૃશ્ય થઈ જાય છે તે જોવા મળે છે. પરંતુ જો સમપ્રમાણ મર્યાદા નજીક આવેલા નિશ્ચિત તાણને વટાવી દેવામાં આવે, જેને લવચીકતાની મર્યાદા કહે છે, તો કુલ વિકૃતિ લવચીક (પાછી ફરતી) અને અલવચીક (કાયમી) ભાગથી બનેલી હોય છે. લવચીકતાની મર્યાદા પણ ચોક્કસ રીતે નક્કી કરી શકાતી નથી; માપની ચોકસાઈ જેટલી વધારે હોય, તે તેટલી નીચે મળે છે. જોકે તેનો મોટો તકનીકી મહત્ત્વ છે, કારણ કે તે સામગ્રી પ્રતિકારના લગભગ તમામ ગણિતોમાં મહત્વની મર્યાદા દર્શાવે છે અને એ જ સમયે પ્રથમ કાયમી નુકસાન થવાની મર્યાદા પણ છે, તેથી નમૂનાઓની તપાસ માટે તેને સ્વીકારેલી કોઈ સંમતિ દ્વારા કડક રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, અને, ઉદાહરણ તરીકે, 0.2% મર્યાદા તરીકે તે તાણ દર્શાવવામાં આવે છે જેમાં કાયમી વિસ્થરણ 0.2% સુધી પહોંચે છે.

લવચીકતા સીમા ઓળંગતાં જ વિકૃતિ અચાનક વધે છે અને તેને નગ્ન આંખે જોઈ શકાય છે; લગભગ સ્થિર તાણ હેઠળ દંડ સતત લંબાતો જાય છે. આ તાણને ઉપજ સીમા કહેવામાં આવે છે. સામગ્રીની પરીક્ષણ માટેની હાઇડ્રોલિક મશીનોમાં, ઉપજ શરૂ થયા પછી તાણમાં વધુ કે ઓછી સ્પષ્ટ ઘટાડો પણ જોવા મળે છે; જેમ કે આકૃતિ 8 માં તૂટક વક્રરેખા દ્વારા દર્શાવ્યું છે; ત્યારે મહત્તમને ઉપરની ઉપજ સીમા કહેવામાં આવે છે, અને ત્યારબાદ આવતો સ્થિર ઉપજ તાણ નીચેની ઉપજ સીમા કહેવાય છે.

જ્યારે એક નિશ્ચિત દીર્ઘીકરણ પ્રાપ્ત થાય છે, જે લગભગ સંપૂર્ણપણે અસ્થિતિસ્થાપક હોય છે, ત્યારે તાણ ફરીથી વધવા લાગે છે, અને સામગ્રી મજબૂત બને છે. લોડિંગના આ ક્ષેત્રમાં દંડાના આડાં અનુપ્રસ્થીમાં નોંધપાત્ર ઘટાડો (અસ્થિતિસ્થાપક) બાજુ સંકોચનના કારણે થાય છે, અને તણાવ તથા વિકૃતિ આલેખનો આગળનો પ્રવાહ મુખ્યત્વે એ પર આધાર રાખે છે કે તાણ σ ની ગણતરી કરતી વખતે દંડા પર લાગતું ખેંચાણ બળ P પ્રારંભિક અનુપ્રસ્થી F0 થી વહેંચવામાં આવે છે કે વર્તમાન અનુપ્રસ્થી F થી. તકનીકી હેતુઓ માટે રસપ્રદ તાણ P|F0 છે. આ તાણ એક મહત્તમ સુધી પહોંચે છે, જેને સામગ્રીની મજબૂતાઈ કહેવામાં આવે છે, અને જ્યારે આ મહત્તમ પસાર થાય છે ત્યારે દંડો એક જગ્યાએ ખૂબ સંકુચિત થઈને તૂટી જાય છે. “વાસ્તવિક તાણ” P|F તૂટ્યા સુધી વધતો જાય છે.

આકૃતિ 8.

અન્ય ધાતુઓનું વર્તન અહીં વર્ણવેલા કરતાં ઘણાં અંશે જુદું હોય છે. પ્રવાહિતા ઘણીવાર સ્પષ્ટ નથી હોતી, અને લવચીકતાની સીમા વટાવતાં તરત જ કઠિણતા શરૂ થઈ જાય છે. ભંગુર પદાર્થોમાં (પથ્થર, કાચ, કોંક્રિટ) અલવચીક વિકૃતિઓ સામાન્ય રીતે બહુ નાની હોય છે અને થોડા જ વિસ્થાપન સાથે ભંગ થાય છે. ભંગ સુધી પદાર્થ જે કુલ વિસ્થાપન સહન કરે છે તે પદાર્થની લંબાણક્ષમતાનું માપ છે (ઉલ્ટું: ભંગુરતા) અને સ્ટીલ માટે તે તકનિકી શરતોમાં ચોક્કસ નિર્ધારિત હોય છે. જોકે, ભંગ પહેલાં અંતિમ વિકૃતિ આસપાસના સાંકડા વિભાગના સ્થળોએ કેન્દ્રિત થતી હોવાથી, ભંગ વખતે વિસ્થાપનની અલગ કિંમત મળે છે, એના આધારે કે માપની લંબાઈ તરીકે દંડનો મોટો કે નાનો ભાગ લેવામાં આવે છે; તેથી એકરূপ અને પરસ્પર સરખાવી શકાય એવા પરિણામો મેળવવા માટે અગાઉથી કોઈ ચોક્કસ પરંપરા સ્વીકારવી પડે છે. ભંગ સમયે વિસ્થાપન સામાન્ય રીતે આ રીતે માપવામાં આવે છે કે વ્યાસ d ધરાવતી ગોળ દંડ પર પરીક્ષણ પહેલાં માપની લંબાઈ Ι = 10 d નિશ્ચિત કરવામાં આવે છે અને તેના લંબાણ ΔΙ પરથી ભંગ સમયે વિસ્થાપન εs_Ι = ΔΙ|Ι ગણવામાં આવે છે._ જો જુદા વિભાગવાળી દંડીઓનું પરીક્ષણ કરવું હોય, તો માપની લંબાઈ ગોળ નળાકાર દંડના વ્યાસ અનુસાર નક્કી કરવામાં આવે છે, જેનું આડછેદ ક્ષેત્રફળ સમાન હોય.

લાંબા ગાળાનો ભાર

તાણ પરીક્ષણની પ્રક્રિયામાં આ વાત બહુ ફરક પડતી નથી કે તૂટ્યા સુધીનો ભાર 10 m મિનિટમાં વધે કે કેટલાક કલાકોમાં. જોકે, જો ભાર વર્ષો કે દાયકાઓ સુધી લાગુ રહે, તો કેટલીક પરિસ્થિતિઓમાં જોવા મળે છે કે પ્રવાહ મર્યાદા નીચે પણ સ્થિર તણાવ હેઠળ વિકૃતિ સમય જતાં ધીમે ધીમે વધે છે. આ દરમિયાન લવચીક ભાગ, એટલે કે અંતિમ મુક્તિ વખતે અદૃશ્ય થઈ જતો ભાગ, નોંધપાત્ર રીતે બદલાતો નથી. લાંબા સમયગાળા દરમ્યાન થતી આ અણલવચીક વિકૃતિના વધારાને ક્રિપ કહેવામાં આવે છે. ધાતુઓમાં, સીસા સિવાય, ક્રિપનું મહત્વ માત્ર ઊંચા તાપમાને છે; પરંતુ નિર્માણ ઈજનેર માટે તેનો મહત્વ કૉંક્રીટમાં છે, જે દબાણ હેઠળ ધીમે ધીમે ઢળી પડે છે, જેથી દબાયેલ રીઇન્ફોર્સમેન્ટમાં તણાવ વધે છે, જો તે હાજર હોય તો.

ચલિત ભાર

તાણ પરીક્ષણ દરમિયાન પ્રાપ્ત થયેલ સામગ્રીના યાંત્રિક ગુણધર્મોને બંધારણોની અનુમોદિત ભારવહન ક્ષમતાના માપદંડ તરીકે વાપરવા માટે શરત એ છે કે સામગ્રી દરેક પુનઃભારણમાં એવો તણાવ સહન કરી શકે જે તે એક વખત કોઈ નુકસાન વિના સહન કરી ચૂકેલી હોય. આ શરત પૂરી થતી નથી જો સામગ્રીને ભાર અને નિવૃત્તિની વારંવાર પુનરાવૃત્તિનો સામનો કરવો પડે, જેમ કે અપૂર્ણ રીતે સંતુલિત મશીનોની જડત્વીય શક્તિઓથી ભારિત બીમોના કિસ્સામાં થાય છે. પૂરતી વારંવાર ભાર પુનરાવૃત્તિ થવાથી, રચનાત્મક ભાગ એવો તણાવ સહન કરતી સ્થિતિમાં પણ તૂટી શકે છે જે સામાન્ય સ્થિર પરીક્ષણથી નક્કી કરેલી સામગ્રીની શક્તિથી ઘણો નીચે હોય. આ પ્રકારની નિષ્ફળતાને થાકથી થતી નિષ્ફળતા કહેવામાં આવે છે. સામગ્રી સહન કરી શકે તેવી ભારચક્રોની સંખ્યા n તણાવ σની માત્રા પર આધારિત છે, એટલે કે તણાવ ઓછો હોય તેટલી સંખ્યા વધુ હોય છે. આ સંબંધનું એક સામાન્ય ઉદાહરણ આકૃતિ 9માં દર્શાવાયું છે, જેમાંથી જોવા મળે છે કે સામગ્રીની શક્તિ માટે નીચલી મર્યાદા હોય છે, જેને તે સ્વૈચ્છિક રીતે મોટી સંખ્યાના ભારચક્રો હેઠળ પણ સહન કરે છે અને જેને સામગ્રીની ગતિશીલ શક્તિ કહેવામાં આવે છે. આ પ્રકારનાં આલેખો (આકૃતિ9) Wӧhler વક્રો તરીકે ઓળખાય છે.

ચિત્ર 9.

રચનાઓની સુરક્ષા

માળખાં માટે બે સીમિત ભાર મહત્વના છે: તે ભાર, જેમાં પ્રથમ સ્થાયી નુકસાન થાય છે (પ્રવાહ સીમા), અને તે ભાર, જેમાં માળખાની ધારણ ક્ષમતા પૂરી થઈ જાય છે અને તે તૂટે છે (વિભંગ સીમા). કારણ કે પ્રવાહ સીમા પહેલાં ઓછામાં ઓછું અંદાજે તો સામગ્રીના પ્રતિકારના અનુમાન (નાનું સ્થાનાંતરણ, Hooke નો નિયમ) માન્ય રહે છે, સ્થાયી વિકૃતિઓ સામેની સુરક્ષા તે તમામ પરિસ્થિતિઓમાં વિશ્વસનીય રીતે આંકી શકાય છે જ્યાં ગણિતીય મુશ્કેલીઓ પાર કરવી શક્ય બને. જો તણાવ ભાર સાથે અનુપાતમાં હોય, તો પ્રવાહ તણાવ અને માળખામાં દેખાતા મહત્તમ તણાવનો અનુપાત, પ્રવાહ ઉત્પન્ન કરનાર ભાર અને વાસ્તવિક ભારના અનુપાત જેટલો જ હોય છે અને પ્રવાહ સામેની સલામતીનો ગુણાંક રજૂ કરે છે. તેમ છતાં, અનેક પરિસ્થિતિઓમાં આ સરળ સંબંધ હાજર નથી: તાણને અવગણવામાં આવે ત્યારે વાળણ, ઉદભવેલ સપાટીઓ વચ્ચે દબાણ, રચના બદલાતી રહે તેવી પ્રણાલીઓ અને, ખાસ કરીને અપ્રિય, અક્ષીય બળ સાથેનું વાળણ. આ તમામ પરિસ્થિતિઓમાં ભારમાં તુલનાત્મક રીતે નાનો વધારો પણ તણાવમાં મોટો વધારો લાવી શકે છે, અને ત્યારે સામાન્ય સલામતી ગુણાંકને તણાવો પર લાગુ કરવો પૂરતો નથી; તેને ભાર પર લાગુ કરવો જરૂરી છે.

યિલ્ડ સીમા ઓળંગ્યા પછીથી તૂટાણ સુધી થતી ઘટનાઓને મોટાભાગના કેસોમાં હવે માત્ર ગુણાત્મક રીતે જ અનુસરી શકાય છે. જો સામગ્રી ખેંચાય તેવી હોય, તો જ્યાં સૌથી પહેલા યિલ્ડ સીમા પ્રાપ્ત થઈ હોય, અને જે આગળ સ્થિર અથવા થોડું વધતા દબાણ હેઠળ વિકૃતિ અનુભવે છે, તે ભાગો આગળના ભારણના સ્વીકારમાં ઓછો ભાગ લે છે, જેથી બાકીના, ઓછી તણાવવાળા ભાગો, તેની રચનાને ધ્યાનમાં લેતા શક્ય હોય તો, ભાર વહન કરવામાં વધુ ભાગ લે છે. તણાવના શિખરોને સમાન કરવાની આ વૃત્તિમાં સુરક્ષાનો એક ચોક્કસ જથ્થો રહેલો છે, જેનું ગણતરી દ્વારા ઉપયોગ કરી શકાય છે જો એક જ મોટા ભારણથી સર્જાયેલી કેટલાક ભાગોની સ્થાયી વિકૃતિ હાનિકારક ન હોય (મર્યાદિત ભારણ પદ્ધતિ).

જો સામગ્રી ભંગુર હોય, તો પહેલું સ્થાયી નુકસાન તિરાડોના રૂપમાં દેખાય છે, જેના કારણે અસરગ્રસ્ત જગ્યાએ તણાવનું વધુ જોરદાર સંકેન્દ્રીકરણ થાય છે, જે તરત જ તૂટણ ઉત્પન્ન કરે છે. થાકના કારણે થતી તૂટણ, ખેંચાણક્ષમ સામગ્રીઓમાં પણ, ભંગુર તૂટણની લાક્ષણિકતાઓ ધરાવે છે.

 વિવિધ કટિંગ સપાટીઓ માટેના તાણો વચ્ચેના સંબંધો

રૂપાંતરણ સમીકરણો

ચિત્ર 1 પરના નવ ઘટક દબાણો, સંતુલનની ત્રણ શરતો સાથે જોડાયેલા છે. બાકીની છ રાશિઓ σx, σy, σz τxy, τyz, τzx  પરસ્પર સ્વતંત્ર રીતે મનસ્વી મૂલ્યો મેળવી શકે છે, જેમ કે સ્થિતિસ્થાપકતા સિદ્ધાંતની ભિન્ન સમીકરણોના વ્યુત્પન્નથી દેખાય છે. જોકે, જ્યારે આ મૂલ્યો આપેલા હોય ત્યારે કોઈ ઘન પદાર્થના કોઈ બિંદુએ તણાવની અવસ્થા સંપૂર્ણપણે નિર્ધારિત થાય છે; અર્થાત્ જ્યારે ત્રણ પરસ્પર લંબ સમતલો માટેના તણાવો જાણીતા હોય, ત્યારે આપેલા બિંદુમાંથી પસાર થતી અને જેના નોર્મલનો દિશા મનસ્વી હોય એવી ચોથી સમતલ માટેનો તણાવ પણ એકમાત્ર રીતે નક્કી કરી શકાય છે.

આકૃતિ 10માં ત્રિકોણાકાર ચતુષ્ફલક OABC બતાવ્યું છે, જેના ત્રણ પૃષ્ઠો નિર્દેશાંક તંત્ર x, y, z ની સપાટીઓને સમાનાંતર છે, અને ચોથું પૃષ્ઠ કોઈ પણ મનસ્વી દિશાવાળું પૃષ્ઠ તત્વ ABC = dF. દર્શાવે છે. તેની દિશા અને તેના દ્વારા સંચરિત થતી તણાવની દિશા દર્શાવવા માટે બીજું નિર્દેશાંક તંત્ર રજૂ કરવામાં આવે છે, જેના ξ અક્ષ dF ને લંબ છે.

આકૃતિ 10

આ ટેટ્રાહેડ્રોન પર ξ ધરીની દિશામાં કાર્ય કરતા બળોના સંતુલનની શરત આપે છે

જો ધ્યાનમાં લેવામાં આવે કે

મળે છે

અને સમાન રીતે અક્ષ ηની દિશામાં સમતોલની શરતોમાંથી:

આ સમીકરણો છે, જે સંયોજન સ્થળાંકના રૂપાંતરણ દરમ્યાન તાણની ગણતરી માટે ઉપયોગમાં લેવાય છે. વિશેષ મહત્વનું એ છે કે માત્ર એવા સપાટી તત્ત્વો dF જ ધ્યાનમાં લેવાય, જેમના માટે ξ-અક્ષ z-અક્ષ સાથે મેળ ખાય છે. આ સ્થિતિ માટેના સ્વરૂપો આપણે પૂર્વવર્તી સ્વરૂપોને સરળ બનાવીને મેળવી શકીએ છીએ અથવા સીધા જ આકૃતિ 11 માંથી વાંચી શકીએ છીએ:

ચિત્ર 11

સામાન્ય તણાવ α = α0 દિશાઓ માટે અતિમ મૂલ્યો લે છે, જેમ માટે dσξ/dα = 0 થાય છે. અવકલન કરીને સમીકરણ (16)માંથી મળે છે

અને તેથી, જ્યારે આ અભિવ્યક્તિને શૂન્ય બરાબર ગણવામાં આવે છે

તાણ τξη આ રેખાઓમાં કુલ કાપણી તાણ પણ રહેશે, જો τyz = τzx = 0. ત્યારે સમીકરણ (17) દ્વારા બે પરસ્પર લંબ દિશાઓ નક્કી થાય છે, જેના માટે: 1. કુલ કાપણી તાણ શૂન્ય હોય છે અને, 2. સામાન્ય તાણના અતિમ મૂલ્યો (મહત્તમ અને ન્યૂનતમ) હોય છે. આ દિશાઓને મુખ્ય તાણોની દિશાઓ કહેવામાં આવે છે, અને સંબંધિત તાણોને મુખ્ય તાણો કહેવામાં આવે છે. તેઓને σ1 અને σ2 વડે દર્શાવવામાં આવે છે અને સીધા સૂત્રમાંથી ગણાવી શકાય છે

 Mohrનો વર્તુળ

સમીકરણો (16) ને દૃશ્યરૂપે સ્પષ્ટ રીતે રજૂ કરી શકાય છે. આ માટે તેમને નીચેના સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરવા જોઈએ:

આ સમીકરણો સ્થાનાંક પ્રણાલી σ, τ માં ચિત્ર 12 પર દોરાયેલા વર્તુળના સમીકરણનું પરિમિત સ્વરૂપ રજૂ કરે છે, જેના કેન્દ્રના સ્થાનાંકો σ = 1/2 (σx + σy), τ = 0 છે અને જેના ત્રિજ્યા

આ વર્તુળને મોરનું વર્તુળ કહેવામાં આવે છે. જો x બિંદુમાંથી x =const. ના કાપને સમાંતર રેખા દોરવામાં આવે, જેના દ્વારા તાણો σx, τxy પ્રસારિત થાય છે, તો તે વર્તુળને p બિંદુએ કાપશે, જેને મોરના વર્તુળનો ધ્રુવ કહેવામાં આવે છે. આ ધ્રુવમાંથી દોરેલી દરેક pξ રેખા વર્તુળને ξ બિંદુએ કાપે છે, જે pξ ને સમાંતર કાપ દ્વારા પ્રસારિત થતા તાણો σξ, τξη નિર્ધારિત કરે છે.

મોરના ચક્રનું આલેખન કરતી વખતે શીયર તાણોના ચિહ્ન બાબતે ધ્યાન રાખવું જોઈએ કે જો તેમનું દિશાનિર્દેશ આંક. 12c માં બતાવ્યા મુજબ હોય તો તેમને ઉપરની તરફ દોરવામાં આવે છે. તેથી, સંયુક્ત તાણો τxy, τyx માંથી એક હંમેશાં ધન અને બીજો ઋણ હોય છે.

સામાન્ય તણાવોના સીમાકીય મૂલ્યો σ1, σ2ને વર્તુળ上的 બિંદુઓ 1 અને 2 અનુરૂપ છે, અને રેખાઓ _p_1 અને _p_2 મુખ્ય તણાવોની દિશાઓ આપે છે.

x-y સમતલમાં રહેલા તાણોને માર્હના ચક્ર દ્વારા દર્શાવવું આ સમતલને લંબ σz, τxz, τyz તાણો અંગે કોઈ પણ અનુમાન સાથે જોડાયેલું નથી.

ચિત્ર 12

આ મુજબ, આ સૌથી સામાન્ય ત્રિ-પરિમાણીય તણાવ સ્થિતિ માટે પણ લાગુ પડે છે, જો માત્ર તે કાપણી સપાટીઓની સરખામણી કરવામાં આવે જે બધી એક જ સીધી રેખામાંથી પસાર થાય છે, જેને અહીં z અને ξ અક્ષ તરીકે પસંદ કરવામાં આવી છે. સામાન્ય રૂપાંતરણ સમીકરણો અનુસાર (15) સામાન્ય તણાવ σ કોઈપણ કાપણી સપાટી માટે અનંત બની શકતો નથી, તેથી તેને કોઈ એક સપાટી માટે સીમિત મહત્તમ σ1 અને બીજી માટે લઘુત્તમ σ3 હોવું જોઈએ, અને બંને, સ્વાભાવિક છે કે, નકારાત્મક પણ હોઈ શકે. જો σ1 અને σ3 વેક્ટરોમાંથી એક સમતલ દોરીને મોરનો વર્તુળ (આકૃતિ 13) દોરવામાં આવે તો

ચિત્ર 13

આ સમતલમાં આવેલા તાણો માટે (અર્થાત, આ સમતલને લંબ બધી દિશાઓ), τότε σ1 અને σ3 શક્ય સૌથી મોટા અને સૌથી નાના સામાન્ય તાણો છે અને તેથી પરસ્પર લંબ હોવા જોઈએ. જો 1 અને 3 દિશાઓને 2 દિશાથી પૂરક બનાવવામાં આવે, જેથી આ ત્રણ દિશાઓ લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ બનાવે, અને જો 1 ~2 અને 2 ~ 3 સમતલો માટે Mohrના વર્તુળો દોરવામાં આવે, તો σ2 આ વર્તુળોમાંથી એક માટે સૌથી મોટો, અને બીજા માટે સૌથી નાનો સામાન્ય તાણ છે, અને તેથી 1, 2 અને 3 દિશાઓને લંબ કાપોમાં ઘર્ષણ તાણ શૂન્ય સમાન છે. પરસ્પર લંબ એવા ત્રણ સામાન્ય તાણો σ1, σ2 અને σ3, જેમને ઘર્ષણ તાણો અનુરૂપ નથી, તેમને મુખ્ય તાણો કહેવામાં આવે છે.

    ઉપજ સીમા અને ત્રૂટણ સીમા, ત્રિ-પરિમાણીય તણાવ સ્થિતિમાં

તાણની સ્થિતિને એક-, બે- અથવા ત્રિ-પરિમાણીય, અથવા અન્ય શબ્દોમાં: રેખીય, સમતલ અથવા અવકાશીય કહેવામાં આવે છે, એ મુજબ કે ત્રણ મુખ્ય તાણોમાંથી એક, બે કે બધાં જ શૂન્યથી ભિન્ન છે. સૌથી વધુ પ્રભાવિત સ્થળો પર, ખાસ કરીને જે માળખાકીય ભાગો સૌથી વધુ વપરાય છે, એટલે કે ખેંચાયેલા, દબાયેલા અને વળેલા દંડમાં, તાણની સ્થિતિ એકપરિમાણીય હોય છે; તેમજ તાણ, દબાણ અથવા વળાંકના પરીક્ષણોમાં પણ એવું જ છે, જે સામગ્રીના પરીક્ષણમાં સ્વીકાર્ય તાણો નક્કી કરવા માટે લગભગ સંપૂર્ણપણે લાગુ કરવામાં આવે છે. તેના વિપરીત, પોતાની સમતલમાં અથવા તેની લંબ દિશામાં ભારિત પ્લેટોમાં, તેમજ આવરણોમાં, તાણની સ્થિતિ દ્વિ-પરિમાણીય હોય છે, અને કેટલીક પરિસ્થિતિઓમાં ત્રિ-પરિમાણીય તાણની સ્થિતિઓ પણ દેખાય છે; તેથી એકપરિમાણીય તાણની સ્થિતિમાં નક્કી કરાયેલી યીલ્ડ અને તૂટણની સીમા પરથી અવકાશીય તાણની સ્થિતિમાં સામગ્રીના વર્તન અંગે નિષ્કર્ષ કાઢવા જરૂરી બને છે.