මූලික කරුණු
ද්රව්ය ප්රතිරෝධයේ කාර්යය වන්නේ ඝන වස්තුවක් (උදා., ගොඩනැගිල්ලක්, ව්යුහාත්මක කොටසක් හෝ භූමිය) කුමන බාහිර බලයන්ට ඔරොත්තු දිය හැකිද යන්න තීරණය කිරීමයි. මෙම ප්රශ්නයට පිළිතුර ලබා දීම සඳහා පදනම් වන්නේ ප්රමිති දෙකක් මතය: එක් පැත්තකින් ආතති ද්රව්යයේ වර්ගයට අනුව තීරණය වන යම් සීමාවන් ඉක්මවා නොයා යුතු අතර, අනෙක් පැත්තෙන් බාහිර සහ අභ්යන්තර බල අතර සමතුලිතතාව ස්ථායී විය යුතුය. මේ අනුව, ද්රව්ය ප්රතිරෝධයේ සියලු ගැටලු “ආතති ගැටලු” සහ “ස්ථායීතා ගැටලු” ලෙස බෙදිය හැක.
දණ්ඩ හා ගර්ඩ් සහ ඒවායෙන් සැකසූ වාහක (ට්රස්, රාමු) සඳහා ආතන නිරණය කිරීම පියවර දෙකකින් සිදු කරනු ලැබේ. පළමුව දී ඇති බාහිර බලයන් මත පදනම්ව තිරස් අංශය හරහා සම්ප්රේෂණය වන අභ්යන්තර බලවල ප්රතිඵලය ගණනය කරයි, පසුව මෙම “අංශ බල” වලින් ආතන තීරණය කරයි. ක්රියාවලියේ පළමු කොටස විශේෂ, පුළුල් විෂයයක් වන ව්යුහ ඉංජිනේරු ස්ථිතිකය වන අතර, එයට සංවර්ධිත තමන්ගේම ක්රම ඇත; එය සාමාන්යයෙන් ද්රව්ය ප්රතිරෝධයෙන් වෙන් කරනු ලබන්නේ, එහි කාර්යය දී ඇති අංශ බලවලින් ආතන තීරණය කිරීම දක්වා සීමා වන බැවිනි.
ද්රව්ය ප්රතිරෝධයේ මූලික සංකල්ප
ආතතියේ නිර්වචනයට පැමිණෙන්නේ පහත මූලික සලකා බැලීම් මඟිනි. ශරීරය මත සමතුලිත බාහිර බල පද්ධතියක් ක්රියා කරන බව සිතමු. අපි ශරීරය කැමති කප්පාදුවකින් කොටස් දෙකකට බෙදා, ඒවාෙන් එකක් එය මත ක්රියා කරන බල සමඟ ඉවත් කළ බව සිතමු; එවිට අනෙක් කොටසට ඇති එහි ක්රියාව, බලවල සමතුලිතතාවය සහ වක්රණ බෙදාහැරීම නොවෙනස්ව පවත්වා ගැනීමට, කප්පාදු මතුපිට හරහා සම්ප්රේෂණය වන අමතර බලවලින් ප්රතිස්ථාපනය කළ යුතුය. මෙම “අභ්යන්තර” බල කප්පාදු මතුපිට පුරා අඛණ්ඩව බෙදී ඇති අතර, එබැවින් මතුපිටේ එක් අංගයක් dF සඳහා dβ බලයක් අනුරූප වේ. dβ/dF අනුපාතය සාදා dF -> 0 සීමා පරිවර්තනය කළහොත්, මෙම අනුපාතය ආතතිය ලෙස හැඳින්වෙන සීමා අගයට ළඟා වේ. නියමිත මතුපිට අංගයක ආතතිය dβ වැනි වන අතර, එය dF ට ලම්බ හා ස්පර්ශීය සංරචකවලට බෙදිය හැකිය, සාමාන්ය ආතතිය σ සහ කපන ආතතිය τ.
එකම ලක්ෂ්යය හරහා විවිධ දිශාවලින් කප්පාදු ගතහොත්, ඒවාට විවිධ ආතතිද අනුරූප වේ. විශේෂයෙන්ම, රූ. 1 හි පෙන්වා ඇති පරිදි, ශරීරයෙන් මූලික ඝනකයක් වෙන් කළහොත්, එහි පැති හයෙහිම x, y, z සම්බන්ධීකරණ අක්ෂ දිශාවලට බිඳ දැමිය හැකි ආතති දෛශිකයක් ක්රියා කරයි. ප්රතිවිරුද්ධ පෘෂ්ඨවල ක්රියා කරන ආතති එකිනෙකින්, ඇත්ත වශයෙන්ම, අවකලය පමණක් වෙනස් වන බැවින්, 3 * 3 = 9 සංඝටක ආතති වෙන්කර සැලකිය යුතු අතර, ඒවා පහත පරිදි සලකුණු කරයි:
සාමාන්ය ආතති σ සඳහා ඒවා පිහිටි අක්ෂයේ දර්ශකය ලබා දෙන අතර, ඇදීමක් ඇති කරන්නේ නම් ධන, සම්පීඩනයක් ඇති කරන්නේ නම් ඍණ ලෙස සැලකේ. කැපෙන ආතති τ සඳහා දර්ශක දෙකක් ලැබේ; ඒවායින් පළමුවැන්න අදාළ සාමාන්ය ආතතියේ දර්ශකයට සමාන වන අතර, දෙවැන්න කැපුම් ආතතිය ක්රියා කරන දිශාවේ අක්ෂයට අදාළ වේ. අදාළ සාමාන්ය ආතතියේ ධන දිශාව ධන (ඍණ) ඛණ්ඩාංක අක්ෂයේ දිශාවට තිබේ නම්, කැපුම් ආතතියද ධන (ඍණ) ඛණ්ඩාංක අක්ෂයේ දිශාවට ක්රියා කරන්නේ නම් ධන ලෙස සැලකේ.
රූපය 1.
කැපුම් ආතතිවල සංයුජතාව
අභ්යන්තර ඝනක කුට්ටියක් සඳහා, රූපය 1, x අක්ෂයට අනුබලයෙනුත් සියලු බලවල මොහොත ශූන්ය බවට කොන්දේසිය දමාගත් විට, τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz ලැබේ. මෙයින්ත්, y සහ z අක්ෂයන් සඳහා සමාන සූත්ර දෙකෙන්ත්, එකම උපසර්ග ඇති කැපීම් ආතති එකිනෙකාට සමාන බව ලැබේ: τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (1)
අංගාත්මක විකෘතිතා
පෙර නිර්වචනය කරන ලද ආතති වලට භෞතික අර්ථයක් ඇති බව, බාහිර බලවල් වල බලපෑමට ලක්වන සෑම දේහයකටම ලැබෙන නිර්වචනය සමඟ ඇති සම්බන්ධයෙන් පැහැදිලි වේ. රූපය 2 විකෘතියට පෙර සෘජුකෝණාස්රාකාරව තිබූ සහ අංශු දිග dx, dy, dz තිබූ එක් මූලික ඝනකයක් පෙන්වයි. විකෘතියෙන් පසු අංශු දිග dx + Δdx, dy, + Δdy, dz + Δdz ලෙස සලකුණු කළ හැක; අනුපාත εx = Δdx|dx, εy =Δdy|dy, εz = Δdz|dz විස්තාරණ ලෙස හැඳින්වේ. මේවා මාන රහිත ප්රමාණ වන අතර ඉදිකිරීම් ක්ෂේත්රයට අදාළ සියලු ද්රව්ය සඳහා 1 ට සාපේක්ෂව කුඩාය. අංශු දිග වැඩිවීමට අමතරව, මූලික ඝනකය dx * dy * dz එහි පැති අතර මුල් සෘජු කෝණවල වෙනසක්ද අත්විඳිය හැක.
රූපය 2. සංරචකීය විකෘතිය
විකෘතිවීමෙන් පසු OC අද්දර sepanjang එකට එක්වන තලයන් අතර කෝණය 
සමව තිබේ යැයි ගනිමු. ඒ හා සමානව AO අද්දර sepanjang සෘජු කෝණයේ අඩුවීම γyz ලෙසත්, OB අද්දර sepanjang අඩුවීම γzx ලෙසත් ගනිමු. මෙම කෝණ වෙනස්වීම් තුන γxy, γyz, γzx ක්ලිනයම් (slip) ලෙස හැඳින්වේ; ඒවා ද 1 අනුව සෑම විටම කුඩාය. සංරචකීය ε සහ γ හයෙන්, “කුඩා විකෘතිය” යන මූලික කැවඩරයේ විකෘතිය සම්පූර්ණයෙන්ම නියම වේ. පරිමාවෙහි මූලද්රව්යය d_V = dx * dy * dz_ වෙනස්වීම ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, ලෙස ලැබේ. මෙහිදී විස්තාරණ ගුණිතයන් ඉහළ අනුපිළිවෙලේ කුඩා ප්රමාණ ලෙස නොසලකා හැරූ විට, ඝන විස්තාරණය ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2) ලැබේ
මාරුවීම්
දෘඩ දේහයේ විකෘතිය සම්පූර්ණයෙන්ම විස්තර කළ හැක්කේ එම දේහයේ සෑම ලක්ෂ්යයකටම එම ලක්ෂ්යය අත්විඳ ඇති ස්ථානමාරුව ලබා දෙමින්ය. අධ්යයනයෙන් දෘඩ දේහයේ ස්ථානමාරුවට අනුරූප විශාලත්වයේ ස්ථානමාරු ඉවත් කළහොත්, අවශ්ය නම් ගණනයේදී චලනශීලී සම්බන්ධක පද්ධතියක් භාවිතා කරමින්, සංරචක ස්ථානමාරු μ, ν, ω සැමවිටම කුඩා වන අතර, ඒවායේ අක්ෂයන්ට අනුව ගත් අවකලන 1ට සාපේක්ෂව කුඩාය. එම උපකල්පනය යටතේ, රූ. 3 අනුව රේඛීය අංගය OA = dx විකෘතියෙන් පසු
එබැවින් 
(3)
සමාන ලෙසම, රූප. 3 මඟින් කැපීම γxy γ1 + γ2 බව පෙනේ: එමෙන්ම
(4)
රූපය 3 සර්වක
(5) 
(6)
මෙම සම්බන්ධතා ගැළපීමේ කොන්දේසි ලෙස හඳුන්වයි, හා විකෘති වූ මූලද්රව්ය මෝසෙක්කයක් මෙන් එකට ගැලපිය හැකි බවත් එසේ කළ විට අවකාශය අඛණ්ඩව පිරී තිබිය යුතු බවත් එයින් කියැවේ. මූලද්රව්යවල විකෘතිකරණ අභිප්රාය රහිත නම් මෙය ලබාගත නොහැක. ගැළපීමේ කොන්දේසි යනු අවකල සමාකරණයන් වන නිසා, ඇත්ත වශයෙන්ම, එක් එක් සෘජුකෝණීය ඝනකයක් සඳහා ඇති සංරචක විකෘතිකරණ හයෙන් සියල්ලම එකිනෙකාට ස්වාධීන වුවද, ඕනෑම සීමිත ප්රදේශයක ඒවායේ සැකැස්ම (5) සහ (6) කොන්දේසිවලට බැඳී ඇත.
මෙම කොන්දේසි සමීකරණ (3) සහ (4) වලින් ව්යුත්පන්න කිරීමෙන් ලබාගත් බැවින්, ඒවා සකස් කිරීමේදී මුල් සමීකරණවල අඩංගු සම්බන්ධතා වලින් කොටසක් අහිමි වේ. එබැවින් විකෘති අනුකූලතාව සහතික කිරීමට අවශ්ය නම්, මෙම සමීකරණ පද්ධති දෙකෙන් එකක් පමණක් සපුරාලීම ප්රමාණවත් නොවේ; දෙකම සපුරාලිය යුතුය.
ප්රත්යාස්ථතා පද්ධතියේ අවකල සමීකරණ
ප්රත්යාස්ථ දේහවල ආතන සහ විකෘතිතා ගණනය කිරීම සඳහා පහත සමීකරණ භාවිතා කරයි:
පරිමාණ මූලද්රව්යයේ සමතුලිතතා කොන්දේසි. ත්රි අක්ෂ වටා මොහොත ශූන්ය වන බව යන කොන්දේසි සමාකරණය (1) නිගමනය කිරීමේදී දැනටමත් භාවිතා කර ඇත. බල සමතුලිතතා කොන්දේසි රූ. 4 අනුව ලබා දෙයි
රූපය 4
(7a-c)
X, Y, Z මඟින් ඒකක පරිමාවකට පරිමිත බලවල සංරචක (උදා., බර, සෙන්ට්රිපියුගල් බලය) දැක්වෙන්නේ නම්. ආතීන් සහ විකෘතිතා අතර සම්බන්ධතා. මෙයින් අදහස් කරන්නේ සංරචක ආතීන් සහ සංරචක විකෘතිතා අතර ඇති සම්බන්ධයයි. ඉලිස්ථවතා සූත්රයේ සාමාන්යයෙන් සලකා බලන්නේ රේඛීය සම්බන්ධය පමණක් වන අතර එය Hooke-ගේ නියමයෙන් ප්රකාශ කරයි:
(8a-c)
(8d-f)
සමීකරණ (8a-c) ආතතීන් අනුව විසඳන විට, ලැබෙන්නේ
(8 a)
kso සහ ඒට අදාළ සමාකරණ දෙකක්. සමාකරණයකින් ප්රකාශිත Hooke-ගේ නියමය (8) යනු දැඩි ලෙස ඉටුවන ස්වභාවික නියමයක් නොව, සැබෑ හැසිරීම් ආදර්ශනය කිරීමකි; ද්රව්යය හා ආතති ප්රමාණය අනුව එය අඩු වැඩි වශයෙන් එයින් වෙනස් වේ. ආතතිය හා විකෘතිය අතර සංකීර්ණ, අරේඛීය සම්බන්ධතා ඇති ද්රව්ය ප්රතිරෝධ ගැටලුවල ගණිතමය සැකසුම සැලකිය යුතු ලෙස වැඩි දුෂ්කරතා ඇති කරනු ලබන අතර, සැබවින්ම ක්රියාත්මක කළ හැක්කේ ඉතා සරල අවස්ථාවල පමණක් වන බැවින්, Hooke-ගේ නියමයෙන් සැලකිය යුතු ලෙස වෙනස් වන හැසිරීමක් ඇති ද්රව්ය (කොන්ක්රීට්!) සඳහාද, එය මත පදනම් වූ ගණනය කිරීම් පළමු, හා බොහෝ විට එකම ආසන්න විසඳුම ලෙස භාවිතා කළ යුතුය; එය සාමාන්යයෙන් ඉතා ප්රයෝජනවත් වන අතර, සම්පූර්ණයෙන් ගුණාත්මක පමණක් නොවූ අවබෝධයක්ද ලබා දෙයි. G = E|2 (1+μ).
එය ආතති හා විකෘතිය අතර සම්බන්ධයෙන් (8), ආතති සඳහා වූ පරිවර්තන සමීකරණවලින් (16) සහ සංඝටක විකෘති සඳහා වූ අනුරූප සමීකරණ පද්ධතියෙන් අනිවාර්යයෙන්ම ලැබේ. E සහ G හට ආතති මානයක් ඇත, සහ සියලු ගොඩනැගිලි ද්රව්ය සඳහා ඒවා ඇතිවිය හැකි σ සහ τ ආතතිවලට වඩා විශාලය. එහෙත් විකෘති කුඩා බව යන උපකල්පනය ඉලාස්ටිසිටි න්යායේ සෑම තැනකම පිළිගෙන ඇති දෙය වන්නේ මේ කරුණ මතය. හරස් ප්රසාරණ ගුණකය (Poisson අංකය) μ මාන රහිත වන අතර සෑම විටම 0 සහ 1/2 අතර පිහිටයි.
අංගීය විකෘති සහ විස්ථාපන අතර සබඳතා. මෙම සබඳතා සමීකරණවලින් ලබා දී ඇත (3), (4). ඒවා සම්පූර්ණයෙන්ම ජ්යාමිතික ස්වභාවයේ ඒවාය. මෙම ත්රිත්ව පද්ධති 3+6+6=15 නොදන්නා ප්රමාණ සඳහා සමීකරණ 15ක්, එනම් 6 අංගීය ආතති, 6 අංගීය විකෘති සහ 3 අංගීය විස්ථාපන සඳහා ලබා දෙයි. ඒ අනුව, මෙම නොදන්නා ප්රමාණ නිර්ණය කිරීමට ඒවා ප්රමාණවත්ය. මෙතරම් විශාල ඩිෆරෙන්ෂියල් සමීකරණ පද්ධතියක් ගණිතමය වශයෙන් ජයගැනීම, නිසැකයෙන්ම, විශේෂ අවස්ථාවලදී පමණක් හැකි වේ. සමීකරණය (8) තුළ අංගීය විකෘති, සමීකරණවල (3) සහ (4) අනුව අංගීය විස්ථාපන මඟින් ප්රතිස්ථාපනය කර, පසුව සාමාන්ය ආතති σ සහ කපන ආතති τ, සමීකරණවල (8 d - f) අනුව, සමතුලිතතා කොන්දේසි තුළට, අයතු. (7), ඇතුළත් කළ විට, ප්රත්යාස්ථතා න්යායේ මූලික සමීකරණ ලෙස හැඳින්වෙන ඩිෆරෙන්ෂියල් සමීකරණ ලැබේ.
(9)
එහිදී 
ලප්ලාස් ක්රියාකාරකය ලෙස සලකුණු කර ඇත. (2) අනුව, මේවා μ, ν, ω යන සංරචක විස්ථාපන තුනක් සහිත සමීකරණ තුනකි; මේවායෙන්ම අනතුරුව, (3), (4) සහ (8) මත පදනම්ව අවකලනය කිරීමෙන් සියලු සංරචක ආතන හා විකෘතිතා ලබා ගත හැක. සමීකරණ (9) බොහෝවිට විශේෂ අවස්ථා අධ්යයනය සඳහා පහසු ආරම්භක ලක්ෂ්යයක් නියෝජනය කරයි.
විකෘතිකරණ කාර්යය
අර්ථ දැක්වීම
ධාරකයට බර දමා ඇති විට, බාහිර බලවල ක්රියාකාරී බින්දු ලක්ෂ්යවලදී ප්රත්යාස්ථ විස්ථාපන ඇතිවන අතර ඒ සමඟ බල විසින් යම් වැඩක් සිදු කරයි. මෙලෙස ලබා දුන් ශක්තිය විවිධ ආකාරවලට පරිවර්තනය විය හැක. ’බර දැමීම හදිසියේ සිදු වන්නේ නම්, එවිට වක്രീකරණ ක්රියාවලියට සැලකිය යුතු වේගයක් තිබේ නම්, මෙම ශක්තියේ කොටසක් චාලක ශක්තිය බවට පත්වේ; එය කාලයත් සමඟ විසිරී යන්නේ, එය ප්රත්යාස්ථ තරංගයක් ලෙස භූමියට සම්ප්රේෂණය වී අවසන් රහිතව අස්තමිත වීම මගින් හෝ අභ්යන්තර ඝර්ෂණයෙන් උෂ්ණත්වයට පරිවර්තනය වීම මගිනි. බර ඉතා මෘදුව යොදන විට, එවිට චාලක ශක්තියේ සැලකිය යුතු වැඩිවීමක් ඇති නොවන බැවින්, ශූන්යයෙන් ආරම්භ වන ක්රමයෙන් වැඩිවන බර අභ්යන්තර බල සමඟ නිරන්තර සමතුලිතතාවයක පවතින බැවින්, ශක්තිය පැහැදිලිවම සම්පූර්ණයෙන්ම දේහය වක്രീකරණයට පමණක් වැය වන අතර එවිට එය වක്രീකරණ වැඩ ලෙස හැඳින්වේ.
විකෘතික කාර්යයේ ගණනය මුලින්ම එක් දිශාවක ද්රවනාව සඳහා භාර දුන් කුඩා කොටසක් මත පෙන්වමු (රූ. 5).
දැනට පවතින ආතතිය σ සහ ඊට අනුරූප විස්තාරණය ε යන දෙකම dσ සහ dε යන වර්ධකයන්ට භාජනය වේවා. එවිට dε * dl මාර්ගයේ σdF බලය විසින් කරන වැඩය σdF * dεdl = σdεdV වනු ඇත, මෙහි dV ලෙස කොටසෙහි පරිමාව සලකන්නේ නම්. ආතතිය ශූන්යයෙන් එහි අවසන් අගයට දක්වා ඉහළ යන අතර, ඒ අනුව විස්තාරණය 0 සිට ε දක්වා වෙනස් වන්නේ නම්, ඒකක පරිමාවකට සිදු වූ මුළු වැඩය මෙසේ වේ:
ඒ හා සමානව, කප්පාදු ආතතිය τ (රූ. 6) ඇති අංගයකද, ඒකක පරිමාවකට විකෘති වැඩය (විශේෂ විකෘති වැඩය, ඉලස්ටික් පොටෙන්ෂියල්):
එහිදී ත්රි τ * dF බලයන්ගෙන් එකක් පමණක් වැඩ කරයි.
සාමාන්ය අවස්ථාවේදී, මූලික කොටසට ආතති සංරචක හයම ක්රියාකරන විට, එක් එක් සංරචක ආතතිවල කාර්යයන් එකතු කිරීමෙන් නිශ්චිත විකෘති කාර්යය ලැබේ:
(10)
මෙම එක් එක් අංගලකයේ ඉහළ සීමාව අනුව අවකලනය කිරීමෙන්, වඩාත් සාමාන්ය අවස්ථාවේද අදාළ වන සම්බන්ධතා ලැබේ:
(11)
සෙසු සංරචකීය විකෘතිවීම් සඳහාත් ඒ හා සමානව. දේහය ඉලාස්ටික් නම්, සෑම නියමිත ආතති තත්ත්වයකටම සෑම විටම එකම විකෘති තත්ත්වය සම්බන්ධ වේ; එය භාරය දී ඇති අවස්ථාවේද, හෝ භාරය ඉවත් කිරීමේදීද ලබා ගත්තාද කියා සැලකෙන්නේ නැත. එවිට අභිනයන් යටතේ එක් අර්ථයක් ඇති ක්රියා සහ භාරය දෙන විට හා පසුව සම්පූර්ණයෙන්ම භාරය ඉවත් කරන විට වැය වන මුළු ශක්තිය a = 0 වේ, මන්ද මේ අවස්ථාවේ අභිනයන්හි ඉහළ සීමා ශූන්ය වන බැවිනි. එබැවින් භාරය යොදන විට දේහයට ලබා දෙන මුළු ශක්තිය, භාරය ඉවත් කිරීමේදී නැවත ලබා ගනී.
රූපය 6
රූපය 7
අර්ධ-ඵලස්ථිතික ශරීරයක් සඳහා, මුළු බර දීම සහ බර ඉවත් කිරීමේ චක්රය තුළ ආතතිය සහ විකෘතිය අතර සම්බන්ධතාවය, 7 හි පෙන්වා ඇති පරිදි O A B රේඛා මඟින් ආසන්න වශයෙන් දැක්වෙයි. බර දීමේදී සපයන ලද ශක්තිය 
OAA ප්රදේශයට සමාන වන අතර, බර ඉවත් කිරීමේදී ආපසු ලැබෙන ශක්තිය ABA ප්රදේශයට සමාන වේ. එබැවින්, හැච් කරන ලද ප්රදේශයට සරිලන කාර්යය අහිමි වේ (උෂ්ණතාවය බවට පරිවර්තනය වේ). කම්පනීය ක්රියාවලියකදී ආතතිය ධනාත්මක සීමා අගය 
සහ ඍණ සීමා අගය 
අතර කාලානුරූපව වෙනස් වන්නේ නම්, අලස්ථිතික විකෘතිය 7 හි අඛණ්ඩ රේඛා මඟින් පෙන්වා ඇති ආකාරයට සමානව ගලා යයි, සහ කම්පනයේ එක් එක් කාල පරිච්ඡේදයේදී ඒක පරිමාවකට අනුව DABCD ශක්තිය උෂ්ණතාවයට පරිවර්තනය වේ. විකෘතිය ආතතියට පසුපසින් පවතින මෙවැනි විකෘති හැසිරීම ඵලස්ථිතික හිස්ටරීසිස් ලෙස හැඳින්වේ, ხოლო DABCD වක්රය හිස්ටරීසිස් ලූපයයි.
විකෘති කාර්යය සහ Hooke-ගේ නියමය
සමීකරණයේ (10) අන්තර්ගත ඒකාබද්ධවලට Hooke-ගේ නියමය යොදාගතහොත්, ඒකාබද්ධ කිරීම සිදු කළ හැකි අතර, විශේෂ විකෘති වැඩය සඳහා පහත ප්රකාශ ලැබේ:
(12a)
(12b)
(12c)
මෙම ආකාර දෙකෙන් දෙවැන්න සමීකරණයට (11) ඇතුළත් කළහොත්, නැවතත් හූක් නියමය, සමීකරණ (8), ආතතීන් අනුව විසඳන ලද ආකාරයෙන් ලැබේ. විකෘතිකරණ කාර්යය සංරචක විකෘතිතා මත රඳා පවතින බව, සමීකරණය (12b) මඟින් පෙන්වා ඇති පරිදි, යන ප්රකාශය එබැවින් හූක් නියමයට සමාන වේ. සමීකරණය (12c) ආතතීන් අනුව අවකලනය කළ විට, ලැබෙන්නේ
(13)
මෙම ආකෘති, ආකෘති (11) ට වඩා වෙනස්ව, හූක්ගේ නියමය අනුව හැසිරෙන දේහ සඳහා පමණක් වලංගු වන අතර, ආතති සහ විකෘති අතර සම්බන්ධතා වෙනස් වූ විට යෙදිය නොහැක. ඇත්තවශයෙන්ම, සමීකරණ (13) හි දකුණු පැත්තෙහි ඇත්තේ ආතති මඟින් ඇති වන සංරචකීය විකෘති පමණක් වන අතර, උෂ්ණත්ව වෙනස්වීම, සීපුම, පුම්බීම, නැවත-ස්ඵටිකරණය ආදිය නිසා ඇතිවිය හැකි අනෙක් සියල්ල ඇතුළත් නොවේ.
අස්ථිස්ථිතිය න්යායේ අනුකලීය ප්රකාශන
අථාර්ථ චලන. ධාරිතා ශක්තියේ අවම ප්රතිපත්තිය
Hooke-ගේ නියමය, සමීකරණ (8) එකම සමීකරණයකින් (12b) ආදේශ කළ හැකි ලෙසම, සමතුලිතතා කොන්දේසි වෙනුවටද, මකැනික් විද්යාවේ සාමාන්යයෙන් වලංගු මූලික නියමයක් ලෙස වාචික ස්ථානාන්තරණ න්යාය යෙදිය හැක. මෙම නියමය පවසන්නේ සමතුලිත තත්ත්වයන්හි විශේෂත්වය වන්නේ, විකෘති තත්ත්වයේ සුළු වෙනසක් ඇති විට සියලු බලයන් විසින් කරනු ලබන මුළු වැඩය ශූන්යයට සමාන වීමයි. ප්රත්යස්ථ ස්ථානාන්තරණවල සුළු වෙනස්කම් δμ δν, δω ලෙස සලකන්නේ නම්, සමීකරණය (7) මඟින් නිර්වචිත පරිමිත බලයන් වාචික වැඩය සිදු කරයි
සමස්ත පෘෂ්ඨයේ dF මූලද්රව්යයට ක්රියා කරන පෘෂ්ඨ බල px, py, pz 
එහිදී ත්රිත්ව අනුකලය මුළු පරිමාවටත්, ද්විත්ව අනුකලය දේහයේ මුළු බාහිර පෘෂ්ඨයටත් අදාළ වේ. අභ්යන්තර බලයන් විසින් කරන කාර්යය ගණනය කිරීම සඳහා සමීකරණය (12b) භාවිතා කරන අතර, එවිට පරිමාවේ ඒකකයකට කාර්යය ලෙස ලබාගන්නේ
එමගින් අතථ්ය ස්ථානමාරු මූලධර්මය ලබා දෙන්නේ
(14)
X, Y, Z px, py., pz යන බරයන් බරකර්ෂණ බලයේ සංරචක ලෙස (ස්වීය බර හා බාහිර බර) ගත්හොත්, දකුණු පැත්තේ ඒකාකලන මෙම බරයන් අහිමි කළ සංਭාව්ය ශක්තිය නිරූපණය කරයි, එවැනි විට වම් පැත්ත ශරීරයේ සංභාව්ය (ප්රත්යාස්ථ) ශක්තියේ වැඩිවීම නිරූපණය කරයි. ඒ අනුව මෙම මූලධර්මය මඟින්, සමතුලිත අවස්ථාවේ ආධාරකයේ සහ එහි මත ඇති බරයන්ගේ සමස්ත සංභාව්ය ශක්තිය අතිරේක අගයක පවතින බව ප්රකාශ වේ. මෙම අතිරේක අගය අවමය නම්, සමතුලිතතාවය ස්ථායී වේ.
14 සමීකරණයෙන් දැක්වෙන විභව ශක්තියේ අවමතාව සම්බන්ධ මූලධර්මය, විකෘතිකරණ කාර්යය සඳහා වන 12b ප්රකාශය, විකෘතිතා අනුකූලතා කොන්දේසි (5), (6) යන සමාගම සමීකරණ පද්ධතියක් නිර්මාණය කරයි; එය ප්රත්යස්ථතාවේ න්යාය ගොඩනැගීමට ප්රමාණවත් වන අතර, මූලික වශයෙන් සමීකරණ පද්ධතියට සමාන වේ. විශේෂයෙන් ප්රයෝජනවත් වන්නේ, අවකල සමීකරණ (9) සපුරාලීම ගණනයාත්මක දුෂ්කරතා ඇති කරන අවස්ථාවලය; එබැවින්, උදාහරණයක් ලෙස, විස්ථාපන සඳහා ඉදිරියේදී පහසු ආකාරයක් උපකල්පනය කර, එහි නිදහස් ස්ථිරාංග කිහිපයක් අඩංගු කර, ඒවා සමීකරණයක් (14) සපුරාලන බවට ඇති ඉල්ලීමෙන් තීරණය කරයි. එවිට ගැටලුවට දැඩි විසඳුමක් ලැබෙන්නේ නැත, තෝරාගත් විසඳුම් ආකාරයෙන් ලබාගත හැකි හොඳම ආසන්නතාවය පමණක් ලැබේ. ආසන්නතාව ප්රමාණවත්ද යන්න ප්රධාන වශයෙන් තීරණය වන්නේ භාවිත කළ විසඳුම් ආකාරය අනුව වන අතර, මෙම ක්රමය සාර්ථකව යෙදීමට ඒ නිසා දක්ෂතාවය හා අත්දැකීම් අවශ්ය වේ.
Castigliano-ව සూత්රය
සಂಭවිත ශක්තියේ අවමය පිළිබඳ මූලධර්මයේදී විකෘති සංගතතා කොන්දේසි සපුරන සියලු විකෘති තත්ත්වයන් සසඳා ඒවා අතරින්, අනුරූප පීඩන සමතුලිතතා කොන්දේසි සපුරන ඒවා තෝරාගනු ලැබේ; Castigliano-ගේ මූලධර්මයේදී සමතුලිතතා කොන්දේසි සපුරන සියලු ආතති තත්ත්වයන් සසඳා, ඒවා අතරින් අනුරූප විකෘතිතා විකෘති සංගතතා කොන්දේසි සපුරන ඒවා තෝරාගනු ලැබේ. මෙම මූලධර්මය මෙසේය: සියලුම විය හැකි සමතුලිත තත්ත්වයන් අතරින් සැබෑවටම සිදුවන්නේ අවම විකෘති කාර්යයට අනුරූප වන තත්ත්වයයි. Castigliano-ගේ මූලධර්මය, විකෘති කාර්යය සඳහා වූ සමීකරණය (12c) සහ සමතුලිතතා කොන්දේසි සමඟ එක්ව, ද්රව්ය ප්රතිරෝධය ගොඩනැගීම සඳහා ප්රමාණවත් වන සමීකරණ පද්ධතියක් සාදයි. මෙම මූලධර්මය Hooke-ගේ නියමය ඇතුළත් වන බැවින් එය භාවිත කළ හැක්කේ විකෘතිතා මෙම නියමයෙන් සම්පූර්ණයෙන් විස්තර කළ හැකිය යන උපකල්පනය මතයි. මෙය ද්රව්යයේ රේඛීය ප්රත්යාස්ථ හැසිරීම පමණක් නොව, උෂ්ණත්ව වෙනස්කම් ද බැහැර කරයි.
ප්රත්යස්ථතා සීමාවන්ට ඉහළින් ද්රව්යයේ හැසිරීම
ස්ථිතික බර යටතේ ඇති ප්රකාශ
මානසික ආතති බලපෑම යටතේ ද්රව්යයේ විකෘතිය ඉතා සංකීර්ණ සංසිද්ධියක් වන බැවින් එය අවබෝධ කරගැනීමට විවිධ දිශාවලින් සරල කළ යුතුය. මෙවැනි සරල කිරීම්වලින් එකක් වන්නේ, උදාහරණයක් ලෙස ආතන හා පීඩන පරීක්ෂණවලදී නියැදි මත සිදුකරන පරිදි, භාර ක්රමයෙන් යොදන බව ගෙන සලකා බැලීමයි.
ඇදීමට ලක් කළ වානේ දණ්ඩක් ක්රමයෙන් වැඩිවන බරකට නිරාවරණය කර එහි දිගුව ε මැනින්නේ නම්, රූපය 8 හි දැක්වෙන ප්රස්ථාරය ලැබේ. ආරම්භයේදී දිගුව ඉතා කුඩා වන අතර, හූක් නියමය ඉල්ලා සිටින පරිදි, ආතතියට අනුපාතික වේ. නිශ්චිත ආතතියක් සිට පසුව අනුපාතිකතාව නවතී සහ දිගුව වේගයෙන් වැඩි වේ. මෙම අනුපාතිකතා සීමාවේ නිශ්චිත ස්ථානය තීරණය කිරීම අසීරුය. මැනීම තරමටම නිවැරදි වන විට, එම අගය වඩාත් පහළින් ලැබේ. බොහෝ ද්රව්ය සඳහා එය σ = 0 හි පිහිටන අතර, එවිට හූක් නියමය තත්ත්වයෙහි පළමු ආසන්නතාව පමණක් වන අතර, සම්බන්ධතා ආරම්භය අවට ε = ε (σ) ශ්රිතයේ ටේලර් ශ්රේණියේ ප්රසාරණයේ පළමු පදය වේ.
දණ්ඩය බරින් නිදහස් කළ විට, ආතතිය ඉතා විශාල නොවූයේ නම්, Hooke නීතියට අනුව විකෘතියද අතුරුදහන් වන බව පෙනේ. නමුත් ප්රමාණාත්මක සීමාවට, ඒ කියන්නේ ප්රත්යාස්ථතා සීමාවට, ආසන්නව පවතින නිශ්චිත ආතතියක් ඉක්මවා ගිය විට මෙයද වෙනස් වේ; එවිට සමස්ත විකෘතිය ප්රත්යාස්ථ (ආපසු හැරෙන) සහ අප්රත්යාස්ථ (ස්ථිර) කොටස් වලින් සමන්විත වේ. ප්රත්යාස්ථතා සීමාවද නිවැරදිව තීරණය කළ නොහැක; මිනුම් නිරවද්යතාව වැඩි වන්නට තරමට එය තවදුරටත් පහළින් පිහිටයි. එහෙත් එයට ඉතා විශාල තාක්ෂණික වැදගත්කමක් ඇති බැවින්, එය ද්රව්ය ප්රතිරෝධයේ ලා බොහෝමයක් ගණනය කිරීම්වල වැදගත්කමේ සීමාව නියෝජනය කරන අතර, ඒ සමඟම පළමු ස්ථිර හානි ඇතිවන සීමාවද වීම නිසා, නියැදි පරීක්ෂාව සඳහා සම්මත කරගත් කිසියම් සම්මුතියකින් එය දැඩිව අර්ථ දක්වනු ලබයි. උදාහරණයක් ලෙස, 0.2% සීමාව ලෙස ස්ථිර දිගුව 0.2% දක්වා ළඟා වන ආතතිය දැක්වෙයි.
ප්රත්යස්ථ සීමාව ඉක්මවා යන මොහොතෙන්ම විකෘතිය හදිසියේම වැඩිවේ සහ නිරුවත් ඇසට දැකිය හැක; ආසන්නයෙන් නියත ආතතියක දණ්ඩය අඛණ්ඩව දිගු වේ. මෙම ආතතිය ධාවන සීමාව ලෙස හැඳින්වේ. ද්රව්ය පරීක්ෂණ සඳහා වන හයිඩ්රොලික් යන්ත්රවල, ධාවනය ආරම්භ වීමෙන් පසු ආතතිය අඩුවීමක් වැඩි හෝ අඩු ප්රමාණයකින් ද දැකිය හැක; රූපය 8 හි දක්වා ඇති පරිදි බිඳුණු වක්රයෙන්; එවිට උපරිමය ඉහළ ධාවන සීමාව ලෙස, සහ ඉන්පසු ඇතිවන නියත ධාවන ආතතිය පහළ ධාවන සීමාව ලෙස හැඳින්වේ.
නිශ්චිත විස්තාරණයක්, ඒක තාක් දුරටම අනිත්යාස්ථ වන, ලබා ගත් පසු ආතතිය නැවත ඉහළ යාමට පටන් ගනී, ද්රව්යය දෘඩ වේ. මෙම බර පරාසයේදී, (අනිත්යාස්ථ) පාර්ශ්වික සංකෝචනය හේතුවෙන් දණ්ඩයේ අඩිඅංශයේ පැහැදිලි අඩුවීමක් සිදුවේ, සහ ආතති-විකෘති රූපයේ ඉදිරිගමන පළමුවෙන්ම රඳා පවතින්නේ σ ආතතිය ගණනය කිරීමේදී දණ්ඩයට ක්රියා කරන ඇදීමේ බලය P මූලික අංශය F0 මත බෙදනවාද, නැත්නම් ක්ෂණික අංශය F මත බෙදනවාද යන්න මතයි. තාක්ෂණික අරමුණු සඳහා වැදගත් වන ආතතිය P|F0 යි. මෙම ආතතිය උපරිම අගයක් දක්වා ඉහළ යයි, එය ද්රව්ය ශක්තිය ලෙස හඳුන්වයි; එම උපරිමය පසු කළ පසු, දණ්ඩය එක් ස්ථානයක දැඩි ලෙස සංකෝචනය වී කැඩී යයි. “සැබෑ ආතතිය” P|F බිඳීම දක්වා ඉහළ යයි.
රූපය 8.
අනෙකුත් ලෝහවල හැසිරීම මෙහි විස්තර කළ හැසිරීමට බොහෝ ආකාරවලින් වෙනස් වේ. ප්රවාහය බොහෝ විට පැහැදිලි නොවන අතර, ප්රත්යාස්ථතා සීමාව ඉක්මවා ගිය වහාම දැඩි වීම ආරම්භ වේ. කඨින ද්රව්ය (ගල්, වීදුරු, කොන්ක්රීට්) වලදී අප්රත්යාස්ථ විකෘතිතා සාමාන්යයෙන් කුඩා වන අතර, සුළු දිග්ගැස්වීමකදීම පවා බිඳවැටීම සිදුවේ. ද්රව්යයක් බිඳවැටීම දක්වා ලබන සමස්ත දිග්ගැස්වීම, ද්රව්යයේ දිග්ගැස්විය හැකිභාවය (විරුද්ධාර්ථය: කඨිනතාව) සඳහා මිනුමක් වන අතර, එය වානේ සඳහා තාක්ෂණික කොන්දේසිවල නිවැරදිව නියම කර ඇත. එහෙත්, බිඳවැටීමට ටික මොහොතකට පෙර ඉදිරි විකෘති වීම අවට ඇති අඩු අනුකප්පල ප්රදේශවලට සංකේන්ද්රණය වන බැවින්, මිනුම් දිග සඳහා දණ්ඩයේ විශාල කොටස හෝ කුඩා කොටස ගන්නා බව අනුව බිඳවැටීමේදී ලැබෙන දිග්ගැස්වීමේ අගය වෙනස් වේ; එබැවින් එකම අර්ථවත් හා එකිනෙකට සැසඳිය හැකි ප්රතිඵල ලබාගැනීම සඳහා කලින්ම නිශ්චිත සම්මුතියක් භාවිත කළ යුතුය. සාමාන්යයෙන් බිඳවැටීමේදී ඇති දිග්ගැස්වීම මිනුම් කරන්නේ විෂ්කම්භය d වූ වටාකාර දණ්ඩයක පරීක්ෂණයට පෙර මිනුම් දිග Ι = 10 d ලෙස සලකුණු කර, එහි දිගුව ΔΙ මත පදනම්ව බිඳවැටීමේ දිග්ගැස්වීම εs_Ι = ΔΙ|Ι ලෙස ගණනය කිරීමෙනි._ වෙනස් අනුකප්පලයක් සහිත දණ්ඩ පරීක්ෂා කිරීමට අවශ්ය නම්, මිනුම් දිග සමාන තීර්යක් අංශ ප්රදේශයක් ඇති වටාකාර සිලින්ඩර දණ්ඩයක විෂ්කම්භය අනුව තීරණය කෙරේ.
දිගුකාලීන බරපතලකම
ආතන්ය පරීක්ෂණයේ ගමන්වලදී, බිඳීම දක්වා බර වැඩි කිරීම 10 m මිනිත්තු දහයකින් හෝ කිහිපයක් පැයවලින් සිදු වුවද, එය තරමක් අදාළ නොවේ. එහෙත්, බර වසර ගණනාවක් හෝ දශක ගණනාවක් ක්රියාකරන විට, ඇතැම් කොන්දේසි යටතේ, ප්රවාහ සීමාවට පහළින් පවා, නියත ආතතිය යටතේ කාලයත් සමඟ විකෘතිය සෙමින් වැඩි වන බව පෙනේ. එහිදී, ඉලැස්තික කොටස, එනම් අවසාන ලෙස බර ඉවත් කළ විට අතුරුදහන් වන කොටස, සැලකිය යුතු ලෙස වෙනස් නොවේ. දිගු කාලයක් තුළ සිදුවන මෙම අයුත්විත් විකෘතියේ වැඩිවීම ක්රීප් ලෙස හැඳින්වේ. ලෝහ සඳහා, සීසය හැර, ක්රීප් උෂ්ණත්වයන් ඉහළ වන විට පමණක් වැදගත් වේ; එහෙත් ගොඩනැගිලි ඉංජිනේරුවා සඳහා, එය සම්පීඩනය යටතේ සෙමින් අඩුවෙන කොන්ක්රීට්හිදී භූමිකාවක් ඉටු කරයි, එනිසා, එවැනි එකක් තිබේ නම්, සම්පීඩිත ආමේචරයේ ආතතිය වැඩිවේ.
විචල්ය බර
ඇදීමේ පරීක්ෂණයෙන් ලබාගත් ද්රව්යයේ යාන්ත්රික ලක්ෂණ, ව්යුහයන්ගේ අනුමත භාරය සඳහා මිනුමක් ලෙස භාවිත කළ හැකි වීමට නම්, ද්රව්යය එක් වරක් හානියක් නොමැතිව දරාගත් ආතතිය නැවත සෑම භාර දීමකදීම දරාගත යුතුය. භාරය සහ භාර අඩු කිරීම නිතර නිතර නැවත නැවත සිදුවන විට, උදාහරණයක් ලෙස අසම්පූර්ණ ලෙස සමතුලිත නොවූ යන්ත්රවල නිෂ්ක්රිය බලවලින් භාර ලැබෙන ආධාරකවලදී, මෙම කොන්දේසිය ඉටු නොවේ. භාරය ප්රමාණවත් තරම් නිතර නැවත නැවත කිරීමෙන්, සාමාන්ය ස්ථිතික පරීක්ෂණයකින් නියමිත ද්රව්ය ප්රබලතාවයට වඩා බොහෝ අඩු ආතතියකදීද ව්යුහාංගයක් බිඳවැටීමට ලක් කළ හැක. මෙම වර්ගයේ බිඳවැටීම හතිකිරීමෙන් ඇති බිඳවැටීම ලෙස හැඳින්වේ. ද්රව්යයකට දරාගත හැකි භාර චක්ර ගණන n, ආතතිය σ හි ප්රමාණය මත රඳා පවතී; එබැවින් ආතතිය කුඩා වන තරමට එය වැඩි වේ. මෙම රඳාපවීමේ සාමාන්ය උදාහරණයක් රූ. 9 හි පෙන්වා ඇති අතර, එයින් ද්රව්ය ප්රබලතාව සඳහා පහළ සීමාවක් පවතින බව පෙනේ; එය අනිච්චිත ලෙස විශාල භාර චක්ර සංඛ්යාවකදීද දරාගනී, එය ද්රව්යයේ ගතික ප්රබලතාව ලෙස හැඳින්වේ. මෙවැනි රූපසටහන් (රූ. 9) වොහ්ලර් වක්ර ලෙස හැඳින්වේ.
රූපය 9.
ව්යුහයන්ගේ ආරක්ෂාව
ගොඩනැගිලි සම්බන්ධයෙන් සීමාකාරකාරී බර දෙකක් වැදගත්ය: පළමු ස්ථිර හානි ඇතිවන බර (යාම සීමාව), සහ ව්යුහයේ දරණ හැකියාව අවසන් වී එය බිඳී යන බර (බිඳීම් සීමාව). යාම සීමාවට පෙර අවම වශයෙන් ආසන්නයෙන්වත් ද්රව්ය ප්රතිරෝධයේ උපකල්පන (කුඩා චලන, Hooke නියමය) වලංගු වන නිසා, ස්ථිර විකෘතිවලට එරෙහි ආරක්ෂාව ගණිතමය අපහසුතා ජයගත හැකි සියලු අවස්ථාවල විශ්වාසදායී ලෙස ඇස්තමේන්තු කළ හැක. ආතතිය බරට සමානුපාතික නම්, යාම් ආතතිය සහ ව්යුහයේ ඇති වන උපරිම ආතතිය අතර අනුපාතය, යාම ඇතිවන බර සහ සැබෑ බර අතර අනුපාතයට සමාන වන අතර, එය යාමට එරෙහි ආරක්ෂක ගුණාංකය නිරූපණය කරයි. කෙසේ වෙතත්, අවස්ථා ගණනාවක මෙම සරල සම්බන්ධතාව නොපවතී: ආතනය නොසලකා හරින විට වංගුව, වටකුරු මතුපිට අතර පීඩනය, ව්යුහය වෙනස්වන පද්ධති, සහ විශේෂයෙන් අනුචිත වන්නේ අක්ෂීය බලය සමඟ වූ වංගුවයි. මෙම සියලු අවස්ථාවල බරේ සාපේක්ෂව සුළු වැඩිවීමක්ම ආතතියේ විශාල වැඩිවීමකට හේතු විය හැකි අතර, එවිට සාමාන්ය ආරක්ෂක ගුණාංකය ආතතීන්ට යෙදීම ප්රමාණවත් නොවී, එය බරට යෙදිය යුතුය.
යට වීමේ සීමාව ඉක්මවා බිඳවැටීම දක්වා ඇතිවන ප්රපංච බොහෝ අවස්ථාවලදී තවදුරටත් ගුණාත්මකව පමණක් අනුගමනය කළ හැක. ද්රව්යය දිගුවන සුළු නම්, මුලින්ම යට වීමේ සීමාවට ළඟා වන සහ පසුව නියත ආතතියකදී හෝ සුළු වශයෙන් වැඩෙන ආතතියකදී තවදුරටත් විකෘති වන කොටස්, ඊට පසුවේ බර භාර ගැනීමට සුළු වශයෙන් පමණක් සහභාගි වේ; එබැවින් ව්යුහයේ ගොඩනැගීම් ස්වභාවය සැලකිල්ලට ගත්විට හැකි නම්, අඩු ආතතියට ලක් වූ අනෙකුත් කොටස් දරණ කාර්යයට වැඩි වශයෙන් සහභාගි වේ. ආතති උච්චතා සම කිරීමේ මෙම ප්රවණතාව තුළ යම් ආරක්ෂණ සංචිතයක් පවතී; එක් සැලකිය යුතු බරක් පමණක් ඇතිවී කිසියම් කොටස්වල ස්ථිර විකෘති වීම හානිකර නොවන්නේ නම්, එය ගණනයෙන් භාවිතා කළ හැක (සීමා බර ක්රමය).
ද්රව්යය භුරුට්ටු නම්, පළමු ස්ථිර හානිය පුපුරීම්වලින් පෙනී යයි; ඒ නිසා අවදානම් ස්ථානයේ ආතතිය තව තවත් වැඩි ලෙස එකතුවෙයි, එය වහාම බිඳීමක් ඇති කරයි. තෙහෙට්ටුව නිසා සිදුවන බිඳීම ද දිගු වශයෙන් විකෘති විය හැකි ද්රව්යවලදී භුරුට්ටු බිඳීම්වල ලක්ෂණ දරයි.
විවිධ අංශීය තල සඳහා ආතති අතර සම්බන්ධතා
පරිවර්තන සමීකරණ
රූ. 1 හි ආතති සංරචක නවය සමතුලිතතාවයේ කොන්දේසි තුනක් සමඟ සම්බන්ධ වේ. ඉතිරි අගයන් හය වන σx, σy, σz τxy, τyz, τzx එකිනෙකින් ස්වාධීනව අහඹු අගයන් ලබා ගත හැකි බව ඉලාස්ටිසිටි න්යායේ අවකල සමීකරණ උත්පාදනයෙන් පෙනේ. එහෙත්, මෙම අගයන් දී ඇති විට, ඝන දේහයේ කිසියම් බින්දුවක ආතති තත්ත්වය සම්පූර්ණයෙන්ම නිර්ණය කර ඇත; එනම්, එකිනෙකට ලම්බක තල තුනකට අදාළ ආතති දැන සිටින විට, දී ඇති බින්දුව හරහා ගමන් කරන සහ එහි සාමාන්යය අහඹු දිශාවක් ඇති සිව්වැනි තලයක් සඳහාද ආතතිය එකම අර්ථයෙන් තීරණය කළ හැක.
රූ. 10 හි OABC ටෙට්රාහීඩ්රය පෙන්වා ඇත; එහි පැති තුනක් සම්බන්ධීකරණ පද්ධතියේ x, y, z තලවලට සමාන්තර වන අතර, සිව්වැනි පැත්ත ඕනෑම දිශාවකට හැරවූ පෘෂ්ඨ මූලද්රව්යයක් ABC = dF. නිරූපණය කරයි. එහි දිශාව සහ එය හරහා සම්ප්රේෂණය වන ආතනයේ දිශාව දැක්වීමට දෙවන සම්බන්ධීකරණ පද්ධතියක් හඳුන්වාදෙන අතර, එහි ξ අක්ෂය dF ට ලම්බ වේ.
රූපය 10
ξ අක්ෂයේ දිශාවෙන් මෙම ටෙට්රාහෙඩ්රනයට ක්රියා කරන බලවල සමතුලිතතා කොන්දේසියෙන් ලැබෙන්නේ
සලකා බැලුවහොත් එය
ලැබේ
හා එයට සමානව η අක්ෂය දිශාවේ සමතුලිතතා කොන්දේසි වලින්:
මේවා ඛණ්ඩාංක පරිවර්තනයේදී ආතතිය ගණනය කිරීමට භාවිතා වන සමීකරණ වේ. විශේෂ වැදගත්කමක් ඇත්තේ ξ-අක්ෂය z-අක්ෂය සමඟ සමපාත වන dF පෘෂ්ඨ අංග පමණක් සලකා බැලීමයි. මෙම අවස්ථාව සඳහා ආකෘති පෙර ආකෘති සරල කිරීමෙන් ලබා ගත හැකි අතර, නැතහොත් සෘජුවම රූපය 11 වෙතින් කියවිය හැක:
රූපය 11
සාමාන්ය ආතනය α = α0 දිශා සඳහා අතිශය අගයන් ගන්නා අතර, ඒ සඳහා dσξ/dα = 0. වියුත්පන්න කිරීමෙන් සමීකරණය (16) මඟින් ලබාගන්නේ
ඒ නිසා, මෙම ප්රකාශය ශූන්යයට සමාන කළ විට
ආතතිය τξη මෙම තලවල සම්පූර්ණ කැපීම් ආතතියද වනු ඇත, যদি τyz = τzx = 0 නම්. එවිට සූත්රය (17) මගින් එකිනෙකට සෘජු දිශා දෙකක් නියම වන අතර, ඒවා සඳහා: 1. සම්පූර්ණ කැපීම් ආතතිය ශූන්යය වන අතර, 2. සාමාන්ය ආතතිය අතිශය අගයන් (උපරිමය සහ අවමය) ගනී. මෙම දිශා ප්රධාන ආතති දිශා ලෙස හැඳින්වෙයි, සහ අදාළ ආතති ප්රධාන ආතති ලෙස හැඳින්වෙයි. ඒවා σ1 සහ σ2 ලෙස සලකුණු කරනු ලබන අතර, සූත්රයෙන් සෘජුවම ගණනය කළ හැක
Mohr-ගේ වෘත්තය
සමීකරණ (16) දෘශ්යමය ලෙස පැහැදිලි ආකාරයකින් නිරූපණය කළ හැක. ඒ සඳහා ඒවා පහත ආකාරයට පරිවර්තනය කළ යුතුය:
මෙම සමීකරණ σ, τ ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය තුළ, චිත්රය 12 හි ඇඳ ඇති වෘත්තයේ සමීකරණයේ පරාමිතික ආකාරය නියෝජනය කරන අතර, එහි මධ්යයේ ඛණ්ඩාංක σ = 1/2 (σx + σy), τ = 0 වන අතර එහි අරය
මෙම වෘත්තය මෝර් වෘත්තය ලෙස හැඳින්වේ. x ලක්ෂය හරහා x =const. කප්පාදුවට සමාන්තර රේඛාවක් ඇඳූ විට, එය හරහා σx, τxy ආතතීන් සම්ප්රේෂණය වන අතර, එම රේඛාව වෘත්තය p ලක්ෂයේ දී කපා හරියි; එය මෝර් වෘත්තයේ ධ්රුවය ලෙස හැඳින්වේ. මෙම ධ්රුවය හරහා ඇඳෙන සෑම pξ රේඛාවක්ම වෘත්තය ξ ලක්ෂයේ දී කපා හරින අතර, pξ ට සමාන්තර කප්පාදුවක් හරහා සම්ප්රේෂණය වන σξ, τξη ආතතීන් ඒ මඟින් නිරූපණය වේ.
මෝර් වෘත්තය ඇඳීමේදී කප්පාදු ආතතින්ගේ ලකුණ සම්බන්ධයෙන් සැලකිලිමත් විය යුතුය; ඒවා රූ. 12c හි පෙන්වා ඇති දිශාව තිබේ නම් ඉහළට යෙදේ. එබැවින් τxy, τyx යන සම්බන්ධ ආතති දෙකෙන් එකක් සැමවිටම ධන සහ අනෙක ඍණ වේ.
සීමා අගයන් σ1, σ2 සාමාන්ය ආතතීන්ට වෘත්තයේ 1 සහ 2 ලක්ෂ්ය අනුරූප වේ, සහ _p_1 හා _p_2 සෘජු රේඛා ප්රධාන ආතතීන්ගේ දිශා ලබා දෙයි.
x-y තලයේ පවතින ආතතින් මෝහර් වෘත්තය මඟින් නිරූපණය කිරීම මෙම තලයට ලම්බව ඇති σz, τxz, τyz ආතති පිළිබඳ කිසිදු උපකල්පනයකට බැඳී නොපවතී.
රූපය 12
ඒ අනුව, මෙය මෙහි z සහ ξ අක්ෂ ලෙස තෝරාගත් එකම සෘජු රේඛාව හරහා යන කප්පාදු තලයන් පමණක් සසඳන්නේ නම්, වඩාත් සාමාන්ය ත්රිමාණ ආතති තත්ත්වයටද අදාළ වේ. සාමාන්ය පරිවර්තන සමාකරණවලට අනුව (15) සාමාන්ය ආතතිය σ කිසිදු කප්පාදු තලයකදී අසීමිත වීමට නොහැකි බැවින්, එයට එක් තලයක් සඳහා සීමිත උපරිමයක් σ1 සහ තවත් තලයක් සඳහා අවමයක් σ3 තිබිය යුතුය; ඒ දෙකම, තේරීම් අනුව, ඍණ වියද හැක. σ1 සහ σ3 දෛශික හරහා තලයක් ගෙන මෝර් වෘත්තය ඇඳි විට (රූ. 13)
රූපය 13
මෙම තලයේ පවතින ආතති සඳහා (අර්ථාත් මෙම තලයට ලම්බ වන සියලුම දිශා සඳහා), එවිට σ1 සහ σ3 ඇති විය හැකි විශාලතම සහ කුඩාම සාමාන්ය ආතති වන අතර ඒ අනුව ඒවා එකිනෙකට ලම්බ විය යුතුය. 1 සහ 3 දිශා 2 දිශාවෙන් පූරණය කර මෙම ත්රි දිශා සෘජුකෝණී ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් සාදන ලෙසත්, 1 ~2 සහ 2 ~ 3 තල සඳහා Mahr වෘත්ත ඇඳූ විටත්, τότε σ2 මෙම වෘත්ත දෙකෙන් එකකට විශාලතම සාමාන්ය ආතතිය වන අතර අනෙකට කුඩාම සාමාන්ය ආතතිය වේ; එබැවින් 1, 2 සහ 3 දිශා වලට ලම්බ වූ කප්පාදුවලදී කප්පාදු ආතතිය ශූන්ය වේ. කප්පාදු ආතති නොමැති, එකිනෙකට ලම්බ සාමාන්ය ආතති තුන σ1, σ2 සහ σ3 ප්රධාන ආතති ලෙස හැඳින්වේ.
ප්රවාහණ සීමාව සහ විකෘති වීමේ සීමාව, අවකාශීය මානසික ආතති තත්ත්වයේදී
ආතති තත්ත්වය එක්-, දෙ- හෝ ත්රිමාණ ලෙස, වෙනත් ලෙස කිවහොත් රේඛීය, තලීය හෝ අවකාශීය ලෙස හැඳින්වේ; එය එක, දෙක හෝ සියලුම ප්රධාන ආතති ශූන්යයෙන් වෙනස්ද යන්න මත පදනම් වේ. බහුලව භාවිතා වන ව්යුහාත්මක කොටස්, එනම් ආතනයට ලක් වූ, සම්පීඩනයට ලක් වූ සහ වක්ර වූ දණ්ඩයන්හි, අවම වශයෙන් වැඩිම ආතතිය ඇති ස්ථානවල ආතති තත්ත්වය එක්මාණීය වේ; එමෙන්ම ද්රව්ය පරීක්ෂණයේදී අනුමත ආතති තීරණය සඳහා ප්රායෝගිකව පමණක් භාවිතා කරන ආතනය, සම්පීඩනය හෝ වක්රණ පරීක්ෂණවලද එසේමය. එයට විරුද්ධව, තම තලය තුළ හෝ එයට ලම්බව භාරගත් තහඩු සහ කවචවලදී ආතති තත්ත්වය ද්විමාණීය වන අතර, ඇතැම් අවස්ථාවල ත්රිමාණ ආතති තත්ත්වද පෙනී එයි; එබැවින් එක්මාණීය ආතති තත්ත්වයකදී තීරණය කරන ලද ප්රවාහ සීමාව සහ භංග සීමාව මත පදනම්ව අවකාශීය ආතති තත්ත්වයකදී ද්රව්යයේ හැසිරීම පිළිබඳ නිගමන ගත යුතුය.