材料：材料力學與彈性理論

基礎

材料力學的任務是確定堅固的物體（例如建築物、結構構件或土體）能承受哪些外力。為了回答這個問題，需依據兩項準則：一方面，應力不得超過取決於材料種類的某些界限；另一方面，外力與內力之間的平衡必須保持穩定。依此，材料力學中的所有問題可分為「應力問題」與「穩定性問題」。

對於桿件與梁，以及由其組成的構件（桁架、框架），應力的求定分兩步進行：首先根據已知外力計算透過截面的內力合力，然後再由這些「截面力」求出應力。第一部分屬於一門獨立且內容龐大的學科——結構力學，它有其成熟的方法，通常與材料力學分開；材料力學的任務則歸結為由給定截面力求應力。

材料抗力的基本概念

應力的定義可由以下基本考察得出。設有一組平衡的外力作用於物體。假設我們用任意一個截面將物體分成兩部分，並將其中一部分連同作用於其上的力一併移除；那麼，為了使另一部分上的力的平衡與變形分佈保持不變，原本透過截面表面傳遞的作用，必須以附加力來取代。這些「內部」力連續分佈於截面表面，因此表面元素 dF 對應一個力 dβ。若形成比值 dβ dF 並令 dF -> 0 取極限，則此比值趨近於稱為應力的極限值。某一表面元素中的應力，如同 dβ 一樣，可分解為相對於 dF 的法向與切向分量，即正應力 σ 與剪應力 τ。

若通過同一點沿不同方向取截面，則其應力也會不同。特別是，若從構件中取出如圖 1 所示的微小立方體，則其六個表面上各自都會作用一個應力向量，並可分解為沿坐標軸 x、y、z 方向的三個分量。作用於相對兩面的應力彼此當然僅相差微分量，因此應區分 3 * 3 = 9 個分量應力，其標示如下：

正應力 σ 以其所在方向的軸為下標，當其造成拉伸時取正，造成壓縮時取負。剪應力 τ 具有兩個下標，其中第一個與相應正應力的下標相同，第二個則對應剪應力作用方向的軸。若相應正應力的正方向與正（負）座標軸方向一致，則剪應力在其作用方向與正（負）座標軸方向一致時也視為正。

圖 1.

 剪應力的共軛性

若對元素長方體（圖 1）設條件，使所有力對 x 軸的力矩為零，則得 τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz。由此並結合對 y 軸與 z 軸的兩個相應方程，可得具有相同下標的剪應力彼此相等：τxy = τyx，τyz = τzy，τzx = τxz（1）

構件變形

前述應力之所以具有物理意義，源於它們與外力作用下任何物體所承受的變形之定義之間的關係。圖 2 顯示一個基本長方體，在變形前為矩形，邊長為 dx、dy、dz。變形後的邊長可表示為 dx + Δdx、dy + Δdy、dz + Δdz；比值 εx = Δdx|dx、εy =Δdy|dy、εz = Δdz|dz 稱為伸長率。這些量皆無量綱，且對於建築工程中所涉及的所有材料而言，相較於 1 都很小。除了邊長的伸長之外，基本長方體 dx * dy * dz 還可能承受其側面之間原本直角的改變。

圖 2。分量變形

設變形後沿邊 OC 會合之平面之間的角度等於 ，同樣地，沿邊 AO 的直角減少量等於 γyz，而沿邊 OB 的減少量等於 γzx。這三個角度變化 γxy、γyz、γzx 稱為剪切變形，並且相對於 1 也總是很小。由六個分量 ε 與 γ 可完全確定基本六面體在「小變形」中的變形。體積元素 d_V = dx * dy * dz_ 的變化為 ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, 因而在忽略各伸長乘積作為更高階小量後，可得立方體積應變 ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2)

位移

固體的變形也可以這樣完全描述：對其每一個點給出該點所經歷的位移。如果從觀察中排除對應於剛體運動的有限位移，並在必要時在計算中採用可移動座標系，則分量位移 μ、ν、ω 始終為小量，而它們對座標的導數相對於 1 也很小。在這一假設下，依圖 3，線元素 OA = dx 的長度在變形後

因此  (3)

同樣地，由圖 3 可知，滑移 γxy = γ1 + γ2；並且

 (4)

圖 3 滑移

(5)  (6)

這些關係稱為相容條件，表示變形後的元素可以像拼圖一樣互相契合，使空間連續地被填滿；若元素的變形是任意的，則無法達成此一狀態。相容條件是微分方程，因此，當然，每個單獨長方體的全部六個分量變形彼此相互獨立，但它們在任何有限展開區域中的配置則受條件（5）與（6）所約束。

由於這些條件是透過對方程（3）與（4）求導而得，在推導過程中會失去原始方程中所包含的一部分關係。因此，不能只滿足這兩組方程中的其中一組；若要保證變形相容性，兩組方程都必須同時滿足。

彈性系統微分方程

計算彈性體中的應力與變形可使用下列方程：

體積元素的平衡條件。 三個軸向的力矩皆為零的條件，已在推導方程式（1）時使用過。由圖 4 可得力的平衡條件

圖 4

(7a-c)

若以 X、Y、Z 表示體積力（例如重量、離心力）在單位體積上的分量。應力與變形之間的關係。 此處意指分量應力與分量變形之間的關係。在彈性理論中，通常只考慮線性關係，並以虎克定律表示：

(8a-c)

(8d-f)

若將方程式（8a-c）按應力求解，則可得

(8 a)

以及兩個相應方程式。以方程式（8）表達的胡克定律，並不是一條嚴格成立的自然定律，而是對實際行為的理想化；實際行為會因材料與應力大小而有多或少的偏離。鑑於對於具有複雜、非線性應力－變形關係的材料力學問題，數學處理困難得多，而且實際上只能在最簡單的情況下進行，因此即使對那些其行為明顯偏離胡克定律的材料（混凝土！），基於胡克定律的計算也必須作為第一種、且多數情況下也是唯一的近似解；再者，這種解通常非常實用，並且所提供的認識不僅僅是定性的。 G = E|2 (1+μ).

它必然由應力與應變之間的關係（8）、應力變換方程（16）以及相應的組成應變方程組推得。E 和 G 具有應力的量綱，對所有建築材料而言，其值相對於可能出現的應力 σ 與 τ 都很大。正是基於這一事實，彈性力學理論普遍採用應變很小的假設。橫向膨脹係數（Poisson 比）μ 無量綱，且總是介於 0 與 1/2 之間。

分量變形與位移之間的關係。 這些關係由方程式（3）、（4）給出。它們純屬幾何性質。這三組系統給出 3+6+6=15 個方程式，對應 15 個未知量，即 6 個分量應力、6 個分量應變以及 3 個分量位移。因此，它們足以決定這些未知量。當然，如此龐大的微分方程系統只能在特殊情況下才可能以數學方式求解。若在方程式（8）中，依據方程式（3）與（4）以分量位移取代分量應變，然後再將正應力 σ 與剪應力 τ 依據方程式（8 d - f）代入平衡條件，式（7），即可得到稱為彈性理論基本方程式的微分方程。

(9)

其中  表示拉普拉斯算子。根據 (2), 這是三個含三個分量位移 μ、ν、ω 的微分方程；再由這些方程，依據 (3)、(4) 與 (8) 作微分，即可求得所有分量應力與應變。方程 (9) 往往是研究特殊情況時很方便的起點。

變形功

定義

當構件受載時，外力作用點會產生彈性位移，而力在此過程中做一定的功。如此引入的能量可以轉化為不同的形式。若載荷突然施加，使變形過程具有相當速度，則其中一部分能量轉化為動能，並隨時間逐漸耗散：或是以彈性波形式傳遞到地基並在無限遠處消失，或是由於內摩擦而轉化為熱。如果載荷施加得十分緩慢，以致不產生可察覺的動能增加，也就是說，從零開始逐漸增大的載荷始終與內力處於平衡，則這些能量顯然完全用於使物體變形，這時稱為變形功。

我們先以一個受到單向拉伸載荷的小部分來說明變形功的計算（圖 5）。

設既有應力 σ 與相應應變 ε 分別產生增量 dσ 與 dε。則力 σdF 在路徑 dε * dl 上所作的功為  σdF * dεdl = σdεdV，若以 dV 表示該微小部分的體積。若應力由零增加至其最終值，而相應應變由 0 增至 ε，則單位體積所做的總功為：

同樣地，對於受剪應力 τ 作用的構件（圖 6），單位體積的變形功（比變形功、彈性位能）為：

其中只有四個力中的一個 τ * dF 會做功。

在一般情況下，當六個分量應力都作用於一個微元時，特定變形功可由各分量應力所作之功相加而得：

(10)

對每個積分的上限求導，可得在最一般情況下成立的關係：

(11)

以及其他各分量變形亦同。若物體是彈性的，則對於任何既定應力狀態，總是對應相同的變形狀態，不論該狀態是在加載或卸載時達到的。此時積分下方為單值函數，而在加載後再完全卸載時所消耗的總能量 a = 0，因為在這種情況下積分的上限變為零。因此，在加載時輸入物體的總能量，在卸載時可全部回收。

圖 6

圖 7

對於不完全彈性體，在整個載荷與卸載循環中，應力與變形之間的關係，其形狀大致如圖 7 中 O A B. 線所示。載荷時輸入的能量， 等於區域 OAA,，而卸載時回復的能量為區域 ABA,，因此對應於陰影面積的功會損失（轉化為熱）。若在振盪過程中，應力週期性地在正極限值 與負極限值 之間變化，則非彈性變形的進行方式與圖 7 中虛線所示相似，且在每一個振動週期中，單位體積轉化為熱的能量為 DABCD。在變形過程中，變形落後於應力的這種行為稱為 彈性滯後，而曲線 DABCD 稱為滯後環。

變形功與胡克定律

若在方程式（10）的積分中代入胡克定律，便可進行積分，從而得到單位變形功的表達式：

(12a)

(12b)

(12c)

若將這兩種形式中的另一種代入方程式（11），又可得到胡克定律，方程式（8），以應力表示的形式。關於變形功取決於各分量變形的敘述，如方程式（12b）所示，因此等同於胡克定律。當方程式（12c）對應力微分時，可得

(13)

這些公式與公式 (11) 不同，只適用於遵循胡克定律的材料，當應力與變形之間的關係不同時則無法套用。毋庸置疑，在方程式 (13) 的右側只包含由應力引起的分量變形，而排除所有其他可能因溫度變化、蠕變、膨脹、再結晶等所產生的變形。

彈性理論中的積分定理

虛位移。勢能最小原理

正如胡克定律，方程（8）可由一個方程（12b）取代一樣，也可以用虛位移原理取代平衡條件，作為普遍適用的力學基本定律。此定律表明，平衡狀態的特徵在於：在變形狀態作微小改變時，所有力所作的總功等於零。若將彈性位移的微小變化記為 δμ δν, δω，則由方程（7）定義的體力將作虛功

以及作用於物體外表面元素 dF 的表面力 px, py, pz 實功

其中三重積分是針對整個體積，而雙重積分是針對構件的整個外表面。計算內力所做功時，採用公式 (12b)，因此每單位體積的功為

虛位移原理據此給出

(14)

如果將荷載 X、Y、Z px、py., pz 視為重力的分量（自重與外部荷載），則右側積分表示這些荷重所失去的位能，而左側則表示構件彈性位能的增量，因此此原理表明，支承構件及其上荷重的總位能在平衡狀態下具有極值。若此極值為最小值，則平衡是穩定的。

以方程 (14) 表示的最小位能原理、變形功的表達式 (12b) 與變形相容條件 (5)、(6)，構成一組足以建立彈性理論、且在本質上與方程組等價的方程系統。當滿足微分方程 (9) 在計算上有困難，因此必須尋求近似解時，這個系統尤其有用，例如先將位移預設為一種包含若干自由常數的適當形式，再依據方程 (14) 必須滿足的要求來決定這些常數。如此雖然不能得到問題的嚴格解，只能得到以所選解的形式所能達到的最佳近似。近似是否足夠，首先取決於所採用的解的形式，因此這種方法的成功應用需要技巧與經驗。

卡斯蒂利亞諾原理

在最小勢能原理中，比較所有滿足變形相容條件的變形狀態，並從中選出其對應應力滿足平衡條件者；而在 Castigliano 原理中，比較所有滿足平衡條件的應力狀態，並從中選出其對應變形滿足變形相容條件者。此原理表述為：在所有可能的平衡狀態中，實際發生的是對應最小變形功者。Castigliano 原理連同變形功方程（12c）以及平衡條件，構成一組足以建立材料力學的方程組。鑑於此原理包含胡克定律，其適用性取決於一項假設，即變形能完全以此定律描述。這不僅要求材料具有線彈性行為，還排除了溫度變化的影響。

超過彈性極限時的材料行為

靜載荷下的現象

材料在應力作用下的變形是一種非常複雜的現象，因此必須從不同角度加以簡化，才能理解。其中一項簡化是假設載荷是逐步施加的，如在拉伸與壓縮試驗中對試樣所做的那樣。

如果將受拉的鋼棒施加逐漸增大的荷載，並測量其伸長量 ε，便可得到圖 8 所示的圖表。起初伸長量非常小，並與應力成正比，正如胡克定律所要求的那樣。從某一特定應力開始，比例關係即不再成立，伸長量增長得更快。這種比例界限的確切位置很難確定。測量越精確，所得數值就越低。對大多數材料而言，它位於 σ = 0，因此胡克定律此時僅代表彈性行為的第一近似，即泰勒級數中函數 ε = ε(σ) 在座標原點附近展開的首項。

若將桿件卸載，可以觀察到，當應力不太大時，變形也會消失，這符合胡克定律。但如果超過某一接近比例極限、即所謂彈性極限的應力，情況也會改變；此時總變形由彈性（可恢復）部分與非彈性（永久）部分組成。彈性極限也無法精確確定，測量精度越高，其值就越低。然而，由於它具有很大的技術意義，因為它幾乎是材料力學中所有計算的重要界限，同時也是出現首批永久損傷的界限，因此在試樣試驗中會依某一既定慣例嚴格定義，例如作為 0.2% 界限時，將永久伸長達到 0.2% 的應力稱作該界限。

超過彈性限後，變形會急劇增加，且可肉眼觀察到；在幾乎恆定的應力下，試桿會持續伸長。此應力稱為屈服極限。在液壓材料試驗機中，還可觀察到開始屈服後應力有不同程度的下降；如圖 8 以虛線所示；此時峰值稱為上屈服極限，之後出現的恆定屈服應力稱為下屈服極限。

當達到某一延伸量後，該延伸幾乎完全屬於非彈性，應力又開始上升，材料發生硬化。在此載荷區間，由於（非彈性）側向收縮，棒材的橫截面明顯縮小，而應力與變形圖的後續發展，首先取決於在計算應力 σ 時，作用於棒材的拉力 P 是除以原始截面 F0，還是除以當前截面 F。對技術用途而言，感興趣的是應力 P|F0。此應力會達到一個稱為材料強度的最大值，當超過這個最大值後，棒材會在某一處劇烈縮頸並斷裂。「真實應力」P|F 一直增加到破壞為止。

圖 8.

其他金屬材料的行為在很大程度上偏離此處所述。通常不會出現明顯的流動，而硬化則在超過彈性極限後立即開始。對於脆性材料（石材、玻璃、混凝土），非彈性變形通常很小，且在很小的延伸量下就會發生破壞。材料在破壞前所承受的總延伸量，是材料延展性（相反：脆性）的衡量，對鋼材則在技術條件中有明確規定。然而，由於在破壞前不久，進一步的變形會集中於縮頸部位的周圍區域，因此破壞時的延伸值會因作為測量長度所取的是桿件較大或較小的一部分而不同；因此，為了取得明確且彼此可比的結果，必須事先採用某一特定慣例。破壞時的延伸通常是這樣測定的：在直徑為 d 的圓桿上於試驗前標記測量長度 Ι = 10 d，並由其伸長量 ΔΙ 計算破壞時延伸率 εs_Ι = _ΔΙ|Ι 。 若需測試其他截面的桿件，測量長度則按具有相同橫截面面積之圓柱形圓桿的直徑來確定。

長期荷載

對於拉伸試驗的過程而言，載荷增加到破壞是在 10 m 分鐘內還是幾小時內，基本上都無所謂。然而，如果載荷作用多年或數十年，在某些條件下可以觀察到，即使低於屈服極限，在恆定應力下的變形也會隨時間緩慢增加。其中彈性部分，也就是在最終卸載時消失的那一部分，並不會明顯改變。這種在長時間內發生的非彈性變形增加稱為蠕變。對金屬而言，除鉛之外，蠕變只有在高溫下才重要；然而，對土木工程師來說，它在混凝土中很重要，因為混凝土在壓力作用下會略微讓步，因此若存在受壓鋼筋，其應力就會增加。

可變荷載

為了使依拉伸試驗所得的材料機械性能可用作構件容許荷載的判定依據，材料在每次重複受載時都必須能承受其曾一次無損承受的應力。若材料頻繁反覆受載與卸載，則此條件並不成立，例如由未完全平衡機器的慣性力所作用的梁即屬此例。透過足夠頻繁的重複受載，構件即使在遠低於一般靜力試驗所測得材料強度的應力下，也可能發生破壞。此類破壞現象稱為 疲勞破壞。材料可承受的載荷循環次數 n 取決於應力 σ 的大小，因此應力越小，所能承受的循環次數越多。此一關係的典型例子見圖 9，其中可見材料強度存在一個下限，即使在任意大量的載荷循環下也能承受，稱為 材料的動態強度。此類圖表（圖 9）稱為 Wӧhler 曲線。

圖 9.

結構安全性

對結構而言，有兩個極限荷載十分重要：其一是出現首次永久損傷的荷載（屈服極限），其二是結構承載能力耗盡並發生破壞的荷載（破壞極限）。由於在屈服極限之前，材料力學的假設（小位移、胡克定律）至少近似成立，因此在能夠克服數學困難的所有情況下，都可以可靠估計對永久變形的安全性。若應力與荷載成正比，則屈服應力與結構中出現的最大應力之比，等於發生屈服時的荷載與實際荷載之比，並表示屈服安全係數。然而，在許多情況下並不存在這種簡單關係：如不考慮拉力的彎曲、凸面之間的壓力、結構形式可變的系統，以及尤其不利的帶軸向力彎曲。在所有這些情況下，荷載僅略微增加就可能導致應力大幅增加，此時不能只將通常的安全係數用於應力，而必須用於荷載。

超過屈服極限直到破壞之後所發生的現象，在大多數情況下已經只能作定性觀察。若材料具有延展性，最先達到屈服極限並在恆定應力或僅略有上升的應力下繼續變形的部分，對承受後續荷載的貢獻較小，因此其餘受力較小的結構部分在結構形式允許的情況下，會更多地參與承載。這種趨向於均化應力峰值的現象蘊含著一定的安全儲備；如果某些部件僅因一次顯著荷載而產生的永久變形無害，則可在計算上加以利用（極限荷載法）。

如果材料是脆性的，最初的永久損傷會表現為裂紋；由此在受損處產生更強的應力集中，立即導致破壞。即使在延性材料中，疲勞破壞也具有脆性斷裂的特徵。

 不同截面平面上的應力之間的關係

變換方程

圖 1 中的九個應力分量，受三個平衡條件所約束。其餘六個量 σx、σy、σz、τxy、τyz、τzx 可彼此獨立地取得任意值，這可由彈性理論微分方程的推導看出。然而，一旦這些值已知，某一固體中某點的應力狀態就完全確定，也就是說，當已知三個互相垂直平面的應力時，即可唯一確定通過該點且其法線方向任意的第四個平面的應力。

圖 10示出四面體 OABC，其三個面與座標系統 x, y, z 的平面平行，而第四面則為任意取向的表面元素 ABC = dF. 為了標示其方向及經由其傳遞的應力方向，引入另一個座標系統，其 ξ 軸垂直於 dF.

圖 10

作用在此四面體上、沿 ξ 軸方向之力的平衡條件給出

如果考慮到這一點，

得到

以及類似地，根據沿 η 軸方向的平衡條件：

這些是用於計算座標變換時應力的方程式。尤其重要的是，只考察那些 dF 面積元素，其中 ξ 軸與 z 軸重合。此情況的公式可由前述公式簡化得到，或直接由圖 11 讀出：

圖 11

當方向 α = α0 時，法向應力取極值，對應於 dσξ/dα = 0。對方程式 (16) 進行微分可得

因此，當此表達式等於零時

應力 τξη 同時也是這些平面上的總剪應力，若 τyz = τzx = 0。則由方程（17）可確定兩個彼此垂直的方向，對於這兩個方向：1。總剪應力為零，而且，2。法向應力具有極值（最大值與最小值）。這些方向稱為主應力方向，相應的應力稱為主應力。它們表示為 σ1 與 σ2，可直接由公式計算

 莫爾圓

方程式（16）可用圖形方式直觀表示。為此，應將其轉換為以下形式：

這些方程在座標系 σ、τ 中，表示圖 12 所示圓的參數式，其圓心座標為 σ = 1/2 (σx + σy)，τ = 0，且其半徑為

這個圓稱為莫耳圓。若通過點 x 作一條與截面 x =const. 平行的直線，應力 σx、τxy 即透過該截面傳遞，則此直線會與圓相交於一點 p，稱為莫耳圓的極點。通過此極點作出的任一直線 pξ 會與圓相交於點 ξ，該點確定透過與 pξ 平行的截面所傳遞的應力 σξ、τξη。

在繪製莫耳圓時，關於剪應力的符號要注意：如果其方向如圖 12c 所示，則應向上標示。因此，在兩個共軛應力 τxy、τyx 中，總有一個為正，另一個為負。

正常應力的極限值 σ1、σ2 對應圓上的點 1 與 2，而直線 _p_1 與 _p_2 給出主應力的方向。

用莫耳圓表示位於 x-y 平面內的應力，與對此平面垂直的應力 σz、τxz、τyz 並無任何假設上的關聯。

圖 12

因此，這也適用於最一般的三維應力狀態，只要比較的只是所有通過同一直線的截面平面，而此直線在此被選為 z 與 ξ 軸。由於依一般變換方程式（15），法向應力 σ 對任何截面平面都不可能變為無限大，因此它對某一平面必須有有限最大值 σ1，對另一平面有最小值 σ3，二者當然也都可以是負值。若穿過向量 σ1 與 σ3 作一平面並繪出莫爾圓（圖 13）

圖 13

對於位於此平面內的應力（即所有垂直於此平面的方向），則 σ1 和 σ3 是可能出現的最大與最小正應力，因此它們必須彼此垂直。若將方向 1 與 3 以方向 2 補足，使這三個方向構成直角座標系，並為平面 1 ~2 及 2 ~ 3 繪製莫爾圓，則 σ2 對其中一個圓是最大正應力，對另一個圓是最小正應力，因此在垂直於方向 1、2 和 3 的截面中，剪應力等於零。三個彼此垂直且不對應剪應力的正應力 σ1、σ2 和 σ3，稱為主應力。

    在空間應力狀態下的屈服極限與破壞極限

應力狀態稱為一維、二維或三維，亦即線性、平面或空間狀態，視一個、兩個或三個主應力是否有一個、兩個或全部不為零而定。在最常使用的構件，即受拉、受壓和受彎桿件中，應力狀態至少在最大受力處為一維；在材料試驗中幾乎專門用來確定許用應力的拉伸、壓縮或彎曲試驗亦然。相反地，對於在其平面內或垂直於其平面受載的板，以及對殼體而言，應力狀態是二維的；在某些情況下也會出現三維應力狀態，因此有必要根據在一維應力狀態下確定的屈服與破壞界限，推論材料在空間應力狀態下的行為。