Basi
U compitu di a resistenza di i materiali hè di stabilisce quali forze esterne pò suppurtà un corpu solidu (per esempiu, una custruzzione, una parte strutturale o un terrenu). Per dà una risposta à sta quistione si parte da dui criterii: da una parte, i sforzi ùn devenu micca superà certi limiti chì dipendenu da u tippu di materiale, è da l’altra parte l’equilibriu trà e forze esterne è interne deve esse stabile. In cunfurmità cù què, tutti i prublemi di resistenza di i materiali ponu esse spartuti in “Prublemi di sforzu” è “prublemi di stabilità.
In u casu di verge è travi è di i sustegni cumposti da queste (reticuli, telai), a determinazione di e tensioni si face in dui passi, vale à dì chì prima, nantu à a basa di e forze esterne date, si calcula a risultante di e forze interne trasmesse attraversu a sezzione trasversale, è poi da ste “forze di sezzione” si determinanu e tensioni. A prima parte di a prucedura rapresenta una disciplina particulare è ampia, a statica di e strutture di custruzzione, chì hà metudi proprii ben sviluppati è chì di regula hè separata da a resistenza di i materiali, a quale cumpete di determinà e tensioni da e forze di sezzione date.
Cuncetti fundamentali di resistenza di i materiali
A definizione di u tennsione si ottene per mezu di e seguenti cunsiderazioni fundamentale. Ch’ellu agisca nant’à u corpu un sistema d’equilibriu di forze esterne. Imaginemu d’avè spartutu u corpu cù una sezzione arbitraria in duie parte, è d’avè cacciatu una di elle inseme cù e forze chì ci agiscenu; tandu a so azzione nant’à l’altra parte, per chì l’equilibriu di e forze è a ripartizione di e deformazioni ferminu invariati, deve esse rimpiazzata da forze supplementarie chì si trasmettenu per a superficia di a sezzione. Ste forze “interne” sò distribuite di manera cuntinua nant’à a superficia di a sezzione, di manera chì à ogni elementu di superficia dF currisponde a forza dβ. S’è si forma u rapportu dβ dF è si face u passaghju limite dF -> 0, tandu stu rapportu tende à u valore limite chì si chjama tennsione. A tennsione in un elementu datu di a superficia hè, cum’è dβ, è si pò scompone in cumpunenti nurmale è tangenziale à dF, tennsione nurmale σ tennsione di tagliu τ.
S’elli si tracenu sezzioni attraversu u listessu puntu in direzzioni sfarenti, à elli currisponderanu ancu tensioni sfarente. In particulare, s’ellu si separa da u corpu un quadratu elementariu, raprisentatu in fig. 1, nant’à ognuna di e so sei facce agirà un vettore di tensione chì si pò scompone in trè cumpunenti in a direzzione di l’assi di coordenate x, y z. E tensioni chì agiscenu nant’à e facce opposte di a superficia si differenzianu trà di elli, benintesa, solu di un differenziale, cusì chì ci vole à distingue 3 * 3 = 9 tensioni cumpunenziali, chì sò signalate in u modu seguente:
À i sforzi nurmali σ si attribuisce l’indice di l’asse in a direzzione di u quale stanu, è si cunsideranu pusitivi s’elli pruvocanu trazione, negativi s’elli pruvocanu compressione. I sforzi di tagliu τ ricevenu dui indici, u primu hè listessu chè l’indice di u sforzu nurmale currispundente, è u sicondu si riferisce à l’asse in a direzzione di u quale u sforzu di tagliu agisce. S’è a direzzione pusitiva di u sforzu nurmale currispundente hè in a direzzione di l’asse di coordenate pusitivu (negativu), ancu u sforzu di tagliu si cunsidereghja pusitivu s’ellu agisce in a direzzione di l’asse di coordenate pusitivu (negativu).
Figura 1.
Cunjugazione di e tensioni di tagliu
Se per u bloccu elementare, fig. 1, si pone a cundizione chì u mumentu di tutte e forze rispettu à l’assu x sia zeru, si ottene τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz Da quì, è da e duie equazioni currispundenti per l’assi y è z, si ottene chì e tensioni di tagliu cù i stessi indici sò uguali trà d’elli τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (1)
Deformazioni cumpunenziali
Chì e tensioni sopra definite anu un sensu fisicu, ne risulta da a so leia cù a definizione ch’ogni corpu subisce sottu à l’azzione di forze esterne. Fig. 2 mostra un paralelepipedu elementariu chì, prima di a deformazione, era rettangulare è avia lunghezze d’aresta dx, dy, dz. E lunghezze d’aresta dopu a deformazione ponu esse indicate cù dx + Δdx, dy + Δdy, dz + Δdz; i quozienti εx = Δdx|dx, εy =Δdy|dy, εz = Δdz|dz sò chjamati dilatazioni. Si tratta di grandezze senza dimensione è, per tutti i materiali chì entranu in cunsiderazione in a custruzzione, sò chjuche in paragone cù 1. In più di l’allungamentu di l’areste, u paralelepipedu elementariu dx * dy * dz pò ancu subisce una variazione di l’anguli inizialmente retti trà e so facce.
Figura 2. deformazione cumpunenziale
Ch’ellu sia, dopu à a deformazione, l’angulu trà i piani chì si scontranu longu à u cantu OC uguale à 
è, paragunabilmente, chì a diminuzione di l’angulu rettu longu à u cantu AO sia uguale à γyz, è a diminuzione longu à u cantu OB uguale à γzx. Queste trè variazioni d’angulu γxy, γyz, γzx, sò chjamate scorrimenti è sò anch’elli sempre chjuchi in paragone cù 1. Cù i sei cumpunenti ε è γ, a deformazione di u quadernu elementare hè cumpletamente definita in a «deformazione piccula». A variazione di l’elementu di vulume d_V = dx * dy * dz_ hè ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, da induve, quandu si trascuranu i prudutti di dilatazione cum’è grandezze piccule d’ordine superiore, si ottene a dilatazione cubica ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2)
Spostamenti
A deformazione d’un corpu solidu pò esse discritta cumpletamente ancu in issu modu, attribuendu à ognunu di i so punti u spiazzamentu chì quellu puntu hà subitu. S’elli sò esclusi da l’osservazione i spiazzamenti di grandezza finita chì currispondenu à u muvimentu d’un corpu rigidu, in tale modu, chì, s’ellu ci vole, in u calculu si adotta un sistema di coordenate mobile, tandu ancu i spiazzamenti cumpunenti μ, ν, ω sò sempre piccule grandezze, è e so derivate secondu e coordenate sò chjuche paragunatu à 1. Sottu à st’ipotesi, secondu a fig. 3 a lunghezza di l’elementu lineare OA = dx dopu a deformazione
dunque 
(3)
In modu simile si vede da a fig. 3 chì u scorrimentu γxy γ1 + γ2: è dinù
(4)
Figura 3 scorrimentu
(5) 
(6)
Sti legami sò chjamati cundizioni di cumpatibilità è indicanu chì l’elementi deformati ponu esse accuppiati cum’è un mosaicu in modu chì u spaziu sia cuntinuamente pienu, ciò chì ùn si pò ottene s’è e deformazione di l’elementi sò arbitrarie. E cundizioni di cumpatibilità sò equazione differenziale, dunque, benintesa, tutte e sei cumpunenti di deformazione per ogni prismu sò mutuale indipendente, ma a so dispusizione in ogni zona finita estesa hè ligata da e cundizioni (5) è (6).
Postu chì ste cundizioni sò state ottenute per differenziazione da l’equazioni (3) è (4), durante a so derivazione si perde una parte di e rilazione cuntenute in l’equazioni uriginali. Dunque ùn basta micca chì solu un di sti dui sistemi d’equazioni sia soddifattu, ma i dui sistemi devenu esse rispettati s’è no vulemu chì a cumpatibilità di a deformazione sia assicurata.
Equazioni differenziali di u sistema d’elasticità
Per calculà e tensioni è e deformazioni in i corpi elastichi servenu e seguenti equazioni:
Cundizione d’equilibriu di l’elementu di voluminu. E cundizione chì i momenti intornu à i trè assi sianu uguali à zero sò digià state sfruttate durante a derivazione di l’equazione (1). E cundizione d’equilibriu di e forze dannu, secondu a fig. 4
Figura 4
(7a-c)
S’è cù X, Y, Z si designanu e cumpunente di e forze di vulume (p.es. pesu, forza centrifuga) per unità di vulume. Ligami trà e tensioni è e deformazioni. Sottu à questu si capisce u ligame trà e tensioni cumpunenziali è e deformazioni cumpunenziali. In a teoria di l’elasticità, di regula entra in cunsiderazione solu un ligame lineare, chì si sprime cù a lege di Hooke:
(8a-c)
(8d-f)
S’è l’equazioni (8a-c) sò risolte per e tensioni, si ottene
(8 a)
è duie equazioni currispundenti. A leia di Hooke espressa da l’equazione (8) ùn rapresenta micca una leia naturale strettamente rispettata, ma una idealizazione di u cumpurtamentu reale, chì ne s’alluntana di più o di menu secondu u materiale è l’entità di a sollecitazione. Siccomu a trattazione matematica di u prublema di a resistenza di i materiali cù ligami cumplicati, non lineari, trà tensioni è deformazioni crea difficultà di gran lunga più grande è pò esse veramente realizata solu in i casi più simplici, ancu per quelli materiali (béton !) chì u so cumpurtamentu si scosta in modu impurtante da a leia di Hooke, i calculi fundati annantu à ella devenu esse aduprati prima di tuttu, è per a maiò parte ancu cum’è unica suluzione approssimativa, chì d’altronde hè di regula assai utile è dà una visione più chè solu qualitativa. G = E|2 (1+μ).
Ella segue necessariamente da a relazione trà e tensioni è e deformazioni (8), da l’equazioni di trasfurmazione (16) per e tensioni è da u sistema currispundente d’equazioni per e deformazioni di cumpunente E è G anu a dimensione di tensione è, per tutti i materiali di custruzzione, sò grande paragunatu à e tensioni σ è τ chì si ponu prisentà. Nant’à stu fattu si basa l’ipotesi aduttata in tutta a teoria di l’elasticità, chì e deformazioni sò chjuche. U coefficiente di dilatazione trasversale (numeru di Poisson) μ hè senza dimensione è si trova sempre trà 0 è 1/2 .
I ligami trà e deformazioni cumpunenzialI è i spiazzamenti. Quessi ligami sò dati da l’equazioni (3), (4). Anu una natura puramente geometrica. Sti trè sistemi danu 3+6+6=15 equazioni per 15 incognite, vale à dì per 6 tensioni cumpunenzialI, 6 deformazioni cumpunenzialI è 3 spiazzamenti cumpunenzialI. Sò dunque abbastanza per determinà ste incognite. A trattazione matematica d’un sistema cusì vastu d’equazioni differenziali hè pussibule, ben intesu, solu in casi particulari. S’è in l’equazione (8) e deformazioni cumpunenzialI sò rimpiazzate da i spiazzamenti cumpunenzialI secondu l’equazioni (3) è (4), è poi e tensioni nurmali σ è e tensioni di tagliu τ, secondu l’equazioni (8 d - f), sò introdutte in e cundizione d’equilibriu, eq. (7), si ottènenu equazioni differenziali chjamate equazioni fundamentali di a teoria di l’elasticità.
(9)
induve 
hè marcatu l’operatore di Laplace. In vista di (2) si tratta di trè equazioni differenziali cù trè spiazzamenti cumpunentali μ, ν, ω; da queste si ponu poi ottene, per differenziazione nantu à a basa di (3), (4) è (8), tutte e tensioni è e deformazioni cumpunentali. E equazioni (9) rapresentanu spessu un puntu di partenza adattatu per u studiu di i casi spiciali.
U travagliu di deformazione
Definizione
Quand’ellu si carica u sustegnu, i punti d’applicazione di e forze esterne subiscenu spustamenti elastichi è e forze compienu à quellu mumentu un certu travagliu. In stu modu, l’energia cundutta pò passà in forme diverse. S’è a carica si applica di colpu, cusì chì u prucessu di deformazione hà una velocità impurtante, una parte di sta energia si trasforma in energia cinetica, chì cù u tempu si dissipa, sia in u modu di esse trasmessa à u terrenu cum’è un’onda elastica chì si perde à l’infinitu, sia in u modu di esse trasfurmata in calore per via di l’attritu internu. S’è i carichi sò applicati cusì pianu chì ùn si produce un aumentu apprezzabile di l’energia cinetica, vale à dì chì i carichi chì crescenu pianu pianu partendu da zeru sò in equilibriu custante cù e forze interne, l’energia si cunsuma evidentemente solu à deformà u corpu è tandu si chjama travagliu di deformazione.
U calculu di u travagliu di deformazione u mustreremu prima nantu à un elementu caricatu à trazzione in una sola direzzione (fig. 5).
Ch’ella sia a tensione esistente σ è a dilatazione currispundente ε sottumesse à l’aumenti dσ è dε. Allora a forza σdF nant’à u percorsu dε * dl compierà u travagliu σdF * dεdl = σdεdV, s’ellu si designa cù dV u vulume di u picculu pezzu. S’è a tensione cresce da zeru sin’à u so valore finale è a dilatazione, in cunsequenza, da 0 sin’à ε, u travagliu tutale compiu per unità di vulume serà:
In modu simile, per un elementu caricatu cù una tensione di tagliu τ (fig. 6), u travagliu di deformazione per unità di vulume (travagliu specificu di deformazione, putenziale elasticu):
induve solu una di e quattru forze τ * dF face travagliu.
In u casu generale, quandu annant’à l’elementu infinitesimale agiscenu tutte e sei cumpunente di tensione, si ottene u travagliu specificu di deformazione summendu i travagli di e singule cumpunente di tensione:
(10)
Differenziendu per u limitu supranu di ognunu di sti integrali si ottenenu relazioni chì valenu in u casu u più generale:
(11)
è listessu per l’altre deformazioni cumponentali. S’ellu u corpu hè elasticu, à ogni statu di tensione determinatu currisponde sempre u listessu statu di deformazione, senza impurtà s’è u statu hè statu raghjuntu durante u caricu o durante u scaricu. In quellu casu, sottu à l’integrali si trovanu funzioni univoche è l’energia tutale cunsumata durante u caricu è dopu u scaricu cumpletu hè a = 0, postu chì in stu casu i limiti superiori di l’integrali diventanu zeru. Dunque, l’energia tutale purtata à u corpu durante u caricu si ritrova durante u scaricu.
Figura 6
Figura 7
Per un corpu imperfectamente elasticu, a relazione trà e tensioni è e deformazione per tuttu u ciclu di carica è scarica hà a forma apprussimatamente raprisentata in a fig. 7 cù e linee O A B. L’energia 
apportata durante a carica hè uguale à a superficia OAA, è l’energia restituita durante a scarica à a superficia ABA, cusì chì si perde (si trasforma in calore) u travagliu currispondente à a superficia tratteggiata. S’è in un prucessu oscillatoriu a tensione cambia periodicamente trà u valore limite pusitivu 
è u valore limite negativu, 
a deformazione non elastica evolve in modu simile à ciò chì hè raprisentatu da e linee spezzate nantu à a fig. 7 è, à ogni periodu d’oscillazione, si trasforma per unità di vulume in calore l’energia DABCD. Un tale cumpurtamentu durante a deformazione, in u quale a deformazione ferma daretu à a tensione, si chjama elasticu isteresis, è a curva DABCD hè un ciclu d’isteresis.
U travagliu di deformazione è a legge di Hooke
S’è in l’integrali di l’equazione (10) s’introduce a lege di Hooke, si pò fà l’integrazione, è per u travagliu specificu di deformazione si ottenenu e seguenti espressioni:
(12a)
(12b)
(12c)
S’è a seconda di ste forme hè messa in l’equazione (11), si ritrova torna a lege di Hooke, l’equazioni (8), in a forma risolta rispetto à e tensioni. L’affirmazione chì u travagliu di deformazione dipende da e cumpunenti di deformazione, cum’è hè raprisentatu da l’equazione (12b), hè dunque equivalente à a lege di Hooke. Quandu l’equazione (12c) hè differenziata rispetto à e tensioni, si ottene
(13)
Sti schemi, à u cuntrariu di i schemi (11), valenu solu per corpi chì si cumportanu secondu a lege di Hooke è ùn si ponu applicà quand’elli sò altri i rapporti trà tensioni è deformazioni. Si capisce chì nant’à a parte dritta di e equazioni (13) si trovanu solu e deformazioni cumpunenziali causate da e tensioni, mentre chì si escludenu tutte l’altre chì pudianu esse nate eventualmente per via di u cambiamentu di temperatura, di u creepu, di u rigonfiamentu, di a ricristallizazione, ecc.
POSTULATI INTEGRALI IN A TEORIA DI L’ELASTICITÀ
Spiazzamenti virtuali. Principiu di u minimu di l’energia putenziale
Cum’è a lege di Hooke, l’equazioni (8) ponu esse rimpiazzate da una sola equazione (12b), cusì ancu invece di e cundizioni d’equilibriu si pò introduce u principiu di i spiazzamenti virtuali, cum’è lege fundamentale di meccanica di validità generale. Sta lege dice chì i stati d’equilibriu si distinguenu per u fattu chì in elli u travagliu tutale cumpiitu da tutte e forze à una piccula mudificazione di u statu di deformazione hè uguale à zeru. S’e piccule mudificazioni di i spiazzamenti elastichi sò segnate cù δμ δν, δω, tandu e forze di volumu definite da l’equazione (7) facenu un travagliu virtuale
è e forze di superficia px, py, pz chì agiscenu nantu à l’elementu dF di a superficia esterna di u corpu travagliu 
induve l’integrale triplu si riferisce à tuttu u vulume, è u doppiu à tutta a superficia esterna di u corpu. Per calculà u travagliu fattu da e forze interne si usa l’equazione (12b), è dunque per u travagliu per unità di vulume si ottene
U principiu di i spiazzamenti virtuali ne dà tandu
(14)
S’è e cariche X, Y, Z px, py., pz sò cunsiderate cum’è cumpunenti di a forza di gravità (pesu propiu è carica esterna), l’integrali à diritta raprisentanu l’energia putenziale persa da ste cariche, mentre chì a parte manca raprisenta l’aumentu di l’energia putenziale (elastica) di u corpu, cusì chì stu principiu mostra chì l’energia putenziale tutale di u purtatore è di e cariche ch’ellu sustene, in casu d’equilibriu, hà un valore estremu. S’è stu valore estremu hè un minimu, l’equilibriu hè stabile.
U principiu di u minimu di l’energia putenziale, espressu da l’equazione (14), l’espressione (12b) per u travagliu di deformazione, è e cundizione di cumpatibilità di e deformazioni (5), (6) rapresentanu un sistema d’equazioni chì basta per a custruzzione di a teoria di l’elasticità, è chì hè in fondu equivalente à u sistema d’equazioni. Stu sistema pò esse particularmente utile in i casi induve u rispettu di l’equazioni differenziali (9) rapresenta difficultà di calculu è dunque ci vole à circà una suluzione apprussimata; per esempiu, per i spiazzamenti si assume d’entrata una forma adatta chì cuntene qualchì custante libera, è queste si determinanu da l’esigenza chì l’equazione (14) sia rispettata. Cusì, à dì a verità, ùn si ottene una suluzione stretta di u prublema, ma solu a migliore apprussimazione ch’ellu si pò ghjunghje cù a forma di suluzione scelta. S’ellu hè abbastanza l’apprussimazione, dipende in primu locu da a forma di suluzione adottata, è l’applicazione riesciuta di stu metudu richiede dunque destrezza è sperienza.
Principiu di Castigliano
Mentre chì, secondu u principiu di l’energia putenziale minima, si paraguneghjanu tutti i stati di deformazione chì rispondenu à e cundizioni di cumpatibilità di e deformazioni è trà elli si sceglienu quelli per i quali e tensioni currispundenti soddisfanu e cundizioni d’equilibriu, secondu u principiu di Castigliano si paraguneghjanu tutti i stati di tensione chì soddisfanu e cundizioni d’equilibriu è trà elli si sceglienu quelli per i quali e deformazioni currispundenti soddisfanu e cundizioni di cumpatibilità di e deformazioni. Stu principiu dice: trà tutti i pussibuli stati d’equilibriu si presenta in realità quellu à u quale currisponde u minimu travagliu di deformazione. U principiu di Castigliano, inseme cù l’equazione (12c) per u travagliu di deformazione è e cundizioni d’equilibriu, forma un sistema d’equazioni chì basta per a custruzzione di a resistenza di i materiali. Siccomu stu principiu cuntene a lege di Hooke, a pussibilità di a so applicazione hè ligata à l’ipotesi chì e deformazioni ponu esse discrittte cumpletamente da sta lege. Questu esige micca solu un cumpurtamentu elasticu lineare di u materiale, ma esclude ancu i cambiamenti di temperatura.
Cumportamentu di i materiali sopra i limiti d’elasticità
Fenomeni sottu carica statica
A deformazione di u materiale sottu l’azzione di e tensioni hè un fenomenu assai cumplicatu, di modu ch’ellu ci vole à simplificà lu in parechji sensi per pudè capì lu. Una di ste simplificazioni hè l’ipotesi chì i carichi sianu appiecati à pocu à pocu, cum’ellu si face, per esempiu, cù i campioni durante e prove di trazione è di compressione.
S’è una verga d’acciaghju caricata à a trazione hè sottumessa à un caricu chì cresce pianu pianu è si misura a so dilatazione ε, si ottene u diagramma prisentatu in a fig. 8. À l’iniziu, a dilatazione hè assai chjuca è prupurziunale à a tensione, cum’è u richiede a lege di Hooke. À partesi da una certa tensione, a prupurziunalità cessa è a dilatazione cresce più prestu. A pusizione esatta di u limitu di sta prupurziunalità hè difficiule à determinà. Più a misura hè precisa, più ella si ottene bassa. Per a maiò parte di i materiali, ella si trova à σ = 0, è a lege di Hooke raprisenta tandu solu a prima apprussimazione di u cumpurtamentu elasticu, u primu termine di u sviluppu in serie di Taylor di a funzione ε = ε (σ) intornu à l’origine di e cuurdinate.
S’ellu si scarica a barra, si rimarca chì, quandu a tensione ùn hè stata troppu grande, sparisce ancu a deformazione, in cunfurmità cù a lege di Hooke. Ma ancu quessa cambia s’ellu hè superata una certa tensione chì si trova vicinu à a limitazione di prupurziunalità, a cusiddetta limitazione elastica; tandu a deformazione tutale si compone d’una parte elastica (riturnabile) è d’una parte inelastica (permanente). Nè a limitazione elastica ùn pò esse determinata cun precisione; si trova tantu più bassa quant’è a precisione di misura hè più alta. Tuttavia, postu ch’ella hà una grande impurtanza tecnica, perchè riprisenta a limitazione d’impurtanza in guasi tutti i calculi di resistenza di i materiali, è à tempu a limitazione à a quale nascenu i primi danni permanenti, per a prova di i campioni hè definita strettamente da qualchì cunvenzione aduttata, è, per esempiu, cum’è limitazione 0.2% si designa quella tensione à a quale a dilatazione permanente raghjunghje 0.2%.
Subitu dopu avè passatu u limitu elasticu, a deformazione cresce di colpu è pò esse rimarcata à ochju nudu; à tensione guasi custante, a verga s’allonga senza piantà. Sta tensione hè chjamata limitu di scurrimentu. Nant’à e machine idrauliche per e prove di i materiali si pò dinù rimarcà, dopu à u principiu di u scurrimentu, una calata più o menu marcata di a tensione; cum’è indittatu in a fig. 8 cù a curva tratteggiata; tandu u massimu hè chjamatu limitu supranu di scurrimentu, è a tensione di scurrimentu custante chì s’issa dopu hè u limitu inferiore di scurrimentu.
Quandu si ghjunghje à una certa dilatazione, chì hè guasi cumpletamente inelastica, a tensione cumencia à cresce torna, u materiale s’indurisce. In questa zona di caricu si face rimarcà una diminuzione di a sezzione trasversale di a barra per via di a cuntrazione laterale (inielastica), è l’andatura ulteriore di u diagramma di tensione è deformazione dipende in primu locu da s’ellu, per u calculu di a tensione σ, a forza di trazione P chì agisce nant’à a barra hè divisa per a sezzione iniziale F0 o per a sezzione istantanea F. Per scopi tecnichi hè interessante a tensione P|F0 . Sta tensione passa per un massimu chjamatu resistenza di u materiale è, quand’ellu si supera stu massimu, a barra si stringhje assai in un puntu è si rompe. “A tensione vera” P|F cresce sin’à a rottura.
Figura 8.
U cumpurtamentu d’altri metalli si scosta in parechji aspetti da quellu discrittu quì. U scorrimentu ùn hè spessu micca marcatu, è l’indurimentu principia subitu dopu à u superamentu di u limiti elasticu. In i materiali fràgili (petra, vetru, béton) e deformazioni micca elastiche sò in generale chjuche è digià à una piccula dilatazione si ghjunghje à a rottura. A dilatazione tutale chì u materiale subisce sin’à a rottura hè una misura di a duttilità (u cuntrariu: a fràgilità) di u materiale, è per l’acciaghju hè stabilita cun precisione in e cundizioni tecniche. Tuttavia, postu chì subitu prima di a rottura una ulteriore deformazione si cuncentra nant’à i lochi vicini di sezzione ristretta, si ottene un valore differente di a dilatazione à a rottura, secondu s’ellu per a lunghezza di misura s’adopra una parte più grande o più chjuca di a barra, cusì chì per ottene risultati univoci è cumparèvuli trà elli ci vole à aduttà in anticipu una certa cunvenzione. A dilatazione à a rottura si misura di regula cusì: nant’à una barra tonda di diametru d, prima di a prova, si marca a lunghezza di misura Ι = 10 d è da u so allungamentu ΔΙ si calcula a dilatazione à a rottura εs_Ι = ΔΙ|Ι ._ S’ellu hè necessariu di pruvà barre di una sezzione diversa, a lunghezza di misura si determina secondu u diametru d’una barra cilindrica circulare chì hà a stessa superficie di sezzione trasversale.
Carica à longu andà
Per l’andamentu di a prova di tiramentu hè quasi indifferente s’è u caricu finu à a rottura cresce in u corsu di 10 m minuti o di parechje ore. Eppuru, s’è u caricu agisce per anni o per decine d’anni, in certe cundizione si osserva chì ancu sottu à u limitu di scurrimentu a deformazione sottu sforzu custante cresce pianu pianu cù u tempu. In listessu tempu, a parte elastica, vale à dì quella parte chì sparisce à a scarica finale, ùn cambia guasgi micca. Issu aumentu di a deformazione inelastica chì si face in u corsu di un bellu pezzu si chjama creep. Nantu à i metalli, fora di u piombu, u creep hà impurtanza solu à alte temperature; però, per l’ingegnere civile ghjoca un rollu in u béton chì, sottu à a pressione, cede pianu pianu, cusì chì u sforzu cresce in l’armatura cumpressa, s’ella esiste.
Caricu variabile
Per chì e caratteristiche meccaniche di u materiale, ottenute à a prova di trazzione, possinu esse aduprate cum’è criteriu per a carica ammissibile di e strutture, hè necessariu chì u materiale, à ogni nova carica, suppurti a tensione ch’ellu hà una volta suppurtatu senza danni. Sta cundizione ùn hè micca cumpleta s’è u materiale hè espostu à ripetizioni frequenti di carica è scarica, cum’è hè, per esempiu, u casu di e travi caricate da e forze inerziali di macchine micca cumplettamente equilibrate. Cù ripetizioni abbastanza frequenti di a carica, una parte di custruzzione pò esse purtata à a rottura ancu sottu una tensione assai inferiore à a resistenza di u materiale determinata da una prova statica ordinaria. L’apparizione di una rottura di stu tippu si chjama rottura per fatica. U numeru n di cicli di carica ch’ellu pò suppurtà u materiale dipende da a dimensione di a tensione σ, cusì ch’ellu hè tantu più grande quant’ella hè più chjuca a tensione. Un esempiu tipicu di sta dipendenza hè mostratu in fig. 9, da a quale si vede chì per a resistenza di u materiale esiste un limitu inferiore, chì hè suppurtatu ancu per un numeru arbitrariamente grande di cicli di carica è chì si chjama resistenza dinamica di u materiale. I diagrammi di stu tippu (fig. 9) si chjamanu curve di Wӧhler.
A maghjina 9.
Sicurezza di e strutture
Dui carichi limite sò impurtanti per e custruzzioni: u caricu à quale appariscenu i primi danni permanenti (limite di snervamentu), è u caricu à quale a capacità portante di a custruzzione hè esaurita, cusì ch’ella si rompe (limite di rottura). Siccome prima di u limite di snervamentu valenu almenu à pocu pressu e supposizione di a resistenza di i materiali (picculi spiazzamenti, lege di Hooke), a sicurezza contr’à e deformazioni permanenti pò esse valutata cun fiducia in tutti quelli casi induve si riesce à superà e difficultà matematiche. S’è a tensione hè prupurzionale à a carica, u raportu trà a tensione di snervamentu è a tensione massima chì apparisce in a custruzzione hè uguale à u raportu trà a carica à a quale si produce u snervamentu è a carica vera è raprisenta u coefficiente di sicurezza contr’à u snervamentu. Tuttavia, in parechji casi stu raportu simplice ùn esiste micca: flessione quandu a trazione hè esclusa, pressione trà superfici sporgenti, sistemi a struttura variabile è, ciò chì hè in particulare sfavorevule, flessione cù forza assiale. In tutti questi casi, un aumentu relativamente chjucu di a carica pò purtà à un grande aumentu di e tensioni, è tandu ùn basta micca à applicà u coefficiente di sicurezza abituale à e tensioni, ma ci vole à appiecà lu à a carica.
I fenomeni chì si presentanu dopu à u superamentu di u limite di snervamentu sin’à a rottura ponu in a maiò parte di i casi esse seguiti solu qualitativamente. S’è u materiale hè duttile, e parti in cui u limite di snervamentu hè ghjuntu prima, è chì si deformanu dopu sottu à una tensione custante o chì cresce appena, participanu pocu à piglià u caricu ulteriore, cusì chì l’altre parti di a struttura, menu sollecitate, s’ella hè pussibule in vista di a so struttura, participanu di più à u sustegnu. In sta tendenza à l’ugualizazione di i picchi di tensione si trova una certa riserva di sicurità, chì pò esse sfruttata per calculu s’è a deformazione permanente di certe parti, nata à seguitu d’un solu caricamentu impurtante, ùn hè dannosa (metudu di caricu limite).
Sè u materiale hè fragile, u primu dannu permanente si manifesta in crepe, per via di e quale, in u locu minacciatu, nasce una cuncentrazione di tensione ancu più forte, chì provoca subitu a rumpitura. A rumpitura per fatica, ancu in materiali duttili, hà e caratteristiche d’una rottura fragile.
Liami trà i sforzi per piani di sezzione sfarenti
Equazioni di trasformazione
E nove tensioni cumpunenti di a fig. 1 sò ligate cù trè cundizioni d’equilibriu. I sei valori restante σx, σy, σz τxy, τyz, τzx ponu, indipindentemente l’unu da l’altru, piglià valori arbitrarii cum’ellu si vede da a derivazione di l’equazioni differenziali di a teoria di l’elasticità. Tuttavia, quandu sti valori sò dati, u statu di tensione in un puntu di un corpu rigidu hè cumpletamente determinatu, vale à dì chì, quand’e tensioni per trè piani mutuamente perpendiculare sò cunnisciute, si pò determinà in modu univocu ancu a tensione per un quartu pianu chì passa per u puntu datu è chì a so nurmale hà una direzzione arbitraria.
In a fig. 10 hè prisentatu u tetraedru OABC e so trè facce sò parallele à i piani di u sistema di coordenate x, y, z mentre chì a quarta raprisenta un elementu di superficia arbitrariamente orientatu ABC = dF. Per signalà a so direzzione è a direzzione di a tensione chì hè trasmessa per mezu di ellu, si introduce un altru sistema di coordenate, a so assa ξ hè perpendiculari à dF.
Immagine 10
A cundizione di equilibriu di e forze chì agiscenu nant’à stu tetraedru in a direzzione di l’asse ξ dà
S’ellu si tene in contu chì
si ottene
è listessu cusì da e cundizione d’equilibriu in a direzzione di l’asse η:
Queste sò l’equazioni chì servenu à u calculu di e tensioni in a trasfurmazione di e cuurdinate. Hè d’impurtanza particulare d’osservà solu tali elementi di superficia dF per i quali l’asse ξ coincide cù l’asse z. I mudelli per stu casu pudemu ottene li simplificendu i mudelli precedenti o leghje li direttamente da a fig. 11:
Figura 11
A tensione nurmale piglia valori estremi per e direzzione α = α0 , per e quali dσξ/dα = 0. Per differenziazione si ottene da l’equazione (16)
è dunque, quandu sta espressione si ugualiza à zeru
A tensione τξη serà à tempu a tensione tutale di tagliu in sti piani, s’è τyz = τzx = 0. Tandu, cù l’equazione (17), sò determinate duie direzzioni mutuamente perpendiculari per e quali: 1. a tensione tutale di tagliu hè nulla è, 2. a tensione nurmale hà valori estremi (massimu è minimu). Queste direzzioni sò chjamate direzzioni di e tensioni principali, è e tensioni currispundenti tensioni principali. Si marcanu cù σ1 è σ2 è ponu esse calculate direttamente da a formula
Circulu di Mohr
L’equazioni (16) ponu esse rapprisentate graficamente in modu evidenti. À stu scopu ci vole à trasfurmàle in a forma:
St’equazioni ripresentanu, in u sistema di coordenate σ, τ, a forma parametrica di l’equazione di u circulu disegnatu in fig. 12, e so coordenate di centru essendu σ = 1/2 (σx + σy), τ = 0 è u so raghju
Stu circulu si chjama circulu di Mohr. S’è, per u puntu x, si traccia una retta parallela à a sezzione x = const., attraversu a quale si trasmettenu e tensioni σx, τxy, ella taglierà u circulu in u puntu p, chjamatu u polu di u circulu di Mohr. Ogni retta pξ tracciata per mezu di stu polu taglia u circulu in u puntu ξ, chì determina e tensioni σξ, τξη, trasmesse attraversu a sezzione parallela à pξ.
In quantu à u segnu di e tensioni di tagliu, quandu si disegna u circulu di Mohr, ci vole à tene à mente ch’elle si riportanu in sù s’elle anu a direzzione indicata in fig. 12c. Dunque, trà e duie tensioni cunghjugate τxy, τyx, una hè sempre pusitiva è l’altra negativa.
À i valori limiti di σ1, σ2 di e tensioni nurmali currispondenu i punti 1 è 2 nant’à u circulu, è e rette _p_1 è _p_2 danu e direzzioni di e tensioni principali.
A rapresentazione di e tensioni chì si trovanu in u pianu x-y per mezu di u circulu di Mahr ùn hè ligata à nisuna ipotesi nant’à e tensioni σz, τxz, τyz perpendiculare à stu pianu.
Immagine 12
Chì vale dinù per u statu tridimensionale u più generale di tensione, s’ellu si paragunanu solu i piani di tagliu chì passanu tutti per a stessa diritta, scelta quì cum’è assu z è ξ. Siccomu, secondu e leggi generali di trasfurmazione (15), a tensione nurmale σ ùn pò micca diventà infinita per nisunu pianu di tagliu, deve avè per un certu pianu un massimu finitu σ1, è per un altru un minimu σ3, tramindui, benintesa, ponu esse ancu negativi. S’ellu si tira un pianu passendu pè i vettori σ1 è σ3 è si disegna u cerchju di Mohr (fig. 13)
Figura 13
per e tensioni chì si trovanu in stu pianu (vale à dì tutte e direzzioni perpendiculari à stu pianu), tandu σ1 è σ3 sò e più grande è e più chjuche tensioni nurmali chì ponu apparisce è dunque devenu esse mutualmente perpendiculari. S’è e direzzioni 1 è 3 sò cumpletate da a direzzione 2, di manera chì ste trè direzzioni formanu un sistema di cueurdinate rittangulare, è s’è si traccianu i cerchji di Mohr per i piani 1 ~2 è 2 ~ 3, tandu σ2 hè per unu di sti cerchji a tensione nurmale più grande, è per l’altru a più chjuca, è dunque in e sezzioni perpendiculari à e direzzioni 1, 2 è 3 a tensione di tagliu hè uguale à zeru. E trè tensioni nurmali mutuale perpendiculari σ1, σ2 è σ3, à e quali ùn currispondenu tensioni di tagliu, sò chjamate tensioni principali.
Limite di snervamentu è limite di rottura in statu di tensione spaziale
U statu di e tensioni si chjama uni-, dui- o tridimensionale, altrimenti: lineare, pianu o spaziale, secondu s’è unu, dui o tutti è trè e tensioni principali sò sfarenti da zeru. In i pezzi strutturali i più aduprati, vale à dì in a barra tesa, cumpressa è flessa, u statu di e tensioni, almenu in i punti più sollicitati, hè unidimensionale, è listessu vale per e prove à trazione, à compressione o à flessione, chì in a prova di i materiali si adopranu guasi solu per determinà e tensioni ammissibili. À u cuntrariu, in e placche caricate in u so pianu o perpendiculare à ellu, è ancu in e cunchiglie, u statu di e tensioni hè bidimensionale, è in certi casi appariscenu ancu stati di tensione tridimensionali, cusì chì hè necessariu, in basa à a fruntiera di snervamentu è di rottura, determinata à u statu di tensione unidimensionale, di trarre cunclusioni nant’à u cumpurtamentu di u materiale in casu di statu di tensione spaziale.