Bingehên
Erka berxwedana materyalan ev e ku diyar bike ku cewherê zexm kîjan hêzên derveyî dikare berdewam bike (mînak, avahî, beşek konstruktîf an jî ax). Ji bo bersiva vê pirsê, ji du kriteriyan tê derketin: ji aliyekê tensiyon divê hin sînorên diyar yên ku li gor cûra materyalê diguhere nexin, û ji aliyê din ve, hevsengiya di navbera hêzên derveyî û hundurîn de divê aram be. Li gorî vê, hemû pirsgirêkên berxwedana materyalan dikarin li “Pirsgirêkên tensiyonê” û “pirsgirêkên aramî” werin parastin.
Di qut û tîrên stûn û barokan û hemî hilgirên ku ji wan hatine çêkirin (trêllis, çarçoveyan) de, diyarkirina stresê di du qonaxan de pêk tê, bi wî awayî ku pêşî li ser bingeha hêzên derveyî yên hatine diyar kirin rezanta hêzên hundurîn ên ku bi rêya beşa paqijiyê têne guhêrtin tê hesabkirin, û paşê ji van “hêzên beşê” stres têne diyar kirin. Beşa yekem a pêvajoyê dîsîplînek taybet, berfireh e, statîka avahiyên avahîsaziyê, ku rêbazên xwe yên xebatê yên pêşkeftî heye û ku bi gelemperî ji berxwedana materyalan tê veqetandin, ku erkê wê li ser diyarkirina stresê ji hêzên beşê yên dayîn re tê avêtin.
Pêwendiyên bingehîn ên berxwedana madeyan
Bi hin berçavkirinên bingehîn ve tê gihîştin hevkêşeya neyînê. Bila li ser laş sistemek hevseng a hêzên derve bikeve. Bila wekî ku me laş bi her şikestina xwe dabeş kiriye beşên du, û yek ji wan bi hêzên ku li ser wê tevdigerin re rakirî be; wê hingê kirina wê li ser beşa din, da ku hevsengiya hêzan û lihevhatina deformasyonan wekî berê bimîne, divê bi hêzên zêdekirî yên ku li ser rûbera qutbûnê têne veguhezandin were şûna wan. Ev hêzên “hundurîn” li ser rûbera qutbûnê bi domdarî hatine belavkirin, bi vî awayî ji her elementek rûberê dF re hêzek dβ têkildar e. Ger qismeta dβ/dF were çêkirin û derbasbûna sînordar dF -> 0 were kirin, hingê ev qismet ber bi nirxa sînor ve diçe ku bi navê neyîn tê gotin. Neyîn di elementek diyarkirî ya rûberê de, wekî dβ, dikare li ser pêkhateyên normal û tangensîyel ên li dF were parçakirin, neyîna normal σ û neyîna qerestî τ.
Ger ji heman xalan qirax di aliya cihêreng de werin kişandin, dê tansiyonên cihêreng jî ji wan re li hev bibin. Bi taybetî ger ji laşê quteke elemantî ku li ser şikl. 1 hatî nîşandan were veqetandin, li her yek ji şeş rûyên wê vektora tansiyonê dê kar bike, ku dikare li sê komponenetan li gorî alîyên koordînatî yên x, y z were parvekirin. Tansiyonên ku li ser rûyên berevajî dixebitin ji hev cuda dibin, bi rastî, tenê ji bo diferencial, ji ber vê yekê divê 3 * 3 = 9 komponenetên tansiyonê yên ku bi vî rengî tên nîşankirin, werin cihêkirin:
Ji nîşanên normal ên σ re indeksê axê ya ku di wê rêya de radiwestiye tê dayîn û ew wekî erenîn têne hesab kirin heke ku ew kêşan çêdikin, neyînî heke ku ew pêl dikin. Nîşanên qirikandinê τ du indeksan distînin, yê yekem ji wan heman e wek indeksê nîşana normal a têkildar, û yê duyem bi axa ku li gorê nîşana qirikandinê lê tevdike têkildar e. Heke rêya erenî ya nîşana normal a têkildar di rêya axa koordînata erenî (neyînî) de be, nîşana qirikandinê jî wekî erenî tê hesibandin heke ew di rêya axa koordînata erenî (neyînî) de tevdike.
Wêne 1.
Hevhevbûna tensiyonên qutkirinê
Heke ji bo quteya bingehîn, wên. 1, şert were danîn ku momenta hemû hêzan li gorî aksa x sifir e, tê bidestxistin ku τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz Ji vir, û ji du hevkêşeyên têkildar ji bo aksên y û z, tê bidestxistin ku tensiyonên qerîner ên bi heman îndeksan bi hev re wekhev in τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (1)
Deformasyonên komponentalî
Ku tensiyonên li serê pêşî hatine pênasekirin maneya fîzîkî heye, ev ji têkiliya wan bi pênaseya ku her laş di bin bandora hêzên derve de dijî, tê. Wêne 2 yek qutîkek bingehîn nîşan dide ku berî deformasyonê çargoşeyî bû û dirêjahiya kêran xwe dx, dy, dz hebû. Em dikarin dirêjahiya kêran piştî deformasyonê bi dx + Δdx, dy, + Δdy, dz + Δdz nîşan bikin; qismên εx = Δdx|dx, εy =Δdy|dy, εz = Δdz|dz jê re têne gotin dilatasyon. Ev mezinahiyên bê-dimînsyon in û ji bo hemû materyalên ku di avahiyê de têne bihesibandin piçûk in li gorî 1. Ji bilî dirêjbûna kêr, qutîka bingehîn dx * dy * dz dikare di navbera aliyên xwe de guherîna goşeyên ku di destpêkê de rast bûn jî bibîne.
Wêne 2. deformasyona komponental
Bila piştî deformasyonê goşeya di navbera rûyên ku li ser qeraxa OC hevdigihên wekî 
be û bi heman awayî bila kêmkirina goşeya rast li ser qeraxa AO wekî γyz, û kêmkirina li ser qeraxa OB wekî γzx be. Van sê guherînên goşeyan γxy, γyz, γzx, qelibandin têne gotin û her tim li gorî 1 jî piçûk in. Bi şeş pêkhateyên ε û γ deformasyona kûbaya elementê “deformasyon di biçûk de” bi tevahî tê diyarkirin. Guhertina hêmanê qesim d_V = dx * dy * dz_ ye ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, û ji wir, dema ku hilberên dilatasyonê wekî qezên biçûk ên pileya jor were paşguhkirin, dilatasyona kûbî ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2) tê bidestxistin
Tevgeran
Dîformasyona cisma hişk dikare bi tevahî bi vî awayî jî were ravekirin, ku ji bo her yek ji xalên wê jî xwîrdayîna ku wê xala têkildarî kiribe tê dayîn. Heke ji berhevkirinê ve xwîrdayinên bi qewemî yên ku li gor hereketa laşê qelew têne girtin bên derxistin, bi vî awayî ku, heke pêdivî be, di hesabê de pergalek koordînatî ya hereketbar were pejirandin, wê hingê parçeyên xwîrdayînê μ, ν, ω her tim mezinahiyên biçûk in, û derxistinên wan li gor koordinateyan li gor 1 biçûk in. Li gor vê texmînê, li gor wêne 3 dirêjahiya elementa xêzî OA = dx piştî dîformasyonê
bi vî rengî 
(3)
Bi heman awayê ji sl. 3 tê dîtin ku şemitîn γxy γ1 + γ2 ye: û her weha
(4)
Wêne 3 lîsandin
(5) 
(6)
Van têkiliyan şertên lihevhatinê têne gotin û tê wate kirin ku hêmanên deformebûyî dikarin wekî mozaîkek bi hev re bên guncan kirin da ku di vê navberê de cîh bi domdarî tê dagirtin, ku ev ne gengaz e heke deformasyonên hêmanan bi serê xwe bibin. Şertên lihevhatinê hevkêşeyên diferencial in, ji ber vê yekê, bi serê xwe, her şeş hêmanên deformasyonê ji bo her prîzmeyek taybet serbixwe ne, lê belavbûna wan di her qada qediya dirêjkirî de bi şertên (5) û (6) ve girêdayî ye.
Ji ber ku van şertan bi differentiatekirinê ji hevokan (3) û (4) hatine bidestxistin, di derxistina wan de beşek ji têkiliyan ku di hevokan destpêkî de hebûn winda dibe. Ji ber vê yekê tenê yek ji van du pergalên hevokan têr nake ku were bicihanîn; her du pergalên hevokan divê were peyvandin, heke meriv bixwaze hevahengiya deformasyonê were piştrastkirin.
Hevokên cûda yên pergalê ya elastîkî
Ji bo hesibandina tensiyon û deformasyonan li cem cismên elastîk ev hevkêşeyên jêrîn têne bikar anîn:
Şertên hevsengiya hêmanê qebarê. Şertên ku momentên li dora sê axan hemî sifir bin, berê jî di derxistina hevoka (1) de hatin bikaranîn. Şertên hevsengiya hêzan li gorî şek. 4 didin
Wêne 4
(7a-c)
Heke bi X, Y, Z re pêkhateyên hêzên qebareyî (mînak, giranî, hêza sentrifûjal) li ser yekîneyeke qebareyê bêne nîşankirin. Pêwendiyên di navbera tensiyon û deformasyonan de. Li vir pêwendiya di navbera tensiyonên pêkhatî û deformasyonên pêkhatî tê cemidandin. Di teoriya elastîkityê de, bi qewet re tenê pêwendiyeke xettî tê hesibandin, ku bi qanûna Hooke tê destnîşankirin:
(8a-c)
(8d-f)
Heke hevokên (8a-c) li ser naponan werin çareserkirin, tê bidestxistin
(8 a)
kso û du hevokên têkildar. Zagona Hooke ku bi hevoka (8) tê diyarkirin neyek lawaz a xwezayî ya bi şertê herî hişk hatiye bicihanîn, lê idealkirina tevgera rastîn e, ku li gorî materyal û qebareya stresê zêdetir an kêmtir ji wê derdikeve. Ji ber ku şertên matematîkî yên pirsgirêka berxwedana materyalê bi têkiliyên tevlihev û neqehmeyên lineyan ên di navbera tansiyon û deformasyonan de zehmetiyên nehevseng nizanîn, û rastîn jî tenê di rewşên herî sade de dikare were pêkanîn, divê di materyalên wê yên (beton!) ku tevgera wan bi rengek girîng ji zagona Hooke derdikeve de, hesabên li ser wê bingeha ji bo yekem, û bi gelemperî jî tenê, çareseriya nêzîkî were bikaranîn, ku ji hêla wê ve bi rêkûpêk pir bikêr e û jîrgehê dide ku ji tenê bi şertê kalîyeten zêdetir be. G = E|2 (1+μ).
Ew bi pêwîstî ji pêwendiya di navbera tensiyon û deformasyonê (8), ji hevkarên veguhastinê (16) ji bo tensiyonan û ji pergala hevaheng a hevokên ji bo deformasyonên komponental E û G xwedî mezinahiya tensiyonê ne û li hemû materyalên avahiyê li ber tensiyonên σ û τ yên ku dikarin derkevin, mezin in. Lê li ser vê rastiyê texmîna ku li hemû teorîya elastîkî tê qebûlkirin, ku deformasyon biçûk in, dom dike. Hevjimarê dilatasyona popere (jimara Poisson) μ bêmezinahî ye û her tim di navbera 0 û 1/2 de ye.
Têkiliyên di nav deformasyon û veguhezînên komponental de. Ev têkiliyên bi hevokên (3), (4) hatine dayîn. Ew bi tevahî xwezaya geometrîkî ne. Ev sê sistem 3+6+6=15 hevok ji bo 15 nenasan dide, ango ji bo 6 tensiyonên komponental, 6 deformasyonên komponental û 3 veguhezînên komponental. Ji ber vê yekê ew ji bo diyarkirina van nenasan têra xwe ne. Têgihiştina matematîkî ya sistema wusa mezin a hevokên diferansîyal, bê guman, tenê di rewşên taybet de gengaz e. Heke di hevoka (8) de deformasyonên komponental li gorî hevokan (3) û (4) bi veguhezînên komponental werin guherandin û paşê tensiyonên normal σ û tensiyonên berxistinê τ, li gorî hevokan (8 d - f), di şertên hevsengiyê de werin têxistin, hevok (7), hevokên diferansîyal yên ku wekî hevokên bingehîn ên teoriyê elastîkîtê têne navandin derdikevin.
(9)
li vir 
opera Laplace tê nîşankirin. Li gorî (2) ev sê hevkêşeyên cihê ne bi sê ji cihbexşînên komponental μ, ν, ω; ji van jî bi derxistinê li ser bingeha (3), (4) û (8) hemû stres û deformasyonên komponental dikarin werin bidestxistin. Hevkêşeyên (9) gelek caran destpêkek guncan peyda dikin ji bo lêkolîna rewşên taybet.
Karê deformasyonê
Pênase
Dema ku hêstir tê barkirin, xalên kirina hêzên derveyî pêlên elastîk dibînin û hêzan jî di vê navberê de karêkê dikin. Bi vî awayî, enerjiya tê anîn dikare veguhezîne formên cihêreng. Heke barkirin bi lez were sepandin, bi awayekî ku pêvajoya deformasyonê leza berçav heye, beşek ji vê enerjiyê veguhêzîna enerjiya kinetîk dibe, ku di nav demê de tê belav kirin, yan bi wê yekê ku wekî pêlê elastîk were veguhastin ser axê û li bêdawî winda bibe, yan jî bi têkçûna hundirîn li germî were guheztin. Heke bar bi wisa nerm werin sepandin ku tu zêdebûna berçav a enerjiya kinetîk neyê çêkirin, yanî barên ku hêdî hêdî ji sifirê zêde dibin di hevsengiyek domdar de bi hêzên hundirîn re bin, ji ber ku enerjiya diyar bi tenê ji bo deformekirina laşê tê xerc kirin û wê hingê jê re karê deformasyonê tê gotin.
Em ê yekem car hesabkirina karê deformasyonê bi pariyekê ku di kêşanê de bi yek alî tê barkirin nîşan bidin (wêneya 5).
Hêza mevcut σ û dilatasyona têkildar ε bi zêdebûnên dσ û dε bibe. Wê hingê hêza σdF li ser rêya dε * dl karê σdF * dεdl = σdεdV pêk bîne, heke ji bo dV qismê qesikê were nîşankirin. Ger napon ji sifirê heya nirxa xwe ya dawî zêde bibe û dilatasyon jî li gorî wê ji 0 heya ε biguhere, karê giştî yê pêkhatî li ser yekîneyê qasiyê dê ev be:
Bi heman awayî ji bo elementek ku bi tensiyona qetandinê τ hatiye barkirin jî (sl. 6) karê deformasyonê ji bo yekeya hecme (karê deformasyonê yê taybet, potansiyela elastîk):
bi wê yekê ku tenê yek ji çar hêzên τ * dF kar dike.
Di rewşa giştî de, dema ku hemû şeş komponentên zextê li parçeyek bingehîn êrîş dikin, zêdekirina karên her komponentek zextê radê deformasyonê ya taybet tê bidestxistin:
(10)
Bi diferansyalkirinê li gorî sînorê jorîn a her yek ji van integralan, têkiliyên ku di rewşa herî giştî de derbas dibin tên bidestxistin:
(11)
û her weha ji bo deformasyonên din ên komponental jî bi heman awayî. Ger laş elastîk be, ji her rewşek têkildar a naponê re her tim heman rewşa deformasyonê tê têkildar kirin, bêyî ku rewş di dema barkirin an jî holêdanê de bigihîje. Dema wisa di bin integralan de fonksiyonên yekgirtî hene û enerjîya giştî ya ku di dema barkirin û paşê holêdana tam de tê xerc kirin a = 0 ye, ji ber ku di vê rewşê de sînorên jor ên integralan dibin sifir. Ji ber vê yekê hemû enerjiyê ku di dema barkirina laşê de tê dayîn, di dema holêdanê de dîsa tê girtin.
Wêne 6
Wêne 7
Ji bo laşek ne-tam elastîk, girêdana navbera tensiyon û deformasyonan ji bo tevahiya serdemek barkirin û bartîndinê xwedî şiklê ku bi qasî li ser wêne 7 bi xetên O A B. hatiye nîşandan e. Enerjî 
ya ku di barkirinê de tê danîn wekî rûbera OAA, e, û enerjîya ku di bartîndinê de tê vegerandin wekî rûbera ABA, e, ji ber vê yekê ew karê ku li gorî rûbera hêşîkirî ye winda dibe (di germahiyê de tê veguherandin). Heke di pêvajoya osîlasyonê de tensiyon bi rêkûpêk di navbera nirxa sînorî ya erênî 
û nirxa sînorî ya neyînî, 
de biguhezîne, deformasyona ne-elastîk bi awayekî mîna wê ya ku bi xetên xêzkirî li ser wêne 7 hatiye nîşandan diçe û di her periyoda osîlasyonê de li gorî yekeya qewareyê di germahiyê de tê veguherandin enerjîya DABCD. Heke ku ev tevdîr di deformasiyonê de, ku deformasiyon li pişta tensiyonê dimîne, tê gotin hîsteresîsa elastîk, û kurba DABCD jî lûpê ya hîsteresîsê ye.
Karê deformasyonê û yasaya Hooke
Heke li integralên di hevoka (10) de Qanûna Hooke were têxistin, dikare integredkirin were kirin, û ji bo karê taybetî yê deformasyonê ev şert têne bidestxistin:
(12a)
(12b)
(12c)
Heke forma duyemîn ji van di hevkêşeyê de (11) were têxistin, dîsa qanûna Hooke-ê, hevkêşeyên (8), bi forma ku li ser tensiyonan hatiye çareserkirin, tê bidest xistin. Gotina ku xebata deformasyonê bi pêkhateyên deformasyonê ve girêdayî ye, wekî ku bi hevkêşeya (12b) hatî nîşandan, ji ber vê yekê bi qanûna Hooke-ê re hevpar e. Dema hevkêşeya (12c) li gorî tensiyonan tê diferansîk kirin, tê bidest xistin
(13)
Van nimûneyan, berevajî nimûneyên (11), tenê ji bo laşên ku li gorî qanûna Hooke tevdigerin derbasdibin û nikarin werin sepandin dema ku têkiliyên di navbera tansiyon û deformasyonan de cuda bin. Bi xêr, li aliyê rastê yên hevkêşeyan (13) tenê deformasyonên komponental ên ku ji tansiyonan pêk hatine hene, û hemû yên din ên ku dibe ku ji guhertina germahiyê, xweşbûn, werimîn, rekrîstalîzasyon û hwd. çêbibin, têne derxistin.
DÎDEYÊN INTEGRALÎ DI TEORÎYA ELASTÎKÎTÊ DE
Tevgerên xeyalî. Prinsîpa enerjiyê ya potansiyel a herî kêm
Wekî ku qanûna Hooke, hevokên (8) dikarin bi yek hevokê (12b) werin guherandin, her weha di şûna şertên hevsengiyê de jî dikare prensîba tevgerên virtual were danîn, wekî qanûna bingehîn a mekhanîkayê ya giştî-derbasdar. Ev qanûn diyar dike ku rewşên hevsengiyê bi wê yekê têne naskirin ku karê giştî yê hemû hêzên ku di guherînek piçûk a rewşa deformasyonê de têne pêkanîn, sifir e. Ger guhertinên piçûk ên tevgera elastîk bi δμ δν, δω were nîşankirin, hingê hêzên volumî ku bi hevokê (7) hatine diyar kirin karê virtual dikin
û hêzên rûberî px, py, pz yên ku li ser elementa dF a rûbera derve ya laşê kiryar dikin karê 
li ku integrala sêqatî hemû cihberê vedigire, û integrala duqatî hemû rûbera derveyî ya cismê vedigire. Ji bo hesibandina karê ku hêzên hundirîn pêk tînin, hevkêşeya (12b) tê bikar anîn, û ji bo karê li ser yekîneya cihberê tê bidestxistin
Prensîba tevgerên virtual ji ser vê re ev encam dide
(14)
Heke barkirinên X, Y, Z px, py., pz wekî beşên hêza gravîtasyonê werin têgihiştin (giranîya xwe û barkirina derveyî), integralan li aliyê rastê nîşan didin enerjiya potansiyel a ku van barkirinan winda kirine, lê aliyê çepê zêdebûna enerjiya potansiyel (elastîk) ya laşê nîşan dide, da ku ev prensîp destnîşan bike ku enerjiya potansiyel a giştî ya hilgir û barkirinên ku li ser wê ne di rewşa hevsengiyê de nirxa xwe ya ekstremê heye. Heke ev nirxa ekstremê minimum be, hevsengî stabîl e.
Prensîba kêmtirîn enerjîya potansiyel ku bi hevkêşeya (14) tê diyarkirin, gotina (12b) ji bo xebata deformasyonê, şertên hevahengiya deformasyonan (5), (6) pêk tînin pergala hevkêşeyan ku ji bo avakirina teoriya elastekî têra xwe ye, û ku di bingehê xwe de bi pergala hevkêşeyan re hevber e. Ev pergal dikare bi taybetî di rewşên ku bicih anîna hevkêşeyên dîferansîyel (9) dijwarîyên hesabkirinê çêdike de bibe bikêr, û ji ber vê yekê divê çareseriyeke nêzîk were xwestin, mînak, ji bo veguhestinan bi pêşî were texmîn kirin bi teşeyeke guncan ku çend konstanta azad tê de hene, û ev paşê ji daxwazê ku hevkêşeya (14) bibe temamkirin têne diyar kirin. Bi vî awayî her çend çareseriya hişk a pirsgirêkê nayê bidestxistin, lê tenê baştirîn nêzîkbûn ku bi teşeya hilbijartî ya çareseriyê dikare were gihîştin. Ma nêzîkbûn têr e yan na, di serî de bi teşeya qebûlkirî ya çareseriyê ve girêdayî ye, û bi serketî bicih anîna vê rêbazê ji ber vê yekê jêhatîbûn û ezmûnê dixwaze.
Prensîba Castigliano
Lê di prensîba kêmkirina enerjîya potansiyel de hemû rewşên deformasyonê yên ku şertên lihevhatina deformasyonan tije dikin tên berhevkirin û ji nav wan ew yên têne veqetandin ku ji bo wan tansiyonên têkildar şertên hevahengiyê tije dikin, di prensîba Castigliano de hemû rewşên tansiyonê yên ku şertên hevahengiyê tije dikin tên berhevkirin û ji nav wan ew yên têne veqetandin ku ji bo wan deformasyonên têkildar şertên lihevhatina deformasyonan tije dikin. Ev prensîp ev e: ji hemû rewşên hevahengiyê yên mumkin, rewşa rastîn ew e ku ji wê karê deformasyonê herî kêm re têkildar e. Prensîba Castigliano bi hev re bi hevokê (12c) ji bo karê deformasyonê û şertên hevahengiyê re pergala hevokan ava dike ku têra ji bo avakirina berxwedana madeyê ye. Ji ber ku ev prensîp qanûna Hooke di nav xwe de digire, îmkanê sepandina wê bi texmîna ku deformasyon bi tevahî bi vî qanûnî ve were danasîn girêdayî ye. Ev ne tenê xwestina tevgera elastîk a xêzî ya materyalê ye, lê her weha guhertinên germahiyê jî derdixe derve.
Tevgera materyalê li ser sînorên elastîkê
Di bin barkirina statîk de fenomenên derdikevin holê
Dîformasyona materyalê di bin bandora tensiyonê de pêvajoyek gelek tevlihev e, ji ber vê yekê divê bi rêgezên cuda were hêsankirin da ku were têgihiştin. Yek ji van hêsankirinên e ku barkirin gav-gav têne danîn, wekî, mînak, di dema ceribandina li ser xistina û şertandinê de bi nimûneyan re tê kirin.
Heke tîrêjek poladê ku bi kêrê tê barkirin ber bi barkirinê ku hêdî hêdî zêde dibe were derketin û dilatasiyona wê ε were pîvan, diagrama ku di sl. 8 de hatiye nîşandan tê bi dest xistin. Di destpêkê de dilatasiyon gelek piçûk e û bi tensiyonê re li hev e, wekî ku qanûna Hooke dixwaze. Ji tenê tawaheke diyarkirî de wekhevî raweste dibe û dilatasiyon zûtir zêde dibe. Cihê rast ê sînorê vê wekheviyê bi zehmetî dikare were diyar kirin. Her qas pîvan rasttir be, ew qas ew kêmtir tê bidestxistin. Ji bo piraniya madeyan ew li ser σ = 0 ye, û qanûna Hooke dûv re tenê hevsengiya yekem a tevgera elastîk nîşan dide, endama yekem a pêşketina di rêza Taylor de ya fonksiyona ε = ε (σ) li dor destpêka koordînatê.
Heke tîrêj were barkirin, tê dîtin ku, gava tensiyon pir mezin nebûbe, deformasiyon jî wenda dibe, li gorê qanûna Hooke. Lê ev jî diguherê heke tensiyonek taybetî ku li nêzî sînorê proporsiyonê ye, ango sînorê elastîkî, were derbas kirin; wê demê deformasiyona giştî ji beşa elastîkî (vegerr) û neelastîkî (herdemî) pêk tê. Sînorê elastîkî jî nekarê têkî hêj were diyar kirin, ew qas jêr dibe çend ku rastiya pîvandinê zêdetir be. Lêbelê, ji ber ku ew bi teknîkî girîngiya mezin heye, ji ber ku ew sînorê girîngiya nêzîkî di hema hema hemî hesabên di berxwedana materyalan de temsîl dike, û di heman demê de sînorê ku tê de zirarên herî pêşîn ên herdemî çêdibin e, ji bo ceribandina nimûneyan ew bi tundî bi konvansiyonek pejirandî tê diyar kirin, û mînak, wek sînorê 0.2% ew tensiyon tê nîşankirin ku li wir dilatasiya herdemî digihîje 0.2%.
Rast piştî derbasbûna sînorê elastîkî, deformasyon bi lez zêde dibe û dikare bi çavê tê fêmkirin; li cem zexta hema hema sabit, bar bi domdarî dirêj dibe. Ev zext wekî sînorê herikînê tê navandin. Di makîneyên hîdraûlîk ên ceribandina materyalan de, piştî destpêka herikînê dikare ji bilî vê, daketina zextê ya bêtir an kêmtir xuya bibe; wekî ku li şikl. 8 bi xeta qutqutandî hatî nîşandan; wê hingê maksimum wekî sînorê jorîn ê herikînê, û zexta herikîna sabit a paşê tê sînorê jêrîn ê herikînê navandin.
Piştî ku gihîştî hin dilatasyonekê, ku hema hema bi tevahî ne-elastîk e, tensiyon dîsa dest pê dike ku bilind bibe, materyal şert dibe. Di vê qada barkirinê de ji ber şertbûna alî ya (ne-elastîk) kêmkirina têrbendiya beşa qutî ya şitêdê bi awayekî dîtbar çêdibe, û devamê grafîka tensiyon û deformasyonê di nav serî de bi wê ve girêdayî ye ku dema hesabkirina tensiyonê σ hêza kerrinê P ya ku li ser şitêdê dixebite, bi beşa destpêkî F0 were dabeşkirin an bi beşa niha F. Ji bo armancên teknîkî tensiyona P|F0 girîng e. Ev tensiyon di nav maksimumekê re derbas dibe ku bi navê hêza materyalê tê gotin û dema ku ew maksimum derbas bibe, şitêd li cihêkî pir tê teng kirin û tê parakirin. “Tensiyona rastîn” P|F heta şikestinê bilind dibe.
Wêne 8.
Tevgera metalên din bi gelek awayan ji ya li vir hatiye nivîsandin cuda ye. Herikîn pir caran ne diyar e, û hişkîbûn piştî derbasbûna sînora elastîkî rasterast dest pê dike. Di materyalên qert (kevir, şûşe, beton) de deformasyonên neelastîk bi giştî kêm in û jixwe bi deformasyonek piçûk şikestin pêk tê. Tevahiya deformasyona ku materyal heta şikestinê dibîne pîvana dirêjkirinê ye (berxwedêr: qertî) ya materyalê, û ev ji bo pola bi awayekî rast di şertên teknîkî de tê diyarkirin. Lêbelê, çawa ku rasterast berî şikestinê deformasyona din li ser deverên derdorê yên beşê tengkirî kom dibe, nirxek cûda ya deformasyona di şikestinê de tê girtin, li gorî ku ji bo dirêjahiya pîvanê beşek mezintir an biçûktir a çubikê were qebûlkirin, ji ber vê yekê ji bo bidestxistina encamên yekwate û hevberdanî divê berê hin şertnameyek diyarkirî were qebûlkirin. Deformasyona di şikestinê de bi navê xwerast bi vî awayî tê pîvandin ku li ser çubîkek ger a bi qutê d berî ceribandinê dirêjahiya pîvanê Ι = 10 d tê nîşankirin û ji dirêjbûna wê ΔΙ deformasyona di şikestinê de tê hesabkirin εs_Ι = ΔΙ|Ι . Heke pêwîst be ku çubikên bi beşek din werin ceribandin, dirêjahiya pîvanê li gorî qutê çubîkek silindrîk a ger tê diyarkirin ku heman rûbera beşa transversal hebe.
بارêkirina dirêjdem
Ji bo ceribandina kişandinê, pir zêde yek e ka bar heya şikestinê di nav 10 m de an jî çend saetan de zêde dibe. Lêbelê, heke bar salan an jî dehsalan bandor bike, di hin şertan de tê dîtin ku jî li jêr sînorê herikînê deformasyon bi têlîna domdar a demê re hêdî hêdî zêde dibe. Di vê rewşê de beşê elastîk, yanî ew beş ku dema barkirina dawî tê rakirin winda dibe, pir neguhere. Ev zêdebûna deformasyona neelastîk ku di nav demeke dirêj de çêdibe, puçbûn tê gotin. Li cem metalan, ji bilî sermîkê, puçbûn tenê li germahiya bilind girîng e; lêbelê, ji bo endezyarê avahiyê ew di betonê de rolekî dileyze ku di bin pêlê de hêdî hêdî berê xwe berdide, da ku napon di armaturê pêlîkirî de zêde bibe, heke ev hebe.
Barkirina guherbar
Ji bo ku taybetmendiyên mekanîkî yên materyalê, yên ku di ceribandina kêşanê de hatine bidestxistin, wekî pîvan ji bo barkirina destûrî ya avahiyan were bikar anîn, şert e ku materyal di her barkirina dubare de wê tenê tengezîna ku carekê bê zirar guzerandibe îhtimal bike. Ev şert nayê têrkirin heke materyal timtim li barkirin û barkirina ji destdanê were xistin, wekî ku, mînak, rewşa hilmînên ku bi hêzên inersiyalî yên makîneyên ne temam balansekirî ve têne barkirin. Bi dubarekirina têr a barkirinê, beşek avahî dikare têkeve şikestinê, her çend tengezînê li jêr hêza materyalê ya ku bi ceribandina statîkî ya asayî hatiye diyarkirin be. Diqewimîna şikestinê ya vê cûreyê şikestina ji ber zemanîbûnê tê gotin. Hejmara n a siklên barkirinê ku materyal dikare bibare, bi mezinahiya tengezînê σ ve girêdayî ye, ji ber vê yekê her çend tengezîn kêmtir be, hejmara siklan zêdetir e. Nimûneyek tipîk a vê girêdayiyê li ser wêneya 9 hatiye nîşandan, ji ku tê dîtin ku ji bo hêza materyalê sînorê jêrîn heye, ku di hejmara her çend mezin a siklên barkirinê de jî dikare wê bigire û ku hêza domdar a materyalê tê gotin. Diagramên ji vê cûreyê (wêneya 9) bi navê xêzên Wӧhler têne gotin.
Wêne 9.
Ewlehiya avahiyan
Du barkirinên sînorî ji bo avahiyan girîng in: barkirina ku tê de xerabûna daîmî ya yekem derdikevin (sînorê herikînê), û barkirina ku tê de hilgira avahiyê qediya ye, ji ber vê yekê ew dişkîne (sînorê şikestinê). Ji ber ku berî sînorê herikînê, bi kêmanî bi texmîn, pêşbîniyên berxwedana materyalê derbasdar in (veguhastinên biçûk, qanûna Hooke), ewlehî li hember deformasyonên daîmî dikare bi pêşbînîkirinê were nirxandin di hemû wê rewşan de ku bi dest dakeve ku şertiyên matematîkî têne şikandin. Heke tensyon bi barkirinê re li hevbeş be, rêjeya tensyona herikînê ber bi herî mezin tensyona ku di avahiyê de xuya dike wekhev e bi rêjeya navbera barkirina ku herikîn tê de çêdibe û barkirina rast û ew wek koefîsyenta ewlehiyê li hember herikînê temsîl dike. Lêbelê, di gelek rewşan de ev têkiliya sade tune ye: xwarbûn dema ku zextandina têkiliyê tê derxistin, zext di navbera rûberên berbihev de, pergala ku avahiya wê diguhere û, ya ku taybetî nebaş e, xwarbûn bi hêza aksial. Di van hemû rewşan de zêdebûna barkirinê ya herî hindik jî dikare bibe sedema zêdebûna mezin a tensyonê, û wê gavê ne têra kar e ku koefîsyenta ewlehiyê ya navdar li tensyonan were sepandin, lê divê ew li barkirinê were sepandin.
Pêvajoyên ku piştî derbasbûna sînorê herikînê heta şikestinê diqewimin, di piraniya rewşan de dikarin tenê bi awayekî qalîteyî werin şopandin. Heke materyal dirêjker be, beşên ku tê de sînorê herikînê pêşî tê gihîştin, û ku bi tensiyona sabît an tensiyona ku hinekî zêde dibe dema pêşde mezin dibin, di wergirtina barkirina din de hindiktir beşdar dibin, bi vî awayî beşên din ên avahiyê yên kêmtir tensiyonkirî, heke li gorî strukturê ya wê gengaz be, bêtir di hilgirtinê de beşdar dibin. Di vê meyleya ber bi yekgavkirina qelemên tensiyonê de hinek rezervê ewlehiyê heye, ku bi hesabî dikare were bikaranîn heke deformasyona mayînde ya hin beşan, ku tenê bi barkirineke mezin pêk hatibe, zirar nebîne (metoda barkirina sînorî).
Ger materyal qert be, yekemîn zirara domdar di qirçikan de xwe dide der, bi wan re li cihê xeterê berhevkirina nûsikê hîn jî zêdetir dibe, ku ji hêla wê ve rastê tê xilaskar kirin. Şikestina ji ber mîhînkirinê û di materyalên dirêjbeşînin de jî taybetmendiyên şikestina qert hene.
Têkiliyên di nav tensiyonan de ji bo cûrbecûr rûyên qutkirinê
Hevdeqsaneyên veguhastinê
Nehf tansiyonên komponental ên li sl. 1, bi sê şertên hevsengiyê ve girêdayî ne. Şeş nirxên mayî σx, σy, σz τxy, τyz, τzx dikarin, serbixwe ji hev, nirxên çawa ku em ji derxistina hevokên diferansî yên teoriya elastîkî dibînin, bibin. Lêbelê, dema ku van nirxan hatin dayîn, rewşa tansiyonê li xalekê di nav amûrê hişk de bi tevahî tê diyarkirin, ango dema ku tansiyon ji bo sê rûyên hevberdoz têne zanîn, dikare bi awayekî yekgirtî jî tansiyona ji bo rûyek çaremîn a ku di nav xala diyarkirî de derbas dibe û ku normala wê arasteyek serbixwe heye were diyarkirin.
Li wêne 10 tetraedera OABC hatiye nîşandan ku sê alîyên wê bi rûberên sistema koordinatan x, y, z re paralel in û yeka çaremîn elementek rûberî ya bi serê xwe arastakirî ABC = dF. temsîl dike. Ji bo ku rêya wê û rêya tansiyona ku bi navgîniya wê tê veguheztin were nîşankirin, sistemi koordinatan a duyemîn tê danîn, ku axa ξ-ya wê li hember dF. e.
Wêne 10
Pêdiviya hevsengiya hêzan ku li ser vê tetraedrê di arasteya eksê ξ de tevdigerin, didin
Ger were hesibandin ku ev
tê bidestxistin
û bi heman awayî ji şertên hevsengiyê di aliyê eksa η de:
Ev ewlekon ku ji bo hesibandina qewetan di veguheztina koordînat de têne bikar anîn. Ji girîngiyeke taybetî ye ku tenê hinekî wisa hêmanên rûberê dF bên hesibandin ku ξ-axa bi z-axa re hevgirtî bibe. Formên ji bo vê rewşê em dikarin bi sadebûna formên berê bistînin an rasterast ji wên. 11 bixwînin:
Wêne 11
Tansiyona normal nirxên ekstrem digire ji bo arasteyên α = α0 , ji bo ku dσξ/dα = 0. Bi derxistina rêza derivasîyonê ji hevokê (16) tê bidestxistin
ji ber vê yekê, gava ev îfade bi sifir re were wekhev kirin
Tensiyona τξη ê jî bi heman demê re tensiyona qerîner a tevahî li van rûberan bibe, heke τyz = τzx = 0. Hingê bi hevkêşeya (17) du alîkî hevresên hevbeş ên ku ji bo wan: 1. tensiyona qerîner a tevahî sifir e û, 2. tensiyona normal nirxên ekstrem heye (maksîmûm û minimum). Van aliyan bi navê aliyanên tensiyonên sereke têne navandin, û tensiyonên têkildar jî tensiyonên sereke ne. Ew bi σ1 û σ2 têne nîşankirin û rasterast ji formulan dikarin werin hesap kirin
Qeraxa Mohr
Hevokên (16) dikarin bi awayekî grafîkî bi şêwazek berçav werin xuyakirin. Ji bo vê armancê divê ew werin veguherandin bo formê:
Ev hevkêşan di pergala koordînatan σ, τ de şêwaza parametreyî ya hevkêşana doirê nîşankirî di wînekê 12 de nîşan didin, ku koordînatên navendê wê σ = 1/2 (σx + σy), τ = 0 in û tîrêjê wê
Ev cirûnê bi navê cirûna Mohrê tê gotin. Heke bi navê xeta ku ji xala x re paralel e li ser qata x =const. were kişandin, ku bi navê wê têne veguhastin tensiyonên σx, τxy, ew ê cirûnê li xala p biteqîne, ku ji wê re pola cirûna Mohrê tê gotin. Her xeta pξ ya ku ji vê pola re tê kişandin, cirûnê li xala ξ biqetîne ku tensiyonên σξ, τξη diyar dike, yên ku ji ber qata paralel bi pξ re têne veguhastin.
Di warê nîşana stresa qerê de dema xêzkirina qirka Mohr-ê divê bala xwe bidin ku ew li jor têne danîn heke xêza wan ya nîşandayî li wêne 12c be. Ji ber vê yekê ji du stresa konjûgeyît τxy, τyx yek her dem pozîtîf e, û yê din negatif e.
Bi nirxên sînorî yên σ1, σ2 ên tensiyonên nermî rêzên 1 û 2 li ser dorê têne lihevkirin, û rêzên _p_1 û _p_2 alîyên tensiyonên sereke dide.
Nîşankirina stresên ku di xeta x-y de ne, bi alîkariya qirqa Mahr-ê, bi tu xeyaleke li ser stresa σz, τxz, τyz ku li ser vê rûyê ne, girêdayî nîne.
Wêne 12
Ji ber vê yekê ew ji bo rewşa herî giştî ya tansiyonê ya sê-alişî jî derbasdar e, heke tenê ew rûniştinên qata qata qirêjê ku hemî ji heman xeta rast re têne derbasbûn, ku li vir wekî axa z û ξ hatiye hilbijartin, bên berhevkirin. Ji ber ku li gorî hevokên veguhastinê yên giştî (15) tansiyona normal σ nikare ji bo tu rûniştinek qirêjê bibe bêdawî, divê ew ji bo rûniştekê maksimûma tixûbdar σ1, û ji bo ya din minimum σ3 hebin, ku herdu jî, bêguman, dikarin neyînî jî bin. Heke di nav vektorên σ1 û σ3 re rûniştek were kişandin û dorhêla Mohr-ê were xêzkirin (şek. 13)
Wêne 13
ji bo tenşonên ku di vê rûyê de ne (yanî hemû alî yên ku li ser vê rûyê ne), hingê σ1 û σ3 mezintirîn û piçûktirîn tenşonên asayî ne ku dikarin derkevin û li gorî vê yekê divê di navbera xwe de li ser hev bi qada rast bin. Ger alîyên 1 û 3 bi alîyê 2 werin temam kirin, da ku ev sê alî yek pergala koordînatan a goşeyê rast çê bikin, û ger dorên Mahr ji bo rûyên 1 ~2 û 2 ~ 3 werin kişandin, hingê σ2 ji bo yek ji van doran mezintirîn tenşona asayî ye, û ji bo yê din piçûktirîn, û li gorî vê yekê di qutbûnên ku li ser alîyên 1, 2 û 3 ne, tenşona şilê bi sifir re ye. Sê tenşonên asayî yên li hev rêk û rast ên σ1, σ2 û σ3, yên ku tenşonên şilê ji wan re nîne, bi navê tenşonên sereke têne gotin.
Sînorê teslîmî û sînorê şikestinê di rewşa tensiyonê ya cîhanî de
Rewşa stresa ji bo yek-, du- an sê-alî tê gotin, bi awayek din: xêzî, raxêz an cîhî, li gorî ku yek, du an her sê stresa sereke ji sifir cuda bin. Li aliyê parçeyên konstruktîf ên ku herî zêde têne bikaranîn, ango li qeşikê kişandî, qeşandî û xwarbûyî, rewşa stresa, herî kêm li cihên herî zêde têne streskirin, yekalî ye, û her wiha di ceribandinên kişandin, qeşandin an xwarbûn de, ku di ceribandina materyalan de hema hema tenê ji bo diyarkirina stresa destûrdar têne bikaranîn. Berevajî vê, li ser pelên ku di nav qada xwe de an jî li ser wê ve hatine barkirin, her weha li ser qalikan, rewşa stresa du-alî ye, û di hin rewşan de rewşên stresa sê-alî jî derdikevin holê, ji ber vê yekê divê li ser bingeha sînorê herikînê û şikestinê, ku di rewşa stresa yekalî de hatine diyarkirin, encam derbarê tevdîra materyalê di rewşa stresa cîhî de werin derxistin.