Materiali: Resistenza dei materiali e teoria dell’elasticità

Nozioni di base

Il compito della resistenza dei materiali è stabilire quali forze esterne possa sopportare un corpo solido (ad es. una costruzione, un elemento strutturale o il terreno). Per rispondere a questa domanda si parte da due criteri: da un lato le tensioni non devono superare determinati limiti che dipendono dal tipo di materiale, e dall’altro l’equilibrio tra le forze esterne e interne deve essere stabile. In base a ciò, tutti i problemi della resistenza dei materiali possono essere suddivisi in “problemi di tensione” e “problemi di stabilità.”

Nel caso di aste e travi e di strutture composte da esse (tralicci, telai) la determinazione delle tensioni si esegue in due fasi, e precisamente nel modo seguente: dapprima, sulla base delle forze esterne assegnate, si calcola la risultante delle forze interne trasmesse attraverso la sezione trasversale, e poi da queste “forze sezionali” si determinano le tensioni. La prima parte della procedura rappresenta una disciplina speciale e vasta, la statica delle costruzioni, che dispone di metodi propri elaborati e che viene di norma separata dalla resistenza dei materiali, il cui compito si riduce alla determinazione delle tensioni dalle forze sezionali date.

Concetti fondamentali della resistenza dei materiali

Alla definizione della tensione si giunge attraverso le seguenti considerazioni fondamentali. Sia su un corpo in equilibrio un sistema di forze esterne. Immaginiamo di aver diviso il corpo con un taglio arbitrario in due parti e di averne rimosso una insieme alle forze che agiscono su di essa; allora la sua azione sull’altra parte, affinché restino invariati l’equilibrio delle forze e la distribuzione delle deformazioni, deve essere sostituita da forze supplementari trasmesse attraverso la superficie di taglio. Queste forze «interne» sono distribuite in modo continuo sulla superficie di taglio, cosicché a ogni elemento di superficie dF corrisponde una forza dβ. Se si forma il rapporto dβ dF e si esegue il passaggio al limite dF -> 0, questo rapporto tende al valore limite chiamato tensione. La tensione in un determinato elemento di superficie è, come dβ, e può essere scomposta nelle componenti normale e tangenziale a dF, tensione normale σ e tensione di taglio τ.

Se attraverso uno stesso punto si tracciano sezioni in direzioni diverse, ad esse corrisponderanno anche tensioni diverse. In particolare, se dal corpo si isola un cubo elementare, mostrato in fig. 1, su ciascuna delle sue sei superfici agirà un vettore di tensione che può essere scomposto in tre componenti lungo gli assi coordinati x, y, z. Le tensioni che agiscono su lati opposti della superficie differiscono tra loro, naturalmente, solo per il differenziale, per cui occorre distinguere 3 * 3 = 9 tensioni componenti, che si indicano nel modo seguente:

Alle tensioni normali σ viene assegnato l’indice dell’asse lungo il quale agiscono e si considerano positive se provocano trazione, negative se provocano compressione. Le tensioni di taglio τ ricevono due indici, il primo dei quali è uguale all’indice della corrispondente tensione normale, mentre il secondo si riferisce all’asse lungo il quale agisce la tensione di taglio. Se il verso positivo della corrispondente tensione normale coincide con il verso dell’asse coordinato positivo (negativo), anche la tensione di taglio si considera positiva se agisce nel verso dell’asse coordinato positivo (negativo).

Figura 1.

 Coniugazione delle tensioni tangenziali

Se per il parallelepipedo elementare, fig. 1, si impone la condizione che il momento di tutte le forze rispetto all’asse x sia nullo, si ottiene τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz Da qui, e dalle due corrispondenti equazioni per gli assi y e z, si ottiene che le tensioni di taglio con gli stessi indici sono uguali tra loro τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (1)

Deformazioni componentali

Che le tensioni sopra definite abbiano un significato fisico deriva dal loro legame con la definizione che subisce ogni corpo sotto l’azione di forze esterne. Fig. 2 mostra un parallelepipedo elementare che, prima della deformazione, era rettangolare e aveva i lati di lunghezza dx, dy, dz. Le lunghezze dei lati dopo la deformazione possono essere indicate con dx + Δdx, dy, + Δdy, dz + Δdz; i rapporti εx = Δdx|dx, εy =Δdy|dy, εz = Δdz|dz si chiamano dilatazioni. Si tratta di grandezze adimensionali e, per tutti i materiali che rientrano in considerazione nell’edilizia, piccole rispetto a 1. Oltre all’allungamento dei lati, il parallelepipedo elementare dx * dy * dz può subire anche una variazione degli angoli originariamente retti tra le sue facce.

Figura 2. deformazione componentale

Supponiamo che, dopo la deformazione, l’angolo tra i piani che si intersecano lungo il bordo OC sia uguale a e, analogamente, che la riduzione dell’angolo retto lungo il bordo AO sia uguale a γyz, e la riduzione lungo il bordo OB sia uguale a γzx. Queste tre variazioni di angolo γxy, γyz, γzx, si chiamano scorrimenti e sono anch’esse sempre piccole rispetto a 1. Con le sei componenti ε e γ la deformazione del cubo elementare “deformazione piccola” è completamente determinata. La variazione dell’elemento di volume d_V = dx * dy * dz_ è ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, da cui, trascurando i prodotti delle dilatazioni come quantità piccole di ordine superiore, si ottiene la dilatazione cubica ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2)

Spostamenti

La deformazione del corpo solido può essere descritta completamente anche in questo modo: a ciascuno dei suoi punti si assegna lo spostamento subito da quel punto. Se si escludono dall’osservazione gli spostamenti di grandezza finita che corrispondono al movimento di un corpo rigido, adottando, se necessario, nel calcolo un sistema di coordinate mobile, allora anche gli spostamenti componenti μ, ν, ω sono sempre di piccola entità e le loro derivate rispetto alle coordinate sono piccole rispetto a 1. In base a questa supposizione, secondo la fig. 3 la lunghezza dell’elemento lineare OA = dx dopo la deformazione

dunque  (3)

Analogamente, dalla fig. 3 si vede che lo scorrimento è γxy γ1 + γ2: e inoltre

 (4)

Figura 3 scorrimento

(5)  (6)

Queste relazioni sono chiamate condizioni di compatibilità e indicano che gli elementi deformati possono combaciare come un mosaico in modo che lo spazio risulti continuamente riempito, cosa che non si può ottenere se le deformazioni degli elementi sono arbitrarie. Le condizioni di compatibilità sono equazioni differenziali, per cui, com’è ovvio, tutte e sei le componenti di deformazione per ciascun singolo parallelepipedo sono tra loro indipendenti, ma la loro distribuzione in ogni regione finitamente estesa è vincolata dalle condizioni (5) e (6).

Poiché queste condizioni sono ottenute per differenziazione dalle equazioni (3) e (4), nel loro derivare si perde una parte dei vincoli contenuti nelle equazioni originarie. Perciò non basta che sia soddisfatto solo uno di questi due sistemi di equazioni, ma occorre soddisfare entrambi i sistemi di equazioni, se si vuole garantire la compatibilità della deformazione.

Equazioni differenziali del sistema di elasticità

Per il calcolo delle tensioni e delle deformazioni nei corpi elastici valgono le seguenti equazioni:

Condizioni di equilibrio dell’elemento volumetrico. Le condizioni che i momenti attorno ai tre assi siano uguali a zero sono già state utilizzate nella derivazione dell’equazione (1). Le condizioni di equilibrio delle forze danno, secondo la fig. 4

Figura 4

(7a-c)

Se con X, Y, Z si indicano le componenti delle forze di volume (ad es. peso, forza centrifuga) per unità di volume. Relazioni tra tensioni e deformazioni. Con ciò si intende il rapporto tra le tensioni componenti e le deformazioni componenti. Nella teoria dell’elasticità, di regola si prende in considerazione solo una relazione lineare, espressa dalla legge di Hooke:

(8a-c)

(8d-f)

Se le equazioni (8a-c) vengono risolte rispetto alle tensioni, si ottiene

(8 a)

kso e due equazioni corrispondenti. La legge di Hooke espressa dall’equazione (8) non rappresenta una legge naturale rigorosamente valida, ma un’idealizzazione del comportamento reale, che se ne discosta in misura maggiore o minore, a seconda del materiale e dell’entità delle sollecitazioni. Poiché il trattamento matematico del problema della resistenza dei materiali con relazioni complicate e non lineari tra tensioni e deformazioni comporta difficoltà incomparabilmente maggiori e può essere effettivamente svolto solo nei casi più semplici, anche per quei materiali (calcestruzzo!) il cui comportamento si discosta notevolmente dalla legge di Hooke, i calcoli basati su di essa devono essere utilizzati in primo luogo, e per lo più anche come unica soluzione approssimata, che peraltro è in genere molto utilizzabile e fornisce un’interpretazione più che soltanto qualitativa. G = E|2 (1+μ).

Essa segue necessariamente dal rapporto tra tensione e deformazione (8), dalle equazioni di trasformazione (16) per le tensioni e dal corrispondente sistema di equazioni per le deformazioni componenti. E e G hanno la dimensione di una tensione e in tutti i materiali da costruzione sono elevati rispetto alle tensioni σ e τ che possono presentarsi. Su questo fatto si basa l’ipotesi adottata ovunque nella teoria dell’elasticità, che le deformazioni siano piccole. Il coefficiente di dilatazione trasversale (numero di Poisson) μ è adimensionale e si trova sempre tra 0 e 1/2 .

Relazioni tra le deformazioni componentali e gli spostamenti. Queste relazioni sono date dalle equazioni (3), (4). Esse hanno natura puramente geometrica. Questi tre sistemi forniscono 3+6+6=15 equazioni per 15 incognite, cioè per 6 tensioni componentali, 6 deformazioni componentali e 3 spostamenti componentali. Esse sono quindi sufficienti per determinare tali incognite. Il trattamento matematico di un sistema così ampio di equazioni differenziali è possibile, naturalmente, solo in casi speciali. Se nell’equazione (8) le deformazioni componentali vengono sostituite dagli spostamenti componentali secondo le equazioni (3) e (4) e quindi le tensioni normali σ e le tensioni di taglio τ, secondo le equazioni (8 d - f), vengono introdotte nelle condizioni di equilibrio, eq. (7), si ottengono equazioni differenziali che vengono chiamate equazioni fondamentali della teoria dell’elasticità.

(9)

per cui  è indicato l’operatore di Laplace. Considerando (2) queste sono tre equazioni differenziali con tre spostamenti componenti μ, ν, ω; da queste, mediante differenziazione sulla base di (3), (4) e (8), si possono ottenere tutte le tensioni e deformazioni componenti. Le equazioni (9) rappresentano spesso un punto di partenza conveniente per lo studio di casi speciali.

Lavorazione di deformazione

Definizione

Quando il sostegno viene caricato, i punti di applicazione delle forze esterne subiscono spostamenti elastici e le forze compiono così un certo lavoro. In questo modo l’energia fornita può trasformarsi in forme diverse. Se il carico viene applicato bruscamente, in modo che il processo di deformazione avvenga con notevole velocità, una parte di questa energia si trasforma in energia cinetica, che col tempo si dissipa, sia trasferendosi al suolo come un’onda elastica che si perde all’infinito, sia trasformandosi in calore per effetto dell’attrito interno. Se i carichi vengono applicati così lentamente che non si produce un apprezzabile incremento di energia cinetica, cioè se i carichi che crescono gradualmente a partire da zero sono in costante equilibrio con le forze interne, l’energia è evidentemente consumata esclusivamente per deformare il corpo e allora si chiama lavoro di deformazione.

Il calcolo del lavoro di deformazione verrà illustrato dapprima su un elemento caricato a trazione in una sola direzione (fig. 5).

Supponiamo che la tensione esistente σ e la corrispondente dilatazione ε subiscano incrementi dσ e dε. Allora la forza σdF sul percorso dε * dl compirà il lavoro σdF * dεdl = σdεdV, se con dV si indica il volume del piccolo elemento. Se la tensione cresce da zero al suo valore finale e la dilatazione di conseguenza da 0 a ε, il lavoro totale compiuto per unità di volume sarà:

Analogamente, per un elemento sollecitato da una tensione di taglio τ (fig. 6) il lavoro di deformazione per unità di volume (lavoro specifico di deformazione, potenziale elastico):

con la sola forza su quattro forza τ * dF compie lavoro.

In generale, quando sull’elementino agiscono tutte e sei le componenti di tensione, si ottiene il lavoro di deformazione specifico sommando i lavori delle singole componenti di tensione:

(10)

Derivando rispetto al limite superiore di ciascuno di questi integrali si ottengono relazioni valide nel caso più generale:

(11)

e così via per le altre deformazioni componenti. Se il corpo è elastico, a ogni determinato stato di tensione corrisponde sempre lo stesso stato di deformazione, indipendentemente dal fatto che lo stato sia stato raggiunto durante il carico o lo scarico. In tal caso sotto gli integrali figurano funzioni univoche e l’energia totale spesa durante il carico e poi il completo scarico è a = 0, poiché in questo caso i limiti superiori degli integrali diventano zero. Pertanto l’energia totale fornita al corpo durante il carico si recupera durante lo scarico.

Figura 6

Figura 7

Per un corpo non perfettamente elastico, la relazione tra tensioni e deformazioni per l’intero ciclo di carico e scarico ha la forma approssimativamente mostrata in fig. 7 dalle linee O A B. L’energia fornita durante il carico è pari all’area OAA, e l’energia restituita durante lo scarico è pari all’area ABA, cosicché si perde (si trasforma in calore) il lavoro corrispondente all’area tratteggiata. Se in un processo oscillatorio la tensione varia periodicamente tra il valore limite positivo e il valore limite negativo , la deformazione anelastica evolve in modo simile a quanto mostrato dalle linee tratteggiate in fig. 7 e durante ogni periodo di oscillazione si trasforma in calore, per unità di volume, l’energia DABCD. Tale comportamento durante la deformazione, in cui la deformazione ritarda rispetto alla tensione, si chiama isteresi elastica, e la curva DABCD è il ciclo di isteresi.

Lavoro di deformazione e legge di Hooke

Se nelle integrali dell’equazione (10) si introduce la legge di Hooke, si può eseguire l’integrazione e per il lavoro specifico di deformazione si ottengono le espressioni:

(12a)

(12b)

(12c)

Se la seconda di queste forme viene inserita nell’equazione (11), si ottiene nuovamente la legge di Hooke, equazioni (8), nella forma risolta rispetto alle tensioni. L’affermazione che il lavoro di deformazione dipende dalle componenti di deformazione, come mostrato dall’equazione (12b), è pertanto equivalente alla legge di Hooke. Quando l’equazione (12c) viene differenziata rispetto alle tensioni, si ottiene

(13)

Questi schemi, a differenza degli schemi (11), valgono solo per corpi che si comportano secondo la legge di Hooke e non possono essere applicati quando i rapporti tra tensioni e deformazioni sono diversi. È chiaro che sul lato destro delle equazioni (13) si trovano solo le deformazioni componentali provocate dalle tensioni, mentre si escludono tutte le altre che eventualmente possono essersi formate a causa di variazioni di temperatura, creep, rigonfiamento, ricristallizzazione, ecc.

PRINCIPI INTEGRALI NELLA TEORIA DELL’ELASTICITÀ

Spostamenti virtuali. Principio del minimo dell’energia potenziale

Così come la legge di Hooke, le equazioni (8) possono essere sostituite da una sola equazione (12b), allo stesso modo, al posto delle condizioni di equilibrio si può introdurre il principio degli spostamenti virtuali, come legge fondamentale della meccanica universalmente valida. Questa legge afferma che gli stati di equilibrio si caratterizzano per il fatto che il lavoro totale compiuto da tutte le forze in una piccola variazione dello stato di deformazione è uguale a zero. Se indichiamo le piccole variazioni degli spostamenti elastici con δμ δν, δω, allora le forze di volume definite dall’equazione (7) compiono lavoro virtuale

e le forze superficiali px, py, pz che agiscono sull’elemento dF della superficie esterna del corpo lavoro 

in cui l’integrale triplo si riferisce all’intero volume e quello doppio all’intera superficie esterna del corpo. Per il calcolo del lavoro svolto dalle forze interne si utilizza l’equazione (12b), e per il lavoro per unità di volume si ottiene

Il principio degli spostamenti virtuali dà quindi

(14)

Se i carichi X, Y, Z px, py., pz sono intesi come componenti della forza di gravità (peso proprio e carico esterno), gli integrali sul lato destro rappresentano l’energia potenziale persa da questi carichi, mentre il lato sinistro rappresenta l’incremento dell’energia potenziale (elastica) del corpo, così che questo principio afferma che l’energia potenziale totale della trave e dei carichi che vi gravano in condizioni di equilibrio assume un valore estremo. Se questo valore estremo è un minimo, l’equilibrio è stabile.

Il principio del minimo dell’energia potenziale espresso dall’equazione (14), l’espressione (12b) per il lavoro di deformazione, e le condizioni di compatibilità delle deformazioni (5), (6) rappresentano un sistema di equazioni sufficiente per la costruzione della teoria dell’elasticità, e che è sostanzialmente equivalente al sistema di equazioni. Questo sistema può essere particolarmente utile nei casi in cui il soddisfacimento delle equazioni differenziali (9) comporti difficoltà di calcolo e perciò occorra cercare una soluzione approssimata; ad es., per gli spostamenti si assume in anticipo una forma conveniente contenente alcune costanti libere, che vengono poi determinate dal requisito che l’equazione (14) sia soddisfatta. In tal modo non si ottiene, in verità, una soluzione rigorosa del problema, ma solo la migliore approssimazione ottenibile con la forma di soluzione scelta. Se l’approssimazione sia sufficiente dipende innanzitutto dalla forma adottata della soluzione, e l’applicazione riuscita di questo metodo richiede pertanto abilità ed esperienza.

Principio di Castigliano

Mentre nel principio del minimo dell’energia potenziale si confrontano tutti gli stati di deformazione che soddisfano le condizioni di compatibilità delle deformazioni e tra essi si individuano quelli per i quali le corrispondenti tensioni soddisfano le condizioni di equilibrio, nel principio di Castigliano si confrontano tutti gli stati di tensione che soddisfano le condizioni di equilibrio e tra essi si individuano quelli per i quali le corrispondenti deformazioni soddisfano le condizioni di compatibilità delle deformazioni. Questo principio afferma: tra tutti i possibili stati di equilibrio si realizza quello a cui corrisponde il minimo lavoro di deformazione. Il principio di Castigliano, insieme all’equazione (12c) per il lavoro di deformazione e alle condizioni di equilibrio, forma un sistema di equazioni sufficiente per la costruzione della resistenza dei materiali. Poiché questo principio contiene la legge di Hooke, la possibilità della sua applicazione è legata all’ipotesi che le deformazioni possano essere descritte completamente da questa legge. Ciò richiede non solo un comportamento elastico lineare del materiale, ma esclude anche le variazioni di temperatura.

Comportamento dei materiali oltre i limiti di elasticità

Fenomeni sotto carico statico

La deformazione del materiale sotto l’influenza delle tensioni è un fenomeno molto complesso, per cui deve essere semplificato in diversi modi per poter essere compreso. Una di queste semplificazioni è l’ipotesi che i carichi vengano applicati gradualmente, come ad es. si fa con i campioni nelle prove di trazione e compressione.

Se una barra d’acciaio sollecitata a trazione viene sottoposta a un carico che cresce gradualmente e se ne misura la dilatazione ε, si ottiene il diagramma mostrato in fig. 8. All’inizio la dilatazione è molto piccola e proporzionale alla tensione, come richiesto dalla legge di Hooke. A partire da una certa tensione cessa la proporzionalità e la dilatazione cresce più rapidamente. La posizione esatta del limite di questa proporzionalità è difficile da determinare. Quanto più precisa è la misurazione, tanto più basso risulta. Per la maggior parte dei materiali esso si trova a σ = 0, e la legge di Hooke rappresenta allora soltanto la prima approssimazione del comportamento elastico, il primo termine dello sviluppo in serie di Taylor della funzione ε = ε (σ) in prossimità dell’origine del sistema di coordinate.

Se la barra viene scaricata, si osserva che, quando la tensione non era troppo elevata, scompare anche la deformazione, in conformità con la legge di Hooke. Ma anche questo cambia se si supera una certa tensione che si trova vicino al limite di proporzionalità, il cosiddetto limite di elasticità; allora la deformazione complessiva è composta da una parte elastica (reversibile) e una parte anelastica (permanente). Neppure il limite di elasticità può essere determinato con precisione; esso si trova tanto più in basso quanto maggiore è la precisione della misurazione. Tuttavia, poiché esso ha grande importanza tecnica, in quanto rappresenta il limite di validità di quasi tutti i calcoli nella resistenza dei materiali e, allo stesso tempo, il limite a cui si verificano i primi danni permanenti, per la prova dei campioni viene definito rigorosamente da una convenzione adottata; così, ad esempio, come limite 0.2% si indica quella tensione alla quale la dilatazione permanente raggiunge 0.2%.

Immediatamente dopo il superamento del limite elastico, la deformazione aumenta bruscamente e può essere osservata a occhio nudo; a tensione quasi costante l’asta si allunga ininterrottamente. Questa tensione è detta limite di snervamento. Nelle macchine idrauliche di prova dei materiali si può inoltre osservare, dopo l’inizio dello snervamento, una diminuzione più o meno marcata della tensione; come indicato nella fig. 8 con la curva tratteggiata; allora il massimo è detto limite superiore di snervamento, mentre la tensione di snervamento costante che segue è il limite inferiore di snervamento.

Raggiunto un determinato allungamento, che è quasi completamente non elastico, la tensione ricomincia a crescere, il materiale si irrobustisce. In questa zona di carico si verifica una notevole riduzione della sezione trasversale dell’asta a causa della contrazione laterale (non elastica), e l’ulteriore andamento del diagramma tensioni-deformazioni dipende innanzitutto dal fatto che, nel calcolo della tensione σ, la forza di trazione P che agisce sull’asta sia divisa per la sezione iniziale F0 oppure per la sezione attuale F. Per fini tecnici è interessante la tensione P|F0. Questa tensione raggiunge un massimo, chiamato resistenza del materiale, e quando tale massimo viene superato l’asta si restringe fortemente in un punto e si rompe. La “tensione reale” P|F cresce fino alla rottura.

Figura 8.

Il comportamento di altri metalli si discosta in molti aspetti da quello qui descritto. La scorrimento plastico spesso non è pronunciato e l’incrudimento inizia immediatamente dopo il superamento del limite elastico. Nei materiali fragili (pietra, vetro, calcestruzzo) le deformazioni anelastiche sono in genere piccole e già con una modesta dilatazione si arriva alla rottura. La dilatazione totale subita dal materiale fino alla rottura è una misura della duttilità (inversamente: fragilità) del materiale e per l’acciaio è prescritta con precisione nelle condizioni tecniche. Tuttavia, poiché poco prima della rottura l’ulteriore deformazione si concentra nei punti vicini della sezione ristretta, si ottiene un valore diverso della dilatazione a rottura, a seconda che come lunghezza di misura si assuma una parte maggiore o minore dell’asta, per cui, per ottenere risultati univoci e tra loro confrontabili, deve essere adottata in anticipo una determinata convenzione. La dilatazione a rottura, di norma, si misura segnando su un’asta rotonda di diametro d, prima della prova, la lunghezza di misura Ι = 10 d e calcolando dalla sua allungamento ΔΙ la dilatazione a rottura εs_Ι = ΔΙ|Ι ._ Se è necessario esaminare aste di sezione diversa, la lunghezza di misura si determina in base al diametro di un’asta cilindrica circolare che abbia la stessa area di sezione trasversale.

Carico di lunga durata

Per lo svolgimento della prova di trazione è piuttosto indifferente se il carico fino alla rottura aumenta nel corso di 10 m minuti o di alcune ore. Tuttavia, se il carico agisce per anni o decine di anni, in determinate condizioni si osserva che anche al di sotto del limite di scorrimento la deformazione, a tensione costante, aumenta lentamente nel tempo. La parte elastica, cioè la parte che scompare al completo scarico, non cambia sensibilmente. Questo aumento della deformazione anelastica che si verifica nel corso di un lungo periodo si chiama creep. Nei metalli, eccetto il piombo, il creep è significativo solo a temperature elevate; tuttavia, per l’ingegnere civile assume importanza nel calcestruzzo che sotto compressione cede leggermente, così che la tensione aumenta nell’armatura compressa, se questa è presente.

Carico variabile

Affinché le caratteristiche meccaniche del materiale, ottenute nella prova di trazione, possano essere utilizzate come criterio per il carico ammissibile delle strutture, è condizione che il materiale sopporti a ogni successivo caricamento una tensione che una volta ha sopportato senza danneggiarsi. Questa condizione non è soddisfatta se il materiale è esposto a frequenti ripetizioni di carico e scarico, come avviene, ad esempio, nel caso di elementi portanti sollecitati da forze inerziali di macchine non perfettamente bilanciate. Con ripetizioni sufficientemente frequenti del carico, un elemento costruttivo può giungere alla rottura anche a una tensione molto inferiore alla resistenza del materiale determinata con una normale prova statica. Questo tipo di rottura è detto rottura per fatica. Il numero n di cicli di carico che il materiale può sopportare dipende dall’entità della tensione σ, per cui è tanto maggiore quanto minore è la tensione. Un esempio tipico di questa dipendenza è mostrato in fig. 9, dalla quale si vede che per la resistenza del materiale esiste un limite inferiore, sopportato anche con un numero arbitrariamente grande di cicli di carico, e che viene chiamato resistenza dinamica del materiale. I diagrammi di questo tipo (fig. 9) sono chiamati curve di Wӧhler.

Figura 9.

Sicurezza delle strutture

Due carichi limite sono significativi per le strutture: il carico al quale si producono i primi danni permanenti (limite di snervamento) e il carico al quale la capacità portante della struttura è esaurita e quindi essa si rompe (limite di rottura). Poiché prima del limite di snervamento valgono almeno approssimativamente le ipotesi della resistenza dei materiali (piccoli spostamenti, legge di Hooke), la sicurezza contro le deformazioni permanenti può essere valutata con affidabilità in tutti quei casi in cui si riescono a superare le difficoltà matematiche. Se la tensione è proporzionale al carico, il rapporto tra la tensione di snervamento e la massima tensione che si presenta nella struttura è uguale al rapporto tra il carico al quale si verifica lo snervamento e il carico effettivo e rappresenta il coefficiente di sicurezza rispetto allo snervamento. Tuttavia, in numerosi casi questo semplice rapporto non esiste: flessione quando si esclude la trazione, compressione tra superfici sporgenti, sistemi la cui struttura è variabile e, cosa particolarmente sfavorevole, flessione con forza assiale. In tutti questi casi un aumento relativamente piccolo del carico può provocare un forte aumento della tensione, e allora non è sufficiente applicare il consueto coefficiente di sicurezza alle tensioni, bensì esso deve essere applicato al carico.

I fenomeni che si verificano dopo il superamento del limite di snervamento fino alla rottura possono nella maggior parte dei casi essere seguiti solo qualitativamente. Se il materiale è duttile, le parti in cui il limite di snervamento è stato raggiunto per prime e che continuano a deformarsi a tensione costante o a tensione che aumenta lievemente, partecipano poco alla presa del carico ulteriore, cosicché le altre parti della struttura, meno sollecitate, ove ciò sia possibile in considerazione della sua struttura, contribuiscono maggiormente alla resistenza. In questa tendenza all’uguaglianza dei picchi di tensione risiede una certa riserva di sicurezza, che può essere sfruttata ai fini del calcolo se la deformazione permanente di singole parti, verificatasi con un solo carico rilevante, non è dannosa (metodo del carico limite).

Se il materiale è fragile, il primo danneggiamento permanente si manifesta con le fessure, per effetto delle quali nel punto sollecitato si ha una concentrazione di tensioni ancora più forte, che provoca immediatamente la rottura. La rottura per fatica, anche nei materiali duttili, presenta le caratteristiche di una frattura fragile.

 Relazioni tra le tensioni per diversi piani di sezione

Equazioni di trasformazione

Le nove tensioni componenti in fig. 1 sono legate da tre condizioni di equilibrio. Le sei grandezze rimanenti σx, σy, σz τxy, τyz, τzx possono, indipendentemente l’una dall’altra, assumere valori arbitrari, come si vede dallo sviluppo delle equazioni differenziali della teoria dell’elasticità. Tuttavia, quando questi valori sono assegnati, lo stato tensionale in un punto qualsiasi di un corpo solido è completamente determinato, cioè quando sono note le tensioni per tre piani mutuamente perpendicolari, può essere determinata in modo univoco anche la tensione per un quarto piano piano che passa per il punto dato e la cui normale ha direzione arbitraria.

Nella fig. 10 è mostrato il tetraedro OABC, i cui tre lati sono paralleli ai piani del sistema di coordinate x, y, z mentre il quarto rappresenta un elemento di superficie orientato arbitrariamente ABC = dF. Per indicarne la direzione e la direzione della tensione che vi si trasmette, si introduce un secondo sistema di coordinate, la cui asse ξ è perpendicolare a dF.

Figura 10

La condizione di equilibrio delle forze agenti su questo tetraedro nella direzione dell’asse ξ dà

Se si tiene conto che

si ottiene

e analogamente dalle condizioni di equilibrio nella direzione dell’asse η:

Queste sono le equazioni che servono per il calcolo delle tensioni nella trasformazione delle coordinate. Di particolare importanza è considerare soltanto quegli elementi di superficie _dF per i quali l’asse ξ coincide con l’asse z. Gli schemi per questo caso possono essere ricavati semplificando gli schemi precedenti oppure letti direttamente dalla fig. 11:

Figura 11

La tensione normale assume valori estremi per le direzioni α = α0 , per le quali dσξ/dα = 0. Per differenziazione dall’equazione (16) si ottiene

quindi, quando questa espressione viene eguagliata a zero

La tensione τξη sarà contemporaneamente la tensione di taglio totale in questi piani, se τyz = τzx = 0. Allora, mediante l’equazione (17), sono determinati due direzioni tra loro perpendicolari per le quali: 1. la tensione di taglio totale è nulla e 2. la tensione normale assume valori estremi (massimo e minimo). Queste direzioni sono chiamate direzioni delle tensioni principali, e le corrispondenti tensioni tensioni principali. Si indicano con σ1 e σ2 e possono essere calcolate direttamente dalla formula

 Cerchio di Mohr

Le equazioni (16) possono essere rappresentate graficamente in modo chiaro. A tal fine devono essere trasformate nella forma:

Queste equazioni rappresentano, nel sistema di coordinate σ, τ, la forma parametrica dell’equazione di un cerchio tracciato nella fig. 12, le cui coordinate del centro sono σ = 1/2 (σx + σy), τ = 0 e il cui raggio è

Questo cerchio si chiama cerchio di Mohr. Se per il punto x si traccia una retta parallela alla sezione x = const., attraverso la quale si trasmettono le tensioni σx, τxy, essa intersecherà il cerchio nel punto p, che si chiama polo del cerchio di Mohr. Ogni retta pξ tracciata attraverso questo polo interseca il cerchio nel punto ξ, che determina le tensioni σξ, τξη trasmesse attraverso la sezione parallela a pξ.

Per quanto riguarda il segno delle tensioni di taglio nel tracciare il cerchio di Mohr, occorre tenere presente che esse si riportano verso l’alto se hanno la direzione indicata nella fig. 12c. Di conseguenza, tra le due tensioni coniugate τxy, τyx, una è sempre positiva e l’altra negativa.

Ai valori limite di σ1, σ2 delle tensioni normali corrispondono i punti 1 e 2 sulla circonferenza, mentre le rette _p_1 e _p_2 danno le direzioni delle tensioni principali.

La rappresentazione delle tensioni giacenti nel piano x-y mediante il cerchio di Mohr non è legata ad alcuna ipotesi sulle tensioni σz, τxz, τyz perpendicolari a tale piano.

Figura 12

Lo stesso vale quindi anche per lo stato tensionale tridimensionale più generale, se si confrontano soltanto quei piani di sezione che passano tutti per la stessa retta, qui scelta come asse z e ξ. Poiché, secondo le equazioni generali di trasformazione (15), la tensione normale σ non può diventare infinita per nessun piano di sezione, essa deve avere per un piano un massimo finito σ1 e per un altro un minimo σ3, entrambi i quali, naturalmente, possono essere anche negativi. Se attraverso i vettori σ1 e σ3 si traccia un piano e si disegna il cerchio di Mohr (fig. 13)

Figura 13

per le tensioni che giacciono in questo piano (ossia, tutte le direzioni perpendicolari a questo piano), allora σ1 e σ3 sono le tensioni normali massima e minima che possono verificarsi e, di conseguenza, devono essere tra loro perpendicolari. Se le direzioni 1 e 3 vengono completate dalla direzione 2, in modo che queste tre direzioni formino un sistema di coordinate rettangolare, e se si tracciano i cerchi di Mohr per i piani 1 ~2 e 2 ~ 3, allora σ2 per uno di questi cerchi è la tensione normale massima e per l’altro la minima, e pertanto nelle sezioni perpendicolari alle direzioni 1, 2 e 3 la tensione tangenziale è uguale a zero. Le tre tensioni normali mutuamente perpendicolari σ1, σ2 e σ3, alle quali non corrispondono tensioni tangenziali, si chiamano tensioni principali.

    Limite di snervamento e limite di rottura nello stato tridimensionale di tensione

Lo stato di tensione si definisce mono-, bi- o tridimensionale, altrimenti: lineare, piano o spaziale, a seconda che una, due o tutte e tre le tensioni principali siano diverse da zero. Nei componenti strutturali di uso più frequente, cioè nelle barre tese, compresse e flesse, lo stato di tensione, almeno nei punti più sollecitati, è monodimensionale, così come nelle prove di trazione, compressione o flessione, che nel collaudo dei materiali si impiegano quasi esclusivamente per determinare le tensioni ammissibili. Al contrario, nelle lastre caricate nel proprio piano o perpendicolarmente ad esso, così come nei gusci, lo stato di tensione è bidimensionale e, in alcuni casi, compaiono anche stati di tensione tridimensionali, per cui è necessario trarre, sulla base del limite di snervamento e di rottura, determinati nello stato di tensione monodimensionale, conclusioni sul comportamento del materiale nel caso di stato di tensione spaziale.