Bases
A tarefa da resistência dos materiais é determinar que forças externas um corpo sólido pode suportar (por ex., construção, elemento estrutural ou terreno). Para responder a essa pergunta, parte-se de dois critérios: por um lado, as tensões não devem ultrapassar certos limites que dependem do tipo de material e, por outro lado, o equilíbrio entre as forças externas e internas deve ser estável. De acordo com isso, todos os problemas da resistência dos materiais podem ser divididos em “Problemas de tensões” e “problemas de estabilidade.”
Nos elementos de barra e vigas e nas estruturas por eles compostas (treliças, pórticos), a determinação das tensões faz-se em duas etapas, de modo que primeiro, com base nas forças externas dadas, se calcula a resultante das forças internas transmitidas através da secção transversal e, em seguida, a partir dessas “forças de secção” se determinam as tensões. A primeira parte do procedimento representa uma disciplina especial e extensa, a estática das estruturas de engenharia, que dispõe de métodos próprios desenvolvidos e que geralmente é separada da resistência dos materiais, cuja tarefa se resume a determinar as tensões a partir das forças de secção dadas.
Conceitos básicos da resistência dos materiais
A definição de tensão é obtida através das seguintes considerações fundamentais. Seja um corpo submetido a um sistema equilibrado de forças externas. Imaginemos que dividimos o corpo em duas partes por uma secção arbitrária e que removemos uma delas juntamente com as forças que atuam sobre ela; então a sua ação sobre a outra parte, para que o equilíbrio das forças e a distribuição das deformações permaneçam inalterados, deve ser substituída por forças suplementares transmitidas através da superfície da secção. Estas forças “internas” estão distribuídas continuamente pela superfície da secção, de modo que a cada elemento de área dF corresponde a força dβ. Se se formar o quociente dβ dF e se fizer o limite quando dF -> 0, então este quociente tende para o valor limite designado por tensão. A tensão num determinado elemento de superfície, tal como dβ, pode ser decomposta em componentes normal e tangencial a dF, tensão normal σ e tensão de corte τ.
Se secções forem traçadas através do mesmo ponto em diferentes direções, a elas corresponderão também diferentes tensões. Em particular, se do corpo se destacar um cubo elementar, mostrado na fig. 1, em cada uma das suas seis faces atuará um vetor de tensão que pode ser decomposto em três componentes na direção dos eixos coordenados x, y, z. As tensões que atuam em faces opostas diferem entre si, naturalmente, apenas de forma diferencial, de modo que é necessário distinguir 3 * 3 = 9 tensões componentes, que se assinalam da seguinte maneira:
Nas tensões normais σ atribui-se o índice do eixo no sentido do qual atuam e consideram-se positivas se provocarem tração, negativas se provocarem compressão. As tensões de corte τ recebem dois índices; o primeiro é igual ao índice da tensão normal correspondente e o segundo refere-se ao eixo no sentido do qual atua a tensão de corte. Se o sentido positivo da tensão normal correspondente for o sentido do eixo coordenado positivo (negativo), a tensão de corte também é considerada positiva se atuar no sentido do eixo coordenado positivo (negativo).
Figura 1.
Conjugação das tensões de corte
Se, para o paralelepípedo elementar, fig. 1, se estabelecer a condição de que o momento de todas as forças em relação ao eixo x é nulo, obtém-se τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz A partir daqui, e das duas equações correspondentes para os eixos y e z, conclui-se que as tensões de corte com os mesmos índices são iguais entre si τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (1)
Deformações componentais
O facto de as tensões acima definidas terem um significado físico resulta da sua relação com a definição suportada por qualquer corpo sob a ação de forças externas. A Fig. 2 mostra um cubo elementar, que antes da deformação era retangular e tinha arestas de comprimentos dx, dy, dz. Os comprimentos das arestas após a deformação podem ser assinalados por dx + Δdx, dy, + Δdy, dz + Δdz; os quocientes εx = Δdx|dx, εy =Δdy|dy, εz = Δdz|dz chamam-se dilatações. Estas são grandezas adimensionais e, para todos os materiais relevantes na construção civil, pequenas em comparação com 1. Para além do alongamento das arestas, o cubo elementar dx * dy * dz pode ainda sofrer uma alteração dos ângulos originalmente retos entre as suas faces.
Figura 2. deformação componente
Suponha-se que, após a deformação, o ângulo entre os planos que se interceptam ao longo da aresta OC seja igual a 
e, analogamente, que a redução do ângulo reto ao longo da aresta AO seja igual a γyz, e a redução ao longo da aresta OB seja igual a γzx. Estas três variações de ângulo γxy, γyz, γzx, chamadas de cisalhamentos, também são sempre pequenas em comparação com 1. Com as seis componentes ε e γ, a deformação do quaderno elementar “deformação em pequena escala” fica totalmente determinada. A variação do elemento de volume d_V = dx * dy * dz_ é ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, de onde, desprezando-se os produtos das dilatações como pequenas grandezas de ordem superior, obtém-se a dilatação cúbica ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2)
Deslocamentos
A deformação de um corpo sólido pode ser descrita completamente também de outra forma, atribuindo-se a cada um dos seus pontos o deslocamento que esse ponto sofreu. Se forem excluídos da observação os deslocamentos de grandeza finita correspondentes ao movimento de um corpo rígido, de modo que, se necessário, no cálculo se adote um sistema de coordenadas móvel, então também os deslocamentos componentes μ, ν, ω são sempre de pequena grandeza, e as suas derivadas em relação às coordenadas são pequenas comparadas com 1. Sob essa hipótese, de acordo com a fig. 3 o comprimento do elemento linear OA = dx após a deformação
portanto 
(3)
De forma semelhante, da fig. 3 vê-se que o deslizamento γxy γ1 + γ2: e também
(4)
Figura 3 deslizamento
(5) 
(6)
Estas relações são chamadas condições de compatibilidade e indicam que os elementos deformados podem ajustar-se como um mosaico, de modo que o espaço fique continuamente preenchido, o que não se consegue se as deformações dos elementos forem arbitrárias. As condições de compatibilidade são equações diferenciais, de modo que, como se entende, todas as seis componentes de deformação de cada paralelepípedo são mutuamente independentes, mas a sua distribuição em cada domínio finitamente estendido é regida pelas condições (5) e (6).
Uma vez que estas condições foram obtidas por diferenciação das equações (3) e (4), perde-se, no seu desenvolvimento, parte das relações contidas nas equações originais. Por isso, não basta que apenas um destes dois sistemas de equações seja satisfeito; devem ser satisfeitos ambos os sistemas de equações, se se pretende garantir a compatibilidade da deformação.
Equações diferenciais do sistema de elasticidade
Para o cálculo de tensões e deformações em corpos elásticos servem as seguintes equações:
Condições de equilíbrio do elemento volumétrico. As condições de que os momentos em torno dos três eixos sejam iguais a zero já foram aproveitadas na dedução da equação (1). As condições de equilíbrio das forças resultam, conforme a fig. 4
Figura 4
(7a-c)
Se com X, Y, Z forem indicadas as componentes das forças de volume (por exemplo, peso, força centrífuga) por unidade de volume. Relações entre tensões e deformações. Entende-se por isso a relação entre as tensões componentes e as deformações componentes. Na teoria da elasticidade, em regra, considera-se apenas a relação linear, expressa pela lei de Hooke:
(8a-c)
(8d-f)
Se as equações (8a-c) forem resolvidas em relação às tensões, obtém-se
(8 a)
e duas equações correspondentes. A lei de Hooke expressa pela equação (8) não representa uma lei natural estritamente cumprida, mas uma idealização do comportamento real, do qual se desvia mais ou menos, dependendo do material e da magnitude da tensão. Tendo em vista que o tratamento matemático dos problemas de resistência dos materiais com relações complicadas e não lineares entre tensões e deformações apresenta dificuldades incomparavelmente maiores e só pode ser efetivamente realizado nos casos mais simples, também para os materiais (concreto!) cujo comportamento se afasta consideravelmente da lei de Hooke, os cálculos nela baseados devem ser usados, em primeiro lugar, e em grande parte também como a única solução aproximada, que além disso, em regra, é muito útil e fornece uma compreensão mais do que apenas qualitativa. G = E|2 (1+μ).
Ela decorre necessariamente da relação entre tensão e deformação (8), das equações de transformação (16) para as tensões e do sistema correspondente de equações para as deformações componentes. E e G têm dimensão de tensão e, em todos os materiais de construção, são grandes em relação às tensões σ e τ que podem ocorrer. Nessa realidade baseia-se a hipótese adotada em toda a teoria da elasticidade, de que as deformações são pequenas. O coeficiente de dilatação transversal (número de Poisson) μ é adimensional e situa-se sempre entre 0 e 1/2 .
Relações entre as deformações componentes e os deslocamentos. Estas relações são dadas pelas equações (3), (4). Elas têm um carácter puramente geométrico. Estes três sistemas dão 3+6+6=15 equações para 15 incógnitas, ou seja, para 6 tensões componentes, 6 deformações componentes e 3 deslocamentos componentes. São, portanto, suficientes para determinar estas incógnitas. O tratamento matemático de um sistema tão extenso de equações diferenciais é possível, naturalmente, apenas em casos especiais. Se, na equação (8), as deformações componentes forem substituídas pelos deslocamentos componentes, de acordo com as equações (3) e (4), e depois as tensões normais σ e as tensões de corte τ, de acordo com as equações (8 d - f), forem introduzidas nas condições de equilíbrio, eq. (7), obtêm-se equações diferenciais que se denominam equações fundamentais da teoria da elasticidade.
(9)
em que 
é designado o operador de Laplace. Tendo em conta (2), estas são três equações diferenciais com três deslocamentos componentes μ, ν, ω; a partir destas, por diferenciação com base em (3), (4) e (8), podem ser obtidas todas as tensões e deformações componentes. As equações (9) representam muitas vezes um ponto de partida conveniente para o estudo de casos especiais.
Trabalho de deformação
Definição
Quando a viga é carregada, os pontos de aplicação das forças externas sofrem deslocamentos elásticos e as forças realizam, assim, determinado trabalho. A energia assim introduzida pode transformar-se em diferentes formas. Se o carregamento é aplicado subitamente, de modo que o processo de deformação tenha velocidade considerável, uma parte dessa energia converte-se em energia cinética, que ao longo do tempo se dissipa, quer por ser transmitida ao solo como uma onda elástica que se perde no infinito, quer por ser convertida em calor pelo atrito interno. Se as cargas são aplicadas tão lentamente que não ocorre aumento apreciável da energia cinética, ou seja, se as cargas que crescem gradualmente a partir de zero estão em equilíbrio constante com as forças internas, a energia é evidentemente consumida exclusivamente na deformação do corpo e, então, chama-se trabalho de deformação.
O cálculo do trabalho de deformação será apresentado primeiro numa pequena parte carregada em tração numa única direção (fig. 5).
Suponha-se que a tensão existente σ e a dilatação correspondente ε sofram incrementos dσ e dε. Então a força σdF, ao longo do percurso dε * dl, realizará o trabalho σdF * dεdl = σdεdV, se dV обозначa o volume do elemento. Se a tensão cresce de zero até ao seu valor final e a dilatação, em conformidade, de 0 até ε, o trabalho total realizado por unidade de volume será:
De modo semelhante, para um elemento carregado por uma tensão de corte τ (fig. 6), o trabalho de deformação por unidade de volume (trabalho específico de deformação, potencial elástico):
sendo que apenas uma das quatro forças τ * dF realiza trabalho.
Em geral, quando no elemento infinitesimal atuam todas as seis componentes de tensão, obtém-se o trabalho de deformação específico pela soma dos trabalhos das componentes de tensão individuais:
(10)
Diferenciando relativamente ao limite superior de cada um destes integrais, obtêm-se relações válidas no caso mais geral:
(11)
e o mesmo vale para as demais deformações componentes. Se o corpo é elástico, a cada estado de tensão determinado corresponde sempre o mesmo estado de deformação, independentemente de o estado ter sido alcançado durante o carregamento ou o descarregamento. Então, sob os integrais estão funções unívocas e a energia total gasta durante o carregamento e depois durante o descarregamento completo é a = 0, tendo em vista que, neste caso, os limites superiores dos integrais se tornam zero. Portanto, a energia total transmitida ao corpo durante o carregamento é recuperada no descarregamento.
Figura 6
Figura 7
Para um corpo não perfeitamente elástico, a relação entre tensões e deformações para todo o ciclo de carregamento e descarregamento tem a forma aproximadamente mostrada na fig. 7 pelas linhas O A B. A energia 
introduzida no carregamento é igual à área OAA, e a energia devolvida durante o descarregamento é a área ABA, de modo que se perde (transforma em calor) o trabalho correspondente à área hachurada. Se, num processo oscilatório, a tensão variar periodicamente entre o valor limite positivo 
e o valor limite negativo, 
a deformação não elástica evolui de modo semelhante ao que é mostrado pelas linhas tracejadas na fig. 7 e, durante cada período de oscilação, a energia DABCD converte-se em calor por unidade de volume. Esse comportamento durante a deformação, no qual a deformação fica atrás da tensão, chama-se histerese elástica, e a curva DABCD é o laço de histerese.
Trabalho de deformação e lei de Hooke
Se na equação (10) se introduzir a lei de Hooke nos integrais, pode ser feita a integração, obtendo-se para o trabalho específico de deformação as expressões:
(12a)
(12b)
(12c)
Se a segunda destas formas for introduzida na equação (11), obtém-se novamente a lei de Hooke, equações (8), na forma resolvida em relação às tensões. A afirmação de que o trabalho de deformação depende das deformações componentes, tal como mostrado pela equação (12b), é, portanto, equivalente à lei de Hooke. Quando a equação (12c) é diferenciada em relação às tensões, obtém-se
(13)
Estes esquemas, ao contrário dos esquemas (11), só se aplicam a corpos que se comportam segundo a lei de Hooke e não podem ser utilizados quando as relações entre tensões e deformações são diferentes. Entende-se que no lado direito das equações (13) se encontram apenas as deformações componentes provocadas pelas tensões, excluindo-se todas as outras que eventualmente possam ter surgido devido a variação de temperatura, fluência, inchaço, recristalização, etc.
POSTULADOS INTEGRAIS NA TEORIA DA ELASTICIDADE
Deslocamentos virtuais. Princípio do mínimo da energia potencial
Tal como a lei de Hooke, as equações (8) podem ser substituídas por uma única equação (12b), também, em vez das condições de equilíbrio, pode ser introduzido o princípio dos deslocamentos virtuais, como lei fundamental da mecânica de validade geral. Esta lei afirma que os estados de equilíbrio se caracterizam pelo facto de que, neles, o trabalho total realizado por todas as forças, durante uma pequena alteração do estado de deformação, é igual a zero. Se designarmos as pequenas variações dos deslocamentos elásticos por δμ δν, δω, então as forças de volume definidas pela equação (7) realizam trabalho virtual
e as forças de superfície px, py, pz que atuam no elemento dF da superfície exterior do corpo trabalho 
sendo que a integral tripla se refere a todo o volume, e a integral dupla a toda a superfície exterior do corpo. Para calcular o trabalho realizado pelas forças internas utiliza-se a equação (12b), obtendo-se para o trabalho por unidade de volume
O princípio dos deslocamentos virtuais, com base nisso, fornece
(14)
Se as cargas X, Y, Z px, py., pz forem entendidas como componentes da força da gravidade (peso próprio e carga externa), os integrais do lado direito representam a energia potencial que essas cargas perderam, enquanto o lado esquerdo representa o acréscimo de energia potencial (elástica) do corpo, de modo que este princípio afirma que a energia potencial total da estrutura portante e das cargas que nela se apoiam, no caso de equilíbrio, assume um valor extremo. Se esse valor extremo for um mínimo, o equilíbrio é estável.
O princípio do mínimo da energia potencial, expresso pela equação (14), a expressão (12b) para o trabalho de deformação, e as condições de compatibilidade das deformações (5), (6) constituem um sistema de equações suficiente para a construção da teoria da elasticidade, sendo em essência equivalente ao sistema de equações. Este sistema pode ser especialmente útil nos casos em que o cumprimento das equações diferenciais (9) representa dificuldades de cálculo e, por isso, é necessário procurar uma solução aproximada; por exemplo, para os deslocamentos pressupõe-se antecipadamente uma forma adequada que contenha algumas constantes livres, e estas são então determinadas a partir da exigência de que a equação (14) seja satisfeita. Assim, não se obtém uma solução rigorosa do problema, mas apenas a melhor aproximação que pode ser alcançada com a forma de solução escolhida. Se a aproximação é suficiente depende, прежде de tudo, da forma de solução adotada, e a aplicação bem-sucedida deste método exige, por isso, habilidade e experiência.
Princípio de Castigliano
Enquanto no princípio do mínimo de energia potencial se comparam todos os estados de deformação que satisfazem as condições de compatibilidade das deformações e, entre eles, se selecionam aqueles para os quais as tensões correspondentes satisfazem as condições de equilíbrio, no princípio de Castigliano comparam-se todos os estados de tensão que satisfazem as condições de equilíbrio e, entre eles, se selecionam aqueles para os quais as deformações correspondentes satisfazem as condições de compatibilidade das deformações. Este princípio enuncia: de todos os possíveis estados de equilíbrio, ocorre o real, ao qual corresponde o menor trabalho de deformação. O princípio de Castigliano, juntamente com a equação (12c) para o trabalho de deformação e as condições de equilíbrio, forma um sistema de equações suficiente para a construção da resistência dos materiais. Tendo em vista que este princípio contém a lei de Hooke, a possibilidade da sua aplicação está ligada à suposição de que as deformações podem ser completamente descritas por esta lei. Isso exige não apenas um comportamento elasticamente linear do material, mas também exclui as variações de temperatura.
Comportamento dos materiais acima dos limites de elasticidade
Fenómenos sob carregamento estático
A deformação dos materiais sob a ação das tensões é um fenómeno muito complexo, pelo que tem de ser simplificado de várias formas para poder ser compreendido. Uma dessas simplificações é a suposição de que as cargas são aplicadas progressivamente, como, por exemplo, se faz com os provetes nos ensaios de tração e compressão.
Se uma barra de aço solicitada à tração for submetida a uma carga que aumenta gradualmente e se medir a sua dilatação ε, obtém-se o diagrama apresentado na fig. 8. No início, a dilatação é muito pequena e proporcional à tensão, conforme exige a lei de Hooke. A partir de uma determinada tensão, a proporcionalidade cessa e a dilatação aumenta mais rapidamente. A posição exata do limite dessa proporcionalidade é difícil de determinar. Quanto mais precisa for a medição, mais baixo ele se obtém. Para a maioria dos materiais, ele situa-se em σ = 0, e a lei de Hooke representa então apenas a primeira aproximação do comportamento elástico, o primeiro termo do desenvolvimento em série de Taylor da função ε = ε (σ) nas proximidades da origem das coordenadas.
Se a barra for descarregada, observa-se que, quando a tensão não foi demasiado grande, a deformação também desaparece, em conformidade com a lei de Hooke. Mas isto também se altera se for ultrapassada uma certa tensão situada perto do limite de proporcionalidade, o chamado limite de elasticidade; nesse caso, a deformação total consiste numa parte elástica (reversível) e numa parte inelástica (permanente). Nem o limite de elasticidade pode ser determinado com precisão; ele situa-se tanto mais baixo quanto maior for a precisão da medição. Contudo, como tem grande importância técnica, porque representa o limite de validade em quase todos os cálculos na resistência dos materiais e, ao mesmo tempo, o limite em que surgem os primeiros danos permanentes, ele é, para o ensaio de amostras, rigidamente definido por uma convenção adotada, e, por exemplo, como limite 0.2% designa-se a tensão à qual a dilatação permanente atinge 0.2%.
Logo após ultrapassar o limite de elasticidade, a deformação aumenta bruscamente e pode ser observada a olho nu; sob uma tensão quase constante, a barra alonga-se continuamente. Essa tensão chama-se limite de escoamento. Nas máquinas hidráulicas de ensaio de materiais, pode também observar-se, após o início do escoamento, uma queda da tensão mais ou menos acentuada; como indicado na fig. 8 pela curva tracejada; então o máximo chama-se limite superior de escoamento, e a tensão de escoamento constante que se segue, limite inferior de escoamento.
Quando se atinge uma determinada dilatação, quase totalmente inelástica, a tensão começa novamente a aumentar, o material enrijece. Nessa região de carregamento ocorre uma redução perceptível da seção transversal da barra devido à contração lateral (inelástica), e a evolução posterior do diagrama tensão-deformação depende, прежде de mais nada, de saber se, no cálculo da tensão σ, a força de tração P que atua na barra é dividida pela seção inicial F0 ou pela seção instantânea F. Para fins técnicos, a tensão interessante é P|F0. Essa tensão atinge um máximo, chamado resistência do material, e, uma vez ultrapassado esse máximo, a barra se estrangula fortemente em um ponto e rompe. A “tensão real” P|F cresce até a ruptura.
Figura 8.
O comportamento de outros metais difere em muitos aspetos do aqui descrito. O escoamento muitas vezes não é evidente, e o endurecimento começa imediatamente após a ultrapassagem do limite de elasticidade. Nos materiais frágeis (pedra, vidro, betão), as deformações não elásticas são geralmente pequenas e, mesmo com uma pequena dilatação, ocorre a rotura. A dilatação total que o material sofre até à rotura é uma medida da ductilidade (oposto: fragilidade) do material e, no caso do aço, é precisamente especificada nas condições técnicas. No entanto, como imediatamente antes da rotura a deformação adicional se concentra nas zonas vizinhas de secção reduzida, obtém-se um valor diferente de dilatação na rotura, consoante para o comprimento de medição se adote uma parte maior ou menor da barra, de modo que, para obter resultados unívocos e comparáveis entre si, deve ser previamente adotada uma convenção determinada. A dilatação na rotura mede-se, em regra, marcando-se numa barra redonda de diâmetro d, antes do ensaio, o comprimento de medição Ι = 10 d e calculando-se, a partir do seu alongamento ΔΙ, a dilatação na rotura εs_Ι = ΔΙ|Ι ._ Se for necessário ensaiar barras de outra secção, o comprimento de medição determina-se em função do diâmetro da barra cilíndrica circular que tenha a mesma área de secção transversal.
Carregamento de longa duração
Para o andamento do ensaio de tração é praticamente indiferente se a carga até à rotura aumenta ao longo de 10 m minutos ou de várias horas. No entanto, se a carga atua durante anos ou dezenas de anos, em certas condições observa-se que, mesmo abaixo do limite de escoamento, a deformação sob tensão constante aumenta lentamente com o tempo. Nesse processo, a parte elástica, isto é, a parte que desaparece com a descarga final, não se altera de forma sensível. Este aumento da deformação inelástica que ocorre ao longo de um período prolongado chama-se fluência. Nos metais, exceto no chumbo, a fluência só é relevante a altas temperaturas; contudo, para o engenheiro civil ela desempenha um papel no betão, que cede lentamente sob compressão, de modo que a tensão aumenta na armadura comprimida, se esta existir.
Carga variável
Para que as características mecânicas do material obtidas no ensaio de tração possam ser aplicadas como critério para a carga admissível das estruturas, é necessário que o material suporte, em cada novo carregamento, a tensão que já suportou uma vez sem danos. Esta condição não se verifica se o material estiver exposto a repetidas aplicações e retiradas de carga, como, por exemplo, no caso de vigas carregadas por forças inerciais de máquinas mal equilibradas. Com repetição suficientemente frequente do carregamento, um elemento estrutural pode ser levado à rotura mesmo sob uma tensão muito inferior à resistência do material determinada por ensaio estático comum. A ocorrência de rotura deste tipo chama-se rotura por fadiga. O número n de ciclos de carga que o material pode suportar depende da magnitude da tensão σ, sendo tanto maior quanto menor for a tensão. Um exemplo típico desta dependência é mostrado na fig. 9, da qual se vê que existe para a resistência do material um limite inferior, que ele suporta mesmo com um número arbitrariamente elevado de ciclos de carga e que se denomina resistência dinâmica do material Os diagramas deste tipo (fig. 9) chamam-se curvas de Wöhler.
Figura 9.
Segurança das estruturas
Dois carregamentos limites são significativos para as estruturas: o carregamento em que surgem os primeiros danos permanentes (limite de escoamento) e o carregamento em que a capacidade resistente da estrutura se esgota, ocorrendo a rotura (limite de ruptura). Como, antes do limite de escoamento, valem pelo menos aproximadamente as hipóteses da resistência dos materiais (pequenos deslocamentos, lei de Hooke), a segurança face a deformações permanentes pode ser avaliada com fiabilidade em todos os casos em que se consiga ultrapassar as dificuldades matemáticas. Se a tensão for proporcional ao carregamento, a relação entre a tensão de escoamento e a maior tensão que ocorre na estrutura é igual à relação entre o carregamento em que ocorre o escoamento e o carregamento real, constituindo o coeficiente de segurança ao escoamento. No entanto, em vários casos essa relação simples não existe: flexão quando se desconsidera a tração, pressão entre superfícies convexas, sistemas cuja estrutura é variável e, o que é particularmente desfavorável, flexão com força axial. Em todos estes casos, um aumento relativamente pequeno do carregamento pode levar a um grande aumento da tensão, e então não basta aplicar o coeficiente de segurança habitual às tensões; ele deve ser aplicado ao carregamento.
Os fenómenos que ocorrem após a ultrapassagem do limite de escoamento até à rotura podem, na maioria dos casos, ser acompanhados apenas de forma qualitativa. Se o material for dúctil, as partes em que o limite de escoamento é atingido primeiro, e que se deformam posteriormente sob tensão constante ou sob tensão que aumenta ligeiramente, participam pouco na absorção da carga adicional, de modo que as outras partes da estrutura, menos solicitadas, participam mais no suporte, sempre que isso for possível tendo em conta a sua estrutura. Nesta tendência para o nivelamento dos picos de tensão reside uma certa reserva de segurança, que pode ser explorada no cálculo se a deformação permanente de determinadas partes, resultante de uma única carga significativa, não for prejudicial (método da carga limite).
Se o material é frágil, o primeiro dano permanente manifesta-se em fissuras, em consequência das quais ocorre, no ponto ameaçado, uma concentração de tensões ainda mais intensa, que provoca imediatamente a rutura. A rutura por fadiga, mesmo em materiais dúcteis, tem as características de fratura frágil.
Relações entre as tensões para diferentes planos de seção
Equações de transformação
As nove tensões componentes na fig. 1 estão ligadas por três condições de equilíbrio. As seis grandezas restantes σx, σy, σz τxy, τyz, τzx podem, independentemente umas das outras, assumir valores arbitrários, como se vê pela derivação das equações diferenciais da teoria da elasticidade. Contudo, quando estes valores são dados, o estado de tensões num ponto qualquer de um corpo sólido fica completamente determinado; isto é, quando são conhecidas as tensões para três planos mutuamente perpendiculares, pode-se determinar de forma unívoca também a tensão para um quarto plano que passe pelo ponto dado e cuja normal tenha direção arbitrária.
Na fig. 10 é mostrado o tetraedro OABC, cujas três faces são paralelas aos planos do sistema de coordenadas x, y, z, e a quarta representa um elemento de superfície orientado arbitrariamente ABC = dF. Para indicar a sua direção e a direção da tensão que através dele é transmitida, introduz-se um segundo sistema de coordenadas, cujo eixo ξ é perpendicular a dF.
Figura 10
A condição de equilíbrio das forças que atuam sobre este tetraedro na direção do eixo ξ dá
Se se tiver em conta que é
obtém-se
e de modo semelhante a partir das condições de equilíbrio na direção do eixo η:
Estas são as equações que servem para o cálculo das tensões na transformação de coordenadas. É de especial importância considerar apenas tais elementos de superfície _dF para os quais o eixo ξ coincide com o eixo z. Os esquemas para este caso podem ser obtidos pela simplificação dos esquemas anteriores ou lidos diretamente da fig. 11:
Figura 11
A tensão normal assume valores extremos para as direções α = α0 , para as quais dσξ/dα = 0. Por diferenciação, a partir da equação (16) obtém-se
e, quando esta expressão é igualada a zero
A tensão τξη será igualmente a tensão de corte total nestes planos, se τyz = τzx = 0. Então, pela equação (17), ficam definidos dois direções mutuamente perpendiculares para as quais: 1. a tensão de corte total é zero e, 2. a tensão normal assume valores extremos (máximo e mínimo). Estas direções são designadas por direções das tensões principais, e as tensões correspondentes são tensões principais. Estas são обозначadas por σ1 e σ2 e podem ser calculadas diretamente pela expressão
Círculo de Mohr
As equações (16) podem ser apresentadas graficamente de forma clara. Para esse fim, devem ser transformadas na forma:
Estas equações representam, no sistema de coordenadas σ, τ, a forma paramétrica da equação de um círculo, traçado na fig. 12, cujas coordenadas do centro são σ = 1/2 (σx + σy), τ = 0 e cujo raio é
Este círculo chama-se círculo de Mohr. Se, por um ponto x, se traçar uma reta paralela à secção x =const., pela qual se transmitem as tensões σx, τxy, ela cortará o círculo no ponto p, chamado polo do círculo de Mohr. Cada reta pξ traçada por este polo corta o círculo no ponto ξ, que determina as tensões σξ, τξη transmitidas através da secção paralela a pξ.
No que diz respeito ao sinal das tensões de corte ao traçar o círculo de Mohr, deve-se ter em conta que elas são lançadas para cima se tiverem o sentido mostrado na fig. 12c. Portanto, das duas tensões conjugadas τxy, τyx, uma é sempre positiva e a outra negativa.
Aos valores-limite das tensões normais σ1, σ2 correspondem os pontos 1 e 2 no círculo, e as retas _p_1 e _p_2 dão as direções das tensões principais.
A representação das tensões que se encontram no plano x-y por meio do círculo de Mahr não depende de qualquer suposição acerca das tensões σz, τxz, τyz perpendiculares a esse plano.
Figura 12
O mesmo, portanto, também se aplica ao estado tridimensional mais geral de tensões, se forem comparados apenas os planos de secção que passam todos pela mesma reta, aqui escolhida como os eixos z e ξ. Como, segundo as equações gerais de transformação (15), a tensão normal σ não pode tornar-se infinita para nenhum plano de secção, ela deve ter para um plano um máximo finito σ1 e para outro um mínimo σ3, ambos os quais, naturalmente, podem ser também negativos. Se se traçar um plano através dos vetores σ1 e σ3 e desenhar o círculo de Mohr (fig. 13)
Imagem 13
para as tensões que se encontram neste plano (isto é, todas as direções perpendiculares a este plano), então σ1 e σ3 são as maiores e as menores tensões normais que podem ocorrer e, por conseguinte, devem ser mutuamente perpendiculares. Se as direções 1 e 3 forem completadas pela direção 2, de modo que estas três direções formem um sistema de coordenadas ortogonal, e se forem traçados os círculos de Mahr para os planos 1 ~2 e 2 ~ 3, então σ2 é, para um desses círculos, a maior, e para o outro a menor tensão normal, e, por conseguinte, nas secções perpendiculares às direções 1, 2 e 3, a tensão de corte é igual a zero. As três tensões normais mutuamente perpendiculares σ1, σ2 e σ3, às quais não correspondem tensões de corte, são chamadas tensões principais.
Limite de cedência e limite de rotura no estado tridimensional de tensão
O estado de tensão é designado como unidimensional, bidimensional ou tridimensional, ou, por outras palavras, linear, plano ou espacial, conforme um, dois ou todos os três tensões principais sejam diferentes de zero. Nos elementos estruturais mais frequentemente aplicados, isto é, na barra tracionada, comprimida e fletida, o estado de tensão, pelo menos nos pontos mais solicitados, é unidimensional, e o mesmo acontece nos ensaios de tração, compressão ou flexão, que no ensaio de materiais são quase exclusivamente aplicados para determinar as tensões admissíveis. Pelo contrário, nas placas carregadas no seu plano ou perpendicularmente a ele, bem como nas cascas, o estado de tensão é bidimensional e, em certos casos, surgem também estados de tensão tridimensionais, de modo que é necessário, com base no limite de escoamento e de rotura, determinados para o estado de tensão unidimensional, tirar conclusões sobre o comportamento do material no caso de um estado de tensão espacial.