Temeller
Malzeme mukavemetinin görevi, bir katı cismin (örneğin, bir yapı, yapısal eleman veya zemin) hangi dış kuvvetlere dayanabileceğini belirlemektir. Bu soruya cevap verebilmek için iki kriterden hareket edilir: bir yandan gerilmeler, malzeme türüne bağlı belirli sınırları aşmamalıdır; öte yandan dış ve iç kuvvetler arasındaki denge kararlı olmalıdır. Buna uygun olarak, malzeme mukavemetiyle ilgili tüm problemler „Gerilme problemleri“ ve „kararlılık problemleri“ olarak bölünebilir.
Çubuklar ve kirişler ile bunlardan oluşan taşıyıcılarda (çerçeveler, kafesler) gerilmelerin belirlenmesi iki aşamada yapılır; önce verilen dış kuvvetlere dayanarak kesit üzerinden aktarılan iç kuvvetlerin bileşkesi hesaplanır, ardından bu “kesit kuvvetlerinden” gerilmeler belirlenir. İlk bölüm, özel ve kapsamlı bir disiplin olan yapı statiğini oluşturur; bu disiplinin kendi geliştirilmiş yöntemleri vardır ve genellikle, görevi verilen kesit kuvvetlerinden gerilmeleri belirlemek olan malzeme direncinden ayrı tutulur.
Malzeme mukavemetinin temel kavramları
Gerilme tanımına aşağıdaki temel değerlendirmeler yoluyla ulaşılır. Cisme dengeli bir dış kuvvetler sistemi etki etsin. Cismi keyfi bir kesitle iki parçaya ayırdığımızı ve bunlardan birini, üzerine etki eden kuvvetlerle birlikte kaldırdığımızı varsayalım; o zaman, kuvvet dengesi ve şekil değiştirme dağılımı değişmeden kalsın diye, onun diğer parça üzerindeki etkisi, kesit yüzeyi üzerinden aktarılan ek kuvvetlerle değiştirilmelidir. Bu “iç” kuvvetler kesit yüzeyine sürekli olarak dağılmıştır; böylece yüzeyin her dF elemanına bir dβ kuvveti karşılık gelir. dβ/dF oranı oluşturulup dF -> 0 sınır geçişi yapılırsa, bu oran gerilme adı verilen sınır değerine yaklaşır. Yüzeyin belirli bir elemanındaki gerilme de, dβ gibi, dF’ye normal ve teğetsel bileşenlere ayrılabilir; normal gerilme σ, kayma gerilmesi τ.
Aynı noktadan farklı yönlerde kesitler alındığında, bunlara farklı gerilmeler de karşılık gelir. Özellikle cisimden şekil 1’de gösterilen bir elemanter prizma ayrılırsa, onun altı yüzeyinin her birinde koordinat eksenleri x, y, z doğrultusunda üç bileşene ayrılabilen bir gerilme vektörü etkili olur. Karşılıklı yüzeylerde etkili olan gerilmeler, elbette yalnızca diferansiyel kadar birbirinden farklıdır; bu nedenle 3 * 3 = 9 bileşen gerilmeleri ayırt edilmelidir; bunlar aşağıdaki şekilde gösterilir:
Normal gerilmelere σ, bulundukları doğrultudaki eksenin indisi verilir ve çekme oluşturuyorlarsa pozitif, basınç oluşturuyorlarsa negatif kabul edilir. Kayma gerilmeleri τ iki indis alır; bunlardan ilki ilgili normal gerilmenin indisiyle aynıdır, ikincisi ise kayma gerilmesinin etkilediği doğrultudaki eksene karşılık gelir. İlgili normal gerilmenin pozitif yönü, pozitif (negatif) koordinat ekseni yönündeyse, kayma gerilmesi de pozitif (negatif) koordinat ekseni yönünde etkiliyorsa pozitif kabul edilir.
Şekil 1.
Kesme gerilmelerinin konjugatlığı
Eğer elemanel bir dikdörtgen prizma için, şek. 1, x ekseni etrafındaki tüm kuvvetlerin momentinin sıfır olduğu koşul konursa, τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz elde edilir. Buradan ve y ile z eksenleri için ilgili iki denklemden, aynı indisli kayma gerilmelerinin birbirine eşit olduğu sonucu çıkar: τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (1)
Komponent deformasyonlar
Önceden tanımlanan gerilmelerin fiziksel bir anlam taşıması, dış kuvvetlerin etkisi altındaki her cismin maruz kaldığı tanım ile bağlantılarından anlaşılır. Şek. 2, deformasyondan önce dikdörtgen olan ve kenar uzunlukları dx, dy, dz olan bir ilkel prizmayı göstermektedir. Deformasyon sonrasındaki kenar uzunluklarını dx + Δdx, dy + Δdy, dz + Δdz ile gösterebiliriz; εx = Δdx|dx, εy =Δdy|dy, εz = Δdz|dz oranlarına uzama denir. Bunlar boyutsuz büyüklüklerdir ve inşaatta dikkate alınan tüm malzemeler için 1’e göre küçüktür. Kenarların uzamasına ek olarak, dx * dy * dz boyutlarındaki ilkel prizma, yüzleri arasındaki başlangıçtaki dik açıların değişimine de uğrayabilir.
Resim 2. bileşen deformasyonu
Deformasyondan sonra OC kenarı boyunca kesişen düzlemler arasındaki açının 
değerine eşit olduğunu ve benzer şekilde AO kenarı boyunca dik açının azalmasının γyz, OB kenarı boyunca azalmanın da γzx olduğunu varsayalım. Açılardaki bu üç değişim γxy, γyz, γzx kayma olarak adlandırılır ve bunlar da her zaman 1’ye göre küçüktür. Altı bileşen ε ve γ ile “küçük deformasyon” durumundaki elemental küboidin deformasyonu tamamen belirlenir. Hacim elemanının değişimi d_V = dx * dy * dz_ olan ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, ifadesidir; buradan, uzama çarpımları daha yüksek mertebeden küçük nicelikler olarak ihmal edildiğinde, kübik uzama ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2) elde edilir
Yer değiştirmeler
Katı cismin deformasyonu, cismin her bir noktasının maruz kaldığı yer değiştirmenin verilmesiyle de tamamen tanımlanabilir. Rijit cismin hareketine karşılık gelen sonlu büyüklükteki yer değiştirmeler gözlem dışı bırakılırsa, gerektiğinde hesapta hareketli bir koordinat sistemi benimseyerek, bileşke yer değiştirmeler μ, ν, ω her zaman küçük büyüklükler olur ve bunların koordinatlara göre türevleri de 1’a göre küçüktür. Bu varsayım altında, şek. 3’e göre OA = dx çizgisel elemanının uzunluğu deformasyondan sonra
yani 
(3)
Benzer şekilde, şek. 3’den kaymanın γxy γ1 + γ2: olduğu da görülür ve ayrıca
(4)
Resim 3 kayma
(5) 
(6)
Bu ilişkiler uyumluluk koşulları olarak adlandırılır ve deforme olmuş elemanların bir mozaik gibi birbirine uydurulabileceğini, böylece uzayın kesintisiz biçimde doldurulmasının sağlanacağını ifade eder; elemanların deformasyonları keyfi olduğunda bu sağlanamaz. Uyumluluk koşulları diferansiyel denklemlerdir; bu nedenle, elbette, her bir ayrı prizma için altı bileşen deformasyonun tamamı birbirinden bağımsızdır, ancak bunların her sonlu yayılmış bölgede dağılımı (5) ve (6) koşullarıyla bağlıdır.
Bu koşullar, denklemler (3) ve (4) diferansiyellenerek elde edildiğinden, bunların türetilmesi sırasında başlangıç denklemlerinde yer alan bağlantıların bir kısmı kaybolur. Bu nedenle deformasyon uyumluluğunun sağlanması isteniyorsa, bu iki denklem sisteminden yalnızca birinin sağlanması yeterli değildir; her iki denklem sistemi de sağlanmalıdır.
Elastisite sisteminin diferansiyel denklemleri
Elastik cisimlerde gerilmeleri ve deformasyonları hesaplamak için aşağıdaki denklemler kullanılır:
Hacim elemanının denge koşulları. Üç eksen etrafındaki momentlerin sıfıra eşit olması koşulları, denklem (1) çıkarılırken zaten kullanılmıştır. Kuvvetlerin denge koşulları şek. 4’e göre verir
Şekil 4
(7a-c)
X, Y, Z ile birim hacim başına hacim kuvvetlerinin bileşenleri (örneğin ağırlık, merkezkaç kuvveti) gösterilirse. Gerilmeler ile deformasyonlar arasındaki ilişkiler. Bununla, bileşen gerilmeleri ile bileşen deformasyonları arasındaki ilişki kastedilir. Elastisite teorisinde kural olarak yalnızca Hooke yasası ile ifade edilen doğrusal ilişki dikkate alınır:
(8a-c)
(8d-f)
Denklemler (8a-c) gerilmeler cinsinden çözüldüğünde, elde edilir
(8 a)
kso ve buna karşılık gelen iki denklem. Hooke yasasının (8) denklemiyle ifade edilen biçimi, sıkı biçimde her zaman sağlanan bir doğa yasasını değil, gerçek davranışın idealizasyonunu temsil eder; bu davranış malzemeye ve gerilmenin büyüklüğüne bağlı olarak ondan az ya da çok sapar. Gerilme ile deformasyon arasındaki karmaşık, doğrusal olmayan ilişkiler içeren malzeme dayanımı probleminin matematiksel işlenmesi çok daha büyük güçlükler doğurduğundan ve gerçekte yalnızca en basit durumlarda uygulanabildiğinden, davranışı Hooke yasasından belirgin biçimde sapan malzemelerde (beton!) de buna dayanan hesaplar, her şeyden önce ve çoğunlukla tek yaklaşık çözüm olarak kullanılmak zorundadır; üstelik bu çözüm kural olarak çok kullanışlıdır ve yalnızca nitelikten öte bir kavrayış sağlar. G = E|2 (1+μ).
Bu, zorunlu olarak gerilme ile şekil değiştirme arasındaki ilişkiden (8), gerilmeler için dönüşüm denklemlerinden (16) ve bileşen deformasyonları için ilgili denklem sisteminden kaynaklanır. E ve G, gerilme boyutuna sahiptir ve bütün yapı malzemelerinde ortaya çıkabilecek σ ve τ gerilmelerine göre büyüktür. Ancak elasti̇site kuramında her yerde benimsenen, şekil değiştirmelerin küçük olduğu varsayımı bu gerçeğe dayanır. Enine genleşme katsayısı (Poisson sayısı) μ boyutsuzdur ve her zaman 0 ile 1/2 arasında yer alır.
Bileşen deformasyonları ile yer değiştirmeler arasındaki ilişkiler. Bu ilişkiler denklemlerle (3), (4) verilir. Bunlar tamamen geometrik niteliktedir. Bu üç sistem, 3+6+6=15 denklem verir; bu da 15 bilinmeyen, yani 6 bileşen gerilmesi, 6 bileşen deformasyonu ve 3 bileşen yer değiştirmeleri içindir. Dolayısıyla bunlar bu bilinmeyenlerin belirlenmesi için yeterlidir. Böyle kapsamlı bir diferansiyel denklem sisteminin matematiksel olarak çözülmesi, elbette yalnızca özel durumlarda mümkündür. Eğer denklemde (8) bileşen deformasyonları, denklemlere (3) ve (4) göre bileşen yer değiştirmelerle değiştirilir ve ardından normal gerilmeler σ ile kayma gerilmeleri τ, denklemlere (8 d - f) göre denge koşullarına, yani denk. (7), sokulursa, elastisite teorisinin temel denklemleri adı verilen diferansiyel denklemler elde edilir.
(9)
burada 
ile Laplace operatörü gösterilmiştir. (2)’e göre bunlar, üç bileşen yer değiştirmesi μ, ν, ω için üç diferansiyel denklemdir; bunlardan ise (3), (4) ve (8) esas alınarak türetme yoluyla tüm bileşen gerilmeler ve şekil değiştirmeler elde edilebilir. (9) denklemleri, özel durumların incelenmesi için çoğu kez uygun bir başlangıç noktası oluşturur.
Deformasyon işi
Tanım
Bir taşıyıcı yüklendiğinde, dış kuvvetlerin etki noktaları elastik yer değiştirmelere uğrar ve kuvvetler bu sırada belli bir iş yapar. Bu şekilde verilen enerji çeşitli biçimlere dönüşebilir. Eğer yükleme ani yapılırsa, yani deformasyon süreci önemli bir hızla gerçekleşirse, bu enerjinin bir bölümü kinetik enerjiye dönüşür; bu enerji zaman içinde ya toprağa iletilip sonsuzda sönümlenen bir elastik dalga olarak yayılır ya da iç sürtünme ile ısıya dönüşür. Eğer yükler öyle yavaş uygulanır ki, bu sırada gözle görülür bir kinetik enerji artışı oluşmazsa, yani sıfırdan başlayarak yavaş yavaş artan yükler sürekli olarak iç kuvvetlerle dengedeyse, enerji açıkça yalnızca cismin şekil değiştirmesine harcanır ve bu durumda buna deformasyon işi denir.
Deformasyon işinin hesabını önce tek yönde çekmeye maruz kalan bir parça üzerinde göstereceğiz (şek. 5).
Var olan gerilme σ ve buna karşılık gelen uzama ε sırasıyla dσ ve dε artışlarına uğrasın. O zaman, dV birim hacmi belirtmek üzere, σdF kuvveti dε * dl yolunda σdF * dεdl = σdεdV işini yapar. Gerilme sıfırdan son değerine yükselir ve uzama buna bağlı olarak 0’dan ε’ye çıkarsa, birim hacim başına toplam yapılan iş şu olur:
Benzer şekilde, kayma gerilmesi τ ile yüklenmiş eleman için de (şek. 6) birim hacim başına deformasyon işi (özgül deformasyon işi, elastik potansiyel):
bu sırada dört kuvvetten yalnızca biri τ * dF iş yapar.
Genel durumda, birim elemana altı bileşen gerilmenin de etki etmesi halinde, tek tek bileşen gerilmelerin işleri toplanarak özgül deformasyon işi elde edilir:
(10)
Bu integrallerin her birinin üst sınırına göre türev alınarak, en genel durumda geçerli olan ilişkiler elde edilir:
(11)
ve diğer bileşen deformasyonları için de aynı şekilde. Cisim elastik ise, belirli her gerilme durumuna, yükleme ya da boşaltma sırasında ulaşılıp ulaşılmadığına bakılmaksızın, daima aynı deformasyon durumu karşılık gelir. Bu durumda integrallerin altında tek değerli fonksiyonlar yer alır ve yükleme sırasında ve ardından tam boşaltma sırasında harcanan toplam enerji a = 0 olur; çünkü bu durumda integrallerin üst sınırları sıfır hâline gelir. Dolayısıyla, cisme yükleme sırasında verilen toplam enerji, boşaltma sırasında geri alınır.
Resim 6
Şekil 7
Tam elastik olmayan bir cisim için, gerilme ile şekil değiştirme arasındaki ilişki, yükleme ve boşaltmanın tüm çevrimi boyunca, Şek. 7 üzerinde O A B doğruları ile yaklaşık olarak gösterilen biçimdedir. Yükleme sırasında verilen enerji 
OAA alanına eşittir; boşaltma sırasında geri verilen enerji ise ABA alanıdır; böylece taralı alana karşılık gelen iş kaybolur (ısıya dönüşür). Salınımlı süreçte gerilme periyodik olarak pozitif sınır değeri 
ile negatif sınır değeri 
arasında değişiyorsa, elastik olmayan deformasyon Şek. 7’de kesikli çizgilerle gösterildiği gibi ilerler ve salınımın her periyodunda birim hacim başına ısıya dönüşen enerji DABCD olur. Deformasyon sırasında şekil değiştirmenin gerilmenin gerisinde kaldığı bu davranışa elastik histerezis, DABCD eğrisine ise histerezis halkası denir.
Deformasyon işi ve Hooke yasası
Eğer denklemdeki integrallere (10) Hooke yasası uygulanırsa, entegrasyon yapılabilir ve özgül deformasyon işi için şu ifadeler elde edilir:
(12a)
(12b)
(12c)
Bu biçimlerden ikincisi denklem (11) içine yerleştirilirse, yeniden Hooke yasası, yani denklem (8), gerilmeler cinsinden çözümlenmiş biçimde elde edilir. Deformasyon işinin, denklem (12b) ile gösterildiği gibi bileşen deformasyonlarına bağlı olduğu ifadesi, dolayısıyla Hooke yasasına denktir. Denklem (12c) gerilmeler bakımından türevlenirse, elde edilir
(13)
Bu ifadeler, ifadeler (11)’den farklı olarak, yalnızca Hooke yasasına uygun davranan cisimler için geçerlidir ve gerilmeler ile şekil değiştirmeler arasındaki ilişkiler farklı olduğunda uygulanamaz. Açıkçası, denklemler (13)’in sağ tarafında yalnızca gerilmelerin neden olduğu bileşen deformasyonları bulunur; sıcaklık değişimi, sünme, şişme, yeniden kristalleşme vb. nedeniyle oluşmuş olabilecek diğer tüm deformasyonlar dışlanır.
ELASTİSİTE TEORİSİNDE İNTEGRAL BAĞINTILAR
Sanal yer değiştirmeler. Potansiyel enerjinin minimumu ilkesi
Hooke yasasının, denklemler (8), tek bir denklemle (12b) değiştirilebildiği gibi, denge koşullarının yerine de genel geçerli temel mekanik yasası olarak sanal yer değiştirmeler ilkesi getirilebilir. Bu yasa, denge durumlarının, deformasyon durumunda küçük bir değişiklik olduğunda tüm kuvvetlerin yaptığı toplam işin sıfıra eşit olmasıyla karakterize edildiğini ifade eder. Elastik yer değiştirmelerdeki küçük değişimleri δμ δν, δω ile gösterirsek, denklem (7) ile tanımlanan hacim kuvvetleri sanal iş yapar
ve bedenin dış yüzeyinin dF elemanına etki eden yüzey kuvvetleri px, py, pz 
burada üçlü integral tüm hacme, çiftli integral ise cismin tüm dış yüzeyine ilişkindir. İç kuvvetlerin yaptığı işi hesaplamak için denklem (12b) kullanılır; böylece birim hacim başına iş için
Sanal yer değiştirmeler ilkesi buna göre şunu verir
(14)
X, Y, Z px, py., pz yükleri ağırlık kuvvetinin bileşenleri olarak (öz ağırlık ve dış yükleme) kabul edilirse, sağ taraftaki integraller bu yüklerin kaybettiği potansiyel enerjiyi, sol taraf ise cismin potansiyel (elastik) enerji artışını temsil eder; böylece bu ilke, taşıyıcının ve onun üzerinde bulunan yüklerin toplam potansiyel enerjisinin denge durumunda ekstrem bir değere sahip olduğunu ifade eder. Eğer bu ekstrem değer minimum ise, denge stabildir.
Potansiyel enerjinin minimumu ilkesi, (14) denklemiyle ifade edilen, deformasyon işi için (12b) ifadesi ve şekil değiştirme uyumluluğu koşulları (5), (6) elastisite teorisinin kurulması için yeterli olan ve özünde denklem sistemine eşdeğer bir denklem sistemi oluşturur. Bu sistem, özellikle diferansiyel denklemlerin (9) sağlanmasının hesaplama güçlüğü yarattığı durumlarda yararlı olabilir; bu nedenle yaklaşık bir çözüm aranır; örneğin yer değiştirmeler için önceden, birkaç serbest sabit içeren uygun bir biçim varsayılır ve bunlar, (14) denkleminin sağlanması koşulundan belirlenir. Böylece gerçi problemin kesin çözümü elde edilmez, yalnızca seçilen çözüm biçimiyle ulaşılabilecek en iyi yaklaşım sağlanır. Yaklaşımın yeterli olup olmadığı her şeyden önce benimsenen çözüm biçimine bağlıdır ve bu yöntemin başarılı uygulanması bu nedenle beceri ve deneyim gerektirir.
Castigliano prensibi
Minimum potansiyel enerji ilkesinde, deformasyon uyumluluğu koşullarını sağlayan tüm deformasyon durumları karşılaştırılır ve bunlar arasından karşılık gelen gerilmelerin denge koşullarını sağladığı durumlar ayrılırken, Castigliano ilkesinde denge koşullarını sağlayan tüm gerilme durumları karşılaştırılır ve bunlar arasından karşılık gelen deformasyonların deformasyon uyumluluğu koşullarını sağladığı durumlar ayrılır. Bu ilke şöyledir: mümkün olan tüm denge durumları içinde gerçekte oluşan, en küçük deformasyon işine karşılık gelen durumdur. Castigliano ilkesi, deformasyon işi için denklem (12c) ve denge koşullarıyla birlikte, malzemenin dayanımının oluşturulması için yeterli olan bir denklem sistemi meydana getirir. Bu ilke Hooke yasasını içerdiğinden, uygulanabilmesi deformasyonların bu yasayla bütünüyle tanımlanabileceği varsayımına bağlıdır. Bu, yalnızca malzemenin lineer elastik davranışını gerektirmekle kalmaz, aynı zamanda sıcaklık değişimlerini de dışlar.
Elastiklik sınırlarının üzerindeki malzemenin davranışı
Statik yükleme sırasındaki olaylar
Malzemenin gerilim etkisi altındaki deformasyonu son derece karmaşık bir olgudur; bu nedenle anlaşılabilmesi için çeşitli yönlerden basitleştirilmesi gerekir. Bu basitleştirmelerden biri, örneğin çekme ve basma deneylerinde numunelerle yapıldığı gibi, yüklerin kademeli olarak uygulanması varsayımıdır.
Çekmeye zorlanmış bir çelik çubuk giderek artan bir yüklemeye maruz bırakılıp uzaması ε ölçülürse, şek. 8’de gösterilen diyagram elde edilir. Başlangıçta uzama çok küçüktür ve Hooke yasasının gerektirdiği gibi gerilme ile orantılıdır. Belirli bir gerilmeden itibaren bu orantı sona erer ve uzama daha hızlı artar. Bu orantılılık sınırının tam konumu güçlükle belirlenebilir. Ölçüm ne kadar hassassa, bu sınır o kadar düşük elde edilir. Çoğu malzeme için bu sınır σ = 0’de yer alır ve Hooke yasası o zaman yalnızca elastik davranışın ilk yaklaşımı, koordinat başlangıcı çevresinde ε = ε (σ) fonksiyonunun Taylor serisi açılımının ilk terimi olur.
Çubuk boşaltıldığında, gerilme çok büyük olmadığında, Hooke yasasına uygun olarak deformasyonun da kaybolduğu görülür. Ancak belirli bir gerilme, orantılılık sınırına yakın olan sözde elastikiyet sınırını aştığında bu da değişir; o zaman toplam deformasyon elastik (geri dönen) ve inelastik (kalıcı) kısımdan oluşur. Elastikiyet sınırı da tam olarak belirlenemez; ölçüm doğruluğu arttıkça daha aşağıda bulunur. Ancak bunun büyük teknik önemi vardır; çünkü hemen hemen tüm malzeme mukavemeti hesaplarında geçerlilik sınırını ve aynı zamanda ilk kalıcı hasarların ortaya çıktığı sınırı oluşturur. Bu nedenle örneklerin incelenmesi için kabul edilmiş bir konvansiyonla kesin olarak tanımlanır; örneğin, sınır 0.2% olarak, kalıcı uzamanın 0.2%’e ulaştığı gerilme belirtilir.
Elastikiyet sınırının hemen aşılmasından sonra deformasyon hızla artar ve çıplak gözle fark edilebilir; neredeyse sabit gerilme altında çubuk sürekli uzar. Bu gerilme akma sınırı olarak adlandırılır. Hidrolik malzeme deney makinelerinde ayrıca, akmanın başlamasından sonra az çok belirgin bir gerilme düşüşü gözlenebilir; şekil 8’de kesikli eğri ile gösterildiği gibi; bu durumda maksimum üst akma sınırı, ardından gelen sabit akma gerilmesi ise alt akma sınırı olarak adlandırılır.
Belirli bir, neredeyse tamamen elastik olmayan uzamaya ulaşıldığında gerilme yeniden artmaya başlar, malzeme pekleşir. Bu yükleme bölgesinde, (elastik olmayan) enine büzülme nedeniyle çubuğun kesitinde belirgin bir küçülme meydana gelir ve gerilme ile deformasyon diyagramının bundan sonraki seyri, gerilme σ hesaplanırken çubuğa etki eden çekme kuvveti P’nin ilk kesit F0 ile mi yoksa anlık kesit F ile mi bölündüğüne öncelikle bağlıdır. Teknik amaçlar için ilgi çekici olan gerilme P|F0’dir. Bu gerilme, malzeme dayanımı adı verilen bir maksimumdan geçer ve bu maksimum aşıldığında çubuk bir noktada şiddetle incelir ve kopar. “Gerçek gerilme” P|F kopmaya kadar artar.
Şekil 8.
Diğer metallerin davranışı burada anlatılandan birçok bakımdan farklıdır. Akma çoğu zaman belirgin değildir ve pekleşme, elastikiyet sınırının aşılmasından hemen sonra başlar. Gevrek malzemelerde (taş, cam, beton) elastik olmayan deformasyonlar genel olarak küçüktür ve küçük bir uzamada bile kırılma meydana gelir. Malzemenin kırılmaya kadar maruz kaldığı toplam uzama, malzemenin süneklik derecesinin ölçüsüdür (karşıtı: gevreklik) ve çelik için teknik şartnamelerde kesin olarak belirtilir. Ancak, kırılmadan hemen önceki daha ileri deformasyon komşu dar kesit bölgelerinde yoğunlaştığından, ölçü boyu için çubuğun daha büyük ya da daha küçük bir kısmı esas alınıp alınmadığına göre kırılma anındaki uzama değeri farklı elde edilir; bu nedenle tek anlamlı ve birbirleriyle karşılaştırılabilir sonuçlar elde etmek için önceden belirli bir konvansiyon benimsenmelidir. Kırılma anındaki uzama, kural olarak, çapı d olan yuvarlak çubuk üzerinde deneyden önce ölçü boyu Ι = 10 d olarak işaretlenerek ve bunun uzaması ΔΙ üzerinden kırılma anındaki uzama εs_Ι = _ΔΙ|Ι olarak hesaplanarak ölçülür. Eğer farklı kesitli çubukların incelenmesi gerekiyorsa, ölçü boyu, aynı enine kesit alanına sahip dairesel silindirik çubuğun çapına göre belirlenir.
Uzun süreli yükleme
Çekme deneyinin seyri açısından, kopmaya kadar olan yükün 10 m dakika içinde mi yoksa birkaç saat içinde mi artırıldığı pek önemli değildir. Ancak yük yıllar ya da onlarca yıl boyunca etki ederse, belirli koşullarda akma sınırının altında bile sabit gerilme altında deformasyonun zamanla yavaşça arttığı gözlenir. Bu sırada elastik kısım, yani nihai yük kaldırıldığında ortadan kalkan bölüm, belirgin biçimde değişmez. Uzun süre boyunca gerçekleşen bu inelastik deformasyon artışına sürünme denir. Metallerde, kurşun hariç, sürünme yalnızca yüksek sıcaklıklarda önem taşır; buna karşılık bir yapı mühendisi için, basınç altında yavaşça şekil değiştiren beton söz konusu olduğunda önemlidir ve varsa sıkıştırılmış donatıda gerilmenin artmasına yol açar.
Değişken yükleme
Çekme deneyiyle elde edilen malzeme mekanik özelliklerinin yapıların izin verilebilir yükünü belirlemede ölçüt olarak kullanılabilmesi için, malzemenin her yeniden yüklemede bir kez hasarsız olarak taşıdığı gerilmeyi yine taşıyabilmesi şarttır. Bu koşul, malzeme yüklemenin ve boşaltmanın sık sık tekrarlanmasına maruz kalıyorsa sağlanmaz; örneğin, tam dengelenmemiş makinelerin atalet kuvvetleriyle yüklenen kirişlerde olduğu gibi. Yüklemelerin yeterince sık tekrarlanması, bir yapı elemanını, sıradan statik deneyle belirlenen malzeme dayanımının çok altında kalan bir gerilmede bile kopma noktasına getirebilir. Bu tür bir kopma olayı yorulmadan kaynaklanan kopma olarak adlandırılır. Malzemenin dayanabileceği n yükleme çevrimi sayısı, gerilmenin σ büyüklüğüne bağlıdır; gerilme ne kadar küçükse, bu sayı o kadar büyüktür. Bu bağımlılığın tipik bir örneği şek. 9’de gösterilmiştir; buradan, malzeme dayanımı için, rastgele büyük sayıda yükleme çevriminde de taşınabilen ve malzemenin dinamik dayanımı olarak adlandırılan bir alt sınırın bulunduğu görülür. Bu tür diyagramlar (şek.9) Wöhler eğrileri olarak adlandırılır.
Görsel 9.
Yapıların güvenliği
Yapılar için iki sınır yük önemlidir: ilk kalıcı hasarların oluştuğu yük (akma sınırı) ve yapının taşıma gücünün tükendiği, dolayısıyla kırıldığı yük (kırılma sınırı). Akma sınırına kadar, dayanım mekaniği varsayımları en azından yaklaşık olarak geçerli olduğundan (küçük yer değiştirmeler, Hooke yasası), kalıcı deformasyonlara karşı güvenlik, matematiksel güçlüklerin aşılabildiği tüm durumlarda güvenilir biçimde değerlendirilebilir. Gerilme yükle orantılıysa, akma gerilmesinin yapı içinde ortaya çıkan en büyük gerilmeye oranı, akmanın oluştuğu yük ile gerçek yük arasındaki orana eşittir ve akmaya karşı güvenlik katsayısını temsil eder. Ancak birçok durumda bu basit ilişki yoktur: çekmenin ihmal edildiği eğilme, çıkıntılı yüzeyler arasındaki basınç, yapısı değişken sistemler ve, özellikle elverişsiz olarak, eksenel kuvvetli eğilme. Bu durumların tümünde, yükte nispeten küçük bir artış gerilmede büyük bir artışa yol açabilir; o zaman alışılagelen güvenlik katsayısını gerilmelere uygulamak yeterli değildir, bunun yüke uygulanması gerekir.
Akma sınırının aşılmasından kırılmaya kadar meydana gelen olaylar çoğu durumda artık yalnızca nitel olarak izlenebilir. Malzeme sünek ise, akma sınırına ilk ulaşan ve daha sonra sabit gerilimde ya da çok az artan gerilim altında deforme olmaya devam eden bölümler, sonraki yükün taşınmasına az katkıda bulunur; böylece yapının yapısı açısından mümkün olduğu ölçüde, daha az gerilmiş diğer bölümler taşımaya daha fazla katılır. Gerilim tepe noktalarının eşitlenmesine yönelik bu eğilimde belirli bir güvenlik rezervi vardır; bu rezerv, tek bir önemli yükleme altında oluşan bazı parçaların kalıcı deformasyonu zararlı değilse hesapla kullanılabilir (nihai yük yöntemi).
Malzeme kırılgansa, ilk kalıcı hasar çatlaklar şeklinde ortaya çıkar; bunlar nedeniyle tehlikedeki noktada gerilme daha da artar ve bu da hemen kırılmaya yol açar. Yorulmadan kaynaklanan kırılma, sünek malzemelerde de gevrek kırılma karakteri taşır.
Farklı kesit düzlemleri için gerilmeler arasındaki ilişkiler
Dönüşüm denklemleri
Şek. 1’deki dokuz bileşen gerilmesi, üç denge koşuluyla ilişkilidir. Geriye kalan altı büyüklük σx, σy, σz τxy, τyz, τzx birbirinden bağımsız olarak, elastisite teorisinin diferansiyel denklemlerinin türetilmesinden görüldüğü gibi, keyfi değerler alabilir. Ancak bu değerler verildiğinde, bir katı cisimdeki bir noktadaki gerilme durumu tamamen belirlenmiş olur; yani birbirine dik üç düzlem için gerilmeler biliniyorsa, verilen noktadan geçen ve normali keyfi yönlü olan dördüncü bir düzlem için gerilme de tekil olarak belirlenebilir.
Şek. 10’de, koordinat sistemi x, y, z düzlemlerine paralel üç yüzü ve dördüncü yüzü keyfi yönlenmiş bir yüzey elemanı ABC = dF olan OABC tetraedri gösterilmiştir. Bunun yönünü ve üzerinden iletilen gerilme yönünü belirtmek için, ξ ekseni dF’ye dik olan ikinci bir koordinat sistemi tanıtılır.
Şekil 10
Bu tetraedre ξ ekseni doğrultusunda etki eden kuvvetlerin dengesi koşulu şunu verir
Eğer şu husus dikkate alınırsa
elde edilir
ve benzer biçimde η ekseni doğrultusundaki denge koşulundan:
Bunlar, koordinat dönüşümünde gerilmelerin hesaplanmasına yarayan denklemlerdir. Özellikle, yalnızca dF yüzey elemanlarının ξ-ekseni ile z-ekseni çakışacak şekilde incelenmesi önemlidir. Bu durum için kalıpları önceki kalıpları sadeleştirerek elde edebilir ya da doğrudan şekil 11’den okuyabiliriz:
Şekil 11
Normal gerilme, dσξ/dα = 0 olan α = α0 doğrultuları için ekstrem değerler alır. Türev alındığında denklem (16)’den
ve bu ifade sıfıra eşitlendiğinde
τξη gerilmesi, τyz = τzx = 0 ise bu düzlemlerde aynı zamanda toplam kayma gerilmesi olacaktır. O zaman (17) denklemi ile birbirine dik iki yön belirlenir; bu yönler için: 1. toplam kayma gerilmesi sıfırdır ve, 2. normal gerilme uç değerler alır (maksimum ve minimum). Bu yönlere asal gerilmeler doğrultuları, karşılık gelen gerilmelere ise asal gerilmeler denir. Bunlar σ1 ve σ2 ile gösterilir ve doğrudan formülden hesaplanabilir
Mohr çemberi
Denklemler (16) grafik olarak açık biçimde gösterilebilir. Bu amaçla onları şu biçime dönüştürmek gerekir:
Bu denklemler, koordinat sisteminde σ, τ, şekil 12’de çizilmiş olan dairenin denkleminin parametrik biçimini temsil eder; dairenin merkezinin koordinatları σ = 1/2 (σx + σy), τ = 0 olup yarıçapı
Bu daireye Mohr dairesi denir. x noktasından, σx, τxy gerilmelerinin iletildiği x=const. kesitine paralel bir doğru çizilirse, bu doğru daireyi p noktasında keser; bu nokta Mohr dairesinin kutbu olarak adlandırılır. Bu kutuptan geçirilen her pξ doğrusu daireyi ξ noktasında keser; bu nokta, pξ’ye paralel kesitten iletilen σξ, τξη gerilmelerini belirler.
Kesme gerilmelerinin işaretine gelince, Mohr dairesi çizilirken, bunların şek. 12c’de gösterilen yönde olmaları halinde yukarı doğru işaretlenmesi gerektiği göz önünde bulundurulmalıdır. Buna göre, konjuge iki gerilmeden τxy, τyx biri her zaman pozitif, diğeri negatiftir.
Normal gerilmelerin sınır değerleri σ1, σ2 için çember üzerinde 1 ve 2 noktaları karşılık gelir; _p_1 ve _p_2 doğruları ise asal gerilmelerin yönlerini verir.
x-y düzleminde bulunan gerilmelerin Mahr dairesi ile gösterilmesi, bu düzleme dik σz, τxz, τyz gerilmeleri hakkında herhangi bir varsayıma bağlı değildir.
Şekil 12
Bu nedenle, en genel üç boyutlu gerilme durumu için de geçerlidir; yeter ki yalnızca burada z ve ξ ekseni olarak seçilmiş olan aynı doğru üzerinden geçen kesit düzlemleri karşılaştırılsın. Genel dönüşüm denklemlerine (15) göre normal gerilme σ hiçbir kesit düzleminde sonsuz olamayacağından, bir düzlem için sonlu bir maksimumu σ1, başka bir düzlem için ise minimumu σ3 olmalıdır; bunların ikisi de, elbette, negatif de olabilir. Eğer σ1 ve σ3 vektörleri üzerinden bir düzlem geçirilip Mohr çemberi çizilirse (şek. 13)
Resim 13
bu düzlemde bulunan gerilmeler için (yani bu düzleme dik olan tüm doğrultular için), o zaman σ1 ve σ3 ortaya çıkabilecek en büyük ve en küçük normal gerilmelerdir ve dolayısıyla birbirlerine dik olmalıdırlar. Eğer 1 ve 3 doğrultuları, bu üç doğrultu dik açılı bir koordinat sistemi oluşturacak şekilde 2 doğrultusu ile tamamlanır ve 1 ~2 ile 2 ~ 3 düzlemleri için Mahr çemberleri çizilirse, o zaman σ2 bu çemberlerden biri için en büyük, diğeri için en küçük normal gerilmedir ve dolayısıyla 1, 2 ve 3 doğrultularına dik kesitlerde kayma gerilmesi sıfıra eşittir. Birbirine dik üç normal gerilme σ1, σ2 ve σ3, bunlara karşılık gelen kayma gerilmeleri olmayan, asal gerilme olarak adlandırılır.
Akma sınırı ve uzaysal gerilim durumunda kırılma sınırı
Gerilme durumu tek, iki ya da üç boyutlu; başka bir deyişle doğrusal, düzlemsel ya da uzaysal olarak adlandırılır; bu, bir, iki ya da üç ana gerilmenin sıfırdan farklı olup olmamasına bağlıdır. En sık kullanılan taşıyıcı elemanlarda, yani çekilmiş, basınç altındaki ve eğilmiş çubukta, gerilme durumu en azından en çok zorlanan yerlerde tek boyutludur; aynı durum, malzeme deneylerinde izin verilen gerilmelerin belirlenmesi için neredeyse yalnızca kullanılan çekme, basma veya eğilme deneylerinde de geçerlidir. Buna karşılık, düzleminde veya düzlemine dik yönde yüklenen levhalarda ve kabuklarda gerilme durumu iki boyutludur; bazı durumlarda üç boyutlu gerilme durumları da ortaya çıkar. Bu nedenle, tek boyutlu gerilme durumunda belirlenen akma ve kırılma sınırlarına dayanarak, uzaysal gerilme durumunda malzemenin davranışı hakkında sonuçlar çıkarmak gerekir.