مواد: مقاومت مصالح و نظریهٔ کشسانی

مبانی

وظیفه مقاومت مصالح این است که تعیین کند یک جسم صلب (مثلاً یک سازه، عضو سازه‌ای یا خاک) چه نیروهای خارجی را می‌تواند تحمل کند. برای پاسخ به این پرسش از دو معیار آغاز می‌شود: از یک سو تنش‌ها نباید از حدود معینی که به نوع ماده بستگی دارد فراتر روند، و از سوی دیگر تعادل میان نیروهای خارجی و داخلی باید پایدار باشد. بر این اساس، همه مسائل مقاومت مصالح را می‌توان به «مسائل تنش» و «مسائل پایداری» تقسیم کرد.

در مورد میله‌ها و تیرها و اعضای باربر ساخته‌شده از آن‌ها (خرپاها، قاب‌ها) تعیین تنش در دو گام انجام می‌شود؛ بدین صورت که نخست بر اساس نیروهای خارجیِ داده‌شده، برآیند نیروهای داخلی‌ای که از مقطع عرضی منتقل می‌شوند محاسبه می‌گردد، و سپس از این «نیروهای مقطعی» تنش‌ها تعیین می‌شوند. بخش نخست این فرایند، رشته‌ای مستقل و گسترده به نام استاتیک سازه‌های ساختمانی را تشکیل می‌دهد که روش‌های خاص خود را دارد و معمولاً از مقاومت مصالح جدا می‌شود؛ وظیفهٔ مقاومت مصالح نیز به تعیین تنش از نیروهای مقطعیِ داده‌شده محدود می‌شود.

مفاهیم پایهٔ مقاومت مصالح

تعریف تنش از طریق ملاحظات بنیادی زیر به‌دست می‌آید. فرض کنید یک دستگاه متعادل از نیروهای خارجی بر جسم وارد می‌شود. تصور کنیم جسم را با یک برش دلخواه به دو بخش تقسیم کرده‌ایم و یکی از آن‌ها را همراه با نیروهایی که بر آن وارد می‌شوند حذف کرده‌ایم؛ در این صورت، اثر آن بر بخش دیگر، برای آن‌که تعادل نیروها و توزیع تغییرشکل‌ها تغییر نکند، باید با نیروهای مکملی که از سطح برش منتقل می‌شوند جایگزین گردد. این نیروهای «داخلی» به‌طور پیوسته روی سطح برش توزیع شده‌اند، به‌طوری که به هر عنصر سطح dF نیروی dβ متناظر است. اگر نسبت dβ dF تشکیل شود و حد dF -> 0 در نظر گرفته شود، این نسبت به مقدار حدی‌ای میل می‌کند که آن را تنش می‌نامند. تنش در یک عنصر معین از سطح، همانند dβ، و می‌تواند به مؤلفه‌های عمود بر dF و مماس بر آن تجزیه شود: تنش نرمال σ و تنش برشی τ.

اگر از یک نقطه واحد، برش‌ها در جهت‌های مختلف زده شوند، تنش‌های متفاوتی نیز با آن‌ها متناظر خواهد بود. به‌ویژه اگر از جسم یک مکعب‌مکعب ابتدایی، که در شکل 1 نشان داده شده است، جدا شود، در هر یک از شش سطح آن بردار تنش عمل خواهد کرد که می‌توان آن را به سه مؤلفه در راستای محورهای مختصات x، y z تجزیه کرد. تنش‌هایی که بر سطوح روبه‌روی هم اثر می‌کنند، البته تنها به اندازه دیفرانسیل با یکدیگر تفاوت دارند، بنابراین باید 3 * 3 = 9 مؤلفه تنش را از هم تفکیک کرد که به‌صورت زیر نشان داده می‌شوند:

به تنش‌های نرمال σ شاخصِ محوری داده می‌شود که در راستای آن قرار دارند و اگر باعث کشش شوند مثبت، و اگر باعث فشار شوند منفی در نظر گرفته می‌شوند. تنش‌های برشی τ دو شاخص می‌گیرند؛ نخستینِ آن‌ها همان شاخصِ تنشِ نرمالِ متناظر است و دومی به محوری مربوط می‌شود که تنشِ برشی در راستای آن عمل می‌کند. اگر جهتِ مثبتِ تنشِ نرمالِ متناظر در جهتِ محورِ مختصاتِ مثبت (منفی) باشد، تنشِ برشی نیز وقتی در جهتِ محورِ مختصاتِ مثبت (منفی) عمل کند، مثبت در نظر گرفته می‌شود.

شکل 1.

 هم‌قرینگی تنش‌های برشی

اگر برای مکعبهٔ ابتدایی، شکل 1، شرطی گذاشته شود که ممان همهٔ نیروها نسبت به محور x صفر باشد، به‌دست می‌آید τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz از این‌جا، و از دو معادلهٔ متناظر برای محورهای y و z، نتیجه می‌شود که تنش‌های برشی با اندیس‌های یکسان با یکدیگر برابرند τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (1)

تغییرشکل‌های مؤلفه‌ای

این‌که تنش‌های تعریف‌شده در بالا دارای معنای فیزیکی‌اند، از ارتباط آن‌ها با تغییرشکلی که هر جسم تحت اثر نیروهای خارجی تحمل می‌کند، ناشی می‌شود. شکل 2 یک مکعب‌مستطیل ابتدایی را نشان می‌دهد که پیش از تغییر شکل، مستطیلی بوده و طول یال‌های آن dx، dy، dz بوده است. طول یال‌ها پس از تغییر شکل را می‌توان با dx + Δdx، dy, + Δdy، dz + Δdz نشان داد. خارج‌قسمت‌های εx = Δdx|dx، εy =Δdy|dy، εz = Δdz|dz را کشیدگی نسبی می‌نامند. این‌ها کمیت‌هایی بدون بُعد هستند و برای همه موادی که در ساختمان‌سازی مطرح‌اند، در مقایسه با 1 کوچک‌اند. افزون بر بلندشدن یال‌ها، مکعب‌مستطیل ابتدایی dx * dy * dz می‌تواند تغییر زاویه راستِ اولیه میان سطوح خود را نیز متحمل شود.

شکل 2. تغییرشکل مؤلفه‌ای

فرض شود که پس از تغییرشکل، زاویه میان صفحاتی که در امتداد لبه OC به هم می‌رسند برابر باشد و به همین ترتیب، کاهش زاویه قائمه در امتداد لبه AO برابر γyz، و کاهش در امتداد لبه OB برابر γzx باشد. این سه تغییر زاویه γxy، γyz، γzx را لغزش‌ها می‌نامند و آنها نیز همواره نسبت به 1 کوچک‌اند. با شش مؤلفه ε و γ، تغییرشکل مکعب‌مستطیل عنصری «تغییرشکل در ابعاد کوچک» به‌طور کامل تعیین می‌شود. تغییر عنصر حجم d_V = dx * dy * dz_ برابر است با ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz، که از آن، با صرف‌نظر از حاصل‌ضرب‌های انبساط‌ها به‌عنوان کمیت‌های کوچک مرتبه بالاتر، انبساط مکعبی ϱ = ΔdV|dV = εx، εy، εz (2) به دست می‌آید

جابجایی‌ها

تغییر شکل جسم صلب را می‌توان به‌طور کامل به این صورت نیز توصیف کرد که برای هر یک از نقاط آن، جابه‌جایی‌ای که آن نقطه متحمل شده است داده شود. اگر جابه‌جایی‌های با اندازه نهایی که متناظر با جابه‌جایی جسم صلب هستند از بررسی کنار گذاشته شوند، به این ترتیب که در صورت لزوم در محاسبه یک دستگاه مختصات متحرک پذیرفته شود، آنگاه مؤلفه‌های جابه‌جایی‌های μ، ν، ω همواره کم‌اند و مشتقات آن‌ها نسبت به مختصات نیز در مقایسه با 1 کوچک‌اند. با این فرض، طبق شکل 3 طول عنصر خطی OA = dx پس از تغییر شکل

بنابراین  (3)

به همین ترتیب از شکل 3 دیده می‌شود که لغزش γxy برابر γ1 + γ2 است؛ و همچنین

 (4)

شکل 3 لغزش

(5)  (6)

این روابط را شرایط سازگاری می‌نامند و بیان می‌کنند که عناصر تغییرشکل‌یافته می‌توانند مانند یک موزاییک در هم جفت شوند، به‌طوری‌که در این حالت فضا به‌طور پیوسته پر شود؛ چیزی که اگر تغییرشکل عناصر دلخواه باشد قابل دستیابی نیست. شرایط سازگاری معادلات دیفرانسیلی‌اند، بنابراین، بدیهی است که هر شش مؤلفه تغییرشکل برای هر مکعب‌مستطیل جداگانه مستقل‌اند، اما آرایش آن‌ها در هر ناحیه محدودِ گسترده‌شده به شرایط (5) و (6) وابسته است.

از آنجا که این شرایط با مشتق‌گیری از معادلات (3) و (4) به‌دست آمده‌اند، هنگام استخراج آن‌ها بخشی از قیود موجود در معادلات اولیه از بین می‌رود. بنابراین کافی نیست که فقط یکی از این دو دستگاه معادلات برقرار باشد، بلکه اگر بخواهیم سازگاری تغییرشکل تضمین شود، باید هر دو دستگاه معادلات ارضا شوند.

معادلات دیفرانسیل سیستم کشسانی

برای محاسبهٔ تنش‌ها و تغییرشکل‌ها در اجسام الاستیک، معادلات زیر به کار می‌روند:

شرایط تعادلِ عنصر حجمی. شرایطی که گشتاورها حول سه محور برابر با صفر باشند، پیش‌تر هنگام استخراج معادله (1) به‌کار گرفته شده‌اند. شرایط تعادل نیروها طبق شکل 4 به‌دست می‌آیند

شکل 4

(7a-c)

اگر مؤلفه‌های نیروهای حجمی (مثلاً وزن، نیروی گریز از مرکز) بر واحد حجم با X، Y، Z مشخص شوند. ارتباط میان تنش‌ها و تغییرشکل‌ها. منظور از این، ارتباط میان تنش‌های مؤلفه‌ای و تغییرشکل‌های مؤلفه‌ای است. در نظریهٔ الاستیسیته، به‌طور معمول فقط رابطهٔ خطی مطرح است که با قانون هوک بیان می‌شود:

(8a-c)

(8d-f)

اگر معادلات (8a-c) بر حسب تنش‌ها حل شوند، به دست می‌آید

(8 a)

kso و دو معادلهٔ متناظر. قانون هوک که با معادله (8) بیان شده است، یک قانون طبیعیِ به‌دقت تحقق‌یافته نیست، بلکه ایده‌آل‌سازیِ رفتار واقعی است که بسته به ماده و مقدار تنش، کم‌وبیش از آن منحرف می‌شود. از آنجا که پرداخت ریاضیِ مسئلهٔ مقاومت مصالح با روابط پیچیده و غیرخطی میان تنش و تغییرشکل دشواری‌های بسیار بیشتری ایجاد می‌کند و عملاً فقط در ساده‌ترین موارد قابل اجراست، حتی برای موادی (بتن!) که رفتارشان به‌طور چشمگیری از قانون هوک منحرف می‌شود نیز، محاسبات مبتنی بر آن باید به‌عنوان نخستین و در بیشتر موارد یگانه راه‌حل تقریبی به کار روند؛ راه‌حلی که در ضمن، طبق قاعده بسیار قابل استفاده است و بینشی بیش از صرفاً کیفی فراهم می‌کند. G = E|2 (1+μ).

این امر ناگزیر از رابطهٔ میان تنش و تغییرشکل (8), از معادلات تبدیلات (16) برای تنش‌ها و دستگاه معادلات مربوط برای تغییرشکل‌های مؤلفه‌ای E و G دارای بُعدِ تنش‌اند و در همهٔ مصالح ساختمانی در مقایسه با تنش‌های σ و τ که ممکن است پدید آیند، بزرگ هستند. بر این واقعیت فرضی استوار است که در همه‌جای نظریهٔ الاستیسیته پذیرفته شده، تغییرشکل‌ها کوچک‌اند. ضریبِ انبساط جانبی (عدد پواسون) μ بی‌بُعد است و همواره بین 0 و 1/2 قرار دارد.

روابط میان کرنش‌های مؤلفه‌ای و جابه‌جایی‌ها. این روابط با معادلات (3), (4) داده شده‌اند. این‌ها کاملاً ماهیت هندسی دارند. این سه دستگاه، 3+6+6=15 معادله برای 15 مجهول، یعنی برای 6 تنش‌های مؤلفه‌ای، 6 کرنش‌های مؤلفه‌ای و 3 جابه‌جایی‌های مؤلفه‌ای فراهم می‌کنند. بنابراین برای تعیین این مجهول‌ها کافی هستند. غلبهٔ ریاضی بر چنین دستگاه گسترده‌ای از معادلات دیفرانسیل، البته، فقط در موارد خاص ممکن است. اگر در معادله (8) کرنش‌های مؤلفه‌ای طبق معادلات (3) و (4) با جابه‌جایی‌های مؤلفه‌ای جایگزین شوند و سپس تنش‌های نرمال σ و تنش‌های برشی τ، طبق معادلات (8 d - f)، در شرایط تعادل، معادله (7)، وارد شوند، معادلات دیفرانسیلی به دست می‌آیند که معادلات بنیادی نظریهٔ الاستیسیته نامیده می‌شوند.

(9)

که در آن  نشان‌دهندهٔ عملگر لاپلاس است. با توجه به (2) این‌ها سه معادلهٔ دیفرانسیل با سه جابه‌جایی مؤلفه‌ای μ، ν، ω هستند؛ از این‌ها نیز با مشتق‌گیری بر پایهٔ (3)، (4) و (8) می‌توان همهٔ تنش‌ها و کرنش‌های مؤلفه‌ای را به دست آورد. معادلات (9) اغلب نقطهٔ آغاز مناسبی برای بررسی حالت‌های ویژه به‌شمار می‌روند.

کارِ تغییرشکلی

تعریف

وقتی تکیه‌گاه بارگذاری می‌شود، نقاط اثر نیروهای خارجی دچار جابه‌جایی‌های الاستیک می‌شوند و نیروها در این میان کاری را انجام می‌دهند. به این ترتیب، انرژی واردشده می‌تواند به شکل‌های مختلفی تبدیل شود. اگر بارگذاری ناگهانی انجام شود، به‌گونه‌ای که فرایند تغییر شکل سرعت قابل توجهی داشته باشد، بخشی از این انرژی به انرژی جنبشی تبدیل می‌شود که در گذر زمان از میان می‌رود، یا از این راه که به صورت موج الاستیک به زمین منتقل می‌شود و در بی‌نهایت از بین می‌رود، یا از این راه که بر اثر اصطکاک داخلی به گرما تبدیل می‌شود. اگر بارها آن‌قدر آرام اعمال شوند که در این میان افزایش محسوسی در انرژی جنبشی پدید نیاید، یعنی بارهای به‌تدریج افزاینده از صفر در تعادل دائمی با نیروهای داخلی باشند، آشکار است که انرژی منحصراً صرف تغییر شکل جسم می‌شود و در این حالت کارِ تغییر شکل نامیده می‌شود.

محاسبه کارِ تغییرشکلی را نخست برای قطعه‌ای که در یک جهت تحت کشش قرار دارد نشان خواهیم داد (شکل 5).

بگذاریم تنش موجود σ و کرنش متناظر ε افزایش‌های dσ و dε را تجربه کنند. در این صورت، نیروی σdF در مسیر dε * dl کاری برابر _σdF * dεdl = σdεdV انجام خواهد داد، اگر dV را حجم جزء کوچک در نظر بگیریم. اگر تنش از صفر تا مقدار نهایی خود افزایش یابد و کرنش نیز متناسب با آن از 0 تا ε برسد، کار کل انجام‌شده بر واحد حجم برابر خواهد بود با:

به همین ترتیب، برای عنصری که تحت تنش برشی τ (شکل 6) قرار دارد، کار تغییرشکل بر واحد حجم (کار ویژهٔ تغییرشکل، پتانسیل الاستیک) عبارت است از:

به‌طوری‌که فقط یکی از چهار نیرو τ * dF کار انجام می‌دهد.

در حالت کلی، وقتی هر شش مؤلفه تنش بر جزء عنصری اثر می‌گذارند، کار ویژه تغییرشکل با جمع کردن کارهای هر یک از مؤلفه‌های تنش به‌دست می‌آید:

(10)

با مشتق‌گیری نسبت به حد بالای هر یک از این انتگرال‌ها، روابطی به دست می‌آیند که در کلی‌ترین حالت برقرارند:

(11)

و به همین ترتیب برای سایر تغییرشکل‌های مؤلفه‌ای. اگر جسم الاستیک باشد، برای هر حالت تنش معین همواره همان حالت تغییرشکل متناظر است، چه این حالت هنگام بارگذاری حاصل شده باشد و چه هنگام باربرداری. در این صورت زیر انتگرال‌ها توابع یک‌معنا قرار می‌گیرند و انرژی کل مصرف‌شده هنگام بارگذاری و سپس باربرداری کامل برابر است با a = 0، زیرا در این حالت کران‌های بالای انتگرال‌ها به صفر تبدیل می‌شوند. بنابراین، انرژی کل واردشده به جسم هنگام بارگذاری، در هنگام باربرداری بازپس گرفته می‌شود.

شکل 6

شکل 7

برای یک جسمِ نیمه‌الاستیک، رابطهٔ میان تنش و تغییرشکل برای کل چرخهٔ بارگذاری و باربرداری شکلی تقریباً همان‌گونه دارد که در شکل 7 با خطوط O A B. نشان داده شده است. انرژیِ واردشده هنگام بارگذاری برابر با سطح OAA, است و انرژیِ بازگردانده‌شده هنگام باربرداری برابر با سطح ABA,؛ بنابراین کاری که متناظر با سطح هاشورخورده است از دست می‌رود (به گرما تبدیل می‌شود). اگر در فرآیند نوسانی، تنش به‌طور دوره‌ای میان مقدار حدیِ مثبتِ و مقدار حدیِ منفیِ تغییر کند، تغییرشکلِ غیرالاستیک به‌گونه‌ای مشابه آنچه با خطوط خط‌چین در شکل 7 نشان داده شده است پیش می‌رود و در هر دورهٔ نوسان، انرژیِ DABCD به ازای هر واحد حجم به گرما تبدیل می‌شود. چنین رفتاری هنگام تغییرشکل، که در آن تغییرشکل از تنش عقب می‌ماند، هیسترزیس الاستیک نام دارد و منحنی DABCD حلقهٔ هیسترزیس است.

کار تغییرشکل و قانون هوک

اگر در انتگرال‌های معادله (10) قانون هوک وارد شود، می‌توان انتگرال‌گیری را انجام داد، و برای کار تغییرشکلِ ویژه عبارات زیر به دست می‌آیند:

(12a)

(12b)

(12c)

اگر شکل دوم از این اشکال در معادله (11) وارد شود، دوباره قانون هوک، یعنی معادلات (8)، در شکل حل‌شده بر حسب تنش‌ها به‌دست می‌آید. این گزاره که کارِ تغییرشکل به مؤلفه‌های تغییرشکل وابسته است، همان‌گونه که با معادله (12b نشان داده شده، در نتیجه معادل قانون هوک است. وقتی معادله (12c نسبت به تنش‌ها مشتق گرفته شود، به‌دست می‌آید

(13)

این الگوها، بر خلاف الگوهای (11), فقط برای موادی معتبرند که مطابق قانون هوک رفتار می‌کنند و زمانی که رابطه میان تنش‌ها و تغییرشکل‌ها متفاوت باشد قابل استفاده نیستند. بدیهی است که در سمت راست معادلات (13) فقط تغییرشکل‌های مؤلفه‌ای ناشی از تنش‌ها قرار دارند و همه موارد دیگر که ممکن است در نتیجه تغییر دما، خزش، تورم، بازبلورش و غیره ایجاد شده باشند، مستثنا می‌شوند.

نظریه‌های انتگرالی در نظریه الاستیسیته

جابجایی‌های مجازی. اصل کمینه انرژی پتانسیل

همان‌گونه که قانون هوک، معادلات (8) را می‌توان با یک معادله (12b) جایگزین کرد، به همان ترتیب نیز به‌جای شرایط تعادل می‌توان اصلِ جابه‌جایی‌های مجازی را، به‌عنوان قانون بنیادیِ عام‌الاعتبارِ مکانیک، وارد کرد. این قانون بیان می‌کند که حالت‌های تعادل با این مشخص می‌شوند که در آن‌ها کارِ کلِ همهٔ نیروها در تغییرِ کوچکِ حالتِ تغییرشکل برابرِ صفر است. اگر تغییراتِ کوچکِ جابه‌جایی‌های الاستیک را δμ δν, δω بنامیم، آنگاه نیروهای حجمی تعریف‌شده با معادله (7) کارِ مجازی انجام می‌دهند

و نیروهای سطحی px, py, pz که بر عنصر dF از سطح خارجی جسم وارد می‌شوند، کار

که در آن انتگرال سه‌گانه به تمام حجم، و انتگرال دوگانه به تمام سطح خارجی جسم مربوط می‌شود. برای محاسبهٔ کاری که نیروهای داخلی انجام می‌دهند، از معادله (12b) استفاده می‌شود، و برای کار بر واحد حجم به دست می‌آید

اصل جابه‌جایی‌های مجازی بر این اساس می‌دهد

(14)

اگر بارهای X, Y, Z px, py., pz به‌عنوان مؤلفه‌های نیروی ثقل (وزن خودی و بار خارجی) در نظر گرفته شوند، انتگرال‌های سمت راست انرژی پتانسیلی را که این بارها از دست داده‌اند نشان می‌دهند، در حالی که سمت چپ افزایش انرژی پتانسیل (الاستیک) جسم را نشان می‌دهد؛ بنابراین این اصل بیان می‌کند که انرژی پتانسیل کلِ عضو و بارهای وارد بر آن در حالت تعادل دارای مقدار حدی است. اگر این مقدار حدی کمینه باشد، تعادل پایدار است.

اصل کمینهٔ انرژی پتانسیل که با معادلهٔ (14) بیان شده است، عبارت (12b) برای کارِ تغییرشکل، و شرایط سازگاریِ تغییرشکل‌ها (5), (6) یک دستگاه معادلات را تشکیل می‌دهند که برای بنیان‌گذاری نظریهٔ الاستیسیته کافی است و در اصل با دستگاه معادلات معادل است. این دستگاه به‌ویژه در مواردی می‌تواند مفید باشد که برآورده‌کردن معادلات دیفرانسیل (9) دشواری محاسباتی ایجاد می‌کند و به همین دلیل باید یک پاسخ تقریبی جست‌وجو شود؛ مثلاً برای جابه‌جایی‌ها، از پیش شکلی مناسب فرض می‌شود که شامل چند ثابت آزاد است و این ثابت‌ها از شرط برآورده‌شدن معادلهٔ (14) تعیین می‌شوند. بدین‌ترتیب البته پاسخ دقیق مسئله به دست نمی‌آید، بلکه فقط بهترین تقریبِ قابل دستیابی با شکلِ انتخاب‌شدهٔ پاسخ حاصل می‌شود. اینکه این تقریب کافی است یا نه، در درجهٔ اول به شکل پذیرفته‌شدهٔ پاسخ بستگی دارد، و کاربرد موفق این روش ازاین‌رو به مهارت و تجربه نیاز دارد.

اصل کاستیلیانو

در حالی که در اصل کمینه انرژی پتانسیل، همه حالت‌های تغییرشکل که شرایط سازگاری تغییرشکل را برآورده می‌کنند با هم مقایسه می‌شوند و از میان آن‌ها آن‌هایی جدا می‌شوند که تنش‌های متناظر با آن‌ها شرایط تعادل را برآورده می‌کنند، در اصل کاستیلیانو همه حالت‌های تنش که شرایط تعادل را برآورده می‌کنند با هم مقایسه می‌شوند و از میان آن‌ها آن‌هایی جدا می‌شوند که تغییرشکل‌های متناظر با آن‌ها شرایط سازگاری تغییرشکل را برآورده می‌کنند. این اصل چنین بیان می‌شود: از میان همه حالت‌های ممکن تعادلی، حالت واقعی حالتی است که کمترین کار تغییرشکلی را دارد. اصل کاستیلیانو همراه با معادله (12c) برای کار تغییرشکل و شرایط تعادل، دستگاهی از معادلات را تشکیل می‌دهد که برای تدوین مقاومت مواد کافی است. با توجه به اینکه این اصل شامل قانون هوک است، امکان به‌کارگیری آن به این فرض وابسته است که تغییرشکل‌ها را بتوان به‌طور کامل با این قانون توصیف کرد. این امر نه‌تنها رفتار الاستیک خطی ماده را ایجاب می‌کند، بلکه تغییرات دما را نیز منتفی می‌سازد.

رفتار مواد فراتر از حدود الاستیسیته

پدیده‌ها در بارگذاری استاتیکی

تغییر شکل ماده تحت تأثیر تنش پدیده‌ای بسیار پیچیده است، به‌طوری‌که برای درک آن باید از جنبه‌های گوناگون ساده‌سازی شود. یکی از این ساده‌سازی‌ها این فرض است که بارها به‌تدریج اعمال می‌شوند، همان‌گونه که مثلاً هنگام آزمون کشش و فشار روی نمونه‌ها انجام می‌شود.

اگر یک میلهٔ فولادی تحت کشش، تحت باری که به‌تدریج افزایش می‌یابد قرار گیرد و افزایش طول آن ε اندازه‌گیری شود، نموداری مطابق شکل 8 به‌دست می‌آید. در آغاز، افزایش طول بسیار کم و متناسب با تنش است، همان‌گونه که قانون هوک اقتضا می‌کند. از یک تنش معین به بعد، تناسب از بین می‌رود و افزایش طول سریع‌تر می‌شود. تعیین دقیق مرز این تناسب دشوار است. هرچه اندازه‌گیری دقیق‌تر باشد، این مقدار کمتر به‌دست می‌آید. برای بیشتر مواد، این مرز در σ = 0 قرار دارد و قانون هوک در آن صورت فقط اولین تقریب از رفتار الاستیک است، یعنی جملهٔ نخست بسطِ سری تیلورِ تابع ε = ε (σ) در همسایگی مبدأ مختصات.

اگر میله آزاد شود، مشاهده می‌شود که وقتی تنش بیش از حد بزرگ نبوده است، تغییر شکل نیز ناپدید می‌شود، مطابق قانون هوک. اما این نیز اگر از تنشی معین که نزدیک حد تناسب، یعنی همان حد کشسانی، قرار دارد فراتر رویم تغییر می‌کند؛ در آن صورت، تغییر شکل کلی از بخش کشسان (بازگشت‌پذیر) و بخش ناکشسان (ماندگار) تشکیل می‌شود. حد کشسانی نیز را نمی‌توان دقیقاً تعیین کرد؛ این حد هرچه دقت اندازه‌گیری بیشتر باشد، پایین‌تر به دست می‌آید. با این حال، چون اهمیت فنی زیادی دارد، زیرا مرز اهمیت در تقریباً همه محاسبات مقاومت مصالح را نشان می‌دهد و هم‌زمان مرز آغاز نخستین آسیب‌های ماندگار نیز هست، برای آزمایش نمونه‌ها با یک قرارداد پذیرفته‌شده به‌طور دقیق تعریف می‌شود، و مثلاً به‌عنوان حد 0.2% آن تنشی مشخص می‌شود که در آن افزایش طول ماندگار به 0.2% می‌رسد.

بلافاصله پس از عبور از حد کشسانی، تغییرشکل به‌طور ناگهانی افزایش می‌یابد و با چشم غیرمسلح قابل مشاهده است؛ در حالی که تحت تنشی تقریباً ثابت، میله به‌طور پیوسته کشیده می‌شود. این تنش را حد جاری‌شدن می‌نامند. در دستگاه‌های هیدرولیکی آزمون مواد، علاوه بر این، پس از آغاز جاری‌شدن، افتی کم‌وبیش محسوس در تنش دیده می‌شود؛ چنان‌که در شکل 8 با منحنی خط‌چین نشان داده شده است؛ در این حالت، بیشینه را حد بالایی جاری‌شدن و تنش جاری‌شدن ثابتِ بعدی را حد پایینی جاری‌شدن می‌نامند.

پس از آن‌که کرنش معینی حاصل شود که تقریباً کاملاً غیرالاستیک است، تنش دوباره شروع به افزایش می‌کند و ماده سخت می‌شود. در این ناحیه بارگذاری، کاهش محسوس سطح مقطع میله بر اثر انقباض جانبی (غیرالاستیک) رخ می‌دهد، و ادامه نمودار تنش و تغییرشکل در درجه نخست به این بستگی دارد که هنگام محاسبه تنش σ، نیروی کششی P که بر میله وارد می‌شود بر سطح مقطع اولیه F0 تقسیم شود یا بر سطح مقطع لحظه‌ای F. برای مقاصد فنی، تنش P|F0 مهم است. این تنش از بیشینه‌ای عبور می‌کند که مقاومت ماده نامیده می‌شود و هنگامی که از این بیشینه گذشت، میله در یک نقطه به‌طور شدید باریک شده و می‌گسلد. «تنش واقعی» P|F تا گسیختگی افزایش می‌یابد.

شکل 8.

رفتار سایر فلزات تا حد زیادی با آنچه در اینجا توصیف شد تفاوت دارد. جاری‌شدن غالباً آشکار نیست و سخت‌شدن بلافاصله پس از عبور از حدّ الاستیسیته آغاز می‌شود. در مواد ترد (سنگ، شیشه، بتن) تغییرشکل‌های غیرالاستیک به‌طور کلی اندک‌اند و حتی با تغییر طول کم نیز شکست رخ می‌دهد. تغییر طول کلی‌ای که ماده تا شکست تحمل می‌کند، معیاری برای شکل‌پذیری (در مقابل: تردی) ماده است و برای فولاد به‌طور دقیق در شرایط فنی تعیین می‌شود. با این حال، چون درست پیش از شکست، تغییرشکل بیشتر در نواحی مجاورِ مقطعِ باریک‌شده متمرکز می‌شود، مقدار متفاوتی از تغییر طول در شکست به دست می‌آید؛ بسته به اینکه برای طول اندازه‌گیری، بخش بزرگ‌تری یا کوچک‌تری از میله مبنا قرار گیرد. از این‌رو برای به‌دست‌آوردن نتایج یکتا و قابل مقایسه با یکدیگر، باید از پیش یک قرارداد معین پذیرفته شود. تغییر طول در شکست معمولاً بدین‌گونه اندازه‌گیری می‌شود که روی یک میلهٔ گرد با قطر d پیش از آزمون، طول اندازه‌گیری Ι = 10 d علامت‌گذاری می‌شود و از افزایش طول آن ΔΙ، تغییر طول در شکست εs_Ι = ΔΙ|Ι محاسبه می‌گردد._ اگر لازم باشد میله‌هایی با مقطع دیگر آزمون شوند، طول اندازه‌گیری بر اساس قطر میلهٔ استوانه‌ایِ دایره‌ای‌شکل که همان سطح مقطع را دارد تعیین می‌شود.

بارگذاری طولانی‌مدت

برای روند آزمون کشش، چندان فرقی نمی‌کند که بار تا گسیختگی در مدت 10 m دقیقه یا چند ساعت افزایش یابد. با این حال، اگر بار سال‌ها یا دهه‌ها اثر کند، در شرایط معینی مشاهده می‌شود که حتی زیر حد جاری‌شدن نیز تغییرشکل تحت تنش ثابت به‌تدریج با گذشت زمان افزایش می‌یابد. در این میان بخش الاستیک، یعنی آن بخشی که در باربرداری نهایی از بین می‌رود، به‌طور محسوس تغییر نمی‌کند. این افزایش تغییرشکل غیرالاستیک که در طی زمان طولانی رخ می‌دهد، خزش نام دارد. در فلزات، به‌جز سرب، خزش فقط در دماهای بالا اهمیت دارد؛ با این حال، برای مهندس عمران در بتن که زیر فشار اندکی تسلیم می‌شود نقش دارد، به‌طوری که تنش در آرماتور فشاری افزایش می‌یابد، اگر چنین آرماتوری وجود داشته باشد.

بارگذاری متغیر

برای آن‌که ویژگی‌های مکانیکی ماده که در آزمون کشش به‌دست آمده‌اند بتوانند به‌عنوان معیاری برای بار مجاز سازه‌ها به کار روند، شرط آن است که ماده در هر بارگذاری مجدد، همان تنشی را تحمل کند که یک‌بار بدون آسیب تحمل کرده است. این شرط زمانی برقرار نیست که ماده در معرض تکرارهای مکرر بارگذاری و باربرداری قرار گیرد، مانند حالتی که در مورد تیرهای بارگذاری‌شده با نیروهای لَختیِ ماشین‌های ناقص‌بالانس‌شده رخ می‌دهد. با تکرار کافیِ بارگذاری، می‌توان یک عضو سازه‌ای را حتی در تنشی بسیار پایین‌تر از مقاومت ماده که با آزمون استاتیکی معمول تعیین شده، به گسیختگی رساند. این نوع گسیختگی را شکست ناشی از خستگی می‌نامند. تعداد n چرخه‌های بارگذاری که ماده می‌تواند تحمل کند به بزرگی تنش σ بستگی دارد، به‌طوری‌که هرچه تنش کمتر باشد، این تعداد بیشتر است. نمونه‌ای典型 از این وابستگی در شکل 9 نشان داده شده است که از آن دیده می‌شود برای مقاومت ماده یک حد پایین وجود دارد که حتی در تعداد دلخواه بزرگ چرخه‌های بارگذاری نیز تحمل می‌شود و مقاومت دینامیکی ماده نام دارد. نمودارهای این نوع (شکل 9) را منحنی‌های وولر می‌نامند.

تصویر 9.

ایمنی سازه‌ها

دو بار حدی برای سازه‌ها اهمیت دارند: باری که در آن نخستین آسیب‌های دائمی پدید می‌آیند (حد تسلیم)، و باری که در آن ظرفیت باربری سازه به‌کلی مصرف می‌شود و سازه می‌شکند (حد شکست). از آنجا که دست‌کم پیش از حد تسلیم، فرض‌های مقاومت مصالح تقریباً برقرارند (جابجایی‌های کوچک، قانون هوک)، ایمنی در برابر تغییر شکل‌های دائمی را می‌توان در همه مواردی که غلبه بر دشواری‌های ریاضی ممکن شود، با اطمینان برآورد کرد. اگر تنش با بار متناسب باشد، نسبت تنش تسلیم به بیشترین تنشی که در سازه ظاهر می‌شود برابر است با نسبت بارِ ایجادکننده تسلیم به بار واقعی و ضریب ایمنی در برابر تسلیم را نشان می‌دهد. با این حال، در بسیاری از موارد این رابطه ساده وجود ندارد: خمش هنگامی که کشش حذف می‌شود، فشار میان سطوح محدب، سیستم‌هایی که ساختارشان متغیر است و، که به‌ویژه نامطلوب است، خمش همراه با نیروی محوری. در همه این موارد، افزایش نسبتاً اندک بار می‌تواند به افزایش زیاد تنش بینجامد و در این صورت کافی نیست که ضریب ایمنی معمولی بر تنش‌ها اعمال شود، بلکه باید بر بار اعمال گردد.

پدیده‌هایی که پس از عبور از حد تسلیم تا گسیختگی رخ می‌دهند، در بیشتر موارد دیگر فقط به‌صورت کیفی قابل پیگیری‌اند. اگر ماده شکل‌پذیر باشد، بخش‌هایی که در آن‌ها نخست حد تسلیم حاصل شده و که سپس تحت تنش ثابت یا تنشی که اندکی افزایش می‌یابد تغییر شکل می‌دهند، در تحمل بارهای بعدی سهم کمی دارند، به‌طوری‌که سایر بخش‌های کم‌تنش‌تر سازه، هرگاه با توجه به ساختار آن ممکن باشد، بیشتر در تحمل بار مشارکت می‌کنند. در این تمایل به یکنواخت‌سازی قله‌های تنش، ذخیره‌ای از ایمنی نهفته است که می‌توان آن را از نظر محاسباتی به‌کار گرفت، اگر تغییر شکل دائمی برخی بخش‌ها که در اثر تنها یک بارگذاری قابل‌توجه به‌وجود آمده، زیان‌آور نباشد (روش بار حدی).

اگر ماده ترد باشد، نخستین آسیب ماندگار به صورت ترک‌ها ظاهر می‌شود که در نتیجه آن در محلِ آسیب‌پذیر تمرکز تنش باز هم شدیدتر می‌گردد و بلافاصله شکست را موجب می‌شود. شکست ناشی از خستگی، حتی در مواد کشسان نیز ویژگی‌های شکست ترد را دارد.

 ارتباطات بین تنش‌ها برای صفحات مقطع مختلف

معادلات تبدیل

نه مؤلفه تنش در شکل 1 با سه شرط تعادل مرتبط هستند. شش کمیت باقی‌مانده σx, σy, σz τxy, τyz, τzx  می‌توانند، مستقل از یکدیگر، مقادیر دلخواه بگیرند، همان‌گونه که از استخراج معادلات دیفرانسیل نظریه الاستیسیته دیده می‌شود. با این حال، وقتی این مقادیر داده شوند، حالت تنش در یک نقطه از جسم صلب کاملاً تعیین می‌شود؛ یعنی وقتی تنش‌ها برای سه صفحه متقابلِ عمود بر هم معلوم باشند، می‌توان تنش برای صفحه چهارمی را که از نقطه داده‌شده می‌گذرد و نرمال آن جهت دلخواهی دارد، به‌طور یکتا تعیین کرد.

در شکل 10 یک چهاروجهی OABC نشان داده شده است که سه وجه آن با صفحات دستگاه مختصات x, y, z موازی‌اند و وجه چهارم یک المان سطحی با جهت‌گیری دلخواه ABC = dF را تشکیل می‌دهد. برای مشخص کردن جهت آن و جهت تنشی که از طریق آن منتقل می‌شود، دستگاه مختصات دومی معرفی می‌شود که محور ξ آن بر dF عمود است.

تصویر 10

شرط تعادل نیروهایی که بر این چهاروجهی در راستای محور ξ وارد می‌شوند، به‌دست می‌دهد

اگر در نظر بگیریم که

به دست می‌آید

و به همین ترتیب از شرایط تعادل در راستای محور η:

این‌ها معادلاتی هستند که برای محاسبه تنش‌ها هنگام تبدیل مختصات به‌کار می‌روند. از اهمیت ویژه‌ای برخوردار است که فقط عناصری از سطح dF را بررسی کنیم که در آن‌ها محور ξ بر محور z منطبق است. الگوهای این حالت را می‌توان با ساده‌سازی الگوهای پیشین به‌دست آورد یا مستقیماً از شکل 11 خواند:

شکل 11

تنش نرمال برای جهت‌های α = α0، که برای آن‌ها dσξ/dα = 0، مقادیر اکسترمم می‌گیرد. با مشتق‌گیری از معادله (16) به‌دست می‌آید

و آنگاه، وقتی این عبارت را برابر صفر قرار دهیم

تنش τξη همچنین تنش برشی کل در این صفحات خواهد بود، اگر τyz = τzx = 0. در این صورت، معادلهٔ (17) دو جهت متعامد را تعیین می‌کند که برای آن‌ها: 1. تنش برشی کل صفر است و، 2. تنش نرمال دارای مقادیر حدی (بیشینه و کمینه) است. این جهت‌ها، جهت‌های تنش‌های اصلی نامیده می‌شوند و تنش‌های متناظر تنش‌های اصلی هستند. آن‌ها با σ1 و σ2 نشان داده می‌شوند و می‌توانند مستقیماً از فرمول محاسبه شوند

 دایرهٔ موهر

معادله‌های (16) را می‌توان به‌صورت گرافیکی و روشن نمایش داد. برای این منظور باید آن‌ها را به شکل زیر تبدیل کرد:

این معادلات در دستگاه مختصات σ، τ شکل پارامتری معادله دایره‌ای را نشان می‌دهند که در شکل 12 رسم شده است، و مختصات مرکز آن σ = 1/2 (σx + σy)، τ = 0 و شعاع آن

این دایره، دایرهٔ موهر نامیده می‌شود. اگر از نقطهٔ x خطی موازی با برش x =const. رسم شود که تنش‌های σx، τxy از آن منتقل می‌شوند، این خط دایره را در نقطهٔ p قطع می‌کند که قطب دایرهٔ موهر نامیده می‌شود. هر خط pξ که از این قطب عبور داده شود، دایره را در نقطهٔ ξ قطع می‌کند که تنش‌های σξ، τξη را تعیین می‌کند؛ این تنش‌ها از برشی موازی با pξ منتقل می‌شوند.

دربارهٔ علامت تنش‌های برشی هنگام ترسیم دایرهٔ موهر باید دقت کرد که اگر جهت آن‌ها مطابق شکل 12c باشد، به‌سمت بالا رسم می‌شوند. بنابراین از میان دو تنش مزدوج τxy، τyx، یکی همواره مثبت و دیگری منفی است.

به مقادیر حدیِ σ1 و σ2 از تنش‌های نرمال، نقاط 1 و 2 بر روی دایره متناظرند، و خطوط _p_1 و _p_2 جهت‌های تنش‌های اصلی را نشان می‌دهند.

نمایش تنش‌هایی که در صفحهٔ x-y قرار دارند به‌وسیلهٔ دایرهٔ ماهر به هیچ فرضی دربارهٔ تنش‌های σz، τxz، τyz عمود بر این صفحه وابسته نیست.

شکل 12

از این‌رو این امر برای عمومی‌ترین حالت سه‌بعدیِ تنش نیز صادق است، اگر فقط آن صفحه‌های مقطع را با هم مقایسه کنیم که همگی از یک خط واحد می‌گذرند؛ خطی که در اینجا به‌عنوان محور z و ξ انتخاب شده است. از آنجا که طبق معادلات عمومی تبدیل (15) تنش نرمال σ نمی‌تواند برای هیچ صفحهٔ مقطعی به بی‌نهایت برسد، ناگزیر باید برای یک صفحه دارای بیشینهٔ متناهی σ1 و برای صفحه‌ای دیگر دارای کمینهٔ σ3 باشد، که هر دو، روشن است، می‌توانند منفی نیز باشند. اگر از میان بردارهای σ1 و σ3 صفحه‌ای گذرانده و دایرهٔ موهر را رسم کنیم (شکل 13)

شکل 13

برای تنش‌هایی که در این صفحه قرار دارند (یعنی همه راستاهای عمود بر این صفحه)، آنگاه σ1 و σ3 بزرگ‌ترین و کوچک‌ترین تنش‌های نرمالی هستند که می‌توانند پدید آیند و از این‌رو باید بر یکدیگر عمود باشند. اگر راستاهای 1 و 3 با راستای 2 تکمیل شوند، به‌طوری‌که این سه راستا یک دستگاه مختصات قائم را تشکیل دهند، و اگر دایره‌های مَهر برای صفحات 1 ~2 و 2 ~ 3 رسم شوند، آنگاه σ2 برای یکی از این دایره‌ها بزرگ‌ترین و برای دیگری کوچک‌ترین تنش نرمال است و بنابراین در مقاطع عمود بر راستاهای 1، 2 و 3 تنش برشی برابر صفر است. سه تنش نرمال عمود بر هم σ1، σ2 و σ3 که برای آن‌ها تنش برشی متناظری وجود ندارد، تنش‌های اصلی نامیده می‌شوند.

    حد تسلیم و حد گسیختگی در حالت تنش سه‌بعدی

حالت تنش را یک‌بعدی، دوبعدی یا سه‌بعدی، یا به‌عبارت دیگر خطی، صفحه‌ای یا فضایی می‌نامند، بسته به اینکه یک، دو یا هر سه تنش اصلی از صفر متفاوت باشند. در اعضای سازه‌ای که بیشترین کاربرد را دارند، یعنی در عضو کششی، فشاری و خمشی، حالت تنش، دست‌کم در نقاطی که بیشترین تنش را دارند، یک‌بعدی است؛ و همین‌طور در آزمون‌های کشش، فشار یا خمش که در آزمایش مواد تقریباً به‌طور انحصاری برای تعیین تنش‌های مجاز به‌کار می‌روند. برعکس، در صفحات بارگذاری‌شده در صفحهٔ خود یا عمود بر آن، و نیز در پوسته‌ها، حالت تنش دوبعدی است، و در برخی موارد حالت‌های تنش سه‌بعدی نیز پدید می‌آیند، به‌طوری‌که لازم است بر اساس حد تسلیم و شکست، که در حالت تنش یک‌بعدی تعیین شده‌اند، دربارهٔ رفتار ماده در حالت تنش فضایی نتیجه‌گیری شود.