Fundamentos
La tarea de la resistencia de materiales es determinar qué fuerzas externas puede soportar un cuerpo sólido (por ej., una construcción, un elemento estructural o el terreno). Para dar respuesta a esta cuestión se parte de dos criterios: por un lado, las tensiones no deben superar ciertos límites que dependen del tipo de material, y por otro lado, el equilibrio entre las fuerzas externas e internas debe ser estable. De acuerdo con esto, todos los problemas de resistencia de materiales pueden dividirse en “problemas de tensiones” y “problemas de estabilidad.”
En barras y vigas, y en los soportes formados por ellas (celosías, pórticos), la determinación de las tensiones se realiza en dos pasos: primero, a partir de las fuerzas externas dadas, se calcula la resultante de las fuerzas internas que se transmiten a través de la sección transversal, y luego, a partir de estas «fuerzas seccionales» se determinan las tensiones. La primera parte del procedimiento constituye una disciplina especial y amplia, la estática de las construcciones, que cuenta con métodos propios desarrollados y que suele separarse de la resistencia de materiales, cuya tarea se reduce a determinar las tensiones a partir de las fuerzas seccionales dadas.
Conceptos básicos de la resistencia de materiales
Se llega a la definición de tensión mediante las siguientes consideraciones fundamentales. Supongamos que sobre el cuerpo actúa un sistema equilibrado de fuerzas externas. Imaginemos que hemos dividido el cuerpo mediante una sección arbitraria en dos partes, y que hemos retirado una de ellas junto con las fuerzas que actúan sobre ella; entonces su acción sobre la otra parte, para que el equilibrio de fuerzas y la distribución de deformaciones permanezcan inalterados, debe sustituirse por fuerzas complementarias que se transmiten a través de la superficie de la sección. Estas fuerzas «internas» están distribuidas de forma continua sobre la superficie de la sección, de modo que a cada elemento de superficie dF le corresponde una fuerza dβ. Si se forma el cociente dβ dF y se hace el paso al límite dF -> 0, entonces este cociente tiende al valor límite que se denomina tensión. La tensión en un elemento determinado de la superficie es, como dβ, y puede descomponerse en componentes normal y tangencial a dF, tensión normal σ y tensión cortante τ.
Si por un mismo punto se trazan secciones en distintas direcciones, a ellas corresponderán también distintas tensiones. En particular, si del cuerpo se extrae un cubo elemental, mostrado en la fig. 1, en cada una de sus seis caras actuará un vector de tensión que puede descomponerse en tres componentes en la dirección de los ejes coordenados x, y, z. Las tensiones que actúan sobre caras opuestas difieren entre sí, por supuesto, solo en un diferencial, por lo que hay que distinguir 3 * 3 = 9 componentes de tensión, que se designan del siguiente modo:
A las tensiones normales σ se les asigna un subíndice del eje en cuya dirección actúan y se consideran positivas si provocan tracción, y negativas si provocan compresión. Las tensiones cortantes τ reciben dos subíndices; el primero es el mismo que el de la tensión normal correspondiente, y el segundo se refiere al eje en cuya dirección actúa la tensión cortante. Si la dirección positiva de la tensión normal correspondiente coincide con la dirección del eje coordenado positivo (negativo), la tensión cortante también se considera positiva si actúa en la dirección del eje coordenado positivo (negativo).
Figura 1.
Conjugación de las tensiones cortantes
Si para el paralelepípedo elemental, fig. 1, se impone la condición de que el momento de todas las fuerzas respecto del eje x sea cero, se obtiene τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz A partir de aquí, y de las dos ecuaciones correspondientes para los ejes y y z, se obtiene que las tensiones cortantes con los mismos índices son iguales entre sí τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (1)
Deformaciones componentes
Que las tensiones definidas anteriormente tengan sentido físico se desprende de su relación con la definición que soporta todo cuerpo bajo la acción de fuerzas externas. La fig. 2 muestra un prisma elemental, que antes de la deformación era rectangular y tenía longitudes de arista dx, dy, dz. Las longitudes de las aristas después de la deformación pueden обозначarse con dx + Δdx, dy, + Δdy, dz + Δdz; los cocientes εx = Δdx|dx, εy =Δdy|dy, εz = Δdz|dz se llaman dilataciones. Son magnitudes adimensionales y, para todos los materiales que entran en consideración en la construcción, pequeñas frente a 1. Además del alargamiento de las aristas, el prisma elemental dx * dy * dz puede sufrir también una modificación de los ángulos rectos originales entre sus caras.
Imagen 2. deformación componente
Sea que, después de la deformación, el ángulo entre los planos que convergen a lo largo del borde OC sea igual a 
y, de manera similar, que la disminución del ángulo recto a lo largo del borde AO sea igual a γyz, y la disminución a lo largo del borde OB sea igual a γzx. Estas tres variaciones de ángulo γxy, γyz, γzx, se denominan deslizamientos y también son siempre pequeñas con respecto a 1. Con seis componentes ε y γ queda completamente determinada la deformación del paralelepípedo elemental “deformación pequeña”. El cambio del elemento de volumen d_V = dx * dy * dz_ es ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, de donde, al despreciar los productos de dilataciones como magnitudes pequeñas de orden superior, se obtiene la dilatación cúbica ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2)
Desplazamientos
La deformación de un cuerpo sólido también puede describirse por completo de este modo: asignando a cada uno de sus puntos el desplazamiento que ese punto ha experimentado. Si se excluyen de la observación los desplazamientos de magnitud finita que corresponden al movimiento de un cuerpo rígido, introduciendo en el cálculo, si es necesario, un sistema de coordenadas móvil, entonces también los desplazamientos componentes μ, ν, ω son siempre pequeños, y sus derivadas respecto de las coordenadas son pequeñas en comparación con 1. Bajo esta hipótesis, según la fig. 3 la longitud del elemento lineal OA = dx después de la deformación
por lo tanto 
(3)
De manera similar, de la fig. 3 se ve que el deslizamiento γxy γ1 + γ2: y también
(4)
Figura 3 deslizamiento
(5) 
(6)
A estas relaciones se las denomina condiciones de compatibilidad y expresan que los elementos deformados pueden encajar como un mosaico de modo que el espacio quede llenado de manera continua, lo cual no puede lograrse si las deformaciones de los elementos son arbitrarias. Las condiciones de compatibilidad son ecuaciones diferenciales, por lo que, como es natural, las seis componentes de deformación para cada prisma individual son mutuamente independientes, pero su distribución en cada dominio finitamente extendido está ligada por las condiciones (5) y (6).
Como estas condiciones se obtuvieron por diferenciación de las ecuaciones (3) y (4), al derivarlas se pierde una parte de las relaciones contenidas en las ecuaciones originales. Por eso no basta con que se satisfaga solo uno de estos dos sistemas de ecuaciones, sino que deben satisfacerse ambos sistemas si se quiere garantizar la compatibilidad de la deformación.
Ecuaciones diferenciales del sistema de elasticidad
Para calcular las tensiones y deformaciones en cuerpos elásticos sirven las siguientes ecuaciones:
Condiciones de equilibrio del elemento volumétrico. Las condiciones de que los momentos alrededor de los tres ejes sean iguales a cero ya se utilizaron al derivar la ecuación (1). Las condiciones de equilibrio de fuerzas, según la fig. 4
Figura 4
(7a-c)
Si con X, Y, Z se designan las componentes de las fuerzas de volumen (p. ej., peso, fuerza centrífuga) por unidad de volumen. Relaciones entre tensiones y deformaciones. Con esto se entiende la relación entre las tensiones componentes y las deformaciones componentes. En la teoría de la elasticidad, por regla general solo se considera la relación lineal, expresada por la ley de Hooke:
(8a-c)
(8d-f)
Si las ecuaciones (8a-c) se resuelven respecto de las tensiones, se obtiene
(8 a)
kso y dos ecuaciones correspondientes. La ley de Hooke expresada por la ecuación (8) no representa una ley natural estrictamente cumplida, sino una idealización del comportamiento real, que se aparta de ella más o menos, según el material y la magnitud del esfuerzo. Dado que el tratamiento matemático del problema de la resistencia de materiales con relaciones complicadas y no lineales entre tensiones y deformaciones plantea dificultades incomparablemente mayores y, en realidad, solo puede llevarse a cabo en los casos más simples, incluso en aquellos materiales (¡hormigón!) cuyo comportamiento se aparta considerablemente de la ley de Hooke, los cálculos basados en ella deben utilizarse, ante todo, y en la mayoría de los casos también como la única solución aproximada, que por lo demás suele ser muy útil y ofrece una visión más que meramente cualitativa. G = E|2 (1+μ).
Se deduce necesariamente de la relación entre tensión y deformación (8), de las ecuaciones de transformación (16) para las tensiones y del sistema correspondiente de ecuaciones para las deformaciones componentes. E y G tienen dimensión de tensión y, en todos los materiales de construcción, son grandes en comparación con las tensiones σ y τ que pueden aparecer. En este hecho se basa la hipótesis adoptada en toda la teoría de la elasticidad, de que las deformaciones son pequeñas. El coeficiente de dilatación transversal (número de Poisson) μ es adimensional y se encuentra siempre entre 0 y 1/2 .
Relaciones entre las deformaciones componentales y los desplazamientos. Estas relaciones están dadas por las ecuaciones (3), (4). Son de naturaleza puramente geométrica. Estos tres sistemas proporcionan 3+6+6=15 ecuaciones para 15 incógnitas, es decir, para 6 tensiones componentales, 6 deformaciones componentales y 3 desplazamientos componentales. Por lo tanto, son suficientes para determinar estas incógnitas. El tratamiento matemático de un sistema tan extenso de ecuaciones diferenciales es posible, naturalmente, solo en casos especiales. Si en la ecuación (8) las deformaciones componentales se sustituyen por los desplazamientos componentales según las ecuaciones (3) y (4) y luego las tensiones normales σ y las tensiones cortantes τ, según las ecuaciones (8 d - f), se introducen en las condiciones de equilibrio, ec. (7), se obtienen ecuaciones diferenciales que se denominan ecuaciones fundamentales de la teoría de la elasticidad.
(9)
siendo 
el operador de Laplace. Teniendo en cuenta (2), estas son tres ecuaciones diferenciales con tres desplazamientos componentes μ, ν, ω; a partir de ellas, mediante diferenciación sobre la base de (3), (4) y (8) se pueden obtener todas las tensiones y deformaciones componentes. Las ecuaciones (9) constituyen a menudo un punto de partida conveniente para el estudio de casos especiales.
Trabajo de deformación
Definición
Cuando una viga se carga, los puntos de aplicación de las fuerzas externas sufren desplazamientos elásticos y las fuerzas realizan en ello cierto trabajo. De este modo, la energía aportada puede transformarse en distintas formas. Si la carga se aplica bruscamente, de modo que el proceso de deformación tiene una velocidad considerable, una parte de esta energía se transforma en energía cinética, que con el tiempo se disipa, ya sea transmitiéndose al terreno como una onda elástica que se pierde en el infinito, ya sea convirtiéndose en calor por fricción interna. Si las cargas se aplican tan lentamente que no se produce un aumento apreciable de la energía cinética, es decir, si las cargas que crecen gradualmente desde cero están en equilibrio constante con las fuerzas internas, la energía se consume evidentemente exclusivamente en deformar el cuerpo y entonces se denomina trabajo de deformación.
El cálculo del trabajo de deformación lo mostraremos primero en un elemento sometido a tracción en una sola dirección (fig. 5).
Supongamos que la tensión existente σ y la dilatación correspondiente ε experimentan incrementos dσ y dε. Entonces la fuerza σdF en el recorrido dε * dl realizará un trabajo σdF * dεdl = σdεdV, si se designa dV como el volumen del elemento. Si la tensión aumenta desde cero hasta su valor final y la dilatación, en consecuencia, de 0 hasta ε, el trabajo total realizado por unidad de volumen será:
De forma similar, para un elemento sometido a tensión cortante τ (fig. 6), el trabajo de deformación por unidad de volumen (trabajo específico de deformación, potencial elástico):
siendo solo una de las cuatro fuerzas τ * dF la que realiza trabajo.
En el caso general, cuando sobre un elemento elemental actúan las seis componentes de tensión, se obtiene el trabajo específico de deformación sumando los trabajos de las distintas componentes de tensión:
(10)
Diferenciando con respecto al límite superior de cada una de estas integrales se obtienen relaciones válidas en el caso más general:
(11)
y así sucesivamente para las demás deformaciones componentes. Si el cuerpo es elástico, a cada estado de tensión determinado le corresponde siempre el mismo estado de deformación, independientemente de si el estado se alcanza durante la carga o la descarga. Entonces, bajo las integrales figuran funciones unívocas y la energía total consumida durante la carga y luego la descarga completa es a = 0, dado que en este caso los límites superiores de las integrales pasan a ser cero. Por consiguiente, la energía total suministrada al cuerpo durante la carga se recupera durante la descarga.
Imagen 6
Figura 7
En un cuerpo parcialmente elástico, la relación entre tensiones y deformaciones para todo el ciclo de carga y descarga tiene la forma aproximadamente mostrada en la fig. 7 mediante las líneas O A B. La energía 
aportada durante la carga es igual al área OAA, y la energía devuelta durante la descarga al área ABA, de modo que se pierde (se transforma en calor) el trabajo correspondiente al área rayada. Si en un proceso oscilatorio la tensión varía periódicamente entre el valor límite positivo 
y el valor límite negativo 
, la deformación inelástica evoluciona de forma similar a como se muestra mediante líneas discontinuas en la fig. 7 y, durante cada período de oscilación, la energía DABCD se transforma en calor por unidad de volumen. Este comportamiento durante la deformación, en el que la deformación se retrasa respecto de la tensión, se denomina histéresis elástica, y la curva DABCD bucle de histéresis.
Trabajo de deformación y ley de Hooke
Si en las integrales de la ecuación (10) se introduce la ley de Hooke, puede efectuarse la integración, obteniéndose para el trabajo específico de deformación las expresiones:
(12a)
(12b)
(12c)
Si la segunda de estas formas se introduce en la ecuación (11), se obtiene de nuevo la ley de Hooke, ecuaciones (8), en forma resuelta respecto de las tensiones. La afirmación de que el trabajo de deformación depende de las deformaciones componentes, tal como se muestra en la ecuación (12b), es por tanto equivalente a la ley de Hooke. Cuando la ecuación (12c) se deriva respecto de las tensiones, se obtiene
(13)
Estas formulaciones, a diferencia de las formulaciones (11), solo son válidas para cuerpos que se comportan según la ley de Hooke y no pueden aplicarse cuando las relaciones entre tensiones y deformaciones son diferentes. Se entiende que en el lado derecho de las ecuaciones (13) solo figuran las deformaciones componentes provocadas por las tensiones, excluyéndose todas las demás que eventualmente pudieran haberse producido por cambios de temperatura, fluencia, hinchamiento, recristalización, etc.
POSTULADOS INTEGRALES EN LA TEORÍA DE LA ELASTICIDAD
Desplazamientos virtuales. Principio de la energía potencial mínima
Así como la ley de Hooke, las ecuaciones (8) pueden sustituirse por una sola ecuación (12b), también en lugar de las condiciones de equilibrio puede introducirse el principio de los desplazamientos virtuales, como ley fundamental de la mecánica de validez general. Esta ley establece que los estados de equilibrio se caracterizan por el hecho de que el trabajo total realizado por todas las fuerzas ante una pequeña variación del estado de deformación es igual a cero. Si обозначamos los pequeños cambios de los desplazamientos elásticos como δμ δν, δω, entonces las fuerzas volumétricas definidas por la ecuación (7) realizan trabajo virtual
y las fuerzas superficiales px, py, pz que actúan sobre el elemento dF de la superficie exterior del cuerpo trabajo 
por lo que la integral triple se refiere a todo el volumen y la integral doble a toda la superficie exterior del cuerpo. Para calcular el trabajo realizado por las fuerzas internas se utiliza la ecuación (12b), obteniéndose así para el trabajo por unidad de volumen
El principio de los desplazamientos virtuales da, por tanto,
(14)
Si las cargas X, Y, Z px, py., pz se entienden como componentes de la gravedad (peso propio y carga externa), los integrales del lado derecho representan la energía potencial que estas cargas han perdido, mientras que el lado izquierdo representa el incremento de energía potencial (elástica) del cuerpo, de modo que este principio expresa que la energía potencial total de la viga y de las cargas que descansan sobre ella, en caso de equilibrio, tiene un valor extremo. Si este valor extremo es mínimo, el equilibrio es estable.
El principio del mínimo de energía potencial expresado por la ecuación (14), la expresión (12b) para el trabajo de deformación y las condiciones de compatibilidad de las deformaciones (5), (6) constituyen un sistema de ecuaciones que es suficiente para la construcción de la teoría de la elasticidad y que, en esencia, es equivalente al sistema de ecuaciones. Este sistema puede ser especialmente útil en los casos en que la satisfacción de las ecuaciones diferenciales (9) presenta dificultades de cálculo y, por ello, debe buscarse una solución aproximada; por ejemplo, para los desplazamientos se supone de antemano una forma conveniente que contiene varias constantes libres, y estas se determinan a partir del requisito de que la ecuación (14) quede satisfecha. Así, ciertamente no se obtiene una solución exacta del problema, sino solo la mejor aproximación que puede alcanzarse con la forma de solución elegida. Si la aproximación es suficiente depende, ante todo, de la forma adoptada de la solución, y por eso la aplicación exitosa de este método exige habilidad y experiencia.
Principio de Castigliano
Mientras que en el principio del mínimo de energía potencial se comparan todos los estados de deformación que satisfacen las condiciones de compatibilidad de deformaciones y, entre ellos, se seleccionan aquellos para los que las tensiones correspondientes satisfacen las condiciones de equilibrio, en el principio de Castigliano se comparan todos los estados de tensión que satisfacen las condiciones de equilibrio y, entre ellos, se seleccionan aquellos para los que las deformaciones correspondientes satisfacen las condiciones de compatibilidad de deformaciones. Este principio establece: de todos los posibles estados de equilibrio, el real es aquel al que corresponde el menor trabajo de deformación. El principio de Castigliano, junto con la ecuación (12c) para el trabajo de deformación y las condiciones de equilibrio, forma un sistema de ecuaciones suficiente para la construcción de la resistencia de los materiales. Dado que este principio contiene la ley de Hooke, la posibilidad de su aplicación está ligada a la suposición de que las deformaciones pueden describirse completamente mediante esta ley. Esto no solo requiere un comportamiento linealmente elástico del material, sino que también excluye los cambios de temperatura.
Comportamiento de los materiales por encima de los límites de elasticidad
Fenómenos bajo carga estática
La deformación del material bajo la influencia de las tensiones es un fenómeno muy complicado, por lo que debe simplificarse de distintos modos para poder comprenderlo. Una de estas simplificaciones es la suposición de que las cargas se aplican gradualmente, como se hace, por ejemplo, con las probetas en los ensayos de tracción y compresión.
Si una barra de acero sometida a tracción se expone a una carga que aumenta gradualmente y se mide su dilatación ε, se obtiene el diagrama mostrado en la fig. 8. Al principio, la dilatación es muy pequeña y proporcional a la tensión, tal como exige la ley de Hooke. A partir de una determinada tensión cesa la proporcionalidad y la dilatación aumenta más rápidamente. La posición exacta del límite de esta proporcionalidad difícilmente puede determinarse. Cuanto más precisa es la medición, más bajo resulta. Para la mayoría de los materiales se sitúa en σ = 0, y la ley de Hooke representa entonces solo la primera aproximación al comportamiento elástico, el primer término del desarrollo en serie de Taylor de la función ε = ε(σ) en las proximidades del origen de coordenadas.
Si se descarga la barra, se observa que, cuando la tensión no era demasiado grande, también desaparece la deformación, de acuerdo con la ley de Hooke. Pero esto también cambia si se supera una cierta tensión que se sitúa cerca del límite de proporcionalidad, el llamado límite de elasticidad; entonces la deformación total consta de una parte elástica (recuperable) y de una parte inelástica (permanente). Tampoco el límite de elasticidad puede determinarse con exactitud; se sitúa tanto más bajo cuanto mayor es la precisión de la medición. Sin embargo, como tiene una gran importancia técnica, ya que representa el límite de validez en casi todos los cálculos de resistencia de materiales y, al mismo tiempo, el límite a partir del cual aparecen los primeros daños permanentes, para el ensayo de muestras se define estrictamente mediante alguna convención adoptada, de modo que, por ejemplo, como límite 0.2% se designa aquella tensión en la que la dilatación permanente alcanza 0.2%.
Inmediatamente después de sobrepasar el límite de elasticidad, la deformación aumenta bruscamente y puede apreciarse a simple vista; con una tensión casi constante, la barra se alarga de forma continua. Esta tensión se denomina límite de fluencia. En las máquinas hidráulicas de ensayo de materiales puede observarse además, tras el inicio de la fluencia, una caída más o menos acusada de la tensión; como se indica en la fig. 8 mediante la curva discontinua; entonces el máximo se denomina límite superior de fluencia, y la tensión de fluencia constante que sigue se denomina límite inferior de fluencia.
Una vez alcanzada una determinada dilatación, casi totalmente inelástica, la tensión empieza a aumentar de nuevo y el material se endurece. En esta zona de carga se produce una reducción apreciable de la sección transversal de la barra debido a la contracción lateral (inelástica), y la evolución posterior del diagrama de tensiones y deformaciones depende ante todo de si, al calcular la tensión σ, la fuerza de tracción P que actúa sobre la barra se divide por la sección inicial F0 o por la sección instantánea F. Para fines técnicos interesa la tensión P|F0. Esta tensión alcanza un máximo, llamado resistencia del material, y cuando se supera ese máximo, la barra se estrecha fuertemente en un punto y se rompe. La “tensión real” P|F aumenta hasta la rotura.
Figura 8.
El comportamiento de otros metales se aparta en gran medida del aquí descrito. La fluencia a menudo no es manifiesta, y el endurecimiento comienza inmediatamente después de superarse el límite elástico. En los materiales frágiles (piedra, vidrio, hormigón) las deformaciones inelásticas son en general pequeñas y ya con una pequeña dilatación se produce la rotura. La dilatación total que sufre el material hasta la rotura es una medida de la ductilidad (opuesto: fragilidad) del material y para el acero se prescribe con precisión en las condiciones técnicas. Sin embargo, como justo antes de la rotura la deformación posterior se concentra en las zonas circundantes de sección reducida, se obtiene un valor distinto de la dilatación en la rotura, según si para la longitud de medición se toma una parte mayor o menor de la barra, por lo que para obtener resultados unívocos y mutuamente comparables debe adoptarse de antemano una convención determinada. La dilatación en la rotura se mide por regla general de tal manera que en una barra redonda de diámetro d, antes del ensayo, se marca la longitud de medición Ι = 10 d y, a partir de su alargamiento ΔΙ, se calcula la dilatación en la rotura εs_Ι = ΔΙ|Ι ._ Si es necesario ensayar barras de otra sección, la longitud de medición se determina según el diámetro de una barra cilíndrica circular que tenga la misma superficie de sección transversal.
Carga de larga duración
Para el desarrollo del ensayo de tracción es bastante indiferente si la carga hasta la rotura aumenta en el transcurso de 10 minutos o de varias horas. Sin embargo, si la carga actúa durante años o decenas de años, en determinadas condiciones se observa que, incluso por debajo del límite de fluencia, la deformación bajo tensión constante aumenta lentamente con el tiempo. En este proceso, la parte elástica, es decir, la parte que desaparece al descargar finalmente, no cambia de forma apreciable. Este aumento de la deformación inelástica que se produce a lo largo de un periodo prolongado se denomina fluencia. En los metales, excepto en el plomo, la fluencia solo es significativa a altas temperaturas; sin embargo, para el ingeniero civil desempeña un papel en el hormigón, que cede ligeramente bajo compresión, de modo que aumenta la tensión en el refuerzo comprimido, si este existe.
Carga variable
Para poder utilizar las características mecánicas del material, obtenidas en el ensayo de tracción, como criterio para la carga admisible de las estructuras, es condición que el material soporte en cada nueva carga la tensión que ya soportó una vez sin sufrir daños. Esta condición no se cumple si el material está expuesto a repeticiones frecuentes de carga y descarga, como ocurre, por ejemplo, en el caso de vigas sometidas a fuerzas inerciales de máquinas desequilibradas de forma incompleta. Con repeticiones suficientemente frecuentes de la carga, un elemento estructural puede llegar a romperse incluso bajo una tensión muy inferior a la resistencia del material determinada mediante un ensayo estático ordinario. La aparición de una rotura de este tipo se denomina rotura por fatiga. El número n de ciclos de carga que el material puede soportar depende de la magnitud de la tensión σ, de modo que es tanto mayor cuanto menor es la tensión. Un ejemplo típico de esta dependencia se muestra en la fig. 9, de la que se ve que para la resistencia del material existe un límite inferior, que también soporta incluso con un número arbitrariamente grande de ciclos de carga y que se denomina resistencia dinámica del material. Los diagramas de este tipo (fig. 9) se llaman curvas de Wӧhler.
Figura 9.
Seguridad de las estructuras
Dos cargas límite son importantes para las estructuras: la carga a la cual aparecen los primeros daños permanentes (límite de fluencia) y la carga a la cual la capacidad portante de la estructura se agota y, por tanto, se rompe (límite de rotura). Como antes del límite de fluencia al menos aproximadamente son válidas las hipótesis de la resistencia de materiales (pequeños desplazamientos, ley de Hooke), la seguridad frente a deformaciones permanentes puede evaluarse con fiabilidad en todos aquellos casos en los que se logran superar las dificultades matemáticas. Si la tensión es proporcional a la carga, la relación entre la tensión de fluencia y la tensión máxima que aparece en la estructura es igual a la relación entre la carga a la que se produce la fluencia y la carga real, y representa el coeficiente de seguridad frente a la fluencia. Sin embargo, en varios casos esta relación simple no existe: flexión cuando se descarta la tracción, compresión entre superficies convexas, sistemas cuya estructura es variable y, especialmente desfavorable, flexión con fuerza axial. En todos estos casos, un aumento relativamente pequeño de la carga puede llevar a un gran aumento de la tensión, y entonces no basta con aplicar el coeficiente de seguridad habitual a las tensiones, sino que debe aplicarse a la carga.
Los fenómenos que se producen después de superar el límite de fluencia hasta la rotura pueden, en la mayoría de los casos, seguirse solo cualitativamente. Si el material es dúctil, las partes en las que primero se alcanzó el límite de fluencia, y que continúan deformándose con una tensión constante o ligeramente creciente, participan poco en la recepción de la carga adicional, de modo que las demás partes de la estructura, menos solicitadas, participan más en la sustentación, en la medida en que ello sea posible dada su estructura. En esta tendencia a igualar los picos de tensión reside una cierta reserva de seguridad, que puede aprovecharse en el cálculo si la deformación permanente de determinadas partes, producida por una sola carga considerable, no es perjudicial (método de carga límite).
Si el material es frágil, el primer daño permanente se manifiesta en grietas, a causa de las cuales en el punto amenazado se produce una concentración de tensiones aún mayor, que inmediatamente provoca la rotura. La rotura por fatiga, incluso en materiales dúctiles, presenta las características de una fractura frágil.
Relaciones entre las tensiones para distintos planos de sección
Ecuaciones de transformación
Las nueve tensiones componentes de la fig. 1 están vinculadas por tres condiciones de equilibrio. Las seis magnitudes restantes σx, σy, σz τxy, τyz, τzx pueden, independientemente unas de otras, tomar valores arbitrarios, como se ve a partir del desarrollo de las ecuaciones diferenciales de la teoría de la elasticidad. Sin embargo, cuando estos valores están dados, el estado de tensiones en un punto cualquiera de un cuerpo sólido queda completamente determinado; es decir, cuando se conocen las tensiones para tres planos mutuamente perpendiculares, también puede determinarse de forma unívoca la tensión para un cuarto plano que pasa por el punto dado y cuya normal tiene una dirección arbitraria.
En la fig. 10 se muestra un tetraedro OABC cuyas tres caras son paralelas a los planos del sistema de coordenadas x, y, z y la cuarta representa un elemento de superficie orientado arbitrariamente ABC = dF. Para indicar su dirección y la dirección de la tensión que se transmite a través de él, se introduce un segundo sistema de coordenadas, cuyo eje ξ es perpendicular a dF.
Figura 10
La condición de equilibrio de las fuerzas que actúan sobre este tetraedro en la dirección del eje ξ da
Si se tiene en cuenta que
se obtiene
y, de forma análoga, a partir de las condiciones de equilibrio en la dirección del eje η:
Estas son las ecuaciones que sirven para el cálculo de tensiones al transformar coordenadas. Es de especial importancia considerar solo aquellos elementos de superficie dF para los que el eje ξ coincide con el eje z. Los formatos para este caso pueden obtenerse simplificando los anteriores o leerse directamente de la fig. 11:
Figura 11
La tensión normal toma valores extremos para las direcciones α = α0 , para las cuales dσξ/dα = 0. Por diferenciación se obtiene de la ecuación (16)
por lo que, cuando esta expresión se iguala a cero
La tensión τξη será al mismo tiempo la tensión cortante total en estos planos, si τyz = τzx = 0. Entonces, mediante la ecuación (17) quedan determinados dos direcciones mutuamente perpendiculares para las cuales: 1. la tensión cortante total es nula y, 2. la tensión normal tiene valores extremos (máximo y mínimo). Estas direcciones se denominan direcciones de las tensiones principales, y las tensiones correspondientes tensiones principales. Se обозначan con σ1 y σ2 y pueden calcularse directamente a partir de la fórmula
Círculo de Mohr
Las ecuaciones (16) pueden representarse gráficamente de manera clara. Para ello deben transformarse en la forma:
Estas ecuaciones representan en el sistema de coordenadas σ, τ la forma paramétrica de la ecuación de la circunferencia trazada en la fig. 12, cuyas coordenadas del centro son σ = 1/2 (σx + σy), τ = 0 y cuyo radio es
Este círculo se denomina círculo de Mohr. Si por el punto x se traza una recta paralela al corte x = const., por el cual se transmiten las tensiones σx, τxy, ella cortará el círculo en el punto p, que se denomina polo del círculo de Mohr. Toda recta pξ trazada por este polo corta el círculo en el punto ξ, que determina las tensiones σξ, τξη, transmitidas a través de la sección paralela a pξ.
En cuanto al signo de las tensiones cortantes al dibujar el círculo de Mohr, hay que tener en cuenta que se trazan hacia arriba si tienen la dirección mostrada en la fig. 12c. Por lo tanto, de las dos tensiones conjugadas τxy, τyx, una es siempre positiva y la otra negativa.
A los valores límite de σ1, σ2 de las tensiones normales corresponden los puntos 1 y 2 en el círculo, y las rectas _p_1 y _p_2 dan las direcciones de las tensiones principales.
La representación de las tensiones que se encuentran en el plano x-y mediante el círculo de Mahr no está ligada a ninguna suposición sobre las tensiones σz, τxz, τyz perpendiculares a dicho plano.
Figura 12
Por lo tanto, esto también es válido para el estado tensional tridimensional más general, si solo se comparan aquellos planos de sección que pasan todos por una misma recta, que aquí se ha elegido como eje z y ξ. Como, según las ecuaciones generales de transformación (15), la tensión normal σ no puede hacerse infinita en ningún plano de sección, debe tener para un plano un máximo finito σ1 y para otro un mínimo σ3, de los cuales ambos, por supuesto, también pueden ser negativos. Si se traza un plano a través de los vectores σ1 y σ3 y se dibuja el círculo de Mohr (fig. 13)
Imagen 13
para las tensiones que yacen en este plano (es decir, todas las direcciones perpendiculares a este plano), entonces σ1 y σ3 son las tensiones normales mayor y menor que pueden presentarse y, por consiguiente, deben ser mutuamente perpendiculares. Si las direcciones 1 y 3 se completan con la dirección 2, de modo que estas tres direcciones formen un sistema de coordenadas rectangulares, y si se trazan los círculos de Mahr para los planos 1 ~2 y 2 ~ 3, entonces σ2 para uno de estos círculos es la tensión normal mayor, y para el otro la menor, y por consiguiente en las secciones perpendiculares a las direcciones 1, 2 y 3 la tensión cortante es igual a cero. Las tres tensiones normales mutuamente perpendiculares σ1, σ2 y σ3, a las que no corresponden tensiones cortantes, se denominan tensiones principales.
Límite elástico y límite de rotura en un estado tridimensional de tensiones
El estado de tensiones se denomina unidimensional, bidimensional o tridimensional; dicho de otro modo: lineal, plano o espacial, según si una, dos o las tres tensiones principales son distintas de cero. En los elementos estructurales de uso más frecuente, es decir, en la barra sometida a tracción, compresión o flexión, el estado de tensiones, al menos en los puntos más solicitados, es unidimensional, y lo mismo ocurre en los ensayos de tracción, compresión o flexión, que en el ensayo de materiales se aplican casi exclusivamente para determinar las tensiones admisibles. En cambio, en las placas cargadas en su propio plano o perpendicularmente a él, así como en las láminas, el estado de tensiones es bidimensional, y en ciertos casos también aparecen estados de tensiones tridimensionales, de modo que es necesario extraer, a partir del límite de fluencia y de rotura determinados en el estado unidimensional de tensiones, conclusiones sobre el comportamiento del material en el caso de un estado de tensiones espacial.