साहित्य: पदार्थांची प्रतिकारक्षमता आणि लवचिकता सिद्धांत

मूलतत्त्वे

सामग्री प्रतिरोधाचे कार्य हे ठरवणे आहे की कठीण शरीर कोणत्या बाह्य बलांना तोंड देऊ शकते (उदा., इमारत, संरचनात्मक घटक किंवा जमीन). या प्रश्नाचे उत्तर देण्यासाठी दोन निकषांपासून सुरुवात केली जाते: एकीकडे, ताणांनी पदार्थाच्या प्रकारावर अवलंबून असलेल्या काही मर्यादा ओलांडू नयेत, आणि दुसरीकडे बाह्य व अंतर्गत बलांमधील समतोल स्थिर असला पाहिजे. यानुसार, सामग्री प्रतिरोधातील सर्व समस्या “ताण समस्या” आणि “स्थैर्य समस्या” अशा दोन गटांत विभागता येतात.

दांड्यांमध्ये आणि तुळयांमध्ये तसेच त्यांच्यापासून बनविलेल्या आधाररचनांमध्ये (जाळ्या, चौकटी) ताणांचे निर्धारण दोन टप्प्यांत केले जाते, म्हणजे प्रथम दिलेल्या बाह्य बलांवरून आडव्या छेदातून वहन होणाऱ्या अंतर्गत बलांचे परिणामी मूल्य काढले जाते, आणि नंतर या “छेद बलां” पासून ताण ठरविले जातात. प्रक्रियेचा पहिला भाग ही एक स्वतंत्र, व्यापक शिस्त आहे—अभियांत्रिकी संरचनांचे स्थैतिकशास्त्र—जिच्या स्वतःच्या विकसित पद्धती आहेत आणि जी सामान्यतः पदार्थ प्रतिकारशक्तीपासून वेगळी मानली जाते; पदार्थ प्रतिकारशक्तीचे कार्य दिलेल्या छेद बलांपासून ताण निश्चित करण्यापुरते मर्यादित असते.

सामग्रीच्या मजबुतीची मूलभूत संकल्पना

ताणाच्या व्याख्येपर्यंत खालील मूलभूत विचारांद्वारे पोहोचता येते. एखाद्या शरीरावर बाह्य बलांची समतोल प्रणाली कार्य करत आहे असे धरू. कल्पना करू की आपण शरीराला कोणत्याही छेदाने दोन भागांत विभागले आहे, आणि त्यांपैकी एक भाग त्यावर कार्य करणाऱ्या बलांसह काढून टाकला आहे; तेव्हा बलांचा समतोल आणि विकृतींचे वितरण अपरिवर्तित राहण्यासाठी, त्या भागाचा दुसऱ्या भागावर होणारा प्रभाव छेदाच्या पृष्ठभागातून प्रसारित होणाऱ्या अतिरिक्त बलांनी बदलावा लागतो. ही “अंतर्गत” बलं छेदाच्या पृष्ठभागावर सलगपणे वितरित असतात, त्यामुळे पृष्ठभागाच्या प्रत्येक घटक dF ला dβ बल अनुरूप असतो. जर dβ/dF हे गुणोत्तर तयार करून dF -> 0 हा सीमांत संक्रमण केला, तर हे गुणोत्तर ज्या सीमांत मूल्याकडे झुकते त्याला ताण म्हणतात. पृष्ठभागाच्या विशिष्ट घटकातील ताणही dβ प्रमाणेच असतो, आणि तो dF ला लंब व स्पर्शरेषीय घटकांमध्ये विभागता येतो: सामान्य ताण σ, कातरण ताण τ.

जर एकाच बिंदूमधून वेगवेगळ्या दिशांनी छेद घेतले, तर त्यांना वेगवेगळे ताण अनुरूप असतील. विशेषतः, जर शरीरातून आकृ. 1 मध्ये दर्शविलेला प्राथमिक घनक वेगळा केला, तर त्याच्या सहा पृष्ठभागांपैकी प्रत्येकावर ताण सदिश कार्य करेल, जो x, y, z या समन्वय अक्षांच्या दिशेने तीन घटकांत विभागता येतो. परस्परविरुद्ध पृष्ठभागांवर कार्य करणारे ताण, अर्थातच, केवळ सूक्ष्म फरकानेच वेगळे असतात, म्हणून 3 * 3 = 9 अशा घटक ताणांमध्ये फरक करणे आवश्यक आहे, जे पुढीलप्रमाणे दर्शविले जातात:

सामान्य ताणांना σ त्या अक्षाचा निर्देशांक दिला जातो ज्याच्या दिशेत ते असतात, आणि ते ताण निर्माण करत असल्यास धन, दाब निर्माण करत असल्यास ऋण मानले जातात. कर्तन ताणांना τ दोन निर्देशांक मिळतात; त्यांपैकी पहिला संबंधित सामान्य ताणाच्या निर्देशांकाशी समान असतो, आणि दुसरा त्या अक्षाशी संबंधित असतो ज्याच्या दिशेने कर्तन ताण कार्य करतो. जर संबंधित सामान्य ताणाची धन दिशा धन (ऋण) समन्वय अक्षाच्या दिशेत असेल, तर कर्तन ताणही तो धन (ऋण) समन्वय अक्षाच्या दिशेत कार्य करत असल्यास धन मानला जातो.

चित्र 1.

 कर्तन ताणांचे संयुग्मत्व

जर प्राथमिक घन, चित्र 1, यासाठी x अक्षाभोवती सर्व बलांचा क्षण शून्य अशी अट लावली, तर τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz मिळते. येथून, आणि y व z अक्षांसाठीच्या दोन संबंधित समीकरणांमधून, समान निर्देशांक असलेले कर्तन ताण परस्पर समान असतात, असे मिळते: τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz  (1)

घटकात्मक विकृती

वरीलप्रमाणे परिभाषित ताणांना भौतिक अर्थ आहे, हे त्यांनी बाह्य बलांच्या प्रभावाखाली येणाऱ्या प्रत्येक शरीराला भोगावी लागणाऱ्या व्याख्येशी असलेल्या संबंधातून स्पष्ट होते. आकृ. 2 एक प्राथमिक घनक दर्शवते, जो विकृतीपूर्वी आयताकृती होता आणि ज्याच्या कडांची लांबी dx, dy, dz होती. विकृतीनंतर कडांची लांबी dx + Δdx, dy, + Δdy, dz + Δdz अशी दर्शवू शकतो; गुणोत्तरे εx = Δdx|dx, εy =Δdy|dy, εz = Δdz|dz यांना दीर्घीकरणे म्हणतात. ही परिमाणविरहित राशी आहेत आणि बांधकामात विचारात येणाऱ्या सर्व पदार्थांसाठी ती 1 पेक्षा लहान असतात. कडांच्या लांबीतील वाढीबरोबरच, प्राथमिक घनक dx * dy * dz याच्या बाजूंमधील सुरुवातीचे समकोनही बदलू शकतात.

चित्र 2. अवयवी विकृती

विकृतीनंतर, OC काठावर एकत्र येणाऱ्या समतलांमधील कोन इतका आहे असे समजा, आणि त्याचप्रमाणे AO काठावरील समकोनातील घट γyz इतका, तसेच OB काठावरील घट γzx इतका आहे असे समजा. कोनांतील हे तीन बदल γxy, γyz, γzx यांना सरकणे म्हणतात, आणि तेही नेहमी 1 च्या तुलनेत लहान असतात. सहा घटक ε आणि γ यांच्या साहाय्याने घटक घनाभाची विकृती, म्हणजेच “लहान विकृती”, पूर्णपणे निश्चित होते. घनफळ घटक d_V = dx * dy * dz मधील बदल ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, असा होतो; येथे विकृतींची गुणाकारे उच्च क्रमाच्या लहान राशी मानून दुर्लक्षित केल्यास घन विकृती ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2) मिळते

विस्थापन

घन पदार्थाची विकृती पूर्णपणे अशा प्रकारेही वर्णन करता येते की त्याच्या प्रत्येक बिंदूला त्या बिंदूने अनुभवल्या गेलेल्या विस्थापनाचे वर्णन दिले जाते. निरीक्षणातून कठीण वस्तूच्या हालचालीशी संबंधित मर्यादित आकाराची विस्थापने वगळली, आणि आवश्यक असल्यास गणनेत हलणारी निर्देशांक प्रणाली स्वीकारली, तर घटकात्मक विस्थापने μ, ν, ω ही नेहमीच लहान असतात आणि निर्देशांकांच्या दृष्टीने त्यांचे अवकलही लहान असतात 1. या गृहितकाखाली आकृ. 3 नुसार रेषीय घटक OA = dx ची लांबी विकृतीनंतर

म्हणून  (3)

त्याचप्रमाणे, आकृ. 3 मधून दिसते की घसरण γxy γ1 + γ2: आणि तसेच

 (4)

चित्र 3 सरकणे

(5)  (6)

या संबंधांना सुसंगतता अटी असे म्हणतात आणि त्यातून असे सूचित होते की विकृत घटक मोज़ेकसारखे एकमेकांत बसवता येतात, ज्यामुळे अवकाश सतत भरलेला राहतो; घटकांच्या विकृती मनमानी असतील तर हे साध्य होऊ शकत नाही. सुसंगतता अटी या अवकल समीकरणे आहेत, म्हणून, साहजिकच, प्रत्येक स्वतंत्र घनाकृतीसाठी सर्व सहा घटक-विकृती परस्पर स्वतंत्र असतात; परंतु कोणत्याही मर्यादित प्रसारित क्षेत्रातील त्यांची मांडणी (5) आणि (6) या अटींनी बांधलेली असते.

ही अटी कारण त्या समीकरणे (3) आणि (4) यांचे अवकलन करून मिळतात, म्हणून त्यांची व्युत्पत्ती करताना मूळ समीकरणांमध्ये असलेल्या काही संबंधांचा भाग गमावला जातो. म्हणून या दोन समीकरण-संचांपैकी फक्त एकच पूर्ण होणे पुरेसे नाही; विकृतीची सुसंगतता सुनिश्चित करायची असल्यास दोन्हीही समीकरण-संच पूर्ण करावे लागतात.

लवचिकता प्रणालीच्या अवकल समीकरणे

लवचिक शरीरांतील ताण आणि विकृतींची गणना करण्यासाठी खालील समीकरणे वापरली जातात:

आयतन घटकाच्या समतोलाच्या अटी. तीन अक्षांभोवतीचे आघूर्ण शून्य असण्याच्या अटींचा वापर आधीच समीकरण (1) व्युत्पन्न करताना केला गेला आहे. बलसमतोलाच्या अटी आकृ. 4 नुसार मिळतात

आकृती 4

(7a-c)

जर X, Y, Z यांनी एकक घनफळामागील आयतन बलांचे घटक (उदा., वजन, केंद्रापसारी बल) दर्शविले असतील. ताण आणि विकृती यांमधील संबंध. याचा अर्थ घटकात्मक ताण आणि घटकात्मक विकृती यांमधील संबंध. लवचिकता सिद्धांतात नियमाने केवळ रेखीय संबंध विचारात घेतला जातो, जो Hooke च्या नियमाने व्यक्त केला जातो:

(8a-c)

(8d-f)

जर समीकरणे (8a-c) ताणांच्या दृष्टीने सोडविली, तर मिळते

(8 a)

kso तसेच दोन संबंधित समीकरणे. Hooke-चा नियम, जो समीकरण (8) द्वारे व्यक्त केला आहे, हा कठोरपणे पाळला जाणारा नैसर्गिक नियम नसून प्रत्यक्ष वर्तनाचे एक आदर्शीकरण आहे; पदार्थ आणि ताणाच्या प्रमाणानुसार प्रत्यक्ष वर्तन त्यापासून कमी-अधिक प्रमाणात भिन्न असते. ताण आणि विकृती यांच्यात गुंतागुंतीचे, रेषीय नसलेले संबंध असलेल्या पदार्थ प्रतिरोधाच्या समस्येची गणिती प्रक्रिया खूपच मोठ्या अडचणी निर्माण करते आणि प्रत्यक्षात ती फक्त सर्वात सोप्या प्रसंगीच राबवता येते, म्हणून Hooke-च्या नियमापासून लक्षणीय भिन्न वर्तन असलेल्या पदार्थांसाठीही (काँक्रीट!) त्यावर आधारलेली गणिते प्रथम, आणि बहुतेक वेळा एकमेव, साधारण उपाय म्हणून वापरावी लागतात; आणि तो उपाय, खरे तर, नियमाने खूप उपयोगी असतो आणि केवळ गुणात्मकपेक्षा अधिक असा दृष्टिकोन देतो. G = E|2 (1+μ).

ती अपरिहार्यपणे ताण आणि विकृती (8) यांच्यातील संबंधातून, ताणांसाठीच्या रूपांतरण समीकरणांमधून (16) आणि घटक विकृतींसाठीच्या संबंधित समीकरण-प्रणालीतून उद्भवते. E आणि G यांचे परिमाण ताणाचे असून सर्व बांधकाम साहित्यांमध्ये संभाव्य σ आणि τ ताणांच्या तुलनेत ती मोठी असतात. या तथ्यावरच लोचशीलता सिद्धांतात सर्वत्र स्वीकारलेली अशी गृहीतका आधारलेली आहे की विकृती लहान असतात. आडव्या प्रसारणाचा गुणांक (पॉयसन संख्या) μ हा विमारहित असून तो नेहमी 0 आणि 1/2 यांच्या दरम्यान असतो.

घटकात्मक विकृती आणि विस्थापन यांमधील संबंध. हे संबंध समीकरणे (3), (4) यांनी दिले आहेत. हे पूर्णपणे भूमितीय स्वरूपाचे आहेत. ही तीन प्रणाली 3+6+6=15 समीकरणे 15 अज्ञातांसाठी देतात, म्हणजेच 6 घटकात्मक ताण, 6 घटकात्मक विकृती आणि 3 घटकात्मक विस्थापन. त्यामुळे ही अज्ञाते निश्चित करण्यासाठी ती पुरेशी आहेत. एवढ्या विस्तृत अवकल समीकरणांच्या प्रणालीचे गणिती निराकरण, अर्थातच, फक्त विशेष परिस्थितींमध्येच शक्य आहे. जर समीकरणात (8) घटकात्मक विकृतींच्या जागी समीकरणे (3) आणि (4) नुसार घटकात्मक विस्थापने बसवली, आणि नंतर सामान्य ताण σ व कर्तन ताण τ, समीकरणे (8 d - f) नुसार, समतोल अटींमध्ये, समी. (7), समाविष्ट केले, तर जे अवकल समीकरणे मिळतात त्यांना प्रत्यास्थता सिद्धांताची मूलभूत समीकरणे म्हणतात.

(9)

ज्यात  याने Laplace संचालक दर्शविला आहे. (2) च्या दृष्टीने या तीन अवकल समीकरणे तीन घटकात्मक विस्थापनांसह μ, ν, ω आहेत; यांपासून पुढे (3), (4) आणि (8) यांच्या आधारे अवकलन करून सर्व घटकात्मक ताण आणि विकृती मिळविता येतात. समीकरणे (9) विशेष परिस्थितींचा अभ्यास करण्यासाठी अनेकदा उपयुक्त प्रारंभबिंदू ठरतात.

विकृती कार्य

व्याख्या

नोसकावर भार दिल्यावर, बाह्य बलांचे क्रिया-बिंदू लवचिक विस्थापन अनुभवतात आणि बल त्याच वेळी काही काम करतात. अशा प्रकारे दिलेली ऊर्जा विविध रूपांत बदलू शकते. ‚जर भार अचानक लावला गेला, त्यामुळे विकृतीची प्रक्रिया लक्षणीय वेगाने होते, तर या ऊर्जेचा एक भाग गतिज ऊर्जेत रूपांतरित होतो, जी कालांतराने विखुरली जाते; हे एकतर ती जमिनीवर लवचिक तरंगाच्या रूपात प्रसारित होऊन अनंतात नाहीशी होते म्हणून, किंवा अंतर्गत घर्षणामुळे उष्णतेत रूपांतरित होते. जर भार इतक्या हळूवारपणे लावले गेले की त्यामुळे गतिज ऊर्जेत जाणवण्याजोगी वाढ होत नाही, म्हणजेच शून्यापासून हळूहळू वाढणारे भार सतत अंतर्गत बलांशी समतोलात असतात, तर ऊर्जा स्पष्टपणे फक्त शरीराच्या विकृतीसाठीच खर्च होते आणि तेव्हा तिला विकृतीचे काम म्हणतात.

विकृतीच्या कार्याचे गणन आम्ही प्रथम एकाच दिशेने ताणावर भारित एका लहान घटकावर दर्शवू (आकृ. 5).

समजा विद्यमान ताण σ आणि संबंधित विकृती ε मध्ये dσ आणि dε इतकी वाढ होते. मग dε * dl या मार्गावर σdF हे बल काम करेल; σdF * dεdl = σdεdV, जर dV हे लहान घटकाचे घनफळ दर्शवत असेल. जर ताण शून्यापासून त्याच्या अंतिम मूल्यापर्यंत वाढला आणि त्यानुसार विकृती 0 पासून ε पर्यंत गेली, तर एकक घनफळामागे एकूण केलेले काम असे असेल:

त्याचप्रमाणे, कर्तन ताण τ ने भारित घटकासाठी (आकृ. 6) प्रति एकक आयतनातील विकृती कार्य (विशिष्ट विकृती कार्य, लवचिक ऊर्जा):

ज्यात फक्त चार बलांपैकी एक τ * dF कार्य करतो.

सामान्य परिस्थितीत, जेव्हा घटकांवर ताणांच्या सहा ही घटकांचा परिणाम होतो, तेव्हा प्रत्येक घटक ताणाच्या कार्यांची बेरीज करून विशिष्ट विकृती कार्य मिळते:

(10)

या प्रत्येक समाकलनाच्या वरच्या मर्यादेच्या दृष्टीने अवकलन केल्यास, सर्वसाधारण प्रकरणात लागू होणारे संबंध प्राप्त होतात:

(11)

आणि उर्वरित घटकात्मक विकृतींसाठीही तसेच. जर शरीर लवचिक असेल, तर प्रत्येक निश्चित ताणस्थितीस नेहमीच तीच विकृतीस्थिती अनुरूप असते, मग ती भार देताना प्राप्त झाली असो किंवा भार काढताना. तेव्हा समाकलनांच्या खाली एकार्थी फलने येतात आणि भार देताना आणि नंतर पूर्णपणे भारमुक्त करताना खर्च झालेली एकूण ऊर्जा a = 0 असते, कारण या प्रकरणात समाकलनांच्या वरच्या मर्यादा शून्य होतात. म्हणून, भार देताना शरीराला दिलेली एकूण ऊर्जा भारमुक्त करताना परत मिळते.

चित्र 6

चित्र 7

अपूर्णतः लवचिक शरीरासाठी भारण आणि भारमुक्तीच्या संपूर्ण चक्रात ताण आणि विकृती यांतील संबंधाचा आकार अंदाजे आकृ. 7 मधील O A B. रेषांनी दर्शविल्यासारखा असतो. भारणाच्या वेळी दिलेली ऊर्जा  _ OAA,_ या क्षेत्रफळाइतकी असते, आणि भारमुक्तीच्या वेळी परत मिळणारी ऊर्जा ABA, या क्षेत्रफळाइतकी असते, त्यामुळे छायांकित क्षेत्रफळाशी संबंधित कार्य नष्ट होते (उष्णतेत रूपांतरित होते). जर दोलन प्रक्रियेत ताण आवर्ताने धन सीमान्त मूल्य  आणि ऋण सीमान्त मूल्य  यांच्यामध्ये बदलत असेल, तर अेलास्टिक नसलेली विकृती आकृ. 7 मध्ये तुटक रेषांनी दर्शवल्याप्रमाणेच प्रवाहित होते, आणि प्रत्येक दोलनकालात प्रति एकक आयतन ऊर्जा DABCD उष्णतेत रूपांतरित होते. अशा विकृतीतील वर्तनाला, ज्यात विकृती ताणामागे राहते, लवचिक हिस्टेरिसिस म्हणतात, आणि DABCD ही वक्र हिस्टेरिसिस लूप होय.

विकृती-कार्य आणि हुकचा नियम

जर समीकरणातील (10) समाकलनांमध्ये Hooke-चा नियम समाविष्ट केला, तर समाकलन करणे शक्य होते, आणि विशिष्ट विकृती कार्यासाठी पुढील रूपे मिळतात:

(12a)

(12b)

(12c)

या रूपांपैकी दुसरे जर समीकरण (11) मध्ये बसविले, तर पुन्हा Hooke-चेच नियम, समीकरणे (8), ताणांच्या रूपात सोडविलेल्या स्वरूपात मिळतात. विकृती-कार्य हे घटकात्मक विकृतींवर अवलंबून असते, हे विधान, जसे की समीकरण (12b) मध्ये दाखविले आहे, त्यामुळे Hooke-च्या नियमाच्या समतुल्य आहे. जेव्हा समीकरण (12c) ताणांच्या दृष्टीने अवकलित केले जाते, तेव्हा मिळते

(13)

ही सूत्रे, 11 मधील सूत्रांपेक्षा भिन्न, फक्त हूकच्या नियमानुसार वागणाऱ्या शरीरांसाठी लागू आहेत आणि ताण व विकृती यांमधील संबंध वेगळे असतील तेव्हा लागू होत नाहीत. समजण्यासारखे आहे की समीकरणे (13) यांच्या उजव्या बाजूस फक्त ताणांमुळे निर्माण झालेल्या अवयवी विकृती असतात, आणि तापमान बदल, क्रीप, सूज, पुनर्क्रिस्टलीकरण इत्यादींमुळे उद्भवू शकणाऱ्या इतर सर्व विकृती वगळल्या जातात.

इलॅस्टिसिटीच्या सिद्धांतातील समाकलनीय संकल्पना

आभासी हालचाली. संभाव्य ऊर्जेचा किमानत्व सिद्धांत

जसे हुकचा नियम, समीकरणे (8) एका समीकरणाने (12b) बदलता येतात, तसेच समतोलाच्या अटींऐवजी आभासी विस्थापनांचे तत्त्व, मेकॅनिक्सचा सर्वसाधारणपणे लागू होणारा मूलभूत नियम म्हणून, मांडता येतो. हा नियम असे सांगतो की समतोल अवस्था त्या असतात ज्यामध्ये विकृतीच्या अवस्थेत अल्प बदल झाल्यास सर्व बलांनी केलेले एकूण कार्य शून्य असते. जर लहान लवचिक विस्थापनांमधील बदलांना δμ δν, δω असे दर्शविले, तर समीकरण (7) ने परिभाषित केलेले आयतनबल आभासी कार्य करतात

आणि पृष्ठभागीय बल px, py, pz जे शरीराच्या बाह्य पृष्ठभागाच्या dF घटकावर क्रिया करतात, कार्य 

ज्यात त्रिक समाकल संपूर्ण आयतनावर, तर द्विक समाकल संपूर्ण बाह्य पृष्ठभागावर लागू होतो. अंतर्गत बलांनी केलेले कार्य मोजण्यासाठी समीकरण (12b) वापरले जाते, त्यामुळे प्रति एकक आयतन कार्य मिळते

आभासी विस्थापनाचे तत्त्व यावरून देते

(14)

जर X, Y, Z px, py., pz हे गुरुत्वाकर्षणाच्या बलाचे घटक (स्वतःचे वजन आणि बाह्य भार) म्हणून समजले, तर उजव्या बाजूवरील समाकलने या भारांनी गमावलेली संभाव्य ऊर्जा दर्शवितात, तर डावीकडील बाजू शरीराच्या संभाव्य (लवचिक) ऊर्जेतील वाढ दर्शविते, त्यामुळे हा सिद्धांत असे सांगतो की समतोलाच्या स्थितीत आधार संरचना आणि त्यावर असलेल्या भारांची एकूण संभाव्य ऊर्जा अत्यंत मूल्य धारण करते. जर हे अत्यंत मूल्य किमान असेल, तर समतोल स्थिर असतो.

समीकरण (14) द्वारा व्यक्त केलेले संभाव्य ऊर्जेचे किमानत्व तत्त्व, विकृती कार्यासाठीचा अभिव्यक्ती (12b), तसेच विकृती सुसंगततेच्या अटी (5), (6) ही एक अशी समीकरणांची प्रणाली आहे जी लवचिकता सिद्धांताच्या उभारणीसाठी पुरेशी आहे आणि मूलत: समीकरणांच्या प्रणालीस समतुल्य आहे. ही प्रणाली विशेषतः त्या प्रसंगी उपयुक्त ठरते जेव्हा अवकल समीकरणे (9) पूर्ण करणे गणनात्मक अडचणीचे ठरते आणि म्हणून अंदाजे उत्तर शोधावे लागते; उदा., विस्थापनांसाठी आधीच योग्य आकार गृहित धरला जातो, ज्यात काही मुक्त स्थिरांक असतात, आणि नंतर ते समीकरण (14) पूर्ण व्हावे या अटीवरून निश्चित केले जातात. अशा प्रकारे समस्येचे काटेकोर उत्तर मिळत नाही, तर निवडलेल्या उत्तराच्या रूपाने साध्य होऊ शकणारा सर्वोत्तम सन्निकटच मिळतो. हे सन्निकटन पुरेसे आहे की नाही, हे प्रामुख्याने स्वीकारलेल्या उत्तराच्या रूपावर अवलंबून असते, आणि त्यामुळे या पद्धतीचा यशस्वी वापर करण्यासाठी कौशल्य आणि अनुभव आवश्यक असतो.

Castigliano चे तत्त्व

किमान संभाव्य ऊर्जेच्या तत्त्वात विकृतींची सुसंगतता पूर्ण करणाऱ्या सर्व विकृती अवस्थांची तुलना केली जाते आणि त्यांपैकी त्या अवस्थांची निवड केली जाते, ज्यांसाठी संबंधित ताण समतोलाच्या अटी पूर्ण करतात; तर कॅस्टिग्लिआनोच्या तत्त्वात समतोलाच्या अटी पूर्ण करणाऱ्या सर्व ताण अवस्थांची तुलना केली जाते आणि त्यांपैकी त्या अवस्थांची निवड केली जाते, ज्यांसाठी संबंधित विकृती विकृतींच्या सुसंगततेच्या अटी पूर्ण करतात. हे तत्त्व असे आहे: सर्व शक्य समतोल अवस्थांमधून प्रत्यक्षात तीच अवस्था उद्भवते, ज्यास किमान विकृती कार्य जुळते. कॅस्टिग्लिआनोचे तत्त्व, विकृती कार्यासाठीच्या समीकरणास (12c) आणि समतोलाच्या अटींसह, समीकरणांची अशी प्रणाली तयार करते, जी पदार्थांच्या प्रतिरोधाच्या निर्मितीसाठी पुरेशी असते. हे तत्त्व हुकच्या नियमाचा समावेश करत असल्यामुळे, त्याचा वापर या गृहितकावर अवलंबून असतो की विकृतींचे पूर्ण वर्णन या नियमाने करता येते. यासाठी केवळ पदार्थाचे रेषीय लवचिक वर्तनच नव्हे, तर तापमानातील बदलही वगळले जातात.

लवचिक मर्यादांपलीकडील पदार्थाचे वर्तन

स्थैतिक भाराखाली दिसून येणाऱ्या घटना

ताणांच्या प्रभावाखाली पदार्थाची विकृती ही अतिशय गुंतागुंतीची घटना आहे, त्यामुळे ती समजण्यासाठी विविध प्रकारे सुलभ करावी लागते. अशा सुलभीकरणांपैकी एक म्हणजे भार हळूहळू लावले जातात असे गृहीत धरणे, जसे की, उदाहरणार्थ, ताण आणि दाब चाचण्यांमध्ये नमुन्यांवर केले जाते.

जर ताणाखालील पोलादी दांडा हळूहळू वाढणाऱ्या भाराला सामोरा गेला आणि त्याची विस्तारता ε मोजली, तर चित्रात दाखविलेला आलेख मिळतो. 8. सुरुवातीला विस्तार फारच लहान असतो आणि ताणाच्या प्रमाणात असतो, जसे हुकच्या नियमाने अपेक्षित आहे. ठरावीक ताणानंतर हे प्रमाणबद्ध नाते संपते आणि विस्तार अधिक वेगाने वाढतो. या प्रमाणबद्धतेच्या सीमारेषेचे नेमके स्थान ठरवणे कठीण असते. मोजमाप जितके अधिक अचूक, तितकी ती खालच्या मूल्यावर आढळते. बहुतांश पदार्थांसाठी ती σ = 0 येथे असते, आणि तेव्हा हुकचा नियम हा केवळ लवचिक वर्तनाचा पहिला अंदाज ठरतो, म्हणजेच निर्देशांकाच्या उगमाच्या आसपास ε = ε (σ) या फलनाच्या टेलर श्रेणीतील पहिला पद.

दांडा सैल केला तर असे दिसते की, ताण फार मोठा नसल्यास, Hooke च्या नियमानुसार विकृतीही नाहीशी होते. पण हेही बदलते, जर समप्रमाण मर्यादेजवळ असलेला ठरावीक ताण—म्हणजेच लवचिकतेची मर्यादा—ओलांडली गेली तर; तेव्हा एकूण विकृती लवचिक (परतणारी) आणि अलवचिक (कायमची) अशा भागांत विभागली जाते. लवचिकतेची मर्यादाही अचूक ठरवता येत नाही; मापनाची अचूकता जितकी जास्त तितकी ती तितकीच खाली आढळते. तथापि, तिचे मोठे तांत्रिक महत्त्व असल्याने, कारण ती पदार्थांच्या प्रतिकारातील जवळजवळ सर्व गणनांची महत्त्वमर्यादा दर्शवते आणि त्याच वेळी पहिली कायमची हानी ज्या मर्यादेवर निर्माण होते तीही तीच असते, म्हणून नमुन्यांच्या परीक्षणासाठी ती एखाद्या स्वीकारलेल्या परंपरेने काटेकोरपणे परिभाषित केली जाते; उदा., 0.2% मर्यादा म्हणून तो ताण दर्शवतात ज्यावर कायमची प्रसरणता 0.2% पर्यंत पोहोचते.

लवचिकतेची मर्यादा ओलांडताच विकृती अचानक वाढते आणि ती उघड्या डोळ्यांनी दिसू शकते; जवळजवळ स्थिर ताणाखाली दांडा सतत लांबत राहतो. या ताणाला प्रवाह मर्यादा म्हणतात. हायड्रॉलिक पदार्थ-चाचणी यंत्रांमध्ये प्रवाह सुरू झाल्यानंतर ताणात कमी-अधिक प्रमाणात स्पष्ट अशी घसरणही दिसू शकते; आकृ. 8 मध्ये दाखविलेल्या तुटक वक्राप्रमाणे; तेव्हा कमाल मूल्याला वरची प्रवाह मर्यादा म्हणतात, आणि त्यानंतर येणाऱ्या स्थिर प्रवाह ताणाला खालची प्रवाह मर्यादा म्हणतात.

एक ठराविक विस्तार प्राप्त झाल्यावर, जो जवळजवळ पूर्णपणे अनास्थित असतो, ताण पुन्हा वाढू लागतो आणि पदार्थ कडक होतो. या भार-अवस्थेत दांड्याच्या छेदात (अनास्थित) बाजूच्या आकुंचनामुळे लक्षणीय घट होते, आणि ताण व विकृती आकृतीचा पुढील प्रवाह मुख्यतः यावर अवलंबून असतो की ताण σ मोजताना दांड्यावर कार्य करणारे ताणबल P हे सुरुवातीच्या छेदाने F0 विभाजित केले जाते की तत्काळ छेदाने F. तांत्रिक दृष्टीने महत्त्वाचा ताण P|F0 आहे. या ताणाला एक कमाल मूल्य प्राप्त होते, ज्याला पदार्थाची ताकद म्हणतात, आणि ते कमाल मूल्य ओलांडल्यावर दांडा एका ठिकाणी तीव्रपणे निमुळता होऊन तुटतो. “वास्तविक ताण” P|F हा अपयशापर्यंत वाढत राहतो.

आकृती 8.

इतर धातूंचे वर्तन बर्‍याच प्रमाणात येथे वर्णन केलेल्यापासून वेगळे असते. प्रवाह अनेकदा स्पष्ट दिसत नाही, आणि लवचिक मर्यादा ओलांडल्यानंतर लगेचच कडक होणे सुरू होते. भंगुर पदार्थांमध्ये (दगड, काच, काँक्रीट) अलवचिक विकृती फारच लहान असतात आणि थोड्याशा वाढीवरही तुटणे घडते. भंगापर्यंत पदार्थाला होणारी एकूण वाढ ही पदार्थाच्या ताणक्षमतेची (उलट: भंगुरतेची) माप आहे आणि ती स्टीलसाठी तांत्रिक अटींमध्ये अचूकपणे निर्दिष्ट केलेली असते. मात्र, भंगाच्या अगोदर पुढील विकृती जवळच्या संकुचित छेदाच्या ठिकाणी एकवटते, त्यामुळे भंगावेळी वाढीचे वेगवेगळे मूल्य मिळते, मोजणी लांबीसाठी दांड्याचा मोठा किंवा लहान भाग घेतला जातो त्यानुसार; म्हणून एकार्थी आणि परस्पर तुलनात्मक निकाल मिळवण्यासाठी आधीच विशिष्ट संमिती स्वीकारावी लागते. भंगावेळीची वाढ सामान्यतः अशी मोजली जाते: गोल दांडीवर, व्यास d असलेल्या दांड्यावर चाचणीपूर्वी मोजणी लांबी Ι = 10 d अशी चिन्हांकित केली जाते आणि तिच्या लांबणीकरणावरून ΔΙ भंगावेळीची वाढ εs_Ι = ΔΙ|Ι अशी गणना केली जाते. जर वेगळ्या छेदाच्या दांड्यांची चाचणी करायची असेल, तर मोजणी लांबी समान आडव्या छेदफळ असलेल्या वर्तुळाकार दंडाच्या व्यासानुसार निश्चित केली जाते.

दीर्घकालीन भार

ताण-चाचणीच्या प्रक्रियेत, अपयशापर्यंत भार 10 m मिनिटांत की काही तासांत वाढवला जातो याला फारसा फरक पडत नाही. मात्र, जर भार वर्षानुवर्षे किंवा दशकानुदशके लागू राहिला, तर काही विशिष्ट परिस्थितींमध्ये असे दिसून येते की प्रवाही मर्यादेच्या खालीसुद्धा स्थिर ताणाखाली विकृती कालांतराने हळूहळू वाढते. यामध्ये लवचिक भाग, म्हणजे अंतिम अनलोडिंगनंतर नाहीसा होणारा भाग, लक्षणीयरीत्या बदलत नाही. दीर्घ काळात होणाऱ्या या अनलवचिक विकृतीच्या वाढीस क्रिप म्हणतात. धातूंमध्ये, शिशा वगळता, क्रिप फक्त उच्च तापमानांवर महत्त्वाची ठरते; तथापि, बांधकाम अभियंत्यासाठी ती काँक्रीटमध्ये महत्त्वाची असते, कारण दाबाखाली काँक्रीट हळूहळू सैल होते, त्यामुळे दाबित आर्मेचरमध्ये, असल्यास, ताण वाढतो.

बदलता भार

ताण चाचणीत मिळालेली सामग्रीची यांत्रिक वैशिष्ट्ये संरचनांच्या अनुमत भाराचे मापदंड म्हणून वापरण्यासाठी, अट अशी आहे की प्रत्येक पुनःभारणीत सामग्रीने एकदा नुकसान न होता सहन केलेला ताण पुन्हा सहन केला पाहिजे. ही अट पूर्ण होत नाही, जर सामग्रीवर भार आणि भारमुक्ती वारंवार येत असेल, जसे की अपूर्ण संतुलित यंत्रांच्या जडत्वीय बलांनी भारित तुळयांच्या बाबतीत असते. भार इतक्या वारंवार पुनरावृत्त केल्याने, साध्या स्थिर चाचणीत निश्चित केलेल्या सामग्रीच्या शक्तीपेक्षा खूपच कमी ताणावरही संरचनात्मक भाग तुटू शकतो. अशा प्रकारच्या अपयशाच्या घटनेस थकवा-अपयश म्हणतात. सामग्री सहन करू शकणाऱ्या भारचक्रांची संख्या n ही ताणाच्या σ परिमाणावर अवलंबून असते, त्यामुळे ताण जितका कमी तितकी ती संख्या जास्त. या अवलंबित्वाचे एक वैशिष्ट्यपूर्ण उदाहरण आकृ. 9 मध्ये दाखवले आहे, ज्यावरून दिसते की सामग्रीच्या शक्तीसाठी एक खालची मर्यादा असते, जी कितीही मोठ्या भारचक्रसंख्येतही सहन होते आणि तिला सामग्रीची टिकाऊ मर्यादा म्हणतात. अशा प्रकारच्या आलेखांना (आकृ.9) वोलर वक्र म्हणतात.

आकृती 9.

संरचनांची सुरक्षितता

रचनांसाठी दोन सीमांत भार महत्त्वाचे असतात: ज्या भारावर पहिले कायमस्वरूपी नुकसान निर्माण होते (उत्पन्न मर्यादा), आणि ज्या भारावर रचनेची वहनक्षमता संपुष्टात येते आणि ती तुटते (भंजन मर्यादा). उत्पन्न मर्यादेपूर्वी किमान अंदाजे पदार्थाच्या प्रतिकाराच्या गृहितकांचे (लहान विस्थापने, हुकचा नियम) पालन होत असल्यामुळे, कायमस्वरूपी विकृतींविरुद्धची सुरक्षितता त्या सर्व परिस्थितींमध्ये विश्वासार्हरीत्या मोजता येते जिथे गणिती अडचणी पार करता येतात. जर ताण भाराच्या प्रमाणात असेल, तर उत्पन्न ताणाचा रचनेत आढळणाऱ्या कमाल ताणाशी असलेला अनुपात हा उत्पन्न घडविणाऱ्या भाराचा प्रत्यक्ष भाराशी असलेल्या अनुपाताइतका असतो आणि तो उत्पन्नाविरुद्धचा सुरक्षितता गुणांक दर्शवतो. तथापि, अनेक प्रसंगी हा सोपा संबंध अस्तित्वात नसतो: ताण वगळलेले वाकणे, उठावदार पृष्ठभागांमधील दाब, रचना ज्यांची संरचना बदलणारी असते आणि, विशेषतः प्रतिकूल, अक्षीय बलासह वाकणे. या सर्व परिस्थितींमध्ये भारात तुलनेने लहान वाढही ताणात मोठी वाढ घडवू शकते, आणि अशा वेळी सामान्य सुरक्षितता गुणांक ताणांवर लागू करणे पुरेसे नसते; तो भारावर लागू करावा लागतो.

प्रवाह मर्यादा ओलांडल्यानंतर ते तुटेपर्यंत घडणाऱ्या घटना बहुतेक वेळा फक्त गुणात्मकरीत्या मागोवा घेता येतात. जर पदार्थ लवचिक असेल, तर ज्या भागांमध्ये सर्वप्रथम प्रवाह मर्यादा गाठली जाते आणि जे पुढे स्थिर ताण किंवा किंचित वाढणाऱ्या ताणाखाली विकृत होत राहतात, ते पुढील भार स्वीकारण्यात कमी प्रमाणात सहभागी होतात; त्यामुळे रचनेचे उर्वरित, कमी ताणलेले भाग, तिच्या संरचनेच्या दृष्टीने शक्य असल्यास, वहनात अधिक सहभागी होतात. ताणाच्या टोकांना समतोल करण्याच्या या प्रवृत्तीत सुरक्षिततेचा एक विशिष्ट साठा असतो, जो गणितीरीत्या वापरता येतो, जर एखाद्या लक्षणीय एकदाच झालेल्या भारामुळे काही भागांत निर्माण झालेली कायम विकृती हानिकारक नसेल (सीमांत भार पद्धत).

जर पदार्थ भंगुर असेल, तर पहिले कायमस्वरूपी नुकसान भेगांच्या रूपात दिसते, ज्यामुळे धोकादायक ठिकाणी ताणाचे आणखी तीव्र एकाग्रीकरण होते आणि ते लगेचच अपयश घडवते. थकव्यामुळे होणारे अपयश, लवचिक पदार्थांमध्येही, भंगुर तुटण्याची वैशिष्ट्ये दाखवते.

 वेगवेगळ्या छेद पातळ्यांसाठी ताणांमधील संबंध

रूपांतरण समीकरणे

आकृ. 1 मधील नऊ घटकात्मक ताण संतुलनाच्या तीन अटींशी संबंधित आहेत. उरलेली सहा परिमाणे σx, σy, σz τxy, τyz, τzx  परस्परांपासून स्वतंत्रपणे मनमानी मूल्ये घेऊ शकतात, हे लवचिकता सिद्धांताच्या विभेद समीकरणांच्या व्युत्पत्तीवरून दिसते. तथापि, ही मूल्ये दिलेली असताना घन वस्तूतील एखाद्या बिंदूवरील ताण-अवस्था पूर्णतः निश्चित होते; म्हणजेच तीन परस्पर लंब पृष्ठांवरील ताण ज्ञात असतील, तर दिलेल्या बिंदूमधून जाणाऱ्या आणि ज्याची नॉर्मल मनमानी दिशेची आहे अशा चौथ्या पृष्ठावरील ताणही एकमेव रीतीने ठरविता येतो.

आकृती 10 मध्ये OABC हा टेट्राहेड्रॉन दाखविला आहे, ज्याच्या तीन बाजू समन्वय प्रणाली x, y, z च्या समतलांना समांतर आहेत, तर चौथी बाजू ही मनमानी दिशेने असलेला पृष्ठभाग घटक ABC = dF. दर्शविते. त्याची दिशा आणि त्यातून प्रसारित होणाऱ्या ताणाची दिशा दर्शविण्यासाठी दुसरी समन्वय प्रणाली आणली जाते, ज्याची ξ अक्ष dF ला लंब आहे.

आकृती 10

या टेट्राहेड्रॉनवर ξ अक्षाच्या दिशेने कार्य करणाऱ्या बलांच्या समतोलाची अट देते

जर हे लक्षात घेतले तर

मिळते

आणि त्याचप्रमाणे अक्ष η च्या दिशेतील समतोलाच्या अटींमधून:

ही ती समीकरणे आहेत जी समन्वयांच्या रूपांतरणात ताणांच्या गणनेसाठी वापरली जातात. विशेष महत्त्वाचे म्हणजे फक्त अशा पृष्ठभाग घटक dF विचारात घेतले जातील ज्यांसाठी ξ-अक्ष z-अक्षाशी जुळतो. या प्रकरणासाठीची रूपरेषा आपण मागील रूपरेषा सुलभ करून किंवा आकृती 11 मधून थेट वाचून मिळवू शकतो:

चित्र 11

सामान्य ताण α = α0 या दिशांसाठी अत्युच्च मूल्ये घेतो, ज्यांसाठी dσξ/dα = 0 असते. अवकलन करून समीकरण (16) मधून मिळते

म्हणून, जेव्हा ही अभिव्यक्ती शून्याशी समकक्ष केली जाते

ताण τξη हा या समतलांमधील एकूण कापणी ताणही असेल, जर τyz = τzx = 0. तेव्हा समीकरण (17) द्वारे परस्पर लंब असे दोन दिशा निश्चित होतात, ज्यांच्यासाठी: 1. एकूण कापणी ताण शून्य असतो आणि, 2. सामान्य ताणाची टोकाची मूल्ये (कमाल आणि किमान) असतात. या दिशांना प्रमुख ताणांच्या दिशा म्हणतात, आणि संबंधित ताणांना प्रमुख ताण म्हणतात. ते σ1 आणि σ2 असे दर्शविले जातात आणि थेट सूत्रावरून मोजता येतात

 मोहरचा वर्तुळ

समीकरणे (16) स्पष्टपणे ग्राफिक स्वरूपात दर्शविता येतात. त्यासाठी त्यांना पुढील रूपात रूपांतरित करावे लागते:

ही समीकरणे σ, τ या समन्वय पद्धतीत आकृती 12 वर काढलेल्या वर्तुळाच्या समीकरणाचे परिमितीय रूप दर्शवतात, ज्याच्या केंद्राचे निर्देशांक σ = 1/2 (σx + σy), τ = 0 आणि ज्याची त्रिज्या

या वर्तुळाला Mohr-चे वर्तुळ म्हणतात. जर x बिंदूद्वारे x = const. या छेदाला समांतर अशी सरळ रेषा काढली, ज्यामधून σx, τxy ताण वहन होतात, तर ती वर्तुळाला p या बिंदूवर छेदते, ज्याला Mohr-चक्राचा ध्रुव म्हणतात. या ध्रुवातून काढलेली प्रत्येक pξ सरळ रेषा वर्तुळाला ξ बिंदूवर छेदते, जो pξ ला समांतर छेदामधून वहन होणारे σξ, τξη ताण निश्चित करतो.

शिअर ताणांचे चिन्ह Mohr-चे वर्तुळ काढताना लक्षात घ्यावे लागते, कारण ते जर आकृती 12c मध्ये दाखविलेल्या दिशेप्रमाणे असतील तर वरच्या बाजूला मांडले जातात. म्हणून परस्पर अनुरूप असलेल्या τxy, τyx या दोन ताणांपैकी एक नेहमी धन आणि दुसरा ऋण असतो.

सीमांत मूल्यांना σ1, σ2 सामान्य ताणांच्या अनुरूप वर्तुळावरील 1 आणि 2 ही बिंदू येतात, तर _p_1 आणि _p_2 या रेषा प्रमुख ताणांच्या दिशा दर्शवतात.

x-y समतलात असलेल्या ताणांचे Mahr-चक्राद्वारे दर्शविणे या समतलाला लंब असलेल्या σz, τxz, τyz ताणांबाबत कोणत्याही गृहितकावर अवलंबून नाही.

आकृती 12

Ono prema tome važi i za najopštije trodimenzionalno stanje napona, ako se upoređuju samo one presečne ravni koje sve prolaze kroz istu pravu, koja je ovde izabrana za z i ξ osovinu. Kako prema opštim jednačinama transformacije (15) normalni napon σ ne može da postane beskonačan ni za jednu presečnu ravan, to on mora da ima za neku ravan konačni maksimu σ1, a za drugu minimum σ3, od kojih oba, naravno, mogu da budu i negativni. Ako se kroz vektore σ1 i σ3 povuče ravan i nacrta Mohr-ov krug (sl. 13)

चित्र 13

या समतलात असलेल्या ताणांसाठी (म्हणजे या समतलाला लंब असलेल्या सर्व दिशा), तेव्हा σ1 आणि σ3 हे सर्वात मोठे आणि सर्वात लहान सामान्य ताण असतात जे उद्भवू शकतात आणि त्यामुळे ते परस्परांना लंब असले पाहिजेत. जर 1 आणि 3 या दिशा 2 या दिशेने पूर्ण केल्या, ज्यामुळे या तीन दिशा एक समकोणी निर्देशांक प्रणाली तयार करतात, आणि जर 1 ~2 आणि 2 ~ 3 या समतलांसाठी माह्रची वर्तुळे काढली, तर σ2 या वर्तुळांपैकी एकासाठी सर्वात मोठा, आणि दुसऱ्यासाठी सर्वात लहान सामान्य ताण असतो, आणि त्यामुळे 1, 2 आणि 3 या दिशांना लंब छेदांमध्ये कातरण ताण शून्य असतो. परस्परांना लंब असे तीन सामान्य ताण σ1, σ2 आणि σ3, ज्यांच्याशी कातरण ताण संबंधित नसतो, त्यांना प्रमुख ताण म्हणतात.

    प्रवाही मर्यादा आणि भंजन मर्यादा त्रिमितीय ताणस्थितीत

ताणस्थितीला एक-, दोन- किंवा त्रिमितीय असे म्हणतात, दुसऱ्या शब्दांत: रेषीय, सपाट किंवा अवकाशीय, यावर अवलंबून की मुख्य ताणांपैकी एक, दोन किंवा तिन्ही शून्यापेक्षा वेगळे आहेत का. सर्वाधिक वापरल्या जाणाऱ्या संरचनात्मक घटकांमध्ये, म्हणजे ताणलेला, दाबलेला आणि वाकलेला दांडा, किमान सर्वाधिक ताण असलेल्या ठिकाणी तरी, ताणस्थिती एकमितीय असते; तसेच साहित्याच्या चाचणीत जवळजवळ केवळ अनुमत ताण निश्चित करण्यासाठी वापरल्या जाणाऱ्या ताण, दाब किंवा वाकण्याच्या प्रयोगांमध्येही तसेच असते. याउलट, स्वतःच्या समतलात किंवा त्याला लंब दिशेने भारित प्लेट्समध्ये, तसेच शेल्समध्ये, ताणस्थिती द्विमितीय असते, आणि काही प्रसंगी त्रिमितीय ताणस्थितीही दिसून येते, त्यामुळे एकमितीय ताणस्थितीत निश्चित केलेल्या यील्ड मर्यादा आणि अपयशाच्या आधारे, अवकाशीय ताणस्थितीच्या प्रसंगी साहित्याच्या वर्तनाबद्दल निष्कर्ष काढणे आवश्यक ठरते.