Kayan aiki: Juriyar kayan aiki da ka’idar elasticity

Asali

Aikin juriya na kayan abu shi ne ya tabbatar da waɗanne ƙarfi na waje jiki mai ƙarfi zai iya jurewa (misali, gini, ɓangaren tsarin ko ƙasa). Domin ba da amsa ga wannan tambaya, ana farawa da ƙa’idodi biyu: a gefe ɗaya, damuwa ba za su wuce wasu iyakoki ba da suka danganci nau’in kayan, sannan a ɗaya gefen dole ne daidaiton tsakanin ƙarfi na waje da na ciki ya kasance mai ɗorewa. Daidai da haka, duk matsalolin juriya na kayan abu za a iya raba su zuwa “Matsalolin damuwa” da “matsalolin ɗorewa.

A cikin sanduna da katako da kuma ɗaukar nauyi da aka gina daga gare su (gudurori, firam), ƙayyade damuwa ana yin sa ne a matakai biyu, wato da farko bisa ga sojojin waje da aka ba ana ƙididdige sakamakon haɗuwar sojojin cikin gida da ake watsawa ta sashen gicciye, sannan daga waɗannan “sojojin sashen” ake ƙayyade damuwoyi. Sashe na farko na wannan hanya yana wakiltar wata babbar fanni ta musamman, statics na ginin tsarin, wadda ke da nata ingantattun hanyoyi kuma wadda a al’ada ake raba ta da ƙwarewar kayan aiki, wanda aikinsa ya taƙaitu ga ƙayyade damuwa daga sojojin sashen da aka ba.

Muhimman ka’idojin ƙarfin jurewar kayan aiki

Ana kaiwa ga ma’anar damuwa ta hanyar waɗannan mahimman la’akari masu zuwa. Bari tsarin ƙarfafan waje mai daidaito ya yi aiki a kan jiki. Mu yi tunanin mun raba jiki zuwa sassa biyu ta wani yanke na bazata, kuma mun cire ɗaya daga cikinsu tare da ƙarfafan da ke aiki a kansa; to, don a bar daidaiton ƙarfafa da tsarin canje-canje ba su canza ba, dole ne a maye gurbin tasirinsa ga ɓangaren ɗaya da ƙarin ƙarfafa da ake watsawa ta hanyar farfajiyar yanke. Waɗannan ƙarfafan “ciki” ana rarraba su ba tare da yankewa ba a kan farfajiyar yanke, ta yadda ga kowane ƙaramin yanki dF akwai ƙarfi dβ. Idan aka kafa rabo dβ dF kuma aka ɗauki matakin iyaka dF -> 0, to wannan rabo yana ƙoƙarin zuwa ƙimar iyaka da ake kira damuwa. Damuwa a wani ɓangaren farfajiya, kamar dβ, kuma ana iya warware shi zuwa sassa na al’ada da na tangential ga dF, damuwar al’ada σ da damuwar yanke τ.

Idan aka ja sassa ta wurin aya ɗaya a hanyoyi daban-daban, za su haifar da matsin lamba daban-daban. Musamman idan aka ware wani ƙaramin kwadarai daga jiki, kamar yadda aka nuna a sl. 1, a kowace daga cikin fuskokinsa shida za a yi aiki da vector na matsin lamba wanda za a iya rarrabashi zuwa kashi uku a hanyar axis na daidaitawa x, y, z. Matsin da ke aiki a kan bangarorin da ke gaba da juna na saman suna bambanta da juna, a zahiri, da bambancin ƙanana kaɗai, don haka ya kamata a bambanta 3 * 3 = 9 na matsin lamba na sassa, waɗanda ake alama da su kamar haka:

A nufin manyan matsin lamba σ ana ba da index na axis ɗin da suke kwance a gare shi, kuma ana ɗaukar su masu kyau idan suna haifar da ja, marasa kyau idan suna haifar da matsawa. Matsin lamba na yankewa τ suna samun indexes biyu, na farko yana daidai da index ɗin matsin lamba na al’ada da ya dace, na biyu kuma ya shafi axis ɗin da matsin lambar yankewar ke aiki a kai. Idan alkiblar kyau na matsin lamba na al’ada mai dacewa tana a cikin alkiblar axis ɗin daidaito mai kyau (ko mara kyau), to ana ɗaukar matsin lambar yankewa ma a matsayin mai kyau idan yana aiki a cikin alkiblar axis ɗin daidaito mai kyau (ko mara kyau).

Hoto 1.

 Daidaituwar damuwar yanka

Idan ga ƙananan murabba’i na asali, siff. 1, an sa sharadi cewa jimillar dukkan ƙarfi dangane da axis x ita ce sifili, sai a samu τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz Daga nan, kuma daga biyun daidaitattun ƙa’idodi ga axes y da z, ana samun cewa matsin yanke masu ɗauke da lambobin iri ɗaya suna daidai da juna τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (1)

Nakasu na sassa

Cewa damuwar da aka ayyana a baya tana da ma’anar zahiri, hakan yana fitowa daga dangantakarta da canjin da kowane jiki ke fuskanta ƙarƙashin tasirin ƙarfin waje. Fig. 2 tana nuna wani ƙananan ƙwantu mai siffar cube, wanda kafin nakasu ya kasance murabba’i kuma yana da tsawon gefuna dx, dy, dz. Tsawon gefuna bayan nakasu za mu iya alama da dx + Δdx, dy, + Δdy, dz + Δdz; rabon εx = Δdx|dx, εy =Δdy|dy, εz = Δdz|dz ana kiran su faɗaɗɗun canji. Waɗannan su ne ƙimomi marasa girma kuma ga dukkan kayan da ake la’akari da su a gini ƙanana ne idan aka kwatanta da 1. Baya ga tsawaitawar gefuna, ƙananan ƙwantu dx * dy * dz na iya kuma fuskantar sauyin kusurwoyin da ke daidai a farko tsakanin sassan sa.

Hoto 2. deformashin ƙashi

Bari a ce bayan nakasa kusurwar tsakanin matakan da ke haɗuwa tare da gefen OC ta zama daidai  kuma haka nan raguwar kusurwar dama a gefen AO ta zama γyz, sannan raguwar a gefen OB ta zama γzx. Waɗannan sauye-sauyen kusurwa uku γxy, γyz, γzx, ana kiransu zamewa kuma su ma koyaushe ƙanana ne idan aka kwatanta da 1.  Da sassa shida na ε da γ ne ake cikakken ƙayyade nakasar ƙaramar kwadra “nakasa a ƙarami”. Sauyin sashin ƙara d_V = dx * dy * dz_ shi ne ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, daga nan, idan aka yi watsi da ƙa’idodin tsawaitawa a matsayin ƙananan girma na mataki mafi girma, ana samun ƙibɗar tsawaitawa ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2)

Matsuguni

An kuma iya bayyana nakasar jiki mai ƙarfi gaba ɗaya ta wannan hanya, ta yadda ga kowane ɗaya daga cikin wurarensa ake ba da ƙaurawar da wannan wurin ya fuskanta. Idan aka ware ƙaurawar da ke da girman ƙarshe da suka dace da motsin jiki mai ƙarfi daga nazari, ta hanyar, idan ya zama dole, amfani da tsarin madaidaitan da ke motsi a cikin lissafi, to ƙaurawar sassan μ, ν, ω koyaushe suna da ƙananan girma, kuma abubuwan da aka samu dangane da ma’auni ƙanana ne idan aka kwatanta da 1. A ƙarƙashin wannan hasashe, bisa ga s. 3 tsawon sashen layi OA = dx bayan nakasu

saboda haka  (3)

Ta hanya makamanciyar haka daga sl. 3 ana ganin cewa zamewar γxy γ1 + γ2: haka kuma

 (4)

Hoto 3 zamewa

(5)  (6)

Waɗannan alaƙoƙi ana kiran su sharuɗɗan daidaituwa, kuma suna nuna cewa sassan da aka nakasa za su iya haɗuwa kamar mosaik ta yadda sarari ya kasance ana cika shi ba tare da katsewa ba, abin da ba za a iya cim ma ba idan nakasar sassan ta kasance ta bazata. Sharuɗɗan daidaituwa su ne daidaitattun ƙa’idodi na bambance-bambance, don haka, a fili yake, dukkan sassa shida na nakasar kowace murabba’in ƙashi suna zaman kansu daga juna, amma yadda suke tsari a kowane yanki mai faɗi na ƙarshe yana da alaƙa da sharuɗɗa (5) da (6).

Tun da waɗannan sharuɗɗan an samo su ne ta bambancewa daga ƙa’idojin (3) da (4), a lokacin fitar da su wani ɓangare na dangantakar da ke cikin ƙa’idodin asali ya ɓace. Saboda haka, bai isa a cika tsarin ƙa’idoji ɗaya kawai daga cikin waɗannan biyun ba, sai an cika duka tsarin ƙa’idojin biyu idan ana son a tabbatar da daidaituwar nakasa.

Daidaitattun ƙa’idojin bambanci na tsarin elasticity

Don ƙididdige damuwa da nakasa a jikin masu sassauci ana amfani da waɗannan ƙa’idoji:

Yanayin daidaito na ɓangaren girma. An riga an yi amfani da sharuɗɗan cewa lokutan da ke kewaye da gatura uku sun yi daidai da sifili wajen samo lissafi (1). Sharuɗɗan daidaiton ƙarfi suna ba bisa sl. 4

Hoto 4

(7a-c)

Idan X, Y, Z suka nuna sassan ƙarfin jiki na ƙara (misali nauyi, ƙarfin juyawa) a kowace ƙayadadden ƙarar. Dangantaka tsakanin matsin lamba da nakasa. A nan ana nufin dangantaka tsakanin matsin lamba na sassa da nakasar sassa. A cikin ka’idar elastisity, a ƙa’ida ana la’akari da dangantaka ta layi kawai, wadda ake bayyana da dokar Hooke:

(8a-c)

(8d-f)

Idan aka warware ƙa’idodin (8a-c) dangane da damuwa, ana samun

(8 a)

kso da daidaitattun ƙa’idodi guda biyu. Dokar Hooke da aka bayyana ta hanyar lissafi (8) ba wata doka ta halitta ba ce da ake cikawa tsaf, sai dai wata sauƙaƙa ce ta ainihin hali, wanda daga gare ta yake karkata fiye ko ƙasa da haka, gwargwadon kayan da kuma girman matsin lamba. Bisa ga cewa sarrafa matsalar juriya ta kayan tare da rikitarwa, dangantakar da ba ta layi ba tsakanin damuwa da nakasa tana haifar da wahalhalu masu yawa kuma a aikace ana iya aiwatar da ita ne kawai a mafi sauƙin lokuta, dole ne ko da ga waɗancan kayan (siminti!) da halayensu suke kaucewa sosai daga dokar Hooke, lissafukan da aka gina a kanta a yi amfani da su da farko, kuma galibi ma a matsayin kaɗai kusancin mafita, wanda kuma a ƙa’ida yana da matuƙar amfani kuma yana ba da fahimta fiye da kawai ta inganci. G = E|2 (1+μ).

Dole ne ta biyo daga alaƙar da ke tsakanin matsi da nakasa (8), daga ƙa’idojin sauyawa (16) na matsi da kuma tsarin ƙa’idoji mai dacewa na nakasoshin sassa E da G suna da girman matsi kuma a wajen dukkan kayan gine-gine suna da girma idan aka kwatanta da matsi σ da τ da ka iya bayyana. Amma a kan wannan gaskiya ne ya ta’allaka tunanin da aka karɓa ko’ina a ilimin elastisiti, cewa nakasoshin ƙanana ne. Ma’aunin lankwasa na gefe (lambar Poisson) μ ba shi da girma kuma koyaushe yana tsakanin 0 da 1/2 .

Dangantaka tsakanin nakasuwar sassan da motsi. Wadannan dangantaka an ba da su ne ta hanyar ƙa’idodi (3), (4). Su na da tsantsar yanayin geometrical. Waɗannan tsaruka uku suna ba da 3+6+6=15 ƙa’idoji ga 15 abubuwa da ba a sani ba, wato ga 6 damuwa na sassa, 6 nakasuwar sassa da 3 motsin sassa. Saboda haka, sun isa wajen ƙayyade waɗannan abubuwan da ba a sani ba. Tabbas, magance irin wannan babban tsarin ƙa’idojin bambance-bambance ta hanyar lissafi zai yiwu ne kawai a wasu yanayi na musamman. Idan a cikin ƙa’idar (8) an maye gurbin nakasuwar sassa da motsin sassa bisa ƙa’idoji (3) da (4) sannan a shigar da damuwar al’ada σ da damuwar yanke τ, bisa ƙa’idoji (8 d - f), cikin sharuɗɗan daidaituwa, ƙa’ida (7), ana samun ƙa’idojin bambance-bambance da ake kira ƙa’idojin asali na ka’idar elasticity.

(9)

inda kuma alamar aikin Laplace ce. Dangane da (2) waɗannan su ne ƙarin daidaitattun ƙididdiga uku da ke da matsarori na sashe uku μ, ν, ω; daga waɗannan kuma ta hanyar bambancewa bisa (3), (4) da (8) za a iya samun dukkan ƙararriyar matsa lamba da nakasa na sassa. Daidaitattun (9) sau da yawa suna zama mafari mai amfani don nazarin lamura na musamman.

Aikin nakasu

Ma’anar

Lokacin da aka ɗora wa mai ɗauka nauyi, wuraren da ƙarfin waje ke aiki suna samun motsin elastik, kuma ƙarfafan suna yin wani aiki a lokacin. Ta haka makamashin da aka kawo na iya rikidewa zuwa siffofi daban-daban. Idan aka ɗora nauyin kwatsam, ta yadda aikin lalacewa yake da sauri sosai, wani ɓangare na wannan makamashi yana rikidewa zuwa makamashin motsi, wanda daga baya yake bazuwa, ko dai ta hanyar watsuwa zuwa ƙasa a matsayin igiyar elastik da ke shuɗewa a sarari marar iyaka, ko ta hanyar gogayen ciki ya rikide zuwa zafi. Idan kuma ana ɗora nauyin a hankali sosai ta yadda ba a samun ƙarin makamashin motsi mai ma’ana, wato nauyukan da ke ƙaruwa a hankali tun daga sifili suna cikin daidaito na dindindin da ƙarfin ciki, to a bayyane yake cewa makamashin yana tafiya ne kawai wajen canza siffar jiki, sannan ana kiransa aikin lalacewa.

Lissafin aikin nakasu za mu fara nuna shi a kan ƙaramin yanki da aka ɗora masa ja a hanya guda (fig. 5).

Bari matsin lamba da ke akwai σ da tsawaitawar da ta dace ε su sami ƙari dσ da dε. Sa’an nan ƙarfin σdF a kan hanya dε * dl zai yi aiki  σdF * dεdl = σdεdV, idan aka ayyana dV a matsayin ƙaramin ƙarfi na ƙara. Idan matsin lamba ya ƙaru daga sifili zuwa ƙimarsa ta ƙarshe kuma tsawaitawa bisa ga haka daga 0 zuwa ε, jimillar aikin da aka yi a kowace naúrar ƙara zai zama:

Haka nan ma ga wani abu da ke ƙarƙashin matsin yanka τ (sl. 6) aikin nakasawa na kowace ƙwaya na girma (aikin nakasawa na musamman, ƙarfin ajiyar na roba):

a nan ne kawai ɗaya daga cikin ƙarfi huɗu τ * dF ke yin aiki.

A yanayi na gaba ɗaya, idan dukkan nau’ukan damuwar sashi shida suna aiki a kan ƙaramin ɓangare, ana samun aikin nakasa na musamman ta hanyar tara ayyukan damuwar sashi daban-daban:

(10)

Ta hanyar bambancewa da iyakar sama ta kowanne daga cikin waɗannan integiran, ana samun alaƙoƙin da suke aiki a mafi janar yanayi:

(11)

da makamantansu ga sauran nakasoshin sassa. Idan jiki yana da ɗorewar roba, ga kowane takamaiman yanayin matsin lamba ana samun koyaushe irin wannan yanayin nakasa, ba tare da la’akari da ko an kai ga yanayin ne a lokacin ɗaukar nauyi ko sauke nauyi ba. Sa’an nan a ƙarƙashin integrals akwai ayyuka masu ma’ana guda ɗaya kuma jimillar kuzarin da aka kashe a lokacin ɗaukar nauyi sannan cikakken sauke nauyi ita ce a = 0, saboda a wannan yanayin iyakar sama na integrals suna zama sifili. Saboda haka jimillar kuzarin da aka shigar wa jiki a lokacin ɗaukar nauyi ana mayar da shi a lokacin sauke nauyi.

Hoto 6

Hoto 7

Ga jiki mai ɗan ƙarancin elastik, alaƙar da ke tsakanin matsin lamba da nakasa a dukkan zagayen ɗaukar kaya da sauke kaya tana da siffar da aka kusan nuna a fig. 7 da layukan O A B. Makamashin  da aka shigar yayin ɗaukar kaya yana daidai da fili OAA, kuma makamashin da aka mayar yayin sauke kaya ya yi daidai da fili ABA, saboda haka aikin da ya dace da ɓangaren da aka yi masa inuwa yana ɓacewa (yana koma zafi). Idan a cikin tsarin juyawa matsin lamba yana sauyawa lokaci-lokaci tsakanin ƙimar iyaka mai kyau  da ƙimar iyaka mara kyau,  nakasar da ba ta elastik ba tana gudana kamar yadda aka nuna da layukan da aka tsinke a fig. 7 kuma a kowane zagaye na juyawa tana mai da makamashi DABCD zuwa zafi a kowace ƙwayar girma. Irin wannan hali yayin nakasa, inda nakasa ke biyo baya daga matsin lamba, ana kiransa elastic hysteresis, kuma lanƙwan DABCD ita ce madaukin hysteresis.

Aikin nakasu da dokar Hooke

Idan a cikin integrale a cikin ƙa’idar (10) aka saka dokar Hooke, za a iya yin haɗawa, kuma ga aikin nakasa na musamman ana samun kalmomi:

(12a)

(12b)

(12c)

Idan aka saka nau’i na biyu daga cikin waɗannan siffofi a cikin ma’auni (11), sai a sake samun dokar Hooke, ma’aunai (8), a cikin sigar da aka warware bisa ga damuwa. Bayanin cewa aikin nakasa yana dogara da abubuwan haɗin nakasa, kamar yadda aka nuna ta ma’auni (12b), don haka ya yi daidai da dokar Hooke. Idan aka bambanta ma’auni (12c) bisa ga damuwa, ana samun

(13)

Waɗannan tsarin, sabanin tsarin (11), suna aiki ne kawai ga jiki da ke bin dokar Hooke kuma ba za a iya amfani da su ba idan alaƙar da ke tsakanin damuwa da nakasu ta bambanta. A bayyane yake cewa a gefen dama na ƙa’idodin (13) akwai kawai nakasun alama da damuwa suka haifar, kuma ana cire duk wasu da ka iya tasowa saboda canjin zafin jiki, creep, kumburi, recrystallization, da dai sauransu.

KA’IDOJIN INTEGRAL A CIKIN KA’IDAR ELASTICITY

Motsin kama-da-wane. Ka’idar ƙaramin makamashin yuwuwa

Kamar yadda dokar Hooke, ƙa’idodin (8) za a iya maye gurbinta da wata ƙa’ida guda (12b), haka kuma maimakon yanayin daidaito za a iya gabatar da ƙa’idar matsarwar ɗan lokaci, a matsayin babban dokar injiniya da ke aiki gaba ɗaya. Wannan doka tana bayyana cewa yanayin daidaito suna da alama da cewa aikin da dukan ƙarfi suka yi gaba ɗaya a yayin ƙaramin sauyin yanayin nakasu yana daidai da sifili. Idan muka nuna ƙananan sauye-sauyen motsin elastik da δμ δν, δω, to ƙarfi na jiki da aka ayyana da ƙa’idar (7) suna yin aikin ɗan lokaci

da ƙarfin saman px, py, pz da ke aiki a kan element ɗin dF na saman waje na jiki aikin 

inda haɗaɗɗen integrali na uku ya shafi dukan girma, kuma na biyu ya shafi dukan saman waje na jiki. Don ƙididdige aikin da sojojin ciki ke yi, ana amfani da ƙa’idar (12b), sannan ga aikin a kowace naúrar girma ana samun

Ka’idar motsi na zahiri bisa ga haka tana ba da

(14)

Idan an ɗauki nauyukan X, Y, Z px, py., pz a matsayin sassan ƙarfin nauyi (nauyin kai da nauyin waje), integrals ɗin da ke gefen dama suna wakiltar makamashin yuwuwa da waɗannan nauyuka suka rasa, yayin da gefen hagu ke wakiltar ƙarin makamashin yuwuwa (na elasticity) na jiki, don haka wannan ƙa’ida tana nuna cewa jimillar makamashin yuwuwa na ɗaukar kaya da nauyukan da ke kansa a yanayin daidaito tana da ƙimar ƙarshe. Idan wannan ƙimar ƙarshe ita ce mafi ƙanƙanta, daidaiton yana da ƙarfi.

Ka’idar ƙarancin makamashin yuwuwa da aka bayyana da ma’auni (14), jimla (12b) don aikin nakasa da sharuɗɗan daidaituwar nakasu (5), (6) suna wakiltar tsarin ma’aunai wanda ya isa wajen gina ka’idar elasticity, kuma a asali yana daidai da tsarin ma’aunai. Wannan tsarin na iya zama musamman mai amfani a lokutan da cika ƙididdigar bambance-bambance, ma’aunai (9) ke kawo wahalar ƙididdiga, saboda haka dole a nemi mafita ta kusanci, misali, a ɗauki matsarori a gaba cikin wani tsari mai dacewa wanda ke ƙunshe da wasu ‘yan ƙayyadaddun ƙimomi masu ‘yanci, sannan a tantance waɗannan daga buƙatar cewa ma’auni (14) ya cika. Ta haka, ba a samu madaidaicin mafita ta matsala ba, sai dai mafi kyawun kusanci da za a iya samu da tsarin da aka zaɓa. Ko wannan kusancin ya wadatar, ya dogara ne da farko ga tsarin mafitar da aka amince da shi, don haka amfani mai nasara na wannan hanya yana buƙatar ƙwarewa da kwarewar aiki.

Ka’idar Castigliano-v

Yayin da a ƙa’idar mafi ƙarancin ƙarfin makamashin da ake kwatanta dukkan matakan gurɓacewa da ke cika sharuddan daidaituwar gurɓacewa, sannan a zaɓi waɗanda matsin da ya dace da su ke cika sharuddan daidaito, a ƙa’idar Castigliano ana kwatanta dukkan matakan matsin da ke cika sharuddan daidaito, sannan a zaɓi waɗanda gurɓacewar da ta dace da su ke cika sharuddan daidaituwar gurɓacewa. Wannan ƙa’ida tana cewa: daga cikin dukkan matakan daidaito masu yiwuwa, a zahiri tana faruwa ita wadda ke da mafi ƙarancin aikin gurɓacewa. Ƙa’idar Castigliano tare da ma’aunin (12c) na aikin gurɓacewa da sharuddan daidaito suna samar da tsarin ma’aunai wanda ya isa wajen gina juriyar kayan. Saboda wannan ƙa’ida tana ɗauke da dokar Hooke, yiwuwar amfani da ita tana da alaƙa da zato cewa za a iya bayyana gurɓacewa gaba ɗaya da wannan doka. Wannan ba kawai yana buƙatar halayen abu na elastiƙi na layi ba, har ma yana kawar da sauye-sauyen zafi.

Halayen kayan abu sama da iyakokin elastisiti

Abubuwan da ke faruwa a ƙarƙashin kaya na tsayawa

Nakasar abu ƙarƙashin tasirin damuwa lamari ne mai matuƙar rikitarwa, don haka dole a sauƙaƙe shi ta hanyoyi daban-daban domin a iya fahimtarsa. Ɗaya daga cikin waɗannan sauƙaƙen ita ce hasashen cewa ana ɗora nauyi a hankali, kamar yadda ake yi da samfurori lokacin gwajin ja da matsawa, misali.

Idan aka ɗora sandar ƙarfe da ake jan ta da ƙarfi a ƙarƙashin ɗora wa da ke ƙaruwa a hankali kuma aka auna faɗaɗawarta ε, sai a samu jadawalin da aka nuna a sl. 8. Da farko, faɗaɗawar tana da ƙanƙanta sosai kuma tana daidai da matsin lamba, kamar yadda dokar Hooke ta buƙata. Daga wani matsin lamba na musamman, daidaiton ya ƙare, kuma faɗaɗawar tana ƙaruwa da sauri. Wurin ainihin iyakar wannan daidaito yana da wuya a tantance. Da gwajin ya fi daidai, haka nan ana samunsa ƙasa. Ga yawancin kayan aiki yana kasancewa a σ = 0, kuma dokar Hooke a lokacin tana wakiltar kawai kusantar farko ga hali na roba, wato ƙari na farko a faɗaɗawar Taylor na aikin ε = ε (σ) a kusa da asalin ma’auni.

Idan an ɗauke sandar nauyi, ana lura cewa, idan damuwar ba ta yi yawa sosai ba, ƙarfin gyarawa ma yana ɓacewa, daidai da dokar Hooke. Amma wannan ma yana canzawa idan an wuce wani ƙima na damuwa da ke kusa da iyakar daidaito, wato iyakar elasticity; a nan jimillar nakasa tana ƙunshe da ɓangaren elastik (mai dawowa) da ɓangaren marasa elastik (na dindindin). Ba za a iya ƙayyade iyakar elasticity daidai ba, tana ƙara raguwa gwargwadon ƙarin daidaiton aunawa. Sai dai, saboda tana da babban muhimmanci na fasaha, domin tana wakiltar iyakar amfani a kusan dukkan ƙididdiga na juriyar kayan, kuma a lokaci guda iyakar da farkon lahani na dindindin ke bayyana, ana ayyana ta a sarari ta wata ka’ida da aka amince da ita wajen gwajin samfuri, don haka, misali, a matsayin iyakar 0.2% ana nuna wancan damuwa da a cikinsa nakasar dindindin ke kaiwa 0.2%.

Nan da nan bayan an wuce iyakar elasticity, nakasar tana ƙaruwa da sauri kuma ana iya ganinta da ido; a kusan daidaitaccen ƙarfafawa sandar tana ci gaba da tsawo ba tare da yankewa ba. Wannan ƙarfafawa ana kiransa iyakar zubewa. A injinan gwajin kayan aiki na na’ura mai ruwa, ana iya kuma lura da raguwar ƙarfafawa mai ƙarfi ko marar ƙarfi bayan fara zubewa; kamar yadda aka nuna a sl. 8 da layi mai dige; a nan kololuwar ana kiransa babban iyakar zubewa, sannan ƙarfafawar zubewar da ke biyo baya ana kiransa ƙananan iyakar zubewa.

Bayan an kai wani ƙayyadadden tsawaituwa, wanda kusan gaba ɗaya ba na roba ba ne, matsin lamba ya sake fara ƙaruwa, abin ya ƙara ƙarfi. A wannan mataki na ɗaukar nauyi, ana samun raguwa a fili a fadin sassan sandar saboda (ba na roba ba) matsawar gefe, kuma ci gaban ginshikin zane-zanen matsa lamba da nakasu ya fi komai dogara da ko, a lokacin lissafin matsin lamba σ, ƙarfin ja P da ke aiki a kan sanda ana raba shi da asalin sashen F0 ko sashen nan take F. Don amfani na fasaha, matsin lamba P|F0 ne yake da muhimmanci. Wannan matsin lamba yana kaiwa ga matsakaici wanda ake kira ƙarfinsu na kayan, kuma da zarar an wuce wannan matsakaicin, sandar tana ƙunshewa sosai a wuri ɗaya kuma ta karye. “Matsin lamba na ainihi” P|F yana ƙaruwa har zuwa rugujewa.

Hoto 8.

Halayen sauran ƙarafa masu baci a yawancin lokuta sun bambanta da abin da aka bayyana a nan. Yawan gudana sau da yawa ba ya bayyana sosai, kuma tauri tana farawa kai tsaye bayan an wuce iyakar elasticity. A wajen kayan masu ƙyama (dutse, gilashi, siminti) nakasuwar da ba ta da elasticity gaba ɗaya ƙanana ne kuma ko da ɗan ƙarin tsawo kaɗan yana kaiwa ga karyewa. Jimillar tsawaitawar da kayan ke sha har zuwa karyewa ita ce ma’aunin iya ja wa (akasin haka: ƙyamatar karyewa) na kayan, kuma ana fayyace ta daidai a ƙa’idodin fasaha ga ƙarfe. Sai dai, kasancewar kafin karyewa ƙarin nakasa yana taruwa a wuraren da gicciyen ya yi ƙunci, ana samun bambancin darajar tsawaita a lokacin karyewa, gwargwadon ko an ɗauki babban sashi ko ƙaramin sashi na sanda a matsayin tsawon auna, don haka domin samun sakamako masu ma’ana guda ɗaya da za a iya kwatanta su da juna, dole ne a amince da wata takamaiman ƙa’ida tun farko. Tsawaita a lokacin karyewa, a al’ada, ana aunawa ne ta hanyar alamar tsawon auna a kan sandar zagaye mai diamita d kafin gwaji Ι = 10 d sannan daga tsawaitarsa ΔΙ a ƙididdige tsawaita a lokacin karyewa εs_Ι = _ΔΙ|Ι . __ Idan ya zama dole a gwada sanduna masu sashin daban, tsawon auna ana ƙayyade shi ne bisa diamita na sandar silinda mai zagaye wadda ke da daidai yawan fadin sashen giciye.

Nauyin da ke daɗewa

Ga tafiyar gwajin ja, ba shi da yawa bambanci ko an ƙara nauyin zuwa karyewa cikin 10 m minti ko cikin sa’o’i da dama. Sai dai, idan nauyin yana aiki na shekaru ko dubban shekaru, a wasu yanayi ana lura cewa har ma a ƙasa da iyakar yawo, nakasa a ƙarƙashin matsanancin ƙarfin da ke dawwama tana ƙaruwa a hankali da lokaci. A nan ɓangaren elastik, wato ɓangaren da ke ɓacewa idan aka sauke nauyin gaba ɗaya, ba ya canzawa sosai. Wannan ƙaruwa ta nakasar da ba elastik ba da ke faruwa na dogon lokaci ana kiranta rarrafe. A ƙarafa, sai dai ga gubar, rarrafe yana da muhimmanci ne kawai a manyan zafi, amma ga injiniyan gini yana taka rawa a cikin kankare wanda a ƙarƙashin matsawa ke sako-sako kaɗan, don haka matsa lamba yana ƙaruwa a cikin ƙarfen ƙarfafawa da aka matsa, idan akwai.

Nauyin da ke canzawa

Domin a iya amfani da kaddarorin inji na kayan, da aka samu a gwajin ja, a matsayin ma’auni na lodin da aka yarda a yi wa tsarin, dole ne kayan ya iya ɗaukar damuwar da ya riga ya taɓa ɗauka ba tare da lahani ba a kowane sabon ɗora wa. Wannan sharadi ba ya cika idan kayan yana fuskantar maimaita ɗorawa da sauke nauyi akai-akai, kamar yadda ake samu, alal misali, a cikin ɗaukar kaya da ake yi musu tasirin ƙarfin inershiya daga injuna da ba a daidaita su sosai ba. Ta hanyar maimaita ɗorawa sau da yawa, ana iya kai wani sashen gini ga karyewa ko da a damuwa da ke ƙasa ƙwarai da ƙimar ƙarfin kayan da gwajin a tsaye na yau da kullum ya nuna. Wannan nau’in karyewa ana kiransa karyewar gajiya. Yawan n zagayen lodin da kayan zai iya jurewa yana dogara da girman damuwa σ, domin yana ƙaruwa gwargwadon yadda damuwar ta ragu. Misali na yau da kullum na wannan dogaro an nuna shi a fig. 9, wanda daga gare ta ake ganin cewa ƙarfin kayan yana da iyaka ta ƙasa, wadda kayan ke iya ɗauka ko da adadin zagayen ɗorawa ya yi matuƙar yawa, kuma ana kiranta ƙarfin gajiya na kayan. Zane-zanen irin wannan (fig. 9) ana kiran su lanƙwason Wӧhler.

Hoto 9.

Tsaron gine-gine

Matsananciyar nauyaya biyu suna da muhimmanci ga gine-gine: nauyin da a wurinsa ne ake samun lalacewa ta dindindin ta farko (iyakar yawo), da kuma nauyin da a wurinsa ƙarfin ɗaukar ginin ya ƙare, har sai ya karye (iyakar karyewa). Tunda kafin iyakar yawo aƙalla kusan ana iya amfani da hasashen ilimin juriya na abu (ƙananan motsi, dokar Hooke), ana iya ƙididdige aminci daga lalacewar dindindin cikin amincewa a duk waɗannan lokuta da aka iya shawo kan wahalhalun lissafi. Idan damuwa na daidai da nauyi, to rabon damuwar yawo zuwa mafi girman damuwar da ke bayyana a gini daidai yake da rabon tsakanin nauyin da yawo ke faruwa a kansa da ainihin nauyin, kuma yana wakiltar ƙimar aminci kan yawo. Sai dai, a jerin lokuta wannan sauƙaƙƙen alaƙa ba ta wanzu: lanƙwasawa lokacin da aka cire ja, matsa lamba tsakanin saman da suka kumbura, tsarin da tsarinsu ke canzawa, kuma abin da ya fi wahala musamman, lanƙwasawa tare da ƙarfin axial. A duk waɗannan lokuta, ƙaramar ƙara nauyi na iya haifar da ƙaruwa mai yawa a damuwa, don haka bai isa a yi amfani da ƙimar aminci ta yau da kullum ga damuwa ba, dole ne a yi amfani da ita ga nauyi.

Abubuwan da ke faruwa bayan wuce iyakar zubewa har zuwa karyewa, a mafi yawan lokuta, ana iya bibiyarsu ne kawai ta hanyar bayyana su a dunkule. Idan kayan yana da sassauci sosai, sassan da aka fara kaiwa ga iyakar zubewa, kuma da ake ƙara lalacewa a ƙarƙashin daidaitaccen ƙarfi ko ƙarfi mai ɗan ƙaruwa kaɗan, ba sa taka rawa sosai wajen ɗaukar ƙarin nauyi, ta yadda sauran sassan tsarin da suka fi rauni a ɗaukar ƙarfi, muddin tsarin ya ba da dama, su fi shiga wajen ɗaukar nauyin. A cikin wannan yunƙuri na daidaita ƙololuwar ƙarfi akwai wata ajiyar aminci, wadda za a iya amfani da ita ta ƙididdiga idan tabbatacciyar nakasar wasu sassa, wadda ta samu sakamakon nauyi mai yawa sau ɗaya kaɗai, ba ta da illa (hanyar iyakar nauyi).

Idan kayan abu yana da tauri sosai, farkon lalacewar dindindin tana bayyana a matsayin fashe-fashe, wanda sakamakon su a wurin da ke cikin haɗari ake samun ƙarin taruwar matsin lamba, wanda nan take ke haifar da karyewa. Karyewar saboda gajiya har ma a cikin kayan masu miƙewa tana da halayen karyewar tauri.

 Hanyoyin da ke tsakanin matsaloli na matakai daban-daban na yanke

Daidaitattun lissafin canji

Napet na sassa tara na matsin lamba a hoto 1, suna da alaƙa da sharuɗɗan daidaito uku. Sauran ƙimomi guda shida σx, σy, σz τxy, τyz, τzx  na iya, kowanne ba tare da dogaro da ɗayan ba, samun ƙimomi na yadda ake so, kamar yadda ake gani daga samo ƙa’idodin bambance-bambancen na ka’idar elasticity. Sai dai idan an ba da waɗannan ƙimomi, yanayin matsin lamba a wani wuri na jiki mai ƙarfi ya kasance cikakke a fayyace, wato idan an san matsin lamba na manyan filaye uku masu juna a tsaye, za a iya tantance matsin lamba na wani fili na huɗu ma, fili da ya ratsa ta wurin da aka bayar kuma wanda normarsa ke da alkibla ta yadda ake so.

A sl 10 an nuna tetrahedron OABC wanda bangarori uku daga cikinsa suke daidai da farfajiyoyin tsarin daidaitawa x, y, z yayin da na huɗu ke wakiltar wani ɓangare na farfajiya da aka juya yadda ya ga dama ABC = dF. Domin a nuna shugabancinsa da shugabancin damuwar da ake wucewa ta cikinsa, ana gabatar da wani tsarin daidaitawa na biyu, wanda ƙarfinsa ξ yake a tsaye da dF.

Hoto 10

Sharadin daidaiton ƙarfafan da ke aiki a kan wannan tetrahedra a cikin alkiblar ξ na axis yana bayar da

Idan aka yi la’akari da cewa

ana samu

kuma makamancin haka daga yanayin daidaito a kan hanyar axis ɗin η:

Waɗannan su ne equations da ake amfani da su wajen lissafin damuwa a sauyin daidaitattun ƙoordinate. Muhimmanci na musamman shi ne a yi la’akari da waɗannan abubuwan saman dF kawai da suke da alaƙa da axis ɗin ξ da axis ɗin z. Za mu iya samun siffofin wannan hali ta hanyar sauƙaƙe siffofin da suka gabata ko kuma mu karanta kai tsaye daga fig. 11:

Hoto 11

Matsin lamba na al’ada yana ɗaukar ƙimomin ƙarshe ga kwatance α = α0 , waɗanda dσξ/dα = 0 gare su. Ta hanyar bambancewa daga ƙa’idar (16) ana samun

idan kuma aka daidaita wannan magana da sifili

Matsi τξη zai kuma zama jimillar matsin yanke a waɗannan shimfidu, idan τyz = τzx = 0. Sa’an nan da ƙa’idar (17) an ayyana hanyoyi biyu da suke daidai da juna waɗanda ga su: 1. jimillar matsin yanke sifili ne kuma, 2. matsin al’ada yana da ƙimar ƙarshe (mafi girma da mafi ƙanƙanta). Waɗannan hanyoyin ana kiran su hanyoyin manyan matsin, kuma matsin da ya dace ana kiransa manyan matsi. Ana alama su da σ1 da σ2 kuma ana iya ƙididdige su kai tsaye daga tsarin

 Da’irar Mohr

Ana iya nuna ƙa’idodi (16) ta hanyar zane cikin sauƙi. Don wannan dalili ya kamata a mayar da su zuwa wannan siffa:

Waɗannan ƙa’idodi suna wakiltar a tsarin daidaitawa σ, τ siffar parametric na ma’aunin da’ira, wanda aka zana a fig. 12, wanda daidaitattun tsakiyarsa suke σ = 1/2 (σx + σy), τ = 0 kuma radius ɗinsa

Wannan da’ira ana kiranta da da’irar Mohr. Idan daga cikin maki x aka zana madaidaiciya mai layi daidai da sashen x =const., wanda ta cikinsa ake wucewa da damammakin σx, τxy, za ta yanke da’irar a wurin p, wanda ake kira pol ɗin da’irar Mohr. Kowace madaidaiciya pξ da aka zana ta wannan pol tana yanke da’irar a wurin ξ wanda ke ƙayyade damammaki σξ, τξη da ake watsawa ta hanyar sashi mai layi daidai da pξ.

Game da alamar damuwar yanke lokacin zana da’irar Mohr ya kamata a kula cewa ana sanya su sama idan suna da alkiblar da aka nuna a sl. 12c. Saboda haka daga cikin damuwa biyu masu haɗuwa τxy, τyx, ɗaya koyaushe yana da kyau, ɗayan kuma mara kyau.

Ga ƙimar iyaka ta σ1, σ2 na matsin kai, ana samun maki 1 da 2 a kan da’ira, kuma layukan _p_1 da _p_2 suna ba da kwatancen manyan matsaloli.

Nuna damuwoyin da suke kwance a cikin filin x-y ta hanyar da’irar Mahr ba ya da alaƙa da wata zato game da damuwoyi σz, τxz, τyz masu tsaye a kan wannan fili.

Hoto 12

Haka nan kuma wannan ya shafi mafi janar yanayin damuwa na tridimensional, idan ana kwatanta kawai waɗancan farfajiyoyin yanke da dukkansu suke wucewa ta layi ɗaya, wanda a nan aka zaɓa a matsayin gatarin z da ξ. Domin bisa ga ƙa’idodin sauyawa na gama-gari (15), damuwar al’ada σ ba za ta iya zama marar iyaka ga kowace farfajiyar yanke ba, dole ne ta kasance tana da iyakar ƙarshe σ1 ga wata farfajiya, da mafi ƙanƙanta σ3 ga wata, waɗanda dukkansu, a fili, za su iya kasancewa marasa kyau ma. Idan aka ɗora farfajiya ta wurin vektocin σ1 da σ3 kuma aka zana da’irar Mohr (sl. 13)

Hoto 13

don matakan damuwa da ke kwance a cikin wannan jirgin (wato dukkan hanyoyin da ke daidai da wannan jirgi), to σ1 da σ3 su ne manya da ƙanana matakan damuwa na al’ada da za su iya bayyana, saboda haka dole su kasance masu daidaiton juna. Idan an ƙara hanyoyin 1 da 3 da hanyar 2, ta yadda waɗannan hanyoyi uku suka zama tsarin daidaitattun kusurwoyi, kuma idan aka zana da’irorin Mahr don jirage 1 ~2 da 2 ~ 3, to σ2 ga ɗaya daga cikin waɗannan da’irori shi ne mafi girma, kuma ga ɗayan shi ne mafi ƙanƙanta na al’ada, saboda haka a wuraren da ke daidai da hanyoyin 1, 2 da 3 matakin yankan ya zama sifili. Uku matakan damuwa na al’ada masu daidaiton juna σ1, σ2 da σ3, waɗanda ba su da matakan yanka masu dacewa, ana kiran su manyan matakan damuwa.

    Iyakacin zubowa da iyakar rugujewa a yanayin damuwa na sarari

Yanayin damuwa ana kiransa na ɗaya-, biyu- ko uku-dimensional, in ba haka ba: layi, lebur ko sarari, gwargwadon ko ɗaya, biyu ko dukkan manyan damuwa ukun ba su daidai da sifili. A cikin sassan gine-gine da ake amfani da su mafi yawa, wato sandar da aka ja, aka matsa da aka lanƙwasa, yanayin damuwa, aƙalla a wuraren da aka fi ɗora mata nauyi, yana da girma guda ɗaya, haka ma a gwaje-gwajen ja, matsawa ko lanƙwasa, waɗanda kusan kawai ake amfani da su wajen gwajin kayan don tantance damuwar da aka yarda da su. Akasin haka, a cikin faranti da aka ɗora a cikin faɗinsu ko a tsaye a kansu, da kuma a cikin harsashi, yanayin damuwa yana da girma biyu, kuma a wasu lokuta kuma ana bayyana yanayin damuwa na girma uku, don haka ya zama dole a fitar da sakamako game da yadda kayan ke nuna hali a yanayin damuwa na sarari bisa ga iyakar miƙewa da karyewa, da aka ƙayyade a yanayin damuwa na girma ɗaya.