Alapfogalmak
Az anyagellenállás feladata annak meghatározása, hogy egy szilárd test (pl. építmény, szerkezeti elem vagy talaj) milyen külső erőket képes elviselni. A kérdés megválaszolásához két szempontból indulunk ki: egyrészt a feszültségek nem léphetnek túl bizonyos, az anyag fajtájától függő határértékeket, másrészt a külső és belső erők közötti egyensúlynak stabilnak kell lennie. Ennek megfelelően az anyagellenállás valamennyi problémája felosztható „feszültségproblémákra” és „stabilitási problémákra.”
Rudaknál és gerendáknál, valamint az ezekből összeállított tartóknál (rácsos tartók, keretek) a feszültségek meghatározása két lépésben történik, mégpedig úgy, hogy először a megadott külső erők alapján kiszámítják a keresztmetszeten keresztül átadódó belső erők eredőjét, majd ezekből a „keresztmetszeti erőkből” határozzák meg a feszültségeket. Az első részfolyamat egy különálló, kiterjedt szakterületet alkot, az épületszerkezetek statikáját, amely kidolgozott saját módszerekkel rendelkezik, és amelyet általában elválasztanak az anyagellenállástól, amelynek feladata a feszültségek meghatározása a megadott keresztmetszeti erőkből.
Az anyagok szilárdságának alapfogalmai
A feszültség definíciójához a következő alapvető megfontolások vezetnek. Tegyük fel, hogy a testre külső erők egyensúlyi rendszere hat. Képzeljük el, hogy a testet egy tetszőleges metszéssel két részre osztottuk, és az egyik részt az arra ható erőkkel együtt eltávolítottuk; ekkor a másik részre gyakorolt hatását úgy kell helyettesíteni, hogy az erők egyensúlya és az alakváltozások eloszlása változatlan maradjon, a metszet felületén átadódó kiegészítő erőkkel. Ezek a „belső” erők folyamatosan oszlanak el a metszet felületén, így a dF felületelemnek a dβ erő felel meg. Ha képezzük a dβ dF hányadost és a dF -> 0 határátmenetet végezzük el, akkor ez a hányados egy határértékhez tart, amelyet feszültségnek nevezünk. Egy adott felületelem feszültsége, akárcsak dβ, felbontható a dF-re normális és tangenciális komponensekre: normálfeszültség σ, nyírófeszültség τ.
Ha ugyanazon ponton különböző irányokban metszeteket veszünk fel, azokhoz különböző feszültségek tartoznak. Különösen, ha a testből kiemelünk egy elemi hasábot, amelyet a 1 ábra mutat, annak mind a hat felületén egy-egy feszültségvektor hat, amely a koordinátatengelyek x, y, z irányában három komponensre bontható. A szemközti felületeken ható feszültségek egymástól természetesen csak differenciális mértékben különböznek, ezért meg kell különböztetni 3 * 3 = 9 komponensfeszültséget, amelyeket a következőképpen jelölünk:
A normálfeszültségekhez σ annak a tengelynek az indexe tartozik, amelynek irányában hatnak, és pozitívnak tekintjük őket, ha húzást okoznak, negatívnak, ha nyomást okoznak. A nyírófeszültségek τ két indexet kapnak, ezek közül az első megegyezik a megfelelő normálfeszültség indexével, a második pedig annak a tengelynek felel meg, amelynek irányában a nyírófeszültség hat. Ha a megfelelő normálfeszültség pozitív iránya a pozitív (negatív) koordinátatengely irányába esik, akkor a nyírófeszültséget is pozitívnak tekintjük, ha a pozitív (negatív) koordinátatengely irányában hat.
1. ábra
A nyírófeszültségek konjugáltsága
Ha az elemi téglatest, l. 1, esetén azt a feltételt írjuk elő, hogy valamennyi erő nyomatéka az x tengelyre vonatkoztatva nulla, akkor adódik: τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz Ebből, valamint az y és z tengelyre vonatkozó két megfelelő egyenletből következik, hogy azonos indexű nyírófeszültségek egymással egyenlők: τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (1)
Komponensdeformációk
Hogy a fent meghatározott feszültségeknek fizikai értelmük van, az abból következik, hogy megfelelnek annak a definíciónak, amelyet minden test elszenved a külső erők hatására. Az ábra 2 egy elemi téglatestet mutat, amely deformáció előtt téglalap alakú volt, és éleinek hossza dx, dy, dz volt. A deformáció utáni élhosszakat dx + Δdx, dy + Δdy, dz + Δdz alakban jelölhetjük; az εx = Δdx|dx, εy =Δdy|dy, εz = Δdz|dz hányadosokat nyúlásoknak nevezzük. Ezek dimenzió nélküli mennyiségek, és az építőiparban szóba jövő valamennyi anyagnál kicsik a 1 értékéhez képest. Az élek megnyúlásán kívül az elemi dx * dy * dz téglatest az oldalai közötti eredetileg derékszögek változását is elszenvedheti.
Ábra 2. komponensdeformáció
Legyen a deformáció után az OC él mentén találkozó síkok közötti szög egyenlő 
, és hasonlóan az AO él mentén a derékszög csökkenése legyen γyz, az OB él mentén pedig γzx. E három szögváltozás γxy, γyz, γzx csúszásnak nevezik, és a 1 szerint ezek is mindig kicsik. A hat komponensű ε és γ együttesen teljesen meghatározza az elemnégyzet alakváltozását a „kis deformáció” esetében. A térfogatelem változása d_V = dx * dy * dz_ mellett ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, ahonnan, ha a dilatációk szorzatait mint magasabb rendű kicsinyeket elhanyagoljuk, a köbös dilatáció ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2) adódik
Elmozdulások
A szilárd test deformációja teljes mértékben leírható úgy is, hogy minden egyes pontjához megadjuk az adott pont által elszenvedett elmozdulást. Ha a vizsgálatból kizárjuk azokat a végső nagyságú elmozdulásokat, amelyek merevtest-elmozdulásnak felelnek meg, mégpedig úgy, hogy szükség esetén a számításban mozgatható koordináta-rendszert veszünk fel, akkor a komponens elmozdulások μ, ν, ω is mindig kis nagyságúak, és koordináták szerinti deriváltjaik kicsik 1 képest. E feltételezés mellett az á. 3 szerint a vonalelem OA = dx hossza deformáció után
tehát 
(3)
Hasonló módon a sl. 3 ábrából látható, hogy a csúszás γxy γ1 + γ2: továbbá
(4)
Ábra 3 csúszás
(5) 
(6)
Ezeket az összefüggéseket kompatibilitási feltételeknek nevezik, és azt fejezik ki, hogy a deformált elemek mozaikszerűen illeszthetők úgy, hogy a tér folyamatosan kitöltött maradjon, ami nem valósítható meg, ha az elemek deformációi önkényesek. A kompatibilitási feltételek differenciálegyenletek, ezért természetesen mind a hat komponensdeformáció minden egyes hasábra nézve egymástól független, de elrendezésük minden végesen kiterjedt tartományban a (5) és (6) feltételeihez kötött.
Mivel ezeket a feltételeket a (3) és (4) egyenletek differenciálásával kaptuk, levezetésük során az eredeti egyenletekben foglalt kapcsolatok egy része elveszik. Ezért nem elegendő, ha e két egyenletrendszer közül csak az egyik teljesül; a deformáció kompatibilitásának biztosításához mindkét egyenletrendszert teljesíteni kell.
Differenciálegyenletek az elaszticitás rendszerében
A rugalmas testek feszültségeinek és alakváltozásainak számítására a következő egyenletek szolgálnak:
A térfogatelem egyensúlyi feltételei. A három tengely körüli nyomatékok nullával egyenlő feltételeit már felhasználtuk a (1) egyenlet levezetésénél. Az erők egyensúlyi feltételei a 4. ábra szerint adódnak
Ábra 4
(7a-c)
Ha X, Y, Z jelöli a térfogati erők komponenseit (pl. súly, centrifugális erő) egységnyi térfogatra vonatkoztatva. A feszültségek és alakváltozások közötti kapcsolatok. Ezen a komponensfeszültségek és a komponensalakváltozások közötti kapcsolatot értjük. Az elaszticitáselméletben rendszerint csak a lineáris kapcsolat jön szóba, amelyet a Hooke-törvény fejez ki:
(8a-c)
(8d-f)
Ha az egyenleteket (8a-c) a feszültségekre oldjuk meg, akkor a következő adódik:
(8 a)
kso és két megfelelő egyenlet. A Hooke-törvény, amelyet az (8) egyenlet fejez ki, nem valamiféle szigorúan érvényes természeti törvény, hanem a valós viselkedés idealizálása, amely ettől az anyagtól és a feszültség nagyságától függően kisebb-nagyobb mértékben eltér. Tekintettel arra, hogy a bonyolult, nemlineáris feszültség–deformáció kapcsolatokkal jellemezhető anyagellenállási problémák matematikai feldolgozása összehasonlíthatatlanul nagyobb nehézségeket okoz, és valójában csak a legegyszerűbb esetekben vihető végig, még azoknál az anyagoknál is (beton!), amelyek viselkedése jelentősen eltér a Hooke-törvénytől, az azon alapuló számításokat első, és többnyire egyetlen közelítő megoldásként kell használni; ez egyébként rendszerint igen jól használható, és a belátás a pusztán kvalitatívnál többet nyújt. G = E|2 (1+μ).
Ez szükségszerűen következik a feszültség és a deformáció közötti összefüggésből (8), a feszültségekre vonatkozó transzformációs egyenletekből (16) és a komponensdeformációkra vonatkozó megfelelő egyenletrendszerből. Az E és G mérete feszültség dimenziójával rendelkezik, és valamennyi építőanyag esetében nagy a fellépő σ és τ feszültségekhez képest. E tényen alapul az a feltételezés, amelyet a rugalmasságtanban mindenütt elfogadnak, hogy a deformációk kicsik. A keresztirányú dilatáció együtthatója (Poisson-szám) μ dimenzió nélküli, és mindig 0 és 1/2 között van.
A komponensdeformációk és az elmozdulások közötti kapcsolatok. Ezeket a kapcsolatokat a (3), (4) egyenletek adják meg. Ezek tisztán geometriai természetűek. Ez a három rendszer 3+6+6=15 egyenletet ad 15 ismeretlenre, mégpedig 6 komponensfeszültségre, 6 komponensdeformációra és 3 komponenselmozdulásra. Ennélfogva elegendők e mennyiségek meghatározására. Az ilyen terjedelmes differenciálegyenlet-rendszer matematikai kezelése természetesen csak különleges esetekben lehetséges. Ha az (8) egyenletben a komponensdeformációkat a (3) és (4) egyenletek szerint komponenselmozdulásokkal helyettesítjük, majd a normálfeszültségeket σ és a nyírófeszültségeket τ a (8 d - f) egyenletek szerint bevezetjük az egyensúlyi feltételekbe, egyenl. (7), akkor olyan differenciálegyenletek adódnak, amelyeket az elaszticitáselmélet alaptételeinek neveznek.
(9)
ahol a 
a Laplace-operátort jelöli. Tekintettel a (2) három differenciálegyenletről van szó három komponensnyi elmozdulással μ, ν, ω; ezekből viszont differenciálással a (3), (4) és (8) alapján valamennyi komponensnyi feszültség és alakváltozás meghatározható. A (9) egyenletek gyakran alkalmas kiindulópontot jelentenek speciális esetek vizsgálatához.
Alakváltozási munka
Definíció
Amikor a tartót terheljük, a külső erők támadáspontjai rugalmas elmozdulásokat szenvednek, és az erők eközben bizonyos munkát végeznek. Ily módon a bevitt energia különböző formákba alakulhat át. Ha a terhelés hirtelen történik, úgy hogy a deformáció folyamata jelentős sebességgel megy végbe, az energia egy része kinetikus energiává alakul, amely az idő múlásával szétoszlik, vagy úgy, hogy rugalmas hullámként továbbadódik a talajba, ahol a végtelenben elenyészik, vagy úgy, hogy belső súrlódás útján hővé alakul. Ha a terheket olyan lassan adjuk fel, hogy közben nem keletkezik észrevehető kinetikusenergia-növekmény, tehát a nulláról fokozatosan növekvő terhek állandó egyensúlyban vannak a belső erőkkel, akkor az energia nyilvánvalóan kizárólag a test deformálására fordítódik, és ekkor deformációs munkának nevezzük.
A deformációs munka számítását először egy egyirányú húzásra terhelt elemen mutatjuk be (l. 5).
Tegyük fel, hogy a meglévő σ feszültség és a hozzá tartozó ε alakváltozás dσ és dε növekményeket szenved. Ekkor a σdF erő a dε * dl úton σdF * dεdl = σdεdV munkát végez, ha a dV a kis térfogatot jelöli. Ha a feszültség nulláról a végső értékére nő, és ennek megfelelően az alakváltozás 0-tól ε-ig tart, akkor az egységnyi térfogatra eső összesített munka a következő lesz:
Hasonlóképpen a nyírófeszültséggel τ terhelt elem esetén (lásd 6. ábra) az egységnyi térfogatra jutó alakváltozási munka (specifikus alakváltozási munka, rugalmas potenciál):
melyek közül csak az egyik τ * dF erő végez munkát.
Általános esetben, amikor az elemi részecskét mind a hat komponensfeszültség éri, a specifikus alakváltozási munka az egyes komponensfeszültségek munkáinak összegeként adódik:
(10)
Az egyes integrálok felső határa szerinti differenciálásával az általános esetben érvényes összefüggéseket kapjuk:
(11)
és hasonlóan a többi komponens-deformációra is. Ha a test rugalmas, akkor minden meghatározott feszültségi állapothoz mindig ugyanaz a deformációs állapot tartozik, függetlenül attól, hogy az állapot terhelés vagy tehermentesítés során jött-e létre. Ekkor az integrálok alatt egyértelmű függvények állnak, és a terhelés, majd a teljes tehermentesítés során felhasznált összes energia a = 0, tekintettel arra, hogy ebben az esetben az integrálok felső határai nullává válnak. Következésképpen a testnek a terhelés során közölt teljes energia tehermentesítéskor visszanyerhető.
Ábra 6
7 kép
Nem teljesen rugalmas test esetén a feszültség és a deformáció kapcsolata a teljes terhelési és tehermentesítési ciklusra közelítőleg az ábrán 7 jelzett O A B görbével írható le. A terhelés során bevitt energia 
értéke megegyezik az OAA területtel, a tehermentesítéskor visszanyert energia pedig az ABA területnek felel meg, így az áthúzott területnek megfelelő munka elvész (hővé alakul). Ha az oszcillációs folyamatban a feszültség periodikusan a pozitív határérték 
és a negatív határérték 
között változik, akkor a nem rugalmas alakváltozás az ábrán 7 látható szaggatott vonalakhoz hasonlóan alakul, és minden egyes rezgésperiódus során egységnyi térfogatra vetítve DABCD energiává alakul át hő formájában. Az ilyen viselkedést, amikor az alakváltozás a feszültség mögött marad, rugalmas hiszterézisnek nevezzük, az DABCD görbét pedig hiszterézisgörbének.
Alakváltozási munka és a Hooke-törvény
Ha az ( 10) egyenlet integráljaiba behelyettesítjük a Hooke-törvényt, elvégezhető az integrálás, és a fajlagos deformációs munkára a következő kifejezések adódnak:
(12a)
(12b)
(12c)
Ha e formák közül a másodikat behelyettesítjük az egyenletbe (11), ismét a Hooke-törvényt kapjuk, az (8) egyenleteket feszültségekre rendezett alakban. Az a kijelentés, hogy a deformációs munka a komponensdeformációktól függ, amint azt a (12b) egyenlet mutatja, ezért egyenértékű a Hooke-törvénnyel. Amikor a (12c) egyenletet feszültségek szerint differenciáljuk, megkapjuk
(13)
Ezek az alakzatok, szemben a (11) alakzatokkal, csak olyan testekre érvényesek, amelyek a Hooke-törvény szerint viselkednek, és nem alkalmazhatók, ha a feszültségek és deformációk kapcsolata más. Magától értetődik, hogy a (13) egyenletek jobb oldalán csak a feszültségek által kiváltott komponensdeformációk szerepelnek, és kizárják mindazokat, amelyek esetleg hőmérséklet-változás, kúszás, duzzadás, rekristályosodás stb. következtében jöhettek létre.
AZ ELASZTICITÁS ELMÉLETÉNEK INTEGRÁLIS ELVEI
Virtuális elmozdulások. A potenciális energia minimumának elve
Ahogyan Hooke törvényét, az egyenleteket (8) egyetlen egyenlettel (12b) lehet helyettesíteni, úgy az egyensúlyi feltételek helyett is bevezethető a virtuális elmozdulások elve mint általánosan érvényes alapvető mechanikai törvény. Ez a törvény azt fejezi ki, hogy az egyensúlyi állapotokat az jellemzi, hogy bennük az erők összesen végzett munkája a deformációs állapot kis megváltozásakor nulla. Ha az elasztikus elmozdulások kis változásait δμ δν, δω jelöli, akkor a (7) egyenlettel meghatározott térfogati erők virtuális munkát végeznek
a felületi erők px, py, pz, amelyek a test külső felületének dF elemére hatnak, munka 
ahol a hármas integrál az ամբողջ térfogatra, a kettős pedig a test teljes külső felületére vonatkozik. A belső erők által végzett munka kiszámítására a (12b) egyenletet használjuk, így térfogategységre eső munkára az adódik
A virtuális elmozdulások elve ebből következően azt adja, hogy
(14)
Ha az X, Y, Z px, py., pz terheléseket a nehézségi erő komponenseiként (saját tömeg és külső terhelés) értelmezzük, akkor a jobb oldalon szereplő integrálok azt a potenciális energiát jelentik, amelyet ezek a terhek elveszítettek, míg a bal oldal a test potenciális (rugalmas) energiájának növekményét mutatja; így ez az elv azt fejezi ki, hogy a tartó és a rajta fekvő terhek teljes potenciális energiája egyensúly esetén szélsőértéket vesz fel. Ha ez a szélsőérték minimum, az egyensúly stabil.
A potenciális energia minimumának elvét a (14) egyenlet fejezi ki, a deformációs munkára vonatkozó (12b) kifejezés, valamint a deformációk kompatibilitási feltételei (5), (6) olyan egyenletrendszert alkotnak, amely elegendő az elaszticitás elméletének felépítéséhez, és lényegében ekvivalens az egyenletrendszerrel. Ez a rendszer különösen hasznos lehet azokban az esetekben, amikor a differenciálegyenletek (9) kielégítése számítási nehézséget jelent, és ezért közelítő megoldást kell keresni, például az elmozdulásokra előre feltételezett megfelelő alakot, amely néhány szabad állandót tartalmaz, majd ezeket abból a követelményből határozzák meg, hogy a (14) egyenlet teljesüljön. Így ugyan nem a probléma szigorú megoldása adódik, hanem csak a választott megoldási alakkal elérhető legjobb közelítés. Hogy a közelítés elegendő-e, elsősorban az elfogadott megoldási alaktól függ, ezért a módszer sikeres alkalmazása ügyességet és tapasztalatot igényel.
Castigliano-elv
Míg a potenciális energia minimumának elvénél minden olyan alakváltozási állapotot összehasonlítunk, amely megfelel az alakváltozási kompatibilitás feltételeinek, és ezek közül kiválasztjuk azokat, amelyeknél a megfelelő feszültségek kielégítik az egyensúly feltételeit, addig Castigliano elvénél minden olyan feszültségi állapotot hasonlítunk össze, amely kielégíti az egyensúly feltételeit, és ezek közül azokat választjuk ki, amelyeknél a megfelelő alakváltozások kielégítik az alakváltozási kompatibilitás feltételeit. Ez az elv így hangzik: az összes lehetséges egyensúlyi állapot közül az valósul meg, amelyhez a legkisebb alakváltozási munka tartozik. A Castigliano-elv a deformációs munkára vonatkozó egyenlettel (12c) és az egyensúlyi feltételekkel együtt olyan egyenletrendszert alkot, amely elegendő az anyagok ellenállásának meghatározásához. Mivel ez az elv tartalmazza a Hooke-törvényt, alkalmazhatósága ahhoz a feltételezéshez kötött, hogy az alakváltozások teljes mértékben leírhatók e törvénnyel. Ez nemcsak az anyag lineárisan rugalmas viselkedését kívánja meg, hanem a hőmérsékletváltozásokat is kizárja.
Az anyag viselkedése az elaszticitási határok felett
Jelenségek statikus terhelésnél
Az anyagok alakváltozása feszültség hatására nagyon összetett jelenség, ezért több szempontból egyszerűsíteni kell ahhoz, hogy érthető legyen. Ezen egyszerűsítések egyike az a feltételezés, hogy a terheléseket fokozatosan kell felvinni, ahogyan ezt például a szakító- és nyomóvizsgálatok során a próbatestekkel teszik.
Ha egy szakító terhelésnek kitett acélrudat fokozatosan növekvő terhelésnek teszünk ki, és mérjük a nyúlását ε, a 8 ábrán látható diagramot kapjuk. Kezdetben a nyúlás nagyon kicsi és arányos a feszültséggel, ahogyan azt a Hooke-törvény megköveteli. Egy bizonyos feszültségtől kezdve az arányosság megszűnik, és a nyúlás gyorsabban növekszik. Az arányossági határ pontos helyét nehéz meghatározni. Minél pontosabb a mérés, annál alacsonyabbnak adódik. A legtöbb anyagnál ez σ = 0 értéknél van, és a Hooke-törvény ekkor csak az elasztikus viselkedés első közelítése, az ε = ε(σ) függvény Taylor-sorfejtésének első tagja a koordinátaorigó környezetében.
Ha a rudat tehermentesítjük, észrevehető, hogy ha a feszültség nem volt túl nagy, a deformáció is eltűnik, a Hooke-törvénnyel összhangban. Ez azonban akkor is megváltozik, ha túllépnek egy bizonyos, a proporcionalitási határ közelében fekvő feszültséget, az úgynevezett rugalmassági határt; ekkor az összes deformáció rugalmas (visszatérő) és nem rugalmas (maradó) részből áll. A rugalmassági határ sem határozható meg pontosan, és minél nagyobb a mérési pontosság, annál alacsonyabban található. Mivel azonban nagy műszaki jelentősége van, mert szinte minden anyagszilárdsági számításnál a használhatóság határát jelenti, ugyanakkor azt a határt is, ahol az első maradó károsodások keletkeznek, a próbadarabok vizsgálatánál valamely elfogadott konvenció szerint szigorúan meghatározzák, így például a 0.2% határként azt a feszültséget jelölik, amelynél a maradó nyúlás eléri a 0.2% értéket.
Közvetlenül a rugalmassági határ túllépése után a deformáció hirtelen megnő, és szabad szemmel is észlelhető; közel állandó feszültség mellett a rúd folyamatosan megnyúlik. Ezt a feszültséget folyáshatárnak nevezzük. Hidraulikus anyagvizsgáló gépeknél a folyás megkezdődése után ezen felül többé-kevésbé kifejezett feszültségesés is megfigyelhető; amint azt a 8 ábra szaggatott görbéje mutatja; ekkor a maximumot felső folyáshatárnak, az ezt követően fellépő állandó folyási feszültséget pedig alsó folyáshatárnak nevezzük.
Egy bizonyos, szinte teljesen nem rugalmas nyúlás elérése után a feszültség ismét növekedni kezd, az anyag megszilárdul. Ebben a terhelési tartományban a rúd keresztmetszete a (nem rugalmas) oldalkontrakció következtében észrevehetően csökken, és a feszültség–alakváltozás diagram további menete elsősorban attól függ, hogy a σ feszültség számításánál a rúdra ható P húzóerőt az eredeti F0 keresztmetszettel, vagy az aktuális F keresztmetszettel osztjuk-e el. Műszaki célokra a P|F0 feszültség az érdekes. Ez a feszültség egy maximumn megy át, amelyet az anyag szilárdságának neveznek, és ennek a maximumnak az átlépése után a rúd egy helyen erősen elvékonyodik és elszakad. A „valós feszültség” P|F a törésig növekszik.
Ábra 8.
Más fémek viselkedése sok tekintetben eltér az itt leírttól. A folyás gyakran nem kifejezett, és a megszilárdulás közvetlenül a rugalmassági határ túllépése után kezdődik. Rideg anyagoknál (kő, üveg, beton) a nem rugalmas alakváltozások általában kicsik, és már csekély nyúlás esetén is törés következik be. Az a teljes nyúlás, amelyet az anyag a törésig elszenved, az anyag nyúlóképességének (ellentéte: ridegségének) mértéke, és ezt acél esetében a műszaki előírások pontosan megszabják. Mivel azonban közvetlenül a törés előtt a további alakváltozás a szűkített keresztmetszet környezetére koncentrálódik, a törési nyúlás értéke különböző lesz aszerint, hogy a mért hosszhoz a rúdból nagyobb vagy kisebb részt veszünk alapul, ezért az egyértelmű és egymással összehasonlítható eredmények eléréséhez előzetesen valamilyen meghatározott konvenciót kell elfogadni. A törési nyúlást általában úgy mérik, hogy a d átmérőjű köracél rúdon a vizsgálat előtt megjelölik az Ι mérési hosszt, amely Ι = 10 d, és ennek megnyúlásából, ΔΙ-ből számítják ki a törési nyúlást: εs_Ι = _ΔΙ|Ι. Ha más keresztmetszetű rudakat kell vizsgálni, a mérési hossz annak a kör keresztmetszetű hengeres rúdnak az átmérője alapján határozandó meg, amelynek ugyanakkora a keresztmetszeti területe.
Hosszú távú terhelés
A szakítópróba lefolyása szempontjából meglehetősen közömbös, hogy a törésig növekvő terhelés 10 m perc vagy néhány óra alatt éri el a végső értéket. Ha azonban a terhelés évekig vagy évtizedekig hat, bizonyos feltételek mellett megfigyelhető, hogy a folyás határa alatt, állandó feszültség mellett a deformáció idővel lassan növekszik. Közben a rugalmas rész, vagyis az a rész, amely a végleges tehermentesítéskor eltűnik, nem változik számottevően. Ezt a hosszú idő alatt bekövetkező, képlékeny alakváltozás-növekedést kúszásnak nevezzük. Fémeknél – az ólom kivételével – a kúszás csak magas hőmérsékleten jelentős, azonban az építőmérnök számára a beton esetében is szerepet játszik, amely nyomás alatt lassan enged, így a nyomófeszültség a nyomott vasalásban, ha ilyen van, növekszik.
Változó terhelés
Hogy a húzópróbával kapott anyagi mechanikai jellemzőket a szerkezetek megengedett terhelésének mércéjeként lehessen alkalmazni, feltétel, hogy az anyag minden ismételt terhelésnél elviselje azt a feszültséget, amelyet egyszer károsodás nélkül viselt el. Ez a feltétel nem teljesül, ha az anyag gyakori terhelési és tehermentesítési ismétléseknek van kitéve, mint például a teljesen kiegyensúlyozatlan gépek tehetetlenségi erőivel terhelt tartók esetében. A terhelések kellően gyakori ismétlésével a szerkezeti elem töréshez vezethető még olyan feszültségnél is, amely messze az alatt van az anyag egyszerű statikai vizsgálattal meghatározott szilárdságának. Az ilyen típusú törést fáradási törésnek nevezzük. Az n terhelési ciklusok száma, amelyeket az anyag elviselhet, a σ feszültség nagyságától függ, így minél kisebb a feszültség, annál nagyobb ez a szám. E függés tipikus példáját a 9 ábra mutatja, amelyből látható, hogy az anyagszilárdságnak van egy alsó határa, amelyet tetszőlegesen nagy számú terhelési ciklus esetén is elvisel, és amelyet dinamikus anyagszilárdságnak nevezünk. Az ilyen típusú diagramokat (l. 9) Wöhler-görbéknek nevezzük.
Kép 9.
Szerkezetek biztonsága
Két határterhelés jelentős a szerkezetek számára: az a terhelés, amelynél megjelennek az első maradandó károsodások (folyáshatár), és az a terhelés, amelynél a szerkezet teherbírása kimerül, és így eltörik (töréshatár). Mivel a folyáshatár előtt legalább közelítőleg érvényesek az anyagellenállás feltételezései (kis elmozdulások, Hooke-törvény), a maradandó alakváltozásokkal szembeni biztonság megbízhatóan meghatározható minden olyan esetben, amikor a matematikai nehézségeket sikerül leküzdeni. Ha a feszültség arányos a terheléssel, akkor a folyási feszültség és a szerkezetben fellépő legnagyobb feszültség viszonya megegyezik a folyást okozó terhelés és a tényleges terhelés viszonyával, és a folyással szembeni biztonsági tényezőt adja. Azonban számos esetben ez az egyszerű kapcsolat nem áll fenn: hajlítás húzás kizárása mellett, nyomás a domború felületek között, változó szerkezetű rendszerek, és különösen kedvezőtlenül, tengelyirányú erővel kombinált hajlítás. Mindezekben az esetekben a terhelés viszonylag kis növelése is a feszültség nagy növekedéséhez vezethet, és ekkor nem elegendő a szokásos biztonsági tényezőt a feszültségekre alkalmazni, hanem azt a terhelésre kell alkalmazni.
Azok a jelenségek, amelyek a folyáshatár túllépése után a tönkremenetelig következnek be, a legtöbb esetben már csak minőségileg követhetők. Ha az anyag képlékeny, azok a részek, ahol a folyáshatár először elérhető, és amelyek ezután állandó feszültség vagy csak csekély mértékben növekvő feszültség mellett tovább deformálódnak, csak kis mértékben vesznek részt a további terhelés felvételében, így a szerkezet többi, kisebb igénybevételű része — amennyiben ez annak szerkezete miatt lehetséges — nagyobb mértékben vesz részt a teherhordásban. Ebben a feszültségcsúcsok kiegyenlítésére való törekvésben bizonyos biztonsági tartalék rejlik, amely számításba vehető, ha egyes részeknek egyetlen jelentős terhelés hatására bekövetkező maradó alakváltozása nem káros (határterhelési módszer).
Ha az anyag rideg, az első maradó károsodás repedések formájában jelentkezik, amelyek miatt a veszélyeztetett helyen még erősebb feszültségkoncentráció alakul ki, ami azonnal törést okoz. A kifáradás miatti törés a duktilis anyagoknál is rideg törés jellegzetességeit mutatja.
Feszültségek kapcsolata különböző metszősíkok esetén
Átalakítási egyenletek
A 1 ábrán látható kilenc feszültségkomponens három egyensúlyi feltétellel van összefüggésben. A fennmaradó hat mennyiség, σx, σy, σz, τxy, τyz, τzx, egymástól függetlenül tetszőleges értékeket vehet fel, amint az az elaszticitáselmélet differenciálegyenleteinek levezetéséből látható. Amikor azonban ezek az értékek adottak, a szilárd test valamely pontjában fennálló feszültségállapot teljesen meghatározott, vagyis ha három egymásra merőleges sík feszültségei ismertek, akkor egyértelműen meghatározható egy negyedik sík feszültsége is, amely az adott ponton halad át, és amelynek normálisa tetszőleges irányú.
Az ábrán 10 az OABC tetraéder látható, amelynek három oldala az x, y, z koordinátarendszer síkjaival párhuzamos, a negyedik pedig egy tetszőleges irányultságú felületelem, ABC = dF. Annak irányának és az azon át közvetített feszültség irányának megjelölésére egy második koordináta-rendszert vezetünk be, amelynek ξ tengelye merőleges a dF. felületre.
Kép 10
Aξ tengely irányában erre a tetraéderre ható erők egyensúlyának feltétele azt adja:
Ha figyelembe vesszük, hogy
keletkezik
és hasonlóképpen az η tengely irányú egyensúlyi feltételből:
Ezek azok az egyenletek, amelyek a koordináta-transzformáció során fellépő feszültségek számítására szolgálnak. Különösen fontos, hogy csak olyan felületelemeket dF vegyünk figyelembe, amelyeknél a ξ-tengely egybeesik a z-tengellyel. Erre az esetre vonatkozó alakokat az előző alakok egyszerűsítésével kaphatjuk meg, vagy közvetlenül a 11 ábráról olvashatjuk le:
11 ábra
A normálfeszültség az α = α0 irányokban veszi fel szélsőértékeit, amelyekre dσξ/dα = 0. Differenciálással az (16) egyenletből kapjuk
tehát, amikor ezt a kifejezést nullával egyenlővé tesszük
A τξη feszültség ugyanakkor ezekben a síkokban a teljes nyírófeszültség lesz, ha τyz = τzx = 0. Ekkor az (17) egyenlet két egymásra merőleges irányt határoz meg, amelyekre: 1. a teljes nyírófeszültség nulla, és 2. a normálfeszültség szélső értékeket (maximumot és minimumot) vesz fel. Ezeket az irányokat a főfeszültségek irányainak nevezzük, a megfelelő feszültségeket pedig főfeszültségeknek nevezzük. Ezeket σ1 és σ2 jelöli, és közvetlenül a képletből számíthatók
Mohr-kör
Az egyenletek (16) szemléletesen, grafikus úton is ábrázolhatók. Ennek céljából a következő alakra kell őket átalakítani:
Ezek az egyenletek a σ, τ koordinátarendszerben a 12. ábrán felrajzolt kör egyenletének paraméteres alakját jelentik, amelynek középpont-koordinátái σ = 1/2 (σx + σy), τ = 0, és amelynek sugara
Ezt a kört Mohr-körnek nevezzük. Ha az x ponton át húzott, az x = const. metszővonalával párhuzamos egyenes, amelyen az σx, τxy feszültségek adódnak át, metszi a kört egy p pontban, amelyet a Mohr-kör pólusának nevezünk. Az ezen póluson át húzott bármely pξ egyenes a kört egy ξ pontban metszi, amely meghatározza az σξ, τξη feszültségeket, amelyek a pξ-vel párhuzamos metszeten adódnak át.
A nyírófeszültségek előjelét a Mohr-kör rajzolásakor figyelembe kell venni: felfelé kell felmérni őket, ha az ábrán 12c. szerint mutatott irányuk van. Ennek megfelelően a τxy, τyx két konjugált feszültség közül az egyik mindig pozitív, a másik pedig negatív.
A normálfeszültségek határértékeinek σ1, σ2 a körön a 1 és 2 pontok felelnek meg, a _p_1 és _p_2 egyenesek pedig a főfeszültségek irányait adják meg.
Az x-y síkban fekvő feszültségek Mohr-körrel való ábrázolása nem függ semmiféle feltételezéstől az erre a síkra merőleges σz, τxz, τyz feszültségekre vonatkozóan.
Ábra 12
Ez ennek megfelelően a legáltalánosabb háromdimenziós feszültségi állapotra is érvényes, ha csak azokat a metszősíkokat hasonlítjuk össze, amelyek mind ugyanazon egyenesen mennek át, amelyet itt a z és ξ tengelynek választottunk. Mivel az általános transzformációs egyenletek (15) szerint a normálfeszültség σ egyetlen metszősík esetében sem válhat végtelenné, valamely síkra véges maximuma σ1, egy másikra pedig minimuma σ3 kell hogy legyen, amelyek mindkettő, magától értetődően, negatív is lehet. Ha σ1 és σ3 vektorokon át síkot veszünk fel és felrajzoljuk a Mohr-kört (13. ábra 13)
Ábra 13
az ebben a síkban fekvő feszültségekre (vagyis azokra az irányokra, amelyek merőlegesek erre a síkra), ekkor a σ1 és σ3 a fellépő legnagyobb és legkisebb normálfeszültségek, ezért egymásra merőlegesek kell legyenek. Ha az 1 és 3 irányokat kiegészítjük a 2 iránnyal úgy, hogy ez a három irány derékszögű koordinátarendszert alkosson, és felrajzoljuk a Mahr-köröket az 1 ~2 és 2 ~ 3 síkokra, akkor a σ2 az egyik körnél a legnagyobb, a másiknál pedig a legkisebb normálfeszültség, és ezért az 1, 2 és 3 irányokra merőleges metszetekben a nyírófeszültség nulla. A három egymásra merőleges normálfeszültséget σ1, σ2 és σ3, amelyekhez nem tartoznak nyírófeszültségek, főfeszültségeknek nevezzük.
Folyási határ és törési határ térbeli feszültségi állapotban
A feszültségi állapotot egy-, két- vagy háromdimenziósnak, másképp: lineárisnak, síkbelinek vagy térbelinek nevezzük aszerint, hogy az egy, két vagy mindhárom főfeszültség eltér-e a nullától. A leggyakrabban alkalmazott szerkezeti elemeknél, vagyis a húzott, nyomott és hajlított rúdnál a feszültségi állapot legalább a legjobban igénybe vett helyeken egydimenziós, ugyanígy a húzó-, nyomó- vagy hajlítóvizsgálatoknál is, amelyeket az anyagvizsgálat során csaknem kizárólag a megengedett feszültségek meghatározására alkalmaznak. Ezzel szemben a saját síkjukban vagy arra merőlegesen terhelt lemezeknél, valamint a héjaknál a feszültségi állapot kétdimenziós, és bizonyos esetekben háromdimenziós feszültségi állapotok is fellépnek, ezért az egydimenziós feszültségi állapotban meghatározott folyási és törési határ alapján következtetéseket kell levonni az anyag térbeli feszültségi állapotbeli viselkedésére.