Асновы
Задача супраціўлення матэрыялаў заключаецца ў тым, каб вызначыць, якія знешнія сілы можа вытрымаць цвёрдае цела (напрыклад, збудаванне, канструктыўны элемент або грунт). Каб адказаць на гэта пытанне, зыходзяць з двух крытэрыяў: з аднаго боку, напружанні не павінны перавышаць пэўныя межы, якія залежаць ад тыпу матэрыялу, а з другога боку, раўнавага паміж знешнімі і ўнутранымі сіламі павінна быць устойлівай. У адпаведнасці з гэтым усе праблемы супраціўлення матэрыялаў можна падзяліць на “Праблемы напружання” і “праблемы ўстойлівасці.
У стрыжняў і бэлек, а таксама ўтвараных імі носьбітаў (фермы, рамы) вызначэнне напружанняў выконваецца ў два этапы, прычым спачатку на падставе зададзеных знешніх сіл вылічваецца выніковая ўнутраных сіл, якія перадаюцца праз папярочны перасек, а затым з гэтых “перасечных сіл” вызначаюцца напружанні. Першая частка працэсу ўяўляе сабой асобную, вялікую дысцыпліну — статыку будаўнічых канструкцый, якая мае распрацаваныя ўласныя метады і якая звычайна аддзяляецца ад супраціву матэрыялаў, задача якога зводзіцца да вызначэння напружанняў з дадзеных перасечных сіл.
Асноўныя паняцці супраціву матэрыялаў
Да вызначэння напружання прыходзяць праз наступныя асноўныя разважанні. Няхай на цела дзейнічае ўраўнаважаная сістэма знешніх сіл. Уявім, што мы адвольным перасекам падзялілі цела на дзве часткі і адну з іх выдалілі разам з сіламі, якія на яе дзейнічаюць; тады яе дзеянне на другую частку, каб раўнавага сіл і размеркаванне дэфармацый засталіся нязменнымі, павінна быць заменена дадатковымі сіламі, якія перадаюцца праз паверхню перасеку. Гэтыя “унутраныя” сілы бесперапынна размеркаваныя па паверхні перасеку, так што кожнаму элементу паверхні dF адпавядае сіла dβ. Калі ўтварыць адносіну dβ dF і зрабіць гранічны пераход dF -> 0, то гэтая адносіна імкнецца да гранічнага значэння, якое называецца напружаннем. Напружанне ў вызначаным элеменце паверхні, як і dβ, можа быць раскладзена на складнікі, нармальны і датычны да dF, нармальнае напружанне σ і зруховае напружанне τ.
Калі праз адну і тую ж кропку правесці сячэнні ў розных кірунках, ім будуць адпавядаць і розныя напружанні. Асабліва калі з цела вылучыць элементарны паралелепіпед, паказаны на рыс. 1, на кожнай з яго шасці паверхняў будзе дзейнічаць вектар напружання, які можна раскласці на тры кампаненты ў напрамку каардынатных восей x, y z. Напружанні, што дзейнічаюць на процілеглыя бакі паверхні, адрозніваюцца паміж сабой, натуральна, толькі на дыферэнцыял, таму трэба адрозніваць 3 * 3 = 9 кампанентных напружанняў, якія абазначаюцца наступным чынам:
Нармальным напружанням σ надаецца індэкс восі, у напрамку якой яны ляжаць, і лічацца дадатнымі, калі выклікаюць расцяжэнне, адмоўнымі, калі выклікаюць сціск. Зрухальныя напружанні τ атрымліваюць два індэксы: першы з іх такі ж, як індэкс адпаведнага нармальнага напружання, а другі адносіцца да восі, у напрамку якой дзейнічае зрухальнае напружанне. Калі дадатны напрамак адпаведнага нармальнага напружання супадае з напрамкам дадатнай (адмоўнай) каардынатнай восі, то і зрухальнае напружанне лічыцца дадатным, калі яно дзейнічае ў напрамку дадатнай (адмоўнай) каардынатнай восі.
Мал. 1.
Кан’югаванасць зрухавых напружанняў
Калі для элементарнага прамавугольнага блока, мал. 1, задаць умову, што момант усіх сіл адносна восі x роўны нулю, атрымліваецца τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz. Адсюль, а таксама з двух адпаведных раўнанняў для восяў y і z, вынікае, што зрухавыя напружанні з аднолькавымі індэксамі ўзаемна роўныя τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (1)
Кампанентальныя дэфармацыі
Тое, што напружанні, вызначаныя вышэй, маюць фізічны сэнс, вынікае з іх сувязі з дэфармацыяй, якой падвяргаецца любое цела пад уздзеяннем знешніх сіл. Мал. 2 паказвае адзін элементарны паралелепіпед, які да дэфармацыі быў прамавугольным і меў даўжыні рэбраў dx, dy, dz. Даўжыні рэбраў пасля дэфармацыі можна абазначыць як dx + Δdx, dy + Δdy, dz + Δdz; адносіны εx = Δdx|dx, εy =Δdy|dy, εz = Δdz|dz называюцца дэфармацыямі даўжыні. Гэта велічыні без памеру і ў ўсіх матэрыялаў, якія могуць выкарыстоўвацца ў будаўніцтве, малыя адносна 1. Акрамя падаўжэння рэбраў, элементарны паралелепіпед dx * dy * dz можа таксама зазнаць змяненне першапачаткова прамых вуглоў паміж сваімі гранямі.
Выява 2. кампанентная дэфармацыя
Няхай пасля дэфармацыі вугал паміж плоскасцямі, якія сыходзяцца ўздоўж рэбры OC, будзе роўны 
, і аналагічна няхай змяншэнне прамога вугла ўздоўж рэбры AO будзе роўнае γyz, а змяншэнне ўздоўж рэбры OB — роўнае γzx. Гэтыя тры змяненні вуглоў γxy, γyz, γzx называюцца зрухамі і таксама заўсёды малыя адносна 1. З шасці кампанент ε і γ цалкам вызначаецца дэфармацыя элементарнага квадара «дэфармацыя ў малым». Змяненне элемента аб’ёму d_V = dx * dy * dz_ ёсць ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, адкуль, калі занядбаць здабыткі дэфармацый як малыя велічыні вышэйшага парадку, атрымліваецца кубічная дэфармацыя ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2)
Перамяшчэнні
Дэфармацыю цвёрдага цела можна поўнасцю апісаць і такім чынам, што для кожнай з яго пунктаў задаецца перамяшчэнне, якое гэты пункт зазнаў. Калі з разгляду выключыць перамяшчэнні канечнай велічыні, што адпавядаюць перамяшчэнню жорсткага цела, такім чынам, што, калі гэта неабходна, у разліку прымаецца рухомая сістэма каардынат, тады і кампанентныя перамяшчэнні μ, ν, ω заўсёды малыя, а іх вытворныя па каардынатах малыя ў параўнанні з 1. Пры гэтым дапушчэнні паводле сл. 3 даўжыня лінейнага элемента OA = dx пасля дэфармацыі
такім чынам 
(3)
На падобны чынам са сл. 3 бачна, што слізганне γxy γ1 + γ2: і таксама
(4)
Рыс. 3 слізганне
(5) 
(6)
Гэтыя сувязі называюцца ўмовамі сумяшчальнасці і паказваюць, што дэфармаваныя элементы можна ўкласці як мазаіку так, каб прастора пры гэтым бесперапынна запаўнялася, чаго нельга дасягнуць, калі дэфармацыі элементаў адвольныя. Умовы сумяшчальнасці — гэта дыферэнцыяльныя ўраўненні, таму, зразумела, усе шэсць кампанент дэфармацыі для кожнага асобнага паралелепіпеда ўзаемна незалежныя, але іх размеркаванне ў кожнай канчаткова распасцёртай вобласці звязана ўмовамі (5) і (6).
Паколькі гэтыя ўмовы атрыманы шляхам дыферэнцавання з ураўненняў (3) і (4), пры іх вывадзе губляецца частка сувязяў, утрыманых у зыходных ураўненнях. Таму недастаткова, каб быў выкананы толькі адзін з гэтых двух сістэм ураўненняў, а неабходна задаволіць абедзве сістэмы ўраўненняў, калі хочацца забяспечыць сумяшчальнасць дэфармацыі.
Дыферэнцыяльныя ўраўненні сістэмы пругкасці
Для вылічэння напружанняў і дэфармацый у пругкіх целах служаць наступныя раўнанні:
Умовы раўнавагі аб’ёмнага элемента. Умовы, што моманты адносна трох восяў роўныя нулю, ужо былі выкарыстаны пры вывадзeнні раўнання (1). Умовы раўнавагі сіл даюць паводле рыс. 4
Малюнак 4
(7a-c)
Калі X, Y, Z абазначаюць кампаненты аб’ёмных сіл (напрыклад, вага, цэнтрабежная сіла) на адзінку аб’ёму. Сувязі паміж напружаннямі і дэфармацыямі. Пад гэтым разумеецца сувязь паміж кампанентнымі напружаннямі і кампанентнымі дэфармацыямі. У тэорыі пругкасці, як правіла, улічваецца толькі лінейная сувязь, якая выражаецца законам Гука:
(8a-c)
(8d-f)
Калі раўнанні (8a-c) вырашыць адносна напружанняў, атрымліваецца
(8 a)
ксо і два адпаведныя раўнанні. Закон Гука, выражаны раўнаннем (8), не з’яўляецца нейкім строга выконваемым прыродным законам, а толькі ідэалізацыяй рэальнага паводзінаў, якое больш ці менш адхіляецца ад яго ў залежнасці ад матэрыялу і велічыні напружання. Улічваючы, што матэматычная апрацоўка задачы супраціўлення матэрыялаў са складанымі нелінейнымі сувязямі паміж напружаннямі і дэфармацыямі выклікае непараўнальна большыя цяжкасці і можа быць рэальна праведзена толькі ў самых простых выпадках, і для тых матэрыялаў (бетон!), паводзіны якіх значна адхіляецца ад закона Гука, разлікі, заснаваныя на ім, даводзіцца выкарыстоўваць як першую, а ў большасці выпадкаў і адзіна прыблізную рашэнне, якое, між іншым, як правіла, вельмі карыснае і дае ўяўленне, большае за чыста якаснае. G = E|2 (1+μ).
Яна неабходна вынікае з сувязі паміж напружаннем і дэфармацыяй (8), з раўнанняў пераўтварэння (16) для напружанняў і адпаведнай сістэмы раўнанняў для кампанентных дэфармацый E і G маюць памернасць напружання і для ўсіх будаўнічых матэрыялаў з’яўляюцца вялікімі ў параўнанні з напружаннямі σ і τ, якія могуць узнікнуць. На гэтым факце грунтуецца прынятая ўсюды ў тэорыі пругкасці здагадка, што дэфармацыі малыя. Каэфіцыент папярочнага пашырэння (ліка Пуасона) μ не мае памернасці і заўсёды знаходзіцца паміж 0 і 1/2 .
Сувязі паміж кампанентнымі дэфармацыямі і перамяшчэннямі. Гэтыя сувязі задаюцца раўнаннямі (3), (4). Яны маюць чыста геаметрычны характар. Гэтыя тры сістэмы даюць 3+6+6=15 раўнанняў для 15 невядомых, г. зн. для 6 кампанентных напружанняў, 6 кампанентных дэфармацый і 3 кампанентных перамяшчэнняў. Такім чынам, іх дастаткова для вызначэння гэтых невядомых. Матэматычнае пераадоленне такой аб’ёмнай сістэмы дыферэнцыяльных раўнанняў магчыма, зразумела, толькі ў спецыяльных выпадках. Калі ў раўнанні (8) кампанентныя дэфармацыі замяніць кампанентнымі перамяшчэннямі паводле раўнанняў (3) і (4) і затым нармальныя напружанні σ і зрухаючыя напружанні τ, паводле раўнанняў (8 d - f), увесці ва ўмовы раўнавагі, раўн. (7), атрымліваюцца дыферэнцыяльныя раўнанні, якія называюцца асноўнымі раўнаннямі тэорыі пругкасці.
(9)
пры чым 
абазначаны аператар Лапласа. Улічваючы (2), гэта тры дыферэнцыяльныя ўраўненні з трыма кампанентнымі перамяшчэннямі μ, ν, ω; з іх, у сваю чаргу, дыферэнцыяваннем на падставе (3), (4) і (8) можна атрымаць усе кампанентныя напружанні і дэфармацыі. Ураўненні (9) часта ўяўляюць сабой зручны зыходны пункт для вывучэння спецыяльных выпадкаў.
Дэфармацыйная праца
Вызначэнне
Калі на апору дзейнічае нагрузка, пункты прыкладання знешніх сіл зведваюць пругкія перамяшчэнні, і сілы пры гэтым выконваюць пэўную работу. Такім чынам пададзеная энергія можа пераходзіць у розныя формы. Калі нагрузка прыкладаецца раптоўна, так што працэс дэфармацыі ідзе з значнай хуткасцю, частка гэтай энергіі ператвараецца ў кінетычную энергію, якая з цягам часу рассейваецца альбо так, што перадаецца ў грунт як пругкая хваля, якая знікае ў бясконцасці, альбо так, што ператвараецца ва ўнутраным трэнні ў цяпло. Калі нагрузкі прыкладаюцца так паступова, што пры гэтым не ўзнікае заўважнага прыросту кінетычнай энергіі, г. зн. калі нагрузкі, што паступова растуць, пачынаючы з нуля, знаходзяцца ў сталай раўнавазе з унутранымі сіламі, энергія відавочна выдаткоўваецца выключна на дэфармаванне цела і тады называецца дэфармацыйнай работай.
Разлік дэфармацыйнай працы спачатку пакажам на частцы, нагружанай на расцяжэнне ў адным кірунку (рыс. 5).
Няхай наяўнае напружанне σ і адпаведная дэфармацыя ε зазнаюць прыросты dσ і dε. Тады сіла σdF на шляху dε * dl выканае работу σdF * dεdl = σdεdV, калі праз dV абазначыць аб’ём часцінкі. Калі напружанне расце ад нуля да свайго канчатковага значэння, а дэфармацыя адпаведна ад 0 да ε, то агульная выкананая работа на адзінку аб’ёму будзе складаць:
Аналагічна і для элемента, нагружанага зрухавым напружаннем τ (мал. 6), дэфармацыйная работа на адзінку аб’ёму (спецыфічная дэфармацыйная работа, эластычны патэнцыял):
пры гэтым толькі адна з чатырох сіл τ * dF выконвае працу.
У агульным выпадку, калі на элементарную частку дзейнічаюць усе шэсць кампанентных напружанняў, атрымліваецца ўдзельная дэфармацыйная праца шляхам складання работ асобных кампанентных напружанняў:
(10)
Дыферэнцыяваўшы па верхняй мяжы кожнага з гэтых інтэгралаў, атрымліваем адносіны, якія дзейнічаюць у найбольш агульным выпадку:
(11)
і гэтак далей для іншых кампанентных дэфармацый. Калі цела пругкае, кожнаму вызначанаму стану напружання заўсёды адпавядае адзін і той жа стан дэфармацыі, незалежна ад таго, ці дасягнуты стан пры нагрузцы або разгрузцы. Тады пад інтэграламі стаяць адназначныя функцыі, і агульная энергія, затрачаная пры нагрузцы і потым поўнай разгрузцы, роўная a = 0, улічваючы, што ў гэтым выпадку верхнія межы інтэгралаў становяцца нулём. Такім чынам, агульная энергія, перададзеная целу пры нагрузцы, вяртаецца пры разгрузцы.
Выява 6
Рысунак 7
Для няпоўнасцежасткага цела сувязь паміж напружаннямі і дэфармацыямі для ўсяго цыклу нагрузкі і разгрузкі мае выгляд, прыблізна паказаны на рыс. 7 лініямі O A B. Энергія 
, падведзеная пры нагрузцы, роўная плошчы OAA, а энергія, вернутая пры разгрузцы, — плошчы ABA, так што губляецца (ператвараецца ў цяпло) работа, якая адпавядае заштрыхаванай плошчы. Калі ў асцыляторным працэсе напружанне перыядычна змяняецца паміж станоўчым гранічным значэннем 
і адмоўным гранічным значэннем, 
неэластычная дэфармацыя праходзіць падобна таму, як паказана пункцірнымі лініямі на рыс. 7, і пры кожным перыядзе асцыляцыі ператвараецца ў цяпло энергія DABCD на адзінку аб’ёму. Такое паводзіны пры дэфармацыі, пры якім дэфармацыя адстае ад напружання, называецца эластычным гістраезісам, а крывая DABCD — пятлёй гістраезісу.
Дэфармацыйная работа і закон Гука
Калі ў інтэгралы ў раўнанні (10) увесці закон Гука, можна выканаць інтэграванне, і тады для спецыфічнай дэфармацыйнай працы атрымліваюцца выразы:
(12a)
(12b)
(12c)
Калі другі з гэтых формаў падставіць у раўнанне (11), зноў атрымліваецца закон Гука, раўнанні (8), у выглядзе, развязаным адносна напружанняў. Сцверджанне, што дэфармацыйная работа залежыць ад кампанент дэфармацыі, як паказана раўнаннем (12b), таму эквівалентнае закону Гука. Калі раўнанне (12c) дыферэнцаваць па напружаннях, атрымліваецца
(13)
Гэтыя формулы, у адрозненне ад формул (11), дзейнічаюць толькі для цел, якія паводзяць сябе паводле закона Гука, і не могуць прымяняцца, калі сувязі паміж напружаннямі і дэфармацыямі іншыя. Зразумела, што ў правай частцы раўнанняў (13) знаходзяцца толькі кампанентныя дэфармацыі, выкліканыя напружаннямі, а ўсе астатнія, якія маглі ўзнікнуць у выніку змены тэмпературы, паўзучасці, набухання, рэкрышталізацыі і г.д., выключаюцца.
ІНТЭГРАЛЬНЫЯ ПАЛАЖЭННІ Ў ТЭОРЫІ ПРУЖНАСЦІ
Віртуальныя перамяшчэнні. Прынцып мінімуму патэнцыяльнай энергіі
Як закон Гука, раўнанні (8) можна замяніць адным раўнаннем (12b), так і замест умоў раўнавагі можна ўвесці прынцып віртуальных перамяшчэнняў, як агульнаабавязковы асноўны закон механікі. Гэты закон сцвярджае, што станы раўнавагі характарызуюцца тым, што агульная выкананая праца ўсіх сіл пры малой змене стану дэфармацый роўная нулю. Калі малыя змены пругкіх перамяшчэнняў абазначым δμ δν, δω, тады аб’ёмныя сілы, вызначаныя раўнаннем (7), выконваюць віртуальную працу
а павярхоўныя сілы px, py, pz, якія дзейнічаюць на элемент dF вонкавай паверхні цела, праца 
пры гэтым трайны інтэграл адносіцца да ўсяго аб’ёму, а двайны — да ўсёй вонкавай паверхні цела. Для вылічэння работы, якую выконваюць унутраныя сілы, выкарыстоўваецца раўнанне (12b), таму для работы на адзінку аб’ёму атрымліваецца
Прынцып віртуальных перамяшчэнняў на гэтай падставе дае
(14)
Калі нагрузкі X, Y, Z px, py., pz разглядаць як кампаненты сілы цяжару (уласная вага і знешняя нагрузка), то інтэгралы ў правай частцы ўяўляюць сабой патэнцыяльную энергію, якую гэтыя нагрузкі страцілі, а левая частка ўяўляе сабой прырашчэнне патэнцыяльнай (пругкай) энергіі цела, так што гэты прынцып паказвае, што агульная патэнцыяльная энергія нясучай канструкцыі і нагрузак, якія на ёй ляжаць, у выпадку раўнавагі мае экстрэмальнае значэнне. Калі гэта экстрэмальнае значэнне з’яўляецца мінімумам, раўнавага ўстойлівая.
Прынцып мінімуму патэнцыяльнай энергіі, выражаны раўнаннем (14), выраз (12b) для дэфармацыйнай працы, умовы сумяшчальнасці дэфармацый (5), (6) утвараюць сістэму ўраўненняў, якая дастатковая для пабудовы тэорыі пругкасці і якая па сутнасці эквівалентная сістэме ўраўненняў. Гэтая сістэма можа быць асабліва карыснай у выпадках, калі задавальненне дыферэнцыяльных ураўненняў (9) стварае вылічальныя цяжкасці і таму неабходна шукаць прыблізнае рашэнне, напр., для перамяшчэнняў загадзя прыняць прыдатную форму, якая ўтрымлівае некалькі свабодных канстант, а гэтыя вызначаюцца з патрабавання, каб раўнанне (14) было задаволена. Такім чынам, праўда, не атрымліваецца строгае рашэнне задачы, а толькі найлепшая апраксімацыя, якую можна дасягнуць з абранай формай рашэння. Ці дастатковае такое набліжэнне, залежыць у першую чаргу ад прынятай формы рашэння, і паспяховае прымяненне гэтага метаду патрабуе таму спрытнасці і вопыту.
Прынцып Кастыльяна
У той час як пры прынцыпе мінімуму патэнцыяльнай энергіі параўноўваюцца ўсе станы дэфармацыі, якія выконваюць умовы сумяшчальнасці дэфармацый, і з іх выдзяляюцца тыя, для якіх адпаведныя напружанні задавальняюць умовы раўнавагі, пры прынцыпе Кастыльяна параўноўваюцца ўсе станы напружання, што задавальняюць умовы раўнавагі, і з іх выдзяляюцца тыя, для якіх адпаведныя дэфармацыі задавальняюць умовы сумяшчальнасці дэфармацый. Гэты прынцып гучыць так: з усіх магчымых раўнаважных станаў рэальна настае той, якому адпавядае найменшая дэфармацыйная работа. Прынцып Кастыльяна разам з ураўненнем (12c) для дэфармацыйнай работы і ўмовамі раўнавагі ўтварае сістэму ўраўненняў, дастатковую для разліку трываласці матэрыялаў. Паколькі гэты прынцып утрымлівае закон Гука, магчымасць яго прымянення звязана з дапушчэннем, што дэфармацыі можна цалкам апісаць гэтым законам. Гэта патрабуе не толькі лінейна-эластычных паводзін матэрыялу, але і выключае змены тэмпературы.
Паводзіны матэрыялаў вышэй межаў пругкасці
З’явы пры статычным нагрузжанні
Дэфармацыя матэрыялу пад уздзеяннем напружання з’яўляецца вельмі складанай з’явай, таму яе трэба ў розных адносінах спрашчаць, каб можна было зразумець яе. Адным з такіх спрашчэнняў з’яўляецца дапушчэнне, што нагрузкі прыкладаюцца паступова, як, напр., гэта робіцца з узорамі пры выпрабаванні на расцяжэнне і сціск.
Калі сталёвы стрыжань, нагружаны на расцяжэнне, падвергнуць нагрузцы, якая паступова павялічваецца, і вымяраць яго дылатацыю ε, атрымліваецца дыяграма, паказаная на мал. 8. Спачатку дылатацыя вельмі малая і прапарцыянальная напружанню, як гэтага патрабуе закон Гука. Пачынаючы з пэўнага напружання прапарцыянальнасць спыняецца, і дылатацыя расце хутчэй. Дакладнае становішча мяжы гэтай прапарцыянальнасці цяжка вызначыць. Чым дакладнейшае вымярэнне, тым ніжэй яна атрымліваецца. Для большасці матэрыялаў яна ляжыць пры σ = 0, і закон Гука тады ўяўляе сабой толькі першае набліжэнне да пругкіх паводзін, першы член разкладання ў шэраг Тэйлара функцыі ε = ε (σ) у ваколіцах пачатку каардынат.
Калі стрыжань разгрузіць, заўважаецца, што, калі напружанне не было занадта вялікім, знікае і дэфармацыя, у адпаведнасці з законам Гука. Але і гэта змяняецца, калі перавысіць пэўнае напружанне, якое ляжыць блізка да мяжы прапарцыянальнасці, так званай мяжы пругкасці; тады агульная дэфармацыя складаецца з пругкай (зваротнай) і непругкай (пастаяннай) частак. І мяжу пругкасці нельга вызначыць дакладна, яна знаходзіцца тым ніжэй, чым большая дакладнасць вымярэння. Аднак, паколькі яна мае вялікае тэхнічнае значэнне, бо ўяўляе сабой мяжу прымянімасці амаль ва ўсіх разліках у супраціўленні матэрыялаў, а таксама мяжу, на якой узнікаюць першыя пастаянныя пашкоджанні, для выпрабавання ўзораў яна строга вызначаецца нейкай прынятай канвенцыяй, і, напрыклад, як мяжа 0.2% абазначаецца тое напружанне, пры якім пастаянная дэфармацыя дасягае 0.2%.
Непасрэдна пасля перавышэння мяжы пругкасці дэфармацыя рэзка ўзрастае і можа быць заўважана няўзброеным вокам; пры амаль сталым напружанні стрыжань бесперапынна падаўжаецца. Гэтае напружанне называецца мяжой цякучасці. У гідраўлічных машынах для выпрабавання матэрыялаў можна пры гэтым пасля пачатку цякучасці заўважыць больш ці менш выразнае падзенне напружання; як паказана на мал. 8 пункцірнай крывой; тады максімум называецца верхняй мяжой цякучасці, а пастаяннае напружанне цякучасці, якое пасля наступае, — ніжняй мяжой цякучасці.
Пасля дасягнення пэўнай дылатацыі, якая амаль цалкам неэластычная, напружанне пачынае зноў расці, матэрыял умацоўваецца. У гэтай вобласці нагрузкі адбываецца прыкметнае памяншэнне папярочнага сячэння стрыжня ў выніку (неэластычнай) бакавой кантракцыі, і далейшы ход дыяграмы напружання і дэфармацыі залежыць перадусім ад таго, ці пры вылічэнні напружання σ сіла расцяжэння P, якая дзейнічае на стрыжань, дзеліцца на першапачатковае сячэнне F0 або на бягучае сячэнне F. Для тэхнічных мэтаў цікавае напружанне P|F0 . Гэтае напружанне дасягае максімуму, які называецца трываласцю матэрыялу, і калі гэты максімум пройдзены, стрыжань у адным месцы моцна звужаецца і рвецца. “Сапраўднае напружанне” P|F расце да разбурэння.
Рыс. 8.
Паводзіны іншых металаў у многім адхіляюцца ад апісаных тут. Плынь часта не выражана, а ўмацаванне пачынаецца непасрэдна пасля перавышэння мяжы пругкасці. У крохкіх матэрыялаў (камень, шкло, бетон) непругкія дэфармацыі ўвогуле малыя і ўжо пры невялікай дылатацыі адбываецца разбурэнне. Агульная дылатацыя, якую матэрыял вытрымлівае да разбурэння, з’яўляецца мерай расцяжнасці (супрацьлегла: крохкасці) матэрыялу, і для сталі яна дакладна задаецца ў тэхнічных умовах. Аднак, паколькі непасрэдна перад разбурэннем далейшая дэфармацыя канцэнтруецца на суседніх месцах звужанага перасеку, атрымліваецца розная велічыня дылатацыі пры разбурэнні ў залежнасці ад таго, ці прымаецца за вымяральную даўжыню большы ці меншы ўчастак стрыжня, таму для атрымання адназначных і ўзаемна параўнальных вынікаў неабходна загадзя прыняць пэўную канвенцыю. Дылатацыя пры разбурэнні, як правіла, вымяраецца так, што на круглым стрыжні дыяметрам d перад выпрабаваннем адзначаюць вымяральную даўжыню Ι = 10 d і па яе падаўжэнні ΔΙ разлічваюць дылатацыю пры разбурэнні εs_Ι = ΔΙ|Ι . Калі неабходна выпрабоўваць стрыжні іншага перасеку, вымяральная даўжыня вызначаецца паводле дыяметра круглага цыліндрычнага стрыжня, які мае такую ж плошчу папярочнага перасеку.
Доўгатэрміновая нагрузка
Для ходу доследу на расцяжэнне даволі ўсё роўна, ці павялічваецца нагрузка да разбурэння на працягу 10 mінут або некалькіх гадзін. Аднак, калі нагрузка дзейнічае гадамі або дзесяцігоддзямі, пры пэўных умовах заўважаецца, што і ніжэй мяжы цякучасці дэфармацыя пры сталым напружанні з цягам часу павольна расце. Пры гэтым эластычная частка, г. зн. тая частка, якая пры канчатковым разгружэнні знікае, істотна не змяняецца. Гэты рост няэластычнай дэфармацыі, што адбываецца на працягу доўгага часу, называецца паўзучасцю. У металаў, акрамя свінцу, паўзучасць мае значэнне толькі пры высокіх тэмпературах, аднак для будаўнічага інжынера яна адыгрывае ролю ў бетоне, які пад ціскам павольна саступае, так што напружанне расце ў сціснутай арматуры, калі яна ёсць.
Пераменная нагрузка
Каб механічныя характарыстыкі матэрыялу, атрыманыя пры выпрабаванні на расцяжэнне, можна было ўжываць як крытэрый дапушчальнай нагрузкі канструкцый, неабходна, каб матэрыял пры кожным паўторным загружанні вытрымліваў напружанне, якое аднойчы без пашкоджання вытрымаў. Гэтая ўмова не выконваецца, калі матэрыял падвяргаецца частаму паўтарэнню нагрузак і разгрузак, як гэта, напрыклад, бывае ў бэлек, загружаных інерцыйнымі сіламі няпоўнасцю ўраўнаважаных машын. Дастаткова частым паўтарэннем нагрузак можна давесці канструктыўны элемент да разбурэння і пры напружанні, якое знаходзіцца значна ніжэй за трываласць матэрыялу, вызначаную звычайным статычным выпрабаваннем. З’ява разбурэння гэтага віду называецца разбурэннем ад стомленасці. Колькасць n цыклаў нагрузкі, якую матэрыял можа вытрымаць, залежыць ад велічыні напружання σ, так што яна тым большая, чым меншае напружанне. Тыповы прыклад гэтай залежнасці паказаны на рыс. 9, з якога відаць, што для трываласці матэрыялу існуе ніжняя мяжа, якую ён вытрымлівае і пры адвольна вялікай колькасці цыклаў нагрузкі і якая называецца дынамічнай трываласцю матэрыялу. Дыяграмы такога тыпу (рыс. 9) называюцца крывымі Вёлера.
Выява 9.
Бяспека канструкцый
Для канструкцый маюць значэнне два гранічныя нагрузжанні: нагрузка, пры якой узнікаюць першыя ўстойлівыя пашкоджанні (мяжа цякучасці), і нагрузка, пры якой нясучая здольнасць канструкцыі вычэрпваецца, пасля чаго яна ламаецца (мяжа разбурэння). Паколькі да мяжы цякучасці прынамсі прыблізна выконваюцца дапушчэнні супраціўлення матэрыялаў (малыя перамяшчэнні, закон Гука), бяспеку адносна ўстойлівых дэфармацый можна надзейна ацаніць ва ўсіх выпадках, у якіх удаецца пераадолець матэматычныя цяжкасці. Калі напружанне прапарцыянальнае нагрузцы, то суадносіны напружання цякучасці да найбольшага напружання, якое ўзнікае ў канструкцыі, роўнае суадносінам паміж нагрузкай, пры якой узнікае цякучасць, і фактычнай нагрузкай і ўяўляе сабой каэфіцыент бяспекі адносна цякучасці. Аднак у шэрагу выпадкаў такая простая залежнасць адсутнічае: згінанне пры выключэнні расцяжэння, ціск паміж выпуклымі паверхнямі, сістэмы, структура якіх змяняецца, і, што асабліва неспрыяльна, згінанне з восевай сілай. Ва ўсіх гэтых выпадках адносна невялікае павелічэнне нагрузкі можа прывесці да значнага павелічэння напружання, і тады недастаткова прымяніць звычайны каэфіцыент бяспекі да напружанняў, а трэба прымяніць яго да нагрузкі.
Яўленні, якія адбываюцца пасля перавышэння мяжы цякучасці да разбурэння, у большасці выпадкаў можна адсочваць ужо толькі якасна. Калі матэрыял пластычны, то часткі, у якіх мяжу цякучасці дасягнулі найперш і якія далей дэфармуюцца пры сталым напружанні або напружанні, што нязначна ўзрастае, мала ўдзельнічаюць у ўспрыманні далейшай нагрузкі, так што астатнія, слабей напружаныя часткі канструкцыі, калі гэта магчыма з улікам яе структуры, больш удзельнічаюць у нясенні нагрузкі. У гэтай тэндэнцыі да выраўноўвання пікаў напружання заключаецца пэўны запас бяспекі, які можна разлікова выкарыстаць, калі пастаянная дэфармацыя асобных частак, што ўзнікла пры адной значнай нагрузцы, не з’яўляецца шкоднай (метад гранічнай нагрузкі).
Калі матэрыял крохкі, першае пастаяннае пашкоджанне праяўляецца ў трэшчынах, у выніку якіх у небяспечным месцы ўзнікае яшчэ больш моцная канцэнтрацыя напружанняў, што неадкладна выклікае разлом. Разлом ад стомленасці і ў пластычных матэрыялаў мае прыкметы крохкага лому.
Сувязі паміж напружаннямі для розных сячэнняў
Ураўненні пераўтварэння
Дзевяць кампанентных напружанняў на рыс. 1 звязаны з трыма ўмовамі раўнавагі. Шэсць астатніх велічынь σx, σy, σz τxy, τyz, τzx могуць, незалежна адна ад адной, атрымліваць адвольныя значэнні, як відаць з вываду дыферэнцыяльных раўнанняў тэорыі пругкасці. Аднак, калі гэтыя значэнні зададзены, напружаны стан у нейкай кропцы цвёрдага цела цалкам вызначаны, г. зн. калі вядомыя напружанні для трох узаемна перпендыкулярных плоскасцей, можна адназначна вызначыць і напружанне для нейкай чацвёртай плоскасці, якая праходзіць праз дадзеную кропку і нармаль якой мае адвольны напрамак.
На мал. 10 паказаны тэтраэдр OABC, тры бакі якога паралельныя плоскасцям каардынатнай сістэмы x, y, z, а чацвёрты ўяўляе сабой адвольна арыентаваны элемент паверхні ABC = dF. Каб абазначыць яго напрамак і напрамак напружання, якое праз яго перадаецца, уводзіцца другая каардынатная сістэма, вось ξ якой перпендыкулярная да dF.
Малюнак 10
Умова раўнавагі сіл, што дзейнічаюць на гэты тэтраэдр у кірунку восі ξ, дае
Калі прыняць да ўвагі, што
атрымліваецца
і падобна таму з умоў раўнавагі ў напрамку восі η:
Гэта не раўнанні, якія служаць для разліку напружання пры пераўтварэнні каардынат. Асабліва важна разглядаць толькі такія элементы паверхні dF, для якіх ξ-вось супадае з z-воссю. Формулы для гэтага выпадку можна атрымаць, спрасціўшы папярэднія формулы, або прачытаць непасрэдна з рыс. 11:
Мал. 11
Нармальнае напружанне прымае экстрэмальныя значэнні для напрамкаў α = α0 , для якіх dσξ/dα = 0. Дыферэнцыяваннем з раўнання (16) атрымліваецца
так што, калі гэты выраз прыраўняць да нуля
Напружанне τξη адначасова будзе поўным зрухавым напружаннем у гэтых плоскасцях, калі τyz = τzx = 0. Тады раўнаннем (17) вызначаюцца два ўзаемна перпендыкулярныя напрамкі, для якіх: 1. поўнае зрухавае напружанне роўнае нулю і, 2. нармальнае напружанне мае экстрэмальныя значэнні (максімум і мінімум). Гэтыя напрамкі называюцца напрамкамі галоўных напружанняў, а адпаведныя напружанні — галоўныя напружанні. Яны абазначаюцца як σ1 і σ2 і могуць быць разлічаны непасрэдна па формуле
Кола Мора
Раўнанні (16) можна графічна прадставіць наглядна. Для гэтага іх трэба пераўтварыць у выгляд:
Гэтыя раўнанні ў каардынатнай сістэме σ, τ уяўляюць параметрычны выгляд раўнання акружнасці, накрэсленай на рыс. 12, каардынаты цэнтра якой σ = 1/2 (σx + σy), τ = 0 і радыус якой
Гэты круг называецца кругам Мора. Калі праз кропку x правесці прамую, паралельную перасеку x =const., праз які перадаюцца напружанні σx, τxy , яна перасячэ круг у кропцы p, якая называецца полюсам круга Мора. Кожная прамая pξ, праведзеная праз гэты полюс, перасякае круг у кропцы ξ, якая вызначае напружанні σξ, τξη , што перадаюцца праз перасек, паралельны да pξ.
Што да знака напружанняў зруху пры пабудове круга Мора, трэба мець на ўвазе, што іх наносяць уверх, калі яны маюць кірунак, паказаны на мал. 12c. Адпаведна, з двух спалучаных напружанняў τxy, τyx, адно заўсёды дадатнае, а другое адмоўнае.
Гранічным значэнням σ1, σ2 нармальных напружанняў адпавядаюць пункты 1 і 2 на крузе, а прамыя _p_1 і _p_2 даюць напрамкі галоўных напружанняў.
Прадстаўленне напружанняў, якія ляжаць у x-y плоскасці, з дапамогай круга Мора не звязана ні з якой здагадкай пра напружанні σz, τxz, τyz , перпендыкулярныя да гэтай плоскасці.
Мал. 12
Адпаведна гэтае ж адносіцца і да найбольш агульнага трохмернага напружанага стану, калі параўноўваюцца толькі тыя сячэныя плоскасці, якія ўсе праходзяць праз адну і тую ж прамую, абраную тут за вось z і ξ. Паколькі паводле агульных раўнанняў пераўтварэння (15) нармальнае напружанне σ не можа стаць бясконцым ні для адной сячэнай плоскасці, то для адной плоскасці яно павінна мець канечны максімум σ1, а для другой мінімум σ3, прычым абодва, зразумела, могуць быць і адмоўнымі. Калі праз вектары σ1 і σ3 правесці плоскасць і пабудаваць кола Мора (рыс. 13)
Выява 13
для напружанняў, якія ляжаць у гэтай плоскасці (г.зн. усе напрамкі, перпендыкулярныя да гэтай плоскасці), тады σ1 і σ3 з’яўляюцца найбольшым і найменшым нармальнымі напружаннямі, якія могуць узнікнуць, і таму павінны быць узаемна перпендыкулярнымі. Калі напрамкі 1 і 3 дапаўняюцца напрамкам 2, так што гэтыя тры напрамкі ўтвараюць прастакутную сістэму каардынат, і калі намаляваць кругі Мора для плоскасцей 1 ~2 і 2 ~ 3, тады σ2 для аднаго з гэтых колаў з’яўляецца найбольшым, а для другога найменшым нармальным напружаннем, і таму ў сячэннях, перпендыкулярных напрамкам 1, 2 і 3, зрушальнае напружанне роўнае нулю. Тры ўзаемна перпендыкулярныя нармальныя напружанні σ1, σ2 і σ3, якім не адпавядаюць зрушальныя напружанні, называюцца галоўнымі напружаннямі.
Мяжа цякучасці і мяжа разбурэння пры прасторавым стане напружання
Стан напружання называецца адна-, двух- або трохмерным, інакш: лінейным, плоскім або прасторавым, у залежнасці ад таго, ці адзін, два або ўсе тры галоўныя напружанні роўныя нулю. У канструктыўных элементах, якія найбольш часта прымяняюцца, г. зн. у расцягнутым, сціснутым і згібальным стрыжні, стан напружання, па меншай меры ў найбольш напружаных месцах, з’яўляецца аднамерным, і так жа ў выпрабаваннях на расцяжэнне, сціск або згінанне, якія пры выпрабаванні матэрыялаў амаль выключна прымяняюцца для вызначэння дапушчальных напружанняў. Наадварот, у плітах, нагружаных у сваёй плоскасці або перпендыкулярна да яе, а таксама ў абалонках, стан напружання з’яўляецца двухмерным, а ў пэўных выпадках узнікаюць і трохмерныя станы напружання, так што неабходна на аснове мяжы цякучасці і разбурэння, вызначанай пры аднамерным стане напружання, рабіць высновы пра паводзіны матэрыялу ў выпадку прасторавога стану напружання.