Grondlagen
D’Aufgab vun der Materialresistenz ass festzestellen, wéi eng extern Kraaften e feste Kierper (z. B. en Bauwierk, e konstruktive Bestanddeel oder de Buedem) aushale kann. Fir op dës Fro eng Äntwert ze ginn, geet een vun zwee Kritäre aus: engersäits däerfen d’Spannungen bestëmmte Grenzen, déi vun der Materialaart ofhänken, net iwwerschreiden, an anerersäits muss d’Gläichgewiicht tëscht den externe an den internen Kraaften stabil sinn. Entspriechend dozou kënnen all Problemer vun der Materialresistenz an „Spannungsproblemer“ an „Stabilitéitsproblemer“ agedeelt ginn.
Bei Staangen a Balken an deenen aus hinnen zesummegesate Trägeren (Fachwierker, Rummen) geschitt d’Bestëmmung vun de Spannungen an zwou Schrëtt, an zwar esou, datt als éischt opgrond vun den uginnene baussenzegen Kräfte d’Resultante vun den bannenzege Kräfte berechent gëtt, déi iwwer de Querschnëtt iwwerdroe ginn, an duerno aus dëse “Querschnittskräften” d’Spannungen ofgeleet ginn. Den éischten Deel vum Verfaren stellt eng speziell, ëmfaassend Disziplin duer, d’Statik vun den Baukonstruktiounen, déi ausgeaarbecht eege Methode huet an déi meeschtens vun der Materialwidderstandsfäegkeet getrennt gëtt, där hir Aufgab sech op d’Bestëmmung vun de Spannungen aus de gegebene Querschnittskräften reduzéiert.
Grondbegrëffer vun der Widderstandsfäegkeet vun de Materialien
D’Definitioun vun der Spannung ergëtt sech aus de folgende Grondiwwerleeungen. Loosst en equilibréierte System vu baussenzege Kräften op e Kierper wierken. Stellt Iech vir, mir hätten de Kierper duerch en arbiträre Querschnëtt an zwéi Deeler opgedeelt an ee vun hinnen zesumme mat de Kräften, déi op en wierken, ewechgeholl; dann muss seng Wierkung op den aneren Deel, fir datt d’Kräftegläichgewiicht an d’Verdeelung vun de Verformungen onverännert bleiwen, duerch zousätzlech Kräften ersat ginn, déi iwwer d’Querschnëttsfläch iwwerdroe ginn. Dës “intern” Kräften sinn kontinuéierlech iwwer d’Querschnëttsfläch verdeelt, esou datt all Flächenelement dF vun enger Kraaft dβ begleet gëtt. Wann de Quotient dβ dF gebilt gëtt an de Grenzgang dF -> 0 gemaach gëtt, da geet dëse Quotient géintiwwer engem Grenzwäert, deen Spannung genannt gëtt. D’Spannung an engem bestëmmte Flächenelement ass, grad wéi dβ, a kann an eng normal an eng tangential Komponent zu dF zerleeë ginn, normal Spannung σ, Scherspannung τ.
Wa Schniiter duerch déi selwecht Punkt a verschiddene Richtungen gezunn ginn, da wäerte se och verschidde Spannungen erginn. Besonnesch wann aus dem Kierper en elementare Quader erausgeholl gëtt, wéi op der Abb. 1 gewisen, wierkt op all senge sechs Flächen en Spannungsvektor, deen an dräi Komponente laanscht d’Koordinateachs x, y, z opgespléckt ka ginn. D’Spannungen, déi op de géigeniwwerleiende Flächen wierken, ënnerscheede sech natierlech nëmmen ëm e Differenzial, sou datt 3 * 3 = 9 Komponente vun de Spannungen z’ënnerscheeden sinn, déi op déi folgend Aart bezeechent ginn:
Bei den Normalspannungen σ gëtt en Index vun der Achs uginn, an där Richtung se leien, a si ginn als positiv ugesinn, wann se Zuch verursaachen, negativ, wa se Drock verursaachen. Schubspannungen τ kréien zwee Indexen, deen éischten ass deen nämmlechten ewéi den Index vun der entspriechender Normalspannung, an deen zweeten bezitt sech op d’Achs, an där Richtung d’Schubspannung wierkt. Wann déi positiv Richtung vun der entspriechender Normalspannung an der Richtung vun der positiver (negativer) Koordinatenachs ass, da gëtt och d’Schubspannung als positiv ugesinn, wann se an der Richtung vun der positiver (negativer) Koordinatenachs wierkt.
Bild 1.
Konjugéiertkeet vun de Schéierspannungen
Wann fir de elementare Quader, Fig. 1, d’Bedingung gesat gëtt, datt de Moment vun alle Kraaften a Bezuch op d’x-Achs null ass, kritt een τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz. Doraus, an aus den zwou entspriechende Gläichunge fir d’y- an d’z-Achs, ergëtt sech, datt d’Schéierspannungen mat de selwechte Indizes gläich sinn: τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (1)
Komponental Deformatiounen
Datt déi virun definéiert Spannungen e physikalesche Sënn hunn, geet aus hirem Zesummenhang mat der Definitioun ervir, déi all Kierper ënner dem Afloss vu baussenzege Kräfte erfiert. Fig. 2 weist e primitive Quader, deen virun der Deformatioun rechteckeg war an d’Kantenlängten dx, dy, dz hat. D’Kantenlängten no der Deformatioun kënne mir mat dx + Δdx, dy + Δdy, dz + Δdz bezeechnen; d’Quotienten εx = Δdx|dx, εy = Δdy|dy, εz = Δdz|dz ginn Dilatatiounen genannt. Dat si gréisstendeels dimensionslos Gréissten a bei all de Materialien, déi am Bauwiesen a Fro kommen, kleng par Rapport zu 1. Nieft der Verlängerung vun de Kanten kann de primitive Quader dx * dy * dz nach eng Ännerung vun de viru rechte Wénkel tëscht senge Säite erliewen.
Bild 2. Komponentendeformatioun
Es soll no der Deformatioun de Wénkel tëscht de Flächen, déi sech laanscht d’Kant OC schneiden, gläich sinn 
an, analog dozou, soll d’Ofnam vum richtege Wénkel laanscht d’Kant AO gläich sinn γyz, an d’Ofnam laanscht d’Kant OB gläich sinn γzx. Dës dräi Wénkelännerungen γxy, γyz, γzx ginn als Schibungen bezeechent an si sinn och ëmmer kleng géintiwwer 1. Mat de sechs komponentelle ε an γ ass d’Deformatioun vum elementare Quader am „klengen Deformatiounsfall“ vollstänneg festgeluecht. D’Ännerung vum Volumenelement d_V = dx * dy * dz_ ass ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, woubäi, wann d’Produkter vun den Dilatatiounen als kleng Gréiss vun héijer Uerdnung vernoléissegt ginn, d’kubesch Dilatatioun ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2)
Verrécklungen
D’Deformatioun vun engem feste Kierper kann och op déi Manéier vollstänneg beschriwwe ginn, datt fir all seng Punkten déi Verrécklung uginn gëtt, déi dee Punkt erlieft huet. Wann d’Verrécklunge vu fäerdeger Gréisst, déi der Verrécklung vum steife Kierper entspriechen, aus der Observatioun ausgeschloss ginn, andeem am Rechnungsopbau, wann néideg, e bewegleche Koordinatesystem ugeholl gëtt, da si och d’Komponentverrécklungen μ, ν, ω ëmmer kleng Gréissten, an hir Ableitungen no de Koordinaten si kleng am Verglach zu 1. Ënner där Ugehollung ass no Abb. 3 d’Längt vum linéiselement OA = dx no der Deformatioun
also 
(3)
Op änlech Aart a Weis gesäit een aus der Abb. 3, datt d’Verrutschen γxy γ1 + γ2 ass: an och
(4)
Abb. 3 Glëschten
(5) 
(6)
Dës Bezéiunge ginn als Kompatibilitéitsbedéngunge bezeechent a weisen, datt déi deforméiert Elementer sech wéi e Mosaik zesummesetze kënnen, esou datt de Raum dobäi kontinuéierlech ausgefëllt ass, wat net erreecht ka ginn, wann d’Deformatioune vun den Elementer arbiträr sinn. D’Kompatibilitéitsbedéngunge si differentialgläichungen, an dofir sinn, wéi selbstverständlech, all sechs komponentell Deformatioune fir all eenzelne Quader géigesäiteg onofhängeg, mee hir Uerdnung an all endlecher ausgebreetener Regioun ass duerch d’Bedéngunge (5) an (6).
Well dës Bedéngungen duerch Differentiatioun aus de Gläichungen (3) an (4) ofgeleet goufen, geet bei hirer Herleitung en Deel vun de Bezéiungen verluer, déi an den urspréngleche Gläichungen enthale waren. Dofir ass et net genuch, datt nëmmen ee vun dësen zwee Systemer vu Gläichungen erfëllt ass; éischter mussen zwou Systemer vu Gläichungen erfëllt ginn, wann d’Kompatibilitéit vun der Deformatioun assuréiert soll sinn.
Differenzialgläichunge vum Elastizitéitssystem
Fir d’Berechnung vun de Spannungen an Deformatiounen bei elastesche Kierper déngen déi folgend Equatiounen:
Gläichgewiichtsbedéngungen vum Volumenelement. D’Bedéngung, datt d’Momenter ëm déi dräi Achsen null sinn, gouf schonn bei der Ofleedung vun der Gläichung (1) benotzt. D’Kraaftgläichgewiichtsbedéngungen erginn no Abb. 4
Bild 4
(7a-c)
Wann mat X, Y, Z d’Komponente vun de Volumekräften (z. B. Gewiicht, Zentrifugalkraaft) op eng Eenheet Volumen bezeechent ginn. Bezéiungen tëscht Spannungen an Deformatiounen. Domat ass d’Bezéiung tëscht de Komponentenspannungen an de Komponenten-Deformatiounen gemengt. An der Elastizitéitstheorie kënnt normalerweis nëmmen eng linear Bezéiung a Fro, déi mam Hooke-Gesetz ausgedréckt gëtt:
(8a-c)
(8d-f)
Wann d’Gläichungen (8a-c) no de Spannunge geléist ginn, kritt een
(8 a)
kso an zwou entspriechend Gläichungen. Dem Hooke säi Gesetz, ausgedréckt duerch d’Gläichung (8), stellt kee streng erfëllte Naturgesetz duer, mee eng Idealiséierung vum reelle Verhalen, dat dovun méi oder manner ofwäicht, ofhängeg vum Material an der Gréisst vun der Belaaschtung. Well déi mathematesch Behandlung vu Festegkeetsproblemer mat komplizéierten, netlineare Bezéiungen tëscht Spannungen an Deformatiounen ongläich méi grouss Schwieregkeeten verursaacht a praktesch nëmmen an de einfachste Fäll duerchgefouert ka ginn, musse och bei deene Materialien (Beton!), deenen hiert Verhalen däitlech vum Hooke sengem Gesetz ofwäicht, Berechnungen, déi drop opbauen, als éischt, a meeschtens och eenzeg, Nolauschterléisung benotzt ginn, déi iwwregens an der Regel ganz nëtzlech ass an e méi ewéi just qualitativen Abléck erméiglecht. G = E|2 (1+μ).
Si ergëtt sech onbedéngt aus der Bezéiung tëscht Spannungen an Deformatioun (8), aus den Transformatiounsgläichungen (16) fir Spannungen an dem entspriechende System vu Gläichungen fir d’Komponentendeformatiounen E a G hunn d’Dimensioun vun enger Spannung a sinn an alle Baustoffer grouss am Verglach zu de Spannungen σ an τ, déi optriede kënnen. Op dëser Tatsaach berout déi iwwerall an der Elastizitéitstheorie ugeholl Viraussetzung, datt d’Deformatioune kleng sinn. De Koeffizient vun der transversal Verformung (Poisson-Zuel) μ ass dimensiounslos a läit ëmmer tëscht 0 an 1/2 .
Bezéiungen tëscht de komponentalen Deformatiounen an de Verrécklungen. Dës Bezéiunge si mat de Gläichunge (3), (4) ginn. Si sinn reng geometrescher Natur. Dës dräi Systemer ginn 3+6+6=15 Gläichunge fir 15 Onbekannt, also fir 6 komponental Spannungen, 6 komponental Deformatiounen an 3 komponental Verrécklungen. Si sinn deemno genuch, fir dës Onbekannt z’erzielen. D’mathematesch Beherrschung vun esou engem ëmfaassende System vun Differentialgläichungen ass natierlech nëmmen a spezielle Fäll méiglech. Wann an der Gläichung (8) déi komponental Deformatiounen duerch komponental Verrécklungen no de Gläichungen (3) an (4) ersat ginn an duerno déi normal Spannungen σ an déi Schéierspannungen τ, no de Gläichungen (8 d - f), an d’Gläichgewiichtsbedéngungen, Gl. (7), agedroe ginn, da gi Differentialgläichungen kritt, déi als d’Grondgläichunge vun der Theorie vun der Elastizitéit bezeechent ginn.
(9)
woubäi 
de Laplace-Operator bezeechent ass. Mat Bléck op (2) sinn dat dräi Differentialgläichungen mat dräi komponentale Verrécklungen μ, ν, ω; aus dësen kënnen erëm duerch Differentiéiere opgrond vun (3), (4) a (8) all komponental Spannungen an Deformatiounen ofgeleet ginn. D’Gläichungen (9) stellen dacks eng gënschteg Ausgangsbasis fir d’Studie vu spezielle Fäll duer.
Verformungsaarbecht
Definitioun
Wann e Träger belaascht gëtt, erleiden d’Ugrëffspunkte vun den äusseren Kräften elastesch Verrécklunge, an d’Kräften leeschten dobäi eng gewëssen Aarbecht. Op dës Manéier kann d’zougeféiert Energie a verschidde Formen iwwergoen. Wann d’Belaaschtung plëtzlech applizéiert gëtt, sou datt de Verformungsprozess eng bedeitend Geschwindegkeet huet, da gëtt en Deel vun dëser Energie a kinetesch Energie ëmgewandelt, déi sech mat der Zäit ofbaut, entweder doduerch datt se als elastesch Welle an de Buedem iwwerdroe gëtt an an d’Onendlechkeet verluer geet, oder doduerch datt se duerch intern Reiwung a Wärm ëmgewandelt gëtt. Wann d’Laaschte esou lues ugeluecht ginn, datt dobäi kee bemierkbare Wuesstem vun der kinetescher Energie entsteet, also datt d’Laaschten, déi vun Null un no an no zouhuelen, am stännege Gläichgewiicht mat den interne Kräften sinn, da gëtt d’Energie offensichtlech ausschliisslech fir d’Verformung vum Kierper verbraucht an da gëtt se Verformungsaarbecht genannt.
D’Berechnung vun der Verformungsaarbecht wäerte mir als éischt un engem Deelchen weisen, dat op Zuch an enger Richtung belaascht ass (Abb. 5).
Loosse mir déi existent Spannungen σ an déi entspriechend Dehnung ε d’Ännerungen dσ an dε erliewen. Da wäert d’Kraaft σdF um Wee dε * dl d’Aarbecht σdF * dεdl = σdεdV leeschten, wa fir dV de Volume vum Deelchen bezeechent gëtt. Wann d’Spannung vun Null op hire Schlusswäert klëmmt an d’Dehnung derno vun 0 op ε, da wäert déi total geleeschten Aarbecht pro Volumeneeheet sinn:
Ähnlech ass et och bei engem Element, dat enger Schéierbelaaschtung τ ausgesat ass (Abb. 6): d’Verformungsaarbecht pro Volumen-Eenheet (spezifesch Verformungsaarbecht, elastesche Potential):
woubäi nëmmen eng vun de véier Kräfte τ * dF Aarbecht leet.
Am allgemenge Fall, wann op dat elementaart Deel all sechs Komponentespannungen agéieren, kritt een déi spezifesch Verformungsaarbecht duerch d’Summéiere vun de Wierker vun de jeeweilegen Komponentespannungen:
(10)
Duerch Differentiatioun no der ieweschter Grenz vun all dësen Integraler kréien ee Bezéiungen, déi am allgemengste Fall gëllen:
(11)
an änlech fir déi aner komponentell Deformatiounen. Wann de Kierper elastesch ass, entsprécht all bestëmmtem Spannungszoustand ëmmer demselwechte Deformatiounszoustand, onofhängeg dovun, ob de Zoustand beim Belaaschten oder beim Entlaaschten erreecht gouf. Dann stinn ënner den Integraler eenzegaarteg Funktiounen, an déi total Energie, déi beim Belaaschten an duerno beim komplette Entlaaschten opgewent gouf, ass a = 0, well an dësem Fall déi iewescht Grenz vun den Integraler null gëtt. Dofir gëtt déi total Energie, déi dem Kierper beim Belaaschten zougefouert gouf, beim Entlaaschten erëm zeréckgewonnen.
Bild 6
Bild 7
Fir e net vollstänneg elastesche Kierper huet d’Bezéiung tëscht Spannungen a Verformungen fir de ganze Belaaschtungs- an Entlaaschtungszyklus ongeféier déi Form, déi an der Fig. 7 duerch d’Linnen O A B. duergestallt ass. D’Energie 
, déi bei der Belaaschtung zougefouert gëtt, ass gläich der Fläch OAA, an d’Energie, déi beim Entlaaschte zeréckginn gëtt, der Fläch ABA, sou datt d’Aarbecht, déi der schrafféierter Fläch entsprécht, verluer geet (a Wärme ëmgewandelt gëtt). Wann sech an engem oszillatoresche Prozess d’Spannung periodesch tëscht der positiver Grenzwaard 
an der negativer Grenzwaard 
ännert, leeft d’netelastesch Verformung esou of, wéi et duerch déi gestrichelt Linnen an der Fig. 7 gewisen ass, a bei all Schwingungsperiod gëtt d’Energie DABCD pro Volumeneenheet a Wärme ëmgewandelt. Esou en Verhale bei der Deformatioun, bei deem d’Deformatioun hannert der Spannung zeréckbleift, gëtt elasteschen Hysteresis genannt, an d’Kurv DABCD ass eng Hysteresis-Schläif.
Verformungsaarbecht an dem Hooke-Gesetz
Wann an d’Integraler an der Gläichung (10) d’Hooke-Gesetz agefouert gëtt, kann integréiert ginn, an et erginn sech fir déi spezifesch Verformungsaarbecht d’Ausdrock:
(12a)
(12b)
(12c)
Wann déi zweet vun dëse Formen an d’Gleichung (11) agesat gëtt, kritt een erëm d’Hooke-Gesetz, d’Gleichungen (8), an der Form geléist no de Spannungen. D’Ausso, datt d’Deformationsaarbecht vun de Komponente vun den Deformatiounen ofhänkt, esou wéi et duerch d’Gleichung (12b) gewisen ass, ass deemno gläichwäerteg mam Hooke-Gesetz. Wann d’Gleichung (12c) no de Spannungen ofgeleet gëtt, kritt een
(13)
Dës Formen, am Géigesaz zu de Formen (11), gëlle just fir Kierper, déi sech nom Hooke säi Gesetz verhale, a kënnen net ugewandt ginn, wann d’Bezéiungen tëscht de Spannungen an den Deformatiounen anescht sinn. Et ass selbstverständlech, datt sech op der rietser Säit vun den Equatiounen (13) nëmmen déi Komponentendeformatiounen befannen, déi duerch Spannungen verursaacht ginn, an all déi aner ausgeschloss sinn, déi eventuell duerch Temperaturännerung, Kreep, Schwellung, Rekristalliséierung, asw. entstanen kéinte sinn.
INTEGRALVIRSTELLUNGEN AN DER ELASTIZITÉITSTHEORIE
Virtuell Verrécklungen. Prinzip vum Minimum vun der potentieller Energie
Esou wéi d’Hooke-Gesetz, kënnen d’Gläichungen (8) duerch eng eenzeg Gläichung (12b) ersat ginn, sou kann och amplaz vun de Gläichgewiichtsbedéngunge de Prinzip vun de virtuellen Verrécklunge agefouert ginn, als allgemeng gültege Grondgesetz vun der Mechanik. Dëst Gesetz seet aus, datt Gläichgewiichtszoustänn doduerch charakteriséiert sinn, datt déi total Leeschtung vun allen Kräften bei enger klenger Ännerung vum Deformationszoustand gläich null ass. Wa mir kleng Ännerungen vun den elastesche Verrécklunge mat δμ δν, δω bezeechnen, da leeschten d’Volumenskraaften, definéiert duerch d’Gläichung (7), virtuell Aarbecht
an d’Uewerflächespannungen px, py, pz, déi op dat Element dF vun der baussenzeger Uewerfläch vum Kierper wierken, Aarbecht 
woubäi den dräifache Integral sech op dat ganzt Volumen, an den duebele sech op déi ganz baussenzeg Uewerfläch vum Kierper bezitt. Fir d’Berechnung vun der Aarbecht, déi déi intern Kräften ausüben, gëtt d’Gläichung (12b) benotzt, an esou ergëtt sech fir d’Aarbecht pro Volumeneenheet
De Prinzip vun de virtuelle Verrécklunge gëtt doduerch
(14)
Wann d’Belaaschtungen X, Y, Z px, py., pz als Komponente vun der Schwéierkraaft verstan ginn (eegen Gewiicht a baussenzeg Belaaschtung), dann stellen d’Integraler op der rietser Säit déi potenziell Energie duer, déi dës Lasten verluer hunn, während d’lénks Säit den Zouwuess vun der potenzieller (elastescher) Energie vum Kierper duerstellt, sou datt dëse Prinzip weist, datt d’gesamt potenziell Energie vum Träger an de Lasten, déi drop leien, am Fall vum Gläichgewiicht en Extremwäert huet. Wann dësen Extremwäert e Minimum ass, ass d’Gläichgewiicht stabil.
De Prinzip vum Minimum vun der potentieller Energie, ausgedréckt duerch d’Gläichung (14), den Ausdrock (12b) fir d’Verformungsaarbecht, an d’Bedingunge fir d’Kompatibilitéit vun den Deformatiounen (5), (6) stellen e Gläichungssystem duer, dat genuch ass fir d’Opbau vun der Elastizitéitstheorie an dat am Fong engem System vu Gläichungen entsprécht. Dëst System kann besonnesch nëtzlech sinn an de Fäll, wou d’Erfëllung vun den Differentialgläichungen (9) rechneresch Schwieregkeete bereet an dofir eng ongeféier Léisung gesicht muss ginn, z. B. andeems fir d’Verrécklunge am Viraus eng gëeegent Form ugeholl gëtt, déi e puer fräi Konstante enthält, an dës da bestëmmt ginn aus der Fuerderung, datt d’Gläichung (14) erfëllt ass. Esou kritt een zwar keng streng Léisung vum Problem, mee nëmmen déi bescht Approximatioun, déi sech mat der gewielter Léisungsform erreeche léisst. Ob d’Approximatioun genuch ass, hänkt an éischter Linn vun der iwwerhuelter Form vun der Léisung of, an déi erfollegräich Uwendung vun dëser Method verlaangt dofir Fäegkeet an Erfarung.
Castigliano säi Prinzip
Wärend beim Prinzip vum Minimum vun der potentieller Energie all Deformatiounszoustänn verglach ginn, déi d’Bedingunge vun der Kompatibilitéit vun den Deformatiounen erfëllen, an ënnert hinnen déi erausgesicht ginn, fir déi déi entspriechend Spannungen d’Gläichgewiichtsbedingunge erfëllen, ginn beim Castigliano-Prinzip all Spannungszoustänn verglach, déi d’Gläichgewiichtsbedingunge erfëllen, an ënnert hinnen déi erausgesicht ginn, fir déi déi entspriechend Deformatiounen d’Bedingunge vun der Kompatibilitéit vun den Deformatiounen erfëllen. Dëse Prinzip seet: aus allen méigleche Gläichgewiichtszoustänn trëtt de reelle een op, deem déi klengst Deformatiounsaarbecht entsprécht. De Castigliano-Prinzip zesumme mat der Gläichung (12c) fir d’Deformatiounsaarbecht an de Gläichgewiichtsbedingunge bilden e Gläichungssystem, dat genuch ass fir d’Opbau vun der Materialwidderstandsfäegkeet. Well dëse Prinzip dem Hooke-Gesetz entsprécht, ass seng Uwendung un d’Viraussetzung gebonnen, datt d’Deformatiounen duerch dëst Gesetz vollstänneg beschriwwe kënne ginn. Dëst verlaangt net nëmme linear elastescht Verhale vum Material, mee schléisst och Temperaturännerungen aus.
Verhalen vun de Materialien iwwer den Elastizitéitsgrenzen
Erscheinungen bei statescher Belaaschtung
D’Deformatioun vum Material ënner dem Afloss vu Spannunge ass e ganz komplizéiert Phänomen, sou datt et op verschidde Manéieren vereinfacht muss ginn, fir et verstoe kënnen. Eng vun dëse Vereinfachungen ass d’Ugehollung, datt d’Belaaschtungen no an no opgedroe ginn, wéi dat z. B. bei Proben am Zuch- a Drockversuch gemaach gëtt.
Wann e Stolstab, deen op Zuch belaascht ass, enger Belaaschtung ausgesat gëtt, déi no an no zouhëlt, an seng Dilatatioun ε gemooss gëtt, kritt een de Diagramm, deen op Bild 8 gewisen ass. Am Ufank ass d’Dilatatioun ganz kleng an proportional zur Spannung, wéi et dem Hooke säi Gesetz verlaangt. Vun enger bestëmmter Spannung un hält d’Proportionalitéit op, an d’Dilatatioun wiisst méi séier. Déi genee Lag vun der Grenz vun dëser Proportionalitéit ass schwéier ze bestëmmen. Wat d’Miessung méi genee ass, wat se ëm sou méi niddreg läit. Fir déi meescht Materialien läit se bei σ = 0, an dem Hooke sengem Gesetz kënnt dann nëmmen eng éischt Approximatioun vum elastesche Verhalen zou, den éischte Member vun der Entwécklung an der Taylor-Rei vun der Funktioun ε = ε (σ) an der Géigend vum Koordinatenursprong.
Wann e Staf entlaascht gëtt, bemierkt een, datt, wann d’Spannung net ze grouss war, och d’Deformatioun verschwënnt, am Aklang mam Hooke’sche Gesetz. Mee och dat ännert sech, wann eng gewëssen Spannung iwwerschratt gëtt, déi no bei der Proportionalitéitsgrenz läit, der sougenannter Elastizitéitsgrenz; dann besteet d’Gesamtdeformatioun aus engem elasteschen (zréckginnbare) an engem inelasteschen (permanenten) Deel. Och d’Elastizitéitsgrenz kann net genee festgeluecht ginn, si läit ëm sou méi déif, jee méi grouss d’Miessgenauegkeet ass. Well si awer grouss technesch Bedeitung huet, well se d’Wichtegkeetsgrenz bei bal allen Berechnungen an der Materialwidderstandsfäegkeet duerstellt an zur selwechter Zäit d’Grenz ass, bei där déi éischt permanent Schied entstinn, gëtt si fir d’Ënnersichung vu Proben duerch eng ugeholl Konventioun schaarf definéiert, an esou gëtt z. B. als Grenz 0.2% déi Spannung bezeechent, bei där déi permanent Dilatatioun 0.2% erreecht.
Direkt no Iwwerschreiden vun der Elastizitéitsgrenz klëmmt d’Deformatioun schlagaarteg an ass mat bloussem A ze erkennen; bei bal konstante Spannung verlängert sech de Staf ouni Ënnerbriechung. Dës Spannung gëtt Streckgrenz genannt. Bei hydraulesche Materialprüfmaschinne kann een dobäi no Ufank vum Fléissen e méi oder manner ausgepräägte Réckgang vun der Spannung observéieren; wéi op Fig. 8 mat enger gestrichelter Kéier uginn ass; dann gëtt de Maximum als iewescht Streckgrenz bezeechent, an déi dono optretend konstant Flëssspannung als ënnescht Streckgrenz.
Nodeem eng gewëss Dilatatioun erreecht ass, déi bal ganz onelastescht ass, fänkt d’Spannung erëm un ze klammen, d’Material verhaart. An dësem Laaschtberäich kënnt et zu enger däitlecher Verengung vum Querschnëtt vum Staang wéinst der (onelastescher) säitlecher Kontraktioun, an de weidere Verlaf vum Spannungs- a Verformungsdiagramm hänkt an éischter Linn dovun of, ob bei der Berechnung vun der Spannung σ d’Zuchkraaft P, déi op de Staang wierkt, duerch den Ursprongsquerschnëtt F0 oder duerch de momentane Querschnëtt F gedeelt gëtt. Fir technesch Zwecker ass d’Spannung P|F0 interessant. Dës Spannung geet duerch e Maximum, deen d’Festegkeet vum Material genannt gëtt, an nodeem dëse Maximum iwwerschratt ass, verengt sech de Staang op enger Plaz staark a brécht. D’„tatsächlech Spannung“ P|F klëmmt bis zum Broch.
Bild 8.
D’Verhale vun anere Metaller deviéiert a ville Punkten vum hei beschriwwenen. D’Fléissen ass dacks net ausgeprägt, an d’Verhärtung fänkt direkt no der Iwwerschreidung vun der Elastizitéitsgrenz un. Bei sprëdde Materialien (Steng, Glas, Beton) sinn déi netelastescht Deformatiounen am Allgemengen kleng, an och bei enger klenger Dilatatioun kënnt et zu engem Bruch. D’Gesamtdilatatioun, déi e Material bis zum Bruch erdroe muss, ass e Mooss fir d’Dehnbarkeet (am Géigendeel: d’Sprëdegkeet) vum Material, an si gëtt beim Stol präzis an den technesche Bedéngungen virgeschriwwen. Well sech awer direkt virum Bruch déi weider Verformung op déi ëmginnend Plaze vum verengte Querschnëtt konzentréiert, kritt een eng ënnerschiddlech Wäert vun der Dilatatioun beim Bruch, jee nodeem, ob fir d’Messlängt e méi groussen oder méi klengen Deel vum Staang ugeholl gëtt, sou datt fir eenheetlech a géigesäiteg vergläichbar Resultater eng bestëmmte Konventioun am Viraus festgeluecht muss ginn. D’Dilatatioun beim Bruch gëtt normalerweis esou gemooss, datt op engem ronne Staang mat dem Duerchmiesser d virum Versuch d’Messlängt Ι = 10 d markéiert gëtt an aus senger Verlängerung ΔΙ d’Dilatatioun beim Bruch εs_Ι = ΔΙ|Ι berechent gëtt._ Wann et néideg ass, Staange mat engem anere Querschnëtt ze ënnersichen, gëtt d’Messlängt nom Duerchmiesser vun engem kreesfërmege zylindresche Staang festgeluecht, deen déi selwecht Fläch vum Querschnëtt huet.
Laangfristeg Belaaschtung
Fir de Verlaf vum Zuchversuch ass et zimlech egal, ob d’Belaaschtung bis zum Broch am Laf vun 10 m Minute oder e puer Stonnen zouhëlt. Wann d’Belaaschtung awer Joren oder Joerzéngte laang wierkt, da gëtt ënner bestëmmte Bedéngungen observéiert, datt och ënner der Flëssgrenz d’Deformatioun bei konstanter Spannung iwwer d’Zäit lues zouhëlt. Dobäi ännert sech den elasteschen Deel, also deen Deel, deen beim endgültege Entlaaschten verschwënnt, net wesentlech. Dës Zounahm vun der netelastescher Deformatioun, déi sech iwwer eng laang Zäit ofspillt, gëtt Kréien genannt. Bei Metaller, ausser beim Bläi, ass Kréien nëmmen bei héijen Temperaturen vu Bedeitung; fir de Bauingenieur spillt et awer eng Roll beim Beton, deen ënner Drock lues nogëtt, sou datt d’Spannung an der gedréckter Arméierung klëmmt, wann esou eng virhanden ass.
Verännerlech Belaaschtung
Fir datt déi mechanesch Charakteristike vum Material, déi beim Zuchversuch kritt goufen, als Moossstab fir déi zougeluecht Belaaschtung vu Konstruktiounen kënne benotzt ginn, ass et eng Viraussetzung, datt d’Material bei all neier Belaaschtung déi Spannungen erdroen kann, déi et eemol ouni Schied ausgehalen huet. Dës Viraussetzung ass net erfëllt, wann d’Material heefeg widderhuelte Belaaschtungen an Entlaaschtungen ausgesat ass, wéi dat z. B. de Fall ass bei Trägere, déi duerch d’Inertialkräfte vu net komplett ausbalancéierte Maschinne belaascht ginn. Duerch genuch heefegt Widderhuele vun der Belaaschtung kann en Konstruktioundeel och bei enger Spannung briechen, déi däitlech ënner der duerch e gewéinleche statesche Test bestëmmter Materialstäerkt läit. D’Erscheinung vun esou engem Bruch nennt een Bruch duerch Middegkeet. D’Zuel n vun de Belaaschtungszyklen, déi d’Material erdroen kann, hänkt vun der Gréisst vun der Spannung σ of, sou datt se ëm sou méi grouss ass, jee méi kleng d’Spannung ass. En typescht Beispill vun dëser Ofhängegkeet ass op Abb. 9 gewisen, aus där ze gesinn ass, datt fir d’Materialstäerkt eng ënnescht Grenz besteet, déi och bei engem onbegrenzte grousse Belaaschtungszyklus-Zuel erdroen gëtt an déi dynamesch Materialstäerkt genannt gëtt. Diagrammer vun dëser Aart (Abb. 9) ginn Wöhler-Kéieren genannt.
Fig. 9.
Sécherheet vun de Konstruktiounen
Zwou Grenzlaaschte si fir Konstruktiounen bedeitend: d’Laascht, bei där déi éischt permanent Schied entstinn (Fléissgrenz), an d’Laascht, bei där d’Tragfäegkeet vun der Konstruktioun erschöpft ass, sou datt se brécht (Bruchgrenz). Well virun der Fléissgrenz op mannst ongeféier d’Annahmen vun der Festegkeetsléier gëllen (kleng Verlagerungen, Hooke säi Gesetz), kann d’Sécherheet géint permanent Deformatiounen zouverlässeg an allen deene Fäll ofgeschat ginn, an deenen et geléngt, déi mathematesch Schwieregkeeten ze meeschteren. Wann d’Spannung proportional zur Belaaschtung ass, ass de Verhältnes vun der Fléissspännung zu der gréisster Spannong, déi an der Konstruktioun optrëtt, gläich dem Verhältnes tëscht der Laascht, bei där d’Fléisse geschitt, an der reeller Belaaschtung a stellt de Sécherheetskoeffizient géint Fléisse duer. Awer an enger Rei vu Fäll gëtt et dëse simple Verhältnis net: Béie wann d’Zuchspannungen ausgeschloss ginn, Drock tëscht gekrëmmte Flächen, Systemer mat verännerlecher Struktur an, wat besonnesch ongënschteg ass, Béie mat axialer Kraaft. An allen dëse Fäll kann eng relativ kleng Erhéijung vun der Belaaschtung zu enger grousser Erhéijung vun der Spannong féieren, an dann ass et net genuch, den übleche Sécherheetskoeffizient op d’Spannungen unzewenden, mee en muss op d’Belaaschtung ugewannt ginn.
D’Phänomener, déi nom Iwwerschreide vun der Flëssegkeetsgrenz bis zum Broch optrieden, kënnen an de meeschte Fäll nëmmen nach qualitativ nogezu ginn. Wann de Material duktil ass, da bedeelegen sech d’Beräicher, an deenen d’Flëssegkeetsgrenz als éischt erreecht gouf an déi sech weider bei konstanter oder just liicht zouhuelender Spannunge verformen, nëmme wéineg un der Opnam vun der weiderer Belaaschtung, sou datt déi aner, manner beansprocht Deeler vun der Konstruktioun, souwäit et hir Struktur erlaabt, méi un der Tragfäegkeet deelhuelen. An dëser Tendenz zum Ausgläiche vun de Spannungsmaxima läit eng gewëssen Sécherheetsreserve, déi rechneresch genotzt ka ginn, wann déi dauerhaf T Verformung vun eenzelne Deeler, entstanen duerch nëmmen eng bedeitend Belaaschtung, net schiedlech ass (Grenzbelaaschtungsmethod).
Wann d’Material spréckeleg ass, weist sech déi éischt permanent Schiedbildung a Rëss, duerch déi op der betraffener Plaz eng nach méi staark Spannungs-Konzentratioun entsteet, déi direkt de Broch verursaacht. Broch duerch Middegkeet huet och bei dehnungfäege Materialien d’Charakteristike vun engem spréckelege Bruch.
Verbindungen tëscht den Spannungen fir verschidde Querschnittsflächen
Transformatiounsgläichungen
Déi néng Komponentespannungen op Abb. 1 stinn a Verbindung mat dräi Gläichgewiichtsbedéngungen. Déi sechs iwwreg Wäerter σx, σy, σz τxy, τyz, τzx kënne, onofhängeg vuneneen, arbiträr Wäerter unhuelen, wéi aus der Ofleedung vun de differentiellen Gläichunge vun der Elastizitéitstheorie ersiichtlech ass. Wann dës Wäerter awer virgi sinn, ass de Spannungszoustand an engem Punkt vun engem feste Kierper komplett bestëmmt, dat heescht, wa d’Spannunge fir dräi géigesäiteg senkrecht Plangen bekannt sinn, kann och d’Spannung fir eng véiert Plang, déi duerch dee Punkt geet an där hir Normal e belibegen Richtungsvektor huet, eenzegaarteg bestëmmt ginn.
Op der Abb. 10 ass den Tetraeder OABC gewisen, deem seng dräi Säiten parallel zu de Plakere vum Koordinatesystem x, y, z sinn an deem seng véiert Säit en arbiträr orientéiert Uewerflächenelement ABC = dF. duerstellt. Fir seng Lag a Richtung vun der Spannungen, déi iwwert en iwwerdroe gëtt, unzeweisen, gëtt en zweet Koordinatesystem agefouert, deem seng ξ-Achs senkrecht op dF steet.
Bild 10
De Bedingung vun der Gläichgewiicht vun de Kräften, déi op dësen Tetraeder an der Richtung vun der ξ-Achs wierken, ergëtt
Wann ee bedenkt, datt
ergëtt sech
an änlech dozou aus de Gläichgewichtsbedéngungen an der Richtung vun der Achs η:
Dat si Gläichungen, déi fir d’Berechnung vun de Spannunge bei der Transformatioun vu Koordinate benotzt ginn. Besonnesch wichteg ass et, nëmmen esou Flächenelementer dF ze betruechten, fir déi d’ ξ-Achse mat der z-Achs zesummefält. D’Formele fir dëse Fall kënne mir duerch Vereinfachung vun de viregte Formelen kréien oder direkt aus der Fig. 11 liesen:
Bild 11
D’Normalspannungen huelen Extremwäerter fir d’Richtungen α = α0 , fir déi dσξ/dα = 0. Duerch Differenzéieren aus der Gläichung (16) kritt een
an dofir, wann dësen Ausdrock gläich Null gesat gëtt
D’Spannung τξη ass gläichzäiteg déi total Schéierpannung an dëse Flächen, wann τyz = τzx = 0. Dann sinn duerch d’Gläichung (17) zwou ënnerenee senkrecht Richtungen bestëmmt, fir déi: 1. déi total Schéierpannung null ass an, 2. déi normal Spannunge Extremwäerter hunn (Maximum a Minimum). Dës Richtunge ginn Haaptspannungsrichtungen genannt, an déi entspriechend Spannungen Haaptspannungen. Si gi mat σ1 an σ2 bezeechent a kënnen direkt aus der Formel berechent ginn
Mohr-Krees
D’Gleichungen (16) kënnen op eng anschaulich Manéier graphesch duergestallt ginn. Zu deem Zweck musse si an d’Form ëmgewandelt ginn:
Dës Gläichungen stellen am Koordinatensystem σ, τ déi parametrësch Form vun der Gläichung vum Krees duer, deen an der Abb. 12 agezeechent ass, deem seng Zentrumkoordinaten σ = 1/2 (σx + σy), τ = 0 sinn an deem säi Radius
Dëse Krees nennt een de Mohr-Krees. Wann duerch de Punkt x eng riicht Linn gezu gëtt, déi parallel zu der Schnëttfläch x = const. ass, iwwer déi d’Spannungen σx, τxy iwwerdroe ginn, da schneit se de Krees am Punkt p, deen als Pol vum Mohr-Krees bezeechent gëtt. All riicht Linn pξ, déi duerch dëse Pol gezu gëtt, schneit de Krees am Punkt ξ, deen d’Spannungen σξ, τξη festleet, déi iwwer eng Schnëttfläch parallel zu pξ iwwerdroe ginn.
Wat d’Zeeche vun de Schéierbelaaschtungen beim Zeene vum Mohr-Krees ugeet, soll een drop oppassen, datt si no uewen ageschriwwe ginn, wann se d’Richtung hunn, déi op der Abb. 12c gewisen ass. Dofir ass vun den zwee konjugéierte Spannungen τxy, τyx eng ëmmer positiv an déi aner negativ.
D’Grenzewäerter vun den Normalspannungen σ1, σ2 entspriechen de Punkten 1 an 2 um Krees, an d’Geraaden _p_1 an _p_2 ginn d’Richtunge vun de Hauptspannungen un.
D’Darstellung vun de Spannungen, déi an der x-y-Fläch leien, mat Hëllef vum Mahr-Krees ass u keng Viraussetzung iwwer d’Spannungen σz, τxz, τyz gebonnen, déi senkrecht op dës Fläch stinn.
Bild 12
Dat gëllt deemno och fir den allgemengsten dräidimensionalen Spannungszoustand, wann nëmmen déi Schnëttflächen verglach ginn, déi all duerch déiselwecht riicht Linn ginn, déi hei als z- a ξ-Achs gewielt ass. Well no den allgemenge Transformatiounsgläichungen (15) déi normal Spannung σ fir keng Schnëttfläch onendlech ka ginn, muss se fir eng bestëmmte Fläch e endlecht Maximum σ1, a fir eng aner e Minimum σ3 hunn, woubäi béid, natierlech, och negativ kënne sinn. Wann duerch d’Vektoren σ1 an σ3 eng Fläch gezu gëtt an de Mohr-Krees (Abb. 13) gezeechent gëtt
Bild 13
fir d’Spannungen, déi an dëser Fläch leien (dat heescht all Richtungen, déi op dës Fläch senkrecht sinn), sinn dann σ1 an σ3 déi gréisst an déi klengst Normalspannungen, déi optriede kënnen, an dofir mussen se géigesäiteg senkrecht sinn. Wann d’Richtungen 1 an 3 duerch d’Richtung 2 ergänzt ginn, esou datt dës dräi Richtungen e rechtwénkelegt Koordinatesystem bilden, an wann d’Mohr-Kreesser fir d’Flächen 1 ~2 an 2 ~ 3 gezeechent ginn, dann ass σ2 fir ee vun dëse Kreesser déi gréisst, a fir deen aneren déi klengst Normalspannung, an dofir ass an de Schnëtter, déi senkrecht op d’Richtungen 1, 2 a 3 sinn, d’Schéierspannung gläich null. Déi dräi géigesäiteg senkrecht Normalspannungen σ1, σ2 an σ3, deenen keng Schéierspannungen entspriechen, ginn Haaptspannungen genannt.
Leeschtungsgrenz an Bréchgrenz beim räumleche Spannungszoustand
De Spannungszoustand gëtt een-, zwee- oder dräidimensional genannt, anescht gesot: linear, flaach oder raimlech, je nodeem ob een, zwee oder all dräi Haaptsannungen vun Null ënnerschiddlech sinn. Bei konstruktiven Deeler, déi am heefegsten agesat ginn, also beim gezunnene, gedréckte a gebéite Staang, ass de Spannungszoustand, op d’mannst op de meeschte belaaschte Plazen, eenedimensional, an och bei den Tester op Zuch, Drock oder Béien, déi bei der Materialpréiung bal ausschliisslech fir d’Bestëmmung vun zougeloossene Spannungen agesat ginn. Am Géigesaz dozou ass bei Placken, déi an hirer Fläch oder senkrecht dozou belaascht sinn, souwéi bei Schuele, de Spannungszoustand zweedimensional, an a bestëmmte Fäll trieden och dräidimensional Spannungszoustände op, sou datt et noutwenneg ass, op Basis vun der Flossgrenz an dem Briechpunkt, déi bei engem eenedimensionalen Spannungszoustand bestëmmt goufen, Schlussfolgerungen iwwer d’Behuele vum Material am Fall vun engem raimleche Spannungszoustand ze zéien.