المواد: مقاومة المواد ونظرية المرونة

الأساسيات

تتمثل مهمة مقاومة المواد في تحديد ما القوى الخارجية التي يمكن أن يتحملها جسم صلب (مثلًا: منشأة، أو جزء إنشائي، أو تربة). وللإجابة عن هذا السؤال يُنطلق من معيارين: فمن جهة، يجب ألا تتجاوز الإجهادات حدودًا معينة تعتمد على نوع المادة، ومن جهة أخرى يجب أن يكون التوازن بين القوى الخارجية والداخلية مستقرًا. ووفقًا لذلك، يمكن تقسيم جميع مسائل مقاومة المواد إلى “مسائل الإجهاد” و“مسائل الاستقرار.”

في القضبان والكمرات والحوامل المؤلفة منها (الجمالونات، الإطارات) يتم تحديد الإجهادات على مرحلتين، وذلك أولًا بحساب محصلة القوى الداخلية المنقولة عبر المقطع العرضي انطلاقًا من القوى الخارجية المعطاة، ثم تُحدَّد الإجهادات من هذه «القوى المقطعية». ويشكّل الجزء الأول من الإجراء فرعًا خاصًا واسعًا، هو استاتيكا المنشآت الهندسية، وله طرائقه الخاصة المتطورة، وعادةً ما يُفصل عن مقاومة المواد، التي تقتصر مهمتها على تحديد الإجهادات من القوى المقطعية المعطاة.

المفاهيم الأساسية لمقاومة المواد

يتم الوصول إلى تعريف الإجهاد من خلال الاعتبارات الأساسية التالية. لنفترض أن نظامًا متوازنًا من القوى الخارجية يؤثر في الجسم. لنتخيل أننا قسمنا الجسم بمقطع اعتباطي إلى جزأين، وأزلنا أحدهما مع القوى المؤثرة عليه؛ عندئذٍ يجب أن يُستعاض عن تأثيره في الجزء الآخر، لكي يظل توازن القوى وتوزيع التشوهات على حالهما، بقوى إضافية تُنقل عبر سطح المقطع. وهذه القوى «الداخلية» موزعة توزيعًا متواصلًا على سطح المقطع، بحيث يقابل كل عنصر من عناصر المساحة dF قوة dβ. وإذا شُكِّل الكسر dβ dF وأُجري الانتقال الحدّي dF -> 0، فإن هذا الكسر يقترب من القيمة الحدية التي تُسمّى إجهادًا. ويكون الإجهاد في عنصر سطح معيّن، مثل dβ، ويمكن تحليله إلى مركبتين عمودية ومماسية على dF، هما الإجهاد العادي σ وإجهاد القص τ.

إذا أُجريت مقاطع عبر النقطة نفسها في اتجاهات مختلفة، فإنها تقابلها أيضًا إجهادات مختلفة. وعلى وجه الخصوص، إذا عُزل من الجسم متوازي المستطيلات الأولي، المبيّن في الشكل 1، فإن متجه الإجهاد سيؤثر في كلٍّ من أسطحه الستة ويمكن تفكيكه إلى ثلاث مركبات في اتجاه المحاور الإحداثية x و y و z. والإجهادات المؤثرة على الأسطح المتقابلة تختلف فيما بينها، بطبيعة الحال، بمقدار تفاضلي فقط، لذلك يجب التمييز بين 3 * 3 = 9 من الإجهادات المركّبة، والتي تُرمز كما يلي:

تُعطى الإجهادات العادية σ مؤشر المحور الذي تقع في اتجاهه، وتُعد موجبة إذا سببت شدًّا، وسالبة إذا سببت ضغطًا. أما إجهادات القص τ فلها مؤشّران؛ الأول منهما يطابق مؤشر الإجهاد العادي الموافق، والثاني يتعلق بالمحور الذي يعمل في اتجاهه إجهاد القص. وإذا كان الاتجاه الموجب للإجهاد العادي الموافق في اتجاه المحور الإحداثي الموجب (السالب)، فإن إجهاد القص يُعد أيضًا موجبًا إذا عمل في اتجاه المحور الإحداثي الموجب (السالب).

الشكل 1.

 ترافق إجهادات القص

إذا وُضع للمتوازي المستطيلات الابتدائي، الشكل 1، شرطُ أن يكون عزم جميع القوى بالنسبة إلى المحور x مساويًا للصفر، نحصل على τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz ومن هنا، ومن المعادلتين المقابلتين للمحورين y و z، يتبين أن إجهادات القص ذات المؤشرات نفسها متساوية فيما بينها τxy = τyx، τyz = τzy، τzx = τxz (1)

التشوهات المكوِّنة

إن كون الإجهادات المعرّفة أعلاه ذات معنى فيزيائيًا يستفاد من صلتها بالتعريف الذي تتعرض له كل مادة تحت تأثير القوى الخارجية. يبيّن الشكل 2 متوازي مستطيلات ابتدائيًا، كان قبل التشوه مستطيلًا وله أطوال الحواف dx وdy وdz. ويمكن الإشارة إلى أطوال الحواف بعد التشوه بـ dx + Δdx وdy + Δdy وdz + Δdz، وتسمى النِّسَب εx = Δdx|dx، εy =Δdy|dy، εz = Δdz|dz الاستطالات. وهذه مقادير لا بُعدية، وهي صغيرة بالنسبة إلى 1 لدى جميع المواد التي تدخل في الاعتبار في البناء. وإلى جانب استطالة الحواف، قد يتعرض متوازي المستطيلات الابتدائي dx * dy * dz أيضًا لتغير الزوايا القائمة الأصلية بين أضلاعه.

الشكل 2. التشوه المركّب

لنفترض أنه بعد التشوه تصبح الزاوية بين المستويات المتلاقية على طول الحافة OC مساويةً لـ ، وبالمثل لنفترض أن نقص الزاوية القائمة على طول الحافة AO يساوي γyz، وأن نقصها على طول الحافة OB يساوي γzx. وتُسمى هذه التغيرات الثلاثة في الزوايا γxy, γyz, γzx انزلاقات، وهي أيضًا صغيرة دائمًا بالنسبة إلى 1. وبالمركبات الست ε و γ يتحدد تشوه العنصر المتوازي السطوح تحديدًا كاملًا في “التشوه الصغير”. إن تغير عنصر الحجم d_V = dx * dy * dz_ هو ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, ومنه، عند إهمال جداءات الاستطالة باعتبارها مقادير صغيرة من رتبة أعلى، نحصل على الاستطالة الحجمية المكعبة ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2)

الإزاحات

يمكن وصف تشوه الجسم الصلب وصفًا كاملًا أيضًا على هذا النحو، بحيث يُعطى لكل نقطة من نقاطه الإزاحة التي تعرضت لها تلك النقطة. وإذا استُبعدت من الدراسة الإزاحات ذات المقدار النهائي التي تقابل إزاحة الجسم الصلب، وذلك بأن يُعتمد عند الحاجة في الحساب نظام إحداثيات متحرك، فإن الإزاحات المركبة μ، ν، ω تكون دائمًا كميات صغيرة، كما أن مشتقاتها بالنسبة إلى الإحداثيات صغيرة مقارنة بـ1. وبناءً على هذا الافتراض، فإن طول العنصر الخطي OA = dx بعد التشوه بحسب الشكل 3

إذن  (3)

وبطريقة مماثلة يتبين من الشكل 3 أن الانزلاق γxy γ1 + γ2: وكذلك

 (4)

الشكل 3 انزلاق

(5)  (6)

تُسمّى هذه العلاقات شروط التوافق، وهي تُبيّن أن العناصر المتشوّهة يمكن أن تتداخل كالموزاييك بحيث يُملأ الفراغ على نحو متصل، وهو ما لا يمكن تحقيقه إذا كانت تشوّهات العناصر عشوائية. وشروط التوافق هي معادلات تفاضلية، ولذلك، بطبيعة الحال، فإن جميع مركّبات التشوّه الستّ لكل متوازي مستطيلات على حدة مستقلة بعضها عن بعض، غير أن توزيعها في أي منطقة محدودة الامتداد يرتبط بالشروط (5) و(6).

ولأن هذه الشروط استُخلصت بالاشتقاق من المعادلتين (3) و(4), فإن جزءًا من القيود الواردة في المعادلات الأصلية يُفقد أثناء اشتقاقها. لذلك لا يكفي أن يتحقق أحد هذين النظامين من المعادلات فقط، بل يجب أن يتحقق كلا النظامين إذا أريد ضمان توافق التشوه.

المعادلات التفاضلية لنظام المرونة

لحساب الإجهادات والتشوهات في الأجسام المرنة تُستخدم المعادلات التالية:

شروط اتزان العنصر الحجمي. لقد استُخدمت شروط كون العزوم حول المحاور الثلاثة مساوية للصفر بالفعل عند اشتقاق المعادلة (1). وتعطي شروط اتزان القوى، بحسب الشكل 4

الشكل 4

(7a-c)

إذا رمزنا بـ X وY وZ إلى مركبات القوى الحجمية (مثل الوزن، والقوة الطاردة المركزية) لكل وحدة حجم. العلاقات بين الإجهادات والانفعالات. ويُقصد بها هنا العلاقة بين الإجهادات المركبة والانفعالات المركبة. وفي نظرية المرونة لا يؤخذ عادةً إلا بالعلاقة الخطية، التي يعبَّر عنها بقانون هوك:

(8a-c)

(8d-f)

إذا حُلَّت المعادلات (8a-c) بالنسبة للإجهادات، نحصل على

(8 a)

kso ومعادلتان مناسبتان. إن قانون هوك المعبَّر عنه بالمعادلة (8) لا يمثل قانونًا طبيعيًا محققًا على نحو صارم، بل هو تبسيط لسلوك حقيقي يبتعد عنه بدرجة أكبر أو أقل، تبعًا للمادة ومقدار الإجهاد. ونظرًا إلى أن المعالجة الرياضية لمشكلات مقاومة المواد ذات العلاقات المعقدة غير الخطية بين الإجهادات والانفعالات تثير صعوبات أكبر بكثير، ولا يمكن عمليًا تنفيذها إلا في أبسط الحالات، فإنه حتى في المواد (الخرسانة!) التي يبتعد سلوكها بشكل ملحوظ عن قانون هوك، يجب استخدام الحسابات القائمة عليه بوصفها أولًا، وفي الغالب أيضًا الحل التقريبي الوحيد، وهو في الواقع مفيد جدًا عادةً ويعطي فهمًا يتجاوز الجانب النوعي فحسب. G = E|2 (1+μ).

ينتج ذلك بالضرورة من العلاقة بين الإجهاد والانفعال (8)، ومن معادلات التحويل (16) للإجهادات، ومن النظام المناسب من المعادلات للانفعالات المكوِّنة. إن E و G لهما بُعد الإجهاد، وهما لدى جميع مواد البناء كبيران نسبةً إلى الإجهادات σ و τ التي قد تظهر. وعلى هذه الحقيقة تقوم الفرضية المعتمدة في كل مكان في نظرية المرونة، وهي أن الانفعالات صغيرة. أما معامل التمدد الجانبي (عدد بواسون) μ فهو بلا بُعد، ويقع دائماً بين 0 و 1/2 .

الروابط بين التشوهات المركَّبية والإزاحات. تُعطى هذه الروابط بالمعادلتين (3), (4). وهي ذات طبيعة هندسية بحتة. وتنتج عن هذه النظم الثلاثة 3+6+6=15 معادلة للمجاهيل 15، أي لـ 6 من الإجهادات المركَّبية، و6 من التشوهات المركَّبية، و3 من الإزاحات المركَّبية. وبالتالي فهي كافية لتحديد هذه المجاهيل. ومن البديهي أن المعالجة الرياضية لهذا النظام الواسع من المعادلات التفاضلية لا تكون ممكنة إلا في الحالات الخاصة. وإذا استُبدلت في المعادلة (8) التشوهات المركَّبية بالإزاحات المركَّبية وفقًا للمعادلتين (3) و(4)، ثم أُدخلت الإجهادات العادية σ وإجهادات القص τ، وفقًا للمعادلات (8 d - f)، في شروط الاتزان، المعادلة (7), نحصل على معادلات تفاضلية تُسمّى المعادلات الأساسية لنظرية المرونة.

(9)

حيث إن  يمثل مؤثر لابلاس. وبالنظر إلى (2) فهذه ثلاث معادلات تفاضلية بثلاث إزاحات مركبية μ، ν، ω؛ ومن هذه المعادلات يمكن بالاشتقاق، استنادًا إلى (3) و(4) و(8), الحصول على جميع الإجهادات والانفعالات المركبية. وتمثل المعادلات (9) نقطة انطلاق مناسبة كثيرًا لدراسة الحالات الخاصة.

عمل التشوه

تعريف

عندما يتعرض العنصر الحامل للحمل، فإن نقاط تأثير القوى الخارجية تخضع لإزاحات مرنة، وتبذل القوى عندئذٍ قدرًا من الشغل. وبهذه الطريقة يمكن أن تتحول الطاقة المضافة إلى أشكال مختلفة. وإذا وُضع الحمل فجأة بحيث تكون عملية التشوه سريعة بدرجة كبيرة، فإن جزءًا من هذه الطاقة يتحول إلى طاقة حركية تتبدد مع الزمن، إما بنقلها إلى التربة على هيئة موجة مرنة تضيع في اللانهاية، أو بتحولها بفعل الاحتكاك الداخلي إلى حرارة. أما إذا وُضعت الأحمال برفق بحيث لا يحدث عندئذٍ ازدياد ملحوظ في الطاقة الحركية، أي إذا كانت الأحمال التي تزداد تدريجيًا ابتداءً من الصفر في توازن دائم مع القوى الداخلية، فإن الطاقة تُستهلك بوضوح حصريًا في تشويه الجسم، وعندئذٍ تُسمّى شغل التشوه.

سنوضح حساب عمل التشوه أولًا على جزء مُحمَّل بشدّ في اتجاه واحد (شكل 5).

لنفترض أن الإجهاد القائم σ والاستطالة المقابلة ε يتعرضان لزيادتين dσ و dε. عندئذٍ فإن القوة σdF على المسار dε * dl ستبذل شغلاً σdF * dεdl = σdεdV، إذا أُشير بـ dV إلى حجم الجزء الصغير. وإذا ازداد الإجهاد من الصفر إلى قيمته النهائية، وكانت الاستطالة تبعًا لذلك من 0 إلى ε، فإن الشغل الكلي المبذول لكل وحدة حجم يكون:

وبالمثل، بالنسبة إلى عنصر محمّل بإجهاد قص τ (شكل 6) فإن شغل التشوه لكل وحدة حجم (شغل التشوه النوعي، الطاقة المرنة):

حيث إن قوة واحدة فقط من بين القوى الأربع τ * dF تبذل شغلاً.

في الحالة العامة، عندما تتعرض العنصر الأولي إلى المكونات الستة جميعها من الإجهادات، فإن الشغل النوعي للتشوه يُحصل عليه بجمع أشغال المكونات الفردية من الإجهادات:

(10)

وباﻻشتقاق بالنسبة إلى الحد الأعلى لكل من هذه التكاملات نحصل على العلاقات السارية في الحالة الأكثر عمومية:

(11)

وهكذا بالنسبة لباقي التشوهات المركبة. إذا كان الجسم مرنًا، فإن لكل حالة إجهاد معينة دائمًا حالة تشوه واحدة نفسها، بغض النظر عما إذا كانت الحالة قد تحققت أثناء التحميل أو أثناء إزالة الحمل. عندئذ تكون تحت التكاملات دوال أحادية القيمة، وتكون الطاقة الكلية المستهلكة أثناء التحميل ثم التفريغ الكامل a = 0، نظرًا إلى أن الحدود العليا للتكاملات تصبح في هذه الحالة صفرًا. وبالتالي فإن الطاقة الكلية المنقولة إلى الجسم أثناء التحميل تُسترد عند إزالة الحمل.

الشكل 6

الشكل 7

بالنسبة لجسم غير مرن تمامًا، يكون الربط بين الإجهادات والتشوّهات خلال دورة التحميل والتفريغ كاملة ذا شكل تقريبي كما هو مبين في الشكل 7 بالخطوط O A B. والطاقة  المُدخلة عند التحميل تساوي المساحة OAA, والطاقة المستردة عند التفريغ تساوي المساحة ABA, وبذلك يضيع العمل الموافق للمساحة المظللة (ويتحول إلى حرارة). وإذا كان الإجهاد في عملية اهتزازية يتغير دوريًا بين القيمة الحدّية الموجبة  والقيمة الحدّية السالبة ، فإن التشوّه غير المرن يسير على نحو مشابه لما هو موضح بالخطوط المتقطعة في الشكل 7، ويتحول في كل دورة اهتزازية إلى طاقة حرارية DABCD لكل وحدة حجم. ويُسمّى هذا السلوك أثناء التشوّه، حيث يتأخر التشوّه عن الإجهاد، الهيسترة المرنة، وتُسمّى المنحنى DABCD حلقة الهسترة.

شغل التشوه وقانون هوك

إذا أُدخل قانون هوك إلى التكاملات في المعادلة (10)، يمكن إجراء التكامل، فنحصل على عبارات العمل النوعي للتشوه:

(12a)

(12b)

(12c)

إذا أُدرج الشكل الثاني من هذه الأشكال في المعادلة (11), نحصل مرة أخرى على قانون هوك، المعادلات (8), بصيغة محلولة بالنسبة إلى الإجهادات. إن القول بأن شغل التشوه يعتمد على مركبات التشوه، كما هو مبين بالمعادلة (12b)، يكافئ بالتالي قانون هوك. وعندما تُفاضل المعادلة (12c) بالنسبة إلى الإجهادات، نحصل على

(13)

هذه الصيغ، بخلاف الصيغ (11), لا تنطبق إلا على الأجسام التي تتصرف وفق قانون هوك، ولا يمكن تطبيقها عندما تكون العلاقة بين الإجهادات والانفعالات مختلفة. ومن البديهي أن الجانب الأيمن من المعادلات (13) لا يحتوي إلا على التشوهات المركبة الناتجة عن الإجهادات، وتُستبعد جميع التشوهات الأخرى التي قد تنشأ عن تغير الحرارة، أو الزحف، أو الانتفاخ، أو إعادة التبلور، إلخ.

المواقف التكاملية في نظرية المرونة

الإزاحات الافتراضية. مبدأ الحد الأدنى للطاقة الكامنة

وكما يمكن استبدال قانون هوك، والمعادلات (8) بمعادلة واحدة (12b)، يمكن أيضًا بدلًا من شروط التوازن إدخال مبدأ الإزاحات الافتراضية بوصفه القانون الأساسي العام المعمول به في الميكانيكا. ويعبّر هذا القانون عن أن حالات التوازن تتميز بأن الشغل الكلي الذي تبذله جميع القوى عند تغير صغير في حالة التشوه يساوي صفرًا. وإذا رمزنا للتغيرات الصغيرة في الإزاحات المرنة بـ δμ δν, δω، فإن قوى الحجم المحددة بالمعادلة (7) تبذل شغلًا افتراضيًا

والقوى السطحية px, py, pz التي تؤثر في العنصر dF من السطح الخارجي للجسم عمل 

حيث يشير التكامل الثلاثي إلى كامل الحجم، أما التكامل الثنائي فيشير إلى كامل السطح الخارجي للجسم. ولحساب العمل الذي تبذله القوى الداخلية تُستخدم المعادلة (12b)، ومن ثم فإن العمل لكل وحدة حجم يكون

وبناءً على ذلك فإن مبدأ الإزاحات الافتراضية يعطي

(14)

إذا اعتُبرت الأحمال X وY وZ وpx وpy وpz بمثابة مركبات لقوة الجاذبية (الوزن الذاتي والحمل الخارجي)، فإن التكاملات في الجهة اليمنى تمثل الطاقة الكامنة التي فقدتها هذه الأحمال، بينما تمثل الجهة اليسرى الزيادة في الطاقة الكامنة (المرنة) للجسم، وبذلك يعبّر هذا المبدأ عن أن مجموع الطاقة الكامنة للكمرة والأحمال المرتكزة عليها يكون في حالة التوازن ذا قيمة قصوى. وإذا كانت هذه القيمة القصوى دنيا، فإن التوازن يكون مستقرًا.

مبدأ الطاقة الكامنة الدنيا المعبّر عنه بالمعادلة (14), والتعبير (12b) عن عمل التشوه، وشروط توافق التشوهات (5) و(6) تمثل نظامًا من المعادلات يكفي لبناء نظرية المرونة، وهو مكافئ في الأساس لنظام المعادلات. ويمكن أن يكون هذا النظام مفيدًا بوجه خاص في الحالات التي يمثّل فيها استيفاء المعادلات التفاضلية (9) صعوبات حسابية، ولذلك يجب البحث عن حل تقريبي؛ فمثلًا تُفترض الإزاحات مسبقًا على هيئة مناسبة تحتوي على عدة ثوابت حرة، ثم تُحدَّد هذه الثوابت من اشتراط أن تكون المعادلة (14) محققة. وهكذا لا نحصل، بالطبع، على حل صارم للمسألة، بل فقط على أفضل تقريب يمكن تحقيقه بالشكل المختار للحل. ومدى كفاية هذا التقريب يعتمد قبل كل شيء على الشكل المعتمد للحل، ومن ثم فإن التطبيق الناجح لهذه الطريقة يتطلب مهارة وخبرة.

مبدأ كاستيليانو

بينما تُقارَن في مبدأ الحد الأدنى للطاقة الكامنة جميع حالات التشوه التي تستوفي شروط توافق التشوهات ويُستبعد منها ما تكون فيه الإجهادات الموافقة مستوفية لشروط الاتزان، تُقارَن في مبدأ كاستيليانو جميع حالات الإجهاد التي تستوفي شروط الاتزان ويُستبعد منها ما تكون فيه التشوهات الموافقة مستوفية لشروط توافق التشوهات. وينص هذا المبدأ على ما يلي: من بين جميع حالات الاتزان الممكنة تتحقق فعليًا الحالة التي تقابل أقل شغل تشوهي. ويكوّن مبدأ كاستيليانو مع المعادلة (12c) الخاصة بالشغل التشوهي وشروط الاتزان نظامًا من المعادلات يكفي لبناء مقاومة المواد. ونظرًا إلى أن هذا المبدأ يتضمن قانون هوك فإن إمكان تطبيقه يرتبط بافتراض أن التشوهات يمكن وصفها وصفًا كاملًا بهذا القانون. وهذا لا يتطلب فقط سلوكًا مرنًا خطيًا للمادة، بل يستبعد أيضًا تغيرات الحرارة.

سلوك المواد فوق حدود المرونة

الظواهر عند التحميل الساكن

إن تشوّه المادة تحت تأثير الإجهادات ظاهرة معقدة جدًا، ولذلك لا بد من تبسيطها بطرق مختلفة حتى يمكن فهمها. ومن هذه التبسيطات افتراض أن الأحمال تُطبَّق تدريجيًا، كما يُفعل ذلك، مثلًا، مع العينات عند إجراء اختبارات الشد والضغط.

إذا خضع قضيب فولاذي محمَّل بالشد لحمل يزداد تدريجيًا وتم قياس استطالته ε، نحصل على المخطط الموضح في الشكل 8. في البداية تكون الاستطالة صغيرة جدًا ومتناسبة مع الإجهاد، كما يقتضي قانون هوك. وابتداءً من إجهاد معيّن تتوقف النسبية وتزداد الاستطالة بسرعة أكبر. ومن الصعب تحديد الموضع الدقيق لحد هذه النسبية. وكلما كانت القياسات أدق، ظهر هذا الحد أقل. وبالنسبة لمعظم المواد يقع عند σ = 0، وعندئذٍ لا يمثّل قانون هوك إلا تقريبًا أوليًا للسلوك المرن، أي الحد الأول من تطوير تايلور للدالة ε = ε (σ) في محيط نقطة الأصل.

إذا أُزيل الحمل عن القضيب، يُلاحظ أنه عندما لا يكون الإجهاد كبيرًا جدًا تزول أيضًا التشوّه، وفقًا لقانون هوك. لكن هذا يتغير أيضًا إذا جرى تجاوز إجهاد معين يقع قريبًا من حد التناسب، أي ما يسمى حد المرونة؛ عندئذ يتألف التشوّه الكلي من جزء مرن (راجع) وجزء غير مرن (دائم). ولا يمكن تحديد حد المرونة بدقة أيضًا، فهو يكون أدنى كلما كانت دقة القياس أكبر. ومع ذلك، ولأهميته التقنية الكبيرة، لأنه يمثل حدّ الأهمية في 거의 جميع الحسابات في مقاومة المواد، وفي الوقت نفسه الحد الذي تبدأ عنده الأضرار الدائمة الأولى، فإنه يُعرَّف بدقة في فحص العينات وفق اتفاقية معتمدة، بحيث يُشار مثلاً إلى أن حد 0.2% هو ذلك الإجهاد الذي تبلغ عنده الاستطالة الدائمة 0.2%.

بعد تجاوز حد المرونة مباشرةً تزداد التشوهات فجأة ويمكن ملاحظتها بالعين المجردة؛ وعند إجهاد يكاد يكون ثابتًا يستطيل القضيب باستمرار. ويُسمى هذا الإجهاد حد الخضوع. وفي آلات الاختبار الهيدروليكية للمواد يمكن أيضًا ملاحظة هبوط أوضح أو أقل وضوحًا في الإجهاد بعد بدء الخضوع؛ كما هو مبين في الشكل 8 بالمنحنى المتقطع؛ وعندئذ تُسمى القيمة العظمى حد الخضوع العلوي، ويُسمى إجهاد الخضوع الثابت الذي يلي ذلك حد الخضوع السفلي.

بعد بلوغ استطالة معينة تكاد تكون غير مرنة تمامًا، يبدأ الإجهاد بالازدياد من جديد، فتتقوى المادة. في هذه المنطقة من التحميل يحدث نقصان ملحوظ في المقطع العرضي للقضيب بسبب الانكماش الجانبي (غير المرن)، ويعتمد سير مخطط الإجهاد والانفعال فيما بعد، أولًا وقبل كل شيء، على ما إذا كانت قوة الشد P المؤثرة في القضيب عند حساب الإجهاد σ تُقسَم على المقطع الأصلي F0 أم على المقطع الحالي F. وللأغراض التقنية يكون الإجهاد P|F0 ذا أهمية. ويبلغ هذا الإجهاد قيمة عظمى تُسمى مقاومة المادة، وعند تجاوز هذه القيمة يضيق القضيب بشدة في موضع واحد وينقطع. “الإجهاد الحقيقي” P|F يزداد حتى الانهيار.

الشكل 8.

إن سلوك المعادن الأخرى يختلف في كثير من الجوانب عمّا هو موصوف هنا. فالجريان غالبًا لا يكون واضحًا، ويبدأ التصلب مباشرة بعد تجاوز حد المرونة. أما في المواد الهشة (الحجر، الزجاج، الخرسانة) فإن التشوهات غير المرنة تكون صغيرة بوجه عام، ويحدث الانهيار عند استطالة صغيرة. إن الاستطالة الكلية التي تتحملها المادة حتى الانهيار هي مقياس لقابلية الاستطالة (وعكسها: الهشاشة) للمادة، وهي بالنسبة إلى الفولاذ محددة بدقة في الشروط الفنية. غير أنه، نظرًا إلى أن التشوه الإضافي قبيل الانهيار يتركز في المواضع المحيطة ذات المقطع المُضيَّق، تُستحصل قيمة مختلفة للاستطالة عند الانهيار بحسب ما إذا كان طول القياس يُعتمد فيه جزء أكبر أو أصغر من القضيب، ولذلك يجب مسبقًا اعتماد قاعدة معينة للحصول على نتائج وحيدة المعنى وقابلة للمقارنة المتبادلة. وتقاس الاستطالة عند الانهيار عادةً بحيث يُعلَّم على قضيب دائري قطره d قبل الاختبار طول القياس Ι = 10 d ويُحسب من استطالته ΔΙ الاستطالة عند الانهيار εs_Ι = ΔΙ|Ι ._ وإذا لزم اختبار قضبان ذات مقطع مختلف، فيُحدد طول القياس تبعًا لقطر قضيب أسطواني دائري له المساحة نفسها للمقطع العرضي.

التحميل طويل الأمد

بالنسبة لسير اختبار الشدّ، لا يكاد يهم ما إذا كان الحمل حتى الكسر يزداد خلال 10 m دقائق أو خلال ساعات عدة. غير أنه إذا استمر الحمل سنوات أو عشرات السنين، تُلاحظ في بعض الظروف أنه حتى دون حدّ الخضوع تزداد التشوهات ببطء مع الزمن عند إجهاد ثابت. وفي هذه الحالة لا يتغير الجزء المرن، أي الجزء الذي يزول عند إزالة الحمل النهائية، تغيرًا يُذكر. وتُسمّى هذه الزيادة في التشوه غير المرن التي تحدث خلال مدة طويلة الزحف. أما في المعادن، باستثناء الرصاص، فلا يكون الزحف ذا أهمية إلا عند درجات الحرارة العالية، غير أنه بالنسبة للمهندس المدني يكتسب دورًا في الخرسانة التي تترخى قليلًا تحت الضغط، بحيث يزداد الإجهاد في التسليح المضغوط، إذا وُجد.

الحمل المتغير

لكي يمكن استخدام الخصائص الميكانيكية للمادة، التي تم الحصول عليها في اختبار الشد، معيارًا للحمل المسموح به للمنشآت، يجب أن تتحمل المادة عند كل تحميل متكرر الإجهاد الذي سبق أن تحمّلته مرة واحدة من دون ضرر. ولا يتحقق هذا الشرط إذا كانت المادة تتعرض لتكرار متكرر للتحميل والتفريغ، كما هي الحال، مثلًا، في الحوامل المعرضة لقوى العطالة الناتجة عن آلات غير متزنة تمامًا. ومع تكرار التحميل بما يكفي يمكن أن يصل الجزء الإنشائي إلى الانهيار حتى عند إجهاد يقع بعيدًا جدًا عن مقاومة المادة المحددة بالاختبار الساكن العادي. وتسمى ظاهرة الانهيار من هذا النوع الانهيار بسبب التعب. إن عدد n من دورات التحميل التي يمكن أن تتحملها المادة يعتمد على مقدار الإجهاد σ، بحيث يكون أكبر كلما كان الإجهاد أصغر. وقد أُظهر مثال نموذجي لهذه العلاقة في الشكل 9، حيث يتبين أن للمادة حدًا أدنى للمقاومة تتحمله حتى عند عدد غير محدود من دورات التحميل، ويُسمى المقاومة الديناميكية للمادة إن المخططات من هذا النوع (الشكل9) تسمى منحنيات ووهلر.

الشكل 9.

سلامة المنشآت

هناك حملان حدّيان مهمان للمنشآت: الحمل الذي تظهر عنده أول أضرار دائمة (حد الخضوع)، والحمل الذي تُستنفد عنده قدرة المنشأ على التحمل فينهار (حد الكسر). وبما أن افتراضات مقاومة المواد (الإزاحات الصغيرة، قانون هوك) تنطبق قبل حد الخضوع على الأقل تقريباً، فإن الأمان تجاه التشوهات الدائمة يمكن تقديره بصورة موثوقة في جميع الحالات التي يمكن فيها التغلب على الصعوبات الرياضية. فإذا كان الإجهاد متناسباً مع الحمل، فإن نسبة إجهاد الخضوع إلى أكبر إجهاد يظهر في المنشأ تساوي نسبة الحمل الذي يحدث عنده الخضوع إلى الحمل الفعلي، وتمثل معامل الأمان تجاه الخضوع. غير أن هذا التناسب البسيط لا يوجد في عدد من الحالات: الانحناء مع استبعاد الشد، والضغط بين الأسطح المحدبة، والأنظمة ذات البنية المتغيرة، والأشد إشكالاً على وجه الخصوص، الانحناء مع قوة محورية. ففي جميع هذه الحالات قد يؤدي ازدياد صغير نسبياً في الحمل إلى ازدياد كبير في الإجهاد، وعندئذ لا يكفي تطبيق معامل الأمان المعتاد على الإجهادات، بل يجب تطبيقه على الحمل.

يمكن متابعة الظواهر التي تحدث بعد تجاوز حد الخضوع وحتى الانهيار في معظم الحالات بصورة نوعية فقط. فإذا كانت المادة قابلة للتمدد، فإن الأجزاء التي يُبلغ فيها حد الخضوع أولًا، والتي تواصل التشوه تحت إجهاد ثابت أو إجهاد يزداد قليلًا، لا تسهم كثيرًا في تحمّل الحمل اللاحق، بحيث تشارك الأجزاء الأخرى الأقل إجهادًا من المنشأ، ما أمكن ذلك بالنظر إلى بنيته، بصورة أكبر في التحمل. وفي هذا السعي إلى موازنة قمم الإجهاد تكمن احتياطية معينة من الأمان يمكن استغلالها حسابيًا إذا لم يكن التشوه الدائم لبعض الأجزاء، الناتج عن تحميل كبير واحد فقط، ضارًا (طريقة الحمل الحدّي).

إذا كانت المادة هشة، فإن أول تلف دائم يظهر على شكل شقوق، وبسببها يحدث في الموضع المعرّض إلى الخطر تركّز أكبر للإجهادات، ما يؤدي فورًا إلى الكسر. كما أن الكسر الناتج عن التعب، حتى في المواد المطيلية، يحمل خصائص الكسر الهش.

 العلاقات بين الإجهادات لأسطح مقطع مختلفة

معادلات التحويل

ترتبط الإجهادات المركبة التسع في الشكل 1 بثلاثة شروط اتزان. أما القيم الست المتبقية σx، σy، σz، τxy، τyz، τzx فيمكن أن تأخذ، مستقلةً إحداها عن الأخرى، قيَمًا اعتباطية كما يظهر من اشتقاق المعادلات التفاضلية لنظرية المرونة. غير أنه عندما تكون هذه القيم معطاة، تكون حالة الإجهاد في نقطة ما من جسم صلب محددة بالكامل، أي أنه عندما تكون الإجهادات لثلاثة مستويات متعامدة فيما بينها معروفة، يمكن أيضًا تحديد الإجهاد بصورة وحيدة لمستوى رابع يمر بالنقطة المعطاة وتكون عموديته في اتجاه اعتباطي.

في الشكل 10 موضَّح رباعي السطوح OABC، حيث إن أضلاعه الثلاثة موازية لمستويات نظام الإحداثيات x, y, z، أما الضلع الرابع فيمثل عنصر سطح موجَّهًا على نحو اعتباطي ABC = dF. ولإظهار اتجاهه واتجاه الإجهاد المنقول عبره، يُستعمل نظام إحداثيات ثانٍ، يكون محوره ξ عموديًا على dF.

الشكل 10

تعطي حالة اتزان القوى المؤثرة على هذا الموشور رباعي الوجوه في اتجاه المحور ξ

إذا أُخذ في الاعتبار أن

يُحصل على

وكذلك الأمر من شروط التوازن في اتجاه المحور η:

هذه هي المعادلات التي تُستخدم لحساب الإجهاد عند تحويل الإحداثيات. ومن الأهمية الخاصة أن نُعاين فقط مثل هذه العناصر من السطح _dF التي تتطابق فيها المحور ξ- مع محور z. ويمكننا الحصول على الصيغ الخاصة بهذه الحالة بتبسيط الصيغ السابقة أو قراءتها مباشرة من الشكل 11:

الشكل 11

يأخذ الإجهاد العادي قيمه القصوى للاتجاهات α = α0، التي يكون فيها dσξ/dα = 0. وبالاشتقاق نحصل من المعادلة (16) على

وعليه، عندما يُساوى هذا التعبير بالصفر

سيكون الإجهاد τξη أيضًا هو إجهاد القص الكلي في هذه المستويات، إذا كان τyz = τzx = 0. وعندئذ تحدد المعادلة (17) اتجاهين متعامدين فيما بينهما بحيث: 1. يكون إجهاد القص الكلي صفرًا و، 2. يكون الإجهاد العادي ذا قيم قصوى (أعظمية وأدنى). وتُسمّى هذه الاتجاهات اتجاهات الإجهادات الرئيسية، والإجهادات المقابلة بها تُسمّى الإجهادات الرئيسية. وتُرمز بـ σ1 و σ2 ويمكن حسابها مباشرة من الصيغة

 دائرة موهر

يمكن تمثيل المعادلات (16) بيانيًا بصورة واضحة. ولهذا الغرض ينبغي تحويلها إلى الصورة:

تمثل هذه المعادلات في جهاز الإحداثيات σ، τ الصيغة البارامترية لمعادلة الدائرة المرسومة في الشكل 12، التي إحداثيات مركزها σ = 1/2 (σx + σy)، τ = 0 ونصف قطرها

تُسمّى هذه الدائرة دائرة موهر. فإذا رُسم عبر النقطة x مستقيم موازٍ للمقطع x =const. الذي تنتقل عبره الإجهادات σx, τxy فإنه سيقطع الدائرة في النقطة p، التي تُسمّى قطب دائرة موهر. وكل مستقيم pξ مرسوم عبر هذا القطب يقطع الدائرة في النقطة ξ التي تحدد الإجهادات σξ, τξη المنقولة عبر مقطع موازٍ لـ pξ.

وفيما يتعلق بإشارة إجهادات القص عند رسم دائرة موهر، يجب الانتباه إلى أنها تُرسم إلى أعلى إذا كان لها الاتجاه المبين في الشكل 12c. ولذلك فإن أحد الإجهادين المترافقين τxy, τyx يكون دائمًا موجبًا، والآخر سالبًا.

القيم الحدّية للـ σ1، σ2 من الإجهادات العادية تقابلها النقطتان 1 و 2 على الدائرة، وتبيّن المستقيمات _p_1 و _p_2 اتجاهات الإجهادات الرئيسية.

إن تمثيل الإجهادات الواقعة في مستوى x-y بواسطة دائرة ماهر لا يرتبط بأي افتراض بشأن الإجهادات σz, τxz, τyz العمودية على هذا المستوى.

الشكل 12

وهذا ينطبق بالتالي أيضًا على الحالة الثلاثية الأبعاد الأكثر عمومية للإجهاد، إذا قورنت فقط المستويات المقطعية التي تمر جميعها بالمستقيم نفسه، المختار هنا محور z و ξ. وبما أنه، وفقًا لمعادلات التحويل العامة (15), لا يمكن للإجهاد العادي σ أن يصبح لا نهائيًا لأي مستوى مقطعي، فلا بد أن يكون له قيمة عظمى نهائية σ1 لمستوى ما، وقيمة صغرى σ3 لمستوى آخر، وكلاهما، بطبيعة الحال، قد يكون أيضًا سالبًا. وإذا رُسم مستوى يمر عبر المتجهين σ1 وσ3 ورُسمت دائرة موهر (شكل 13)

الصورة 13

للإجهادات الواقعة في هذا المستوى (أي جميع الاتجاهات العمودية على هذا المستوى)، فإن σ1 وσ3 هما أكبر وأصغر إجهادين عاديين يمكن أن يظهرا، ولذلك يجب أن يكونا متعامدين أحدهما مع الآخر. وإذا أُكمِلت الاتجاهات 1 و3 بالاتجاه 2، بحيث تُشكّل هذه الاتجاهات الثلاثة نظام إحداثيات قائم الزوايا، ورُسِمت دوائر موهر للمستويين 1 ~2 و2 ~ 3، فإن σ2 يكون لأحد هذين الدائرتين أكبر إجهاد عادي، وللأخرى أصغره، وبالتالي يكون الإجهاد القصي في المقاطع العمودية على الاتجاهات 1 و2 و3 مساويًا للصفر. وتُسمّى الإجهادات العادية الثلاثة المتعامدة فيما بينها σ1 وσ2 وσ3، التي لا تقابلها إجهادات قصية، الإجهادات الرئيسية.

    حدّ الخضوع وحدّ الانهيار في حالة الإجهادات الفراغية

تُسمّى حالة الإجهاد أحادية الأبعاد أو ثنائية الأبعاد أو ثلاثية الأبعاد، وبعبارة أخرى: خطية أو مستوية أو فراغية، تبعًا لكون أحد الإجهادات الرئيسية أو اثنين منها أو الثلاثة جميعًا غير مساوية للصفر. وفي العناصر الإنشائية الأكثر شيوعًا، أي في القضيب المشدود أو المضغوط أو المنحني، تكون حالة الإجهاد، على الأقل في أكثر المواضع تعرضًا للإجهاد، أحادية الأبعاد، وكذلك في اختبارات الشد أو الضغط أو الانحناء، التي تُستخدم في اختبار المواد تقريبًا حصريًا لتحديد الإجهادات المسموح بها. وعلى النقيض من ذلك، في الألواح المحملة في مستواها أو عموديًا عليه، وكذلك في القشريات، تكون حالة الإجهاد ثنائية الأبعاد، وفي بعض الحالات تظهر أيضًا حالات إجهاد ثلاثية الأبعاد، بحيث يلزم استنتاج سلوك المادة في حالة الإجهاد الفراغي اعتمادًا على حد الخضوع والكسر، المحددَين في حالة الإجهاد أحادية الأبعاد.