Bażijiet
Il-kompitu tar-reżistenza tal-materjali huwa li jistabbilixxi liema forzi esterni jista’ jiflaħ korp solidu (eż., bini, element strutturali jew art). Sabiex tingħata risposta għal din il-mistoqsija, jitħaddmu żewġ kriterji: minn naħa, l-istressijiet ma għandhomx jaqbżu ċerti limiti li jiddependu mit-tip ta’ materjal, u min-naħa l-oħra l-bilanċ bejn il-forzi esterni u dawk interni għandu jkun stabbli. F’konformità ma’ dan, il-problemi kollha tar-reżistenza tal-materjali jistgħu jinqasmu fi “Problemi ta’ stress” u “problemi ta’ stabbiltà.”
Fil-każ ta’ vireg u travi u ta’ strutturi komposti minnhom (tralji, oqfsa) id-determinazzjoni tat-tensjonijiet issir f’żewġ stadji, jiġifieri b’dan il-mod li l-ewwel, abbażi tal-forzi esterni mogħtija, tiġi kkalkulata r-riżultanti tal-forzi interni li jiġu trasmessi permezz tas-sezzjoni trasversali, u mbagħad minn dawn il-“forzi tas-sezzjoni” jiġu determinati t-tensjonijiet. L-ewwel parti tal-proċedura tirrappreżenta dixxiplina separata u estensiva, l-istatika tal-kostruzzjonijiet tal-bini, li għandha metodi żviluppati tagħha stess u li normalment tinfired mir-reżistenza tal-materjali, li l-kompitu tagħha jikkonsisti fid-determinazzjoni tat-tensjonijiet mill-forzi tas-sezzjoni mogħtija.
Kunċetti bażiċi tar-reżistenza tal-materjali
Id-definizzjoni tal-istress tinkiseb permezz tar-raġunamenti bażiċi li ġejjin. Ejja nassumu li fuq il-ġisem jaġixxi sistema ta’ forzi esterni f’bilanċ. Nimmaġinaw li l-ġisem qsamnih b’sezzjoni arbitrarja f’żewġ partijiet, u li neħħejna waħda minnhom flimkien mal-forzi li jaġixxu fuqha; imbagħad l-azzjoni tagħha fuq il-parti l-oħra, biex il-bilanċ tal-forzi u t-tqassim tad-deformazzjonijiet jibqgħu l-istess, trid tiġi sostitwita b’forzi addizzjonali li jiġu trażmessi mill-wiċċ tas-sezzjoni. Dawn il-forzi “interni” huma mqassma b’mod kontinwu fuq il-wiċċ tas-sezzjoni, b’tali mod li għal kull element tal-wiċċ dF tikkorrispondi forza dβ. Jekk jiġi ffurmat il-kwozjent dβ dF u jsir it-tranżizzjoni limitanti dF -> 0, allura dan il-kwozjent jersaq lejn il-valur limitanti li jissejjaħ stress. L-istress f’element partikolari tal-wiċċ huwa, bħal dβ, u jista’ jiġi sseparat f’komponenti normali u tangenzjali għal dF, stress normali σ u stress ta’ qtugħ τ.
Jekk minn punt wieħed jinġibdu sezzjonijiet f’direzzjonijiet differenti, għalihom jikkorrispondu wkoll stressi differenti. B’mod partikolari, jekk mill-ġisem jiġi separat kubu elementari, muri fil-fig. 1, fuq kull waħda mis-sitt uċuħ tiegħu jaġixxi vettur ta’ stress li jista’ jitqassam fi tliet komponenti fid-direzzjoni tal-assi koordinati x, y, z. L-istressi li jaġixxu fuq in-naħat opposti tal-wiċċ huma differenti minn xulxin, naturalment, biss b’differenzjal, għalhekk għandha ssir distinzjoni bejn 3 * 3 = 9 komponenti ta’ stress, li jiġu indikati bil-mod li ġej:
Lil tensjonijiet normali σ jingħata l-indiċi tal-assi li tul id-direzzjoni tiegħu jkunu jinsabu, u jitqiesu pożittivi jekk jikkawżaw tiġbid, u negattivi jekk jikkawżaw kompressjoni. It-tensjonijiet ta’ ċaqlieq τ jingħataw żewġ indiċijiet, l-ewwel wieħed minnhom hu l-istess bħall-indiċi tat-tensjoni normali korrispondenti, u t-tieni jirreferi għall-assi li fid-direzzjoni tiegħu jaġixxi t-tensjoni ta’ ċaqlieq. Jekk id-direzzjoni pożittiva tat-tensjoni normali korrispondenti tkun fid-direzzjoni tal-assi koordinat pożittiv (negattiv), it-tensjoni ta’ ċaqlieq titqies ukoll pożittiva jekk taġixxi fid-direzzjoni tal-assi koordinat pożittiv (negattiv).
Fig. 1.
Konjugatezza tal-istressijiet ta’ tqattigħ
Jekk għall-priżma elementari, fig. 1, jiġi stabbilit il-kundizzjoni li l-mument tal-forzi kollha fir-rigward tal-assi x ikun żero, jinkiseb τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz Minn hawn, u miż-żewġ ekwazzjonijiet korrispondenti għall-assi y u z, jiġi li l-istressijiet tal-qtugħ bl-istess indiċijiet huma ugwali bejniethom τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (1)
Deformazzjonijiet komponentali
Li t-tensjonijiet definiti hawn fuq għandhom tifsira fiżika jirriżulta mir-rabta tagħhom mad-definizzjoni li jġarrab kull korp taħt l-influwenza ta’ forzi esterni. Fig. 2 turi element kuboidali, li qabel id-deformazzjoni kien rettangolari u kellu t-tulijiet tat-truf dx, dy, dz. It-tulijiet tat-truf wara d-deformazzjoni jistgħu jiġu indikati b’dx + Δdx, dy, + Δdy, dz + Δdz; il-kwoti εx = Δdx|dx, εy =Δdy|dy, εz = Δdz|dz jissejħu dilatazzjonijiet. Dawn huma koboriet mingħajr dimensjoni u, għall-materjali kollha li jidħlu fil-kunsiderazzjoni fil-bini, żgħar meta mqabbla ma’ 1. Barra mit-titwil tat-truf, il-kuboid elementari dx * dy * dz jista’ wkoll ibati bidla fl-angoli oriġinarjament retti bejn il-wiċċiet tiegħu.
Figura 2. deformazzjoni komponentali
Ejja nassumu li wara d-deformazzjoni l-angolu bejn il-pjani li jiltaqgħu tul it-tarf OC ikun ugwali għal 
u bl-istess mod ejja nassumu li t-tnaqqis tal-angolu rett tul it-tarf AO ikun ugwali għal γyz, u t-tnaqqis tul it-tarf OB ikun ugwali għal γzx. Dawn it-tliet bidliet fl-angoli γxy, γyz, γzx, jissejħu shear strains u wkoll dejjem ikunu żgħar meta mqabbla ma’ 1. Bil-komponenti sitt ε u γ jiġi determinat kompletament id-deformazzjoni tal-kuboid elementari “deformazzjoni żgħira”. Il-bidla fl-element tal-volum d_V = dx * dy * dz_ hija ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, minn fejn, meta jiġu injorati l-prodotti tal-estensjonijiet bħala kwantitajiet żgħar ta’ ordni ogħla, tinkiseb id-dilatazzjoni kubika ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2)
Spostamenti
Id-deformazzjoni ta’ korp solidu tista’ tiġi deskritta b’mod sħiħ ukoll b’dan il-mod, jiġifieri li għal kull wieħed mill-punti tiegħu tingħata l-ispostament li dak il-punt ġarrab. Jekk mill-osservazzjoni jitneħħew l-ispostamenti ta’ daqs finit li jikkorrispondu għall-moviment ta’ korp riġidu, b’dan il-mod, jekk ikun meħtieġ, fil-kalkolu jiġi adottat sistema koordinata li tista’ tiċċaqlaq, allura anke l-ispostamenti komponentali μ, ν, ω dejjem ikunu ta’ daqs żgħir, u d-derivattivi tagħhom skont il-koordinati jkunu żgħar meta mqabbla ma’ 1. Taħt din l-assunzjoni, skont fig. 3 it-tul tal-element lineari OA = dx wara d-deformazzjoni
għalhekk 
(3)
Bl-istess mod, mill-fig. 3 jidher li l-ksur isseħħ γxy γ1 + γ2: u wkoll
(4)
Figura 3 l-islittament
(5) 
(6)
Dawn ir-rabtiet jissejħu kundizzjonijiet ta’ kompatibbiltà u juru li l-elementi deformati jistgħu jidħlu flimkien bħal mozaik b’tali mod li l-ispazju jibqa’ mimli kontinwament, ħaġa li ma tistax tinkiseb jekk id-deformazzjonijiet tal-elementi jkunu arbitrarji. Il-kundizzjonijiet ta’ kompatibbiltà huma ekwazzjonijiet differenzjali, għalhekk, naturalment, is-sitt komponenti kollha tad-deformazzjoni għal kull kubu individwali huma indipendenti minn xulxin, iżda l-arranġament tagħhom f’kull żona estiża finali huwa marbut mal-kundizzjonijiet (5) u (6).
Peress li dawn il-kundizzjonijiet inkisbu billi ġew differenzjati mill-ekwazzjonijiet (3) u (4), waqt id-derivazzjoni tagħhom tintilef parti mir-rabtiet li jinsabu fl-ekwazzjonijiet oriġinali. Għalhekk ma jkunx biżżejjed li jiġi ssodisfat biss wieħed minn dawn iż-żewġ sistemi ta’ ekwazzjonijiet, iżda għandhom jiġu ssodisfati ż-żewġ sistemi ta’ ekwazzjonijiet, jekk irid jiġi żgurat li l-kompatibbiltà tad-deformazzjoni tkun assigurata.
Ekwazzjonijiet differenzjali tas-sistema tal-elastiċità
Għall-kalkolu tal-istressijiet u d-deformazzjonijiet fil-korpi elastiċi jservu l-ekwazzjonijiet li ġejjin:
Kundizzjonijiet ta’ ekwilibriju tal-element volumetriku. Il-kundizzjonijiet li l-mumenti madwar it-tliet assi jkunu ugwali għal żero ġew diġà sfruttati meta ġiet derivata l-ekwazzjoni (1). Il-kundizzjonijiet ta’ ekwilibriju tal-forzi jagħtu skont il-fig. 4
Figura 4
(7a-c)
Jekk bl-X, Y, Z jiġu indikati l-komponenti tal-forzi volumetriċi (eż. piż, forza ċentrifugali) għal kull unità ta’ volum. Relazzjonijiet bejn l-istress u d-deformazzjonijiet. Hawnhekk tifhem ir-relazzjoni bejn l-istressijiet komponentali u d-deformazzjonijiet komponentali. Fit-teorija tal-elastiċità, bħala regola, tidħol biss relazzjoni lineari, li tiġi espressa bil-liġi ta’ Hooke:
(8a-c)
(8d-f)
Jekk l-ekwazzjonijiet (8a-c) jiġu solvuti fir-rigward tat-tensjonijiet, jinkiseb
(8 a)
kso u żewġ ekwazzjonijiet korrispondenti. Il-liġi ta’ Hooke espressa bl-ekwazzjoni (8) ma tirrappreżentax xi liġi naturali strettament imwettqa, imma idealizzazzjoni tal-imġiba reali, li minnha titbiegħed aktar jew inqas, skont il-materjal u d-daqs tat-tensjoni. Peress li l-ipproċessar matematiku tal-problema tar-reżistenza tal-materjali b’rabtiet kumplessi u mhux lineari bejn it-tensjonijiet u d-deformazzjonijiet joħloq diffikultajiet ferm akbar u jista’ fil-fatt jitwettaq biss fl-aktar każijiet sempliċi, anke għal dawk il-materjali (il-konkrit!) li l-imġiba tagħhom titbiegħed b’mod sinifikanti mil-liġi ta’ Hooke, il-kalkoli bbażati fuqha għandhom jintużaw l-ewwel nett, u fil-biċċa l-kbira wkoll bħala l-unika soluzzjoni approssimattiva, li barra minn hekk normalment hija utli ħafna u tagħti ħarsa li hi aktar minn sempliċement kwalitattiva. G = E|2 (1+μ).
Din tinġibed neċessarjament mir-relazzjoni bejn l-istress u d-deformazzjoni (8), mill-ekwazzjonijiet tat-trasformazzjoni (16) għall-istressi u mis-sistema korrispondenti ta’ ekwazzjonijiet għad-deformazzjonijiet komponentali. E u G għandhom dimensjoni ta’ stress u fil-materjali kollha tal-kostruzzjoni huma kbar meta mqabbla mal-istressi σ u τ li jistgħu jseħħu. Fuq dan il-fatt tistrieħ l-assunzjoni aċċettata kullimkien fit-teorija tal-elastiċità, jiġifieri li d-deformazzjonijiet huma żgħar. Il-koeffiċjent tad-dilatazzjoni trasversali (numru ta’ Poisson) μ huwa bla dimensjoni u dejjem jinsab bejn 0 u 1/2 .
Ir-rabtiet bejn id-deformazzjonijiet u l-ispostamenti komponentali. Dawn ir-rabtiet jingħataw bl-ekwazzjonijiet (3), (4). Dawn huma ta’ natura purament ġeometrika. Dawn it-tliet sistemi jagħtu 3+6+6=15 ekwazzjonijiet għal 15 mhux magħrufa, jiġifieri għal 6 tensjonijiet komponentali, 6 deformazzjonijiet komponentali u 3 spostamenti komponentali. Għaldaqstant huma biżżejjed biex jiġu ddeterminati dawn in-nomijiet mhux magħrufa. L-għelib matematiku ta’ sistema daqshekk estensiva ta’ ekwazzjonijiet differenzjali huwa, naturalment, possibbli biss f’każijiet speċjali. Jekk fl-ekwazzjoni (8) id-deformazzjonijiet komponentali jiġu sostitwiti bl-ispostamenti komponentali skont l-ekwazzjonijiet (3) u (4) u mbagħad it-tensjonijiet normali σ u t-tensjonijiet ta’ qtugħ τ, skont l-ekwazzjonijiet (8 d - f), jiġu introdotti fil-kundizzjonijiet ta’ ekwilibriju, ekw. (7), tinkiseb sett ta’ ekwazzjonijiet differenzjali li jissejħu l-ekwazzjonijiet bażiċi tat-teorija tal-elastiċità.
(9)
fejn il-
huwa indikat l-operatur ta’ Laplace. Fid-dawl ta’ (2) dawn huma tliet ekwazzjonijiet differenzjali bi tliet spostamenti komponentali μ, ν, ω; minn dawn, permezz ta’ differenzjazzjoni abbażi ta’ (3), (4) u (8) jistgħu jinkisbu t-tensjonijiet u d-deformazzjonijiet komponentali kollha. L-ekwazzjonijiet (9) ħafna drabi jservu bħala punt tat-tluq adattat għall-istudju ta’ każijiet speċjali.
Xogħol ta’ deformazzjoni
Definizzjoni
Meta s-sostenn jiġi mgħobbi, il-punti ta’ azzjoni tal-forzi esterni jesperjenzaw spostamenti elastiċi u l-forzi jwettqu, f’dan il-proċess, ċertu xogħol. B’dan il-mod l-enerġija introdotta tista’ tgħaddi f’forom differenti. Jekk il-ħidma tat-tagħbija ssir f’daqqa, b’tali mod li l-proċess ta’ deformazzjoni jkollu veloċità sinifikanti, parti minn din l-enerġija tinbidel f’enerġija kinetika, li maż-żmien tinħela, jew billi tgħaddi lejn l-art bħala mewġa elastika li tintilef fl-infinità, jew billi tinbidel fis-sħana permezz tal-frizzjoni interna. Jekk it-tagħbijiet jiġu applikati tant bil-mod li ma jseħħ l-ebda żieda notevoli fl-enerġija kinetika, jiġifieri, jekk it-tagħbijiet li jiżdiedu gradwalment, jibdew minn żero, ikunu f’bilanċ kostanti mal-forzi interni, l-enerġija b’mod ċar tintuża esklussivament għad-deformazzjoni tal-ġisem u allura tissejjaħ xogħol ta’ deformazzjoni.
Il-kalkolu tax-xogħol tad-deformazzjoni l-ewwel ser nuruh fuq parti soġġetta għal tensjoni f’direzzjoni waħda (fig. 5).
Ejja nħallu l-istress eżistenti σ u l-estensjoni korrispondenti ε jgħaddu minn żidiet dσ u dε. Imbagħad il-forza σdF fit-triq dε * dl twettaq xogħol σdF * dεdl = σdεdV, jekk b’dV tiġi indikata l-volum ta’ biċċa żgħira. Jekk l-istress jiżdied minn żero sal-valur finali tiegħu u l-estensjoni skont dan minn 0 sa ε, ix-xogħol totali mwettaq għal kull unità ta’ volum ikun:
Bl-istess mod, għall-element mgħobbi b’tensjoni ta’ shear τ (fig. 6) ix-xogħol ta’ deformazzjoni għal kull unità ta’ volum (xogħol speċifiku ta’ deformazzjoni, potenzjal elastiku):
b’hekk waħda biss mill-erba’ forzi τ * dF twettaq xogħol.
Fil-każ ġenerali, meta s-sitt komponenti kollha tal-istress jaġixxu fuq porzjon elementari, jinkiseb ix-xogħol speċifiku tad-deformazzjoni permezz tas-somma tax-xogħlijiet tal-komponenti individwali tal-istress:
(10)
Billi niddifferenzjaw skont il-limitu ta’ fuq ta’ kull wieħed minn dawn l-integrali, nikbru relazzjonijiet li japplikaw fl-aktar każ ġenerali:
(11)
u l-bqija għall-bqija tad-deformazzjonijiet komponentali. Jekk il-ġisem ikun elastiku, għal kull stat ta’ stress partikolari dejjem jikkorrispondi l-istess stat ta’ deformazzjoni, irrispettivament minn jekk l-istat intlaħaqx waqt it-tagħbija jew waqt it-tneħħija tat-tagħbija. Imbagħad taħt l-integrali jkunu hemm funzjonijiet b’valur wieħed, u l-enerġija totali minfuqa waqt it-tagħbija u mbagħad it-tneħħija totali tat-tagħbija tkun a = 0, billi f’dan il-każ il-limiti ta’ fuq tal-integrali jsiru żero. Għaldaqstant, l-enerġija totali mogħtija lill-ġisem waqt it-tagħbija tinkiseb lura waqt it-tneħħija tat-tagħbija.
Figura 6
Figura 7
Għal korp elastiċi mhux komplet, ir-relazzjoni bejn it-tensjonijiet u d-deformazzjonijiet għaċ-ċiklu kollu tat-tagħbija u t-tneħħija tat-tagħbija għandha forma li bejn wieħed u ieħor tidher f’fig. 7 bil-linji O A B. L-enerġija 
miġjuba waqt it-tagħbija hija ugwali għall-erja OAA, u l-enerġija rritornata waqt it-tneħħija tat-tagħbija hija l-erja ABA, b’tali mod li jintilef (jikkonverti f’sħana) ix-xogħol li jikkorrispondi għall-erja mfassla bil-ħatching. Jekk fil-proċess osillatorju t-tensjoni tinbidel perjodikament bejn il-valur limitu pożittiv 
u l-valur limitu negattiv, 
id-deformazzjoni mhux elastika timxi b’mod simili għal dak muri bil-linji miksura f’fig. 7 u matul kull perjodu ta’ osċillazzjoni tinbidel, għal kull unità ta’ volum, f’enerġija tas-sħana DABCD. Imġiba bħal din waqt id-deformazzjoni, fejn id-deformazzjoni tibqa’ lura mit-tensjoni, tissejjaħ isteresi elastika, u l-kurva DABCD hija l-linja ta’ isteresi.
Xogħol ta’ deformazzjoni u l-liġi ta’ Hooke
Jekk fil-integrali fl-ekwazzjoni (10) jiddaħħal il-liġi ta’ Hooke, jista’ jsir l-integrazzjoni, u għall-ħidma speċifika tad-deformazzjoni jinkisbu dawn l-espressjonijiet:
(12a)
(12b)
(12c)
Jekk it-tieni minn dawn il-forom jiddaħħal fl-ekwazzjoni (11), jerġa’ jinkiseb il-liġi ta’ Hooke, l-ekwazzjonijiet (8), fil-forma solvuta skont l-istressi. L-istqarrija li x-xogħol ta’ deformazzjoni jiddependi mill-komponenti tad-deformazzjoni, kif muri fl-ekwazzjoni (12b), hija għalhekk ekwivalenti għal-liġi ta’ Hooke. Meta l-ekwazzjoni (12c) tiġi differenzjata skont l-istressi, jinkiseb
(13)
Dawn il-formoli, b’differenza mill-formoli (11), japplikaw biss għal korpi li jġibu ruħhom skont il-liġi ta’ Hooke u ma jistgħux jiġu applikati meta r-relazzjonijiet bejn it-tensjonijiet u d-deformazzjonijiet ikunu differenti. Huwa mifhum li fuq in-naħa tal-lemin tal-ekwazzjonijiet (13) jinsabu biss id-deformazzjonijiet komponentali kkawżati mit-tensjonijiet, u jiġu esklużi kollha l-oħra li setgħu nħolqu minħabba bidla fit-temperatura, creep, nefħa, rikristallizzazzjoni, eċċ.
PRINĊIPJI INTEGRAĦLITÀ FIT-TEORIJA TAL-ELASTIĊITÀ
Spostamenti virtwali. Il-prinċipju tal-minimu tal-enerġija potenzjali
Hekk kif il-liġi ta’ Hooke, l-ekwazzjonijiet (8) jistgħu jiġu sostitwiti b’ekwazzjoni waħda (12b), hekk ukoll minflok il-kundizzjoni tal-ekwilibriju jista’ jiddaħħal il-prinċipju ta’ spostamenti virtwali, bħala l-liġi fundamentali ġenerali tal-mekkanika. Din il-liġi tgħid li l-istati ta’ ekwilibriju jikkaratterizzaw ruħhom b’dan, li fihom ix-xogħol totali magħmul mill-forzi kollha waqt bidla żgħira fl-istat tad-deformazzjoni jkun ugwali għal żero. Jekk nibdew inqisu l-bidliet żgħar fl-ispostamenti elastiċi bħala δμ δν, δω, allura l-forzi tal-volum definiti mill-ekwazzjoni (7) jagħmlu xogħol virtwali
u l-forzi ta’ wiċċ px, py, pz li jaġixxu fuq l-element dF tal-wiċċ estern tal-ġisem xogħol 
fejn l-integral triplu jirreferi għall-volum kollu, u d-doppju għall-wiċċ estern kollu tal-korp. Għall-kalkolu tax-xogħol li jwettqu l-forzi interni tintuża l-ekwazzjoni (12b), u għalhekk għax-xogħol għal kull unità ta’ volum jinkiseb
Il-prinċipju tal-ispostamenti virtwali, ibbażat fuq dan, jagħti
(14)
Jekk it-tagħbijiet X, Y, Z px, py., pz jitqiesu bħala komponenti tal-forza tal-piż (piż proprju u tagħbija esterna), l-integrali fuq in-naħa tal-lemin jirrappreżentaw l-enerġija potenzjali li dawn it-tagħbijiet tilfu, filwaqt li n-naħa tax-xellug tirrappreżenta ż-żieda fl-enerġija potenzjali (elastika) tal-ġisem, b’tali mod li dan il-prinċipju juri li l-enerġija potenzjali totali tat-trasportatur u tat-tagħbijiet li jinsabu fuqu fil-każ ta’ bilanċ għandha valur estrem. Jekk dan il-valur estrem huwa minimu, il-bilanċ huwa stabbli.
Il-prinċipju tal-minimu tal-enerġija potenzjali espress bl-ekwazzjoni (14), l-espressjoni (12b) għax-xogħol tad-deformazzjoni u l-kundizzjonijiet ta’ kompatibbiltà tad-deformazzjonijiet (5), (6) jiffurmaw sistema ta’ ekwazzjonijiet li hi biżżejjed għall-bini tat-teorija tal-elastiċità, u li fil-qiegħ hija ekwivalenti għas-sistema ta’ ekwazzjonijiet. Din is-sistema tista’ tkun partikolarment utli f’każijiet meta l-osservanza tal-ekwazzjonijiet differenzjali (9) toħloq diffikultajiet ta’ kalkolu u għalhekk irid jintalab soluzzjoni approssimattiva, pereż., għad-dislokazzjonijiet jitqies minn qabel forma adattata li fiha diversi kostanti ħielsa u dawn jiġu determinati mir-rekwiżit li l-ekwazzjoni (14) tkun sodisfatta. B’dan, ċertament ma tinkisbux soluzzjoni stretta tal-problema, imma biss l-aħjar approssimazzjoni li tista’ tintlaħaq bil-forma magħżula tas-soluzzjoni. Jekk l-approssimazzjoni hijiex biżżejjed jiddependi qabel kollox mill-forma adottata tas-soluzzjoni, u l-applikazzjoni ta’ suċċess ta’ dan il-metodu titlob għalhekk ħila u esperjenza.
Prinċipju ta’ Castigliano
Filwaqt li fil-prinċipju tal-minimu tal-enerġija potenzjali jitqabblu l-istati kollha ta’ deformazzjoni li jissodisfaw il-kundizzjonijiet ta’ kompatibbiltà tad-deformazzjonijiet u minn bejniethom jintgħażlu dawk li għalihom l-istressi korrispondenti jissodisfaw il-kundizzjonijiet ta’ ekwilibriju, fil-prinċipju ta’ Castigliano jitqabblu l-istati kollha ta’ stress li jissodisfaw il-kundizzjonijiet ta’ ekwilibriju u minn bejniethom jintgħażlu dawk li għalihom id-deformazzjonijiet korrispondenti jissodisfaw il-kundizzjonijiet ta’ kompatibbiltà tad-deformazzjonijiet. Dan il-prinċipju jgħid: minn fost l-istati possibbli kollha ta’ ekwilibriju, verament iseħħ dak li jikkorrispondi għall-iżgħar xogħol ta’ deformazzjoni. Il-prinċipju ta’ Castigliano flimkien mal-ekwazzjoni (12c) għax-xogħol ta’ deformazzjoni u l-kundizzjonijiet ta’ ekwilibriju jifforma sistema ta’ ekwazzjonijiet li hija biżżejjed għall-kostruzzjoni tar-reżistenza tal-materjali. Peress li dan il-prinċipju jinkludi l-liġi ta’ Hooke, il-possibbiltà tal-applikazzjoni tiegħu hija marbuta mas-suppożizzjoni li d-deformazzjonijiet jistgħu jiġu deskritti kompletament b’din il-liġi. Dan jeħtieġ mhux biss imġiba elastika lineari tal-materjal, iżda jeskludi wkoll bidliet fit-temperatura.
L-imġiba tal-materjali lil hinn mil-limiti tal-elastiċità
Il-fenomeni taħt tagħbija statika
Id-deformazzjoni tal-materjal taħt l-influwenza tat-tensjonijiet hija fenomenu ferm kumpless, u għalhekk trid tiġi ssimplifikata b’modi differenti sabiex tkun tista’ tifhimha. Waħda minn dawn is-simplifikazzjonijiet hija l-assunzjoni li t-tagħbijiet jiġu applikati progressivament, kif isir, pereżempju, ma’ kampjuni waqt it-testijiet tat-tensjoni u l-kompressjoni.
Jekk virga tal-azzar mgħobbija f’tensjoni tiġi esposta għal tagħbija li tiżdied gradwalment u titkejjel id-dilatazzjoni tagħha ε, jinkiseb dijagramma murija fil-fig. 8. Fil-bidu d-dilatazzjoni hija żgħira ħafna u proporzjonali mal-istress, kif jitlob il-liġi ta’ Hooke. Minn ċertu stress ’il quddiem il-proporzjonalità tieqaf u d-dilatazzjoni tibda tikber aktar malajr. Il-pożizzjoni eżatta tal-limitu ta’ din il-proporzjonalità diffiċli ħafna biex tiġi determinata. Iktar ma l-kejl ikun preċiż, iktar dan il-limitu jinkiseb aktar baxx. Għal ħafna materjali dan jinsab fuq σ = 0, u l-liġi ta’ Hooke għalhekk tirrappreżenta biss l-ewwel approssimazzjoni tal-imġiba elastika, l-ewwel terminu fl-iżvilupp fis-serje ta’ Taylor tal-funzjoni ε = ε (σ) madwar l-oriġini tal-koordinati.
Jekk il-virga titħoll, wieħed jinduna li, meta l-istress ma kienx kbir wisq, tisparixxi wkoll id-deformazzjoni, skont il-liġi ta’ Hooke. Imma dan ukoll jinbidel jekk jinqabeż ċertu stress li jinsab qrib il-limitu ta’ proporzjonalità, l-hekk imsejjaħ limitu tal-elastiċità; f’dak il-każ id-deformazzjoni totali tikkonsisti f’parti elastika (reversibbli) u mhux elastika (permanenti). Lanqas il-limitu tal-elastiċità ma jista’ jiġi determinat b’mod preċiż; jinsab iktar baxx kemm tkun ogħla l-preċiżjoni tal-kejl. Madankollu, peress li għandu importanza teknika kbira, għax jirrappreżenta l-limitu ta’ validità ta’ kważi kull kalkolu fir-reżistenza tal-materjali, u fl-istess ħin il-limitu fejn jibdew l-ewwel ħsarat permanenti, għat-testjar ta’ kampjuni jiġi definit b’mod strett b’xi konvenzjoni adottata, u għalhekk, pereżempju, bħala limitu 0.2% jiġi mmarkat dak l-istress li fih id-dilatazzjoni permanenti tilħaq 0.2%.
Immedjatament wara li jinqabeż il-limitu tal-elastiċità, id-deformazzjoni tiżdied f’daqqa u tista’ tiġi osservata b’għajn mikxufa; taħt stress kważi kostanti, il-virga tkompli ttawwal. Dan l-istress jissejjaħ il-limitu tat-tiġbid. Fil-magni idrawliċi għall-ittestjar tal-materjali jista’ barra minn hekk jiġi osservat, wara l-bidu tat-tiġbid, tnaqqis aktar jew inqas evidenti tal-istress; kif indikat fil-fig. 8 bil-kurva miksura; f’dan il-każ il-massimu jissejjaħ il-limitu superjuri tat-tiġbid, u l-istress kostanti tat-tiġbid li jsegwi jissejjaħ il-limitu inferjuri tat-tiġbid.
Wara li tintlaħaq ċerta dilatazzjoni, li tkun kważi kompletament mhux elastika, l-istress jerġa’ jibda jiżdied, il-materjal jissaħħaħ. F’din iż-żona tat-tagħbija jseħħ tnaqqis notevoli fis-sezzjoni trasversali tal-virga minħabba kontrazzjoni laterali (mhux elastika), u l-andament ulterjuri tad-dijagramma tal-istress u d-deformazzjoni jiddependi l-ewwel u qabel kollox fuq jekk meta jiġi kkalkulat l-istress σ il-forza ta’ tensjoni P li taġixxi fuq il-virga tiġix diviża bis-sezzjoni inizjali F0 jew bis-sezzjoni attwali F. Għall-iskopijiet tekniċi huwa interessanti l-istress P|F0. Dan l-istress jgħaddi minn massimu li jissejjaħ is-saħħa tal-materjal u, meta jgħaddi dan il-massimu, il-virga tgħaddi minn restrizzjoni qawwija f’post wieħed u tinqasam. “L-istress veru” P|F jiżdied sal-ksur.
Figura 8.
L-imġiba ta’ metalli oħra tvarja f’ħafna mill-każijiet minn dik deskritta hawnhekk. Il-fluss ħafna drabi ma jkunx evidenti, u t-twebbis jibda immedjatament wara li jinqabeż il-limitu elastiku. Fil-każ ta’ materjali fraġli (ġebel, ħġieġ, konkos) id-deformazzjonijiet mhux elastiċi ġeneralment ikunu żgħar ħafna u diġà b’dilatazzjoni żgħira sseħħ il-falliment. Id-dilatazzjoni totali li l-materjal isofri sal-falliment hija miżura tat-tiġbid (kuntrarju: fraġilità) tal-materjal, u għall-azzar tiġi preskritta b’mod preċiż fil-kundizzjonijiet tekniċi. Madankollu, peress li ftit qabel il-falliment aktar deformazzjoni tikkonċentra fuq il-postijiet ta’ madwar is-sezzjoni mnaqqsa, tinkiseb valur differenti ta’ dilatazzjoni fil-falliment, skont jekk għat-tul ta’ kejl jintgħażelx parti akbar jew iżgħar tal-virga, u għalhekk sabiex jinkisbu riżultati mhux ambigwi u komparabbli bejniethom, irid minn qabel jiġi adottat ċertu konvenzjoni. Id-dilatazzjoni fil-falliment, bħala regola, titkejjel billi fuq virga tonda b’dijametru d qabel it-test jiġi mmarkat it-tul ta’ kejl Ι = 10 d u mid-dewmien fit-twil tagħha ΔΙ tiġi kkalkulata d-dilatazzjoni fil-falliment εs_Ι = ΔΙ|Ι ._ Jekk ikun hemm bżonn jiġu ttestjati vireg b’sezzjoni differenti, it-tul ta’ kejl jiġi determinat skont id-dijametru ta’ virga ċilindrika ċirkolari li għandha l-istess erja tas-sezzjoni trasversali.
Tagħbija fit-tul
Għall-andament tat-test tat-tensjoni huwa kważi l-istess jekk it-tagħbija sal-ksur tiżdiedx fi żmien 10 m minuta jew f’diversi sigħat. Madankollu, jekk it-tagħbija taġixxi għal snin jew għexieren ta’ snin, taħt ċerti kundizzjonijiet jidher li anki taħt il-limitu tat-tnixxija d-deformazzjoni taħt tensjoni kostanti tikber bil-mod maż-żmien. F’dan il-proċess, il-parti elastika, jiġifieri dik il-parti li tisparixxi meta ssir it-tneħħija finali tat-tagħbija, ma tinbidilx b’mod sinifikanti. Din iż-żieda fid-deformazzjoni mhux elastika li sseħħ fuq perjodu twil tissejjaħ creep. Fil-metalli, ħlief għaċ-ċomb, il-creep hu importanti biss f’temperaturi għoljin; madankollu, għall-inġinier ċivili għandu rwol fil-konkrit li taħt il-pressjoni jċedi ftit ftit, b’mod li t-tensjoni tiżdied fl-armatura taħt kompressjoni, jekk din tkun teżisti.
Tagħbija varjabbli
Sabiex il-karatteristiċi mekkaniċi tal-materjal, miksuba fl-prova tat-tensjoni, ikunu jistgħu jiġu applikati bħala kejl għat-tagħbija ammissibbli tal-istrutturi, il-kondizzjoni hi li l-materjal, ma’ kull tagħbija mill-ġdid, jiflaħ għal tensjoni li darba jkun iflaħ għaliha mingħajr ħsara. Din il-kondizzjoni ma tissodisfax jekk il-materjal ikun espost għal repetizzjoni frekwenti ta’ tagħbija u tneħħija ta’ tagħbija, kif jiġri, pereżempju, fil-każ ta’ travi mgħobbija minn forzi inerzjali ta’ magni mhux ibbilanċjati biżżejjed. B’repetizzjoni biżżejjed frekwenti tat-tagħbija, parti strutturali tista’ titwassal għall-ksur anke taħt tensjoni ferm taħt is-saħħa tal-materjal determinata minn test statiku ordinarju. Id-dehra ta’ ksur ta’ dan it-tip tissejjaħ ksur minħabba għeja. In-numru n ta’ ċikli ta’ tagħbija li l-materjal jista’ jiflaħ jiddependi mid-daqs tat-tensjoni σ, b’tali mod li jkun ikbar kemm it-tensjoni tkun iżgħar. Eżempju tipiku ta’ din id-dipendenza jidher f’fig. 9, li minnha jidher li għas-saħħa tal-materjal teżisti limitu inferjuri, li jiflaħ għalih ukoll taħt numru arbitrarjament kbir ta’ ċikli ta’ tagħbija u li jissejjaħ saħħa dinamika tal-materjal Id-dijagrammi ta’ dan it-tip (fig.9) jissejħu kurvi ta’ Wӧhler.
Figura 9.
Sigurtà tal-kostruzzjonijiet
Żewġ tagħbijiet limitu huma sinifikanti għall-kostruzzjonijiet: it-tagħbija li fiha jidhru l-ewwel ħsarat permanenti (il-limitu tat-tmexxija plastika), u t-tagħbija li fiha l-kapaċità ta’ ġarr tal-kostruzzjoni tkun eżawrita, u għalhekk tinkiser (il-limitu tal-ksur). Peress li qabel il-limitu tat-tmexxija plastika japplikaw mill-inqas b’mod approssimattiv l-assunzjonijiet tar-reżistenza tal-materjali (spostamenti żgħar, il-liġi ta’ Hooke), is-sigurtà kontra deformazzjonijiet permanenti tista’ tiġi stmata b’mod affidabbli f’dawk il-każijiet kollha fejn jirnexxi li jingħelbu d-diffikultajiet matematiċi. Jekk l-istress huwa proporzjonali mat-tagħbija, ir-relazzjoni bejn l-istress tat-tmexxija plastika u l-ogħla stress li jseħħ fil-kostruzzjoni hija ugwali għar-relazzjoni bejn it-tagħbija li biha sseħħ it-tmexxija plastika u t-tagħbija reali u tirrappreżenta l-koeffiċjent ta’ sigurtà kontra t-tmexxija plastika. Madankollu, f’għadd ta’ każijiet din ir-relazzjoni sempliċi ma teżistix: liwi meta jiġu esklużi t-tensjonijiet, kompressjoni bejn uċuħ konvessi, sistemi li l-istruttura tagħhom tinbidel u, li hu partikolarment sfavorevoli, liwi b’forza assjali. F’dawn il-każijiet kollha, żieda relattivament żgħira fit-tagħbija tista’ twassal għal żieda kbira fl-istress, u allura ma jkunx biżżejjed li l-koeffiċjent tas-sigurtà tas-soltu jiġi applikat għall-istress, iżda jrid jiġi applikat għat-tagħbija.
Il-fenomeni li jseħħu wara li jinqabeż il-limitu ta’ fluss sas-sejran jistgħu fil-maġġoranza tal-każijiet jiġu segwiti biss b’mod kwalitattiv. Jekk il-materjal ikun duttili, il-partijiet fejn il-limitu ta’ fluss jintlaħaq l-ewwel, u li jkomplu jiddeformaw ruħhom taħt tensjoni kostanti jew tensjoni li tiżdied ftit, jipparteċipaw ftit fit-teħid tat-tagħbija ulterjuri, b’tali mod li l-partijiet l-oħra tal-kostruzzjoni, inqas imġebbda, jekk dan ikun possibbli skont l-istruttura tagħha, jieħdu sehem akbar fil-ġarr. F’din it-tendenza lejn l-ugwaljanza tal-quċċati tat-tensjoni hemm ċerta riżerva ta’ sigurtà, li tista’ tiġi sfruttata bil-kalkolu jekk id-deformazzjoni permanenti ta’ partijiet individwali, li sseħħ taħt tagħbija waħda sinifikanti biss, ma tkunx ta’ ħsara (metodu tat-tagħbija limite).
Jekk il-materjal ikun fraġli, l-ewwel ħsara permanenti tidher f’qxur, li minħabba fihom fil-post imhedded isseħħ konċentrazzjoni ta’ stress saħansitra akbar, li minnufih twassal għat-tkissir. It-tkissir minħabba għejja, anke fil-każ ta’ materjali duttili, għandu l-karatteristiċi ta’ ksur fraġli.
Ir-rabtiet bejn l-istressijiet għal pjanijiet ta’ sezzjoni differenti
Ekwazzjonijiet ta’ trasformazzjoni
Id-disa’ stressijiet komponentali fil-fig. 1, huma marbuta ma’ tliet kundizzjonijiet ta’ bilanċ. Is-sitt kwantitajiet li jifdal σx, σy, σz τxy, τyz, τzx jistgħu, indipendentement minn xulxin, jieħdu valuri arbitrarji kif jidher mill-iżvilupp tal-ekwazzjonijiet differenzjali tat-teorija tal-elastiċità. Madankollu, meta dawn il-valuri jkunu mogħtija, l-istat tal-istress f’punt ta’ korp solidu jkun determinat kompletament, jiġifieri meta l-istressijiet għal tliet pjani reċiprokament perpendikulari jkunu magħrufa, jista’ jiġi determinat b’mod univoku wkoll l-istress għal pjan ieħor, ir-raba’ pjan li jgħaddi mill-punt mogħti u li n-normal tiegħu għandha direzzjoni arbitrarja.
Fil-fig. 10 muri tetraedru OABC li tliet naħat tiegħu huma paralleli mal-pjani tas-sistema ta’ koordinati x, y, z u r-raba’ waħda tirrappreżenta element tal-wiċċ orjentat b’mod arbitrarju ABC = dF. Biex jiġi indikat id-direzzjoni tiegħu u d-direzzjoni tal-istress li jgħaddi minnu, jiddaħħal it-tieni sistema ta’ koordinati, li l-assi ξ tagħha huwa perpendikulari għal dF.
Figura 10
L-kundizzjoni ta’ ekwilibriju tal-forzi li jaġixxu fuq dan it-tetraedru fid-direzzjoni tal-assi ξ tagħti
Jekk jitqies li hemm
jinkiseb
u b’mod simili mill-kundizzjonijiet ta’ bilanċ fid-direzzjoni tal-assi η:
Dawn huma l-ekwazzjonijiet li jservu għall-kalkolu tat-tensjoni waqt it-trasformazzjoni tal-koordinati. Ta’ importanza partikolari hu li jiġu kkunsidrati biss dawk l-elementi tal-wiċċ dF għal liema l-assi ξ jikkoinċidi mal-assi z. Ix-xejriet għal dan il-każ nistgħu niksbuhom billi nissimplifikaw ix-xejriet ta’ qabel jew naqrawhom direttament minn fig. 11:
Fig. 11
L-istress normali jieħu l-valuri estremi għad-direzzjonijiet α = α0 , li għalihom dσξ/dα = 0. Permezz ta’ differenzjazzjoni mill-ekwazzjoni (16) tinkiseb
u għalhekk, meta din l-espressjoni tiġi ugwaljata maż-żero
L-istress τξη ikun ukoll l-istress totalment ta’ qtugħ f’dawn l-uċuħ, jekk τyz = τzx = 0. Imbagħad permezz tal-ekwazzjoni (17) jiġu determinati żewġ direzzjonijiet reċiprokament perpendikulari li għalihom: 1. l-istress totalment ta’ qtugħ ikun żero u, 2. l-istress normali jkollu valuri estremi (massimu u minimu). Dawn id-direzzjonijiet jissejħu d-direzzjonijiet tal-istressijiet prinċipali, u l-istressijiet korrispondenti stressijiet prinċipali. Dawn jiġu indikati b’σ1 u σ2 u jistgħu jiġu kkalkulati direttament mill-formula
Ċirku ta’ Mohr
L-ekwazzjonijiet (16) jistgħu jiġu ppreżentati grafikament b’mod ċar. Għal dan il-għan għandhom jittrasformawhom fil-forma:
Dawn l-ekwazzjonijiet jirrappreżentaw fis-sistema ta’ koordinati σ, τ il-forma parametrika tal-ekwazzjoni taċ-ċirku, imfassla fil-fig. 12, li l-koordinati taċ-ċentru tiegħu huma σ = 1/2 (σx + σy), τ = 0 u li r-raġġ tiegħu
Dan iċ-ċirku jissejjaħ iċ-ċirku ta’ Mohr. Jekk minn ġot-punt x tinġibed linja parallela mal-sezzjoni x =const., li minnha jiġu trasferiti l-istressi σx, τxy, din taqta’ ċ-ċirku fil-punt p, li jissejjaħ il-pol taċ-ċirku ta’ Mohr. Kull linja pξ miġbuda minn dan il-pol taqta’ ċ-ċirku fil-punt ξ li jiddetermina l-istressi σξ, τξη li jiġu trasferiti permezz tas-sezzjoni parallela ma’ pξ.
Fir-rigward tas-sinjal tal-istressi ta’ qtugħ meta tinħadem iċ-ċirku ta’ Mohr, wieħed għandu jqis li dawn jitniżżlu ’l fuq jekk ikollhom id-direzzjoni murija fil-fig. 12c. Għaldaqstant, miż-żewġ stressi konjugati τxy, τyx, wieħed dejjem ikun pożittiv u l-ieħor negattiv.
Il-valuri ta’ limitu σ1, σ2 tat-tensjonijiet normali jaqblu mal-punti 1 u 2 fuq iċ-ċirku, u l-linji _p_1 u _p_2 jagħtu d-direzzjonijiet tat-tensjonijiet prinċipali.
Ir-rappreżentazzjoni tal-istressi li jinsabu fil-pjan x-y permezz taċ-ċirku ta’ Mahr mhijiex marbuta ma’ ebda assunzjoni dwar l-istressi σz, τxz, τyz perpendikolari għal dan il-pjan.
Figura 12
Dan japplika wkoll għall-aktar stat tridimensjonali ġenerali ta’ tensjoni, jekk jitqabblu biss dawk il-pjani ta’ sezzjoni li kollha jgħaddu mill-istess retta, li hawn ġiet magħżula bħala l-assi z u ξ. Peress li, skont l-ekwazzjonijiet ġenerali tat-trasformazzjoni (15), it-tensjoni normali σ ma tistax issir infinita għal ebda pjan ta’ sezzjoni, hija għandha għal xi pjan massimu finit σ1, u għal pjan ieħor minimu σ3, li t-tnejn, naturalment, jistgħu jkunu wkoll negattivi. Jekk jgħaddi pjan mill-vetturi σ1 u σ3 u jinġibed iċ-ċirku ta’ Mohr (fig. 13)
Figura 13
għall-istressi li jinsabu f’dan il-pjan (jiġifieri, id-direzzjonijiet kollha perpendikolari għal dan il-pjan), allura σ1 u σ3 huma l-akbar u l-iżgħar stressi normali li jistgħu jseħħu u għalhekk iridu jkunu reċiprokament perpendikolari. Jekk id-direzzjonijiet 1 u 3 jiġu kkompletati bid-direzzjoni 2, sabiex dawn it-tliet direzzjonijiet jiffurmaw sistema ta’ koordinati rettangolari, u jekk jiġu mfassla ċ-ċrieki ta’ Mahr għall-pjani 1 ~2 u 2 ~ 3, allura σ2 għal wieħed minn dawn iċ-ċrieki huwa l-akbar, u għall-ieħor l-iżgħar stress normali, u għalhekk fit-taqsimiet perpendikolari għad-direzzjonijiet 1, 2 u 3 l-istress ta’ qtugħ huwa ugwali għal żero. It-tliet stressi normali reċiprokament perpendikolari σ1, σ2 u σ3, li għalihom ma jikkorrispondux stressi ta’ qtugħ, jissejħu stressi prinċipali.
Limitu ta’ rendiment u limiti ta’ ksur taħt stat spazjali ta’ tensjoni
L-istat tal-istress jissejjaħ wieħed-, tnejn- jew tliet-dimensjonali, jew inkella lineari, pjanari jew spazjali, skont jekk wieħed, tnejn jew it-tlieta tal-istressi prinċipali jkunux differenti minn żero. Fil-partijiet strutturali l-aktar użati, jiġifieri fil-virga tensjonata, ikkompressata u milwija, l-istat tal-istress, għall-inqas fil-punti l-aktar mgħobbija, huwa wieħed-dimensjonali, u l-istess ukoll fit-testijiet tat-tensjoni, kompressjoni jew liwi, li fl-ittestjar tal-materjali kważi dejjem jintużaw biex jiġu determinati l-istressi ammissibbli. Għall-kuntrarju, fil-pjanċi mgħobbija fil-pjan tagħhom jew perpendikolari għalih, kif ukoll fil-qxur, l-istat tal-istress huwa tnejn-dimensjonali, u f’ċerti każijiet jidhru wkoll stati ta’ stress tliet-dimensjonali, għalhekk ikun meħtieġ li, abbażi tal-limitu ta’ tluq u tal-ksur, determinati f’stat ta’ stress wieħed-dimensjonali, jiġu mfassla konklużjonijiet dwar l-imġiba tal-materjal fil-każ ta’ stat ta’ stress spazjali.