Materiais: Resistencia dos materiais e teoría da elasticidade

Bases

A tarefa da resistencia dos materiais é determinar que forzas externas pode soportar un corpo sólido (por ex., unha construción, unha peza estrutural ou o terreo). Para responder a esta cuestión tómase como punto de partida dous criterios: por unha banda, as tensións non deben superar certos límites que dependen do tipo de material e, pola outra, o equilibrio entre as forzas externas e internas debe ser estable. De acordo con isto, todos os problemas da resistencia dos materiais poden dividirse en “Problemas de tensión” e “problemas de estabilidade.

Nas barras e vigas, e nos soportes formados por elas (armaduras, marcos), a determinación das tensións faise en dous pasos, de modo que primeiro, en base ás forzas externas dadas, se calcula a resultante das forzas internas transmitidas a través da sección transversal, e logo a partir destas “forzas seccionais” determínanse as tensións. A primeira parte do procedemento representa unha disciplina especial e ampla, a estática das estruturas de construción, que ten desenvolvidos os seus propios métodos e que normalmente se separa da resistencia dos materiais, cuxa tarefa se limita a determinar as tensións a partir das forzas seccionais dadas.

Conceptos básicos da resistencia dos materiais

Á definición de tensión chégase a través das seguintes consideracións básicas. Supoñamos que sobre o corpo actúa un sistema de forzas externas en equilibrio. Imaxinemos que dividimos o corpo mediante unha sección arbitraria en dúas partes, e que retiramos unha delas xunto coas forzas que actúan sobre ela; entón a súa acción sobre a outra parte, para que o equilibrio das forzas e a distribución das deformacións permanezan inalterados, debe ser substituída por forzas complementarias que se transmiten a través da superficie da sección. Estas forzas “internas” están distribuídas de maneira continua pola superficie da sección, de modo que a cada elemento de superficie dF corresponde unha forza dβ. Se se forma o cociente dβ dF e se realiza o paso límite dF -> 0, entón este cociente tende ao valor límite que se chama tensión. A tensión nun elemento determinado de superficie é, como dβ, e pode descompoñerse nas compoñentes normal e tanxencial a dF, tensión normal σ e tensión cortante τ.

Se se trazan cortes polo mesmo punto en diferentes direccións, corresponderanlles tamén diferentes tensións. En particular, se do corpo se illase un cubo elemental, representado na fig. 1, en cada unha das súas seis superficies actuará un vector de tensión que pode descompoñerse en tres compoñentes na dirección dos eixes de coordenadas x, y z. As tensións que actúan sobre as caras opostas da superficie difiren entre si, por suposto, só nun diferencial, polo que hai que distinguir 3 * 3 = 9 compoñentes de tensión, que se designan do seguinte xeito:

Aos esforzos normais σ asígnaselles o índice do eixe na dirección do cal actúan e considéranse positivos se provocan tracción, e negativos se provocan compresión. Os esforzos cortantes τ levan dous índices, o primeiro dos cales é o mesmo que o índice do esforzo normal correspondente, e o segundo refírese ao eixe na dirección do cal actúa o esforzo cortante. Se o sentido positivo do esforzo normal correspondente coincide co sentido do eixo de coordenadas positivo (negativo), tamén o esforzo cortante se considera positivo se actúa no sentido do eixo de coordenadas positivo (negativo).

Figura 1.

 Conxugación das tensións cortantes

Se para o paralelepípedo elemental, fig. 1, se establece a condición de que o momento de todas as forzas respecto ao eixe x sexa nulo, obtense τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz A partir de aquí, e das dúas ecuacións correspondentes para os eixes y e z, obtense que as tensións cortantes cos mesmos índices son iguais entre si τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz  (1)

Deformacións compoñenciais

Que os esforzos definidos anteriormente teñan sentido físico despréndese da súa relación coa deformación que sofre todo corpo baixo a acción de forzas externas. A fig. 2 mostra un paralelepípedo elemental, que antes da deformación era rectangular e tiña as lonxitudes dos arestos dx, dy, dz. As lonxitudes dos arestos despois da deformación poden indicarse como dx + Δdx, dy, + Δdy, dz + Δdz; os cocientes εx = Δdx|dx, εy =Δdy|dy, εz = Δdz|dz chámanse dilatacións. Trátase de magnitudes sen dimensión e, para todos os materiais que entran en consideración na construción, pequenas segundo 1. Ademais do alongamento dos arestos, o paralelepípedo elemental dx * dy * dz pode sufrir tamén unha variación dos ángulos inicialmente rectos entre as súas caras.

Imaxe 2. deformación compoñente

Despois da deformación, sexa o ángulo entre os planos que se cortan ao longo da aresta OC igual a e, de maneira análoga, sexan a diminución do ángulo recto ao longo da aresta AO igual a γyz, e a diminución ao longo da aresta OB igual a γzx. Estas tres variacións de ángulo γxy, γyz, γzx chámanse deslizamentos e tamén son sempre pequenas en comparación con 1. Con seis compoñentes ε e γ queda completamente determinada a deformación do paralelepípedo elemental “deformación pequena”. A variación do elemento de volume d_V = dx * dy * dz_ é ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, de onde, ao descoidar os produtos das dilatacións como magnitudes pequenas de orde superior, se obtén a dilatación cúbica ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2)

Desprazamentos

A deformación dun corpo sólido pode describirse por completo tamén deste xeito: asignando a cada un dos seus puntos o desprazamento que ese punto sufriu. Se se exclúen da observación os desprazamentos de dimensión finita que corresponden ao movemento dun corpo ríxido, de maneira que, se é necesario, se adopte no cálculo un sistema de coordenadas móbil, entón tamén os desprazamentos compoñentes μ, ν, ω son sempre de pequeno tamaño, e as súas derivadas respecto das coordenadas son pequenas en comparación con 1. Baixo esa hipótese, segundo a fig. 3 a lonxitude do elemento lineal OA = dx despois da deformación

polo tanto  (3)

Do mesmo xeito, da fig. 3 vese que o deslizamento γxy é γ1 + γ2: e tamén

 (4)

Figura 3 deslizamento

(5)  (6)

Estas relacións denomínanse condicións de compatibilidade e expresan que os elementos deformados poden encaixar como un mosaico de maneira que o espazo quede continuamente cheo, o que non se pode conseguir se as deformacións dos elementos son arbitrarias. As condicións de compatibilidade son ecuacións diferenciais, polo que, como é natural, as seis compoñentes de deformación para cada bloque individual son mutuamente independentes, pero a súa disposición en cada área finitamente estendida vén dada polas condicións (5) e (6).

Dado que estas condicións se obtiveron por diferenciación a partir das ecuacións (3) e (4), no seu desenvolvemento pérdese unha parte das relacións contidas nas ecuacións orixinais. Por iso non abonda con que se cumpra só un destes dous sistemas de ecuacións, senón que deben satisfacerse ambos os sistemas de ecuacións se se quere garantir a compatibilidade da deformación.

Ecuacións diferenciais do sistema de elasticidade

Para o cálculo das tensións e deformacións nos corpos elásticos serven as seguintes ecuacións:

Condicións de equilibrio dun elemento volumétrico. As condicións de que os momentos arredor dos tres eixes sexan iguais a cero xa foron empregadas ao derivar a ecuación (1). As condicións de equilibrio das forzas dan, segundo a fig. 4

Figura 4

(7a-c)

Se con X, Y, Z se designan os compoñentes das forzas de volume (por exemplo, peso, forza centrífuga) por unidade de volume. Relacións entre tensións e deformacións. Enténdese por isto a relación entre as tensións compoñentes e as deformacións compoñentes. Na teoría da elasticidade, por regra xeral só se considera a relación lineal, que se expresa pola lei de Hooke:

(8a-c)

(8d-f)

Se as ecuacións (8a-c) se resolven respecto das tensións, obtense

(8 a)

e así como dúas ecuacións correspondentes. A lei de Hooke expresada pola ecuación (8) non representa unha lei natural cumprida de forma estrita, senón unha idealización do comportamento real, que dela se afasta máis ou menos, segundo o material e a magnitude da tensión. Tendo en conta que o tratamento matemático do problema da resistencia dos materiais con relacións complicadas e non lineais entre tensións e deformacións presenta dificultades incomparablemente maiores e só pode realizarse de verdade nos casos máis sinxelos, mesmo nos materiais (formigón!) cuxo comportamento se afasta considerablemente da lei de Hooke, os cálculos baseados nela deben empregarse en primeiro lugar, e na maioría dos casos tamén como a única solución aproximada, que por outra banda é regra xeral moi utilizable e proporciona unha visión máis que simplemente cualitativa. G = E|2 (1+μ).

Ela deriva necesariamente da relación entre tensión e deformación (8), das ecuacións de transformación (16) das tensións e do sistema correspondente de ecuacións para as deformacións compoñentes. E e G teñen dimensión de tensión e, en todos os materiais de construción, son grandes respecto das tensións σ e τ que poden aparecer. Nisto baséase o suposto adoptado en toda a teoría da elasticidade, de que as deformacións son pequenas. O coeficiente de dilatación transversal (número de Poisson) μ é adimensional e está sempre entre 0 e 1/2 .

Relacións entre as deformacións e os desprazamentos compoñentes. Estas relacións están dadas polas ecuacións (3), (4). Son de natureza puramente xeométrica. Estes tres sistemas dan 3+6+6=15 ecuacións para 15 incógnitas, é dicir, para 6 tensións compoñentes, 6 deformacións compoñentes e 3 desprazamentos compoñentes. Son, polo tanto, suficientes para determinar estas incógnitas. O dominio matemático dun sistema tan extenso de ecuacións diferenciais é posible, como é natural, só en casos especiais. Se na ecuación (8) as deformacións compoñentes se substitúen polos desprazamentos compoñentes segundo as ecuacións (3) e (4) e despois as tensións normais σ e as tensións cortantes τ, segundo as ecuacións (8 d - f), se introducen nas condicións de equilibrio, ecuación (7), obtense un sistema de ecuacións diferenciais que se denomina ecuacións fundamentais da teoría da elasticidade.

(9)

polo que  está marcado o operador de Laplace. Tendo en conta (2), estas son tres ecuacións diferenciais con tres desprazamentos componentais μ, ν, ω; a partir delas, mediante diferenciación sobre a base de (3), (4) e (8), poden obterse todas as tensións e deformacións componentais. As ecuacións (9) representan a miúdo un punto de partida axeitado para o estudo de casos especiais.

Traballo de deformación

Definición

Cando un soporte é cargado, os puntos de aplicación das forzas exteriores sofren desprazamentos elásticos e as forzas realizan nese proceso un certo traballo. Desta maneira, a enerxía introducida pode transformarse en distintas formas. Se a carga se aplica bruscamente, de xeito que o proceso de deformación ten unha velocidade considerable, unha parte desta enerxía convértese en enerxía cinética, que co tempo se disipa, ben por transmitirse ao terreo como unha onda elástica que se perde no infinito, ben por transformarse en calor debido ao rozamento interno. Se as cargas se aplican tan lentamente que non se produce un aumento apreciable da enerxía cinética, é dicir, se as cargas que medran gradualmente desde cero están en equilibrio constante coas forzas internas, a enerxía consómese evidentemente só na deformación do corpo e entón denomínase traballo de deformación.

O cálculo do traballo de deformación amosarémolo primeiro nun elemento sometido a tracción nunha soa dirección (fig. 5).

Sexa que a tensión existente σ e a dilatación correspondente ε sufran incrementos dσ e dε. Entón a forza σdF no percorrido dε * dl realizará o traballo σdF * dεdl = σdεdV, se se denomina dV ao volume do fragmento. Se a tensión aumenta desde cero ata o seu valor final e a dilatación, en consecuencia, de 0 ata ε, o traballo total realizado por unidade de volume será:

Do mesmo xeito, para un elemento sometido á tensión cortante τ (fig. 6), o traballo de deformación por unidade de volume (traballo específico de deformación, potencial elástico):

sendo que só unha das catro forzas τ * dF realiza traballo.

No caso xeral, cando sobre o elemento elemental actúan as seis compoñentes de tensión, obténse o traballo específico de deformación sumando os traballos das distintas compoñentes de tensión:

(10)

Derivando respecto do límite superior de cada unha destas integrais obtéñense relacións válidas no caso máis xeral:

(11)

e así tamén para as demais deformacións compoñentes. Se o corpo é elástico, a cada estado de tensión determinado correspóndelle sempre o mesmo estado de deformación, con independencia de se o estado se alcanzou durante a carga ou durante a descarga. Nese caso, baixo os integrais aparecen funcións unívocas e a enerxía total empregada durante a carga e logo a descarga completa é a = 0, dado que neste caso os límites superiores dos integrais pasan a ser cero. Por tanto, a enerxía total transmitida ao corpo durante a carga recupérase durante a descarga.

Imaxe 6

Figura 7

Para un corpo parcialmente elástico, a relación entre tensións e deformacións para todo o ciclo de carga e descarga ten unha forma aproximadamente representada na fig. 7 polas liñas O A B. A enerxía  introducida durante a carga é igual á área OAA, e a enerxía devolta durante a descarga á área ABA, de modo que se perde (se transforma en calor) o traballo correspondente á área tramada. Se no proceso oscilatorio a tensión cambia periodicamente entre o valor límite positivo  e o valor límite negativo,  a deformación inelástica evoluciona de maneira semellante ao mostrado polas liñas interrompidas na fig. 7 e durante cada período de oscilación convértese en calor por unidade de volume a enerxía DABCD. Este comportamento durante a deformación, no que a deformación fica atrasada respecto da tensión, denomínase histerese elástica, e a curva DABCD bucle de histerese.

Traballo de deformación e lei de Hooke

Se se introduce a lei de Hooke nos integrais da ecuación (10), pódese realizar a integración, e para o traballo específico de deformación obtense as expresións:

(12a)

(12b)

(12c)

Se a segunda destas formas se introduce na ecuación (11), obtense de novo a lei de Hooke, ecuacións (8), na forma resolta respecto das tensións. A afirmación de que o traballo de deformación depende das deformacións compoñentes, tal e como mostra a ecuación (12b), é por tanto equivalente á lei de Hooke. Cando a ecuación (12c) se diferencia respecto das tensións, obtense

(13)

Estes esquemas, a diferenza dos esquemas (11), só son válidos para corpos que se comportan segundo a lei de Hooke e non poden aplicarse cando as relacións entre tensións e deformacións son distintas. Enténdese que no lado dereito das ecuacións (13) só se atopan as deformacións compoñentes causadas polas tensións, excluíndose todas as demais que puidesen xurdir eventualmente por cambio de temperatura, fluencia, inchazón, recristalización, etc.

PRINCIPIOS INTEGRAIS NA TEORÍA DA ELASTICIDADE

Despregamentos virtuais. Principio do mínimo de enerxía potencial

Así como a lei de Hooke, as ecuacións (8) poden substituírse por unha soa ecuación (12b), tamén en lugar da condición de equilibrio pode introducirse o principio dos desprazamentos virtuais, como lei básica da mecánica de validez xeral. Esta lei expresa que os estados de equilibrio se caracterizan porque neles o traballo total realizado por todas as forzas ao producirse unha pequena variación do estado de deformación é igual a cero. Se chamamos δμ δν, δω ás pequenas variacións dos desprazamentos elásticos, entón as forzas volumétricas definidas pola ecuación (7) realizan traballo virtual

as forzas de superficie px, py, pz que actúan sobre o elemento dF da superficie exterior do corpo traballo 

co cal o integral triplo se refire a todo o volume, e o dobre integral a toda a superficie exterior do corpo. Para calcular o traballo realizado polas forzas internas emprégase a ecuación (12b), polo que para o traballo por unidade de volume obtense

O principio dos desprazamentos virtuais proporciona, a partir diso,

(14)

Se as cargas X, Y, Z px, py., pz se entenden como compoñentes da forza da gravidade (peso propio e carga externa), os integrais do lado dereito representan a enerxía potencial que perderon estas cargas, mentres que o lado esquerdo representa o incremento da enerxía potencial (elástica) do corpo, de modo que este principio expresa que a enerxía potencial total do elemento resistente e das cargas que descansan sobre el, no caso de equilibrio, ten un valor extremo. Se este valor extremo é un mínimo, o equilibrio é estable.

O principio do mínimo da enerxía potencial expresado pola ecuación (14), a expresión (12b) para o traballo de deformación, e as condicións de compatibilidade das deformacións (5), (6) constitúen un sistema de ecuacións que é suficiente para construír a teoría da elasticidade e que, en esencia, é equivalente ao sistema de ecuacións. Este sistema pode ser especialmente útil nos casos en que satisfacer as ecuacións diferenciais (9) supón dificultades de cálculo e, por iso, debe buscarse unha solución aproximada; por exemplo, para os desprazamentos presúmese de antemán unha forma axeitada que conteña varias constantes libres, e estas determínanse a partir da esixencia de que a ecuación (14) sexa satisfactoria. Deste xeito, en efecto, non se obtén unha solución exacta do problema, senón só a mellor aproximación que se pode acadar coa forma de solución elixida. Se a aproximación é suficiente depende en primeiro lugar da forma de solución adoptada, e a aplicación exitosa deste método esixe, por tanto, habilidade e experiencia.

Principio de Castigliano

Mentres que no principio do mínimo da enerxía potencial se comparan todos os estados de deformación que cumpren as condicións de compatibilidade das deformacións e entre eles se seleccionan aqueles para os que os esforzos correspondentes satisfán as condicións de equilibrio, no principio de Castigliano compáranse todos os estados de esforzo que satisfán as condicións de equilibrio e entre eles selecciónanse aqueles para os que as deformacións correspondentes satisfán as condicións de compatibilidade das deformacións. Este principio di: de todos os posibles estados de equilibrio, o real é aquel ao que lle corresponde o menor traballo de deformación. O principio de Castigliano, xunto coa ecuación (12c) para o traballo de deformación e as condicións de equilibrio, forma un sistema de ecuacións suficiente para a análise da resistencia dos materiais. Tendo en conta que este principio contén a lei de Hooke, a posibilidade da súa aplicación está ligada á supoñer que as deformacións poden ser descritas por completo por esta lei. Isto require non só un comportamento elástico lineal do material, senón que tamén exclúe os cambios de temperatura.

Comportamento dos materiais por riba dos límites de elasticidade

Fenómenos baixo carga estática

A deformación do material baixo a influencia das tensións é un fenómeno moi complexo, de modo que debe simplificarse en distintos aspectos para poder ser comprendido. Unha destas simplificacións é a hipótese de que as cargas se aplican de maneira gradual, como se fai, por exemplo, coas probas de tracción e compresión en mostras.

Se unha barra de aceiro sometida a tracción se expón a unha carga que aumenta gradualmente e se mide a súa dilatación ε, obtense o diagrama mostrado na fig. 8. Ao comezo, a dilatación é moi pequena e proporcional á tensión, como o esixe a lei de Hooke. A partir dunha determinada tensión, a proporcionalidade deixa de existir e a dilatación aumenta máis rapidamente. A posición exacta do límite desta proporcionalidade é difícil de determinar. Canto máis precisa é a medición, máis baixa resulta. Para a maioría dos materiais sitúase en σ = 0, e a lei de Hooke representa entón só unha primeira aproximación ao comportamento elástico, o primeiro termo do desenvolvemento en serie de Taylor da función ε = ε (σ) arredor da orixe de coordenadas.

Se a barra se descarga, obsérvase que, cando a tensión non foi demasiado grande, desaparece tamén a deformación, conforme á lei de Hooke. Pero isto tamén cambia se se supera unha determinada tensión que se sitúa preto do límite de proporcionalidade, o chamado límite de elasticidade; entón a deformación total consiste nunha parte elástica (recuperable) e nunha inelástica (permanente). Nin o límite de elasticidade pode determinarse con exactitude; sitúase tanto máis abaixo canto maior é a precisión da medición. Non obstante, como ten unha gran importancia técnica, porque representa o límite de validez en case todos os cálculos de resistencia dos materiais e, ao mesmo tempo, o límite no que aparecen os primeiros danos permanentes, para o ensaio de probas defínese estritamente mediante algunha convención adoptada, polo que, por exemplo, como límite 0.2% se sinala a tensión á que a dilatación permanente alcanza 0.2%.

Inmediatamente despois de superar o límite elástico, a deformación aumenta bruscamente e pode observarse a simple vista; con tensión case constante, a barra alongase continuamente. Esta tensión denomínase límite de fluencia. Nas máquinas hidráulicas de ensaio de materiais pode advertirse ademais, despois do inicio da fluencia, unha baixada máis ou menos marcada da tensión; tal como se indica na fig. 8 coa curva interrompida; entón o máximo denomínase límite superior de fluencia, e a tensión constante de fluencia que segue denomínase límite inferior de fluencia.

Despois de acadarse unha determinada dilatación, que é case totalmente inelástica, a tensión comeza a aumentar de novo e o material endurece. Nesta zona de carga prodúcese unha redución notable da sección transversal da barra debido á contracción lateral (inelástica), e o curso ulterior do diagrama de tensións e deformacións depende en primeiro lugar de se, ao calcular a tensión σ, a forza de tracción P que actúa sobre a barra se divide pola sección inicial F0 ou pola sección instantánea F. Para fins técnicos, interesa a tensión P|F0 . Esta tensión pasa por un máximo que se denomina resistencia do material e, cando se supera ese máximo, a barra estréitase fortemente nun punto e rompe. A “tensión real” P|F aumenta ata a rotura.

Figura 8.

O comportamento doutros metais afástase en moitos aspectos do aquí descrito. O escoamento a miúdo non é pronunciado, e o endurecemento comeza inmediatamente despois de superar o límite elástico. Nos materiais fráxiles (pedra, vidro, formigón) as deformacións non elásticas son en xeral pequenas e xa cunha pequena dilatación prodúcese a rotura. A dilatación total que o material soporta ata a rotura é unha medida da ductilidade (o contrario: fraxilidade) do material, e para o aceiro establécese con precisión nas condicións técnicas. Non obstante, como inmediatamente antes da rotura a deformación posterior se concentra nos lugares próximos da sección estrangulada, obtéñense valores diferentes da dilatación na rotura segundo se para a lonxitude de medida se adopte unha parte maior ou menor da barra, de maneira que para obter resultados inequívocos e comparables entre si debe adoptarse de antemán unha convención determinada. A dilatación na rotura mídese polo xeral de maneira que nunha barra redonda de diámetro d, antes da proba, se marque a lonxitude de medida Ι = 10 d e, a partir do seu alongamento ΔΙ, se calcule a dilatación na rotura εs_Ι = ΔΙ|Ι ._ Se é necesario ensaiar barras doutra sección, a lonxitude de medida determínase segundo o diámetro da barra cilíndrica circular que teña a mesma superficie de sección transversal.

Carga de longa duración

Para o desenvolvemento do ensaio de tracción é bastante indiferente que a carga ata a rotura aumente en 10 m minutos ou en varias horas. Con todo, se a carga actúa durante anos ou decenas de anos, en determinadas condicións obsérvase que mesmo por debaixo do límite de fluencia a deformación baixo tensión constante aumenta lentamente co tempo. Nese proceso, a parte elástica, é dicir, a parte que desaparece tras a descarga final, non se altera sensiblemente. Este aumento da deformación inelástica que se produce ao longo dun tempo prolongado chámase fluencia. Nos metais, agás no chumbo, a fluencia ten importancia só a altas temperaturas; porén, para o enxeñeiro civil desempeña un papel no formigón, que baixo presión cede lixeiramente, de modo que a tensión aumenta na armadura comprimida, se esta existe.

Carga variable

Para que as características mecánicas do material, obtidas nun ensaio de tracción, poidan empregarse como criterio para a carga admisible das estruturas, é condición que o material soporte en cada nova carga a tensión que unha vez soportou sen dano. Esta condición non se cumpre se o material está exposto a repetidas cargas e descargas frecuentes, como é, por exemplo, o caso das vigas sometidas ás forzas de inercia de máquinas mal equilibradas. Cunha repetición suficientemente frecuente das cargas, unha peza estrutural pode chegar á rotura mesmo cunha tensión moito menor ca resistencia do material determinada mediante un ensaio estático ordinario. A aparición desta clase de rotura denomínase rotura por fatiga. O número n de ciclos de carga que o material pode soportar depende da magnitude da tensión σ, de xeito que é tanto maior canto menor é a tensión. Un exemplo típico desta dependencia móstrase na fig. 9, da que se ve que para a resistencia do material existe un límite inferior, que soporta mesmo cun número arbitrariamente grande de ciclos de carga e que se denomina resistencia dinámica do material. Os diagramas deste tipo (fig.9) chámanse curvas de Wӧhler.

Figura 9.

Seguridade das estruturas

Dúas cargas límite son significativas para as estruturas: a carga á cal aparecen os primeiros danos permanentes (límite de fluencia), e a carga á cal se esgota a capacidade portante da estrutura, polo que esta se rompe (límite de rotura). Como antes do límite de fluencia, polo menos de forma aproximada, valen os supostos da resistencia dos materiais (pequenos desprazamentos, lei de Hooke), a seguridade fronte ás deformacións permanentes pode estimarse con fiabilidade en todos aqueles casos nos que se logre superar as dificultades matemáticas. Se a tensión é proporcional á carga, a relación entre a tensión de fluencia e a maior tensión que aparece na estrutura é igual á relación entre a carga á que se produce a fluencia e a carga real e representa o coeficiente de seguridade fronte á fluencia. Non obstante, nunha serie de casos esta relación simple non existe: flexión cando se exclúe a tracción, presión entre superficies convexas, sistemas cuxa estrutura é variable e, o que é especialmente desfavorable, flexión con forza axial. En todos estes casos, un aumento relativamente pequeno da carga pode provocar un grande aumento da tensión, e entón non abonda con aplicar o coeficiente de seguridade habitual ás tensións, senón que debe aplicarse á carga.

Os fenómenos que se producen despois de superar o límite de fluencia ata a rotura poden, na maioría dos casos, seguirse só de maneira cualitativa. Se o material é dúctil, as partes nas que primeiro se alcanzou o límite de fluencia, e que seguen deformándose con tensión constante ou lixeiramente crecente, participan pouco na absorción da carga adicional, de xeito que o resto das partes da estrutura, menos solicitadas, na medida do posible segundo a súa estrutura, participan máis no soporte. Nesta tendencia a igualar os picos de tensión reside unha determinada reserva de seguridade, que pode aproveitarse no cálculo se a deformación permanente dalgunhas partes, producida por unha única carga importante, non é prexudicial (método da carga límite).

Se o material é fráxil, o primeiro dano permanente maniféstase en fendas, polas cales no punto afectado prodúcese unha concentración de tensións aínda maior, que provoca inmediatamente a rotura. A rotura por fatiga, mesmo en materiais dúctiles, presenta as características dunha rotura fráxil.

 Relacións entre as tensións para distintos planos de sección

Ecuacións de transformación

As nove tensións compoñentes da fig. 1 están ligadas con tres condicións de equilibrio. As seis magnitudes restantes σx, σy, σz τxy, τyz, τzx poden, independentemente unhas doutras, adquirir valores arbitrarios, como se ve pola dedución das ecuacións diferenciais da teoría da elasticidade. Con todo, cando estes valores están dados, o estado de tensión nun punto dun corpo sólido queda completamente determinado, é dicir, cando se coñecen as tensións para tres planos mutuamente perpendiculares, tamén se pode determinar de maneira unívoca a tensión para un cuarto plano que pasa polo punto dado e cuxa normal ten unha dirección arbitraria.

Na fig. 10 móstrase o tetraedro OABC, cuxas tres caras son paralelas aos planos do sistema de coordenadas x, y, z, e a cuarta representa un elemento de superficie orientado arbitrariamente ABC = dF. Para indicar a súa dirección e a dirección da tensión que se transmite a través del, introdúcese un segundo sistema de coordenadas, cuxo eixe ξ é perpendicular a dF.

Imaxe 10

A condición de equilibrio das forzas que actúan sobre este tetraedro na dirección do eixe ξ dá

Se se ten en conta que

obtense

e de maneira semellante, das condicións de equilibrio na dirección do eixe η:

Estas son as ecuacións que serven para o cálculo das tensións na transformación de coordenadas. É de especial importancia considerar só aqueles elementos de superficie dF para os cales o eixe ξ coincide co eixe z. Os esquemas para este caso podemos obtelos simplificando os esquemas anteriores ou lelos directamente da fig. 11:

Figura 11

A tensión normal toma valores extremos para as direccións α = α0 , para as que dσξ/dα = 0. Por diferenciación obtense da ecuación (16)

polo que, cando esta expresión se iguala a cero

A tensión τξη será ao mesmo tempo a tensión cortante total nestes planos, se τyz = τzx = 0. Entón a ecuación (17) determina dúas direccións mutuamente perpendiculares para as cales: 1. a tensión cortante total é cero e, 2. a tensión normal ten valores extremos (máximo e mínimo). Estas direccións chámanse direccións das tensións principais, e as tensións correspondentes tensións principais. Denomínanse σ1 e σ2 e poden calcularse directamente a partir da fórmula

 Círculo de Mohr

As ecuacións (16) poden representarse graficamente dun xeito evidente. Para iso deben transformarse na forma:

Estas ecuacións representan no sistema de coordenadas σ, τ a forma paramétrica da ecuación dun círculo, debuxado na fig. 12, cuxas coordenadas do centro son σ = 1/2 (σx + σy), τ = 0 e cuxo raio é

Este círculo chámase círculo de Mohr. Se por o punto x se traza unha recta paralela á sección x =const., pola que se transmiten as tensións σx, τxy, esta cortará o círculo no punto p, que se chama polo do círculo de Mohr. Toda recta pξ trazada a través deste polo corta o círculo no punto ξ, que determina as tensións σξ, τξη que se transmiten a través da sección paralela a pξ.

No que respecta ao signo das tensións cortantes ao debuxar o círculo de Mohr, hai que ter en conta que se representan cara arriba se teñen a dirección indicada na fig. 12c. Polo tanto, das dúas tensións conxugadas τxy, τyx, unha é sempre positiva e a outra negativa.

Aos valores límite de σ1, σ2 das tensións normais corresponden os puntos 1 e 2 no círculo, e as rectas _p_1 e _p_2 dan as direccións das tensións principais.

A representación das tensións que xacen no plano x-y mediante o círculo de Mahr non está ligada a ningunha hipótese sobre as tensións σz, τxz, τyz perpendiculares a este plano.

Figura 12

Iso, polo tanto, tamén vale para o estado tridimensional máis xeral de tensión, se se comparan só aqueles planos de corte que todos pasan pola mesma recta, que aquí se escolleu como eixes z e ξ. Como segundo as ecuacións xerais de transformación (15) a tensión normal σ non pode volverse infinita en ningún plano de corte, debe ter para un plano un máximo finito σ1 e para outro un mínimo σ3, dos cales ambos, por suposto, tamén poden ser negativos. Se se pasa un plano polos vectores σ1 e σ3 e se debuxa o círculo de Mohr (fig. 13)

Imaxe 13

para as tensións que xacen neste plano (é dicir, todas as direccións perpendiculares a este plano), entón σ1 e σ3 son as maiores e as menores tensións normais que poden aparecer e, polo tanto, deben ser mutuamente perpendiculares. Se as direccións 1 e 3 se completan coa dirección 2, de modo que estas tres direccións formen un sistema de coordenadas ortogonal, e se se debuxan os círculos de Mohr para os planos 1 ~2 e 2 ~ 3, entón σ2 para un destes círculos é a tensión normal maior, e para o outro a menor, e, por conseguinte, nas seccións perpendiculares ás direccións 1, 2 e 3 a tensión cortante é igual a cero. As tres tensións normais mutuamente perpendiculares σ1, σ2 e σ3, ás que non lles corresponden tensións cortantes, chámanse tensións principais.

    Límite de fluencia e límite de rotura no estado triaxial de tensión

O estado de tensión denomínase unidimensional, bidimensional ou tridimensional, doutro xeito: lineal, plano ou espacial, segundo un, dous ou os tres esforzos principais sexan distintos de cero. Nos elementos estruturais de uso máis frecuente, é dicir, na barra traccionada, comprimida e flexionada, o estado de tensión, polo menos nos puntos máis solicitados, é unidimensional, e o mesmo ocorre cos ensaios de tracción, compresión ou flexión, que no ensaio de materiais se aplican case exclusivamente para determinar as tensións admisibles. Pola contra, nas placas cargadas no seu plano ou perpendicularmente a el, así como nas cascas, o estado de tensión é bidimensional, e en certos casos aparecen tamén estados tridimensionais de tensión, polo que cómpre extraer, con base no límite de fluencia e de rotura determinado no estado unidimensional, conclusións sobre o comportamento do material no caso dun estado espacial de tensión.