วัสดุ: ความต้านทานของวัสดุและทฤษฎีความยืดหยุ่น

พื้นฐาน

หน้าที่ของกลศาสตร์วัสดุคือการกำหนดว่าโครงสร้างแข็งแรงทนต่อแรงภายนอกใดได้บ้าง (เช่น อาคาร ชิ้นส่วนโครงสร้าง หรือดิน) เพื่อให้ตอบคำถามนี้ จะอาศัยเกณฑ์สองประการ: ด้านหนึ่ง ความเค้นต้องไม่เกินขีดจำกัดบางประการซึ่งขึ้นอยู่กับชนิดของวัสดุ และอีกด้านหนึ่ง สมดุลระหว่างแรงภายนอกและแรงภายในต้องมีเสถียรภาพ ตามนี้ ปัญหาทั้งหมดในกลศาสตร์วัสดุสามารถแบ่งออกเป็น “ปัญหาความเค้น” และ “ปัญหาความเสถียร”.

สำหรับแท่งและคาน รวมทั้งโครงสร้างรับน้ำหนักที่ประกอบจากสิ่งเหล่านี้ (โครงถัก, เฟรม) การกำหนดความเค้นทำเป็นสองขั้นตอน กล่าวคือ ขั้นแรกคำนวณผลลัพธ์ของแรงภายในที่ถ่ายทอดผ่านหน้าตัดจากแรงภายนอกที่กำหนด แล้วจึงกำหนดความเค้นจาก “แรงหน้าตัด” เหล่านี้ ส่วนแรกของกระบวนการเป็นสาขาเฉพาะที่มีขอบเขตกว้าง คือสถิตยศาสตร์ของโครงสร้างอาคาร ซึ่งมีวิธีการเฉพาะของตนเองที่พัฒนาไว้อย่างดี และโดยปกติจะแยกออกจากวิชาแรงต้านทานของวัสดุ ซึ่งหน้าที่ของมันจำกัดอยู่ที่การกำหนดความเค้นจากแรงหน้าตัดที่กำหนด

แนวคิดพื้นฐานของความต้านทานของวัสดุ

การนิยามความเค้นได้มาจากการพิจารณาพื้นฐานต่อไปนี้ สมมติว่าระบบแรงภายนอกที่สมดุลกระทำต่อวัตถุ จินตนาการว่าเราแบ่งวัตถุด้วยหน้าตัดใด ๆ ออกเป็นสองส่วน และนำส่วนหนึ่งออกไปพร้อมกับแรงที่กระทำต่อมัน จากนั้นการกระทำของมันต่ออีกส่วนหนึ่ง เพื่อให้สมดุลของแรงและการกระจายการเสียรูปคงเดิม จะต้องถูกแทนที่ด้วยแรงเสริมที่ถ่ายผ่านพื้นผิวหน้าตัด แรง “ภายใน” เหล่านี้กระจายอย่างต่อเนื่องบนพื้นผิวหน้าตัด ดังนั้นทุกองค์ประกอบของพื้นที่ dF จึงมีแรง dβ สอดคล้อง หากตั้งอัตราส่วน dβ dF และทำลิมิตเมื่อ dF -> 0 แล้ว อัตราส่วนนี้จะมุ่งสู่ค่าขีดจำกัดซึ่งเรียกว่าความเค้น ความเค้นในองค์ประกอบพื้นที่ที่กำหนด เช่นเดียวกับ dβ สามารถแยกออกเป็นองค์ประกอบตั้งฉากและสัมผัสกับ dF ได้ คือความเค้นปกติ σ และความเค้นเฉือน τ.

หากตัดผ่านจุดเดียวกันในทิศทางต่าง ๆ ก็จะสอดคล้องกับความเค้นที่แตกต่างกันด้วย โดยเฉพาะเมื่อแยกปริซึมมิติเล็ก ๆ ออกจากชิ้นงาน ดังแสดงในรูป 1 บนพื้นผิวทั้งหกด้านของมันจะมีเวกเตอร์ความเค้นกระทำอยู่ ซึ่งสามารถแยกเป็นองค์ประกอบสามตัวในทิศทางแกนพิกัด x, y, z ความเค้นที่กระทำบนด้านตรงข้ามของพื้นผิวจะแตกต่างกันกันเอง แน่นอนว่าแตกต่างกันเพียงในเชิงเชิงอนุพันธ์ ดังนั้นจึงต้องแยกแยะ 3 * 3 = 9 องค์ประกอบของความเค้น ซึ่งแสดงดังนี้:

สำหรับความเค้นปกติ σ จะกำหนดดัชนีของแกนที่แนวของมันอยู่ และถือว่าเป็นบวกหากก่อให้เกิดแรงดึง เป็นลบหากก่อให้เกิดแรงกด ความเค้นเฉือน τ จะมีดัชนีสองตัว ตัวแรกเหมือนกับดัชนีของความเค้นปกติที่สอดคล้องกัน และตัวที่สองอ้างถึงแกนในแนวที่ความเค้นเฉือนกระทำ หากทิศทางบวกของความเค้นปกติที่สอดคล้องกันอยู่ในทิศของแกนพิกัดบวก (ลบ) ความเค้นเฉือนก็ถือว่าเป็นบวกหากกระทำในทิศของแกนพิกัดบวก (ลบ) เช่นกัน

รูป 1.

 ความสอดคล้องกันของความเค้นเฉือน

หากสำหรับทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากขนาดเล็กตามรูปที่ 1 กำหนดเงื่อนไขว่าโมเมนต์ของแรงทั้งหมดรอบแกน x เท่ากับศูนย์ จะได้ τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz จากนี้ และจากสมการที่สอดคล้องกันอีกสองสมการสำหรับแกน y และ z จะได้ว่าความเค้นเฉือนที่มีดัชนีเดียวกันเท่ากัน คือ τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (1)

ความเค้นขององค์ประกอบ

ข้อเท็จจริงที่ว่าความเค้นที่ได้กำหนดไว้ข้างต้นมีความหมายทางกายภาพนั้น สืบเนื่องจากความสัมพันธ์ของมันกับคำนิยามที่วัตถุทุกชิ้นย่อมเผชิญภายใต้อิทธิพลของแรงภายนอก รูป 2 แสดงปริซึมมูลฐานหนึ่งชิ้น ซึ่งก่อนการเสียรูปมีรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากและมีความยาวขอบ dx, dy, dz หลังการเสียรูป เราสามารถระบุความยาวขอบเป็น dx + Δdx, dy, + Δdy, dz + Δdz อัตราส่วน εx = Δdx|dx, εy =Δdy|dy, εz = Δdz|dz เรียกว่า การยืดตัวเชิงปริมาตร (dilatations) ซึ่งเป็นปริมาณไร้มิติ และสำหรับวัสดุที่เกี่ยวข้องทั้งหมดในงานก่อสร้างจะมีค่าน้อยเมื่อเทียบกับ 1 นอกจากการยืดของขอบแล้ว ปริซึมมูลฐาน dx * dy * dz ยังอาจเกิดการเปลี่ยนแปลงของมุมฉากเดิมระหว่างด้านต่าง ๆ ได้อีกด้วย

รูป 2. การเสียรูปเชิงองค์ประกอบ

ให้หลังการเสียรูป มุมระหว่างระนาบที่มาบรรจบกันตามขอบ OC เท่ากับ  และในทำนองเดียวกันให้การลดลงของมุมฉากตามขอบ AO เท่ากับ γyz, และการลดลงตามขอบ OB เท่ากับ γzx. การเปลี่ยนแปลงมุมทั้งสามนี้ γxy, γyz, γzx เรียกว่า การเฉือน และโดยทั่วไปจะมีค่าน้อยมากเมื่อเทียบกับ 1.  เมื่อใช้ส่วนประกอบหกตัวของ ε และ γ จะกำหนดการเสียรูปของลูกบาศก์องค์ประกอบ “การเสียรูปขนาดเล็ก” ได้อย่างสมบูรณ์ การเปลี่ยนแปลงขององค์ประกอบปริมาตร d_V = dx * dy * dz_ คือ ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, จากนั้นเมื่อมองข้ามผลคูณของการยืดตัวซึ่งเป็นปริมาณเล็กอันดับสูง จะได้การยืดตัวเชิงปริมาตร ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2)

การเคลื่อนตัว

การเสียรูปของของแข็งสามารถอธิบายได้อย่างสมบูรณ์ด้วยวิธีนี้เช่นกัน โดยกำหนดการกระจัดที่แต่ละจุดของมันได้ประสบมา หากตัดการพิจารณาการกระจัดขนาดจำกัดที่สอดคล้องกับการเคลื่อนที่ของวัตถุแข็งออกไป โดยหากจำเป็นให้ใช้ระบบพิกัดที่เคลื่อนที่ได้ในการคำนวณ ดังนั้นการกระจัดองค์ประกอบ μ, ν, ω ก็จะมีขนาดเล็กเสมอ และอนุพันธ์ตามพิกัดของมันก็เล็กเมื่อเทียบกับ 1 ภายใต้สมมติฐานนี้ ตามรูป 3 ความยาวขององค์ประกอบเชิงเส้น OA = dx หลังการเสียรูป

ดังนั้น  (3)

ในทำนองเดียวกัน จากรูป 3 จะเห็นว่า การเฉือน γxy มีค่าเป็น γ1 + γ2: และเช่นเดียวกัน

 (4)

รูป 3 การลื่นไถล

(5)  (6)

ความสัมพันธ์เหล่านี้เรียกว่าเงื่อนไขความเข้ากันได้ และระบุว่าชิ้นส่วนที่เสียรูปสามารถประกอบเข้าด้วยกันได้เหมือนโมเสกโดยที่พื้นที่ถูกเติมเต็มอย่างต่อเนื่อง ซึ่งไม่สามารถทำได้หากการเสียรูปของชิ้นส่วนเป็นไปอย่างอิสระ เงื่อนไขความเข้ากันได้เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ ดังนั้น ตามธรรมชาติแล้ว การเสียรูปเชิงองค์ประกอบทั้งหกสำหรับปริซึมแต่ละก้อนจึงเป็นอิสระต่อกัน แต่การจัดเรียงของมันในบริเวณที่แผ่ขยายอย่างจำกัดใด ๆ จะถูกกำหนดด้วยเงื่อนไข (5) และ (6)

เนื่องจากเงื่อนไขเหล่านี้ได้มาจากการดิฟเฟอเรนเชียลจากสมการ (3) และ (4) ในระหว่างการอนุมานจึงสูญเสียส่วนหนึ่งของความสัมพันธ์ที่มีอยู่ในสมการเดิมไป ดังนั้น การเป็นไปตามระบบสมการเพียงระบบเดียวจึงไม่เพียงพอ หากต้องการให้ความเข้ากันได้ของการเปลี่ยนรูปได้รับการรับประกัน จะต้องเป็นไปตามทั้งสองระบบสมการ

สมการเชิงอนุพันธ์ของระบบยืดหยุ่น

สำหรับการคำนวณความเค้นและการเสียรูปของวัตถุยืดหยุ่น ใช้สมการต่อไปนี้:

เงื่อนไขสมดุลขององค์ประกอบปริมาตร. เงื่อนไขที่โมเมนต์รอบแกนทั้งสามเท่ากับศูนย์ได้ถูกใช้ไปแล้วในการอนุมานสมการ (1). เงื่อนไขสมดุลของแรงให้ตามรูป 4

รูป 4

(7a-c)

หากกำหนดให้ X, Y, Z แทนองค์ประกอบของแรงปริมาตร (เช่น น้ำหนัก, แรงหนีศูนย์กลาง) ต่อหนึ่งหน่วยปริมาตร ความสัมพันธ์ระหว่างความเค้นและการเปลี่ยนรูป หมายถึงความสัมพันธ์ระหว่างความเค้นเชิงองค์ประกอบและการเปลี่ยนรูปเชิงองค์ประกอบ ในทฤษฎียืดหยุ่น โดยหลักแล้วจะพิจารณาเฉพาะความสัมพันธ์เชิงเส้น ซึ่งแสดงด้วยกฎของฮุก:

(8a-c)

(8d-f)

หากแก้สมการ (8a-c) โดยหาค่าในรูปของความเค้น จะได้

(8 a)

kso และสมการที่สอดคล้องกันอีกสองสมการ กฎของฮุคที่แสดงด้วยสมการ (8) ไม่ใช่กฎธรรมชาติที่ต้องเป็นจริงอย่างเคร่งครัด หากแต่เป็นการอุดมคติของพฤติกรรมจริงซึ่งเบี่ยงเบนไปจากกฎดังกล่าวมากหรือน้อย ขึ้นอยู่กับวัสดุและขนาดของความเค้น เนื่องจากการวิเคราะห์ปัญหาความต้านทานของวัสดุที่มีความสัมพันธ์ระหว่างความเค้นและการเปลี่ยนรูปแบบไม่เชิงเส้นที่ซับซ้อนก่อให้เกิดความยากลำบากมากกว่าอย่างเทียบกันไม่ได้ และในทางปฏิบัติสามารถดำเนินการได้จริงเฉพาะในกรณีที่ง่ายที่สุดเท่านั้น แม้แต่กับวัสดุ (คอนกรีต!) ที่พฤติกรรมเบี่ยงเบนจากกฎของฮุคอย่างมีนัยสำคัญ การคำนวณที่อาศัยกฎนี้จึงต้องใช้เป็นคำตอบโดยประมาณขั้นแรก และส่วนใหญ่ยังเป็นคำตอบโดยประมาณเพียงอย่างเดียว ซึ่งนอกจากนั้นโดยปกติแล้วยังใช้งานได้ดีมาก และให้ความเข้าใจที่มากกว่าระดับเชิงคุณภาพเพียงอย่างเดียว G = E|2 (1+μ).

ซึ่งเป็นผลตามมาจำเป็นจากความสัมพันธ์ระหว่างความเค้นและความเครียด (8) จากสมการแปลง (16) สำหรับความเค้น และจากระบบสมการที่สอดคล้องกันสำหรับความเครียดเชิงองค์ประกอบ E และ G มีมิติเป็นความเค้น และในวัสดุก่อสร้างทุกชนิดมีค่ามากเมื่อเทียบกับความเค้น σ และ τ ที่อาจเกิดขึ้น จากข้อเท็จจริงนี้จึงเป็นพื้นฐานของสมมติฐานที่ใช้กันทั่วไปในทฤษฎีความยืดหยุ่นว่า ความเครียดมีขนาดเล็ก สัมประสิทธิ์การขยายตัวด้านขวาง (เลขปัวซอง) μ ไม่มีมิติ และจะอยู่เสมอระหว่าง 0 และ 1/2 .

Veze između komponentalnih deformacija i pomeranja. Ove veze date su jednačinama (3), (4). One su čisto geometrijske prirode. Ova tri sistema daju 3+6+6=15 jednačina za 15 nepoznatih, tj. za 6 komponentalnih napona, 6 komponentalnih deformacija i 3 komponentalna pomeranja. One su prema tome dovoljne za određivanje ovih nepoznatih. Matematičko savlađivanje ovako obimnog sistema diferencijalnih jednačina moguće je, razume se, samo u specijalnim slučajevima. Ako se u jednačini (8) komponentalne deformacije zamene komponentalnim pomeranjima prema jednačinama (3) i (4) i zatim normalni naponi σ i smičući naponi τ, prema jednačinama (8 d - f), uvedu u uslove ravnoteže, jedn. (7), dobijaju se diferencijalne jednačine koje se nazivaju osnovne jednačine teorije elastičnosti.

(9)

โดยที่  เป็นตัวดำเนินการลาปลาซ เมื่อพิจารณา (2) นี่คือสมการเชิงอนุพันธ์สามสมการที่มีการกระจัดเชิงองค์ประกอบสามค่า μ, ν, ω; จากสมการเหล่านี้ เมื่อทำการหาความต่างเชิงอนุพันธ์ตาม (3), (4) และ (8) ก็จะได้ความเค้นและความเครียดเชิงองค์ประกอบทั้งหมด สมการ (9) มักเป็นจุดเริ่มต้นที่สะดวกสำหรับการศึกษากรณีพิเศษต่าง ๆ

งานการเปลี่ยนรูป

คำจำกัดความ

เมื่อคานรับน้ำหนัก จุดกระทำของแรงภายนอกจะเกิดการเคลื่อนตัวแบบยืดหยุ่น และแรงต่าง ๆ ทำงานบางส่วนในระหว่างนั้น พลังงานที่ถูกส่งเข้าไปด้วยวิธีนี้สามารถเปลี่ยนไปเป็นรูปแบบต่าง ๆ ได้ หากการรับน้ำหนักเกิดขึ้นอย่างฉับพลัน จนกระบวนการเสียรูปมีความเร็วมาก ส่วนหนึ่งของพลังงานนี้จะเปลี่ยนเป็นพลังงานจลน์ ซึ่งจะกระจายไปตามเวลา ไม่ว่าจะโดยการส่งผ่านไปยังพื้นดินเป็นคลื่นยืดหยุ่นที่สูญหายไปในอนันต์ หรือโดยการแปรสภาพเป็นความร้อนด้วยแรงเสียดทานภายใน หากการลงน้ำหนักเกิดขึ้นอย่างค่อยเป็นค่อยไปจนไม่เกิดการเพิ่มขึ้นของพลังงานจลน์อย่างเห็นได้ชัด กล่าวคือ เมื่อน้ำหนักที่เพิ่มขึ้นทีละน้อยเริ่มจากศูนย์อยู่ในสมดุลกับแรงภายในตลอดเวลา พลังงานก็จะถูกใช้ไปเฉพาะในการทำให้วัตถุเสียรูป และในกรณีนั้นเรียกว่า งานการเสียรูป

เราจะเริ่มแสดงการคำนวณงานการเปลี่ยนรูปโดยพิจารณาจากชิ้นส่วนที่รับแรงดึงในทิศทางเดียวก่อน (รูป 5)

ให้ความเค้นที่มีอยู่ σ และการยืดตัวที่สอดคล้องกัน ε ได้รับการเพิ่มขึ้น dσ และ dε แล้วแรง σdF ระหว่างทาง dε * dl จะทำงานเท่ากับ  σdF * dεdl = σdεdV หากให้ dV แทนปริมาตรย่อย ถ้าความเค้นเพิ่มจากศูนย์ถึงค่าปลายสุดและการยืดตัวเปลี่ยนจาก 0 ไปเป็น ε งานรวมต่อหนึ่งหน่วยปริมาตรจะมีค่า:

ในทำนองเดียวกัน สำหรับองค์ประกอบที่รับแรงเฉือน τ (รูป 6) งานการเปลี่ยนรูปต่อหนึ่งหน่วยปริมาตร (งานการเปลี่ยนรูปจำเพาะ ศักย์ยืดหยุ่น) คือ:

โดยที่มีเพียงหนึ่งในสี่แรง τ * dF ที่ทำงาน.

ในกรณีทั่วไป เมื่อองค์ประกอบย่อยหนึ่งๆ ถูกกระทำโดยความเค้นองค์ประกอบครบทั้งหก ค่า งานการเปลี่ยนรูปจำเพาะจะได้จากการรวมงานของความเค้นองค์ประกอบแต่ละตัว:

(10)

เมื่อหาค่าอนุพันธ์ตามขอบเขตบนของอินทิกรัลแต่ละตัว จะได้ความสัมพันธ์ที่ใช้ได้ในกรณีทั่วไปที่สุด:

(11)

และเช่นเดียวกันสำหรับการเสียรูปเชิงองค์ประกอบอื่น ๆ หากวัตถุเป็นยืดหยุ่น สำหรับสภาวะความเค้นแต่ละสภาวะจะสอดคล้องกับสภาวะการเสียรูปเดียวกันเสมอ ไม่ว่าสภาวะนั้นจะเกิดขึ้นในช่วงรับแรงหรือคลายแรงก็ตาม ในกรณีนั้น ภายใต้อินทิกรัลจะเป็นฟังก์ชันเอกลักษณ์ และพลังงานรวมที่ใช้ไปในระหว่างการรับแรงและจากนั้นคลายแรงจนหมดเท่ากับ a = 0 เนื่องจากในกรณีนี้ขอบบนของอินทิกรัลจะกลายเป็นศูนย์ ดังนั้น พลังงานรวมที่ส่งเข้าสู่วัตถุในระหว่างการรับแรงจะได้คืนกลับมาในระหว่างการคลายแรง

รูป 6

ภาพ 7

สำหรับวัตถุที่ยืดหยุ่นไม่สมบูรณ์ ความสัมพันธ์ระหว่างความเค้นและการเปลี่ยนรูปตลอดรอบการรับและการปลดโหลดมีลักษณะโดยประมาณตามที่แสดงในรูป 7 ด้วยเส้น O A B. พลังงาน  ที่จ่ายเข้าขณะรับโหลดเท่ากับพื้นที่ OAA, และพลังงานที่คืนกลับขณะปลดโหลดเท่ากับพื้นที่ ABA, ดังนั้นงานที่สอดคล้องกับพื้นที่แรเงาจึงสูญเสียไป (แปลงเป็นความร้อน) หากในกระบวนการสั่น ความเค้นเปลี่ยนแปลงเป็นระยะระหว่างค่าขีดจำกัดบวก  และค่าขีดจำกัดลบ  การเปลี่ยนรูปไม่ยืดหยุ่นจะเกิดขึ้นในลักษณะคล้ายกับที่แสดงด้วยเส้นประในรูป 7 และในแต่ละรอบการสั่น พลังงาน DABCD ต่อหนึ่งหน่วยปริมาตรจะเปลี่ยนเป็นความร้อน พฤติกรรมการเปลี่ยนรูปเช่นนี้ ซึ่งการเปลี่ยนรูปตามไม่ทันความเค้น เรียกว่า elastic hysteresis และเส้นโค้ง DABCD คือวงฮิสเทอรีซิส

งานของการเสียรูปและกฎของฮุก

หากนำกฎของ Hooke ใส่ในอินทิกรัลของสมการ (10) ก็สามารถอินทิเกรตได้ และสำหรับงานการเปลี่ยนรูปจำเพาะจะได้สมการดังนี้:

(12a)

(12b)

(12c)

หากนำรูปแบบที่สองนี้ไปแทนในสมการ (11) ก็จะได้กฎของ Hooke อีกครั้ง คือสมการ (8) ในรูปที่แก้ด้วยความเค้นแล้ว ข้อความที่ว่าพลังงานการเปลี่ยนรูปขึ้นอยู่กับองค์ประกอบของการเปลี่ยนรูป ดังที่แสดงโดยสมการ (12b) จึงเทียบเท่ากับกฎของ Hooke เมื่อสมการ (12c) ถูกดิฟเฟอเรนเชียลตามความเค้น จะได้

(13)

แบบรูปเหล่านี้ ต่างจากแบบรูป (11) ตรงที่ใช้ได้เฉพาะกับวัตถุที่มีพฤติกรรมตามกฎของ Hooke เท่านั้น และไม่สามารถนำไปใช้เมื่อความสัมพันธ์ระหว่างความเค้นและความเครียดเป็นอย่างอื่นได้ เป็นที่เข้าใจว่าที่ด้านขวาของสมการ (13) มีเพียงความเครียดเชิงองค์ประกอบที่เกิดจากความเค้นเท่านั้น และไม่รวมความเครียดอื่นทั้งหมดที่อาจเกิดขึ้นจากการเปลี่ยนแปลงอุณหภูมิ การคืบ การพองตัว การเกิดผลึกใหม่ เป็นต้น

แนวคิดเชิงอินทิกรัลในทฤษฎีความยืดหยุ่น

การเคลื่อนที่เสมือนจริง. หลักการพลังงานศักย์ต่ำสุด

เช่นเดียวกับที่สามารถแทนกฎของ Hooke สมการ (8) ด้วยสมการเดียว (12b) ได้ ก็สามารถนำหลักการของการกระจัดเสมือนมาใช้แทนเงื่อนไขสมดุลได้เช่นกัน ในฐานะกฎพื้นฐานของกลศาสตร์ที่ใช้ได้ทั่วไป กฎนี้ระบุว่าสภาวะสมดุลมีลักษณะตรงที่งานรวมของแรงทั้งหมดเมื่อมีการเปลี่ยนแปลงสภาพการเสียรูปเล็กน้อยนั้นเท่ากับศูนย์ หากให้การเปลี่ยนแปลงเล็กๆ ของการกระจัดยืดหยุ่นเป็น δμ δν, δω แล้ว แรงปริมาตรที่นิยามโดยสมการ (7) จะทำงานเสมือน

และแรงที่ผิว px, py, pz ซึ่งกระทำต่อองค์ประกอบ dF ของผิวภายนอกของร่างกาย งาน 

โดยที่อินทิกรัลสามชั้นหมายถึงปริมาตรทั้งหมด และอินทิกรัลสองชั้นหมายถึงพื้นผิวภายนอกทั้งหมดของวัตถุ สำหรับการคำนวณงานที่เกิดจากแรงภายใน ใช้สมการ (12b) ดังนั้นสำหรับงานต่อหนึ่งหน่วยปริมาตรจึงได้

หลักการของการกระจัดเสมือนให้ผลดังนี้

(14)

หากแรงกระทำ X, Y, Z px, py., pz ถูกมองว่าเป็นองค์ประกอบของแรงโน้มถ่วง (น้ำหนักตัวเองและแรงกระทำภายนอก) ปริพันธ์ทางด้านขวาจะแทนพลังงานศักย์ที่แรงเหล่านี้สูญเสียไป ขณะที่ด้านซ้ายแทนการเพิ่มขึ้นของพลังงานศักย์ (ยืดหยุ่น) ของตัววัสดุ ดังนั้นหลักการนี้จึงแสดงว่าพลังงานศักย์รวมของตัวรับแรงและน้ำหนักที่วางอยู่บนมันในสภาวะสมดุลมีค่ามากสุดหรือมีค่าสุดโต่ง หากค่าสุดโต่งนี้เป็นค่าต่ำสุด สมดุลก็จะมีเสถียรภาพ

หลักการของพลังงานศักย์ต่ำสุดซึ่งแสดงด้วยสมการ (14) นิพจน์ (12b) สำหรับงานการเสียรูป และเงื่อนไขความเข้ากันได้ของการเสียรูป (5), (6) เป็นระบบสมการที่เพียงพอสำหรับการสร้างทฤษฎีความยืดหยุ่น และโดยพื้นฐานแล้วเทียบเท่ากับระบบสมการ ระบบนี้อาจมีประโยชน์เป็นพิเศษในกรณีที่การทำให้สมการเชิงอนุพันธ์ (9) เป็นไปตามต้องการก่อให้เกิดความยุ่งยากในการคำนวณ และด้วยเหตุนี้จึงต้องหาคำตอบโดยประมาณ เช่น สำหรับการกระจัด ให้สมมติรูปแบบที่เหมาะสมล่วงหน้าซึ่งมีค่าคงที่อิสระหลายตัว แล้วกำหนดค่าคงที่เหล่านี้จากข้อกำหนดว่าสมการ (14) ต้องเป็นจริง ด้วยวิธีนี้จึงไม่อาจได้คำตอบที่เคร่งครัดของปัญหา แต่ได้เพียงการประมาณที่ดีที่สุดเท่าที่จะทำได้ด้วยรูปแบบคำตอบที่เลือกไว้ ว่าการประมาณเพียงพอหรือไม่นั้น ขึ้นอยู่กับรูปแบบคำตอบที่นำมาใช้เป็นอันดับแรก และการประยุกต์ใช้วิธีนี้ให้ได้ผลจึงต้องอาศัยความชำนาญและประสบการณ์

หลักการของ Castigliano

ในกรณีของหลักการพลังงานศักย์ต่ำสุด จะเปรียบเทียบสภาวะการเสียรูปทั้งหมดที่เป็นไปตามเงื่อนไขความสอดคล้องของการเสียรูป และคัดเลือกสภาวะที่ความเค้นที่สอดคล้องกันเป็นไปตามเงื่อนไขสมดุลออกมา ส่วนในหลักการของ Castigliano จะเปรียบเทียบสภาวะความเค้นทั้งหมดที่เป็นไปตามเงื่อนไขสมดุล และคัดเลือกสภาวะที่การเสียรูปที่สอดคล้องกันเป็นไปตามเงื่อนไขความสอดคล้องของการเสียรูป หลักการนี้กล่าวว่า: จากสภาวะสมดุลที่เป็นไปได้ทั้งหมด จะเกิดขึ้นจริงเพียงสภาวะที่สอดคล้องกับงานการเสียรูปน้อยที่สุด หลักการของ Castigliano ร่วมกับสมการ (12c) สำหรับงานการเสียรูปและเงื่อนไขสมดุล ก่อให้เกิดระบบสมการที่เพียงพอสำหรับการสร้างความต้านทานของวัสดุ เนื่องจากหลักการนี้มี กฎของ Hooke รวมอยู่ด้วย ความเป็นไปได้ในการประยุกต์ใช้จึงผูกกับสมมติฐานว่าการเสียรูปสามารถอธิบายได้อย่างสมบูรณ์ด้วยกฎนี้ ซึ่งต้องอาศัยไม่เพียงพฤติกรรมยืดหยุ่นเชิงเส้นของวัสดุเท่านั้น แต่ยังตัดการเปลี่ยนแปลงอุณหภูมิออกด้วย

พฤติกรรมของวัสดุเหนือขีดจำกัดความยืดหยุ่น

ปรากฏการณ์ภายใต้การรับแรงสถิต

การเสียรูปของวัสดุภายใต้อิทธิพลของความเค้นเป็นปรากฏการณ์ที่ซับซ้อนมาก จึงต้องทำให้เรียบง่ายในหลายมุมมองเพื่อให้เข้าใจได้ หนึ่งในความเรียบง่ายเหล่านี้คือสมมติฐานว่ามีการลงน้ำหนักทีละขั้น ดังเช่นที่ทำกับตัวอย่างในการทดสอบแรงดึงและแรงอัด

ถ้านำแท่งเหล็กที่รับแรงดึงไปโหลดด้วยแรงที่เพิ่มขึ้นอย่างค่อยเป็นค่อยไป และวัดการยืดตัว ε ของมัน จะได้แผนภาพดังแสดงในรูป 8 เริ่มต้น การยืดตัวมีค่าน้อยมากและเป็นสัดส่วนกับความเค้น ตามที่กฎของฮุกกำหนด ตั้งแต่ความเค้นระดับหนึ่งเป็นต้นไป ความเป็นสัดส่วนจะสิ้นสุดลงและการยืดตัวเพิ่มขึ้นเร็วกว่าเดิม ตำแหน่งที่แน่ชัดของขีดจำกัดความเป็นสัดส่วนนี้ยากที่จะกำหนด ยิ่งการวัดแม่นยำมากเท่าใด ค่าที่ได้ก็จะยิ่งต่ำลง สำหรับวัสดุส่วนใหญ่ ค่านี้อยู่ที่ σ = 0 และกฎของฮุกจึงเป็นเพียงการประมาณอันดับแรกของพฤติกรรมยืดหยุ่น เป็นพจน์แรกของการพัฒนาในอนุกรมเทย์เลอร์ของฟังก์ชัน ε = ε (σ) บริเวณจุดกำเนิดพิกัด

เมื่อปลดแท่งออกจากแรง จะสังเกตได้ว่า หากความเค้นไม่ได้สูงเกินไป การเสียรูปก็หายไปด้วย ตามกฎของ Hooke แต่สิ่งนี้ก็เปลี่ยนไปหากเกินระดับความเค้นระดับหนึ่งที่อยู่ใกล้ขีดจำกัดสัดส่วน ซึ่งเรียกว่าขีดจำกัดยืดหยุ่น; จากนั้นการเสียรูปทั้งหมดประกอบด้วยส่วนยืดหยุ่น (คืนกลับได้) และส่วนไม่ยืดหยุ่น (ถาวร) แม้ขีดจำกัดยืดหยุ่นก็ไม่อาจกำหนดได้อย่างแม่นยำ ยิ่งความแม่นยำของการวัดสูงเท่าใด ขีดจำกัดนี้ก็ยิ่งต่ำลงเท่านั้น อย่างไรก็ดี เนื่องจากมันมีความสำคัญทางเทคนิคอย่างมาก เพราะเป็นขีดจำกัดของความสำคัญในแทบทุกการคำนวณด้านความต้านทานวัสดุ และในขณะเดียวกันยังเป็นขีดจำกัดที่ความเสียหายถาวรแรกเริ่มเกิดขึ้น จึงมีการกำหนดอย่างเคร่งครัดสำหรับการทดสอบตัวอย่างด้วยข้อตกลงที่ยอมรับกัน ดังนั้น ตัวอย่างเช่น ขีดจำกัด 0.2% จึงหมายถึงความเค้นที่ทำให้การยืดถาวรถึง 0.2%

ทันทีหลังจากเกินขีดจำกัดความยืดหยุ่น การเปลี่ยนรูปจะเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วและสามารถสังเกตเห็นได้ด้วยตาเปล่า; ภายใต้ความเค้นที่เกือบคงที่ แท่งจะยืดออกอย่างต่อเนื่อง ความเค้นนี้เรียกว่าขีดจำกัดการไหล ในเครื่องทดสอบวัสดุแบบไฮดรอลิก ยังสามารถสังเกตเห็นได้ว่าหลังจากเริ่มครากแล้ว ความเค้นจะลดลงมากหรือน้อย ดังที่แสดงในรูป 8 ด้วยเส้นประ; ขณะนั้นค่าสูงสุดเรียกว่าขีดจำกัดการไหลบน และความเค้นการไหลคงที่ที่ตามมาเรียกว่าขีดจำกัดการไหลล่าง

เมื่อถึงค่าการยืดตัวระดับหนึ่ง ซึ่งแทบไม่ยืดหยุ่นเลย ความเค้นจะเริ่มเพิ่มขึ้นอีกครั้ง วัสดุเกิดการแข็งตัว ในช่วงของการรับแรงนี้ หน้าตัดของแท่งจะลดลงอย่างเห็นได้ชัดเนื่องจากการหดตัวด้านข้าง (ที่ไม่ยืดหยุ่น) และแนวทางต่อไปของกราฟความเค้นและการเสียรูปขึ้นอยู่เป็นอันดับแรกว่าในการคำนวณความเค้น σ แรงดึง P ที่กระทำต่อแท่งจะหารด้วยหน้าตัดเดิม F0 หรือหน้าตัด ณ ขณะนั้น F สำหรับวัตถุประสงค์ทางเทคนิค ความเค้น P|F0 มีความน่าสนใจ ความเค้นนี้เพิ่มขึ้นจนถึงค่าสูงสุดซึ่งเรียกว่ากำลังของวัสดุ และเมื่อผ่านค่าสูงสุดนี้ไป แท่งจะคอดอย่างมาก ณ จุดหนึ่งและขาด “ความเค้นจริง” P|F เพิ่มขึ้นจนถึงการวิบัติ

รูปภาพ 8.

พฤติกรรมของโลหะอื่น ๆ แตกต่างจากที่อธิบายไว้ที่นี่อย่างมาก การไหลครากมักไม่เด่นชัด และการแข็งตัวเริ่มขึ้นทันทีหลังจากเกินขีดจำกัดความยืดหยุ่น สำหรับวัสดุเปราะ (หิน แก้ว คอนกรีต) การเสียรูปแบบไม่ยืดหยุ่นมีน้อยมาก และเมื่อยืดตัวเพียงเล็กน้อยก็จะเกิดการแตกหัก การยืดตัวรวมที่วัสดุรับได้จนถึงการแตกหักเป็นตัววัดความเหนียว (ตรงข้าม: ความเปราะ) ของวัสดุ และสำหรับเหล็กจะกำหนดไว้อย่างชัดเจนในข้อกำหนดทางเทคนิค อย่างไรก็ตาม เนื่องจากก่อนเกิดการแตกหักการเสียรูปเพิ่มเติมจะไปกระจุกตัวที่บริเวณรอบ ๆ หน้าตัดที่คอดลง จึงได้ค่าการยืดตัวเมื่อแตกหักที่แตกต่างกัน ขึ้นอยู่กับว่าจะเลือกความยาวเกณฑ์จากแท่งมากหรือน้อยเพียงใด ดังนั้นเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่ชัดเจนและเปรียบเทียบกันได้ ต้องกำหนดข้อตกลงมาตรฐานไว้ล่วงหน้า การยืดตัวเมื่อแตกหักโดยปกติจะวัดโดยกำหนดความยาวเกณฑ์ Ι = 10 d บนแท่งกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง d ก่อนการทดสอบ แล้วคำนวณการยืดตัวเมื่อแตกหักจากการยืดออก ΔΙ ของมัน εs_Ι = ΔΙ|Ι . หากจำเป็นต้องทดสอบแท่งที่มีหน้าตัดอื่น ความยาวเกณฑ์จะกำหนดตามเส้นผ่านศูนย์กลางของแท่งทรงกระบอกกลมที่มีพื้นที่หน้าตัดเท่ากัน

การรับน้ำหนักระยะยาว

สำหรับการทดสอบแรงดึง แทบไม่แตกต่างกันนักว่า จะเพิ่มโหลดจนกระทั่งชิ้นงานขาดภายใน 10 m นาที หรือภายในเวลาไม่กี่ชั่วโมง อย่างไรก็ตาม หากโหลดกระทำเป็นเวลาหลายปีหรือหลายสิบปี ภายใต้เงื่อนไขบางประการจะสังเกตได้ว่า แม้ต่ำกว่าขีดคราก การเปลี่ยนรูปภายใต้ความเค้นคงที่ก็เพิ่มขึ้นอย่างช้า ๆ เมื่อเวลาผ่านไป ส่วนที่เป็นยืดหยุ่น กล่าวคือส่วนที่หายไปเมื่อปลดโหลดทั้งหมดในที่สุด จะไม่เปลี่ยนแปลงอย่างมีนัยสำคัญ การเพิ่มขึ้นของการเปลี่ยนรูปแบบไม่ยืดหยุ่นที่เกิดขึ้นในระยะเวลานานนี้เรียกว่า ครีป ในโลหะ ยกเว้นตะกั่ว ครีปมีความสำคัญเฉพาะที่อุณหภูมิสูงเท่านั้น อย่างไรก็ดี สำหรับวิศวกรโยธา ครีปมีบทบาทกับคอนกรีตซึ่งจะคลายตัวลงเล็กน้อยภายใต้แรงอัด ทำให้ความเค้นในเหล็กเสริมที่ถูกอัดเพิ่มขึ้น หากมีเหล็กเสริมดังกล่าวอยู่

ภาระเปลี่ยนแปลง

เพื่อให้คุณลักษณะเชิงกลของวัสดุที่ได้จากการทดสอบแรงดึงสามารถนำมาใช้เป็นเกณฑ์สำหรับกำหนดน้ำหนักบรรทุกที่ยอมให้ของโครงสร้างได้ เงื่อนไขคือ วัสดุต้องสามารถรับความเค้นที่ครั้งหนึ่งเคยรับได้โดยไม่เสียหาย เมื่อมีการรับแรงซ้ำอีกทุกครั้ง เงื่อนไขนี้จะไม่เป็นจริง หากวัสดุได้รับแรงและคลายแรงซ้ำบ่อยครั้ง เช่น ในกรณีของคานที่รับแรงจากแรงเฉื่อยของเครื่องจักรที่ถ่วงสมดุลไม่สมบูรณ์ การรับแรงซ้ำอย่างเพียงพออาจทำให้ชิ้นส่วนโครงสร้างเกิดการวิบัติได้ แม้ที่ความเค้นซึ่งต่ำกว่ากำลังของวัสดุที่กำหนดจากการทดสอบสถิตทั่วไปมาก การวิบัติประเภทนี้เรียกว่า การวิบัติเนื่องจากความล้า จำนวน n ของรอบการรับแรงที่วัสดุสามารถทนได้ขึ้นอยู่กับขนาดของความเค้น σ ดังนั้นยิ่งความเค้นต่ำ จำนวนรอบที่ทนได้ยิ่งมาก ตัวอย่างทั่วไปของความสัมพันธ์นี้แสดงในรูป 9 ซึ่งเห็นได้ว่าความแข็งแรงของวัสดุมีค่าขีดล่างที่รองรับได้แม้ในจำนวนรอบการรับแรงที่มากอย่างไม่จำกัด และค่าดังกล่าวเรียกว่า ความแข็งแรงไดนามิกของวัสดุ แผนภาพลักษณะนี้ (รูป9) เรียกว่าเส้นโค้ง Wӧhler

รูปที่ 9.

ความปลอดภัยของโครงสร้าง

สองค่าแรงวิบัติที่สำคัญสำหรับโครงสร้าง ได้แก่ แรงที่ทำให้เกิดความเสียหายถาวรครั้งแรก (ขีดจำกัดการคราก) และแรงที่ทำให้กำลังรับน้ำหนักของโครงสร้างหมดลงจนโครงสร้างวิบัติ (ขีดจำกัดการแตกหัก) เนื่องจากก่อนถึงขีดจำกัดการคราก สมมติฐานของกลศาสตร์วัสดุยังใช้ได้อย่างน้อยโดยประมาณ (การเคลื่อนตัวน้อย กฎของ Hooke) ความปลอดภัยต่อการเสียรูปถาวรจึงสามารถประเมินได้อย่างน่าเชื่อถือในทุกกรณีที่สามารถเอาชนะความยุ่งยากทางคณิตศาสตร์ได้ หากความเค้นแปรผันตามแรงกระทำ อัตราส่วนของความเค้นครากต่อความเค้นสูงสุดที่เกิดขึ้นในโครงสร้างจะเท่ากับอัตราส่วนระหว่างแรงกระทำที่ทำให้เกิดครากกับแรงกระทำจริง และแสดงถึงค่าสัมประสิทธิ์ความปลอดภัยต่อการคราก อย่างไรก็ตาม ในหลายกรณีความสัมพันธ์ง่าย ๆ นี้ไม่มีอยู่: การดัดเมื่อไม่นับแรงดึง การกดระหว่างผิวที่นูน ระบบที่โครงสร้างเปลี่ยนแปลงได้ และโดยเฉพาะอย่างยิ่งที่ไม่เอื้ออำนวยคือการดัดร่วมกับแรงตามแกน ในทุกกรณีเหล่านี้ การเพิ่มแรงกระทำเพียงเล็กน้อยอาจทำให้ความเค้นเพิ่มขึ้นมาก และในกรณีเช่นนั้น ไม่เพียงพอที่จะนำค่าสัมประสิทธิ์ความปลอดภัยที่ใช้กันทั่วไปไปใช้กับความเค้น แต่ต้องนำไปใช้กับแรงกระทำแทน

ปรากฏการณ์ที่เกิดขึ้นหลังจากเกินขีดจำกัดครากจนถึงการพังทลาย ในกรณีส่วนใหญ่สามารถติดตามได้เพียงเชิงคุณภาพเท่านั้น หากวัสดุมีความเหนียว ส่วนที่ได้ถึงขีดจำกัดครากก่อน และที่ยังคงเปลี่ยนรูปต่อไปภายใต้ความเค้นคงที่หรือความเค้นที่เพิ่มขึ้นเพียงเล็กน้อย จะมีส่วนร่วมในการรับภาระต่อไปเพียงเล็กน้อย ดังนั้นส่วนอื่นๆ ของโครงสร้างที่รับความเค้นน้อยกว่า หากเป็นไปได้ตามโครงสร้างของมัน จะมีส่วนร่วมในการรับน้ำหนักมากขึ้น ในความพยายามที่จะทำให้ยอดความเค้นเท่ากันนี้ มีสำรองความปลอดภัยอยู่ระดับหนึ่ง ซึ่งสามารถนำมาใช้ในการคำนวณได้ หากการเปลี่ยนรูปถาวรของบางส่วนที่เกิดจากการรับน้ำหนักมากเพียงครั้งเดียวไม่ก่อให้เกิดโทษ (วิธีแรงจำกัด)

หากวัสดุมีความเปราะ ความเสียหายถาวรเริ่มแรกจะแสดงออกเป็นรอยร้าว ซึ่งทำให้เกิดการรวมความเค้นที่ตำแหน่งที่เป็นอันตรายมากขึ้น และนำไปสู่การแตกหักทันที การแตกหักจากความล้าแม้ในวัสดุที่เหนียวก็มีลักษณะของการแตกแบบเปราะเช่นกัน

 ความสัมพันธ์ระหว่างความเค้นสำหรับระนาบหน้าตัดต่าง ๆ

สมการการแปลง

ความเค้นเชิงองค์ประกอบทั้งเก้าตามรูป 1 เกี่ยวข้องกับเงื่อนไขสมดุลสามข้อ ปริมาณที่เหลืออีกหกค่า σx, σy, σz τxy, τyz, τzx สามารถมีค่าใดๆ ได้อย่างอิสระต่อกัน ดังจะเห็นได้จากการอนุพันธ์สมการเชิงอนุพันธ์ของทฤษฎีความยืดหยุ่น อย่างไรก็ตาม เมื่อกำหนดค่าเหล่านี้แล้ว สภาวะความเค้น ณ จุดหนึ่งของของแข็งจะถูกกำหนดอย่างสมบูรณ์ กล่าวคือ เมื่อทราบความเค้นสำหรับระนาบตั้งฉากกันสามระนาบแล้ว ก็สามารถกำหนดความเค้นสำหรับระนาบที่สี่ซึ่งผ่านจุดที่กำหนดและมีแนวปกติไปในทิศทางใดๆ ได้อย่างไม่กำกวม

ในรูป 10 แสดงเตตระฮีดรอน OABC ซึ่งสามด้านขนานกับระนาบของระบบพิกัด x, y, z และอีกด้านหนึ่งเป็นองค์ประกอบของพื้นผิวที่วางตัวได้อย่างอิสระ ABC = dF. เพื่อแสดงทิศทางของมันและทิศทางของความเค้นที่ถ่ายทอดผ่านมัน จึงกำหนดระบบพิกัดอีกชุดหนึ่ง ซึ่งแกน ξ ตั้งฉากกับ dF.

รูป 10

เงื่อนไขดุลยภาพของแรงที่กระทำบนเตตระฮีดรอนนี้ในทิศทางแกน ξ ให้

หากคำนึงว่า

ได้มา

และในทำนองเดียวกัน จากเงื่อนไขสมดุลในแนวแกน η:

นี่คือสมการที่ใช้สำหรับการคำนวณความเค้นเมื่อมีการแปลงพิกัด สิ่งสำคัญเป็นพิเศษคือให้พิจารณาเฉพาะองค์ประกอบพื้นที่ dF ที่แกน ξ ตรงกับแกน z เท่านั้น รูปแบบสำหรับกรณีนี้สามารถหาได้จากการทำให้รูปแบบก่อนหน้าง่ายลง หรืออ่านโดยตรงจากรูป 11:

รูป 11

ความเค้นปกติจะมีค่าสุดโต่งสำหรับทิศทาง α = α0 ซึ่ง dσξ/dα = 0. เมื่อทำอนุพันธ์จากสมการ (16) จะได้

ดังนั้น เมื่อทำให้พจน์นี้เท่ากับศูนย์

ความเค้น τξη จะเป็นความเค้นเฉือนรวมในระนาบเหล่านี้ด้วย หาก τyz = τzx = 0. จากสมการ (17) จะได้ทิศทางตั้งฉากกันสองทิศ ซึ่งสำหรับทิศทางเหล่านี้: 1. ความเค้นเฉือนรวมเป็นศูนย์ และ, 2. ความเค้นปกติมีค่ามากสุดและน้อยสุด ทิศทางเหล่านี้เรียกว่าแนวของความเค้นหลัก และความเค้นที่สอดคล้องกันเรียกว่า ความเค้นหลัก. โดยกำหนดเป็น σ1 และ σ2 และสามารถคำนวณได้โดยตรงจากสูตร

 วงกลมของมอร์

สมการ (16) สามารถแสดงในเชิงกราฟได้อย่างชัดเจน เพื่อการนี้ควรแปลงให้อยู่ในรูป:

สมการเหล่านี้ในระบบพิกัด σ, τ แสดงรูปแบบเชิงพารามิเตอร์ของสมการวงกลมที่วาดไว้ในรูป 12 โดยมีพิกัดศูนย์กลาง σ = 1/2 (σx + σy), τ = 0 และมีรัศมี

วงกลมนี้เรียกว่า วงกลมของ Mohr หากลากเส้นตรงผ่านจุด x ให้ขนานกับหน้าตัด x =const. ซึ่งถ่ายทอดความเค้น σx, τxy เส้นนั้นจะตัดวงกลมที่จุด p ซึ่งเรียกว่า ขั้วของวงกลม Mohr เส้นตรง pξ ทุกเส้นที่ลากผ่านขั้วนี้จะตัดวงกลมที่จุด ξ ซึ่งกำหนดความเค้น σξ, τξη ที่ถ่ายทอดผ่านหน้าตัดซึ่งขนานกับ pξ

ในส่วนของเครื่องหมายของความเค้นเฉือนเมื่อเขียนวงกลมของ Mohr ต้องคำนึงว่า จะต้องลงค่าเป็นทิศขึ้นหากมีทิศตามที่แสดงในรูป 12c ดังนั้นจากความเค้นคู่คอนจูเกตสองค่า τxy, τyx ค่าใดค่าหนึ่งจะเป็นบวกเสมอ และอีกค่าหนึ่งเป็นลบ

ค่าขอบเขตของความเค้นปกติ σ1, σ2 สอดคล้องกับจุด 1 และ 2 บนวงกลม และเส้น _p_1 และ _p_2 ให้ทิศทางของความเค้นหลัก

การแสดงความเค้นที่อยู่ในระนาบ x-y ด้วยวงกลมของ Mahr ไม่ได้ขึ้นอยู่กับสมมติฐานใด ๆ เกี่ยวกับความเค้น σz, τxz, τyz ที่ตั้งฉากกับระนาบนี้

รูป 12

ดังนั้นจึงใช้ได้กับสภาวะความเค้นสามมิติที่ทั่วไปที่สุดด้วย หากพิจารณาเฉพาะระนาบหน้าตัดที่ทั้งหมดผ่านเส้นตรงเดียวกัน ซึ่งที่นี่เลือกเป็นแกน z และ ξ เนื่องจากตามสมการแปลงทั่วไป (15) ความเค้นปกติ σ ไม่สามารถเป็นอนันต์ได้ในระนาบหน้าตัดใดๆ จึงต้องมีค่าสูงสุดจำกัด σ1 สำหรับระนาบหนึ่ง และค่าต่ำสุด σ3 สำหรับอีกรระนาบหนึ่ง ซึ่งทั้งสองค่าแน่นอนว่าสามารถเป็นลบได้ หากลากระนาบผ่านเวกเตอร์ σ1 และ σ3 แล้ววาดวงกลมของ Mohr (รูป 13)

รูป 13

สำหรับความเค้นที่อยู่ในระนาบนี้ (กล่าวคือ ทุกทิศทางที่ตั้งฉากกับระนาบนี้) ดังนั้น σ1 และ σ3 จึงเป็นความเค้นปกติมากที่สุดและน้อยที่สุดที่อาจเกิดขึ้นได้ และด้วยเหตุนี้จึงต้องตั้งฉากกัน หากเติมทิศทาง 1 และ 3 ด้วยทิศทาง 2 เพื่อให้ทั้งสามทิศทางนี้เป็นระบบพิกัดฉาก และหากวาดวงกลมของ Mohr สำหรับระนาบ 1 ~2 และ 2 ~ 3 แล้ว σ2 สำหรับวงกลมหนึ่งจะเป็นความเค้นปกติมากที่สุด และสำหรับอีกวงกลมหนึ่งจะเป็นความเค้นปกติน้อยที่สุด และด้วยเหตุนี้ในหน้าตัดที่ตั้งฉากกับทิศทาง 1, 2 และ 3 ความเค้นเฉือนจึงเท่ากับศูนย์ ความเค้นปกติที่ตั้งฉากกันสามค่า σ1, σ2 และ σ3 ซึ่งไม่มีความเค้นเฉือนสอดคล้องอยู่ เรียกว่า ความเค้นหลัก.

    ขีดจำกัดการครากและขีดจำกัดการวิบัติภายใต้สภาวะความเค้นสามมิติ

สภาวะของความเค้นเรียกว่าสองมิติ หนึ่งมิติ หรือสามมิติ อีกนัยหนึ่งคือ แบบเชิงเส้น แบบระนาบ หรือแบบในอวกาศ ขึ้นอยู่กับว่าความเค้นหลักหนึ่ง สอง หรือทั้งสามค่าแตกต่างจากศูนย์หรือไม่ สำหรับชิ้นส่วนโครงสร้างที่ใช้กันบ่อยที่สุด กล่าวคือ แท่งที่ถูกดึง อัด และดัด สภาวะของความเค้น อย่างน้อยที่ตำแหน่งซึ่งมีความเค้นสูงสุด จะเป็นแบบหนึ่งมิติ และเช่นเดียวกันในการทดสอบแรงดึง แรงอัด หรือการดัด ซึ่งในการทดสอบวัสดุมักใช้เกือบโดยเฉพาะเพื่อกำหนดค่าความเค้นที่ยอมรับได้ ในทางตรงกันข้าม สำหรับแผ่นที่รับแรงในระนาบของตนหรือในแนวตั้งฉากกับระนาบ รวมทั้งสำหรับเปลือก ความเค้นจะเป็นแบบสองมิติ และในบางกรณีก็เกิดสภาวะความเค้นสามมิติด้วย ดังนั้นจึงจำเป็นต้องอนุมานพฤติกรรมของวัสดุในกรณีของสภาวะความเค้นในอวกาศจากขีดจำกัดการครากและการแตกหักที่กำหนดไว้ภายใต้สภาวะความเค้นหนึ่งมิติ