Материалы: Сопротивление материалов и теория упругости

Основы

Задача сопротивления материалов заключается в том, чтобы определить, какие внешние силы может выдержать твердое тело (напр., сооружение, конструктивный элемент или грунт). Чтобы ответить на этот вопрос, исходят из двух критериев: с одной стороны, напряжения не должны превышать определенных пределов, зависящих от вида материала, а с другой стороны, равновесие между внешними и внутренними силами должно быть устойчивым. В соответствии с этим все задачи сопротивления материалов можно разделить на «задачи напряжений» и «задачи устойчивости.

У стержней и балок, а также у составленных из них несущих систем (фермы, рамы) определение напряжений выполняется в два этапа: сначала на основе заданных внешних сил вычисляют равнодействующую внутренних сил, передаваемых через поперечное сечение, а затем по этим «сеченным силам» определяют напряжения. Первая часть процедуры представляет собой отдельную, обширную дисциплину — статику строительных конструкций, которая имеет разработанные собственные методы и обычно отделяется от сопротивления материалов, задача которого сводится к определению напряжений по заданным сеченным силам.

Основные понятия сопротивления материалов

К определению напряжения приходят на основании следующих основных соображений. Пусть на тело действует уравновешенная система внешних сил. Представим, что мы разделили тело произвольным сечением на две части и одну из них удалили вместе с силами, действующими на нее; тогда ее действие на другую часть, чтобы равновесие сил и распределение деформаций оставались неизменными, должно быть заменено дополнительными силами, передаваемыми через поверхность сечения. Эти «внутренние» силы непрерывно распределены по поверхности сечения, так что каждому элементу поверхности dF соответствует сила dβ. Если образовать отношение dβ dF и совершить предельный переход dF -> 0, то это отношение стремится к предельному значению, которое называется напряжением. Напряжение в данном элементе поверхности, как и dβ, можно разложить на компоненты, нормальную и касательную к dF, нормальное напряжение σ и касательное напряжение τ.

Если через одну и ту же точку провести сечения в разных направлениях, им будут соответствовать и разные напряжения. В частности, если из тела выделить элементарный параллелепипед, показанный на рис. 1, на каждой из его шести поверхностей будет действовать вектор напряжения, который можно разложить на три компоненты по направлениям координатных осей x, y z. Напряжения, действующие на противоположные стороны поверхности, различаются между собой, разумеется, лишь на дифференциал, так что следует различать 3 * 3 = 9 компонент напряжений, которые обозначаются следующим образом:

Нормальным напряжениям σ присваивается индекс оси, в направлении которой они действуют, и они считаются положительными, если вызывают растяжение, отрицательными — если вызывают сжатие. Сдвигающие напряжения τ получают два индекса, первый из них совпадает с индексом соответствующего нормального напряжения, а второй относится к оси, в направлении которой действует сдвигающее напряжение. Если положительное направление соответствующего нормального напряжения совпадает с направлением положительной (отрицательной) координатной оси, то и сдвигающее напряжение считается положительным, если действует в направлении положительной (отрицательной) координатной оси.

Рисунок 1.

 Конъюгированность касательных напряжений

Если для элементарного прямоугольного блока, рис. 1, установить условие, что момент всех сил относительно оси x равен нулю, получается τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz Отсюда и из двух соответствующих уравнений для осей y и z следует, что касательные напряжения с одинаковыми индексами равны между собой τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (1)

Компонентные деформации

То, что выше определенные напряжения имеют физический смысл, вытекает из их связи с деформацией, которую испытывает любое тело под воздействием внешних сил. Рис. 2 показывает один элементарный параллелепипед, который до деформации был прямоугольным и имел длины ребер dx, dy, dz. Длины ребер после деформации можно обозначить как dx + Δdx, dy + Δdy, dz + Δdz; отношения εx = Δdx|dx, εy =Δdy|dy, εz = Δdz|dz называются относительными удлинениями. Это величины без размерности и для всех материалов, которые рассматриваются в строительстве, малы по сравнению с 1. Помимо удлинения ребер, элементарный параллелепипед dx * dy * dz может также испытать изменение первоначально прямых углов между своими гранями.

Рисунок 2. компонентная деформация

Пусть после деформации угол между плоскостями, сходящимися вдоль ребра OC, равен и, аналогично, уменьшение прямого угла вдоль ребра AO равно γyz, а уменьшение вдоль ребра OB равно γzx. Эти три изменения углов γxy, γyz, γzx называются сдвигами и также всегда малы по сравнению с 1. С шестью компонентами ε и γ полностью определяется деформация элементарного квадара “деформация в малом”. Изменение элемента объема d_V = dx * dy * dz_ равно ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, откуда, при пренебрежении произведениями удлинений как малыми величинами высшего порядка, получается кубическая деформация ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2)

Смещения

Деформацию твёрдого тела можно полностью описать и таким образом, что для каждой из его точек задают перемещение, которое эта точка претерпела. Если из рассмотрения исключить перемещения конечной величины, соответствующие перемещению жёсткого тела, введя при необходимости в расчёт подвижную систему координат, то и компонентные перемещения μ, ν, ω всегда имеют малую величину, а их производные по координатам малы по сравнению с 1. При этом предположении, согласно рис. 3, длина линейного элемента OA = dx после деформации

итак  (3)

Аналогичным образом из рис. 3 видно, что сдвиг γxy γ1 + γ2: и также

 (4)

Рис. 3 сдвиг

(5)  (6)

Эти связи называются условиями совместимости и показывают, что деформированные элементы могут сочетаться, как мозаика, так что пространство при этом непрерывно заполняется, чего нельзя достичь, если деформации элементов произвольны. Условия совместимости представляют собой дифференциальные уравнения, поэтому, разумеется, все шесть компонент деформации для каждого отдельного параллелепипеда взаимно независимы, однако их распределение в каждой конечной ограниченной области связано условиями (5) и (6).

Поскольку эти условия получены дифференцированием из уравнений (3) и (4), при их выводе теряется часть связей, содержащихся в исходных уравнениях. Поэтому недостаточно, чтобы была выполнена только одна из этих двух систем уравнений, а должны быть удовлетворены обе системы уравнений, если требуется обеспечить совместимость деформации.

Дифференциальные уравнения системы упругости

Для расчета напряжений и деформаций в упругих телах служат следующие уравнения:

Условия равновесия объёмного элемента. Условия, что моменты относительно трёх осей равны нулю, уже были использованы при выводе уравнения (1). Условия равновесия сил дают по рис. 4

Рисунок 4

(7a-c)

Если через X, Y, Z обозначить компоненты объемных сил (например, вес, центробежную силу) на единицу объема. Связи между напряжениями и деформациями. Под этим понимается связь между компонентными напряжениями и компонентными деформациями. В теории упругости, как правило, рассматривается только линейная связь, выражаемая законом Гука:

(8a-c)

(8d-f)

Если уравнения (8a-c) решить относительно напряжений, получаем

(8 a)

kso и два соответствующих уравнения. Закон Гука, выраженный уравнением (8), не представляет собой какой-то строго соблюдаемый природный закон, а является идеализацией реального поведения, которое более или менее от него отклоняется в зависимости от материала и величины напряжения. Поскольку математическая обработка задач сопротивления материалов со сложными, нелинейными связями между напряжениями и деформациями вызывает несравненно большие трудности и реально может быть проведена лишь в самых простых случаях, даже для тех материалов (бетон!), чьё поведение значительно отклоняется от закона Гука, расчёты, основанные на нём, следует использовать как первое и в большинстве случаев единственное приближённое решение, которое, к тому же, как правило, весьма пригодно и даёт представление, большее чем просто качественное. G = E|2 (1+μ).

Она неизбежно следует из связи между напряжением и деформацией (8), из уравнений преобразования (16) для напряжений и соответствующей системы уравнений для компонентных деформаций. E и G имеют размерность напряжения и у всех строительных материалов велики по сравнению с напряжениями σ и τ, которые могут возникать. На этом факте основано принятое повсеместно в теории упругости предположение, что деформации малы. Коэффициент поперечной деформации (число Пуассона) μ безразмерен и всегда находится между 0 и 1/2 .

Связи между компонентными деформациями и перемещениями. Эти связи заданы уравнениями (3), (4). Они имеют чисто геометрическую природу. Эти три системы дают 3+6+6=15 уравнений для 15 неизвестных, т. е. для 6 компонентных напряжений, 6 компонентных деформаций и 3 компонентных перемещений. Следовательно, их достаточно для определения этих неизвестных. Математическое решение столь обширной системы дифференциальных уравнений возможно, разумеется, лишь в особых случаях. Если в уравнении (8) компонентные деформации заменить компонентными перемещениями согласно уравнениям (3) и (4), а затем нормальные напряжения σ и касательные напряжения τ, согласно уравнениям (8 d - f), подставить в условия равновесия, уравн. (7), получаются дифференциальные уравнения, которые называются основными уравнениями теории упругости.

(9)

при этом  обозначен оператор Лапласа. Учитывая (2), это три дифференциальных уравнения с тремя компонентными перемещениями μ, ν, ω; из них путем дифференцирования на основе (3), (4) и (8) можно получить все компонентные напряжения и деформации. Уравнения (9) часто представляют собой удобную отправную точку для изучения частных случаев.

Работа деформирования

Определение

Когда балка нагружена, точки приложения внешних сил испытывают упругие перемещения, и силы при этом совершают некоторую работу. Таким образом подведенная энергия может переходить в различные формы. Если нагрузка прикладывается внезапно, так что процесс деформации происходит с большой скоростью, часть этой энергии превращается в кинетическую энергию, которая со временем рассеивается либо за счет передачи в грунт в виде упругой волны, уходящей в бесконечность, либо путем превращения во внутреннем трении в тепло. Если нагрузки прикладываются настолько плавно, что при этом не возникает заметного прироста кинетической энергии, то есть если постепенно возрастающие, начиная с нуля, нагрузки находятся в постоянном равновесии с внутренними силами, то энергия, очевидно, расходуется исключительно на деформирование тела и тогда называется деформационной работой.

Расчет деформационной работы мы сначала покажем на части, нагруженной растяжением в одном направлении (рис. 5).

Пусть существующее напряжение σ и соответствующая ему деформация ε претерпевают приращения dσ и dε. Тогда сила σdF на пути dε * dl совершит работу σdF * dεdl = σdεdV, если обозначить dV объем частички. Если напряжение возрастает от нуля до своего конечного значения, а деформация соответственно от 0 до ε, то полная работа на единицу объема будет равна:

Аналогично и для элемента, нагруженного сдвигающим напряжением τ (рис. 6), работа деформации на единицу объема (удельная работа деформации, упругий потенциал):

при этом только одна из четырех сил τ * dF совершает работу.

В общем случае, когда на элементарную частицу действуют все шесть компонент напряжения, удельная работа деформации получается суммированием работ отдельных компонент напряжения:

(10)

Дифференцированием по верхнему пределу каждого из этих интегралов получаются соотношения, справедливые в наиболее общем случае:

(11)

и т. п. для остальных компонентных деформаций. Если тело упругое, каждому определенному состоянию напряжения всегда соответствует одно и то же состояние деформации, независимо от того, достигнуто ли состояние при нагружении или при разгрузке. Тогда под интегралами стоят однозначные функции, и полная энергия, затраченная при нагружении и затем полном разгружении, равна a = 0, учитывая, что в этом случае верхние пределы интегралов обращаются в нуль. Следовательно, полная энергия, сообщенная телу при нагружении, возвращается при разгрузке.

Рисунок 6

Рисунок 7

Для не вполне упругого тела связь между напряжениями и деформациями за весь цикл нагружения и разгружения имеет вид, приблизительно показанный на рис. 7 линиями O A B. Энергия  , подведенная при нагружении, равна площади OAA, а энергия, возвращаемая при разгрузке, — площади ABA, так что теряется (превращается в тепло) работа, соответствующая заштрихованной площади. Если в осцилляторном процессе напряжение периодически изменяется между положительным предельным значением  и отрицательным предельным значением,  неупругая деформация протекает подобно тому, как показано пунктирными линиями на рис. 7, и при каждом периоде колебания в тепло превращается энергия DABCD на единицу объема. Такое поведение при деформации, при котором деформация отстает от напряжения, называется эластическим гистерезисом, а кривая DABCD — петлей гистерезиса.

Работа деформации и закон Гука

Если в интегралы в уравнении (10) подставить закон Гука, можно выполнить интегрирование, и для удельной деформационной работы получаются выражения:

(12a)

(12b)

(12c)

Если второй из этих видов подставить в уравнение (11), снова получается закон Гука, уравнения (8), в форме, решенной относительно напряжений. Утверждение, что деформационная работа зависит от компонентных деформаций, как это показано уравнением (12b), следовательно, эквивалентно закону Гука. Когда уравнение (12c) дифференцируется по напряжениям, получается

(13)

Эти формулы, в отличие от формул (11), справедливы только для тел, подчиняющихся закону Гука, и не могут применяться, когда соотношения между напряжениями и деформациями иные. Разумеется, в правой части уравнений (13) находятся только компонентные деформации, вызванные напряжениями, а исключаются все прочие, которые могли возникнуть вследствие изменения температуры, ползучести, набухания, рекристаллизации и т. д.

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Виртуальные перемещения. Принцип минимальной потенциальной энергии

Как закон Гука, уравнения (8) можно заменить одним уравнением (12b), так и вместо условия равновесия можно ввести принцип виртуальных перемещений как общезначимый основной закон механики. Этот закон утверждает, что состояния равновесия характеризуются тем, что при них общая работа всех сил при малом изменении состояния деформации равна нулю. Если малые изменения упругих перемещений обозначить δμ δν, δω, то объемные силы, определяемые уравнением (7), совершают виртуальную работу

а поверхностные силы px, py, pz, действующие на элемент dF внешней поверхности тела работа 

при этом тройной интеграл относится ко всему объему, а двойной — ко всей внешней поверхности тела. Для вычисления работы, совершаемой внутренними силами, используется уравнение (12b), и для работы на единицу объема получается

Принцип виртуальных перемещений на этом основании даёт

(14)

Если нагрузки X, Y, Z px, py., pz понимать как составляющие силы тяжести (собственный вес и внешняя нагрузка), то интегралы справа представляют собой потенциальную энергию, потерянную этими нагрузками, тогда как левая сторона представляет приращение потенциальной (упругой) энергии тела, так что этот принцип выражает, что полная потенциальная энергия несущей конструкции и лежащих на ней грузов в случае равновесия имеет экстремальное значение. Если это экстремальное значение является минимумом, равновесие устойчиво.

Принцип минимума потенциальной энергии, выраженный уравнением (14), выражение (12b) для работы деформации, условия совместимости деформаций (5), (6) представляют собой систему уравнений, достаточную для построения теории упругости и по существу эквивалентную системе уравнений. Эта система может быть особенно полезна в случаях, когда выполнение дифференциальных уравнений (9) представляет вычислительные трудности и поэтому приходится искать приближенное решение, например, для перемещений заранее принимают удобный вид, содержащий несколько свободных констант, а затем их определяют из требования, чтобы уравнение (14) было выполнено. При этом, правда, не получается строгое решение задачи, а лишь наилучшая аппроксимация, которую можно достичь с выбранным видом решения. Достаточна ли такая аппроксимация, в первую очередь зависит от принятой формы решения, и успешное применение этого метода требует поэтому навыка и опыта.

Принцип Кастильяно

В то время как при принципе минимума потенциальной энергии сравниваются все состояния деформации, удовлетворяющие условиям совместимости деформаций, и среди них выделяются те, для которых соответствующие напряжения удовлетворяют условиям равновесия, при принципе Кастильяно сравниваются все состояния напряжений, удовлетворяющие условиям равновесия, и среди них выделяются те, для которых соответствующие деформации удовлетворяют условиям совместимости деформаций. Этот принцип гласит: из всех возможных равновесных состояний реализуется то, которому соответствует наименьшая деформационная работа. Принцип Кастильяно вместе с уравнением (12c) для деформационной работы и условиями равновесия образует систему уравнений, достаточную для расчета сопротивления материалов. Поскольку этот принцип содержит закон Гука, возможность его применения связана с предположением, что деформации могут быть полностью описаны этим законом. Это требует не только линейно-упругого поведения материала, но и исключает изменения температуры.

Поведение материала за пределами упругости

Явления при статической нагрузке

Деформация материала под воздействием напряжений — очень сложное явление, поэтому его приходится в разных отношениях упрощать, чтобы можно было понять. Одно из этих упрощений — предположение, что нагрузки прикладываются постепенно, как это, напр., делается с образцами при испытании на растяжение и сжатие.

Если стальной стержень, нагруженный на растяжение, подвергается постепенно возрастающей нагрузке и измеряется его удлинение ε, получается диаграмма, показанная на рис. 8. Вначале удлинение очень мало и пропорционально напряжению, как того требует закон Гука. Начиная с определенного напряжения, пропорциональность прекращается, и удлинение возрастает быстрее. Точное положение границы этой пропорциональности трудно определить. Чем точнее измерение, тем ниже она получается. Для большинства материалов она лежит при σ = 0, и закон Гука тогда представляет собой лишь первое приближение к упругому поведению, первый член разложения в ряд Тейлора функции ε = ε(σ) в окрестности начала координат.

Если стержень разгрузить, замечается, что, когда напряжение не было слишком большим, деформация тоже исчезает, согласно закону Гука. Но и это меняется, если превышено некоторое напряжение, лежащее близко к пределу пропорциональности, так называемому пределу упругости; тогда полная деформация состоит из упругой (обратимой) и неупругой (необратимой) частей. И предел упругости нельзя определить точно, он тем ниже, чем выше точность измерений. Однако, поскольку он имеет большое техническое значение, так как представляет собой важную границу почти во всех расчётах сопротивления материалов и одновременно границу, на которой возникают первые необратимые повреждения, для испытания образцов его строго определяют по некоторой принятой конвенции, и, напр., как предел 0.2% обозначают то напряжение, при котором остаточная деформация достигает 0.2%.

Непосредственно после превышения предела упругости деформация резко возрастает и может быть замечена невооруженным глазом; при почти постоянном напряжении стержень непрерывно удлиняется. Это напряжение называется пределом текучести. В гидравлических испытательных машинах для материалов можно при этом заметить после начала текучести более или менее выраженное падение напряжения; как показано на рис. 8 пунктирной кривой; тогда максимум называется верхним пределом текучести, а постоянное напряжение текучести, которое затем наступает, — нижним пределом текучести.

После достижения определённой дилатации, которая является почти полностью неупругой, напряжение начинает снова возрастать, материал упрочняется. В этой области нагружения возникает заметное уменьшение поперечного сечения стержня вследствие (неупругой) боковой контракции, и дальнейший ход диаграммы напряжений и деформаций зависит прежде всего от того, делят ли при вычислении напряжения σ растягивающую силу P, действующую на стержень, на первоначальное сечение F0 или на текущие сечение F. Для технических целей представляет интерес напряжение P|F0. Это напряжение проходит через максимум, называемый прочностью материала, и после прохождения этого максимума стержень в одном месте резко сужается и разрывается. “Истинное напряжение” P|F возрастает до разрушения.

Рис. 8.

Поведение других металлов во многом отклоняется от описанного здесь. Течение часто не выражено, а упрочнение начинается непосредственно после превышения предела упругости. У хрупких материалов (камень, стекло, бетон) неупругие деформации вообще малы, и уже при небольшой дилатации происходит разрушение. Общая дилатация, которую материал испытывает до разрушения, является мерой пластичности (противоп.: хрупкости) материала, и для стали она точно предписывается в технических условиях. Однако, поскольку непосредственно перед разрушением дальнейшая деформация концентрируется в окрестностях суженного сечения, получается различное значение дилатации при разрушении в зависимости от того, принимается ли за мерную длину большая или меньшая часть стержня, так что для получения однозначных и взаимно сопоставимых результатов необходимо заранее принять определенную конвенцию. Дилатацию при разрушении обычно измеряют так, что на круглом стержне диаметра d перед испытанием отмечают мерную длину Ι = 10 d и по ее удлинению ΔΙ вычисляют дилатацию при разрушении εs_Ι = _ΔΙ|Ι . Если необходимо испытывать стержни иного сечения, мерная длина определяется по диаметру круглого цилиндрического стержня, имеющего ту же площадь поперечного сечения.

Долговременная нагрузка

Для хода испытания на растяжение в значительной степени безразлично, увеличивается ли нагрузка до разрушения в течение 10 mминут или нескольких часов. Однако если нагрузка действует годами или десятилетиями, при определенных условиях замечают, что даже ниже предела текучести деформация при постоянном напряжении со временем медленно возрастает. При этом упругая часть, то есть та часть, которая при окончательной разгрузке исчезает, заметно не изменяется. Это увеличение неупругой деформации, происходящее в течение длительного времени, называется ползучестью. У металлов, кроме свинца, ползучесть имеет значение лишь при высоких температурах; однако для инженера-строителя она играет роль в бетоне, который под нагрузкой постепенно уступает, так что напряжение возрастает в сжатой арматуре, если таковая имеется.

Переменная нагрузка

Чтобы механические характеристики материала, полученные при испытании на растяжение, можно было применять как мерило допустимой нагрузки конструкций, необходимо, чтобы материал при каждой повторной нагрузке выдерживал напряжение, которое он однажды без повреждения выдержал. Это условие не выполняется, если материал подвергается частым повторениям нагрузки и разгрузки, как это, напр., имеет место у балок, нагруженных инерционными силами не полностью уравновешенных машин. При достаточно частом повторении нагрузки конструктивный элемент может быть доведен до разрушения и при напряжении, значительно меньшем, чем прочность материала, определенная обычным статическим испытанием. Явление разрушения этого рода называется разрушением вследствие усталости. Число n циклов нагрузки, которое материал может выдержать, зависит от величины напряжения σ, так что оно тем больше, чем меньше напряжение. Типичный пример этой зависимости показан на рис. 9, из которого видно, что для прочности материала существует нижний предел, который он выдерживает и при произвольно большом числе циклов нагрузки, и который называется динамической прочностью материала. Диаграммы такого рода (рис. 9) называются кривыми Вёйлера.

Рисунок 9.

Безопасность конструкций

Два предельных состояния важны для конструкций: нагрузка, при которой возникают первые необратимые повреждения (предел текучести), и нагрузка, при которой несущая способность конструкции исчерпана, и она разрушается (предел разрушения). Поскольку до предела текучести по крайней мере приблизительно справедливы предпосылки сопротивления материалов (малые перемещения, закон Гука), безопасность по отношению к необратимым деформациям можно надёжно оценить во всех тех случаях, когда удаётся преодолеть математические трудности. Если напряжение пропорционально нагрузке, то отношение напряжения текучести к наибольшему напряжению, возникающему в конструкции, равно отношению между нагрузкой, при которой возникает текучесть, и действительной нагрузкой и представляет коэффициент запаса по текучести. Однако в ряде случаев этой простой зависимости нет: изгиб при исключении растяжения, сжатие между выпуклыми поверхностями, системы с изменяющейся структурой и, что особенно неблагоприятно, изгиб с осевой силой. Во всех этих случаях сравнительно небольшое увеличение нагрузки может привести к значительному увеличению напряжений, и тогда недостаточно применять обычный коэффициент запаса к напряжениям — его нужно применять к нагрузке.

Явления, происходящие после превышения предела текучести до разрушения, в большинстве случаев можно проследить лишь качественно. Если материал пластичен, то части, в которых предел текучести был достигнут раньше всего и которые далее деформируются при постоянном напряжении или при незначительно возрастающем напряжении, мало участвуют в восприятии дальнейшей нагрузки, так что остальные, менее напряженные части конструкции, если это возможно с учетом ее структуры, больше участвуют в несении нагрузки. В этом стремлении к выравниванию пиков напряжений заключен определенный запас прочности, который можно использовать расчетным путем, если остаточная деформация отдельных частей, возникшая при одном лишь значительном нагружении, не является вредной (метод предельной нагрузки).

Если материал хрупкий, первое необратимое повреждение проявляется в трещинах, из-за которых в опасном месте возникает еще более сильная концентрация напряжений, немедленно вызывающая разрушение. Разрушение вследствие усталости и у пластичных материалов имеет характер хрупкого излома.

 Связи между напряжениями для различных секущих плоскостей

Уравнения преобразования

Девять компонент напряжений на рис. 1 связаны тремя условиями равновесия. Шесть оставшихся величин σx, σy, σz τxy, τyz, τzx могут независимо друг от друга принимать произвольные значения, как видно из вывода дифференциальных уравнений теории упругости. Однако, когда эти величины заданы, напряженное состояние в какой-либо точке твердого тела полностью определено, т. е. когда известны напряжения для трех взаимно перпендикулярных плоскостей, можно однозначно определить и напряжение для какой-либо четвертой плоскости, проходящей через данную точку и нормаль которой имеет произвольное направление.

На рис. 10 показан тетраэдр OABC, три стороны которого параллельны плоскостям координатной системы x, y, z, а четвертая представляет собой произвольно ориентированный элемент поверхности ABC = dF. Чтобы обозначить его направление и направление напряжения, передаваемого через него, вводится другая координатная система, ось ξ которой перпендикулярна dF.

Рисунок 10

Условие равновесия сил, действующих на этот тетраэдр в направлении оси ξ, даёт

Если принять во внимание, что

получается

и аналогично этому из условий равновесия в направлении оси η:

Это au уравнения, которые служат для расчета напряжений при преобразовании координат. Особое значение имеет рассмотрение только таких элементов поверхности dF, для которых ξ-ось совпадает с z-осью. Формулы для этого случая можно получить путем упрощения предыдущих формул или непосредственно прочитать из рис. 11:

Рисунок 11

Нормальное напряжение принимает экстремальные значения для направлений α = α0 , для которых dσξ/dα = 0. Дифференцированием из уравнения (16) получается

поэтому, когда это выражение приравнивается к нулю

Напряжение τξη будет одновременно полным касательным напряжением в этих плоскостях, если τyz = τzx = 0. Тогда уравнением (17) определяются два взаимно перпендикулярных направления, для которых: 1. полное касательное напряжение равно нулю и, 2. нормальное напряжение имеет экстремальные значения (максимум и минимум). Эти направления называются направлениями главных напряжений, а соответствующие напряжения — главные напряжения. Они обозначаются как σ1 и σ2 и могут быть вычислены непосредственно по формуле

 Круг Мора

Уравнения (16) можно наглядно представить графически. Для этого их следует преобразовать к виду:

Эти уравнения представляют в системе координат σ, τ параметрическую форму уравнения окружности, изображённой на рис. 12, координаты центра которой σ = 1/2 (σx + σy), τ = 0 и радиус которой

Этот круг называется кругом Мора. Если через точку x провести прямую, параллельную сечению x =const., через которое передаются напряжения σx, τxy, она пересечет круг в точке p, называемой полюсом круга Мора. Каждая прямая pξ, проведенная через этот полюс, пересекает круг в точке ξ, которая определяет напряжения σξ, τξη, передаваемые через сечение, параллельное pξ.

Что касается знака касательных напряжений при построении круга Мора, следует учитывать, что их откладывают вверх, если они имеют направление, показанное на рис. 12c. Следовательно, из двух сопряженных напряжений τxy, τyx одно всегда положительное, а другое отрицательное.

Граничным значениям σ1, σ2 нормальных напряжений соответствуют точки 1 и 2 на круге, а прямые _p_1 и _p_2 задают направления главных напряжений.

Изображение напряжений, лежащих в плоскости x-y, с помощью круга Мора не связано ни с каким предположением о напряжениях σz, τxz, τyz, перпендикулярных этой плоскости.

Рисунок 12

То же самое, следовательно, относится и к наиболее общему трехмерному напряженному состоянию, если сравнивать только те сечения, которые все проходят через одну и ту же прямую, выбранную здесь за ось z и ξ. Поскольку по общим уравнениям преобразования (15) нормальное напряжение σ не может стать бесконечным ни для какой секущей плоскости, оно должно иметь для одной плоскости конечный максимум σ1, а для другой — минимум σ3, причем оба, разумеется, могут быть и отрицательными. Если через векторы σ1 и σ3 провести плоскость и построить круг Мора (рис. 13)

Изображение 13

для напряжений, лежащих в этой плоскости (то есть для всех направлений, перпендикулярных этой плоскости), тогда σ1 и σ3 являются наибольшим и наименьшим нормальными напряжениями, которые могут возникнуть, и, следовательно, должны быть взаимно перпендикулярны. Если направления 1 и 3 дополнить направлением 2, так что эти три направления образуют прямоугольную систему координат, и если построить круги Мора для плоскостей 1 ~2 и 2 ~ 3, то σ2 для одного из этих кругов является наибольшим, а для другого наименьшим нормальным напряжением, и, следовательно, в сечениях, перпендикулярных направлениям 1, 2 и 3, касательное напряжение равно нулю. Три взаимно перпендикулярных нормальных напряжения σ1, σ2 и σ3, которым не соответствуют касательные напряжения, называются главными напряжениями.

    Предел текучести и предел разрушения при пространственном напряженном состоянии

Состояние напряжений называют одно-, дву- или трехмерным, иначе: линейным, плоским или пространственным, в зависимости от того, один, два или все три главных напряжения отличны от нуля. В наиболее часто применяемых конструктивных элементах, то есть в растянутом, сжатом и изогнутом стержне, состояние напряжений, по крайней мере в наиболее напряженных местах, одномерно; то же относится и к испытаниям на растяжение, сжатие или изгиб, которые при испытании материалов почти исключительно применяются для определения допускаемых напряжений. Напротив, в плитах, нагруженных в своей плоскости или перпендикулярно ей, а также в оболочках состояние напряжений является двумерным, а в некоторых случаях возникают и трехмерные состояния напряжений, так что необходимо на основе пределов текучести и разрушения, определенных при одномерном состоянии напряжений, делать выводы о поведении материала в случае пространственного состояния напряжений.