مواد: د موادو مقاومت او د ارتجاع تیوري

بنسټونه

د موادو د مقاومت دنده دا ده چې وټاکي کومې بهرنۍ قواوې یو کلک جسم (لکه وداني، ساختماني برخه یا ځمکه) زغملای شي. د دې پوښتنې د ځواب لپاره له دوو معیارونو څخه کار اخیستل کېږي: له یوې خوا تنشونه باید د موادو له ډول سره تړلې ځینې سرحدونه ونه اوړي، او له بلې خوا د بهرنيو او داخلي قواوو ترمنځ توازن باید باثباته وي. له دې سره سم، د موادو د مقاومت ټولې ستونزې په “د تنش ستونزې” او “د ثبات ستونزې” ویشل کېدای شي.

د ډنډونو او بیمونو او له هغو جوړو شوو وړونکو (جالۍ، چوکاټونه) په حالت کې د تنشونو ټاکنه په دوو پړاوونو کې کېږي، داسې چې لومړی د ورکړل شوو بهرنيو ځواکونو پر بنسټ د داخلي ځواکونو پایله محاسبه کېږي چې د مقطع له لارې لېږدول کېږي، او بیا له دغو «مقطعي ځواکونو» څخه تنشونه ټاکل کېږي. د بهیر لومړۍ برخه یوه ځانګړې او پراخه څانګه جوړوي، یعنې د ودانیزو جوړښتونو استاتیکه، چې خپل پخپل پراخ شوي میتودونه لري او عموماً له د موادو د مقاومت له علم څخه جلا ګڼل کېږي، چې دنده یې د ورکړل شوو مقطعي ځواکونو له مخې د تنشونو ټاکنه ده.

د موادو د مقاومت بنسټیز مفاهیم

د تنش تعریف ته د لاندې بنسټیزو ملاحظاتو له لارې رسېږي. پرېږدو چې پر جسم د بهرنيو قوو د تعادل سیستم اغېز وکړي. تصور وکړو چې موږ جسم په هر ډول مقطع سره په دوو برخو ویشلی دی، او یوه برخه مو له هغو قوو سره یوځای لرې کړې چې پرې عمل کوي؛ نو بیا د دې برخې اغېز پر بله برخه، تر څو د قوو تعادل او د بدلونونو وېش هماغسې پاتې شي، باید د مقطع له سطحې څخه د تېرېدونکو تکمیلي قوو له لارې جبران شي. دا «داخلي» قواوې په دوامداره ډول د مقطع په سطحه وېشل شوې وي، داسې چې د سطحې هر عنصر dF ته قوه dβ ورسره برابره وي. که د dβ/dF نسبت جوړ شي او حدوي انتقال dF -> 0 ترسره شي، نو دا نسبت د حد ارزښت ته نږدې کېږي چې تنش نومېږي. په ټاکلي سطحې عنصر کې تنش، لکه dβ، هم دی او کولای شي په هغو برخو ووېشل شي چې د dF پر نسبت نورمال او تنګیالي وي، یعنې نورمال تنش σ او قصي تنش τ.

که د یوې نقطې له لارې په بېلابېلو لارو قاطعونه تېر شي، نو ورسره به بېلابېل تنشونه هم تړاو ولري. په ځانګړي ډول که له جسم څخه یو عنصري مکعب، چې په شکل 1 کې ښودل شوی، جلا شي، نو د هغه په شپږو سطحو کې به د تنش ویکتور عمل کوي چې د x، y، z مختصاتي محورو په لوري په درې برخو ویشل کېدای شي. پر مقابل سطحو عمل کوونکي تنشونه، البته، یوازې د تفاضل له پلوه، له یو بل سره توپیر لري، نو باید 3 * 3 = 9 د اجزايي تنشونو توپیر وشي، چې په لاندې ډول نښې پرې ایښودل کېږي:

نورمالو تنشونو σ ته د هغه محور اندېکس ورکول کېږي چې په هغه لور پروت وي او که کشش رامنځته کړي مثبت، او که فشار رامنځته کړي منفي ګڼل کېږي. پرېکون تنشونه τ دوه اندېکسونه اخلي؛ لومړی یې د اړوند نورمال تنش له اندېکس سره یو شان وي، او دوهم د هغه محور سره اړه لري چې پرېکون تنش په لور یې عمل کوي. که د اړوند نورمال تنش مثبت لوری د مثبتې (منفي) مختصات‌ييزې محور په لور وي، نو پرېکون تنش هم هغه وخت مثبت ګڼل کېږي چې د مثبتې (منفي) مختصات‌ييزې محور په لور عمل وکړي.

انځور 1.

 د قیني فشارونو همغږي

که د ابتدایي مکعبي لپاره، انځور 1, شرط کېښودل شي چې د ټولو ځواکونو مومېنټ د x محور په نسبت صفر وي، ترلاسه کېږي τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz. له دې ځایه، او د y او z محورو لپاره له دوو ورته معادلو څخه، ترلاسه کېږي چې د ورته اندېکسونو لرونکي قصي تنشونه له یو بل سره برابر دي τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (1)

د اجزاوي بدلونونه

دا چې له مخکې تعریف شوي تنشونه فزیکي مانا لري، د هغو له هغې اړیکې څخه څرګندېږي چې هر جسم د بهرنيو ځواکونو تر اغېز لاندې ورسره مخ کېږي. انځ. 2 یو ابتدایي مکعب ښيي، چې د تغییر تر مخه مستطیل و او د څنډو اوږدوالی یې dx، dy، dz و. د تغییر وروسته د څنډو اوږدوالی کولای شو dx + Δdx، dy, + Δdy، dz + Δdz په توګه وښیو. نسبتونه εx = Δdx|dx، εy =Δdy|dy، εz = Δdz|dz د ډیلټیشنونو په نوم یادیږي. دا بې بعده مقدارونه دي او په ساختماني چارو کې د ټولو هغو موادو لپاره چې د پام وړ دي، د 1 په پرتله کوچني دي. د څنډو د اوږدېدو ترڅنګ، ابتدایي مکعب dx * dy * dz کېدای شي د خپلو اړخونو ترمنځ د پخوا سم کونجونو بدلون هم وزغمي.

انځور 2. مرکب بدلون

فرض کړو چې تر بدلون وروسته د هغو سطحو تر منځ زاویه چې د OC څنډې په اوږدو کې سره نښلي، له سره برابره وي او په ورته ډول د AO څنډې په اوږدو کې د سمې زاویې کمښت γyz او د OB څنډې په اوږدو کې کمښت γzx وي. دا درې زاویوي بدلونونه γxy, γyz, γzx سلایډونه بلل کېږي او همېشه د 1 په پرتله کوچني وي. د شپږو اجزاوو ε او γ په مرسته د عنصر د مکعبي بکس بدلون “په کوچني بدلون” کې په بشپړ ډول ټاکل کېږي. د حجم د عنصر د d_V = dx * dy * dz بدلون ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz دی، له همدې ځایه، کله چې د غځېدنو حاصلضربونه د لوړې درجې کوچنیو مقدارونو په توګه له پامه وغورځول شي، مکعبي غځېدنه ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2) ترلاسه کېږي

خوځښتونه

د جامد جسم بدلېدنه هم په بشپړ ډول داسې تشریح کېدای شي، چې د هغه د هرې نقطې لپاره هغه بدلون وښودل شي چې هغه نقطې تجربه کړی وي. که له څېړنې څخه د محدودو اندازو هغه بدلونونه لرې شي چې د سخت جسم د خوځېدو سره سمون لري، او که اړتیا وي په محاسبه کې متحرک مختصاتو سیستم ومنل شي، نو د جزوي خوځښتونو μ، ν، ω اندازه هم تل کوچنۍ وي، او د هغوی مشتقونه د مختصاتو له مخې د 1 په پرتله واړه وي. د همدې فرض له مخې د شکل 3 له مخې د کرښې د عنصر OA = dx اوږدوالی له بدلېدنې وروسته

نو  (3)

په ورته ډول له شکل 3 څخه ښکاري چې ښویېدنه γxy γ1 + γ2: او همدارنګه

 (4)

انځور 3 لغزش

(5)  (6)

دغه اړیکې د مطابقت شرایط بلل کېږي او څرګندوي چې بدلې شوې عناصر کولی شي د موزاییک په څېر سره یو ځای شي، څو په دې توګه فضا په پرله‌پسې ډول ډکه پاتې شي، چې دا هغه وخت نه شي ترلاسه کېدای که د عناصرو بدلونونه تصادفي وي. د مطابقت شرایط تفاضلي معادلې دي، نو له همدې امله، د هر جلا مکعب لپاره د ټولو شپږو جزوي بدلونونو خپلمنځي خپلواکي، البته، روښانه ده، خو د هغوی ترتیب په هره نهایي خپره شوې ساحه کې د شرایطو (5) او (6) پورې تړلی دی.

ځکه چې دا شرایط د معادلو (3) او (4) له تفریق څخه تر لاسه شوي، د هغوی په استنباط کې د لومړنیو معادلو ځینې اړیکې له منځه ځي. نو ځکه یوازې د دې دوو معادلي سیسټمونو له یوه څخه د یوه پوره کېدل بسنه نه کوي، بلکې که د بدلون همغږي تضمینول غواړي، باید دواړه معادلي سیسټمونه پوره شي.

د ارتجاعیت د سیستم تفاضلي معادلې

د الاستیکو اجسامو لپاره د تنشونو او بدلونونو د محاسبې لپاره لاندې معادلې کارول کېږي:

د حجمي عنصر د تعادل شرایط. دا شرطونه چې د درې واړو محورونو شاوخوا مومنټونه له صفر سره برابر وي، لا دمخه د معادلې (1) د استنباط پر مهال کارول شوي دي. د ځواکونو د تعادل شرطونه د شکل 4 له مخې ښيي

شکل 4

(7a-c)

که X, Y, Z د واحد حجم لپاره د حجمي ځواکونو (لکه وزن، مرکزي ځواک) اجزا په نښه کړي. د تنش او تغییر شکلونو تر منځ اړیکې. له دې څخه د اجزايي تنشونو او اجزايي تغییر شکلونو ترمنځ اړیکه مراد ده. د الاستیسیټي په تیوري کې عموماً یوازې خطي اړیکه په پام کې نیول کېږي، چې د هوک د قانون له مخې څرګندېږي:

(8a-c)

(8d-f)

که معادلې (8a-c) د تنشونو له مخې حل شي، نو ترلاسه کېږي

(8 a)

kso او دوه اړوندې معادلې. د Hooke قانون چې د یوې معادلې (8) په بڼه بیان شوی، کوم سخت پوره کېدونکی طبیعي قانون نه دی، بلکې د واقعي چلند یو ایديالیزه بڼه ده، چې له هغه څخه د موادو او د تنش د اندازې له مخې لږ یا ډېر انحراف کوي. له دې کبله چې د هغو ستونزو د ریاضيکي شننې، چې د تنش او کرنګ ترمنځ پېچلې، غیر خطي اړیکې لري، حل کول له بې‌ساري ډېرو ستونزو سره مخ کوي او په رښتیا یوازې په تر ټولو ساده حالتونو کې عملي کېدای شي، نو د هغو موادو (کانکریټ!) په حالت کې هم چې چلند یې له Hooke له قانون څخه د پام وړ توپیر لري، پر هغه ولاړې محاسبې باید د لومړي، او زیاتره یوازیني اټکلي حل په توګه وکارول شي، چې له دې پرته هم د قاعدې له مخې ډېر ګټور وي او له ساده کیفي لید څخه ډېر زیات بصیرت برابروي. G = E|2 (1+μ).

دا حتمي د تنش او بدلون تر اړیکې (8) څخه، د تنشونو لپاره د بدلون د معادلو (16) څخه او د جزوي بدلونونو لپاره د اړوند معادلو له سیستم څخه راځي. E او G د تنش ابعاد لري او د ټولو ساختماني موادو لپاره د هغو تنشونو σ او τ په پرتله لوی دي چې رامنځته کېدای شي. خو د همدې حقیقت پر بنسټ هغه فرضیه ولاړه ده چې د الاستیسيتي په ټول تیوري کې منل شوې ده، یعنې دا چې بدلونونه کوچني دي. د عرضي توسعې ضریب (د پواسون عدد) μ بې‌بُعده دی او تل د 0 او 1/2 ترمنځ وي.

د جزوي بدلونونو او خوځېدنو ترمنځ اړیکې. دا اړیکې د معادلو (3), (4) په وسیله ورکړل شوې دي. دا په بشپړه توګه هندسي ماهیت لري. دا درې سیستمونه د 3+6+6=15 معادلې د 15 نامعلومو لپاره جوړوي، یعنې د 6 جزوي تنشونو، 6 جزوي بدلونونو او 3 جزوي خوځېدنو لپاره. له همدې امله دا د دغو نامعلومو د ټاکلو لپاره بسیا دي. د دومره پراخ ديفرېنشل معادلو د سیستم ریاضيکي حل، البته، یوازې په ځانګړو مواردو کې ممکن دی. که په معادله (8) کې جزوي بدلونونه د معادلو (3) او (4) له مخې په جزوي خوځېدنو بدل شي او بیا نورمال تنشونه σ او قوسي تنشونه τ، د معادلو (8 d - f) له مخې، د توازن شرایطو ته داخل شي، معادلې (7), نو ديفرېنشل معادلې تر لاسه کېږي چې د الاستیکتوب د تیورۍ بنسټیزې معادلې بلل کېږي.

(9)

چې په کې  د لاپلاس عامل نښه شوې ده. د (2) له مخې دا درې تفاضلي معادلې د درې اجزايي خوځښتونو μ، ν، ω سره دي؛ له دې څخه بیا د (3), (4) او (8) پر بنسټ د تفریق له لارې ټول اجزايي تنشونه او بدلونونه ترلاسه کېدای شي. معادلې (9) ډېر کله د ځانګړو حالاتو د څېړنې لپاره مناسب پیل‌نقطه جوړوي.

د بدلېدنې کار

تعریف

کله چې تکیه بار شي، د بهرنيو ځواکونو د اغېز ټکي الاستیک ځای‌بدلونونه زغمي او ځواکونه په دې ترڅ کې یو څه کار ترسره کوي. په دې توګه راوړل شوې انرژي بېلابېلو بڼو ته اوړېدای شي. که بار ناڅاپه واچول شي، داسې چې د بدلېدنې بهیر د پام وړ چټکتیا ولري، د دې انرژۍ یوه برخه په کینیتیکي انرژۍ اوړي، چې د وخت په تېرېدو سره ورکېږي؛ یا خو داسې چې د الاستیک څپې په توګه ځمکې ته لېږدول کېږي او هلته په بې‌نهایت کې له منځه ځي، او یا دا چې د داخلي رګښت له لارې په تودوخې بدلېږي. که بارونه دومره ورو واچول شي چې په دې ترڅ کې د کینیتیکي انرژۍ د پام وړ زیاتوالی رامنځته نه شي، یعنې هغه بارونه چې له صفره په تدریجي ډول لوړېږي او له داخلي ځواکونو سره په پرله‌پسې توازن کې وي، انرژي په ښکاره ډول یوازې د جسم د بدلېدو لپاره لګېږي او هغه مهال ورته د بدلېدو کار ویل کېږي.

د بدلون د کار محاسبه به لومړی د هغې وړې برخې پر بنسټ وښیو چې په یوه لوري کې د کشش تر بار لاندې ده (انځور 5).

فرض کړو چې موجود فشار σ او اړونده غځېدنه ε د dσ او dε زیاتوالیونه وزغمي. نو هغه ځواک σdF چې د dε * dl په لاره حرکت کوي، کار σdF * dεdl = σdεdV ترسره کوي، که dV د کوچنۍ برخې حجم وبلل شي. که فشار له صفره تر خپل وروستي ارزښت پورې لوړېږي او غځېدنه هم له 0 څخه تر ε پورې د همدې مطابق وي، نو په واحد حجم باندې ترسره شوی ټول کار به وي:

همدارنګه د هغه عنصر لپاره چې د قینشي تنش τ تر اغېز لاندې وي (شکل 6) د واحد حجم لپاره د بدلېدنې کار (ځانګړی بدلېدنی کار، ارتجاعي پوتنسیال):

په دې ترڅ کې یوازې د څلورو قواؤ څخه یوه، τ * dF، کار ترسره کوي.

په عمومي حالت کې، کله چې پر یو ابتدايي کوچني عنصر د فشار شپږ واړه جزئي مؤلفې اغېز وکړي، نو ځانګړی د بدلون کار د هماغو جزئي مؤلفو د کارونو په جمع کولو سره تر لاسه کېږي:

(10)

د دغو هر یوه انتگرال د پورنۍ حد له مخې د مشتق اخیستلو په نتیجه کې هغه اړیکې ترلاسه کېږي چې په تر ټولو عمومي حالت کې هم پلي کېږي:

(11)

او همداسې د نورو مؤلفه بدلونونو لپاره. که جسم الاستیک وي، هر ټاکلي تنشي حالت ته تل د بدلون هماغه یو حالت ورسره تړاو لري، پرته له دې چې حالت د بارولو پر مهال ترلاسه شوی وي که د بار کمولو پر مهال. په دې حالت کې د انتګرالونو لاندې یوه‌مانیزې دندې ځای لري او د بارولو او بیا بشپړ بار کمولو پر مهال مصرف شوې ټوله انرژي a = 0 ده، ځکه چې په دې حالت کې د انتګرالونو پورته حدونه صفر کېږي. له دې امله هغه ټوله انرژي چې جسم ته د بارولو پر مهال ورکړل شوې وي، د بار کمولو پر مهال بېرته ترلاسه کېږي.

انځور 6

شکل 7

د نیم‌الاستیک جسم لپاره د تنش او تغییرشکل ترمنځ اړیکه د ټول بار اچولو او بې‌باره کولو د دورې لپاره نږدې په هغه بڼه ده چې په sl. 7 کرښو O A B. کې ښودل شوې ده. هغه انرژي چې د بار اچولو پر مهال ورسېږي د ساحې OAA, سره برابره ده، او هغه انرژي چې د بې‌بارولو پر مهال بېرته ستنېږي د ساحې ABA, سره برابره ده، نو له همدې امله هغه کار له منځه ځي (تودوخې ته اوړي) چې له هاشور شوې ساحې سره برابر دی. که په نوساني بهیر کې تنش په دوره‌يي ډول د مثبت حد ارزښت او د منفي حد ارزښت ترمنځ بدلېږي، نو غیرالاستیک تغییرشکل د هماغه په څېر روان وي لکه څنګه چې په sl. 7 کې په پرېکنده کرښو ښودل شوي، او د هرې نوسان دورې پر مهال په هر واحد حجم کې انرژي DABCD تودوخې ته اوړي. د تغییرشکل دا ډول چلند، چې پکې تغییرشکل له تنش څخه وروسته پاتې کېږي، الاستیک هستیریسس بلل کېږي، او منحني DABCD د هستیریسس کړۍ بلل کېږي.

بدلېدنی کار او د هوک قانون

که په معادله (10) کې د هوک قانون په انتګرالونو کې داخل شي، نو انتګرال اخیستل کېدای شي، او د ځانګړي بدلېدونکي کار لپاره لاندې څرګندونې ترلاسه کېږي:

(12a)

(12b)

(12c)

که د دې بڼو دوهمه بڼه په معادله (11) کې واچول شي، بیا د هوک قانون، معادلې (8), د تنشونو له مخې حل شوي بڼه ترلاسه کېږي. دا څرګندونه چې د بدلون کار د اجزاوي بدلونونو پورې تړاو لري، لکه څنګه چې په معادله (12b) کې ښودل شوې، نو له همدې امله د هوک له قانون سره معادله ده. کله چې معادله (12c) د تنشونو له مخې مشتقه شي، ترلاسه کېږي

(13)

دا فورمې، د فورمو (11) برعکس، یوازې د هغو جسمونو لپاره اعتبار لري چې د هوک له قانون سره سم چلند کوي او هغه مهال نه شي تطبیقېدای کله چې د تنشونو او بدلونونو تر منځ اړیکې بل ډول وي. څرګنده ده چې د معادلو (13) په ښي اړخ کې یوازې هغه مرکبي بدلونونه ځای لري چې د تنشونو له امله رامنځته شوي وي، او نور ټول هغه بدلونونه چې ښايي د تودوخې د بدلون، کریپ، پړسېدو، بیاکریسټالېزېشن، او داسې نورو له امله رامنځته شوي وي، له پامه غورځول کېږي.

د الاستیکیت په تیوري کې بشپړتیايي مفاهیم

مجازي جابه‌جايۍ. د پوتنشیل انرژۍ د لږوالي اصل

لکه څنګه چې د هوک قانون، معادلې (8) په یوه معادله (12b) سره بدلېدای شي، همدارنګه د توازن د شرایطو پر ځای د مجازي لېږدونو اصل هم د میخانیک عمومي باوري بنسټیز قانون په توګه راوړل کېدای شي. دا قانون څرګندوي چې د توازن حالتونه په دې ځانګړتیا سره پېژندل کېږي چې پکې د حالت د وړو بدلونونو په مهال د ټولو ځواکونو ټول ترسره شوی کار له صفر سره برابر وي. که د الاستیک لېږدونو وړې بدلونونه δμ δν, δω په نښه کړو، نو د حجمي ځواکونو له خوا چې په معادله (7) تعریف شوي دي، مجازي کار تر سره کېږي

او سطحي قواوې px, py, pz چې د بدن د بهرني سطحې د dF عنصر پر برخه عمل کوي کار 

چې درې‌ګوني انتګرال د ټول حجم لپاره او دوه‌ګوني د جسم د ټولې بهرنۍ سطحې لپاره دی. د هغو کارونو د محاسبې لپاره چې داخلي قواوې یې ترسره کوي، د (12b) معادله کارول کېږي، نو د حجم د هر واحد لپاره کار ترلاسه کېږي

د مجازي خوځښتونو اصل پر دې بنسټ ورکوي

(14)

که X، Y، Z بارونه px، py.، pz د ثقل قوې د اجزاوو په توګه وپېژندل شي (خپله وزن او بهرنۍ بارونه)، نو په ښي اړخ کې انټیګرالونه هغه احتمالي انرژي ښيي چې دغو بارونو له لاسه ورکړې، حال دا چې چپه اړخ د جسم د احتمالي (الاستيکي) انرژۍ زیاتوالی ښيي، نو دا اصل څرګندوي چې د وړونکي او پر هغه پروت بارونو ټول احتمالي انرژي د تعادل په حالت کې یوه افراطي ارزښت لري. که دا افراطي ارزښت لږ تر لږه وي، تعادل باثباته وي.

د احتمالي انرژۍ د لږوالي اصل چې د معادلې (14) په وسیله څرګند شوی، د بدلون د کار لپاره عبارت (12b)، د بدلونونو د تطابق شرطونه (5), (6) د معادلو داسې سیستم جوړوي چې د الاستیسيتي د تیورۍ د جوړولو لپاره بسنه کوي، او په بنسټیز ډول د معادلو له سیستم سره معادل دی. دا سیستم په ځانګړي ډول هغه وخت ګټور وي کله چې د تفاضلي معادلو (9) پوره کول محاسباتي ستونزې رامنځته کړي، او له همدې امله باید نږدې حل ولټول شي؛ د بېلګې په توګه، د خوځښتونو لپاره له مخکې یو مناسب فرضي بڼه ټاکل کېږي چې څو ازاد ثابتونه ولري، او بیا دا ثابتونه د دې غوښتنې له مخې ټاکل کېږي چې معادله (14) پوره شي. په دې توګه البته د ستونزې دقیق حل نه ترلاسه کېږي، بلکې یوازې تر ټولو ښه نږدې‌والی ترلاسه کېږي چې له ټاکل شوې حل‌لارې سره شونی وي. دا چې دغه نږدې‌والی بسیا دی که نه، تر ټولو مخکې د منل شوې حل بڼې پورې اړه لري، او د دې طریقې بریالۍ کارونه له همدې امله مهارت او تجربه غواړي.

د کاستیلیانو اصل

په داسې حال کې چې د احتمالي انرژۍ د لږ تر لږه اصل له مخې د بدلون ټول هغه حالتونه پرتله کېږي چې د بدلون د مطابقت شرایط پوره کوي او له هغو څخه هغه حالتونه بېلول کېږي چې ورسره مناسب تنشونه د توازن شرایط پوره کوي، د کستیلیانو د اصل له مخې د تنش ټول هغه حالتونه پرتله کېږي چې د توازن شرایط پوره کوي او له هغو څخه هغه حالتونه بېلول کېږي چې ورسره مناسب بدلونونه د بدلون د مطابقت شرایط پوره کوي. دا اصل داسې دی: له ټولو ممکنه توازني حالاتو څخه په عمل کې هغه حالت رامنځته کېږي چې لږ تر لږه بدلونیز کار ورسره تړلی وي. د کستیلیانو اصل له معادلې (12c) سره د بدلونیز کار لپاره او د توازن شرایطو سره یوځای د معادلو یو سیستم جوړوي چې د موادو د مقاومت د جوړولو لپاره بسیا دی. له دې کبله چې دا اصل د هوک قانون رانغاړي، د هغې د کارونې امکان د دې انګېرنې سره تړلی دی چې بدلونونه په بشپړ ډول د همدې قانون له مخې تشریح کېدای شي. دا نه یوازې د موادو خطي ارتجاعي چلند ته اړتیا لري، بلکې د تودوخې بدلونونه هم ردوي.

د الاستيک حدودو څخه پورته د موادو چلند

د استاتیکي بار لاندې پېښې

د تنش تر اغېز لاندې د موادو بدلون یوه ډېره پېچلې پدیده ده، نو باید د بېلابېلو لورو له پلوه ساده شي تر څو درک کېدلی شي. د دغو ساده‌ګېرونو څخه یو دا انګېرنه ده چې بارونه په تدریجي ډول واردېږي، لکه څنګه چې، د بېلګې په توګه، د کشش او فشار په ازموینو کې له نمونو سره ترسره کېږي.

که د کشش تر اغېز لاندې د فولادو یوه ميله په داسې بار کې واچول شي چې په تدریجي ډول لوړېږي او د هغې اوږدېدل ε اندازه شي، نو د انځ. 8 ښودل شوی ډیاګرام تر لاسه کېږي. په پیل کې اوږدېدل ډېر کم وي او له فشار سره متناسب وي، لکه څنګه چې د هوک قانون غوښتنه کوي. له یوې ټاکلې فشار څخه وروسته تناسب پای ته رسېږي او اوږدېدل چټک لوړېږي. د دې تناسب د سرحد دقیق ځای په سختۍ سره ټاکل کېدای شي. څومره چې اندازه‌ګیري دقیقه وي، همغومره دا حد ټیټ راځي. د ډېرو موادو لپاره دا په σ = 0 کې وي، او د هوک قانون بیا یوازې د ارتجاعي چلند لومړنی تقریب ګڼل کېږي، یعنې د ε = ε (σ) د دندې د ټیلر لړۍ لومړنی غړی د مختصاتو د پیل په شاوخوا کې.

که میله له بار څخه خلاصه شي، ښکاري چې کله فشار ډېر لوی نه وي، بدلون هم له منځه ځي، د هوک د قانون له مخې. خو دا هم بدلېږي که یو ټاکلی فشار، چې د تناسب له حد سره نږدې وي، تر پښو لاندې شي، چې ورته د الاستیکیت حد ویل کېږي؛ په دې حالت کې ټول بدلون له الاستیک (بېرته راګرځېدونکي) او نه‌الاستیک (دایمي) برخې څخه جوړ وي. د الاستیکیت حد هم په دقت سره نه شي ټاکل کېدای، او هر څومره چې د اندازه‌ګیرۍ دقت زیات وي، هماغومره دا حد ښکته وي. خو ځکه چې دا لوی تخنیکي اهمیت لري، ځکه د موادو د مقاومت په نږدې ټولو محاسبو کې د اعتبار حد جوړوي، او په عین حال کې هغه حد دی چې لومړني دایمي زیانونه پکې رامنځته کېږي، نو د نمونو د ازموینې لپاره په کلکه د یوې منل شوې قاعدې له مخې تعریفېږي، او مثلاً د 0.2% حد په توګه هغه فشار ښودل کېږي چې پکې دایمي اوږدېدنه 0.2% ته رسېږي.

د الاستیک حد له اوښتو سمدستي وروسته، بدلون په ناڅاپي ډول لوړېږي او په لوڅه سترګه لیدل کېدای شي؛ د نږدې ثابت فشار په حالت کې میله په پرله‌پسې ډول اوږدېږي. دې فشار ته د تسلیم حد ویل کېږي. په هیدرولیکي ماشینونو کې د موادو د ازموینې پر مهال تر تسلیم پیل وروسته د فشار لږ یا ډېر څرګند کمښت هم لیدل کېدای شي؛ لکه څنګه چې په انځور 8 کې د پرېکنده کرښې له مخې ښودل شوي؛ په دې حالت کې اعظمي ارزښت ته د تسلیم پورته حد ویل کېږي، او هغه ثابت تسلیم فشار چې وروسته راځي د تسلیم ښکته حد دی.

کله چې یوه ټاکلې غځېدنه ترلاسه شي، چې نږدې په بشپړه توګه غیرالاستیکه وي، تنش بیا په لوړېدو پیل کوي او مواد کلکېږي. په دې بارونې ساحه کې د میلې د مقطعې د ساحې د پام وړ کموالی د (غیرالاستیکې) اړخیزې انقباض له امله رامنځته کېږي، او د تنش او بدلېدنې د نمودار نور بهیر تر لومړي سر پورې په دې پورې تړلی وي چې د تنش σ د محاسبې پر مهال د کشش ځواک P چې په میله عمل کوي، د لومړنۍ مقطعې F0 له مخې وویشل شي او که د اوسنۍ مقطعې F له مخې. د تخنیکي موخو لپاره د P|F0 تنش مهم دی. دا تنش تر هغه اعظمي کچې رسېږي چې د موادو ځواک بلل کېږي او کله چې دا اعظمي حد تېر شي، میله په یوه ځای کې سخت تنګېږي او شلېږي. “اصلي تنش” P|F تر ماتېدو پورې لوړېږي.

شکل 8.

د نورو فلزاتو چلند له ډېرې برخې له هغه څه څخه توپیر لري چې دلته تشریح شوی دی. تسلیم کېدل اکثره څرګند نه وي، او کلک کېدل سمدستي د ارتجاع حد له اوښتو وروسته پیلېږي. په کري موادو (ډبره، ښیښه، کانکریټ) کې غیرالاستیک بدلونونه عموماً لږ وي او لا د لږې غځېدنې سره ماتې رامنځته کېږي. هغه ټولیزه غځېدنه چې مواد یې تر ماتېدو پورې زغمي، د موادو د غځېدونکې‌توب (برعکس: تردوالي) اندازه ده، او دا د فولاد لپاره په تخنیکي شرایطو کې په دقت سره ټاکل کېږي. خو، ځکه چې د ماتېدو تر مخه وروستۍ بدلېدنه د مقطع د تنګې شوې سیمې شاوخوا ځایونو ته راټولېږي، د ماتېدو پر مهال د غځېدنې بېلابېل ارزښتونه ترلاسه کېږي، د دې له مخې چې د اندازه کولو اوږدوالي لپاره د میلې لویه یا کوچنۍ برخه اخیستل کېږي، نو د یو مانا لرونکو او سره د پرتله کېدونکو پایلو لپاره باید له مخکې یوه ځانګړې قاعده ومنل شي. د ماتېدو غځېدنه عموماً داسې اندازه کېږي چې په یو ګرد میله کې د قطر d د ازموینې نه مخکې اندازه کولو اوږدوالی Ι = 10 d نښه شي او له هغې د اوږدېدو ΔΙ څخه د ماتېدو غځېدنه εs_Ι = ΔΙ|Ι محاسبه شي._ که اړتیا وي چې د بېلابېل مقطع لرونکي میلې وازمویل شي، د اندازه کولو اوږدوالی د داسې ګرد سلنډري میلې د قطر له مخې ټاکل کېږي چې د مقطع هماغه سطحه ولري.

اوږدمهاله بار

د کش ازموینې د بهیر لپاره دا تقریباً مهمه نه ده چې بار تر ماتېدو پورې په جریان کې 10 m دقیقې یا څو ساعتونه لوړېږي. خو که بار کلونه یا لسګونه کاله اغېز وکړي، د ځینو شرایطو لاندې لیدل کېږي چې د تسلیمۍ له حد څخه هم ښکته، د ثابت تنش تر اغېز لاندې د وخت په تېرېدو بدشکل کېدل لږ لږ زیاتېږي. په دې کې ارتجاعي برخه، یعنې هغه برخه چې په وروستي بې‌بارۍ سره له منځه ځي، د پام وړ نه بدلېږي. د دې غیرارتجاعي بدشکل کېدو دا زیاتوالی چې د اوږدې مودې په ترڅ کې رامنځته کېږي، خزش بلل کېږي. په فلزاتو کې، له سرب پرته، خزش یوازې په لوړو تودوخونو کې مهم دی؛ خو د ساختماني انجنیر لپاره دا په کانکریټ کې رول لري، ځکه کانکریټ د فشار لاندې لږ څه ښویېږي، نو تنش په فشاریدلې آرماتور کې لوړېږي، که هغه موجوده وي.

متغیر بار

تر څو د موادو میخانیکي ځانګړنې، چې د کشش په ازموینه کې ترلاسه شوي، د جوړښتونو د جواز وړ بار د اندازې په توګه وکارول شي، شرط دا دی چې مواد په هر بیا بارولو کې هغه تنش وزغمي چې یو ځل یې بې له زیانه زغملی و. دا شرط هغه وخت نه پوره کېږي چې مواد د بارولو او بې‌باره کولو د پرله‌پسې تکرار لاندې وي، لکه د بېلګې په توګه د هغو تکیه‌کوونکو په حالت کې چې د بشپړ نه‌متوازنو ماشینونو له لوري په عطالي قوو بارول کېږي. د بار د کافي پرله‌پسې تکرار په وسیله ساختماني برخه آن په هغه تنش کې هم تر ماتېدو رسول کېدای شي چې د عادي استاتیکي ازموینې له مخې ټاکل شوي د موادو له مقاومت څخه ډېر ټیټ وي. د دې ډول ماتېدو پېښه ته د ستړیا له امله ماتېدل ویل کېږي. د بارولو د هغو n دورو شمېر چې مواد یې زغملای شي، د تنش σ له کچې سره تړاو لري، نو هرڅومره چې تنش کم وي، همغومره n ډېر وي. د دې تړاو یو عادي مثال په شکل 9 کې ښودل شوی، له هغه څخه ښکاري چې د موادو د مقاومت لپاره یوه ټیټه پوله شته، چې مواد یې آن د بارولو د دورو په هر شمېر کې هم زغمي او چې ډینامیکي دایمي مقاومت بلل کېږي. د دې ډول ډیاګرامونه (شکل 9) د ووهلر منحني بلل کېږي.

شکل 9.

د جوړښتونو خوندیتوب

د جوړښتونو لپاره دوه حدّي بارونه مهم دي: هغه بار چې پکې لومړۍ دایمي زیانونه رامنځته کېږي (د تسلیم حد)، او هغه بار چې پکې د جوړښت وړتیا بشپړه پای ته رسېږي او ماتېږي (د ماتېدو حد). ځکه چې د تسلیم له حد څخه مخکې لږ تر لږه په نږدې ډول د موادو د مقاومت فرضیې (وړې خوځښتونه، د هوک قانون) پلي کېږي، د دایمي بدلونونو پر وړاندې خوندي‌والی په هغو ټولو حالاتو کې په باور وړ ډول اټکل کېدای شي چې پکې د ریاضي ستونزې حلول ممکن شي. که تنش له بار سره متناسب وي، نو د تسلیم د تنش نسبت تر هغه اعظمي تنش پورې چې په جوړښت کې راڅرګندېږي، د تسلیم د رامنځته کېدو د بار او حقیقي بار له نسبت سره برابر وي او د تسلیم پر وړاندې د خوندیتوب ضریب جوړوي. خو په یو شمېر حالاتو کې دا ساده اړیکه نه شته: کږېدل کله چې کشش نه وي، د برآمده سطحو ترمنځ فشار، هغه سیستمونه چې جوړښت یې بدلېدونکی وي او، چې په ځانګړي ډول نامناسب دی، د محوري قوې سره کږېدل. په دغو ټولو حالاتو کې د بار نسبي لږ زیاتوالی کولای شي د تنش لوی زیاتوالی رامنځته کړي، او بیا دا کافي نه ده چې عادي خوندیتوب ضریب پر تنشونو ولګول شي، بلکې باید پر بار ولګول شي.

هغه پېښې چې د بهېدو له حد څخه تر ماتېدو پورې وروسته راپېښېږي، په ډېرو حالاتو کې یوازې په کیفي ډول تعقیبېدای شي. که مواد کشېدونکي وي، هغه برخې چې په لومړي سر کې د بهېدو حد ته رسېږي، او چې بیا د ثابت یا لږ زیاتېدونکي فشار لاندې نور هم شکل بدلېږي، د لا نورو بارونو په اخیستو کې لږه برخه اخلي، نو د جوړښت نورې، لږ تر فشار لاندې برخې که د هغې د جوړښت له مخې ممکن وي، په بار وړلو کې ډېرې برخه اخلي. د فشار د څوکو د یو شان کولو په دې تمایل کې د خونديتوب یوه ځانګړې زېرمه نغښتې ده، چې محاسبوي ډول کارېدلی شي که د ځینو برخو دایمي تغییر، چې د یوازې یوه درانه بارونې پر مهال رامنځته شوی وي، زیانمن نه وي (د حد بارونې طریقه).

که مواد کلک او ماتوونکی وي، لومړنی دایمي زیان په درزونو کې ښکاره کېږي، چې له امله یې په زیانمنه سیمه کې د تنش لا زیات تمرکز رامنځته کېږي او سمدستي ماتې ته لاره هواروي. د ستړیا له امله ماتېدنه، حتا په کش کېدونکو موادو کې هم، د ماتېدونکي ماتېدو ځانګړنې لري.

 د بېلابېلو مقطعي سطحو لپاره د تنشونو ترمنځ اړیکې

د بدلون معادلې

په شکل 1 کې د نهو مؤلفوي تنشونو اړیکه د توازن له درې شرایطو سره ښودل شوې ده. پاتې شپږ کمیتونه σx, σy, σz τxy, τyz, τzx کولای شي، له یو بل څخه په خپلواک ډول، هر ډول ارزښتونه واخلي، لکه څنګه چې د الاستیسيتي د تفاضلي معادلو له استنتاجه څرګندېږي. خو کله چې دغه ارزښتونه ورکړل شي، په جامد جسم کې د یوې نقطې د تنش حالت په بشپړه توګه ټاکل کېږي، یعنې کله چې د یو بل پر عمود درې سطحو لپاره تنشونه معلوم وي، نو د هماغې نقطې څخه تېرېدونکې او د هر ډول جهت نورمال لرونکې څلورمې سطحې لپاره هم تنش په یکتاو ډول معلومېدای شي.

په شکل 10 کې ټيټراهېډر OABC ښودل شوی چې درې اړخونه یې د x, y, z د مختصاتو د سیستم له سطحو سره موازي دي او څلورم یې د سطحې ABC = dF یو هر ډول جهت لرونکی عنصر ښيي. د دې د جهت او د هغه د لارې لېږدول کېدونکي فشار د جهت د ښودلو لپاره، یو بل مختصاتي سیستم معرفي کېږي چې د ξ محور یې پر dF عمود وي.

انځور 10

په ξ محور د دې ټېټراهېدرون پر لور د عمل کوونکو قوتونو د توازن شرط داسې راکوي

که په پام کې ونیول شي چې

ترلاسه کېږي

او ورته له همدې ډول د η محور په لوري د تعادل له شرایطو څخه:

دا هغه معادلې دي چې د مختصاتو د بدلون پر مهال د تنش د محاسبې لپاره کارېږي. ځانګړی اهمیت دا دی چې یوازې هغه ډول د سطحې عناصر dF وکتل شي چې د ξ-محور له z-محور سره برابر شي. د دې حالت بڼې کولای شو د مخکینیو بڼو په ساده کولو سره ترلاسه کړو یا یې نېغ په نېغه له شکل 11 څخه ولولو:

انځور 11

نورمال فشار د α = α0 لوریو لپاره تر ټولو لوړې او ټیټې ارزښتونه اخلي، چې د dσξ/dα = 0 وي. د مشتق په اخيستلو سره له معادلې (16) څخه ترلاسه کېږي

نو، کله چې دا عبارت له صفر سره مساوي شي

تنش τξη به په عین حال کې په دې سطحو کې ټول پرېکوونکی تنش وي، که τyz = τzx = 0. نو د معادلې (17) له مخې دوه متقابل عمودي لوري ټاکل کېږي، چې له مخې یې: 1. ټول پرېکوونکی تنش صفر وي او، 2. نورمال تنش تر ټولو لوړې او ټیټې ارزښتونه لري. دې لورو ته د اصلي تنشونو لوري ویل کېږي، او اړوند تنشونه اصلي تنشونه دي. هغوی د σ1 او σ2 په نښو ښودل کېږي او له فورمول څخه په مستقیم ډول محاسبه کېدای شي

 Mohr-ov circle

معادلې (16) په ښکاره ډول په ګرافیکي توګه ښودل کېدای شي. د دې لپاره باید هغوی په لاندې بڼه واړول شي:

دا معادلې په مختصاتو سیستم σ، τ کې د کړۍ د معادلې پارامېټري بڼه ښيي، چې په انځور 12 کې رسم شوې ده، او د مرکز مختصات یې σ = 1/2 (σx + σy)، τ = 0 دي او شعاع یې

دې دایرې ته د Mohr دایره ویل کېږي. که د x له ټکي څخه د x =const. پرېکون/مقطع سره موازي یوه کرښه رسمه شي، چې له لارې یې σx، τxy تنشونه لېږدول کېږي، نو دا به د دایرې په p ټکي کې پرې کړي، چې د Mohr دایرې قطب بلل کېږي. هره pξ کرښه چې له دې قطبه تېره شوې وي، دایره په ξ ټکي کې پرې کوي، چې σξ، τξη تنشونه ټاکي او د pξ سره موازي مقطع له لارې لېږدول کېږي.

د Mohr د دایرې د رسمولو پر مهال د څېړندو تنشونو د نښې په اړه باید پام وشي چې که د هغوی جهت د شکل 12c کې ښودل شوی وي، نو پورته لوري ته نښلول کېږي. له همدې امله له دوو متقابلو تنشونو τxy، τyx څخه یو تل مثبت او بل منفي وي.

د نورمال تنشونو د حد ارزښتونو σ1, σ2 ته په کړۍ کې د 1 او 2 ټکي اړوند دي، او کرښې _p_1 او _p_2 د اصلي تنشونو لوري ښيي.

د x-y په سطحه کې د موجودو تنشونو ښودنه د Mahr د دایرې په وسیله له هېڅ ډول فرضیې سره د σz، τxz، τyz په هغو تنشونو پورې تړاو نه لري چې دې سطحې ته عمودي دي.

شکل 12

همدا پر تر ټولو عمومي درې‌بعدي تنش حالت هم صادق دی، که یوازې هغه مقطع الوتکې سره پرتله شي چې ټولې له یوې او هماغې کرښې څخه تېرېږي، کومه چې دلته د z او ξ محور په توګه ټاکل شوې ده. ځکه چې د بدلون د عمومي معادلو (15) له مخې نورمال تنش σ په هېڅ مقطع الوتکه کې نه شي بې‌نهایته کېدای، نو باید د یوې الوتکې لپاره د هغې اعظمي محدوده σ1، او د بلې لپاره لږه σ3 ولري، چې دواړه، البته، منفي هم کېدای شي. که د σ1 او σ3 ویکتورونو له لارې الوتکه تېره او موهر کړۍ (شکل 13) رسم شي

انځور 13

د هغو تنشونو لپاره چې په دې الوتکه کې پراته وي (یعنې ټول هغه جهتونه چې دې الوتکې ته عمودي وي)، نو σ1 او σ3 تر ټولو لوی او تر ټولو کوچني نورمال تنشونه دي چې رامنځته کېدای شي او له همدې امله باید یو د بل پر وړاندې عمودي وي. که د 1 او 3 جهتونه د 2 جهت په اضافه کولو بشپړ شي، څو دغه درې جهتونه یو مستطیل‌زاویه مختصات سیستم جوړ کړي، او که د 1 ~2 او 2 ~ 3 الوتکو لپاره د ماهر کړۍ رسم شي، نو σ2 د دغو کړیو له یوې لپاره تر ټولو لوی او د بلې لپاره تر ټولو کوچنی نورمال تنش دی، او له همدې امله په هغو پرېکړو کې چې د 1، 2 او 3 جهتونو ته عمودي وي، پرېکنده تنش صفر ته رسېږي. درې متقابل عمودي نورمال تنشونه σ1، σ2 او σ3، چې ورسره پرېکنده تنشونه نه وي، اصلي تنشونه بلل کېږي.

    د بهېدنې حد او د ورانېدو حد د فضايي تنش په حالت کې

د تنش حالت واحد-، دوه- یا درې‌بعدي بلل کېږي، په بل عبارت: خطي، سطحي یا فضايي، د دې له مخې چې آیا یو، دوه یا ټول درې اصلي تنشونه له صفر سره برابر نه وي. د هغو ساختماني عناصرو په حالت کې چې تر ټولو ډېر کارول کېږي، یعنې د کشش، فشار او کږېدو تر اغېز لاندې میلو کې، د تنش حالت، لږ تر لږه په تر ټولو ډېر بارمنو ځایونو کې، یو‌بعدي وي؛ همدارنګه د کشش، فشار یا کږېدو ازموینو په حالت کې هم داسې وي، چې د موادو د ازموینې پر مهال نږدې یوازې د اجازه شوو تنشونو د ټاکلو لپاره کارول کېږي. برعکس، د هغو تختو په حالت کې چې په خپل پلان کې یا پرې عمودي بارول شوې وي، او همدارنګه په شیلونو کې، د تنش حالت دوه‌بعدي وي، او په ځینو مواردو کې درې‌بعدي تنشي حالتونه هم څرګندېږي، نو اړینه ده چې د یو‌بعدي تنشي حالت پر مهال ټاکل شوې د تسلیمېدو او ماتېدو له پولې څخه د فضايي تنشي حالت په صورت کې د موادو د چلند په اړه پایلې واخیستل شي.