Materialoj: Rezisto de materialoj kaj teorio de elasteco

Bazoj

La tasko de materialrezisto estas determini, kiujn eksterajn fortojn povas elporti solida korpo (ekz., konstruaĵo, konstrua parto aŭ grundo). Por respondi tiun demandon oni eliras el du kriterioj: unuflanke la streĉoj ne devas superi certajn limojn, kiuj dependas de la tipo de materialo, kaj aliflanke la ekvilibro inter eksteraj kaj internaj fortoj devas esti stabila. Konforme al tio, ĉiuj problemoj de materialrezisto povas esti dividitaj en “Problemojn de streĉo” kaj “problemojn de stabileco.”

Ĉe stangoj kaj traboj kaj ĉe el ili kunmetitaj portaj elementoj (herniŝoj, kadroj) la determino de streĉoj efektiviĝas en du paŝoj, nome tiel, ke unue surbaze de la donitaj eksteraj fortoj oni kalkulas la rezultanton de la internaj fortoj transdonataj tra la transversa sekco, kaj poste el tiuj “sekcaj fortoj” oni determinas la streĉojn. La unua parto de la procedo prezentas apartan, ampleksan disciplinon, statikon de konstruaĵaj strukturoj, kiu havas ellaboritajn proprajn metodojn kaj kiu ordinare estas apartigita de la rezisto de materialoj, kies tasko reduktiĝas al determinado de streĉoj el donitaj sekcaj fortoj.

Bazaj nocioj pri la rezisto de materialoj

La difino de streĉo atingeblas per la sekvaj bazaj konsideroj. Supozu, ke sur la korpon agas ekvilibra sistemo de eksteraj fortoj. Ni imagu, ke ni dividis la korpon per arbitra sekco en du partojn, kaj ke ni forigis unu el ili kune kun la fortoj, kiuj agas sur ĝin; tiam ĝia ago sur la alian parton, por ke la ekvilibro de fortoj kaj la aranĝo de deformoj restu senŝanĝaj, devas esti anstataŭigita per aldonaĵoj fortoj, kiuj transdoniĝas tra la surfaco de la sekco. Ĉi tiuj »internaj« fortoj estas kontinue distribuitaj laŭ la surfaco de la sekco, tiel ke al ĉiu elemento de la surfaco dF respondas forto dβ. Se oni formas la rilatumon dβ dF kaj faras la limtransiron dF -> 0, tiam ĉi tiu rilatumo tendencas al la limvaloro, kiu nomiĝas streĉo. La streĉo en difinita surfaca elemento estas, kiel dβ, kaj povas esti disigita je komponantoj normalaj kaj tangentaj al dF, normala streĉo σ kaj tonda streĉo τ.

Se tra la sama punkto oni kondukas sekciojn en malsamaj direktoj, al ili respondos ankaŭ malsamaj streĉoj. Precipe se el la korpo oni elprenas elementan kubon, montritan en fig. 1, en ĉiu el ĝiaj ses surfacoj agos streĉa vektoro, kiu povas esti disigita en tri komponantojn laŭ la direktoj de la koordinataj aksoj x, y, z. La streĉoj, kiuj agas sur la kontraŭaj flankoj de la surfaco, diferencas inter si, kompreneble, nur je diferencialo, do oni devas distingi 3 * 3 = 9 komponantajn streĉojn, kiuj estas markataj jene:

Al la normalaj streĉoj σ oni donas la indeksan signon de la akso, en kies direkto ili kuŝas, kaj oni konsideras ilin pozitivaj se ili kaŭzas streĉon, negativaj se ili kaŭzas premon. La tondstreĉoj τ ricevas du indeksojn, la unua el ili estas sama kiel la indekso de la koncerna normala streĉo, kaj la dua rilatas al la akso en kies direkto la tondstreĉo agas. Se la pozitiva direkto de la koncerna normala streĉo estas en la direkto de la pozitiva (negativa) koordinata akso, ankaŭ la tondstreĉo estas konsiderata pozitiva se ĝi agas en la direkto de la pozitiva (negativa) koordinata akso.

Figuro 1.

 Konjugeco de tondaj streĉoj

Se por la elementa kvadrato, fig. 1, oni starigas la kondiĉon, ke la momento de ĉiuj fortoj rilate al la x-akso estu nulo, oni ricevas τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz. El tio, kaj el la du respondaj ekvacioj por la y- kaj z-aksoj, sekvas, ke la tondaj streĉoj kun la samaj indeksoj estas reciproke egalaj τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz  (1)

Komponentaj deformoj

Ke la supre difinitaj streĉoj havas fizikan sencon, rezultas el ilia rilato al la difino, kiun travivas ĉiu korpo sub la influo de eksteraj fortoj. Fig. 2 montras unu elementan kvadron, kiu antaŭ la deformiĝo estis rektangula kaj havis randolongojn dx, dy, dz. La randolongojn post la deformiĝo ni povas marki per dx + Δdx, dy, + Δdy, dz + Δdz. La kvocientoj εx = Δdx|dx, εy =Δdy|dy, εz = Δdz|dz nomiĝas dilatiĝoj. Tiuj ĉi estas sendimensiaj grandoj kaj ĉe ĉiuj materialoj, kiuj venas en konsideron en konstruado, ili estas malgrandaj laŭ 1. Krom la plilongiĝo de la randoj, la elementa kvadro dx * dy * dz povas ankaŭ suferi ŝanĝon de la origine rektaj anguloj inter ĝiaj flankoj.

Bildo 2. komponenta deformiĝo

Estu post la deformado la angulo inter la ebenoj kiuj kunvenas laŭ la rando OC egala al kaj simile la malpliiĝo de la rekta angulo laŭ la rando AO egala al γyz, kaj la malpliiĝo laŭ la rando OB egala al γzx. Ĉi tiuj tri ŝanĝoj de anguloj γxy, γyz, γzx nomiĝas glitadoj kaj ankaŭ ĉiam estas malgrandaj kompare kun 1. Per la ses komponentoj ε kaj γ la deformado de elementa kvadro “deformado malgranda” estas plene determinita. La ŝanĝo de la volumena elemento d_V = dx * dy * dz_ estas ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, el kio, kiam la produktoj de dilatiĝoj kiel malgrandaj kvantoj de pli alta ordo estas neglektitaj, oni ricevas kuban dilatiĝon ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2)

Movoj

La deformiĝo de solida korpo povas esti plene priskribita ankaŭ tiel, ke por ĉiu el ĝiaj punktoj oni donas la moviĝon, kiun tiu punkto travivis. Se oni ekskludas el la observo moviĝojn de finia amplekso, kiuj korespondas al moviĝo de rigida korpo, tiel ke, se necese, en la kalkulo oni akceptas moviĝantan koordinatsistemon, tiam ankaŭ la komponantaj moviĝoj μ, ν, ω ĉiam estas etaj grandecoj, kaj iliaj derivaĵoj laŭ la koordinatoj estas malgrandaj kompare kun 1. Sub tiu supozo, laŭ fig. 3 la longo de la linia elemento OA = dx post deformiĝo

do  (3)

Simile el fig. 3 videblas, ke la tondado γxy estas γ1 + γ2: kaj ankaŭ

 (4)

Figuro 3 glitado

(5)  (6)

Tiuj rilatoj nomiĝas kongruecaj kondiĉoj kaj ili esprimas, ke la deformitaj elementoj povas kunmetiĝi kiel mozaiko tiel, ke la spaco estu seninterrompe plenigita, kio ne povas esti atingita se la deformoj de la elementoj estas arbitraj. La kongruecaj kondiĉoj estas diferencialaj ekvacioj, do, kompreneble, ĉiuj ses komponentaj deformoj por ĉiu aparta kvadro estas inter si sendependaj, sed ilia aranĝo en ĉiu finie vastigita regiono estas ligita per la kondiĉoj (5) kaj (6).

Ĉar ĉi tiuj kondiĉoj estis akiritaj per diferencigo el la ekvacioj (3) kaj (4), dum ilia derivado perdiĝas parto de la ligoj enhavitaj en la originaj ekvacioj. Tial ne sufiĉas, ke estu plenumita nur unu el ĉi tiuj du sistemoj de ekvacioj, sed ambaŭ sistemoj de ekvacioj devas esti kontentigitaj, se oni volas certigi la kongruecon de la deformiĝo.

Diferencialaj ekvacioj de la elasteca sistemo

Por kalkuli la streĉojn kaj deformiĝojn ĉe elastaj korpoj servas la jenaj ekvacioj:

Kondiĉoj de ekvilibro de volumena elemento. La kondiĉoj, ke la momentoj ĉirkaŭ la tri aksoj egalas nul, jam estis uzitaj dum la eligo de la ekvacio (1). La kondiĉoj de fort-ekvilibro laŭ fig. 4 donas

Figuro 4

(7a-c)

Se per X, Y, Z estas indikitaj la komponantoj de volumenaj fortoj (ekz. pezo, centrifuga forto) po unu volumenaĵo. Rilatoj inter streĉoj kaj deformadoj. Tio ĉi signifas la rilaton inter la komponantaj streĉoj kaj la komponantaj deformadoj. En la teorio de elasteco kutime nur lineara rilato estas konsiderata, kiu esprimiĝas per la leĝo de Hooke:

(8a-c)

(8d-f)

Se la ekvacioj (8a-c) estas solvitaj laŭ la streĉoj, oni ricevas

(8 a)

kso kaj du respondaj ekvacioj. La leĝo de Hooke esprimita per la ekvacio (8) ne reprezentas iun strikte plenumatan naturleĝon, sed idealigon de la reala konduto, kiu de ĝi devias pli aŭ malpli, depende de la materialo kaj de la grandeco de la streĉo. Konsiderante, ke la matematika traktado de la problemo de la materialrezisto kun komplikaj, neliniaj rilatoj inter tensioj kaj deformoj kaŭzas multe pli grandajn malfacilaĵojn kaj efektive povas esti efektivigita nur en la plej simplaj kazoj, ankaŭ ĉe tiuj materialoj (betono!), kies konduto signife devias de la leĝo de Hooke, la kalkuloj bazitaj sur ĝi devas esti uzataj kiel unua, kaj plejofte ankaŭ la sola proksimuma solvo, kiu cetere laŭregule estas tre utiligebla kaj donas pli ol nur kvalitativan komprenon. G = E|2 (1+μ).

Ĝi nepre sekvas el la rilato inter la streĉo kaj la deformiĝo (8), el la transformaj ekvacioj (16) por streĉoj kaj la koncerna sistemo de ekvacioj por la komponaj deformiĝoj E kaj G havas la dimension de streĉo kaj ĉe ĉiuj konstrumaterialoj estas grandaj rilate al la streĉoj σ kaj τ, kiuj povas aperi. Sur ĉi tiu fakto baziĝas la supozo akceptita ĉie en la teorio de elasteco, ke la deformiĝoj estas malgrandaj. La koeficiento de transversa dilatiĝo (Poisson-a nombro) μ estas sen dimensio kaj troviĝas ĉiam inter 0 kaj 1/2 .

Rilatoj inter komponantaj deformoj kaj delokiĝoj. Ĉi tiuj rilatoj estas donitaj per la ekvacioj (3), (4). Ili estas pure geometria naturo. Ĉi tiuj tri sistemoj donas 3+6+6=15 ekvaciojn por 15 nekonatoj, t.e. por 6 komponantaj streĉoj, 6 komponantaj deformoj kaj 3 komponantaj delokiĝoj. Ili do sufiĉas por determini ĉi tiujn nekonatojn. La matematika superregado de tiel ampleksa sistemo de diferencialaj ekvacioj estas kompreneble ebla nur en specialaj kazoj. Se en la ekvacio (8) la komponantaj deformoj estas anstataŭigitaj per komponantaj delokiĝoj laŭ la ekvacioj (3) kaj (4) kaj poste la normalaj streĉoj σ kaj la tondaj streĉoj τ, laŭ la ekvacioj (8 d - f), estas enkondukitaj en la ekvilibrokondiĉojn, ekv. (7), oni ricevas diferencialajn ekvaciojn, kiuj nomiĝas bazaj ekvacioj de la teorio de elasteco.

(9)

per kio  estas markita la Laplace-a operatoro. Konsiderante (2), jen tri diferencialaj ekvacioj kun tri komponentaj delokoj μ, ν, ω; el tiuj, per diferencigo laŭ (3), (4) kaj (8), eblas ricevi ĉiujn komponentajn streĉojn kaj deformojn. La ekvacioj (9) ofte prezentas oportunan deirpunkton por la studado de specialaj kazoj.

Deforma laboro

Difino

Kiam la portantstrukturo estas ŝarĝita, la atakpunktoj de eksteraj fortoj travivas elastajn delokiĝojn kaj la fortoj samtempe plenumas certan laboron. Tiel enkondukita energio povas transiri en diversajn formojn. Se la ŝarĝado okazas subite, tiel ke la deformada procezo havas konsiderindan rapidecon, parto de ĉi tiu energio transformiĝas en kinetan energion, kiu dum la tempo disipiĝas, aŭ tiel, ke ĝi transdoniĝas al la grundo kiel elasta ondo, kiu malaperas en la senfinecon, aŭ tiel, ke ĝi transformiĝas per interna frotado en varmon. Se la ŝarĝoj estas aplikataj tiel milde, ke ne aperas rimarkebla kresko de la kineta energio, do ke la ŝarĝoj, kiuj iom post iom kreskas komencante de nulo, estas en konstanta ekvilibro kun la internaj fortoj, tiam la energio evidente estas uzata ekskluzive por deformi la korpon kaj tiam ĝi nomiĝas deformada laboro.

La kalkuladon de la deformada laboro ni unue prezentos ĉe peco submetita al streĉado en unu direkto (fig. 5).

Estu, ke la ekzistanta streĉo σ kaj la responda dilatiĝo ε spertu aldonojn dσ kaj dε. Tiam la forto σdF sur la vojo dε * dl faros laboron σdF * dεdl = σdεdV, se per dV estas indikita la volumeno de la etaĵo. Se la streĉo kreskas de nulo ĝis sia fina valoro kaj la dilatiĝo laŭ tio de 0 ĝis ε, la tuta farita laboro po unu volumena unuo egalos al:

Simile ankaŭ por elemento ŝarĝita per tondstreĉo τ (fig. 6) la deformada laboro por unu volumunuo (specifa deformada laboro, elasta potencialo):

ĉe kio nur unu el la kvar fortoj τ * dF faras laboron.

En la ĝenerala kazo, kiam ĉiuj ses komponantaj streĉoj agas sur elementa peco, oni ricevas la specifan deformadan laboron per sumigo de la laboroj de la apartaj komponantaj streĉoj:

(10)

Diferencigante laŭ la supra limo de ĉiu el ĉi tiuj integraloj, oni ricevas rilatojn validajn en la plej ĝenerala kazo:

(11)

kaj simile por la ceteraj komponantaj deformiĝoj. Se la korpo estas elasta, al ĉiu difinita stato de streĉo ĉiam respondas la sama stato de deformiĝo, sendepende ĉu la stato estis atingita dum ŝarĝado aŭ malŝarĝado. Tiam sub la integraloj staras unudifinaj funkcioj kaj la tuta energio elspezita dum ŝarĝado kaj poste kompleta malŝarĝado estas a = 0, konsiderante ke en ĉi tiu kazo la suprajn limojn de la integraloj fariĝas nulo. Sekve la tuta energio donita al la korpo dum ŝarĝado estas rericevita dum malŝarĝado.

Bildo 6

Figuro 7

Por nekomplete elasta korpo la rilato inter tensioj kaj deformoj por la tuta ciklo de ŝarĝado kaj malŝarĝado havas formon proksimume montritan en fig. 7 per linioj O A B. La energio  enportita dum la ŝarĝado egalas al la areo OAA, kaj la energio redonita dum la malŝarĝado al la areo ABA, tiel ke perdiĝas (transformiĝas en varmegon) la laboro responda al la ombrita areo. Se en oscilada procezo la tensio periode ŝanĝiĝas inter la pozitiva limvaloro  kaj la negativa limvaloro,  la neelasta deformo okazas simile kiel montrite per punktitaj linioj en fig. 7 kaj dum ĉiu periodo de la oscilado transformiĝas po unuovolumeno en varmegon la energio DABCD. Tia konduto dum deformado, ĉe kiu la deformo postrestas malantaŭ la tensio, nomiĝas elasta histerezo, kaj la kurbo DABCD histereza buklo.

Deforma laboro kaj la leĝo de Hooke

Se en la integralojn en la ekvacio (10) oni enkondukas la leĝon de Hooke, eblas fari la integradon, kaj por la specifa deformada laboro oni ricevas la esprimojn:

(12a)

(12b)

(12c)

Se la dua el ĉi tiuj formoj estas enmetita en la ekvacion (11), denove oni ricevas la leĝon de Hooke, ekvaciojn (8), en solvita formo laŭ la streĉoj. La aserto, ke la deformada laboro dependas de la komponentaj deformadoj, kiel montrite per la ekvacio (12b), estas do ekvivalenta al la leĝo de Hooke. Kiam la ekvacio (12c) estas diferencigita laŭ la streĉoj, oni ricevas

(13)

Ĉi tiuj formoj, male al la formoj (11), validas nur por korpoj, kiuj kondutas laŭ la leĝo de Hooke, kaj ne povas esti aplikataj kiam la rilatoj inter streĉoj kaj deformiĝoj estas malsamaj. Kompreneble, sur la dekstra flanko de la ekvacioj (13) troviĝas nur komponentaj deformiĝoj kaŭzitaj de la streĉoj, kaj estas ekskluditaj ĉiuj aliaj, kiuj eventuale povus esti aperintaj pro ŝanĝo de temperaturo, ŝoviĝo, ŝvelado, rekristaliĝo, ktp.

INTEGRAJ STATOJ EN LA ELASTEC-TEORIO

Virtualaj movoj. Principo de la minimumo de potenciala energio

Same kiel la leĝo de Hooke, la ekvacioj (8) povas esti anstataŭigitaj per unu sola ekvacio (12b), tiel ankaŭ anstataŭ la ekvilibraj kondiĉoj oni povas enkonduki la principon de virtualaj movoj, kiel ĝenerale validan fundamentan leĝon de mekaniko. Ĉi tiu leĝo esprimas, ke ekvilibraj statoj karakteriziĝas per tio, ke ĉe ili la entuta farita laboro de ĉiuj fortoj dum malgranda ŝanĝo de la deformada stato egalas al nulo. Se la malgrandajn ŝanĝojn de elastaj delokiĝoj ni markas per δμ δν, δω, tiam la volumaj fortoj difinitaj per la ekvacio (7) faras virtualan laboron

kaj la surfacaj fortoj px, py, pz, kiuj agas sur la elementon dF de la ekstera surfaco de la korpo laboro 

ĉe kio la triobla integralo rilatas al la tuta volumeno, kaj la duobla al la tuta ekstera surfaco de la korpo. Por kalkuli la laboron faratan de internaj fortoj, oni uzas la ekvacion (12b), do por la laboro po unu volumena unuo oni ricevas

La principo de virtualaj moviĝoj surbaze de tio donas

(14)

Se la ŝarĝoj X, Y, Z px, py., pz estas konsiderataj kiel komponantoj de la pezforto (propra pezo kaj ekstera ŝarĝo), la integralo sur la dekstra flanko reprezentas la potencialan energion, kiun tiuj ŝarĝoj perdis, dum la maldekstra flanko reprezentas la kreskon de la potenciala (elasta) energio de la korpo, tiel ke ĉi tiu principo esprimas, ke la suma potenciala energio de la portilo kaj la ŝarĝoj kuŝantaj sur ĝi en la okazo de ekvilibro havas ekstreman valoron. Se ĉi tiu ekstera valoro estas minimumo, la ekvilibro estas stabila.

La principo de minimumo de la potenciala energio, esprimita per la ekvacio (14), la esprimo (12b) por la deformada laboro kaj la kondiĉoj de kongrueco de deformoj (5), (6), prezentas sistemon de ekvacioj, kiu sufiĉas por konstrui la teorion de elasteco kaj kiu esence estas ekvivalenta al la sistemo de ekvacioj. Ĉi tiu sistemo povas esti aparte utila en kazoj, kiam kontentigo de la diferencialaj ekvacioj (9) kaŭzas kalkulajn malfacilaĵojn kaj tial oni devas serĉi proksimuman solvon; ekzemple, por delokoj oni antaŭe supozas taŭgan formon, kiu enhavas kelkajn liberajn konstantojn, kaj tiuj poste estas determinitaj el la postulo, ke la ekvacio (14) estu kontentigita. Tiel oni ja ne ricevas striktan solvon de la problemo, sed nur la plej bonan aproksimadon, kiun oni povas atingi per la elektita formo de solvo. Ĉu la aproksimado estas sufiĉa, dependas antaŭ ĉio de la adoptita formo de solvo, kaj sukcesa apliko de ĉi tiu metodo postulas do lertecon kaj sperton.

La principo de Castigliano

Dum ĉe la principo de minimumo de potenciala energio oni komparas ĉiujn statojn de deformiĝo, kiuj plenumas la kondiĉojn de kongruo de deformiĝoj, kaj el ili distingas tiujn, por kiuj la respondaj streĉoj plenumas la kondiĉojn de ekvilibro, ĉe la principo de Castigliano oni komparas ĉiujn streĉostatojn, kiuj plenumas la kondiĉojn de ekvilibro, kaj el ili distingas tiujn, por kiuj la respondaj deformiĝoj plenumas la kondiĉojn de kongruo de deformiĝoj. Ĉi tiu principo tekstas: el ĉiuj eblaj ekvilibraj statoj efektive okazas tiu, al kiu respondas la plej malgranda deformiĝa laboro. La principo de Castigliano kune kun la ekvacio (12c) por la deformiĝa laboro kaj la kondiĉoj de ekvilibro formas sistemon de ekvacioj, kiu sufiĉas por konstruado de la rezisto de materialoj. Konsiderante ke ĉi tiu principo enhavas la leĝon de Hooke, la ebleco de ĝia apliko estas ligita al la supozo, ke la deformiĝoj povas esti plene priskribitaj per ĉi tiu leĝo. Tio postulas ne nur linie elastan konduton de la materialo, sed ankaŭ ekskludas temperaturŝanĝojn.

Konduto de materialoj super la limoj de elasteco

Fenomenoj ĉe statika ŝarĝado

La deformiĝo de materialo sub la influo de streĉoj estas tre komplika fenomeno, tiel ke oni devas ĝin simpligi en diversaj direktoj por povi ĝin kompreni. Unu el tiuj simpligoj estas la supozo, ke la ŝarĝoj estas aplikataj laŭgrade, kiel oni, ekzemple, faras kun specimenoj dum la provo je streĉo kaj kunpremo.

Se ŝtala stango ŝarĝita je streĉado estas submetita al ŝarĝo, kiu grade kreskas, kaj oni mezuras ĝian dilatiĝon ε, oni ricevas diagramon montritan en fig. 8. Komence la dilatiĝo estas tre malgranda kaj proporcia al la streĉo, laŭ la leĝo de Hooke. Ekde certa streĉo la proporcieco ĉesas kaj la dilatiĝo kreskas pli rapide. La precizan pozicion de la limo de ĉi tiu proporcieco malfacile eblas determini. Ju pli preciza estas la mezurado, des pli malalta ĝi rezultas. Por la plej multaj materialoj ĝi troviĝas ĉe σ = 0, kaj la leĝo de Hooke tiam reprezentas nur la unuan aproksimon al la elasta konduto, la unuan membron de la evoluo en la Taylor-serio de la funkcio ε = ε (σ) ĉirkaŭ la koordinata komenco.

Se la stango estas malŝarĝita, oni rimarkas, ke kiam la streĉo ne estis tro granda, ankaŭ la deformiĝo malaperas, laŭ la leĝo de Hooke. Sed ankaŭ ĉi tio ŝanĝiĝas se estas superita certa streĉo, kiu situas proksime al la proporcieca limo, la t.n. elasta limo; tiam la tuta deformiĝo konsistas el elasta (revena) kaj nelasta (permanenta) parto. Ankaŭ la elasta limo ne povas esti precize determinita, ĝi troviĝas des pli malalte, ju pli granda estas la mezur-precizeco. Tamen, ĉar ĝi havas grandan teknikan signifon, ĉar ĝi reprezentas la limon de valideco ĉe preskaŭ ĉiuj kalkuloj en la rezisto de materialoj, kaj samtempe ankaŭ la limon, ĉe kiu aperas la unuaj permanentaj damaĝoj, ĝi por la testado de specimenoj estas akre difinata per iu akceptita konvencio, do, ekzemple, kiel limo 0.2% estas indikata tiu streĉo, ĉe kiu la permanenta dilatiĝo atingas 0.2%.

Tuj post superado de la elasta limo la deformiĝo akre kreskas kaj povas esti rimarkita per la nuda okulo; ĉe preskaŭ konstanta streĉo la bastono senĉese plilongiĝas. Tiu streĉo nomiĝas flumlimo. Ĉe hidraŭlikaj materialtestaj maŝinoj oni povas plie rimarki post la komenco de fluado pli-malpli elstaran falon de la streĉo; kiel indikite en fig. 8 per punkta kurbo; tiam la maksimumo nomiĝas supra flumlimo, kaj la konstanta flustreĉo kiu poste okazas estas la malsupra flumlimo.

Post kiam oni atingas certan dilatiĝon, kiu estas preskaŭ tute neelasta, la streĉo denove komencas kreski, la materialo malmoliĝas. En ĉi tiu ŝarĝa regiono okazas rimarkebla malpliiĝo de la transversa sekco de la stango pro (neelasta) flanka kuntiriĝo, kaj la plua kurso de la streĉo- kaj deformad-diagramo dependas antaŭ ĉio de tio, ĉu dum kalkulado de la streĉo σ la tirforto P, kiu agas sur la stango, estas dividata per la origina sekco F0 aŭ per la tuja sekco F. Por teknikaj celoj interesa estas la streĉo P|F0. Ĉi tiu streĉo trairas maksimumon, kiu estas nomata forto de la materialo, kaj kiam tiu maksimumo estas transpasita, la stango forte mallarĝiĝas je unu loko kaj rompiĝas. “La efektiva streĉo” P|F kreskas ĝis la fiasko.

Figuro 8.

La konduto de aliaj metaloj multe devias de la ĉi tie priskribita. Fluado ofte ne estas videbla, kaj hardiĝo komenciĝas tuj post supero de la elasta limo. Ĉe fragilaj materialoj (ŝtono, vitro, betono) neelastaj deformiĝoj estas ĝenerale malgrandaj kaj jam ĉe malgranda dilatiĝo okazas rompo. La tuta dilatiĝo, kiun la materialo spertas ĝis rompo, estas mezuro de la etendiĝemo (kontraŭe: fragilo) de la materialo, kaj por ŝtalo ĝi estas precize difinita en la teknikaj postuloj. Tamen, ĉar tuj antaŭ la rompo plua deformiĝo koncentriĝas ĉe la ĉirkaŭaj lokoj de mallarĝigita sekco, oni ricevas malsaman valoron de la dilatiĝo ĉe rompo, depende de tio, ĉu por la mezurlongo estas prenata pli granda aŭ pli malgranda parto de la stango, tiel ke por akiri univokajn kaj reciproke kompareblajn rezultojn oni devas anticipe adopti certan konvencion. La dilatiĝo ĉe rompo ordinare estas mezurata tiel, ke sur ronda stango de diametro d antaŭ la provo estas markita la mezurlongo Ι = 10 d kaj el ĝia plilongiĝo ΔΙ estas kalkulata la dilatiĝo ĉe rompo εs_Ι = ΔΙ|Ι ._ Se necesas ekzameni stangojn de alia sekco, la mezurlongo estas determinata laŭ la diametro de cirkla cilindra stango, kiu havas la saman transversan sekcan areon.

Daŭrema ŝarĝado

Por la kurso de la streĉa provo estas sufiĉe indiferente, ĉu la ŝarĝo ĝis rompo kreskas dum 10 m minutoj aŭ pluraj horoj. Tamen, se la ŝarĝo efikas dum jaroj aŭ jardekoj, sub certaj kondiĉoj oni rimarkas, ke ankaŭ sub la cedolimo la deformado ĉe konstanta streĉo dum la tempo malrapide kreskas. Samtempe la elasta parto, t.e. la parto, kiu ĉe fina malŝarĝo malaperas, ne ŝanĝiĝas rimarkeble. Ĉi tiu kresko de nelasta deformado, kiu okazas dum longa tempo, nomiĝas fluado. Ĉe metaloj, krom ĉe plumbo, fluado gravas nur ĉe altaj temperaturoj; tamen por la konstrua inĝeniero ĝi rolas ĉe betono, kiu sub premo iom post iom cedas, tiel ke la streĉo kreskas en la premita armitaĵo, se tiu ekzistas.

Variabla ŝarĝo

Por ke la mekanikaj karakterizaĵoj de la materialo, akiritaj per streĉa provo, povu esti uzataj kiel kriterio por la permesebla ŝarĝo de konstruaĵoj, necesas, ke la materialo ĉe ĉiu ripeta ŝarĝado elportu streĉon, kiun ĝi iam sen damaĝo elportis. Ĉi tiu kondiĉo ne estas plenumita se la materialo estas submetita al ofta ripetado de ŝarĝado kaj malŝarĝado, kiel ekzemple ĉe traboj ŝarĝitaj de inerciaj fortoj de nekomplete ekvilibraj maŝinoj. Per sufiĉe ofta ripetado de ŝarĝoj konstrua elemento povas esti alkondukita al rompo eĉ ĉe streĉo, kiu troviĝas multe sub la forto de la materialo determinita per ordinara statika provo. La apero de rompo de ĉi tiu speco nomiĝas rompo pro laciĝo. La nombro n de ŝarĝocikloj, kiujn la materialo povas elporti, dependas de la grando de la streĉo σ, tiel ke ĝi estas des pli granda, ju pli malgranda estas la streĉo. Tipan ekzemplon de ĉi tiu dependeco montras fig. 9, el kiu videblas, ke por la forto de la materialo ekzistas malsupra limo, kiun ĝi elportas ankaŭ ĉe arbitre granda nombro de ŝarĝocikloj kaj kiu nomiĝas dinamika forto de la materialo Diagramoj de ĉi tiu speco (fig.9) nomiĝas Wӧhler-kurboj.

Bildo 9.

Sekureco de konstruaĵoj

Du limaj ŝarĝoj estas gravaj por konstruaĵoj: la ŝarĝo, ĉe kiu aperas la unuaj konstantaj damaĝoj (limo de fluado), kaj la ŝarĝo, ĉe kiu la portanta kapablo de la konstruaĵo estas elĉerpita, tiel ke ĝi rompiĝas (limo de rompo). Ĉar antaŭ la fluo-limo almenaŭ proksimume validas la supozoj de la rezistanco de materialoj (malgrandaj moviĝoj, leĝo de Hooke), la sekureco kontraŭ konstantaj deformiĝoj povas esti fidinde taksata en ĉiuj tiuj okazoj, en kiuj eblas superi la matematikajn malfacilaĵojn. Se la streĉo estas proporcia al la ŝarĝo, la rilato inter la fluostreĉo kaj la plej granda streĉo, kiu aperas en la konstruaĵo, egalas al la rilato inter la ŝarĝo, ĉe kiu okazas fluado, kaj la efektiva ŝarĝo, kaj reprezentas la sekurec-koeficienton kontraŭ fluado. Tamen, en serio da kazoj ĉi tiu simpla rilato ne ekzistas: fleksiĝo kiam tirado estas ekskludita, premo inter konveksaj surfacoj, sistemoj kies strukturo ŝanĝiĝas kaj, kio estas precipe malfavora, fleksiĝo kun aksa forto. En ĉiuj ĉi tiuj okazoj relative malgranda kresko de la ŝarĝo povas konduki al granda kresko de la streĉo, kaj tiam ne sufiĉas apliki la kutiman sekurec-koeficienton al la streĉoj, sed oni devas apliki ĝin al la ŝarĝo.

La fenomenoj, kiuj okazas post supero de la flulima limo ĝis rompo, en la plimulto de la kazoj povas esti sekvataj jam nur kvalite. Se la materialo estas duktila, la partoj, en kiuj unue estas atingita la flullimo, kaj kiuj plu deformiĝas ĉe konstanta streĉo aŭ ĉe streĉo nur iom kreskanta, partoprenas malmulte en la transpreno de plia ŝarĝo, tiel ke la aliaj, pli malmulte streĉitaj partoj de la konstruo, se tio eblas konsiderante ĝian strukturon, pli forte partoprenas en la portado. En ĉi tiu tendenco al egaligo de la streĉpintoj kuŝas certa sekureca rezervo, kiu kalkule povas esti utiligata, se la permanenta deformiĝo de unuopaj partoj, aperinta ĉe nur unu grava ŝarĝado, ne estas damaĝa (metodo de limita ŝarĝo).

Se la materialo estas fragila, la unua permanenta difekto manifestiĝas en fendoj, pro kiuj ĉe la endanĝerigita loko okazas ankoraŭ pli forta koncentriĝo de streĉoj, kio tuj kaŭzas rompon. Rompo pro laciĝo ĉe streĉeblaj materialoj ankaŭ havas la karakterizaĵojn de fragila fendo-rompo.

 Rilatoj inter la streĉoj por malsamaj sekcaj ebenoj

Transsformaj ekvacioj

La naŭ komponentaj streĉoj en fig. 1 estas ligitaj per tri ekvilibrokondiĉoj. La ses restantaj grandecoj σx, σy, σz τxy, τyz, τzx  povas, sendepende unu de alia, ricevi arbitrajn valorojn kiel videblas el la derivado de la diferencialaj ekvacioj de la teorio de elasteco. Tamen, kiam tiuj valoroj estas donitaj, la streĉostato en iu punkto de solida korpo estas tute difinita, t.e. kiam la streĉoj por tri reciproke perpendikularaj ebenoj estas konataj, oni povas unike determini ankaŭ la streĉon por iu kvara ebeno, kiu trairas la donitan punkton kaj kies normala havas arbitran direkton.

En fig. 10 estas montrita tetraedro OABC, kies tri flankoj estas paralelaj al la ebenoj de la koordinatsistemo x, y, z, dum la kvara reprezentas iun arbitre orientitan surfacelementon ABC = dF. Por marki ĝian direkton kaj la direkton de la streĉo transdonata tra ĝi, oni enkondukas duan koordinatsistemon, kies ξ-akso estas perpendikulara al dF.

Figuro 10

La kondiĉo pri ekvilibro de la fortoj, kiuj agas sur ĉi tiun tetraedron en la direkto de la ξ-akso, donas

Se oni konsideras, ke ĝi estas

akiriĝas

kaj simile, el la ekvilibraj kondiĉoj en la direkto de la akso η:

Ĉi tiuj estas la ekvacioj, kiuj servas por kalkuli la streĉojn ĉe transformo de koordinatoj. De aparta graveco estas konsideri nur tiajn surfacajn elementojn dF, por kiuj la ξ-akso koincidas kun la z-akso. La formojn por ĉi tiu kazo ni povas ricevi per simpligo de la antaŭaj formoj aŭ legi rekte el fig. 11:

Figuro 11

La normala streĉo prenas ekstremajn valorojn por la direktoj α = α0 , por kiuj dσξ/dα = 0. Diferencigante el la ekvacio (16) oni ricevas

do, kiam ĉi tiu esprimo estas egaligita al nulo

La streĉo τξη estos samtempe la totala tonda streĉo en ĉi tiuj ebenoj, se τyz = τzx = 0. Tiam per la ekvacio (17) estas determinitaj du reciproke perpendikularaj direktoj, por kiuj: 1. la totala tonda streĉo estas nulo kaj, 2. la normala streĉo havas ekstremajn valorojn (maksimumon kaj minimumon). Tiuj direktoj nomiĝas direktoj de la ĉefaj streĉoj, kaj la respondaj streĉoj ĉefaj streĉoj. Oni markas ilin per σ1 kaj σ2 kaj ili povas esti kalkulitaj rekte el la formulo

 Cirklo de Mohr

La ekvacioj (16) povas esti grafike prezentitaj en klare videbla maniero. Por tiu celo oni devas transformi ilin al la formo:

Ĉi tiuj ekvacioj reprezentas en la koordinatsistemo σ, τ la parametran formon de la ekvacio de cirklo desegnita en fig. 12, kies koordinatoj de la centro estas σ = 1/2 (σx + σy), τ = 0 kaj kies radiuso estas

Ĉi tiu cirklo nomiĝas la cirklo de Mohr. Se tra la punkto x oni tiras rektan linion paralelan al la sekco x =const., tra kiu transiras la streĉoj σx, τxy, ĝi tranĉos la cirklon ĉe la punkto p, kiu nomiĝas la poluso de la cirklo de Mohr. Ĉiu rekto pξ tirita tra ĉi tiu poluso tranĉas la cirklon ĉe la punkto ξ, kiu determinas la streĉojn σξ, τξη, kiuj transiras tra sekco paralela al pξ.

Pri la signoj de la tondaj streĉoj ĉe desegnado de la cirklo de Mohr oni devas atenti, ke ili estas markataj supren, se ili havas la direkton montritan en fig. 12c. Sekve el la du konjugitaj streĉoj τxy, τyx, unu ĉiam estas pozitiva, kaj la alia negativa.

Al la limvaloroj σ1, σ2 de la normalaj streĉoj respondas la punktoj 1 kaj 2 sur la cirklo, kaj la rektoj _p_1 kaj _p_2 donas la direktojn de la ĉefaj streĉoj.

La prezentado de la streĉoj kuŝantaj en la x-y-ebeno per la cirklo de Mahr ne estas ligita al ia ajn supozo pri la streĉoj σz, τxz, τyz perpendikularaj al ĉi tiu ebeno.

Bildo 12

Tial tio validas ankaŭ por la plej ĝenerala tridimensia tensiostato, se oni komparas nur tiujn transversajn ebenojn, kiuj ĉiuj pasas tra la sama rekto, ĉi tie elektita kiel la z- kaj ξ-akso. Ĉar laŭ la ĝeneralaj transformaj ekvacioj (15) la normala tensio σ ne povas fariĝi senfina ĉe iu ajn transversa ebeno, ĝi devas por iu ebeno havi finian maksimumon σ1, kaj por alia minimumon σ3, el kiuj ambaŭ, kompreneble, povas esti ankaŭ negativaj. Se tra la vektoroj σ1 kaj σ3 oni trairigas ebenon kaj desegnas la Mohr-cirklon (fig. 13)

Bildo 13

por streĉoj kiuj kuŝas en ĉi tiu ebeno (t.e. ĉiuj direktoj kiuj estas perpendikularaj al ĉi tiu ebeno), tiam σ1 kaj σ3 estas la plej granda kaj la plej malgranda normalaj streĉoj kiuj povas aperi kaj do devas esti reciproke perpendikularaj. Se la direktoj 1 kaj 3 estas kompletigitaj per la direkto 2, tiel ke ĉi tiuj tri direktoj formas rektangulan koordinatsistemon, kaj se oni desegnas la cirklojn de Mahr por la ebenoj 1 ~2 kaj 2 ~ 3, tiam σ2 por unu el ĉi tiuj cirkloj estas la plej granda, kaj por la alia la plej malgranda normalstreĉo, kaj sekve en la sekcoj perpendikularaj al la direktoj 1, 2 kaj 3 la tondstreĉo estas egala al nulo. Tri reciproke perpendikularaj normalaj streĉoj σ1, σ2 kaj σ3, al kiuj ne respondas tondstreĉoj, estas nomataj ĉefaj streĉoj.

    Limo de fluo kaj limo de rompo ĉe spaca streĉostato

La stato de la streĉoj nomiĝas unu-, du- aŭ tridimensia, alie: lineara, plata aŭ spaca, laŭ tio ĉu unu, du aŭ ĉiuj tri ĉefaj streĉoj estas malsamaj de nulo. Ĉe konstrupartoj plej ofte uzataj, t.e. ĉe streĉita, kunpremita kaj fleksita stango, la stato de la streĉoj, almenaŭ ĉe la plej forte ŝarĝitaj lokoj, estas unudimensia, same ankaŭ ĉe la provoj je streĉo, kunpremo aŭ fleksado, kiuj en materialtestado preskaŭ ekskluzive estas uzataj por determini la permeseblajn streĉojn. Kontraste, ĉe platoj ŝarĝitaj en sia ebeno aŭ perpendikulare al ĝi, same kiel ĉe ŝeloj, la stato de streĉoj estas dudimensia, kaj en certaj kazoj aperas ankaŭ tridimensiaj statoj de streĉoj, tiel ke necesas surbaze de la limo de fluo kaj rompo, determinita ĉe unudimensia stato de streĉoj, eltiri konkludojn pri la konduto de la materialo en la kazo de spaca stato de streĉoj.