Үндэс
Материалын бат бэхийн үүрэг нь хатуу биет (жишээлбэл, барилга байгууламж, бүтээцийн хэсэг эсвэл хөрс) ямар гадны хүчийг тэсвэрлэж чадахыг тогтоох явдал юм. Энэ асуултад хариулахын тулд хоёр шалгуураас эхэлнэ: нэг талаас хүчдлүүд нь материалын төрлөөс хамаарах тодорхой хязгаараас хэтрэх ёсгүй, нөгөө талаас гадны ба дотоод хүчний тэнцвэр тогтвортой байх ёстой. Үүнтэй уялдан материалын бат бэхийн бүх асуудлыг “хүчдэлийн асуудлууд” болон “тогтвортой байдлын асуудлууд” гэж ангилж болно.
Саваа, дам нуруу болон тэдгээрээс бүрдэх даацын элементүүдийн (ферм, хүрээ) хувьд хүчдлийг хоёр үе шаттайгаар тодорхойлдог. Эхлээд өгөгдсөн гаднын хүчнүүдийн үндсэн дээр хөндлөн огтлолоор дамжих дотоод хүчнүүдийн үр дүнг тооцож, дараа нь эдгээр “огтлолын хүчнүүд”-ээс хүчдлүүдийг тодорхойлно. Процедурын эхний хэсэг нь өөрийн боловсронгуй аргуудтай, ихээхэн хүрээтэй салбар болох барилгын бүтээцийн статик бөгөөд энэ нь ихэвчлэн материалын эсэргүүцлээс тусад нь авч үзэгддэг; материалын эсэргүүцлийн үүрэг нь өгөгдсөн огтлолын хүчнүүдээс хүчдэл тодорхойлоход л чиглэдэг.
Материалын бат бэхийн үндсэн ойлголтууд
Хүчдлийн тодорхойлолт нь дараах үндсэн авч үзэлээс гарна. Төд бүтцэд гадаад хүчний тэнцвэрт систем үйлчилж байна гэж үзье. Биеийг дурын огтлолтоор хоёр хэсэгт хуваагаад, нэгийг нь түүнд үйлчлэх хүчнийх нь хамт авлаа гэж төсөөлье; тэгвэл нөгөө хэсэгт үзүүлэх түүний үйлчлэл нь хүчний тэнцвэр ба деформацийн тархалт өөрчлөгдөхгүй байхын тулд огтлолын гадаргуугаар дамжих нэмэлт хүчнүүдээр солигдох ёстой. Эдгээр “дотоод” хүчнүүд нь огтлолын гадаргуу дээр тасралтгүй тархсан байдаг тул гадаргуугийн dF бүрт dβ хүч харгалзана. Хэрэв dβ dF харьцааг байгуулж, dF -> 0 хязгаарын шилжилт хийвэл энэ харьцаа хүчдэл гэж нэрлэгдэх хязгаарын утгад тэмүүлнэ. Тодорхой гадаргуугийн элемент дэх хүчдэл нь dβ-гийн нэгэн адил бөгөөд dF-д нормаль болон шүргэгч бүрэлдэхүүнүүдэд задлагдана: нормаль хүчдэл σ, зүсэлтийн хүчдэл τ.
Нэг цэгээр өөр өөр чиглэлд огтлолууд татвал тэдэнд мөн өөр өөр хүчдлүүд харгалзана. Ялангуяа биетээс элементар параллелепипедийг, зураг 1-т үзүүлсэнчлэн, салган авбал түүний зургаан гадаргуу бүр дээр хүчдэлийн вектор үйлчилж, түүнийг x, y, z координатын тэнхлэгийн чиглэлд гурван бүрэлдэхүүнд задлаж болно. Харилцан эсрэг талын гадаргуу дээр үйлчлэх хүчдлүүд мэдээж зөвхөн дифференциал хэмжээгээр ялгаатай байдаг тул 3 * 3 = 9 бүрэлдэхүүн хүчдлүүдийг ялгах хэрэгтэй бөгөөд тэдгээрийг дараах байдлаар тэмдэглэнэ:
Хэвийн хүчдэлүүд σ-д тэдгээрийн үйлчлэх тэнхлэгийн индексийг өгч, таталт үүсгэвэл эерэг, шахалт үүсгэвэл сөрөг гэж үзнэ. Зүсэлтийн хүчдэл τ хоёр индекс авна: эхнийх нь тухайн хэвийн хүчдэлийн индекс шиг байна, хоёр дахь нь зүсэлтийн хүчдэл үйлчилж буй тэнхлэгийг заана. Хэрэв тухайн хэвийн хүчдэлийн эерэг чиглэл нь координатын эерэг (сөрөг) тэнхлэгийн чиглэлд байвал, зүсэлтийн хүчдэл мөн эерэг (сөрөг) координатын тэнхлэгийн чиглэлд үйлчлэх үед эерэг гэж үзнэ.
Зураг 1.
Хяргах хүчдлүүдийн хослол
Хэрэв элементийн куб биетийн хувьд, зураг 1, x тэнхлэгийн хувьд бүх хүчний момент тэг байна гэсэн нөхцөл тавибал, τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz гарна. Үүнээс, мөн y ба z тэнхлэгт харгалзах хоёр тэгшитгэлээс, ижил индекстэй зүсэлтийн хүчдлүүд харилцан тэнцүү болох нь тогтоно: τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (1)
Бүрэлдэхүүн деформацууд
Дээр тодорхойлсон хүчдлүүд физик утгатай байдаг нь тэдгээрийн гадаад хүчний үйлчлэлд өртөх аливаа биетийн тодорхойлолттой холбоотойгоор илэрнэ. Зур. 2 нь деформацийн өмнө тэгш өнцөгт хэлбэртэй, dx, dy, dz ирмэгийн урттай байсан нэгэн элементар параллелепипедийг харуулна. Деформацийн дараах ирмэгийн уртыг dx + Δdx, dy + Δdy, dz + Δdz гэж тэмдэглэж болно; εx = Δdx|dx, εy =Δdy|dy, εz = Δdz|dz харьцаануудыг суналт гэж нэрлэдэг. Эдгээр нь хэмжээсгүй хэмжигдэхүүн бөгөөд барилгын салбарт хамаарах бүх материалын хувьд 1-ээс бага байдаг. Ирмэгийн урт өөрчлөгдөхөөс гадна dx * dy * dz элементар параллелепипед нь анх шулуун байсан талуудынхаа хоорондох өнцөг өөрчлөгдөхөд ч өртөж болно.
Зураг 2. бүрэлдэхүүн деформаци
Деформацийн дараа OC ирмэгийн дагуу огтлолцож буй хавтгайн хоорондын өнцөг нь 
тэнцүү гэж, мөн түүнчлэн AO ирмэгийн дагуух тэгш өнцгийн багасалт нь γyz, OB ирмэгийн дагуух багасалт нь γzx тэнцүү гэж үзье. Эдгээр өнцгийн гурван өөрчлөлт γxy, γyz, γzx-ийг гулсалт гэж нэрлэдэг бөгөөд тэд мөн үргэлж 1-тэй харьцуулахад маш бага байдаг. Зургаан бүрэлдэхүүнт ε ба γ-оор “бага деформац” дахь анхны шоо элементийн деформаци бүрэн тодорхойлогдоно. Эзлэхүүний элементийн өөрчлөлт d_V = dx * dy * dz_ нь ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, бөгөөд тэлэлтийн үржвэрүүдийг дээд зэрэглэлийн бага хэмжигдэхүүн гэж үл тооцвол, эзлэхүүний куб тэлэлт ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2)
Шилжилт
Хатуу биетийн деформацийг түүний бүх цэг бүрийн туулсан шилжилтийг өгснөөр бүрэн тодорхойлж болно. Хатуу биетийн шилжилтэд тохирох хэмжээний эцсийн шилжилтүүдийг авч үзлээс хасвал, шаардлагатай тохиолдолд тооцоонд шилжих координатын системийг ашигласнаар компонент шилжилтүүд μ, ν, ω нь үргэлж бага хэмжээтэй бөгөөд тэдгээрийн координатаар авсан уламжлалууд 1-оос бага байна. Энэ таамаглалын дор, зур. 3-ын дагуу шугаман элементийн OA = dx урт деформацийн дараа
тэгэхээр 
(3)
Үүнтэй адил зураг 3-аас γxy нь γ1 + γ2 болох нь харагдана: мөн түүнчлэн
(4)
Зур. 3 гулсалт
(5) 
(6)
Эдгээр холбоосыг нийцлийн нөхцөл гэж нэрлэдэг бөгөөд гажсан элементүүдийг мозайк мэт тааруулж, үүний зэрэгцээ орон зайг тасралтгүй дүүргэх боломжтойг илэрхийлдэг; хэрэв элементүүдийн деформаци дурын байвал үүнийг хэрэгжүүлэх боломжгүй. Нийцлийн нөхцөл нь дифференциал тэгшитгэлүүд тул мэдээж бүх зургаан бүрэлдэхүүн деформаци нь тухайн нэг кубоид бүрийн хувьд хоорондоо бие даасан боловч тэдгээрийн тархалт нь аливаа хязгаарлагдмал суналтай мужид (5) ба (6) нөхцлөөр хязгаарлагдана.
Эдгээр нөхцөл нь тэгшитгэл (3) болон (4)-оос ялгаварлан гаргаж авсан тул тэдгээрийг гаргах явцад анхны тэгшитгэлүүдэд агуулагдсан холбоосын нэг хэсэг алдагдана. Тиймээс деформацийн зохицол хангагдахыг хүсвэл энэ хоёр тэгшитгэлийн системийн зөвхөн нэгийг нь хангах нь хангалтгүй, хоёуланг нь биелүүлэх ёстой.
Уян харимхайн системийн дифференциал тэгшитгэлүүд
Уян биет дэх хүчдэл ба деформацыг тооцоход дараах тэгшитгэлүүдийг ашиглана:
Эзлэхүүн элементийн тэнцвэрийн нөхцөлүүд. Хоёр тэнхлэгийн орчмын моментууд тэгтэй тэнцүү байх нөхцлүүдийг (1) тэгшитгэлийг гаргах үед аль хэдийн ашигласан. Хүчний тэнцвэрийн нөхцлүүд нь зураг 4-ийн дагуу өгнө
Зураг 4
(7a-c)
Хэрэв X, Y, Z-ээр эзлэхүүний хүчнүүдийн бүрэлдэхүүнүүдийг (жишээлбэл, жин, төвөөс зугтах хүч) нэгж эзлэхүүнд ноогдохоор тэмдэглэвэл. Хүчдэл ба деформацийн холбоо. Үүгээр бүрэлдэхүүн хүчдлүүд болон бүрэлдэхүүн деформацуудын хоорондын холбоог ойлгоно. Уян харимхайн онолд дүрмээр бол зөвхөн шугаман холбоог авч үздэг бөгөөд энэ нь Hooke-ийн хуулиар илэрхийлэгдэнэ:
(8a-c)
(8d-f)
Хэрэв тэгшитгэлүүдийг (8a-c) хүчдлээр нь бодвол, дараах нь гарна
(8 a)
kso ба түүнд тохирох хоёр тэгшитгэл. Hooke-ийн хууль нь (8) тэгшитгэлээр илэрхийлэгдсэнээрээ байгалийн чанд мөрдөгдөх хууль биш, харин материал болон ачааллын хэмжээнээс шалтгаалан түүнээс бага багаар ялгаатай бодит зан төлөвийн идеалчлал юм. Хүчдэл ба деформацийн хоорондын нарийн, шугаман бус хамааралтай материалын бат бэхийн асуудлыг математикаар боловсруулах нь харьцангуй их хүндрэлтэй бөгөөд үнэндээ зөвхөн хамгийн энгийн тохиолдлуудад хэрэгжих боломжтой тул Hooke-ийн хуулиас мэдэгдэхүйц зөрдөг материалуудын (бетон!) хувьд ч түүнд тулгуурласан тооцоог эхний бөгөөд ихэвчлэн цорын ганц ойролцоо шийдэл болгон ашиглах шаардлагатай байдаг. Түүнээс гадна энэ шийдэл нь дүрмээр бол маш ашигтай бөгөөд цэвэр чанарынхаас илүү мэдээлэл өгдөг. G = E|2 (1+μ).
Энэ нь заавал хүчдэл ба деформацийн хамаарлаас (8), хүчдлийн шилжилтийн тэгшитгэлүүдээс (16) болон компонент деформацийн тохирох тэгшитгэлийн системээс гарна. E ба G нь хүчдэлийн хэмжээстэй бөгөөд бүх барилгын материалд гарч болох σ ба τ хүчдлүүдтэй харьцуулахад их байдаг. Гэхдээ элластик онолын бүх хэсэгт хүлээн зөвшөөрөгдсөн, деформаци бага байна гэсэн таамаглал энэ баримтад тулгуурладаг. Хөндлөн тэлэлтийн коэффициент (Пуассоны тоо) μ нь хэмжээстэй биш бөгөөд үргэлж 0 ба 1/2 -ын хооронд байдаг.
Бүрэлдэхүүний деформаци ба шилжилтийн хоорондын хамаарал. Эдгээр хамаарлыг тэгшитгэлүүд (3), (4)-ээр өгсөн. Тэдгээр нь цэвэр геометрийн шинжтэй. Эдгээр гурван систем нь 3+6+6=15 тэгшитгэлийг 15 үл мэдэгдэх хувьд, өөрөөр хэлбэл 6 бүрэлдэхүүний хүчдэл, 6 бүрэлдэхүүний деформаци болон 3 бүрэлдэхүүний шилжилтийн хувьд өгдөг. Иймээс эдгээр үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүнийг тодорхойлоход хангалттай. Ийм өргөн хүрээтэй дифференциал тэгшитгэлийн системийг математикаар шийдвэрлэх нь мэдээж зөвхөн тусгай тохиолдолд л боломжтой. Хэрэв тэгшитгэл (8) дахь бүрэлдэхүүний деформацуудыг (3) болон (4) тэгшитгэлүүдийн дагуу бүрэлдэхүүний шилжилтээр орлуулж, дараа нь хэвийн хүчдэлүүд σ болон хяргах хүчдэлүүд τ-г (8 d - f) тэгшитгэлүүдийн дагуу тэнцвэрийн нөхцөлд, буюу (7)-д оруулбал, уян харимхайн онолын үндсэн тэгшитгэл гэж нэрлэгдэх дифференциал тэгшитгэлүүд гарна.
(9)
үүнд 
нь Лапласын операторыг тэмдэглэсэн байна. (2)-ийг харгалзан үзвэл эдгээр нь μ, ν, ω гэсэн гурван бүрэлдэхүүн шилжилттэй гурван дифференциал тэгшитгэл юм; эдгээрээс харин (3), (4) ба (8)-ийн үндсэн дээр дифференциалжуулж бүх бүрэлдэхүүн хүчдэл ба деформацыг гаргаж авч болно. Тэгшитгэлүүд (9) нь тусгай тохиолдлуудыг судлахад ихэвчлэн тохиромжтой эхлэл цэг болдог.
Хэв гажилтын ажил
Тодорхойлолт
Дам нурууг ачаалах үед гадаад хүчний үйлчлэх цэгүүд уян шилжилтэд орж, хүчнүүд энэ үед тодорхой хэмжээний ажил гүйцэтгэнэ. Ийнхүү өгөгдсөн энерги өөр өөр хэлбэрт шилжиж болно. Хэрэв ачааллыг гэнэт нэмбэл, өөрөөр хэлбэл деформацийн процесс нэлээд хурдтай явагдвал, энэ энергийн нэг хэсэг нь кинетик энергид хувирч, улмаар хугацааны явцад нэг бол газар руу уян долгион хэлбэрээр дамжин алдагдах, эсвэл дотоод үрэлтийн улмаас дулаан болж сарних замаар тархдаг. Хэрэв ачааллыг маш аажмаар өгч, үүний улмаас мэдэгдэхүйц кинетик энергийн өсөлт үүсэхгүй, өөрөөр хэлбэл тэгээс эхлэн аажмаар өсөх ачааллууд нь дотоод хүчнүүдтэй тогтмол тэнцвэрт байвал, энерги нь илт зөвхөн биетийг деформацид оруулахад зарцуулагдаж, үүнийг деформацийн ажил гэж нэрлэнэ.
Деформацийн ажлыг тооцоолохыг эхлээд нэг чиглэлд суналтад ачаалсан жижиг хэсэг дээр үзүүлнэ (зураг 5).
Одоо байгаа хүчдэл σ болон түүнд харгалзах суналт ε нь dσ ба dε өсөлтүүдийг авъя. Тэгвэл σdF хүч dε * dl замд σdF * dεdl = σdεdV ажлыг гүйцэтгэнэ, энд dV нь элементийн эзлэхүүнийг илэрхийлнэ. Хэрэв хүчдэл тэгээс өөрийн эцсийн утга хүртэл өсөж, түүнд тохируулан суналт 0‑оос ε хүртэл өөрчлөгдвөл, эзлэхүүний нэгжид ноогдох нийт хийсэн ажил нь:
Үүнтэй адил, зүсэлтийн хүчдэл τ үйлчлэх элементэд (зураг 6) нэгж эзлэхүүнд ноогдох деформацийн ажил (тусгай деформацийн ажил, уян потенциал):
үүнд дөрвөн хүчний зөвхөн нэг нь τ * dF ажил гүйцэтгэнэ.
Ерөнхий тохиолдолд элементар хэсэгт хүчдэлийн бүх зургаан бүрэлдэхүүн үйлчлэхэд, тус бүрийн бүрэлдэхүүн хүчдэлүүдийн ажлыг нэмж, тухайн деформацийн тодорхой ажил гарна:
(10)
Эдгээр интеграл тус бүрийн дээд хязгаараар дифференциалчлахад хамгийн ерөнхий тохиолдолд хүчинтэй хамаарлууд гарна:
(11)
мөн бусад бүрэлдэхүүн деформацуудын хувьд ч адил. Хэрэв бие уян харимхай бол, ачаалж байх үед эсвэл ачааллыг бууруулах үед хүрсэн эсэхээс үл хамааран аливаа тодорхой хүчдэлийн төлөвт үргэлж ижил деформацийн төлөв харгалзана. Тэгэхэд интегралын доор нэг утгат функцууд орших бөгөөд ачаалж дараа нь бүрэн суллахад зарцуулсан нийт энерги нь a = 0 болно, учир нь энэ тохиолдолд интегралын дээд хязгаарууд тэг болдог. Иймээс ачааллын үед биед өгөгдсөн нийт энерги нь суллах үед буцаан олгогдоно.
Зураг 6
Зураг 7
Бүрэн уян бус биетийн хувьд ачаалж, буулгах бүх мөчлөгийн туршид хүчдэл ба деформацийн хамаарал нь Зур. 7 дахь O A B. шугамаар ойролцоогоор үзүүлсэн хэлбэртэй байна. Ачааллын үед өгөгдсөн энерги 
нь OAA, талбайтай тэнцүү бөгөөд буулгах үед буцаж ирэх энерги нь ABA, талбайтай тэнцүү тул штрихлэсэн талбайд харгалзах ажил алдагдана (дулаан болгон хувирна). Хэрэв осцилляцийн процесст хүчдэл эерэг хязгаарын утга 
ба сөрөг хязгаарын утга 
хооронд үечлэн өөрчлөгдвөл, уян бус деформаци нь Зур. 7-д тасархай шугамаар үзүүлсэнтэй төстэйгээр явагдаж, осцилляцийн үе бүрт нэгж эзэлхүүнд ногдох DABCD энерги дулаан болон хувирна. Деформацийн ийм үед деформаци нь хүчдлээс хоцордог байдлыг уян гистерезис гэж нэрлэдэг бөгөөд DABCD муруй нь гистерезисийн гогцоо юм.
Деформацийн ажил ба Хукийн хууль
Хэрэв тэгшитгэл (10)-ийн интегралд Хукийн хуулийг оруулбал интегралчилж болох бөгөөд нэгж деформацын ажилд дараах илэрхийллүүд гарна:
(12a)
(12b)
(12c)
Хэрэв эдгээр хэлбэрүүдийн хоёр дахь нь тэгшитгэлд (11) орвол дахин Хүүкийн хууль, тэгшитгэлүүд (8)-ийн хүчдэлээр шийдэгдсэн хэлбэр гарна. Деформацийн ажил нь бүрэлдэхүүн деформацуудаас хамаардаг гэсэн өгүүлбэр, тэгшитгэл (12b)-ээр үзүүлсэн шиг, тиймээс Хүүкийн хуультай дүйцнэ. Тэгшитгэл (12c)-ийг хүчдлүүдийн хувьд дифференциалчлахад дараах нь гарна
(13)
Эдгээр хэлбэрүүд нь (11)-ийн хэлбэрүүдээс ялгаатай нь зөвхөн Хукийн хуулиар аашилдаг биед хамаарна, хүчдэл ба деформацийн хамаарал өөр үед хэрэглэж болохгүй. Мэдээж, тэгшитгэлүүдийн (13) баруун талд зөвхөн хүчдэлээс үүдэлтэй бүрэлдэхүүн деформацууд байх бөгөөд температурын өөрчлөлт, мөлхөлт, хөөх, рекристаллизац зэрэг шалтгаанаар үүсч болох бусад бүх деформацуудыг хасна.
ЭЛАСТИЧЛАЛЫН ОНОЛ ДАХЬ ИНТЕГРАЛ ЗАРЧМУУД
Хиймэл шилжилтүүд. Потенциал энергийн минимумын зарчим
Хүүкийн хууль, тэгшитгэлүүд (8)-ийг нэг тэгшитгэлээр (12b) орлуулах боломжтой байдагтай адил, тэнцвэрийн нөхцлийн оронд виртуал шилжилтийн зарчмыг механикийн ерөнхий хүчинтэй үндсэн хууль болгон авч болно. Энэ хууль нь тэнцвэрийн төлөвүүд нь деформацийн төлөвийн бага өөрчлөлтийн үед бүх хүчний гүйцэтгэсэн нийт ажил тэгтэй тэнцүү байдгаараа ялгагдана гэдгийг илэрхийлдэг. Хэрэв уян шилжилтийн бага өөрчлөлтийг δμ δν, δω гэж тэмдэглэвэл, 7 тэгшитгэлээр тодорхойлсон эзлэхүүний хүчнүүд виртуал ажил гүйцэтгэнэ
а) биетийн гадаргуугийн dF элемент дээр үйлчлэх px, py, pz гадаргуугийн хүчнүүдийн ажил 
энд гурвалсан интеграл нь бүх эзлэхүүнд, харин давхар интеграл нь биеийн бүх гадна гадаргууд хамаарна. Дотоод хүчнүүдийн хийдэг ажлыг тооцоход тэгшитгэл (12b)-ийг хэрэглэдэг бөгөөд нэгж эзлэхүүнд ноогдох ажил дараах байдлаар гарна
Ингэснээр виртуал шилжилтийн зарчим дараахыг өгнө
(14)
Хэрэв ачаалал X, Y, Z px, py., pz-ийг хүндийн хүчний бүрэлдэхүүнүүд гэж үзвэл (өөрийн жин болон гадаад ачаалал), баруун талын интегралууд нь эдгээр ачааллын алдсан боломжит энергийг илэрхийлнэ, харин зүүн тал нь биеийн боломжит (уян) энергийн нэмэгдлийг илэрхийлдэг. Иймээс энэ зарчим нь тэнцвэрийн үед дам нуруу болон түүн дээрх ачааллын нийт боломжит энерги экстремаль утгатай байдгийг илтгэнэ. Хэрэв энэ экстремаль утга хамгийн бага бол тэнцвэр тогтвортой байна.
Потенциал энергийн минимумын зарчим нь (14) тэгшитгэлээр илэрхийлэгдсэн бөгөөд деформацын ажилд хамаарах (12b) илэрхийлэл, деформацийн нийцлийн нөхцлүүд (5), (6) нь уян харимхайн онолыг байгуулахад хангалттай, үндсэндээ тэгшитгэлийн системтэй дүйцэх тэгшитгэлийн системийг бүрдүүлдэг. Энэ систем нь ялангуяа дифференциал тэгшитгэлүүдийн (9)-ийг хангах нь тооцооны хүндрэл үүсгэдэг тохиолдолд ашигтай байж болох бөгөөд тиймээс ойролцоо шийдэл эрэх хэрэгтэй болдог, жишээ нь шилжилтийн хувьд урьдчилан тохиромжтой хэлбэрийг таамаглаж, түүнд хэд хэдэн чөлөөт тогтмол агуулуулан, эдгээрийг (14) тэгшитгэл биелэх шаардлагаас тогтооно. Ингэснээр асуудлын чанд шийдэл биш, харин сонгосон шийдлийн хэлбэрээр хүрч болох хамгийн сайн ойролцооллыг л авдаг. Ойролцоолол хангалттай эсэх нь нэгдүгээрт хүлээн авсан шийдлийн хэлбэрээс шалтгаалах тул энэ аргыг амжилттай хэрэглэхэд ур чадвар, туршлага шаардлагатай.
Кастильяногийн зарчим
Потенциал энергийн минимумын зарчмын үед деформацийн нийцлийн нөхцөлийг хангаж буй бүх деформацийн төлөвийг харьцуулж, тэдгээрээс харгалзах хүчдлүүд тэнцвэрийн нөхцөлийг хангаж буйг нь ялгадаг бол, Кастильяно-гийн зарчмын үед тэнцвэрийн нөхцөлийг хангаж буй бүх хүчдэлийн төлөвийг харьцуулж, тэдгээрээс харгалзах деформацууд деформацийн нийцлийн нөхцөлийг хангаж буйг нь ялгадаг. Энэ зарчим нь: боломжит бүх тэнцвэрийн төлөвөөс бодит байдал дээр деформацийн ажлын хамгийн бага утгатай нь үүснэ гэж үзнэ. Кастильяно-гийн зарчим нь деформацийн ажлын тэгшитгэл (12c) болон тэнцвэрийн нөхцлүүдтэй хамт материалын эсэргүүцлийг байгуулахад хангалттай тэгшитгэлийн системийг бүрдүүлнэ. Энэ зарчимд Хүүкийн хууль багтдаг тул түүнийг хэрэглэх боломж нь деформацыг энэ хуулиар бүрэн тодорхойлж болно гэсэн таамаглалтай холбоотой. Энэ нь зөвхөн материалын шугаман уян хатан шинжийг шаардаад зогсохгүй, температурын өөрчлөлтийг ч хасна.
Уян харимхайн хязгаараас дээших материалын зан төлөв
Статик ачааллын үеийн үзэгдлүүд
Материал хүчдэлийн нөлөөгөөр деформацид орох нь маш нийлмэл үзэгдэл тул түүнийг ойлгож болохуйц болгохын тулд янз бүрийн талаас нь хялбаршуулах шаардлагатай. Ийм хялбаршуулалтын нэг нь ачааллыг аажмаар өгнө гэсэн таамаглал бөгөөд жишээлбэл суналт ба шахалтын туршилтад сорьц дээр ингэж ажилладаг.
Хэрэв суналтад ачаалалтай ган савааг аажмаар нэмэгдэх ачаалалд оруулж, түүний суналт ε-ийг хэмжвэл зураг 8-д үзүүлсэн диаграмм гарна. Эхэндээ суналт маш бага бөгөөд хүчдэлтэй пропорциональ байдаг нь Хукийн хуулийн шаардлагатай нийцнэ. Тодорхой нэг хүчдлээс эхлэн пропорциональ байдал алдагдаж, суналт илүү хурдан өснө. Энэ пропорциональ байдлын хил хязгаарыг яг таг тогтооход хэцүү. Хэмжилт хэдий чинээ нарийвчлалтай байна, төдий чинээ доогуур гарна. Ихэнх материалын хувьд энэ нь σ = 0 дээр байрладаг бөгөөд Хукийн хууль нь тухайн үед уян харимхайн зан үйлийн зөвхөн эхний ойролцоо, координатын эх орчим дахь ε = ε (σ) функцийн Тейлорын цувралын хөгжлийн эхний гишүүн болдог.
Савааг суллавал, хүчдэл хэт их байгаагүй тохиолдолд деформаци мөн арилж байгааг Hook-ын хуулийн дагуу ажиглаж болно. Гэвч пропорциональ хязгаар гэж нэрлэгдэх уян харимхайн хязгаарт ойролцоо тодорхой хүчдэлийг давбал энэ байдал ч өөрчлөгдөнө; тэгэхэд нийт деформаци нь уян харимхай (эргэх) болон уян бус (байнгын) хэсгээс бүрдэнэ. Уян харимхайн хязгаарыг ч яг таг тогтоох боломжгүй, хэмжилтийн нарийвчлал өндөр байх тусам тэр төдийчинээ доогуур байрлана. Гэсэн ч энэ нь ихээхэн техникийн ач холбогдолтой, учир нь материалын эсэргүүцлийн бараг бүх тооцоонд ач холбогдлын хязгаарыг илэрхийлдэг бөгөөд нэгэн зэрэг анхны байнгын гэмтэл үүсэх хязгаар байдаг тул сорьцын шинжилгээнд ямар нэгэн хүлээн зөвшөөрсөн конвенцоор хатуу тодорхойлдог. Тиймээс, жишээлбэл, 0.2% хязгаар гэж байнгын суналт 0.2%-д хүрэх хүчдэлийг тэмдэглэнэ.
Уян харимхайн хязгаарыг давмагц деформаци огцом өсч, нүцгэн нүдээр ажиглагдана; бараг тогтмол хүчдэл дор саваа тасралтгүй сунаж байна. Энэ хүчдэлийг урсалтын хязгаар гэнэ. Материал турших гидравлик машин дээр урсалт эхэлсний дараа хүчдэлийн бага эсвэл ихээр илэрхий бууралт ажиглагдаж болно; 8-р зурагт тасархай муруйгаар үзүүлснээр; тэгэхэд дээд утгыг урсалтын дээд хязгаар, дараа нь тогтвортой үргэлжлэх урсалтын хүчдэлийг урсалтын доод хязгаар гэнэ.
Тодорхой, бараг бүрэн уян биш суналтанд хүрмэгц хүчдэл дахин өсөж эхэлдэг бөгөөд материал бэхжиж эхэлнэ. Энэ ачааллын мужид савааны хөндлөн огтлол (уян бус) хажуугийн агшилтын улмаас мэдэгдэхүйц багасдаг бөгөөд хүчдэл, деформацийн диаграммын цаашдын явц нь σ хүчдэлийг тооцохдоо саваанд үйлчлэх суналтын P хүчийг эхний огтлол F0-оор уу, эсвэл тухайн агшны огтлол F-ээр үү хувааж байгаагаас нэгдүгээрт хамаарна. Техникийн зорилгоор P|F0 хүчдэл сонирхолтой. Энэ хүчдэл нь материалын бат бэх гэж нэрлэгдэх максимумд хүрч, тэр максимумыг давмагц саваа нэг газраа хүчтэй нарийсаж тасарна. “Бодит хүчдэл” P|F нь эвдрэл хүртэл өссөөр байна.
Зураг 8.
Бусад металлын зан төлөв энд тайлбарласнаас ихээхэн ялгаатай байдаг. Урсалт нь ихэвчлэн илэрдэггүй бөгөөд уян харимхайн хязгаарыг давмагц хатжилт шууд эхэлдэг. Хэврэг материалуудын (чулуу, шил, бетон) хувьд уян бус деформаци ерөнхийдөө бага бөгөөд багахан суналтад ч эвдрэл үүснэ. Материал эвдрэх хүртэл нийтэд нь туулсан суналт нь материалын сунах чадварын хэмжүүр (эсрэгээрээ: хэврэгшлийн хэмжүүр) бөгөөд гангийн хувьд энэ нь техникийн нөхцөлд нарийн заагдсан байдаг. Гэхдээ эвдрэлээс яг өмнө цаашдын деформаци нь огтлол нарийссан орчмын хэсгүүдэд төвлөрдөг тул хэмжих уртад савааны их эсвэл бага хэсгийг авах эсэхээс хамааран эвдрэлийн үеийн суналтын утга өөр өөр гардаг. Иймээс нэг утгатай, харьцуулах боломжтой үр дүн гаргахын тулд урьдчилан тодорхой нэг конвенц тогтоох шаардлагатай. Эвдрэлийн үеийн суналтыг дүрмээр бол диаметр d-тэй дугуй саваан дээр туршилтын өмнө хэмжих урт Ι = 10 d гэж тэмдэглээд, түүний уртсалт ΔΙ-ээс эвдрэлийн үеийн суналт εs_Ι = ΔΙ|Ι гэж тооцдог._ Хэрэв өөр огтлолтой савааг шалгах шаардлагатай бол хэмжих уртыг ижил хөндлөн огтлолын талбайтай дугуй цилиндрэн савааны диаметрийн дагуу тодорхойлно.
Удаан хугацааны ачаалал
Суналтын туршилтын явцад ачааллыг эвдрэл хүртэл өсгөхийг 10 mминутын дотор хийх үү, эсвэл хэдэн цагийн турш хийх үү гэдэг нь бараг ялгаагүй. Гэвч ачаалал олон жил, эсвэл хэдэн арван жил үйлчилбэл, тодорхой нөхцөлд шингэний хязгаараас доогуур ч гэсэн тогтмол хүчдэл дорх деформаци цаг хугацааны явцад аажмаар нэмэгддэг нь ажиглагддаг. Энэ үед уян харимхайн хэсэг, өөрөөр хэлбэл эцсийн буулгалтын үед арилж алга болдог хэсэг, мэдэгдэхүйц өөрчлөгддөггүй. Ийм удаан хугацааны туршид үүсдэг буцаагдашгүй деформацийн энэ өсөлтийг мөлхөлт гэж нэрлэдэг. Металлуудад, хар тугалгаас бусад тохиолдолд, мөлхөлт нь зөвхөн өндөр температурт л ач холбогдолтой байдаг; харин барилгын инженерийн хувьд энэ нь даралтанд бага багаар сулрах бетонд чухал үүрэгтэй бөгөөд, хэрэв ийм арматур байгаа бол, шахагдсан арматур дахь хүчдэл өсөхөд хүргэнэ.
Өөрчлөгдөх ачаалал
Механикийн шинж чанаруудыг, суналтын туршилтаар авсан, байгууламжийн зөвшөөрөгдөх ачааллын шалгуур болгон хэрэглэхийн тулд тухайн материал нь дахин ачааллах бүртээ урьд нь гэмтэлгүй даасан хүчдэлийг тэсвэрлэх ёстой. Материал ачаалал ба сулралтыг ойр ойрхон давтан мэдрэх үед энэ нөхцөл биелэхгүй, жишээлбэл бүрэн тэнцвэржээгүй машинуудын инерцийн хүчээр ачаалагдсан дам нурууны хувьд ийм байна. Ачааллыг хангалттай олон удаа давтахад хийцийн элементийг энгийн статик туршилтаар тогтоосон материалын бат бэхээс хавьгүй доогуур хүчдэл дээр ч эвдрэлд хүргэж болно. Ийм төрлийн эвдрэлтийг ядаргааны улмаас үүсэх эвдрэл гэж нэрлэнэ. Материалын тэсвэрлэх n тооны ачааллын цикл нь хүчдэл σ-ийн хэмжээнээс хамаардаг бөгөөд хүчдэл бага байх тусам тэсвэрлэх цикл ихэснэ. Энэ хамаарлын ердийн жишээг зураг 9 дээр үзүүлсэн бөгөөд тэндээс материалын бат бэхийн хувьд доод хязгаар байдгийг, тэр нь дурын их тооны ачааллын циклийг ч тэсвэрлэдэг бөгөөд үүнийг материалын тэсвэрлэх динамик хязгаар гэж нэрлэдгийг харж болно. Ийм төрлийн диаграммуудыг (зураг9) Вёлерийн муруй гэж нэрлэнэ.
Зураг 9.
Бүтээцийн аюулгүй байдал
Хийцийн хувьд хоёр хязгаарын ачаалал чухал: анхны байнгын гэмтэл үүсэх ачаалал (урцын хязгаар), мөн хийцийн даац бүрэн шавхагдаж эвдрэх ачаалал (эвдрэлийн хязгаар). Урцын хязгаараас өмнө материалын эсэргүүцлийн онолын таамаглал дор хаяж ойролцоогоор хүчинтэй байдаг тул (бага шилжилт, Хукегийн хууль), байнгын деформацийн эсрэг аюулгүй байдлыг математикийн бэрхшээлийг даван туулах боломжтой бүх тохиолдолд найдвартай үнэлж болно. Хэрэв хүчдэл нь ачаалалтай пропорциональ бол, урцын хүчдэлийн хийцэд гарч буй хамгийн их хүчдэлд харьцах харьцаа нь урц үүсэх ачаалал ба бодит ачааллын харьцаатай тэнцүү бөгөөд урцын эсрэг аюулгүйн коэффициентийг илэрхийлнэ. Гэвч олон тохиолдолд энэ энгийн хамаарал байхгүй: суналт тооцохгүй нугаралт, овгор гадаргуунуудын хоорондын даралт, бүтэц нь хувьсамтгай системүүд, мөн ялангуяа таагүй нь, тэнхлэгийн хүчтэй нугаралт. Эдгээр бүх тохиолдолд ачааллыг харьцангуй бага нэмэгдүүлэхэд хүчдэл их хэмжээгээр өсч болох бөгөөд ийм үед нийтлэг аюулгүйн коэффициентийг хүчдэлд хэрэглэх нь хангалтгүй, харин ачаалалд хэрэглэх шаардлагатай.
Урсалтын хязгаарыг давснаас хойш эвдрэл хүртэлх үзэгдлүүдийг ихэнх тохиолдолд зөвхөн чанарын хувьд л ажиглаж болно. Хэрэв материал нь уян, суналттай бол хамгийн түрүүнд урсалтын хязгаарт хүрсэн бөгөөд цаашид тогтмол хүчдэлтэй эсвэл үл ялиг өсөх хүчдэлтэй үед деформацлагддаг хэсгүүд дараагийн ачааллыг хүлээн авахад бага оролцоно. Иймээс бүтэцийн үлдсэн, бага ачаалалтай хэсгүүд нь, бүтцийн онцлогоос шалтгаалан боломжтой бол, даацад илүү их оролцоно. Хүчдэлийн оргилуудыг тэгшитгэх энэ эрмэлзэлд тодорхой аюулгүй байдлын нөөц агуулагддаг бөгөөд нэг удаагийн ихээхэн ачааллын үед үүссэн зарим хэсгийн байнгын деформац нь хор хөнөөлгүй бол түүнийг тооцоогоор ашиглаж болно (хязгаарын ачааллын арга).
Хэрэв материал хэврэг бол, эхний байнгын гэмтэл нь ан цав хэлбэрээр илэрч, үүний улмаас эрсдэлтэй цэг дээр хүчдэл бүр ч илүү төвлөрч, тэр даруй эвдрэл үүсгэнэ. Ядралтаас үүдэлтэй эвдрэл нь уян материалын хувьд ч хэврэг хагаралтын шинжтэй байдаг.
Янз бүрийн огтлолын хавтгай дахь хүчдлүүдийн хоорондын хамаарал
Хувиргалтын тэгшитгэлүүд
Зураг 1 дээрх есөн бүрэлдэхүүнт хүчдэл нь тэнцвэрийн гурван нөхцөлтэй холбоотой. Үлдсэн зургаан хэмжигдэхүүн σx, σy, σz τxy, τyz, τzx нь хоорондоо хараат бус байдлаар дурын утга авч болно, үүнийг уян харимхайн онолын дифференциал тэгшитгэлийн гаргалгаанаас харж болно. Гэвч эдгээр утгууд өгөгдсөн үед хатуу биетийн аль нэг цэг дэх хүчдэлийн төлөв бүрэн тодорхойлогдоно, өөрөөр хэлбэл харилцан перпендикуляр гурван хавтгайн хүчдлүүд мэдэгдэж байвал, өгөгдсөн цэгээр дайрч, нормаль нь дурын чиглэлтэй дөрөв дэх хавтгайд хамаарах хүчдлийг ч нэг утгатайгаар тодорхойлж болно.
10‑р зурагт координатын системийн x, y, z хавтгайд параллель гурван талтай, дөрөвдэх тал нь дурын чиглэлтэй ABC = dF гадаргын элемент болох OABC тетраэдрийг харуулжээ. Түүний чиглэл болон түүнээр дамжих хүчдэлийн чиглэлийг тэмдэглэхийн тулд өөр нэг координатын систем оруулж, түүний ξ тэнхлэгийг dF.‑д перпендикуляр байрлуулна.
Зураг 10
ξ тэнхлэгийн чиглэлд энэ тетраэдрт үйлчлэх хүчнүүдийн тэнцвэрийн нөхцөлөөс гарна
Хэрэв дараахыг харгалзан үзвэл
гарна
мөн үүнтэй адилаар η тэнхлэгийн чиглэл дэх тэнцвэрийн нөхцлөөс:
Эдгээр нь координатыг хувиргах үед үүсэх хүчдлийг тооцоход хэрэглэгдэх тэгшитгэлүүд юм. Зөвхөн dF-ийн тийм талбайн элементүүдийг авч үзэх нь онцгой чухал бөгөөд тэдгээрт ξ_-тэнхлэг z-тэнхлэгтэй давхцана. Энэ тохиолдлын томьёог өмнөх томьёонуудыг хялбарчлан гаргаж авч болох буюу 11 зурагнаас шууд уншиж болно:
Зураг 11
Хэвийн хүчдэл нь α = α0 чиглэлүүдэд туйлын утгыг авна, эдгээрт dσξ/dα = 0 байна. Дифференциалчлах замаар тэгшитгэлээс (16)
тэгээд энэ илэрхийллээ тэгтэй тэнцүүлбэл
Даралт τξη нь эдгээр хавтгайд нийт зүсэлтийн хүчдэл мөн байх бөгөөд хэрэв τyz = τzx = 0 бол. Тэгвэл (17) тэгшитгэлээр бие биедээ перпендикуляр хоёр чиглэл тодорхойлогдоно, тэдгээрийн хувьд: 1. нийт зүсэлтийн хүчдэл тэг бөгөөд, 2. хэвийн хүчдэл туйлын утгатай байдаг (их ба бага). Эдгээр чиглэлийг үндсэн хүчдлийн чиглэл, харгалзах хүчдлүүдийг үндсэн хүчдлүүд гэнэ. Тэдгээрийг σ1 ба σ2 гэж тэмдэглээд, шууд дараах томъёогоор бодож болно
Моорын тойрог
Тэгшитгэлүүд (16)-ийг зураглалын аргаар ойлгомжтой байдлаар үзүүлж болно. Үүний тулд тэдгээрийг дараах хэлбэрт хувиргах хэрэгтэй:
Эдгээр тэгшитгэлүүд нь σ, τ координатын системд, зураг 12-д дүрсэлсэн тойргийн тэгшитгэлийн параметр хэлбэрийг илэрхийлнэ; түүний төвийн координат нь σ = 1/2 (σx + σy), τ = 0, харин радиус нь
Энэ тойргийг Мохрын тойрог гэж нэрлэнэ. Хэрэв x цэгээр x =const. огтлолтой параллель шулуун татвал, түүнээр σx, τxy хүчдлүүд дамждаг бөгөөд тэр нь тойргийг p цэгт огтолно, үүнийг Мохрын тойргийн туйл гэж нэрлэнэ. Энэ туйлаар татсан pξ шулуун бүр тойргийг ξ цэгт огтолж, pξ-тэй параллель огтлолоор дамжих σξ, τξη хүчдлүүдийг тодорхойлно.
Моорын тойрог зурахдаа зүслэг хүчдэлийн тэмдэгт анхаарах хэрэгтэй: хэрэв тэдгээр нь зураг 12c-д үзүүлсэн чиглэлтэй бол дээш нь тэмдэглэнэ. Иймээс хоёр коньюгат хүчдэл τxy, τyx-ийн нэг нь үргэлж эерэг, нөгөө нь сөрөг байдаг.
Хэвийн хүчдлүүдийн σ1, σ2 хязгаарын утгуудад тойрог дээрх 1 ба 2 цэгүүд тохирох бөгөөд _p_1 ба _p_2 шулуунууд нь үндсэн хүчдлүүдийн чиглэлийг өгнө.
x-y хавтгайд орших хүчдлүүдийг Махрын тойргоор дүрслэх нь энэ хавтгайд перпендикуляр σz, τxz, τyz хүчдлүүдийн тухай ямар нэг таамаглалтай огт холбоогүй.
Зураг 12
Иймээс энэ нь хамгийн ерөнхий гурван хэмжээст хүчдэлийн төлөвт ч мөн адил хамаарна, хэрэв зөвхөн энд z ба ξ тэнхлэгээр сонгогдсон нэг шулуунд бүгдээрээ дайрч өнгөрөх огтлолын хавтсуудыг харьцуулбал. Ерөнхий хувиргалтын тэгшитгэлүүд (15)-ийн дагуу хэвийн хүчдэл σ нь ямар ч огтлолын хавтсанд хязгааргүй болж чадахгүй тул ямар нэг хавтсанд σ1 гэсэн төгсгөлийн их утгатай, нөгөөд нь σ3 гэсэн минимумтай байх ёстой бөгөөд эдгээрийн аль аль нь, мэдээж, сөрөг ч байж болно. Хэрэв σ1 ба σ3 векторуудаар дайрсан хавтсыг авч, Моорын тойргийг (зураг 13) зурвал
Зураг 13
энэ хавтгайд байрлах хүчдэлүүдийн хувьд (өөрөөр хэлбэл энэ хавтгайд перпендикуляр бүх чиглэлүүд), тэгвэл σ1 ба σ3 нь үүсч болох хамгийн их ба хамгийн бага хэвийн хүчдэлүүд бөгөөд тиймээс харилцан перпендикуляр байх ёстой. Хэрэв 1 ба 3 чиглэлүүдийг 2 чиглэлээр нөхөж, эдгээр гурван чиглэл нь тэгш өнцөгт координатын систем үүсгэвэл, мөн 1 ~2 ба 2 ~ 3 хавтгайд Махрын тойргуудыг зурвал, σ2 нь эдгээр тойргуудын нэгэнд хамгийн их, нөгөөд нь хамгийн бага хэвийн хүчдэл байх ба үүний улмаас 1, 2 ба 3 чиглэлүүдэд перпендикуляр огтлолцлүүдэд зүсэлтийн хүчдэл тэгтэй тэнцүү байна. Зүсэлтийн хүчдэлд харгалзахгүй, хоорондоо перпендикуляр гурван хэвийн хүчдэл σ1, σ2 ба σ3-ийг гол хүчдэл гэж нэрлэнэ.
Урсалтын хязгаар ба эвдрэлийн хязгаар орон зайн хүчдэлийн төлөвт
Хүчдэлийн төлөвийг нэг, хоёр эсвэл гурван хэмжээст гэж, өөрөөр хэлбэл шугаман, хавтгай эсвэл орон зайн гэж нэрлэнэ. Энэ нь үндсэн гурван хүчдэлийн нэг, хоёр эсвэл гурвуулаа тэгээс ялгаатай эсэхээс шалтгаална. Хамгийн өргөн хэрэглэгддэг бүтцийн элементүүд, тухайлбал суналт, шахалт болон нугаралттай саваанд хүчдэлийн төлөв нь, ядаж хамгийн их ачаалалтай цэгүүдэд, нэг хэмжээст байдаг бөгөөд материалын туршилтад үлэмж хэмжээгээр хэрэглэгддэг суналт, шахалт эсвэл нугаралтын сорилуудын хувьд ч мөн адил; эдгээр нь зөвшөөрөгдөх хүчдэлийг тодорхойлоход хэрэглэгддэг. Харин өөрийн хавтгайд эсвэл түүнд перпендикуляр ачаалагдсан хавтангууд, мөн бүрхүүлүүдийн хувьд хүчдэлийн төлөв хоёр хэмжээст байдаг бөгөөд зарим тохиолдолд гурван хэмжээст хүчдэлийн төлөв ч илэрнэ. Тиймээс нэг хэмжээст хүчдэлийн төлөвт тодорхойлсон урсалтын хязгаар ба эвдрэлийн үндсэн дээр орон зайн хүчдэлийн төлөвийн үед материалын зан төлөвийн талаар дүгнэлт хийх шаардлагатай.