Materiale: Materiaalsterkte en elastisiteitsteorie

Grondbeginsels

Die taak van materiaalsterkte is om te bepaal watter eksterne kragte ’n vaste liggaam (bv. ’n gebou, ’n konstruktiewe deel of die grond) kan weerstaan. Om hierdie vraag te beantwoord, word uitgegaan van twee kriteria: aan die een kant mag die spannings nie sekere grense oorskry wat van die soort materiaal afhang nie, en aan die ander kant moet die ewewig tussen die eksterne en interne kragte stabiel wees. In ooreenstemming hiermee kan alle probleme van materiaalsterkte verdeel word in “spanningsprobleme” en “stabiliteitsprobleme.

By stange en balke en draers wat daaruit saamgestel is (roosters, rame) word die bepaling van spannings in twee stappe uitgevoer, naamlik só dat eers op grond van die gegewe eksterne kragte die resultant van die interne kragte bereken word wat oor die dwarsdeursnee oorgedra word, en daarna word die spannings uit hierdie “deursneekragte” bepaal. Die eerste deel van die prosedure verteenwoordig ’n spesiale, omvangryke dissipline, die statika van boukonstruksies, wat sy eie ontwikkelde metodes het en gewoonlik van die weerstand van materiale geskei word, waarvan die taak daarop neerkom om spannings uit gegewe deursneekragte te bepaal.

Basiese begrippe van materiaalsterkte

Die definisie van spanning word verkry deur die volgende basiese oorwegings. Laat ’n ewewigstelsel van eksterne kragte op ’n liggaam inwerk. Stel ons voor dat ons die liggaam deur ’n willekeurige snit in twee dele verdeel het, en dat ons een van hulle saam met die kragte wat daarop inwerk verwyder het; dan moet sy werking op die ander deel, om die ewewig van kragte en die verdeling van vervormings onveranderd te laat bly, vervang word deur aanvullende kragte wat oor die snitoppervlak oorgedra word. Hierdie “interne” kragte is voortdurend oor die snitoppervlak versprei, sodat aan elke oppervlakte-element dF ’n krag dβ ooreenstem. As die kwosiënt dβ dF gevorm word en die limietoorgang dF -> 0 gemaak word, dan nader hierdie kwosiënt die limietwaarde wat spanning genoem word. Die spanning in ’n bepaalde oppervlakte-element is, soos dβ, en kan in komponente normaal en tangensiaal op dF ontbind word, die normale spanning σ en die skuifspanning τ.

As snitte in verskillende rigtings deur dieselfde punt geneem word, sal verskillende spannings daarmee ooreenstem. Veral as ’n elementêre blok uit die liggaam uitgesonder word, soos getoon in fig. 1, sal in elk van sy ses vlakke ’n spanningsvektor werk wat in drie komponente langs die koördinaatasse x, y, z ontbind kan word. Die spannings wat op teenoorgestelde sye van die vlak werk, verskil natuurlik slegs differensieel van mekaar, so daar moet onderskei word tussen 3 * 3 = 9 komponentspannings, wat soos volg aangedui word:

Aan normale spannings σ word die indeks van die as in wie se rigting hulle lê toegeken, en hulle word as positief beskou as hulle trek veroorsaak, negatief as hulle druk veroorsaak. Skuifspannings τ kry twee indekse; die eerste daarvan is dieselfde as die indeks van die ooreenstemmende normale spanning, en die tweede verwys na die as in die rigting waarvan die skuifspanning inwerk. As die positiewe rigting van die ooreenstemmende normale spanning in die rigting van die positiewe (negatiewe) koördinaatas is, word die skuifspanning ook as positief beskou as dit in die rigting van die positiewe (negatiewe) koördinaatas inwerk.

Figuur 1.

 Konjugasie van skuifspannings

As vir die elementêre blok, fig. 1, die voorwaarde ingestel word dat die moment van al die kragte met betrekking tot die x-as nul is, word τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz verkry. Hieruit, en uit die twee ooreenstemmende vergelykings vir die y- en z-asse, volg dat die skuifspannings met dieselfde indekse gelyk aan mekaar is τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (1)

Komponentvervormings

Dat die bogedefinieerde spannings ’n fisiese betekenis het, blyk uit hulle verband met die vervorming wat elke liggaam onder die invloed van eksterne kragte ondergaan. Fig. 2 toon ’n elementêre reghoekige blok, wat voor vervorming reghoekig was en randlengtes dx, dy, dz gehad het. Die randlengtes ná vervorming kan ons aandui as dx + Δdx, dy, + Δdy, dz + Δdz; die verhoudings εx = Δdx|dx, εy =Δdy|dy, εz = Δdz|dz word dilatasies genoem. Dit is groothede sonder dimensie en, by alle materiale wat in die boubedryf ter sprake kom, klein volgens 1. Behalwe die verlenging van die rande kan die elementêre reghoekige blok dx * dy * dz ook ’n verandering ondergaan in die oorspronklik regte hoeke tussen sy sye.

Prent 2. komponentdeformasie

Laat die hoek na vervorming tussen die vlakke wat langs die rand OC saamkom, gelyk wees aan  en soortgelyk daaraan laat die vermindering van die regte hoek langs die rand AO gelyk wees aan γyz, en die vermindering langs die rand OB gelyk wees aan γzx. Hierdie drie hoekveranderings γxy, γyz, γzx, word skuifvervormings genoem en is ook altyd klein in vergelyking met 1. Met ses komponent-ε en γ word die vervorming van die elementêre kwader volledig bepaal, “klein vervorming”. Die verandering van die volume-element d_V = dx * dy * dz_ is ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, waaruit, wanneer die produkte van rekke as kleinhede van hoër orde verwaarloos word, die kubiese rek ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2) verkry word

Verplasings

Die vervorming van ’n vaste liggaam kan ook volledig beskryf word deur vir elkeen van sy punte die verplasing te gee wat daardie punt ondergaan het. As verplasings van eindige grootte wat ooreenstem met die verplasing van ’n starre liggaam uit die waarneming uitgesluit word, op so ’n manier dat, indien nodig, ’n beweegbare koördinaatstelsel in die berekening aanvaar word, dan is die komponentverplasings μ, ν, ω ook altyd klein groothede, en hulle afgeleides volgens die koördinate klein in vergelyking met 1. Onder daardie aanname is volgens fig. 3 die lengte van die lyn-element OA = dx ná vervorming

dus  (3)

Op soortgelyke wyse blyk uit fig. 3 dat die skuifing γxy γ1 + γ2 is: en ook

 (4)

Figuur 3 gliding

(5)  (6)

Hierdie verhoudings word kompatibiliteitsvoorwaardes genoem en dui aan dat die vervormde elemente soos ’n mosaïek inmekaar kan pas, sodat die ruimte voortdurend gevul bly, wat nie bereik kan word as die vervormings van die elemente willekeurig is nie. Die kompatibiliteitsvoorwaardes is differensiaalvergelykings, en dus is, soos te verwagte, al ses komponentvervormings vir elke afsonderlike blok onderling onafhanklik, maar hul rangskikking in enige eindig verspreide gebied word deur die voorwaardes (5) en (6) bepaal.

Aangesien hierdie toestande deur differensiasie uit vergelykings (3) en (4) verkry is, gaan by hulle afleiding ’n deel van die skakels wat in die oorspronklike vergelykings vervat is, verlore. Daarom is dit nie genoeg dat slegs een van hierdie twee stelsels vergelykings vervul word nie, maar albei stelsels vergelykings moet bevredig word as vervormingsversoenbaarheid verseker moet wees.

Differensiaalvergelykings van die elastisiteitstelsel

Vir die berekening van spanninge en vervormings by elastiese liggame word die volgende vergelykings gebruik:

Evenwigsvoorwaardes van die volume-element. Die voorwaardes dat die momente om die drie asse gelyk aan nul is, is reeds gebruik by die afleiding van vergelyking (1). Die krag-evenwigsvoorwaardes gee volgens afb. 4

Figuur 4

(7a-c)

As die komponente van volumiese kragte (bv. gewig, sentrifugale krag) per eenheid volume met X, Y, Z aangedui word. Verband tussen spanning en vervorming. Hiermee word die verband tussen komponentspannings en komponentvervormings bedoel. In die elastisiteitsteorie kom gewoonlik slegs die lineêre verband ter sprake, wat deur die Hooke-wet uitgedruk word:

(8a-c)

(8d-f)

As die vergelykings (8a-c) volgens die spannings opgelos word, word verkry

(8 a)

kso en twee ooreenstemmende vergelykings. Hooke se wet, uitgedruk deur die vergelyking (8), verteenwoordig nie ’n streng nagekomde natuurwet nie, maar ’n idealisering van die werklike gedrag, wat min of meer daarvan afwyk, afhangende van die materiaal en van die grootte van die spanning. Aangesien die wiskundige behandeling van die probleem van materiaalweerstand met ingewikkelde, nie-lineêre verbande tussen spanning en vervorming onvergelykbaar groter probleme veroorsaak en in werklikheid slegs in die eenvoudigste gevalle uitgevoer kan word, moet berekeninge wat daarop berus, selfs by daardie materiale (beton!) waarvan die gedrag beduidend van Hooke se wet afwyk, as die eerste, en meestal ook die enigste benaderde oplossing gebruik word; dit is trouens gewoonlik baie bruikbaar en gee insig wat meer as bloot kwalitatief is. G = E|2 (1+μ).

Dit volg noodwendig uit die verband tussen spanning en vervorming (8), uit die transformasievergelykings (16) vir spannings en die ooreenstemmende stelsel vergelykings vir komponentvervormings. E en G het die dimensie van spanning en is by alle boumateriaal groot in vergelyking met die spannings σ en τ wat kan voorkom. Op hierdie feit berus die aanname wat oral in die elastisiteitsteorie aanvaar word, naamlik dat vervormings klein is. Die koëffisiënt van dwarsverlenging (Poisson se getal) μ is dimensieloos en lê altyd tussen 0 en 1/2 .

Verbindings tussen komponentvervormings en verplasings. Hierdie verhoudings word deur die vergelykings (3), (4) gegee. Hulle is van suiwer meetkundige aard. Hierdie drie stelsels gee 3+6+6=15 vergelykings vir 15 onbekendes, d.w.s. vir 6 komponentspannings, 6 komponentvervormings en 3 komponentverplasings. Hulle is dus voldoende vir die bepaling van hierdie onbekendes. Die wiskundige hantering van so ’n omvangryke stelsel differensiaalvergelykings is natuurlik slegs in spesiale gevalle moontlik. Indien die komponentvervormings in vergelyking (8) deur komponentverplasings vervang word volgens vergelykings (3) en (4), en daarna die normale spannings σ en skuifspannings τ, volgens vergelykings (8 d - f), in die ewewigsvoorwaardes, verg. (7), ingevoer word, word differensiaalvergelykings verkry wat die grondvergelykings van die elastisiteitsteorie genoem word.

(9)

waarmee die  Laplace-operator aangedui is. Met betrekking tot (2) is dit drie differensiaalvergelykings met drie komponentverskuiwings μ, ν, ω; daaruit kan op hul beurt deur differensiasie op grond van (3), (4) en (8) al die komponentspannings en -vervormings verkry word. Vergelykings (9) vorm dikwels ’n geskikte vertrekpunt vir die bestudering van spesiale gevalle.

Deformasiewerk

Definisie

Wanneer die draer belas word, ondergaan die aangrypingspunte van die uitwendige kragte elastiese verplasings en die kragte verrig daarmee saam ’n sekere arbeid. Op hierdie manier kan die toegevoerde energie in verskillende vorme oorgaan. As die belasting skielik toegepas word, sodat die vervormingsproses ’n beduidende snelheid het, word ’n deel van hierdie energie in kinetiese energie omgesit, wat met verloop van tyd verdwyn, óf deurdat dit as ’n elastiese golf na die grond oorgedra word en in die oneindigheid verdwyn, óf deurdat dit deur interne wrywing in warmte omgesit word. As die laste so geleidelik aangebring word dat daar geen merkbare toename in kinetiese energie ontstaan nie, dus dat die laste wat van nul af geleidelik toeneem in bestendige ewewig met die interne kragte is, word die energie klaarblyklik uitsluitlik vir die vervorming van die liggaam verbruik en dan noem ons dit vervormingsarbeid.

Die berekening van die vervormingsarbeid sal ons eers toon op ’n element wat in een rigting op trek belas word (fig. 5).

Laat die bestaande spanning σ en die ooreenstemmende rek ε inkremente dσ en dε ondergaan. Dan sal die krag σdF op die pad dε * dl arbeid verrig  σdF * dεdl = σdεdV, as met dV die volume van die deeltjie aangedui word. As die spanning van nul tot sy finale waarde toeneem en die rek dienooreenkomstig van 0 tot ε, sal die totale verrig­te arbeid per eenheid volume wees:

Soortgelyk hieraan is, vir ’n element wat aan skuifspanning τ blootgestel is (fig. 6), die vervormingsarbeid per eenheid volume (spesifieke vervormingsarbeid, elastiese potensiaal):

waarby slegs een van die vier kragte τ * dF arbeid verrig.

In die algemene geval, wanneer al ses komponentspannings op die elementêre deeltjie inwerk, word die spesifieke vervormingsarbeid verkry deur die werke van die afsonderlike komponentspannings bymekaar te tel:

(10)

Deur met betrekking tot die boonste grens van elkeen van hierdie integrale te differensieer, word verhoudings verkry wat in die mees algemene geval geld:

(11)

en so ook vir die ander komponentvervormings. As die liggaam elasties is, stem elke bepaalde spanningstoestand altyd ooreen met dieselfde vervormingstoestand, ongeag of die toestand tydens belas of ontlas bereik is. Dan staan daar onder die integrale eenduidige funksies en die totale energie wat tydens belas en daarna volslae ontlas verbruik is, is a = 0, aangesien in hierdie geval die boonste grense van die integrale nul word. Daarom word die totale energie wat by belas aan die liggaam toegevoer is, by ontlas teruggekry.

Prent 6

Figuur 7

Vir ’n nie-volmaak elastiese liggaam het die verband tussen spanning en vervorming vir die hele las- en ontlastingsiklus die vorm wat ongeveer op fig. 7 met die lyne O A B. aangedui is. Die energie  wat by belasting ingebring word, is gelyk aan die oppervlak OAA, en die energie wat by ontlasting teruggegee word aan die oppervlak ABA, sodat die arbeid wat ooreenstem met die gearseerde oppervlak verlore gaan (in hitte omgeskakel word). As die spanning in ’n ossilerende proses periodiek verander tussen die positiewe grenswaarde  en die negatiewe grenswaarde,  verloop die nie-elastiese vervorming soortgelyk soos met die stippellyne op fig. 7 aangedui is, en by elke ossillasieperiode word die energie DABCD per volume-eenheid in hitte omgeskakel. Só ’n gedrag tydens vervorming, waarby die vervorming agter die spanning aanloop, word elastiese histerese genoem, en die kurwe DABCD die histerese-lus.

Vervormingsarbeid en Hooke se wet

As Hooke se wet in die integrale in vergelyking (10) ingevoer word, kan integrasie uitgevoer word, en vir die spesifieke vervormingsarbeid word die uitdrukkings verkry:

(12a)

(12b)

(12c)

As die tweede van hierdie vorme in die vergelyking (11) ingevoer word, word weer Hooke se wet verkry, vergelykings (8), in die vorm opgelos volgens spanninge. Die stelling dat die vervormingsarbeid van die komponentvervormings afhang, soos deur vergelyking (12b) getoon, is dus ekwivalent aan Hooke se wet. Wanneer vergelyking (12c) volgens spanninge gedifferensieer word, word verkry

(13)

Hierdie vorms, anders as die vorms (11), geld slegs vir liggame wat volgens Hooke se wet optree en kan nie toegepas word wanneer die verband tussen spanning en vervorming anders is nie. Uiteraard vind daar aan die regterkant van vergelykings (13) slegs komponentdeformasies wat deur spannings veroorsaak word, plaas, terwyl alle ander wat moontlik as gevolg van temperatuurverandering, kruip, swelling, herkristallisasie, ens. kon ontstaan het, uitgesluit word.

INTEGRALE STELLINGS IN DIE ELASTISITEITSTEORIE

Virtuele verplasings. Beginsels van minimum potensiële energie

Net soos die Hooke-wet, vergelykings (8) deur ’n enkele vergelyking (12b) vervang kan word, kan die beginsel van virtuele verplasings ook in die plek van ewewigsvoorwaardes ingevoer word as ’n algemeen geldige fundamentele wet van die meganika. Hierdie wet stel dat ewewigstoestande gekenmerk word deur die feit dat die totale verrigte arbeid van alle kragte by ’n klein verandering in die vervormingstoestand gelyk is aan nul. As ons klein veranderinge van elastiese verplasings met δμ δν, δω aandui, dan verrig die volumieke kragte gedefinieer deur vergelyking (7) virtuele arbeid

en die oppervlakkragte px, py, pz wat op die element dF van die buite-oppervlak van die liggaam inwerk, werk 

waarby die drievoudige integraal op die hele volume betrekking het, en die tweevoudige op die hele buitenste oppervlak van die liggaam. Vir die berekening van die arbeid wat deur interne kragte verrig word, word vergelyking (12b) gebruik, en vir die arbeid per eenheid volume verkry mens

Die beginsel van virtuele verplasings gee op grond daarvan

(14)

As die laste X, Y, Z px, py., pz as komponente van die swaartekrag beskou word (eie gewig en eksterne belasting), stel die integrale aan die regterkant die potensiële energie voor wat deur hierdie laste verloor is, terwyl die linkerkant die toename in potensiële (elastiese) energie van die liggaam voorstel, sodat hierdie beginsel uitdruk dat die totale potensiële energie van die draagstruktuur en die laste wat daarop rus in geval van ewewig ’n ekstreme waarde het. As hierdie ekstreme waarde ’n minimum is, is die ewewig stabiel.

Die beginsel van die minimum potensiële energie, uitgedruk deur vergelyking (14), die uitdrukking (12b) vir vervormingsarbeid en die verenigbaarheidsvoorwaardes vir vervormings (5), (6) vorm ’n stelsel vergelykings wat voldoende is vir die opbou van die elastisiteitsteorie en wat in wese ekwivalent is aan die stelsel vergelykings. Hierdie stelsel kan veral nuttig wees in gevalle waar die bevrediging van die differensiaalvergelykings (9) rekenkundige probleme meebring en daarom ’n benaderde oplossing gesoek moet word; byvoorbeeld word die verplasings vooraf in ’n geskikte vorm veronderstel wat verskeie vrye konstantes bevat, en hierdie word dan bepaal uit die vereiste dat vergelyking (14) bevredig moet word. Só word wel nie ’n streng oplossing van die probleem verkry nie, maar slegs die beste benadering wat met die gekose oplossingvorm bereik kan word. Of die benadering voldoende is, hang in die eerste plek af van die aangeneemde oplossingvorm, en die suksesvolle toepassing van hierdie metode vereis daarom vaardigheid en ervaring.

Castigliano se beginsel

Terwyl by die beginsel van die minimum potensiële energie alle vervormingstoestande wat aan die vereistes van vervormingsversoenbaarheid voldoen vergelyk word en uit hulle dié uitgesonder word waarvoor die ooreenstemmende spanningstoestande aan die ewewigsvoorwaardes voldoen, word by Castigliano se beginsel alle spanningstoestande wat aan die ewewigsvoorwaardes voldoen vergelyk en uit hulle dié uitgesonder waarvoor die ooreenstemmende vervormings aan die vereistes van vervormingsversoenbaarheid voldoen. Hierdie beginsel lui: uit al die moontlike ewewigstoestande tree die werklike een op waaraan die kleinste vervormingsarbeid ooreenstem. Castigliano se beginsel vorm saam met die vergelyking (12c) vir vervormingsarbeid en die ewewigsvoorwaardes ’n stelsel vergelykings wat voldoende is vir die opbou van die materiaalweerstand. Aangesien hierdie beginsel Hooke se wet bevat, is die moontlikheid van die toepassing daarvan gekoppel aan die aanname dat vervormings volledig deur hierdie wet beskryf kan word. Dit vereis nie slegs lineêr elastiese gedrag van die materiaal nie, maar sluit ook temperatuurveranderings uit.

Gedrag van materiale bo die elastisiteitsgrense

Verskynsels by statiese belasting

Die vervorming van materiaal onder die invloed van spanning is ’n baie ingewikkelde verskynsel, sodat dit op verskillende maniere vereenvoudig moet word om verstaan te kan word. Een van hierdie vereenvoudigings is die aanname dat die laste geleidelik toegepas word, soos dit byvoorbeeld met proefstukke by trek- en druktoetse gedoen word.

As ’n staalstaaf wat aan trek blootgestel is, aan ’n belasting onderwerp word wat geleidelik toeneem en sy verlenging ε gemeet word, kry ons die diagram wat in fig. 8 getoon word. Aanvanklik is die verlenging baie klein en proporsioneel met die spanning, soos wat Hooke se wet vereis. Vanaf ’n sekere spanning hou die proporsionaliteit op en die verlenging neem vinniger toe. Die presiese ligging van die grens van hierdie proporsionaliteit kan moeilik bepaal word. Hoe presieser die meting, hoe laer word dit verkry. Vir die meeste materiale lê dit by σ = 0, en Hooke se wet verteenwoordig dan slegs die eerste benadering tot elastiese gedrag, die eerste term van die ontwikkeling in die Taylor-reeks van die funksie ε = ε (σ) naby die koördinaatorgine.

As die staaf ontlaai word, word opgemerk dat, wanneer die spanning nie te groot was nie, die vervorming ook verdwyn, in ooreenstemming met Hooke se wet. Maar ook dit verander as ’n sekere spanning oorskry word wat naby die proporsionaliteitsgrens lê, die sogenaamde elastisiteitsgrens; dan bestaan die totale vervorming uit ’n elastiese (terugkerende) en ’n nie-elastiese (permanente) deel. Ook die elastisiteitsgrens kan nie presies bepaal word nie; dit lê des te laer hoe groter die meetakkuraatheid is. Omdat dit egter groot tegniese betekenis het, aangesien dit die belangrikheidsgrens by byna alle berekenings in materiaalsweerstand voorstel, en terselfdertyd ook die grens waar die eerste permanente skade ontstaan, word dit vir die toetsing van monsters streng gedefinieer deur ’n aanvaarde konvensie, en byvoorbeeld word as grens 0.2% die spanning aangedui waarby die permanente rek 0.2% bereik.

Onmiddellik nadat die elastisiteitsgrens oorskry is, neem die vervorming skielik toe en kan met die blote oog waargeneem word; by byna konstante spanning verleng die staaf voortdurend. Hierdie spanning word die vloeigrens genoem. By hidrouliese materiaaltoetsmasjiene kan daar boonop ná die begin van vloeie ’n min of meer duidelike daling in spanning waargeneem word; soos op fig. 8 met ’n stippellyn aangedui; dan word die maksimum die boonste vloeigrens genoem, en die konstante vloei-spanning wat daarna volg die onderste vloeigrens.

Nadat ’n sekere verlenging bereik is, wat byna heeltemal nie-elasties is, begin die spanning weer toeneem; die materiaal verhard. In hierdie belastingsgebied vind ’n merkbare verkleining van die dwarsdoorsnit van die staaf plaas as gevolg van (nie-elastiese) laterale kontraksie, en die verdere verloop van die spanning-vervormingsdiagram hang in die eerste plek daarvan af of, by die berekening van die spanning σ, die trekkrag P wat op die staaf inwerk, gedeel word deur die oorspronklike dwarsdoorsnit F0 of die oomblikkelike dwarsdoorsnit F. Vir tegniese doeleindes is die spanning P|F0 van belang. Hierdie spanning bereik ’n maksimum wat die materiaalsterkte genoem word en wanneer dié maksimum verby is, vernou die staaf op een plek sterk en breek. “Werklike spanning” P|F neem toe tot by breuk.

Figuur 8.

Die gedrag van ander metale wyk in baie opsigte af van wat hier beskryf is. Vloei is dikwels nie uitgesproke nie, en verharding begin onmiddellik nadat die grens van elastisiteit oorskry is. By bros materiale (klip, glas, beton) is onelastiese vervormings oor die algemeen klein en reeds by ’n klein verlenging vind breuk plaas. Die totale verlenging wat die materiaal tot by breuk ondergaan, is ’n maatstaf vir die rekbaarheid (teenoor: brosheid) van die materiaal, en dit word vir staal presies in die tegniese spesifikasies voorgeskryf. Aangesien die verdere vervorming direk voor breuk egter na die omliggende plekke van vernoude deursnee gekonsentreer word, word ’n verskillende waarde van die verlenging by breuk verkry, afhangend daarvan of ’n groter of kleiner deel van die staaf as meetlengte geneem word; daarom moet ’n bepaalde konvensie vooraf aangeneem word om eenduidige en onderling vergelykbare resultate te verkry. Die verlenging by breuk word gewoonlik gemeet deur op ’n ronde staaf met deursnee d voor die toets die meetlengte Ι = 10 d aan te dui en uit die verlenging daarvan ΔΙ die verlenging by breuk εs_Ι = _ΔΙ|Ι te bereken. As staven met ’n ander deursnee getoets moet word, word die meetlengte bepaal volgens die deursnee van ’n sirkelvormige silindriese staaf wat dieselfde dwarsdeursnee-oppervlakte het.

Langdurige belasting

Vir die verloop van die trekproef maak dit nogal min saak of die las tot breuk gedurende 10 m minute of ’n paar uur toeneem. As die las egter jare of dekades lank werk, word onder sekere omstandighede waargeneem dat selfs onder die vloeigrens die vervorming by konstante spanning met verloop van tyd stadig toeneem. Die elastiese deel, d.w.s. die deel wat by die finale ontlasing verdwyn, verander nie merkbaar nie. Hierdie toename in onelastiese vervorming wat oor ’n lang tyd plaasvind, word kruip genoem. By metale, behalwe lood, is kruip slegs by hoë temperature van betekenis; vir die siviele ingenieur speel dit egter ’n rol by beton wat onder druk effens meegee, sodat die spanning in die saamgeperste wapening toeneem, indien dit wel bestaan.

Veranderlike belasting

Om die meganiese eienskappe van ’n materiaal wat by ’n trektoets verkry is, as maatstaf vir die toelaatbare belasting van konstruksies te kan gebruik, is dit ’n vereiste dat die materiaal by elke herhaalde belasting die spanning kan weerstaan wat dit eens sonder skade verduur het. Hierdie vereiste is nie vervul indien die materiaal aan gereelde herhaling van belasting en ontlasting blootgestel word nie, soos byvoorbeeld die geval is by draers wat belas word deur traagheidskragte van onvolledig gebalanseerde masjiene. Deur voldoende gereelde herhaling van belasting kan ’n konstruksiedeel selfs by ’n spanning ver onder die sterkte van die materiaal, soos deur ’n gewone statiese toets bepaal, tot breuk gebring word. Die verskynsel van breuk van hierdie soort word breuk weens vermoeiing genoem. Die aantal n belastingsiklusse wat ’n materiaal kan weerstaan, hang af van die grootte van die spanning σ, sodat dit des te groter is hoe kleiner die spanning. ’n Tipiese voorbeeld van hierdie afhanklikheid word in fig. 9 getoon, waaruit blyk dat daar vir die sterkte van die materiaal ’n onderste grens bestaan wat dit ook by ’n arbitrêr groot aantal belastingsiklusse verdra en wat dinamiese sterkte van die materiaal genoem word. Diagramme van hierdie soort (fig. 9) word Wöhler-krommes genoem.

Foto 9.

Struktuurveiligheid

Twee grensbelastings is belangrik vir strukture: die belasting waarby die eerste permanente skade ontstaan (vloeigrens), en die belasting waarby die draagvermoë van die struktuur uitgeput is en dit breek (breukgrens). Aangesien die aannames van die materiaalweerstandsteorie vóór die vloeigrens ten minste ongeveer geld (klein verplasings, Hooke se wet), kan die veiligheid teen permanente vervormings betroubaar bepaal word in al die gevalle waar dit regkry om die wiskundige probleme te oorkom. As die spanning eweredig is aan die belasting, is die verhouding van die vloeispanning tot die grootste spanning wat in die struktuur voorkom gelyk aan die verhouding tussen die belasting waarby vloei ontstaan en die werklike belasting en stel dit die veiligheidsfaktor teen vloei voor. In ’n aantal gevalle bestaan hierdie eenvoudige verhouding egter nie: buiging wanneer trek uitgeskakel word, druk tussen konvekse oppervlaktes, stelsels waarvan die struktuur veranderlik is en, wat veral ongunstig is, buiging met aksiale krag. In al hierdie gevalle kan ’n relatief klein toename in belasting tot ’n groot toename in spanning lei, en dan is dit nie voldoende om die gewone veiligheidsfaktor op die spannings toe te pas nie; dit moet op die belasting toegepas word.

Verskynsels wat na die oorskryding van die vloeigrens tot by breuk plaasvind, kan in die meeste gevalle nog slegs kwalitatief gevolg word. As die materiaal rekbaar is, neem die dele waarin die vloeigrens eers bereik is, en wat verder vervorm by ’n konstante spanning of ’n spanning wat effens toeneem, min deel aan die opname van verdere belasting, sodat die ander, minder gespanne dele van die struktuur, indien dit moontlik is gegewe die struktuur daarvan, meer deelneem aan die dra van die las. In hierdie strewe om spanningspieke gelyk te maak, lê ’n sekere veiligheidsreserwe, wat berekeningsmatig benut kan word indien die permanente vervorming van afsonderlike dele, wat by slegs een aansienlike belasting ontstaan het, nie nadelig is nie (metode van grensbelasting).

As die materiaal bros is, blyk die eerste permanente skade in krake, waardeur daar op die bedreigde plek ’n nog sterker spanningskonsentrasie ontstaan, wat onmiddellik breuk veroorsaak. Breuk as gevolg van moegheid het, ook by rekbare materiale, die kenmerke van bros breek.

 Verband tussen spanninge vir verskillende snitvlakke

Transformasievergelykings

Die nege komponentspannings op afb. 1 is verbind met drie ewewigsvoorwaardes. Die ses oorblywende groothede σx, σy, σz τxy, τyz, τzx  kan, onafhanklik van mekaar, arbitrêre waardes aanneem soos blyk uit die afleiding van die differensiaalvergelykings van die elastisiteitsteorie. Wanneer hierdie waardes egter gegee is, is die spanningstoestand in ’n sekere punt van ’n vaste liggaam volledig bepaal, d.w.s. wanneer die spannings vir drie onderling loodregte vlakke bekend is, kan die spanning vir ’n vierde vlak wat deur die gegewe punt gaan en waarvan die normaal ’n arbitrêre rigting het, ondubbelsinnig bepaal word.

In fig. 10 is die tetraëder OABC getoon waarvan drie sye parallel is aan die vlakke van die koördinaatstelsel x, y, z en die vierde ’n willekeurig georiënteerde oppervlakselement ABC = dF voorstel. Om die rigting daarvan en die rigting van die spanning wat daardeur oorgedra word aan te dui, word ’n tweede koördinaatstelsel ingevoer, waarvan die ξ-as loodreg op dF is.

Figuur 10

Die voorwaarde van ewewig van die kragte wat op hierdie tetraëder in die rigting van die ξ-as inwerk, gee

As in ag geneem word dat

word verkry

en dieselfde geldt uit die ewewigsvoorwaarde in die rigting van die as η:

Dit is die vergelykings wat gebruik word om die spanning by transformasie van koördinate te bereken. Van besondere belang is dat slegs sulke oppervlakelemente _dF oorweeg word waarvoor die ξ-as saamval met die z-as. Die vormules vir hierdie geval kan verkry word deur die vorige vormules te vereenvoudig of direk uit fig. 11 gelees word:

Figuur 11

Die normale spanning neem ekstreme waardes aan vir rigtings α = α0, waarvoor dσξ/dα = 0. Deur differensiasie word uit vergelyking (16) verkry

en dus, wanneer hierdie uitdrukking gelyk aan nul gestel word

Die spanning τξη sal terselfdertyd die totale skuifspanning in hierdie vlakke wees, as τyz = τzx = 0. Dan word deur vergelyking (17) twee wedersyds loodregte rigtings bepaal waarvoor: 1. die totale skuifspanning nul is en, 2. die normaalspanning uiterste waardes het (maksimum en minimum). Hierdie rigtings word die rigtings van hoofspannings genoem, en die ooreenstemmende spannings hoofspannings. Hulle word aangedui met σ1 en σ2 en kan direk uit die formule bereken word

 Mohr se sirkel

Die vergelykings (16) kan op ’n grafiese wyse duidelik voorgestel word. Vir hierdie doel moet hulle na die vorm omgeskakel word:

Hierdie vergelykings stel in die koördinaatstelsel σ, τ die parametriese vorm van die vergelyking van die sirkel voor, geteken in fig. 12, waarvan die koördinate van die middelpunt σ = 1/2 (σx + σy), τ = 0 is en waarvan die radius

Hierdie sirkel word die Mohr-sirkel genoem. As deur die punt x ’n reguit lyn getrek word parallel met die snit x =const., waardeur die spannings σx, τxy oorgedra word, sal dit die sirkel sny in die punt p, wat die pool van die Mohr-sirkel genoem word. Elke reguit lyn pξ wat deur hierdie pool getrek word, sny die sirkel in die punt ξ wat die spannings σξ, τξη bepaal wat deur die snit parallel met pξ oorgedra word.

Wat die teken van die skuifspannings betref by die teken van die Mohr-sirkel, moet daarop gelet word dat hulle opwaarts uitgeplaas word as hulle die rigting het wat in fig. 12c aangedui is. Daarom is van die twee gekonjugeerde spannings τxy, τyx, een altyd positief en die ander negatief.

Aan die grenswaardes van σ1, σ2 van die normale spannings stem die punte 1 en 2 op die sirkel ooreen, en die reguit lyne _p_1 en _p_2 gee die rigtings van die hoofspannings.

Die voorstelling van spannings wat in die x-y-vlak lê met behulp van die Mahr-sirkel is nie verbind aan enige aanname oor die spannings σz, τxz, τyz wat loodreg op hierdie vlak is nie.

Figuur 12

Dit geld dus ook vir die mees algemene driedimensionele spannings-toestand, as slegs daardie snitvlakke vergelyk word wat almal deur dieselfde reguit lyn gaan, wat hier as die z- en ξ-as gekies is. Aangesien volgens die algemene transformasievergelykings (15) die normale spanning σ vir geen snitvlak oneindig kan word nie, moet dit vir een vlak ’n eindige maksimum σ1 hê en vir ’n ander ’n minimum σ3, waarvan albei, verstaanbaar, ook negatief kan wees. As ’n vlak deur die vektore σ1 en σ3 gaan en die Mohr-sirkel geteken word (afb. 13)

Prent 13

vir spannings wat in hierdie vlak lê (dit wil sê alle rigtings wat loodreg op hierdie vlak is), dan is σ1 en σ3 die grootste en kleinste normale spannings wat kan voorkom en moet hulle derhalwe onderling loodreg wees. As die rigtings 1 en 3 aangevul word met die rigting 2, sodat hierdie drie rigtings ’n reghoekige koördinaatstelsel vorm, en as die Mohr-sirkels vir die vlakke 1 ~2 en 2 ~ 3 geteken word, dan is σ2 vir een van hierdie sirkels die grootste, en vir die ander die kleinste normale spanning, en gevolglik is by snitte loodreg op die rigtings 1, 2 en 3 die skuifspanning gelyk aan nul. Drie onderling loodregte normale spannings σ1, σ2 en σ3, waarvoor daar geen skuifspannings is nie, word hoofspannings genoem.

    Vloeigrens en breukgrens by ’n ruimtelike spanningstoestand

Die spanningstoestand word enkel-, dubbel- of driedimensioneel genoem, anders: lineêr, vlak of ruimtelik, na gelang een, twee of al drie hoofspannings verskil van nul. By konstruktiewe dele wat die meeste toegepas word, d.w.s. by ’n trek-, druk- en buigstaf, is die spanningstoestand, ten minste op die plekke waar die spanning die grootste is, eendimensioneel, en dieselfde geld by proewe op trek, druk of buiging, wat by materiaaltoetsing byna uitsluitlik toegepas word om toelaatbare spannings te bepaal. Daarteenoor is by plate wat in hul vlak of loodreg daarop belas word, sowel as by doppe, die spanningstoestand tweedimensioneel, en in sekere gevalle kom driedimensionele spanningstoestande ook voor, sodat dit nodig is om op grond van die vloeigrens en breuk, bepaal by ’n eendimensionele spanningstoestand, afleidings te maak oor die gedrag van die materiaal in die geval van ’n ruimtelike spanningstoestand.