Pamati
Materiālu stiprības uzdevums ir noteikt, kādus ārējos spēkus var izturēt ciets ķermenis (piem., būve, konstrukcijas elements vai grunts). Lai atbildētu uz šo jautājumu, tiek ņemti vērā divi kritēriji: no vienas puses, spriegumi nedrīkst pārsniegt noteiktas robežas, kas ir atkarīgas no materiāla veida, bet, no otras puses, līdzsvaram starp ārējiem un iekšējiem spēkiem jābūt stabilam. Saskaņā ar to visi materiālu stiprības uzdevumi var tikt iedalīti “spriegumu uzdevumos” un “stabilitātes uzdevumos.
Stieņiem un sijām, kā arī no tiem sastādītām konstrukcijām (kopnēm, rāmjiem) spriegumu noteikšana notiek divos posmos: vispirms, balstoties uz dotajiem ārējiem spēkiem, aprēķina iekšējo spēku rezultanti, kas tiek pārnesti caur šķērsgriezumu, un pēc tam no šiem “šķērsgriezuma spēkiem” nosaka spriegumus. Pirmais procesa posms ir atsevišķa, plaša disciplīna — būvkonstrukciju statika, kurai ir izstrādātas savas metodes un kura parasti tiek nodalīta no materiālu pretestības, kuras uzdevums aprobežojas ar spriegumu noteikšanu no dotajiem šķērsgriezuma spēkiem.
Materiālu stiprības pamatjēdzieni
Sprieguma definīciju iegūst, izmantojot šādus pamata apsvērumus. Lai uz ķermeni iedarbojas līdzsvarota ārējo spēku sistēma. Iedomāsimies, ka ķermenis ar patvaļīgu šķēlumu ir sadalīts divās daļās un ka vienu no tām mēs noņemam kopā ar spēkiem, kas uz to iedarbojas; tad tās iedarbība uz otru daļu, lai spēku līdzsvars un deformāciju sadalījums paliktu nemainīgs, ir jāaizstāj ar papildu spēkiem, kas tiek pārnesti caur šķēluma virsmu. Šie “iekšējie” spēki nepārtraukti ir sadalīti pa šķēluma virsmu, tā ka katram virsmas elementam dF atbilst spēks dβ. Ja izveido attiecību dβ dF un veic robežas pāreju dF -> 0, tad šī attiecība tiecas uz robežvērtību, ko sauc par spriegumu. Spriegums noteiktā virsmas elementā, tāpat kā dβ, un to var sadalīt komponentēs, kas ir normālas un tangenciālas dF, normālais spriegums σ un bīdes spriegums τ.
Ja caur vienu un to pašu punktu velk šķēlumus dažādos virzienos, tiem atbildīs arī dažādi spriegumi. Īpaši, ja no ķermeņa izdala elementāru kubu, kas parādīts att. 1, uz katras no tā sešām virsmām darbosies sprieguma vektors, kuru var sadalīt trijās komponentēs koordinātu asu x, y, z virzienā. Spriegumi, kas darbojas uz pretējām virsmām, savā starpā, protams, atšķiras tikai par diferenciāli, tāpēc jānošķir 3 * 3 = 9 komponentu spriegumi, kurus apzīmē šādi:
Normālajiem spriegumiem σ piešķir ass indeksu, kuras virzienā tie darbojas, un tos uzskata par pozitīviem, ja tie izraisa stiepi, un negatīviem, ja tie izraisa spiedi. Šķērsspriegumiem τ piešķir divus indeksus, pirmais no tiem ir tāds pats kā atbilstošajam normālajam spriegumam, bet otrais attiecas uz asi, kuras virzienā šķērsspriegums darbojas. Ja attiecīgā normālā sprieguma pozitīvais virziens ir pozitīvās (negatīvās) koordinātu ass virzienā, tad arī šķērsspriegumu uzskata par pozitīvu, ja tas darbojas pozitīvās (negatīvās) koordinātu ass virzienā.
Attēls 1.
Konjugētība bīdes spriegumiem
Ja elementārajam paralēlskaldnim, att. 1, nosaka nosacījumu, ka visu spēku moments attiecībā pret x asi ir nulle, iegūst τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz No tā un no diviem atbilstošiem vienādojumiem asīm y un z izriet, ka bīdes spriegumi ar vienādiem indeksiem savstarpēji ir vienādi: τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (1)
Komponentu deformācijas
Tas, ka iepriekš definētajiem spriegumiem ir fizikāla nozīme, izriet no to saistības ar definīciju, ko izjūt katrs ķermenis ārējo spēku iedarbībā. Att. 2 attēlots elementārs taisnstūra paralēlskaldnis, kas pirms deformācijas bija taisnstūrveida un kura šķautņu garumi bija dx, dy, dz. Šķautņu garumus pēc deformācijas var apzīmēt kā dx + Δdx, dy + Δdy, dz + Δdz; attiecības εx = Δdx|dx, εy = Δdy|dy, εz = Δdz|dz sauc par dilatācijām. Tās ir bezdimensionālas lieluma vērtības, un visiem būvmateriālos izmantojamajiem materiāliem tās ir mazas salīdzinājumā ar 1. Papildus šķautņu pagarinājumam elementārais paralēlskaldnis dx * dy * dz var piedzīvot arī sākotnēji taisno leņķu izmaiņas starp tā šķautnēm.
Attēls 2. komponentālā deformācija
Pieņemsim, ka pēc deformācijas leņķis starp plaknēm, kas satiekas gar malu OC, ir vienāds ar 
, un līdzīgi pieņemsim, ka taisnā leņķa samazinājums gar malu AO ir vienāds ar γyz, bet samazinājums gar malu OB ir vienāds ar γzx. Šīs trīs leņķu izmaiņas γxy, γyz, γzx sauc par bīdiem un tās arī vienmēr ir mazas salīdzinājumā ar 1. Ar sešām komponentēm ε un γ pilnībā tiek noteikta elementārā kvadra deformācija „mazo deformāciju” gadījumā. Elementa tilpuma d_V = dx * dy * dz izmaiņa ir ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, no kā, ja dilatācijas reizinājumi tiek atstāti novārtā kā augstākas kārtas mazi lielumi, iegūst kubisko dilatāciju ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2)
Pārvietojumi
Cieta ķermeņa deformāciju var pilnībā aprakstīt arī tā, ka katram tā punktam tiek piešķirts pārvietojums, ko šis punkts ir piedzīvojis. Ja no apsvēruma izslēdz galīgas lieluma pārvietojumus, kas atbilst stingra ķermeņa pārvietojumam, tādā veidā, ka, ja nepieciešams, aprēķinos pieņem pārvietojamu koordinātu sistēmu, tad arī komponentu pārvietojumi μ, ν, ω vienmēr ir mazi lielumi, bet to atvasinājumi pēc koordinātām ir mazi salīdzinājumā ar 1. Pie šā pieņēmuma saskaņā ar att. 3 lineārā elementa OA = dx garums pēc deformācijas
tātad 
(3)
Līdzīgā veidā no att. 3 redzams, ka slīdēšana γxy γ1 + γ2: un arī
(4)
Attēls 3 slīde
(5) 
(6)
Šīs sakarības sauc par saderības nosacījumiem, un tās izsaka, ka deformētos elementus var salikt kā mozaīku tā, lai telpa tiktu nepārtraukti aizpildīta, ko nevar panākt, ja elementu deformācijas ir patvaļīgas. Saderības nosacījumi ir diferenciālvienādojumi, tāpēc, protams, visas sešas komponentu deformācijas katram atsevišķam paralēlskaldnim ir savstarpēji neatkarīgas, bet to izvietojums katrā galīgā izkliedētā apgabalā ir saistīts ar nosacījumiem (5) un (6).
Tā kā šie nosacījumi iegūti, diferencējot no vienādojumiem (3) un (4), to izveduma laikā zūd daļa no sākotnējos vienādojumos ietvertajām saitēm. Tāpēc nepietiek, ka ir izpildīta tikai viena no šīm divām vienādojumu sistēmām; jāapmierina abas vienādojumu sistēmas, ja vēlas nodrošināt deformācijas saderību.
Differenciālvienādojumi elastības sistēmai
Spriegumu un deformāciju aprēķināšanai elastīgos ķermeņos kalpo šādi vienādojumi:
Tilpuma elementa līdzsvara nosacījumi. Nosacījumi, ka momenti ap trim asīm ir vienādi ar nulli, jau tika izmantoti vienādojuma (1) atvasināšanā. Spēku līdzsvara nosacījumi pēc att. 4
Attēls 4
(7a-c)
Ja ar X, Y, Z apzīmē tilpuma spēku komponentes (piem., svars, centrbēdzes spēks) uz vienu tilpuma vienību. Spriegumu un deformāciju sakarības. Ar to saprot sakarību starp komponenšu spriegumiem un komponenšu deformācijām. Elastības teorijā parasti ņem vērā tikai lineāru sakarību, ko izsaka Huka likums:
(8a-c)
(8d-f)
Ja vienādojumus (8a-c) atrisina attiecībā uz spriegumiem, iegūst
(8 a)
kso un divi atbilstoši vienādojumi. Huka likums, kas izteikts ar vienādojumu (8), nav kāds stingri īstenots dabas likums, bet gan reālā uzvedības idealizācija, kas no tā vairāk vai mazāk atkāpjas atkarībā no materiāla un sprieguma lieluma. Ņemot vērā, ka materiālu pretestības problēmu matemātiska apstrāde ar sarežģītām, nelineārām sakarībām starp spriegumiem un deformācijām rada nesalīdzināmi lielākas grūtības un faktiski var tikt veikta tikai visvienkāršākajos gadījumos, arī tiem materiāliem (betons!), kuru uzvedība būtiski atšķiras no Huka likuma, uz to balstītie aprēķini jāizmanto kā pirmais un galvenokārt vienīgais aptuvenais risinājums, kas turklāt parasti ir ļoti lietojams un dod vairāk nekā tikai kvalitatīvu ieskatu. G = E|2 (1+μ).
Tā nepieciešami izriet no sakarības starp spriegumu un deformāciju (8), no transformācijas vienādojumiem (16) spriegumiem un atbilstošā vienādojumu sistēma komponentu deformācijām E un G ir sprieguma dimensija un visiem būvmateriāliem ir lieli attiecībā pret spriegumiem σ un τ, kas var rasties. Taču uz šo faktu balstās visā elastības teorijā pieņemtais pieņēmums, ka deformācijas ir mazas. Šķērsdeformācijas koeficients (Puasona skaitlis) μ ir bez dimensijas un vienmēr atrodas starp 0 un 1/2 .
Saistība starp komponentu deformācijām un pārvietojumiem. Šīs saistības dotas ar vienādojumiem (3), (4). Tās ir tīri ģeometriskas dabas. Šīs trīs sistēmas dod 3+6+6=15 vienādojumus 15 nezināmajiem, t. i., 6 komponentu spriegumiem, 6 komponentu deformācijām un 3 komponentu pārvietojumiem. Tās tādēļ ir pietiekamas šo nezināmo noteikšanai. Tik apjomīgas diferenciālvienādojumu sistēmas matemātiska atrisināšana, protams, ir iespējama tikai īpašos gadījumos. Ja vienādojumā (8) komponentu deformācijas aizstāj ar komponentu pārvietojumiem saskaņā ar vienādojumiem (3) un (4), un pēc tam normālos spriegumus σ un bīdes spriegumus τ saskaņā ar vienādojumiem (8 d - f) ievada līdzsvara nosacījumos, vien. (7), iegūst diferenciālvienādojumus, kurus sauc par elastības teorijas pamata vienādojumiem.
(9)
kur 
ir apzīmēts Laplasa operators. Ņemot vērā (2), tās ir trīs diferenciālvienādojumi ar trim komponentu pārvietojumiem μ, ν, ω; no tiem savukārt, diferencējot pēc (3), (4) un (8), var iegūt visus komponentu spriegumus un deformācijas. Vienādojumi (9) bieži ir ērts sākumpunkts īpašu gadījumu pētīšanai.
Deformācijas darbs
Definīcija
Kad sija tiek noslogota, ārējo spēku pielikuma punktos rodas elastīgas pārvietošanās, un spēki tajā pašā laikā veic zināmu darbu. Šādi ievadītā enerģija var pāriet dažādās formās. Ja slodze tiek uzlikta pēkšņi, tā ka deformācijas process norit ar ievērojamu ātrumu, daļa šīs enerģijas pārvēršas kinētiskajā enerģijā, kas laika gaitā izkliedējas vai nu tā, ka tā tiek nodota gruntij kā elastīgs vilnis, kas izzūd bezgalībā, vai arī iekšējās berzes rezultātā pārvēršas siltumā. Ja slodzes tiek pieliktas tik pakāpeniski, ka nerodas manāms kinētiskās enerģijas pieaugums, t. i., ja slodzes, kas no nulles pakāpeniski pieaug, ir pastāvīgā līdzsvarā ar iekšējiem spēkiem, enerģija acīmredzot tiek izlietota tikai ķermeņa deformēšanai, un tad to sauc par deformācijas darbu.
Deformācijas darba aprēķinu vispirms parādīsim uz detaļas, kas noslogota stiepē vienā virzienā (sk. 5).
Pieņemsim, ka esošajam spriegumam σ un attiecīgajai dilatācijai ε rodas pieaugumi dσ un dε. Tad spēks σdF ceļā dε * dl veiks darbu σdF * dεdl = σdεdV, ja ar dV apzīmē mazā elementiņa tilpumu. Ja spriegums palielinās no nulles līdz savai galīgajai vērtībai un attiecīgi dilatācija no 0 līdz ε, kopējais veiktais darbs uz tilpuma vienību būs:
Līdzīgi ir arī elementam, kas noslogots ar bīdes spriegumu τ (att. 6): deformācijas darbs uz tilpuma vienību (specifiskais deformācijas darbs, elastīgais potenciāls):
ar ko darbu veic tikai viens no četriem spēkiem τ * dF.
Vispārīgā gadījumā, kad uz elementāru daļiņu iedarbojas visi seši komponentu spriegumi, īpatnējais deformācijas darbs tiek iegūts, saskaitot atsevišķo komponentu spriegumu darbus:
(10)
Diferencējot pēc katra no šo integrāļu augšējās robežas, iegūst sakarības, kas ir spēkā vispārīgākajā gadījumā:
(11)
un tā tālāk pārējām komponentu deformācijām. Ja ķermenis ir elastīgs, katram noteiktam sprieguma stāvoklim vienmēr atbilst viens un tas pats deformācijas stāvoklis, neatkarīgi no tā, vai stāvoklis sasniegts slodzes vai atslodzes laikā. Tad zem integrāļiem ir viennozīmīgas funkcijas, un kopējā enerģija, kas iztērēta slogošanas un pēc tam pilnīgas atslodzes laikā, ir a = 0, ņemot vērā, ka šajā gadījumā integrāļu augšējās robežas kļūst par nulli. Tātad kopējā enerģija, kas ķermenim pievadīta slodzes laikā, atslodzes laikā tiek atgūta.
Attēls 6
Attēls 7
Nepilnīgi elastīgam ķermenim sakarība starp spriegumiem un deformācijām visā slodzes un atslogošanas ciklā ir formā, kas aptuveni parādīta att. 7 līnijās O A B. Slodzes laikā ievadītā enerģija 
ir vienāda ar laukumu OAA, bet atslogošanas laikā atdotā enerģija — ar laukumu ABA, tādēļ zūd (pārvēršas siltumā) darbs, kas atbilst nošrafētajam laukumam. Ja svārstību procesā spriegums periodiski mainās starp pozitīvo robežvērtību 
un negatīvo robežvērtību, 
neelastiskā deformācija norit līdzīgi tam, kā parādīts pārtrauktām līnijām att. 7, un katrā svārstību periodā vienā tilpuma vienībā par siltumu pārvēršas enerģija DABCD. Šādu uzvedību deformācijas laikā, kurā deformācija atpaliek no sprieguma, sauc par elastisko histerēzi, bet līkni DABCD — par histerēzes cilpu.
Deformācijas darbs un Huka likums
Ja vienādojuma (10) integrāļos ievieš Huka likumu, var veikt integrēšanu, un specifiskajam deformācijas darbam iegūst izteiksmes:
(12a)
(12b)
(12c)
Ja otro no šīm formām ievieto vienādojumā (11), atkal iegūst Huksa likumu, vienādojumus (8), formā, kas atrisināta pēc spriegumiem. Apgalvojums, ka deformācijas darbs ir atkarīgs no komponentajām deformācijām, kā parādīts vienādojumā (12b), tādēļ ir ekvivalents Huksa likumam. Ja vienādojumu (12c) diferencē pēc spriegumiem, iegūst
(13)
Šīs formulas, atšķirībā no formulām (11), attiecas tikai uz ķermeņiem, kas uzvedas saskaņā ar Huka likumu, un tās nevar piemērot, ja sakarība starp spriegumiem un deformācijām ir cita. Saprotams, ka vienādojumu (13) labajā pusē atrodas tikai spriegumu izraisītās komponentālā deformācijas, bet tiek izslēgtas visas pārējās, kas, iespējams, radušās temperatūras izmaiņu, ložņāšanas, uzbriešanas, rekristalizācijas utt. dēļ.
INTEGRĀLIE TEOREMI ELASTĪBAS TEORIJĀ
Virtuālie pārvietojumi. Minimālās potenciālās enerģijas princips
Tāpat kā Huka likumu, vienādojumus (8) var aizstāt ar vienu vienādojumu (12b), tā arī līdzsvara nosacījumu vietā var ieviest virtuālo pārvietojumu principu kā vispārīgi spēkā esošu mehānikas pamatlikumu. Šis likums nosaka, ka līdzsvara stāvokļus raksturo tas, ka tajos visu spēku kopējais veiktais darbs pie nelielas deformācijas stāvokļa izmaiņas ir vienāds ar nulli. Ja nelielas elastisko pārvietojumu izmaiņas apzīmējam ar δμ δν, δω, tad telpiskie spēki, kas definēti ar vienādojumu (7), veic virtuālu darbu
un virsmas spēki px, py, pz, kas iedarbojas uz ķermeņa ārējās virsmas elementu dF, darbs 
kur trīskāršais integrālis attiecas uz visu tilpumu, bet divkāršais — uz visu ķermeņa ārējo virsmu. Lai aprēķinātu darbu, ko veic iekšējie spēki, izmanto vienādojumu (12b), un tādējādi darbam uz vienības tilpumu iegūst
Virtuālo pārvietojumu princips no tā izriet
(14)
Ja slodzes X, Y, Z px, py., pz saprot kā smaguma spēka sastāvdaļas (savsvars un ārējā slodze), tad integrāļi labajā pusē attēlo potenciālo enerģiju, ko šie svari ir zaudējuši, bet kreisā puse attēlo ķermeņa potenciālās (elastīgās) enerģijas pieaugumu, tā ka šis princips izsaka, ka kopējā potenciālā enerģija nesošajam elementam un uz tā guļošajām slodzēm līdzsvara gadījumā iegūst ekstrēmu vērtību. Ja šī ekstrēmā vērtība ir minimums, līdzsvars ir stabils.
Potenciālās enerģijas minimuma princips, izteikts ar vienādojumu (14), izteiksme (12b) deformācijas darbam, deformāciju saderības nosacījumi (5), (6) veido vienādojumu sistēmu, kas ir pietiekama elastības teorijas izveidei un kas būtībā ir ekvivalenta vienādojumu sistēmai. Šī sistēma var būt īpaši noderīga gadījumos, kad diferenciālvienādojumu (9) apmierināšana rada aprēķinu grūtības, un tādēļ jāmeklē aptuvens risinājums, piemēram, pārvietojumiem iepriekš pieņemot piemērotu formu, kas satur vairākas brīvās konstantes, un tad tās nosaka no prasības, lai būtu izpildīts vienādojums (14). Tādējādi gan netiek iegūts stingrs problēmas risinājums, bet tikai labākā aproksimācija, ko var sasniegt ar izvēlēto risinājuma formu. Vai tuvinājums ir pietiekams, galvenokārt ir atkarīgs no pieņemtās risinājuma formas, un veiksmīga šīs metodes piemērošana tādēļ prasa prasmi un pieredzi.
Castigliano princips
Lai gan pie potenciālās enerģijas minimuma principa salīdzina visus deformācijas stāvokļus, kas izpilda deformāciju saderības nosacījumus, un no tiem izdala tos, kuriem atbilstošie spriegumi apmierina līdzsvara nosacījumus, Castigliano principa gadījumā salīdzina visus spriegumu stāvokļus, kas apmierina līdzsvara nosacījumus, un no tiem izdala tos, kuriem atbilstošās deformācijas apmierina deformāciju saderības nosacījumus. Šis princips ir šāds: no visiem iespējamajiem līdzsvara stāvokļiem īstenībā iestājas tas, kuram atbilst vismazākais deformācijas darbs. Castigliano princips kopā ar vienādojumu (12c) deformācijas darbam un līdzsvara nosacījumiem veido vienādojumu sistēmu, kas ir pietiekama materiālu pretestības izstrādei. Ņemot vērā, ka šis princips ietver Huka likumu, tā piemērošanas iespēja ir saistīta ar pieņēmumu, ka deformācijas var pilnībā aprakstīt ar šo likumu. Tas prasa ne tikai materiāla lineāri elastīgu uzvedību, bet arī izslēdz temperatūras izmaiņas.
Materiālu uzvedība virs elastības robežām
Parādības pie statiskās slodzes
Materiāla deformācija spriegumu ietekmē ir ļoti sarežģīta parādība, tāpēc tā ir jāvienkāršo dažādos veidos, lai to varētu saprast. Viens no šiem vienkāršojumiem ir pieņēmums, ka slodzes tiek pieliktas pakāpeniski, kā tas, piem., tiek darīts ar paraugiem stiepes un spiedes pārbaudēs.
Ja tērauda stieni, kas ir noslogots stiepē, pakļauj pakāpeniski augošai slodzei un mēra tā dilatāciju ε, iegūst diagrammu, kas parādīta att. 8. Sākumā dilatācija ir ļoti maza un proporcionāla spriegumam, kā to prasa Huka likums. Sākot ar noteiktu spriegumu, proporcionalitāte beidzas, un dilatācija pieaug straujāk. Šīs proporcionalitātes robežas precīzu novietojumu ir grūti noteikt. Jo precīzāks ir mērījums, jo zemāka tā tiek iegūta. Lielākajai daļai materiālu tā atrodas pie σ = 0, un Huka likums tad pārstāv tikai pirmo tuvinājumu elastīgajai uzvedībai, pirmais loceklis Teilora rindas izvērsmē funkcijai ε = ε (σ) koordinātu sākumpunkta tuvumā.
Ja stienis tiek atslodzēts, novēro, ka, ja spriegums nav bijis pārāk liels, pazūd arī deformācija saskaņā ar Huka likumu. Taču arī tas mainās, ja tiek pārsniegts noteikts spriegums, kas atrodas tuvu proporcionalitātes robežai, tā sauktajai elastības robežai; tad kopējā deformācija sastāv no elastīgās (atgriezeniskās) un neelastīgās (pastāvīgās) daļas. Arī elastības robežu nevar precīzi noteikt, tā atrodas tik daudz zemāk, jo lielāka ir mērījumu precizitāte. Tomēr, tā kā tai ir liela tehniska nozīme, jo tā ir nozīmības robeža gandrīz visos materiālu pretestības aprēķinos, vienlaikus arī robeža, pie kuras rodas pirmie pastāvīgie bojājumi, paraugu pārbaudē tā tiek stingri definēta ar kādu pieņemtu konvenciju, un, piemēram, kā robeža 0.2% tiek apzīmēts tas spriegums, pie kura pastāvīgā dilatācija sasniedz 0.2%.
Tūlīt pēc elastības robežas pārsniegšanas deformācija strauji pieaug un kļūst redzama ar neapbruņotu aci; pie gandrīz konstanta sprieguma stienis nepārtraukti pagarinās. Šo spriegumu sauc par tecēšanas robežu. Hidrauliskajās materiālu pārbaudes mašīnās pēc tecēšanas sākuma turklāt var novērot vairāk vai mazāk izteiktu sprieguma kritumu; kā norādīts att. 8 ar pārtrauktu līkni; tad maksimumu sauc par augšējo tecēšanas robežu, bet pēc tam iestājušos konstanto tecēšanas spriegumu — par apakšējo tecēšanas robežu.
Kad tiek sasniegta noteikta dilatācija, kas ir gandrīz pilnīgi neelastīga, spriegums atkal sāk pieaugt, materiāls nostiprinās. Šajā slodzes apgabalā stieņa šķērsgriezums ievērojami samazinās (neelastīgas) sānu kontrakcijas dēļ, un tālākais sprieguma un deformācijas diagrammas gaita pirmām kārtām ir atkarīga no tā, vai, aprēķinot spriegumu σ, stiepienspēks P, kas iedarbojas uz stieni, tiek dalīts ar sākotnējo šķērsgriezumu F0 vai ar aktuālo šķērsgriezumu F. Tehniskiem nolūkiem interesants ir spriegums P|F0. Šis spriegums sasniedz maksimumu, ko sauc par materiāla stiprību, un, kad šis maksimums ir pārsniegts, stienis vienā vietā stipri sašaurinās un pārtrūkst. “Patiesais spriegums” P|F pieaug līdz sabrukumam.
Attēls 8.
Citu metālu uzvedība daudzējādā ziņā atšķiras no šeit aprakstītās. Tecēšana bieži nav izteikta, bet sacietēšana sākas tūlīt pēc elastības robežas pārsniegšanas. Trausliem materiāliem (akmens, stikls, betons) neelastiskās deformācijas vispār ir nelielas, un jau pie nelielas dilatācijas notiek sabrukums. Kopējā dilatācija, ko materiāls piedzīvo līdz sabrukumam, ir materiāla stiepjamlības (pretēji: trausluma) mērs, un tēraudam tā ir precīzi noteikta tehniskajos nosacījumos. Tomēr, tā kā tieši pirms sabrukuma turpmākā deformācija koncentrējas apkārtējos sašaurinātā šķērsgriezuma apgabalos, tiek iegūta atšķirīga dilatācijas vērtība sabrukuma brīdī atkarībā no tā, vai mērgarumam tiek pieņemta lielāka vai mazāka stieņa daļa, tādēļ, lai iegūtu viennozīmīgus un savstarpēji salīdzināmus rezultātus, iepriekš jāpieņem noteikta konvencija. Dilatāciju sabrukuma brīdī parasti mēra tā, ka uz apaļa stieņa ar diametru d pirms testa atzīmē mērgarumu Ι = 10 d un no tā pagarinājuma ΔΙ aprēķina dilatāciju sabrukuma brīdī εs_Ι = ΔΙ|Ι ._ Ja jāpārbauda citāda šķērsgriezuma stieņi, mērgarumu nosaka pēc apaļa cilindriska stieņa diametra, kuram ir tāds pats šķērsgriezuma laukums.
Ilgstoša slodze
Stiepes mēģinājuma norisei ir diezgan vienalga, vai slodze līdz sabrukumam palielinās 10 m minūšu vai vairāku stundu laikā. Tomēr, ja slodze iedarbojas gadiem vai desmitgadēm ilgi, noteiktos apstākļos var novērot, ka arī zem tecēšanas robežas deformācija pie nemainīga sprieguma laika gaitā lēnām pieaug. Pie tam elastiskā daļa, t. i., tā daļa, kas pie galīgās atslogošanas izzūd, būtiski nemainās. Šo neelastīgās deformācijas pieaugumu, kas notiek ilgākā laikā, sauc par plūšanu. Metālos, izņemot svinu, plūšana ir nozīmīga tikai augstās temperatūrās, tomēr būvinženierim tai ir nozīme betonā, kas spiedes ietekmē nedaudz atslābst, tāpēc spriegums palielinās saspiestajā armatūrā, ja tāda ir.
Mainīga slodze
Lai mehāniskās materiāla raksturlielumus, kas iegūti stiepes pārbaudē, varētu izmantot kā mērauklu konstrukciju pieļaujamajai slodzei, ir nepieciešams, lai materiāls pie katras atkārtotas noslogošanas izturētu to spriegumu, ko tas vienreiz izturējis bez bojājumiem. Šis nosacījums nav izpildīts, ja materiāls ir pakļauts biežai noslogošanas un atslogošanas atkārtošanai, kā tas, piemēram, ir gadījumā ar balstiem, ko noslogo nepilnīgi līdzsvarotu mašīnu inerce spēki. Pietiekami bieži atkārtojot slodzi, konstrukcijas elementu var novest līdz lūzumam arī pie sprieguma, kas ir daudz zemāks par materiāla stiprību, kas noteikta parastajā statiskajā pārbaudē. Šāda veida bojājuma rašanos sauc par noguruma lūzumu. Noslodzes ciklu skaits n, ko materiāls var izturēt, ir atkarīgs no sprieguma σ lieluma, tāpēc tas ir jo lielāks, jo mazāks ir spriegums. Tipisks šīs atkarības piemērs parādīts att. 9, no kuras redzams, ka materiāla stiprībai pastāv apakšējā robeža, ko tas iztur arī pie patvaļīgi liela noslodzes ciklu skaita, un ko sauc par dinamisko materiāla stiprību Šāda veida diagrammas (att.9) sauc par Vēlera līknēm.
Attēls 9.
Konstrukciju drošība
Divas robežslodzes konstrukcijām ir nozīmīgas: slodze, pie kuras rodas pirmie paliekošie bojājumi (tecēšanas robeža), un slodze, pie kuras konstrukcijas nestspēja ir izsmelta un tā lūst (lūzuma robeža). Tā kā pirms tecēšanas robežas vismaz aptuveni darbojas materiālu pretestības pieņēmumi (mazi pārvietojumi, Huka likums), drošību pret paliekošām deformācijām var ticami novērtēt visos tajos gadījumos, kuros izdodas pārvarēt matemātiskās grūtības. Ja spriegums ir proporcionāls slodzei, tad tecēšanas sprieguma attiecība pret lielāko spriegumu, kas konstrukcijā rodas, ir vienāda ar attiecību starp slodzi, pie kuras rodas tecēšana, un faktisko slodzi, un tā veido drošības koeficientu pret tecēšanu. Tomēr vairākos gadījumos šādas vienkāršas attiecības nav: liece, kad neņem vērā stiepi, spiediens starp izliektām virsmām, sistēmas, kuru struktūra ir mainīga, un, kas ir īpaši nelabvēlīgi, liece ar aksiālu spēku. Visos šajos gadījumos salīdzinoši neliels slodzes pieaugums var radīt lielu spriegumu pieaugumu, un tad nepietiek parasto drošības koeficientu attiecināt uz spriegumiem, bet tas jāattiecina uz slodzi.
Parādības, kas norisinās pēc tecēšanas robežas pārsniegšanas līdz sabrukumam, vairumā gadījumu vairs var sekot tikai kvalitatīvi. Ja materiāls ir stiepjams, tad daļas, kurās vispirms ir sasniegta tecēšanas robeža un kuras tālāk deformējas pie konstanta sprieguma vai sprieguma, kas tikai nedaudz pieaug, maz piedalās turpmākās slodzes uzņemšanā, tā ka pārējās, vājāk noslogotās konstrukcijas daļas, ja tas iespējams, ņemot vērā tās uzbūvi, vairāk piedalās nestspējā. Šajā tieksmē izlīdzināt spriegumu maksimumus slēpjas zināma drošības rezerve, ko aprēķinos var izmantot, ja atsevišķu daļu paliekošā deformācija, kas radusies tikai vienas ievērojamas slodzes iedarbībā, nav kaitīga (robežslodzes metode).
Ja materiāls ir trausls, pirmais paliekošais bojājums izpaužas plaisās, kuru dēļ apdraudētajā vietā rodas vēl lielāka spriegumu koncentrācija, kas nekavējoties izraisa lūzumu. Noguruma izraisītam lūzumam arī stiepjamos materiālos piemīt trausla lūzuma pazīmes.
Spriegumu saistība dažādās šķēluma plaknēs
Transformācijas vienādojumi
Deviņas komponentu spriegumu komponentes attēlā 1 ir saistītas ar trim līdzsvara nosacījumiem. Atlikušie seši lielumi σx, σy, σz, τxy, τyz, τzx var neatkarīgi cits no cita iegūt patvaļīgas vērtības, kā redzams no elastības teorijas diferenciālvienādojumu atvasināšanas. Tomēr, kad šīs vērtības ir dotas, spriegumu stāvoklis kādā cieta ķermeņa punktā ir pilnībā noteikts, t. i., ja ir zināmi spriegumi trijām savstarpēji perpendikulārām plaknēm, tad viennozīmīgi var noteikt arī spriegumu kādai ceturtajai plaknei, kas iet caur doto punktu un kuras normāle ir patvaļīgā virzienā.
Attēlā 10 parādīts tetraedrs OABC, kura trīs malas ir paralēlas koordinātu sistēmas x, y, z plaknēm, bet ceturtā veido kādu patvaļīgi orientētu virsmas elementu ABC = dF. Lai apzīmētu tā virzienu un sprieguma virzienu, kas pa to tiek pārnests, ievieš otru koordinātu sistēmu, kuras ξ ass ir perpendikulāra dF.
Attēls 10
Vienādojums par spēku līdzsvaru, kas iedarbojas uz šo tetraedru ξ ass virzienā, dod
Ja ņem vērā, ka
iegūst
un tamlīdzīgi no līdzsvara nosacījuma gar η asi:
Šie ir vienādojumi, kas kalpo spriegumu aprēķinam koordinātu transformācijā. Īpaša nozīme ir aplūkot tikai tādus virsmas elementus dF, kuriem ξ-ass sakrīt ar z-assi. Šī gadījuma formulas var iegūt, vienkāršojot iepriekšējās formulas, vai nolasīt tieši no att. 11:
Attēls 11
Normālspriegumam ir ekstrēmās vērtības virzienos α = α0 , kuriem dσξ/dα = 0. Diferencējot no vienādojuma (16) iegūst
tāpēc, kad šī izteiksme tiek pielīdzināta nullei
Spriegums τξη vienlaikus būs kopējais bīdes spriegums šajās plaknēs, ja τyz = τzx = 0. Tad ar vienādojumu (17) ir noteikti divi savstarpēji perpendikulāri virzieni, kuriem: 1. kopējais bīdes spriegums ir nulle un, 2. normālais spriegums sasniedz galējās vērtības (maksimumu un minimumu). Šos virzienus sauc par galveno spriegumu virzieniem, bet atbilstošos spriegumus — par galvenajiem spriegumiem. Tie apzīmēti ar σ1 un σ2 un var tikt aprēķināti tieši no formulas
Moora aplis
Vienādojumus (16) var uzskatāmi attēlot grafiski. Šim nolūkam tie jāpārveido šādā formā:
Šie vienādojumi koordinātu sistēmā σ, τ attēlo riņķa vienādojuma parametrisko formu, kas uzzīmēts att. 12, kura centra koordinātas ir σ = 1/2 (σx + σy), τ = 0 un kura rādiuss ir
Šo apli sauc par Mora apli. Ja caur punktu x novilkta taisne paralēli šķēlumam x = const., caur kuru tiek pārnesti spriegumi σx, τxy, tā krustos apli punktā p, ko sauc par Mora apļa polu. Katra taisne pξ, kas novilkta caur šo polu, krusto apli punktā ξ, kas nosaka spriegumus σξ, τξη, kuri tiek pārnesti caur šķēlumu, kas paralēls pξ.
Attiecībā uz bīdes spriegumu zīmi, zīmējot Mora apli, jāņem vērā, ka tos attēlo uz augšu, ja tiem ir att. 12c. parādītais virziens. Līdz ar to no diviem konjugētajiem spriegumiem τxy, τyx viens vienmēr ir pozitīvs, bet otrs negatīvs.
Robežvērtībām σ1, σ2 normālo spriegumu atbilst punkti 1 un 2 uz riņķa, bet taisnes _p_1 un _p_2 nosaka galveno spriegumu virzienus.
Spriegumu attēlošana, kas atrodas x-y plaknē, ar Mora apli nav saistīta ne ar kādu pieņēmumu par spriegumiem σz, τxz, τyz, kas ir perpendikulāri šai plaknei.
Attēls 12
Tas pats attiecas arī uz vispārīgāko trīsdimensiju spriegumu stāvokli, ja salīdzina tikai tās šķēluma plaknes, kas visas iet caur vienu un to pašu taisni, kura šeit ir izvēlēta par z un ξ asi. Tā kā saskaņā ar vispārīgajām transformācijas vienādojumu (15) normālais spriegums σ nevar kļūt bezgalīgs nevienā šķēluma plaknē, tam kādai plaknei jābūt galīgai maksimālajai vērtībai σ1, bet citai — minimumam σ3, no kuriem abi, saprotams, var būt arī negatīvi. Ja caur vektoriem σ1 un σ3 novelk plakni un uzzīmē Moora apli (att. 13)
Attēls 13
spriegumiem, kas atrodas šajā plaknē (t. i., visiem virzieniem, kas ir perpendikulāri šai plaknei), tad σ1 un σ3 ir lielākais un mazākais normālais spriegums, kas var parādīties, un tādēļ tiem jābūt savstarpēji perpendikulāriem. Ja virzienus 1 un 3 papildina ar virzienu 2, tā ka šie trīs virzieni veido taisnleņķa koordinātu sistēmu, un ja uzzīmē Morē riņķus plaknēm 1 ~2 un 2 ~ 3, tad σ2 vienam no šiem riņķiem ir lielākais, bet otram mazākais normālais spriegums, un tādēļ griezumos, kas ir perpendikulāri virzieniem 1, 2 un 3, bīdes spriegums ir vienāds ar nulli. Trīs savstarpēji perpendikulāri normālie spriegumi σ1, σ2 un σ3, kuriem neatbilst bīdes spriegumi, tiek saukti par galvenajiem spriegumiem.
Plūšanas robeža un sabrukuma robeža telpiskā spriegumu stāvoklī
Spriegumu stāvokli sauc par vien-, div- vai trīsdimensiju, citādi: lineāru, plakanu vai telpisku, atkarībā no tā, vai viens, divi vai visi trīs galvenie spriegumi atšķiras no nulles. Biežāk lietotajās konstruktīvajās daļās, t. i., stieptā, spiestā un liektā stienī, spriegumu stāvoklis, vismaz visvairāk noslogotajās vietās, ir viendimensionāls, tāpat arī stiepes, spiedes vai lieces izmēģinājumos, ko materiālu pārbaudē gandrīz vienīgi izmanto pieļaujamo spriegumu noteikšanai. Savukārt plātnēm, kas noslogotas savā plaknē vai perpendikulāri tai, kā arī čaulām, spriegumu stāvoklis ir divdimensionāls, bet dažos gadījumos parādās arī trīsdimensionāli spriegumu stāvokļi, tāpēc uz plūšanas un sabrukuma robežas, kas noteiktas viendimensionālā spriegumu stāvoklī, ir jāizdara secinājumi par materiāla uzvedību telpiskā spriegumu stāvokļa gadījumā.