Негіздері
Материалдар кедергісінің міндеті — қатты дене (мысалы, құрылыс, конструкциялық бөлік немесе топырақ) қандай сыртқы күштерге төтеп бере алатынын анықтау. Бұл сұраққа жауап беру үшін екі критерийге сүйенеді: бір жағынан, кернеулер материал түріне байланысты белгілі бір шектерден аспауға тиіс, ал екінші жағынан, сыртқы және ішкі күштер арасындағы тепе-теңдік тұрақты болуы керек. Осыған сәйкес, материалдар кедергісінің барлық мәселелерін “кернеу мәселелері” және “тұрақтылық мәселелері” деп бөлуге болады.
Шыбықтар мен арқалықтарда және олардан құралған тіректерде (фермалар, рамалар) кернеулерді анықтау екі кезеңде орындалады: алдымен берілген сыртқы күштер негізінде көлденең қима арқылы берілетін ішкі күштердің нәтижесі есептеледі, ал кейін осы «қималық күштерден» кернеулер анықталады. Процедураның бірінші бөлігі — өзінің әзірленген әдістері бар және әдетте материалдар кедергісінен бөлініп қаралатын, құрылыстық конструкциялар статикасы атты жеке әрі көлемді пән; оның міндеті берілген қималық күштерден кернеулерді анықтауға келіп тіреледі.
Материалдар кедергісінің негізгі ұғымдары
Кернеу анықтамасына келесі негізгі пайымдаулар арқылы жетеді. Денеге сыртқы күштердің тепе-теңдік жүйесі әсер етеді делік. Денені кез келген қимамен екі бөлікке бөлдік те, олардың бірін оған әсер ететін күштермен бірге алып тастадық деп елестетейік; онда оның екінші бөлікке әсері, күштердің тепе-теңдігі мен деформациялардың таралуы өзгеріссіз қалуы үшін, қима беті арқылы берілетін қосымша күштермен алмастырылуы тиіс. Бұл “ішкі” күштер қима беті бойынша үздіксіз таралады, сондықтан бет элементінің dF әрқайсысына dβ күші сәйкес келеді. Егер dβ dF қатынасы жасалып, dF -> 0 шекті ауысу орындалса, онда бұл қатынас кернеу деп аталатын шекті мәнге ұмтылады. Беттің белгілі бір элементіндегі кернеу, dβ сияқты, dF-ке нормаль және жанама құраушыларға жіктелуі мүмкін: қалыпты кернеу σ және қырқушы кернеу τ.
Егер бір нүкте арқылы әртүрлі бағыттарда қималар жүргізілсе, оларға сәйкес кернеулер де әртүрлі болады. Әсіресе денеден сур. 1-де көрсетілген элементар параллелепипед бөлініп алынса, оның алты бетінің әрқайсысында координаталық осьтер x, y, z бағытында үш құрамдасқа жіктелетін кернеу векторы әсер етеді. Бетінің қарама-қарсы жақтарында әсер ететін кернеулер, әрине, тек дифференциалмен ғана бір-бірінен өзгеше болады, сондықтан 3 * 3 = 9 құраушы кернеулерді ажырату керек, олар келесі түрде белгіленеді:
Нормаль кернеулерге σ олар жататын осьтің индексі беріледі және егер олар созылу тудырса — оң, ал қысым тудырса — теріс деп есептеледі. Ығысу кернеулеріне τ екі индекс беріледі, олардың біріншісі тиісті нормаль кернеудің индексімен бірдей, ал екіншісі ығысу кернеуі әсер ететін бағыттағы оське қатысты болады. Егер тиісті нормаль кернеудің оң бағыты оң (теріс) координат осінің бағытына сәйкес келсе, онда ығысу кернеуі де оң (теріс) координат осінің бағытына әсер еткенде оң деп есептеледі.
Сурет 1.
Қиушы кернеулердің конъюгаттылығы
Егер элементтік тікбұрышты параллелепипед үшін, сур. 1, x осіне қатысты барлық күштердің моменті нөлге тең деген шарт қойылса, τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz шығады. Осыдан және y мен z осьтеріне арналған тиісті екі теңдеуден, бірдей индекстері бар ығысу кернеулері өзара тең екені шығады: τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (1)
Құраушылық деформациялар
Жоғарыда анықталған кернеулердің физикалық мәнге ие болуы олардың кез келген дененің сыртқы күштердің әсерінен бастан кешіретін деформациясымен байланысынан көрінеді. Сур. 2 деформацияға дейін тікбұрышты болған және қырларының ұзындықтары dx, dy, dz болған элементар параллелепипедті көрсетеді. Деформациядан кейін қырлардың ұзындықтарын dx + Δdx, dy, + Δdy, dz + Δdz деп белгілей аламыз; қатынастары εx = Δdx|dx, εy =Δdy|dy, εz = Δdz|dz созылулар деп аталады. Бұлар өлшемсіз шамалар және құрылыс саласында қарастырылатын барлық материалдар үшін 1-ге қатысты кіші болады. Қырлардың ұзаруынан бөлек, dx * dy * dz элементар параллелепипеді де өз жақтарының арасындағы бастапқы тік бұрыштардың өзгерісіне ұшырауы мүмкін.
Сурет 2. компоненттік деформация
Деформациядан кейін OC қыры бойымен түйісетін жазықтықтар арасындағы бұрыш 
тең болсын және сол сияқты AO қыры бойындағы тік бұрыштың кемуі γyz, ал OB қыры бойындағы кемуі γzx тең болсын. Бұрыштардың осы үш өзгерісі γxy, γyz, γzx, ығысу деп аталады және олар да әрқашан 1-ге қатысты кіші болып табылады. Алты компоненталық ε және γ арқылы элементарлы кубоидтың “шағын деформациясы” толық анықталады. Көлем элементінің d_V = dx * dy * dz_ өзгерісі ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, бұдан, дилатациялардың көбейтінділері жоғары ретті кіші шамалар ретінде еленбеген кезде, кубтық дилатация ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2) алынады
Ығысулары
Қатты дененің деформациясын толық сипаттаудың тағы бір жолы — оның әрбір нүктесіне сол нүкте басынан өткерген орын ауыстыруды беру. Егер бақылаудан қатты дененің орын ауыстыруына сәйкес келетін шекті шамадағы орын ауыстырулар алынып тасталса, қажет болған жағдайда есепте жылжымалы координат жүйесі қабылданса, онда құрамдас орын ауыстырулар μ, ν, ω әрқашан кіші шамалар болады, ал олардың координаталар бойынша туындылары 1-мен салыстырғанда кіші болады. Осы жорамал бойынша, сур. 3-ға сәйкес, сызықтық элементтің OA = dx ұзындығы деформациядан кейін
сондықтан 
(3)
Сол сияқты, сур. 3-ден γxy γ1 + γ2 екені көрінеді: әрі сондай-ақ
(4)
Сур. 3 сырғу
(5) 
(6)
Бұл байланыстар үйлесімділік шарттары деп аталады және деформацияланған элементтер мозаика сияқты құралып, соның нәтижесінде кеңістік үздіксіз толтырылуы мүмкін екенін білдіреді; элементтердің деформациялары еркін болған жағдайда бұған қол жеткізуге болмайды. Үйлесімділік шарттары — дифференциалдық теңдеулер, сондықтан, әрине, әрбір жеке параллелепипед үшін алты құрамдас деформацияның барлығы өзара тәуелсіз, бірақ олардың кез келген шекті созылған аймақтағы орналасуы (5) және (6) шарттарымен байланысты.
Бұл шарттар 3 және 4 теңдеулерінен дифференциалдау арқылы алынғандықтан, оларды шығару кезінде бастапқы теңдеулерде қамтылған байланыстардың бір бөлігі жоғалады. Сондықтан деформацияның үйлесімділігі қамтамасыз етілуі үшін осы екі теңдеулер жүйесінің біреуі ғана емес, екеуі де орындалуға тиіс.
Эластикалылық жүйесінің дифференциалдық теңдеулері
Серпімді денелердегі кернеулер мен деформацияларды есептеу үшін келесі теңдеулер қолданылады:
Көлемдік элементтің тепе-теңдік шарттары. Үш осьтің айналасындағы моменттердің нөлге тең болу шарттары теңдеуді (1) шығару кезінде-ақ пайдаланылды. Күштердің тепе-теңдік шарттары сур. 4 бойынша береді
Сурет 4
(7a-c)
Егер X, Y, Z арқылы көлемдік күштердің құрамдас бөліктері (мысалы, салмақ, центрден тепкіш күш) көлем бірлігіне шаққанда белгіленсе. Кернеулер мен деформациялар арасындағы байланыстар. Мұнда құрамдас кернеулер мен құрамдас деформациялар арасындағы байланыс түсініледі. Серпімділік теориясында, әдетте, тек сызықтық байланыс қарастырылады, ол Гук заңымен өрнектеледі:
(8a-c)
(8d-f)
Егер теңдеулер (8a-c) кернеулер бойынша шешілсе, онда
(8 a)
kso және оған сәйкес екі теңдеу. Hooke заңының (8) теңдеу түрінде берілген нұсқасы қандай да бір қатаң орындалатын табиғи заңды білдірмейді, керісінше материалға және кернеу шамасына қарай одан көп не аз ауытқитын нақты мінез-құлықтың идеалдандырылған үлгісі болып табылады. Кернеулер мен деформациялар арасындағы күрделі, бейсызық байланыстары бар материалдар төзімділігі мәселесін математикалық тұрғыдан өңдеу салыстырмалы түрде әлдеқайда үлкен қиындықтар туғызатындықтан және іс жүзінде тек ең қарапайым жағдайларда ғана жүзеге асырылатындықтан, Hooke заңынан едәуір ауытқитын материалдарда да (бетон!) сол заңға негізделген есептеулерді бірінші, әрі көбіне жалғыз жуық шешім ретінде пайдалану керек; оның үстіне бұл әдетте өте қолданбалы және тек сапалықтан да жоғары түсінік береді. G = E|2 (1+μ).
Ол кернеу мен деформация арасындағы байланыстан (8), кернеулер үшін түрлендіру теңдеулерінен (16) және компоненттік деформациялар үшін тиісті теңдеулер жүйесінен міндетті түрде шығады. E және G кернеу өлшеміне ие және барлық құрылыс материалдарында пайда болуы мүмкін σ және τ кернеулерімен салыстырғанда үлкен. Дегенмен, серпімділік теориясында барлық жерде қабылданған деформациялар аз деген жорамал осы фактке негізделеді. Көлденең деформация коэффициенті (Пуассон саны) μ өлшемсіз және әрқашан 0 мен 1/2 аралығында болады.
Компоненттік деформациялар мен орын ауыстырулар арасындағы байланыстар. Бұл байланыстар теңдеулермен (3), (4) берілген. Олар таза геометриялық сипатқа ие. Осы үш жүйе 3+6+6=15 теңдеуін 15 белгісіз үшін, яғни 6 компоненттік кернеу, 6 компоненттік деформация және 3 компоненттік орын ауыстыру үшін береді. Демек, олар осы белгісіздерді анықтауға жеткілікті. Осындай ауқымды дифференциалдық теңдеулер жүйесін математикалық тұрғыдан шешу, әрине, тек арнайы жағдайларда ғана мүмкін. Егер теңдеуде (8) компоненттік деформациялар теңдеулер (3) және (4) бойынша компоненттік орын ауыстырулармен алмастырылып, содан кейін қалыпты кернеулер σ және ығысу кернеулері τ, теңдеулерге (8 d - f) сәйкес, тепе-теңдік шарттарына, теңд. (7), енгізілсе, онда серпімділік теориясының негізгі теңдеулері деп аталатын дифференциалдық теңдеулер алынады.
(9)
мұнда 
Лаплас операторы деп белгіленген. (2)-ке сәйкес, бұл μ, ν, ω үш құрамдас орын ауыстыруы бар үш дифференциалдық теңдеу; бұлардан, өз кезегінде, (3), (4) және (8) негізінде дифференциалдау арқылы барлық құрамдас кернеулер мен деформацияларды алуға болады. (9) теңдеулері көбіне арнайы жағдайларды зерттеуге ыңғайлы бастапқы нүкте болып табылады.
Деформациялық жұмыс
Анықтама
Кернеу түскен кезде тірекке сыртқы күштердің әсер ету нүктелері серпімді орын ауыстыруға ұшырайды, ал күштер осы кезде белгілі бір жұмыс атқарады. Осылай берілген энергия әртүрлі түрлерге ауысуы мүмкін. Егер жүктеме кенеттен түссе, деформация процесі едәуір жылдамдықпен жүретін болса, бұл энергияның бір бөлігі кинетикалық энергияға айналады, ол уақыт өте келе не серпімді толқын ретінде топыраққа беріліп, шексіздікке дейін жойылу жолымен, не ішкі үйкеліс арқылы жылуға айналу жолымен тарайды. Егер жүктемелер соншалықты баяу түсірілсе, бұл кезде кинетикалық энергияның елеулі өсімі болмайды, демек, нөлден бастап біртіндеп өсетін жүктемелер ішкі күштермен тұрақты тепе-теңдікте болады, онда энергияның тек денені деформациялауға жұмсалатыны анық, сол кезде ол деформация жұмысы деп аталады.
Деформациялық жұмысты есептеуді алдымен бір бағытта созылуға жүктелген бөліктен бастаймыз (5-сур.).
Берілген кернеу σ және сәйкес деформация ε бойынша dσ және dε өсімдері болсын. Сонда σdF күші dε * dl жолында σdF * dεdl = σdεdV жұмысын атқарады, егер dV ретінде бөлшектің көлемі белгіленсе. Егер кернеу нөлден өзінің соңғы мәніне дейін өсіп, соған сәйкес деформация 0-ден ε-ге дейін өзгерсе, бірлік көлемге шаққандағы жалпы атқарылған жұмыс мынаған тең болады:
Сол сияқты, ығысу кернеуі τ әсер ететін элемент үшін де (сур. 6) бірлік көлемге келетін деформация жұмысы (меншікті деформация жұмысы, серпімді потенциал):
мұнда төрт күштің тек біреуі ғана τ * dF жұмыс атқарады.
Жалпы жағдайда, элементар бөлікке барлық алты компоненттік кернеу әсер еткенде, жекелеген компоненттік кернеулердің жұмыстары қосындысынан меншікті деформация жұмысы алынады:
(10)
Осы интегралдардың әрқайсысының жоғарғы шегі бойынша дифференциалдау арқылы ең жалпы жағдайда жарамды қатынастар алынады:
(11)
және басқа компоненттік деформациялар үшін де солай. Егер дене серпімді болса, кернеудің әрбір белгілі күйіне деформацияның әрқашан бірдей күйі сәйкес келеді, оған жүктеу кезінде ме, әлде жүктемені түсіру кезінде ме жеткеніне қарамастан. Онда интегралдардың астында бірмәнді функциялар жатады, ал жүктеу және кейін толық жүктемені түсіру кезінде жұмсалған жалпы энергия a = 0, өйткені бұл жағдайда интегралдардың жоғарғы шектері нөлге айналады. Демек, жүктеу кезінде денеге берілген жалпы энергия жүктемені түсіру кезінде қайта алынады.
Сурет 6
Сурет 7
Не толық серпімді дене үшін кернеу мен деформация арасындағы байланыс бүкіл жүктеу және жүктемені түсіру циклі бойында шамамен 7-суретте O A B сызықтарымен көрсетілген түрге ие болады. Жүктеу кезінде берілген энергия 
OAA ауданына тең, ал жүктемені түсіру кезінде қайтарылатын энергия ABA ауданына тең, сондықтан штрихталған ауданға сәйкес жұмыс жоғалады (жылуға айналады). Егер тербелмелі процесте кернеу периодты түрде оң шекті мән 
мен теріс шекті мән 
арасында өзгеріп отырса, онда серпімсіз деформация 7-суретте үзік сызықтармен көрсетілгендей жүреді және тербелістің әрбір кезеңінде көлем бірлігіне шаққанда DABCD энергиясы жылуға айналады. Деформация кезінде деформация кернеуден кейін қалатын мұндай құбылыс серпімді гистерезис деп аталады, ал DABCD қисығы гистерезис ілмегі болып табылады.
Деформациялық жұмыс және Гук заңы
Егер 10 теңдеуіндегі интегралдарға Гук заңы енгізілсе, интегралдауды орындауға болады, сонда меншікті деформация жұмысы үшін мына өрнектер алынады:
(12a)
(12b)
(12c)
Егер осы формалардың екіншісі теңдеуге (11) енгізілсе, қайтадан Гук заңы, теңдеулер (8), кернеулер арқылы шешілген түрде алынады. Деформациялық жұмыс компоненттік деформацияларға тәуелді екені, (12b) теңдеуімен көрсетілгендей, Гук заңына балама болып табылады. (12c) теңдеуі кернеулер бойынша дифференциалданғанда, мынау алынады
(13)
Бұл формулалар, (11) формулаларынан айырмашылығы, тек Гук заңына сәйкес әрекет ететін денелерге ғана қолданылады және кернеулер мен деформациялар арасындағы байланыс басқаша болған кезде қолданылмайды. Әрине, (13) теңдеулерінің оң жағында тек кернеулерден туындаған компоненттік деформациялар болады, ал температураның өзгеруі, сырғу, ісіну, қайта кристалдану және т.б. салдарынан пайда болуы мүмкін барлық өзге деформациялар есепке алынбайды.
ЕЛАСТИКАЛЫҚ ТЕОРИЯДАҒЫ ИНТЕГРАЛДЫҚ ТҰЖЫРЫМДАР
Виртуалдық орын ауыстырулар. Потенциалдық энергияның минимум принципі
Хук заңы сияқты, теңдеулерді (8) бір теңдеумен (12b) алмастыруға болатын болса, сол сияқты тепе-теңдік шарттарының орнына механиканың жалпыға ортақ негізгі заңы ретінде виртуал орын ауыстырулар принципін енгізуге болады. Бұл заң тепе-теңдік күйлерінің мынамен сипатталатынын білдіреді: деформация күйінің аз өзгерісі кезінде барлық күштердің атқарған толық жұмысы нөлге тең болады. Егер серпімді орын ауыстырулардың аз өзгерістерін δμ δν, δω деп белгілесек, онда (7) теңдеуімен анықталған көлемдік күштер виртуал жұмыс атқарады
және дене сыртқы бетінің dF элементіне әсер ететін беткі күштер px, py, pz жұмыс 
мұнда үш еселі интеграл бүкіл көлемге, ал қос еселі интеграл дененің бүкіл сыртқы бетіне қатысты болады. Ішкі күштер атқаратын жұмысты есептеу үшін теңдеу (12b) қолданылады, сондықтан көлем бірлігіне келетін жұмыс үшін
Осыдан виртуал орын ауыстырулар принципі береді
(14)
Егер X, Y, Z px, py., pz жүктемелері ауырлық күшінің құраушылары ретінде қарастырылса (меншікті салмақ және сыртқы жүктеме), онда оң жақтағы интегралдар осы жүктемелер жоғалтқан потенциалдық энергияны білдіреді, ал сол жақ бөлік дененің потенциалдық (серпімді) энергиясының өсімін көрсетеді, сондықтан бұл принцип арқалық пен оның үстіндегі жүктемелердің жалпы потенциалдық энергиясы тепе-теңдік жағдайында экстремалдық мәнге ие болатынын білдіреді. Егер бұл экстремалдық мән минимум болса, тепе-теңдік орнықты болады.
Потенциалдық энергияның минимум қағидаты (14) теңдеуімен, деформациялық жұмыс үшін (12b) өрнегімен, деформациялардың үйлесімділік шарттары (5), (6) серпімділік теориясын құруға жеткілікті және негізінен теңдеулер жүйесіне баламалы теңдеулер жүйесін құрайды. Бұл жүйе дифференциалдық теңдеулерді (9) қанағаттандыру есептеулік қиындық туғызатын жағдайларда, сондықтан жуық шешім іздеу қажет болғанда, әсіресе пайдалы болуы мүмкін; мысалы, орын ауыстырулар үшін бірнеше еркін тұрақтысы бар қолайлы пішін алдын ала қабылданып, оларды (14) теңдеуі орындалатындай етіп анықтайды. Осылайша, әрине, мәселенің дәл шешімі емес, таңдалған шешім пішінімен қол жеткізуге болатын ең жақсы жуықтау ғана алынады. Жуықтаудың жеткіліктілігі ең алдымен қабылданған шешім пішініне байланысты, сондықтан бұл әдісті табысты қолдану шеберлік пен тәжірибені қажет етеді.
Кастильяно принципі
Ал потенциалдық энергияның минимум принципі кезінде деформация үйлесімділігі шарттарын қанағаттандыратын барлық деформация күйлері салыстырылып, олардың ішінен сәйкес кернеулер тепе-теңдік шарттарын қанағаттандыратындары бөлініп алынатын болса, Castigliano принципі кезінде тепе-теңдік шарттарын қанағаттандыратын барлық кернеу күйлері салыстырылып, олардың ішінен сәйкес деформациялар деформация үйлесімділігі шарттарын қанағаттандыратындары бөлініп алынады. Бұл принцип былай тұжырымдалады: мүмкін болатын барлық тепе-теңдік күйлердің ішінен шын мәнінде ең кіші деформациялық жұмысқа сәйкес келетіні орын алады. Castigliano принципі деформациялық жұмыс үшін теңдеумен (12c) және тепе-теңдік шарттарымен бірге материалдар беріктігін құруға жеткілікті теңдеулер жүйесін құрайды. Бұл принцип Hooke заңын қамтитындықтан, оны қолдану мүмкіндігі деформацияларды осы заңмен толық сипаттауға болады деген жорамалға байланысты. Бұл материалдың тек сызықты серпімді мінез-құлқын ғана емес, сонымен қатар температура өзгерістерін де жоққа шығарады.
Серпімділік шектерінен жоғары материалдың мінез-құлқы
Статикалық жүктеме кезіндегі құбылыстар
Материалдың кернеу әсерінен деформациясы өте күрделі құбылыс, сондықтан оны түсіну үшін әртүрлі бағыттар бойынша оңайлатуға тура келеді. Осындай оңайлатулардың бірі — жүктемелердің біртіндеп түсіріледі деген жорамал, мысалы, созылу және сығылу сынақтарындағы үлгілермен жұмыс істегенде қолданылатындай.
Егер созылуға жүктелген болат шыбық біртіндеп өсетін жүктемеге ұшырап, оның ұзаруы ε өлшенсе, сур. 8-де көрсетілген диаграмма алынады. Бастапқыда ұзару өте аз болады және кернеуге пропорционал келеді, бұл Гук заңына сай. Белгілі бір кернеуден бастап пропорционалдық тоқтап, ұзару жылдамырақ өседі. Осы пропорционалдық шектің дәл орнын анықтау қиын. Өлшеу неғұрлым дәл болса, ол соғұрлым төменірек алынады. Көптеген материалдар үшін ол σ = 0 деңгейінде жатады, ал Гук заңы онда тек серпімді мінез-құлықтың алғашқы жуықтауы, координаталар басының маңындағы ε = ε(σ) функциясының Тейлор қатары бойынша дамуының алғашқы мүшесі ғана болып табылады.
Егер өзекше босатылса, кернеу тым үлкен болмаған жағдайда, Хук заңы бойынша деформация да жоғалатыны байқалады. Бірақ белгілі бір кернеу пропорционалдық шегіне, яғни серпімділік шегіне жақын асырылса, бұл да өзгереді; онда жалпы деформация серпімді (қайтымды) және серпімсіз (тұрақты) бөліктен тұрады. Серпімділік шегін де дәл анықтау мүмкін емес, өлшеу дәлдігі неғұрлым жоғары болса, ол соғұрлым төменірек болады. Алайда оның үлкен техникалық маңызы бар, өйткені ол материалдар кедергісіндегі дерлік барлық есептеулер үшін қолданылу шегін, сондай-ақ алғашқы тұрақты зақымдар пайда болатын шекті білдіреді, сондықтан үлгілерді сынау үшін ол қабылданған бір конвенциямен қатаң анықталады, мыс., 0.2% шегі ретінде тұрақты ұзару 0.2%-ге жететін кернеу белгіленеді.
Эластикалық шектен асқаннан кейін деформация күрт өседі және оны жалаң көзбен байқауға болады; кернеу дерлік тұрақты болғанда өзек үздіксіз ұзартады. Бұл кернеу аққыштық шегі деп аталады. Материалдарды сынауға арналған гидравликалық машиналарда аққыштық басталғаннан кейін кернеудің азды-көпті айқын төмендеуі де байқалады; 8-суретте штрихталған қисықпен көрсетілгендей; сол кезде максимум жоғарғы аққыштық шегі деп аталады, ал одан кейін пайда болатын тұрақты аққыштық кернеу төменгі аққыштық шегі болады.
Белгілі бір созылуға жеткеннен кейін, ол дерлік толықтай серпімсіз болғандықтан, кернеу қайтадан өсе бастайды, материал қатаюға ұшырайды. Бұл жүктеме аймағында өзектің қимасының (серпімсіз) бүйірлік жиырылу салдарынан едәуір кемуі байқалады, ал кернеу мен деформация диаграммасының әрі қарайғы жүрісі, ең алдымен, кернеу σ-ны есептегенде өзекке әсер ететін тарту күші P бастапқы қимамен F0 не қазіргі қимамен F бөлінетініне байланысты болады. Техникалық мақсаттар үшін P|F0 кернеуі маңызды. Бұл кернеу материалдың беріктігі деп аталатын максимумға дейін өседі, ал осы максимумнан өткен соң өзек бір жерде қатты жіңішкеріп, үзіледі. «Нақты кернеу» P|F бұзылуға дейін өседі.
Сурет 8.
Басқа металдардың мінез-құлқы мұнда сипатталғаннан едәуір ауытқиды. Аққыштық көбіне айқын байқалмайды, ал қатаю серпімділік шегінен асқаннан кейін бірден басталады. Морт материалдарда (тас, шыны, бетон) серпімсіз деформациялар жалпы алғанда аз болады және шағын ғана ұзарудың өзінде-ақ бұзылу орын алады. Материалдың бұзылғанға дейін бастан кешіретін жалпы ұзаруы — материалдың созылғыштығының (керісінше: морттығының) өлшемі, әрі ол болат үшін техникалық шарттарда дәл белгіленеді. Алайда бұзылуға тура дейінгі әрі қарайғы деформация қимасы тарылған көршілес жерлерге шоғырланатындықтан, бұзылу кезіндегі ұзарудың мәні өлшеу ұзындығына біліктің үлкен немесе кіші бөлігі алынуына қарай әртүрлі болады, сондықтан бірмәнді әрі өзара салыстырмалы нәтижелер алу үшін алдын ала белгілі бір шарттылық қабылдануы тиіс. Бұзылу кезіндегі ұзару, әдетте, диаметрі d болатын дөңгелек білікте сынақ алдында өлшеу ұзындығы Ι = 10 d деп белгіленіп, оның ұзара түсуі ΔΙ бойынша бұзылу кезіндегі ұзару εs_Ι = _ΔΙ|Ι ретінде есептелу арқылы өлшенеді. Егер басқа қималы біліктерді сынау қажет болса, өлшеу ұзындығы қимасының ауданы бірдей болатын дөңгелек цилиндрлі біліктің диаметріне қарай анықталады.
Ұзақ мерзімді жүктеме
Созылу сынағының барысы үшін, жүктеменің бұзылуға дейін 10 m минут ішінде ме, әлде бірнеше сағат ішінде ме, артуы іс жүзінде бәрібір. Алайда, егер жүктеме жылдар бойы немесе ондаған жыл бойы әсер етсе, белгілі бір жағдайларда, ағу шегінен төмен деформацияның тұрақты кернеу кезінде уақыт өте келе баяу өсетіні байқалады. Бұл кезде серпімді бөлік, яғни соңғы түсіру кезінде жойылатын бөлік, елеулі өзгермейді. Ұзақ уақыт ішінде болатын осы бейсерпімді деформацияның артуы жорғалау деп аталады. Металдарда, қорғасыннан басқа, жорғалау тек жоғары температураларда ғана маңызды, алайда құрылыс инженері үшін ол қысым әсерінен баяу босайтын бетонда рөл атқарады, соның салдарынан, егер ол болса, қыспа арматурадағы кернеу артады.
Айнымалы жүктеме
Материалдардың созылуға сынау кезінде алынған механикалық сипаттамаларын құрылыстардың рұқсат етілген жүктемесін бағалау өлшемі ретінде қолдану үшін, материалдың әрбір қайта жүктелу кезінде бір рет зақымданусыз көтерген кернеуді қайтадан да көтере алуы шарт. Бұл шарт материал жиі қайталанатын жүктемелер мен босатуларға ұшырағанда орындалмайды, мысалы, толық теңгерілмеген машиналардың инерциялық күштерімен жүктелетін тіректер жағдайында. Жүктеменің жеткілікті жиі қайталануы құрылымдық бөлікті қарапайым статикалық сынаумен анықталатын материал беріктігінен әлдеқайда төмен кернеуде де бұзылуға әкелуі мүмкін. Осындай бұзылу құбылысы шаршаудан болатын бұзылу деп аталады. Материал көтере алатын жүктеме циклдерінің n саны кернеу σ шамасына байланысты, сондықтан кернеу аз болған сайын ол көп болады. Осы тәуелділіктің типтік мысалы 9-суретте көрсетілген, одан материал беріктігінің төменгі шегі бар екені көрінеді; ол жүктеме циклдерінің қалаған кез келген саны кезінде де төзімді және материалдың динамикалық беріктігі деп аталады. Осындай диаграммалар (9-сур.) Вёлер қисықтары деп аталады.
Сурет 9.
Құрылымдардың қауіпсіздігі
Құрылымдар үшін екі шекті жүктеме маңызды: алғашқы тұрақты зақымдар пайда болатын жүктеме (ағу шегі) және құрылымның көтергіш қабілеті таусылып, ол қирайтын жүктеме (қирау шегі). Ағу шегіне дейін материалдар кедергісінің жорамалдары (кіші орын ауысулар, Гук заңы) ең кемі жуық түрде қолданылатындықтан, тұрақты деформацияларға қатысты қауіпсіздікті математикалық қиындықтарды жеңу мүмкін болған барлық жағдайларда сенімді бағалауға болады. Егер кернеу жүктемеге пропорционал болса, ағу кернеуінің құрылымда пайда болатын ең үлкен кернеуге қатынасы ағу тудыратын жүктеменің нақты жүктемеге қатынасына тең болады және ағуға қатысты қауіпсіздік коэффициентін білдіреді. Алайда бірқатар жағдайларда мұндай қарапайым қатынас болмайды: созылу ескерілмейтін иілу, дөңес беттер арасындағы қысым, құрылымы өзгермелі жүйелер және, әсіресе қолайсыз жағдайда, осьтік күшпен бірге иілу. Осы жағдайлардың бәрінде жүктеменің салыстырмалы түрде аз артуы кернеудің айтарлықтай өсуіне әкелуі мүмкін, сондықтан қалыпты қауіпсіздік коэффициентін кернеуге қолдану жеткіліксіз, оны жүктемеге қолдану қажет.
Аққыштық шегінен асып, қирауға дейінгі құбылыстарды көп жағдайда тек сапалық тұрғыдан ғана бақылауға болады. Егер материал созылмалы болса, аққыштық шегі алдымен жеткен және одан әрі тұрақты кернеу немесе аздап өсетін кернеу кезінде деформацияланатын бөліктер кейінгі жүктемені қабылдауға аз қатысады, сондықтан қалған, азырақ кернеуленген конструкция бөліктері, оның құрылымын ескере отырып бұл мүмкін болса, жүктемені көтеруге көбірек қатысады. Кернеу шоқтарын теңестіруге ұмтылуда белгілі бір қауіпсіздік қоры жатыр, оны жеке бөліктердің бір ғана елеулі жүктемеден пайда болған тұрақты деформациясы зиянсыз болса, есептік тұрғыдан пайдалануға болады (шекті жүктеме әдісі).
Егер материал морт болса, алғашқы тұрақты зақым жарықтар түрінде байқалады, соның салдарынан қауіпті жерде кернеудің одан әрі күштірек шоғырлануы туып, ол бірден сынуға әкеледі. Шаршаудан болатын сыну созылғыш материалдарда да морт сынудың белгілеріне ие.
Әртүрлі қима жазықтықтар үшін кернеулер арасындағы байланыстар
Түрлендіру теңдеулері
29 компоненттік кернеу сур. 1, үш тепе-теңдік шартымен байланысқан. Қалған алты шама — σx, σy, σz τxy, τyz, τzx — серпімділік теориясының дифференциалдық теңдеулерін шығаруынан көрінетіндей, бір-біріне тәуелсіз түрде кез келген мәндерді қабылдай алады. Алайда, бұл мәндер берілген кезде, қатты дененің белгілі бір нүктесіндегі кернеу күйі толық анықталады, яғни өзара перпендикуляр үш жазықтық үшін кернеулер белгілі болғанда, берілген нүкте арқылы өтетін және нормалі кез келген бағытқа ие төртінші жазықтық үшін кернеуді де бірмәнді анықтауға болады.
10Сур. бойынша OABC тетраэдрі көрсетілген, оның үш жағы координат жүйесінің x, y, z жазықтықтарына параллель, ал төртіншісі ABC = dF. түріндегі кез келген бағдарланған бет элементін білдіреді. Оның бағытын және ол арқылы берілетін кернеу бағытын белгілеу үшін екінші координат жүйесі енгізіледі, оның ξ осі dF.-қа перпендикуляр.
Сурет 10
Бұл тетраэдрге ξ осі бағыты бойынша әсер ететін күштердің теңгерім шарты береді
Егер мұны ескерсек,
алынады
және осыған ұқсас, η осі бағытындағы тепе-теңдік шарттарынан:
Бұл — координаталарды түрлендіру кезіндегі кернеуді есептеуге арналған теңдеулер. Ең маңыздысы — dF бетінің тек ξ-ось z-осьпен сәйкес келетін осындай элементтерін қарастыру. Осы жағдайға арналған өрнектерді алдыңғы өрнектерді ықшамдау арқылы немесе тікелей 11-суреттен оқуға болады:
Сурет 11
Нормаль кернеу α = α0 бағыттарында экстремал мәндер қабылдайды, олар үшін dσξ/dα = 0. Туынды алу арқылы теңдеуінен (16)
сондықтан бұл өрнек нөлге теңестірілген кезде
Кернеу τξη осы жазықтықтардағы толық ығысу кернеуі болады, егер τyz = τzx = 0. Онда (17) теңдеуімен өзара перпендикуляр екі бағыт анықталады, олар үшін: 1. толық ығысу кернеуі нөлге тең және, 2. қалыпты кернеу шекті мәндерге ие болады (максимум және минимум). Бұл бағыттар негізгі кернеулердің бағыттары деп аталады, ал сәйкес кернеулер негізгі кернеулер деп аталады. Олар σ1 және σ2 арқылы белгіленеді және тікелей өрнек бойынша есептелуі мүмкін
Моор шеңбері
Теңдеулер (16) көрнекі түрде графикалық жолмен бейнеленуі мүмкін. Ол үшін оларды мына түрге келтіру керек:
Бұл теңдеулер σ, τ координаталар жүйесінде 12-суретте салынған шеңбер теңдеуінің параметрлік түрін білдіреді, оның центрінің координаталары σ = 1/2 (σx + σy), τ = 0 және оның радиусы
Бұл шеңбер Мohr шеңбері деп аталады. Егер x нүктесі арқылы x =const. қимасына параллель түзу жүргізілсе, ол арқылы σx, τxy кернеулері берілетін, шеңберді p нүктесінде қиып өтеді; бұл нүкте Мohr шеңберінің полюсі деп аталады. Осы полюс арқылы жүргізілген әрбір pξ түзу шеңберді ξ нүктесінде қиып өтеді, ол pξ-ке параллель қима арқылы берілетін σξ, τξη кернеулерін анықтайды.
Моор шеңберін салғанда ығысу кернеулерінің таңбасына қатысты, егер олар 12c-суретінде көрсетілген бағытқа ие болса, оларды жоғары қарай түсірілетінін ескеру керек. Демек, екі конъюгацияланған кернеудің τxy, τyx біреуі әрқашан оң, екіншісі теріс болады.
Кернеулердің нормаль мәндерінің шекті шамалары σ1, σ2 болғанда, шеңбердегі 1 және 2 нүктелері сәйкес келеді, ал _p_1 және _p_2 түзулері басты кернеулердің бағыттарын береді.
x-y жазықтығындағы кернеулерді Махр шеңбері арқылы көрсету бұл жазықтыққа перпендикуляр σz, τxz, τyz кернеулері туралы ешқандай жорамалға байланысты емес.
Сурет 12
Сәйкесінше, бұл ең жалпы үшөлшемді кернеу күйі үшін де, егер бәрі осы жерде z және ξ осі ретінде таңдалған бір түзу арқылы өтетін қималық жазықтықтар ғана салыстырылса, орын алады. Жалпы түрлендіру теңдеулеріне (15) сәйкес қалыпты кернеу σ қандай да бір қималық жазықтық үшін де шексіз бола алмайтындықтан, ол бір жазықтық үшін шекті максимум σ1-ге, ал екінші үшін минимум σ3-ке ие болуы тиіс; олардың екеуі де, әрине, теріс те болуы мүмкін. Егер σ1 және σ3 векторлары арқылы жазықтық өткізіліп, Мohr шеңбері (сур. 13) салынса
Сурет 13
осы жазықтықта жататын кернеулер үшін (яғни осы жазықтыққа перпендикуляр барлық бағыттар үшін), онда σ1 және σ3 пайда болуы мүмкін ең үлкен және ең кіші қалыпты кернеулер болып табылады, демек, олар өзара перпендикуляр болуы тиіс. Егер 1 және 3 бағыттары 2 бағытымен толықтырылып, осы үш бағыт тік бұрышты координат жүйесін құраса, және 1 ~2 және 2 ~ 3 жазықтықтары үшін Махр шеңберлері салынса, онда σ2 осы шеңберлердің біреуі үшін ең үлкен, ал екіншісі үшін ең кіші қалыпты кернеу болады, сондықтан 1, 2 және 3 бағыттарына перпендикуляр қималарда ығысу кернеуі нөлге тең болады. Ығысу кернеулері сәйкес келмейтін өзара перпендикуляр үш қалыпты кернеу σ1, σ2 және σ3 басты кернеулер деп аталады.
Аққыштық шегі және кеңістіктегі кернеу күйіндегі бұзылу шегі
Кернеу күйі бір-, екі- немесе үшөлшемді деп аталады, басқаша айтқанда: сызықтық, жазық немесе кеңістіктік, егер бір, екі немесе барлық үш негізгі кернеу нөлден өзгеше болса. Ең жиі қолданылатын құрылымдық бөліктерде, яғни созылған, сығылған және иілген өзекте кернеу күйі, кемінде ең көп кернеуленген жерлерде, бірөлшемді болады, дәл сол сияқты материалдарды сынау кезінде рұқсат етілген кернеулерді анықтау үшін іс жүзінде тек қана қолданылатын созу, сығу немесе иілу сынақтарында да солай. Керісінше, өз жазықтығында немесе оған перпендикуляр жүктелетін тақталарда, сондай-ақ қабықшаларда кернеу күйі екіөлшемді болады, ал кейбір жағдайларда үшөлшемді кернеу күйлері де пайда болады, сондықтан бірөлшемді кернеу күйінде анықталған аққыштық және сыну шегінің негізінде материалдың кеңістіктік кернеу күйі кезіндегі мінез-құлқы туралы қорытынды жасау қажет.