Bazele
Sarcina rezistenței materialelor este să stabilească ce forțe exterioare poate suporta un corp solid (de ex., o construcție, o piesă structurală sau terenul). Pentru a răspunde la această întrebare se pornește de la două criterii: pe de o parte, tensiunile nu trebuie să depășească anumite limite care depind de tipul materialului, iar pe de altă parte echilibrul dintre forțele exterioare și cele interioare trebuie să fie stabil. În conformitate cu acestea, toate problemele rezistenței materialelor se pot împărți în „probleme de tensiune“ și „probleme de stabilitate“.
La bare și grinzi și la elementele portante alcătuite din acestea (grinzi cu zăbrele, cadre), determinarea tensiunilor se face în doi pași, și anume astfel încât mai întâi, pe baza forțelor exterioare date, se calculează rezultanta forțelor interioare care sunt transmise prin secțiunea transversală, iar apoi, din aceste „forțe secționale”, se determină tensiunile. Prima parte a procedurii reprezintă o disciplină separată, amplă, statica construcțiilor, care are metode proprii elaborate și care se separă de obicei de rezistența materialelor, a cărei sarcină se reduce la determinarea tensiunilor din forțele secționale date.
Noțiuni de bază ale rezistenței materialelor
Definirea tensiunii se obține prin următoarele considerații de bază. Să presupunem că asupra corpului acționează un sistem de forțe exterioare în echilibru. Imaginați-vă că am împărțit corpul printr-o secțiune arbitrară în două părți și că am îndepărtat una dintre ele împreună cu forțele care acționează asupra ei; atunci acțiunea ei asupra celeilalte părți, pentru ca echilibrul forțelor și repartizarea deformațiilor să rămână neschimbate, trebuie înlocuită cu forțe suplimentare care se transmit prin suprafața secțiunii. Aceste forțe „interne” sunt distribuite continuu pe suprafața secțiunii, astfel încât fiecărui element de suprafață dF îi corespunde forța dβ. Dacă se formează raportul dβ dF și se face trecerea la limită dF -> 0, atunci acest raport tinde către valoarea limită numită tensiune. Tensiunea într-un anumit element de suprafață este, asemenea lui dβ, și poate fi descompusă în componente normală și tangențială pe dF, tensiune normală σ și tensiune tăietoare τ.
Dacă prin același punct se duc secțiuni în direcții diferite, lor le vor corespunde și tensiuni diferite. În special, dacă din corp se izolează un cub elementar, prezentat în fig. 1, pe fiecare dintre cele șase fețe ale sale va acționa un vector al tensiunii care poate fi descompus în trei componente în direcțiile axelor de coordonate x, y, z. Tensiunile care acționează pe fețele opuse ale suprafeței diferă între ele, desigur, doar printr-un diferențial, astfel că trebuie deosebite 3 * 3 = 9 componente ale tensiunilor, care se notează după cum urmează:
Tensiunilor normale σ li se atribuie indicele axei în direcția căreia acționează și sunt considerate pozitive dacă provoacă întindere, negative dacă provoacă compresiune. Tensiunile tangențiale τ primesc doi indici, primul dintre ei fiind același cu indicele tensiunii normale corespunzătoare, iar al doilea se referă la axa în direcția căreia acționează tensiunea tangențială. Dacă direcția pozitivă a tensiunii normale corespunzătoare este în direcția axei de coordonate pozitive (negative), și tensiunea tangențială se consideră pozitivă dacă acționează în direcția axei de coordonate pozitive (negative).
Figura 1.
Conjugarea tensiunilor tăietoare
Dacă pentru paralelipipedul elementar, fig. 1, se stabilește condiția ca momentul tuturor forțelor față de axa x să fie zero, se obține τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz De aici, și din cele două ecuații corespunzătoare pentru axele y și z, rezultă că tensiunile tăietoare cu aceiași indici sunt egale între ele τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (1)
Deformații componente
Faptul că tensiunile definite mai sus au un sens fizic rezultă din legătura lor cu definiția pe care o suportă orice corp aflat sub acțiunea forțelor exterioare. Fig. 2 prezintă un paralelipiped elementar, care înainte de deformare era dreptunghiular și avea lungimile muchiilor dx, dy, dz. Lungimile muchiilor după deformare le putem nota cu dx + Δdx, dy, + Δdy, dz + Δdz. Raporturile εx = Δdx|dx, εy =Δdy|dy, εz = Δdz|dz se numesc dilatări. Acestea sunt mărimi fără dimensiune și, pentru toate materialele care intră în discuție în construcții, mici față de 1. În afară de alungirea muchiilor, paralelipipedul elementar dx * dy * dz poate suferi și modificarea unghiurilor inițial drepte dintre fețele sale.
Figura 2. deformare componentală
Să presupunem că, după deformare, unghiul dintre planele care se întâlnesc de-a lungul muchiei OC este egal cu 
, iar în mod similar reducerea unghiului drept de-a lungul muchiei AO este egală cu γyz, iar reducerea de-a lungul muchiei OB este egală cu γzx. Aceste trei modificări de unghiuri γxy, γyz, γzx se numesc alunecări și sunt de asemenea întotdeauna mici față de 1. Cu cele șase componente ε și γ este complet determinată deformarea cuboidului elementar „deformare mică”. Modificarea elementului de volum d_V = dx * dy * dz_ este ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, de unde, neglijând produsele dilatărilor ca mărimi mici de ordin superior, se obține dilatarea cubică ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2)
Deplasări
Deformarea corpului solid poate fi descrisă complet și în felul acesta, atribuid fiecărui punct al lui deplasarea pe care acel punct a suferit-o. Dacă sunt excluse din observație deplasările de mărime finită, care corespund mișcării unui corp rigid, astfel încât, dacă este necesar, în calcul să fie adoptat un sistem de coordonate mobil, atunci și deplasările componente μ, ν, ω sunt întotdeauna de mărimi mici, iar derivatele lor în raport cu coordonatele sunt mici în comparație cu 1. Pe această presupunere, conform fig. 3 lungimea elementului liniar OA = dx după deformare
așadar 
(3)
În mod similar, din fig. 3 se vede că alunecarea γxy γ1 + γ2: și, de asemenea
(4)
Figura 3 alunecare
(5) 
(6)
Aceste legături se numesc condiții de compatibilitate și arată că elementele deformate pot fi îmbinate ca un mozaic astfel încât spațiul să fie umplut continuu, ceea ce nu se poate realiza dacă deformările elementelor sunt arbitrare. Condițiile de compatibilitate sunt ecuații diferențiale, așadar, firește, toate cele șase componente ale deformării pentru fiecare paralelipiped sunt independente între ele, dar dispunerea lor în orice domeniu finit întins este legată de condițiile (5) și (6).
Deoarece aceste condiții au fost obținute prin diferențiere din ecuațiile (3) și (4), la deducerea lor se pierde o parte din legăturile cuprinse în ecuațiile inițiale. De aceea nu este suficient să fie satisfăcut doar unul dintre aceste două sisteme de ecuații, ci trebuie satisfăcute ambele sisteme de ecuații dacă se dorește ca compatibilitatea deformării să fie asigurată.
Ecuațiile diferențiale ale sistemului de elasticitate
Pentru calculul tensiunilor și deformațiilor la corpurile elastice servesc următoarele ecuații:
Condițiile de echilibru ale elementului volumic. Condițiile ca momentele în jurul celor trei axe să fie egale cu zero au fost deja utilizate la deducerea ecuației (1). Condițiile de echilibru ale forțelor dau, conform fig. 4
Figura 4
(7a-c)
Dacă prin X, Y, Z se notează componentele forțelor de volum (de exemplu greutatea, forța centrifugă) pe unitatea de volum. Relațiile dintre tensiuni și deformații. Prin aceasta se înțelege relația dintre tensiunile componente și deformațiile componente. În teoria elasticității, de regulă, este avută în vedere doar relația liniară, exprimată prin legea lui Hooke:
(8a-c)
(8d-f)
Dacă ecuațiile (8a-c) se rezolvă după tensiuni, se obține
(8 a)
și cele două ecuații corespunzătoare. Legea lui Hooke exprimată prin ecuația (8) nu reprezintă o lege naturală respectată în mod strict, ci o idealizare a comportării reale, care se abate de la ea mai mult sau mai puțin, în funcție de material și de mărimea solicitării. Având în vedere că tratarea matematică a problemei rezistenței materialelor cu legături complicate, neliniare între tensiuni și deformații provoacă dificultăți incomparabil mai mari și poate fi realizată în fapt doar în cele mai simple cazuri, și la acele materiale (beton!) a căror comportare se abate considerabil de la legea lui Hooke, calculele bazate pe aceasta trebuie folosite ca primă și, de cele mai multe ori, și singura soluție aproximativă, care, de altfel, este de regulă foarte utilă și oferă o înțelegere mai mult decât pur calitativă. G = E|2 (1+μ).
Ea rezultă în mod necesar din relația dintre tensiune și deformație (8), din ecuațiile de transformare (16) pentru tensiuni și din sistemul corespunzător de ecuații pentru deformațiile componente E și G au dimensiunea unei tensiuni și la toate materialele de construcții sunt mari față de tensiunile σ și τ care pot apărea. Pe acest fapt se întemeiază ipoteza adoptată pretutindeni în teoria elasticității, că deformațiile sunt mici. Coeficientul de dilatare transversală (numărul lui Poisson) μ este adimensional și se află întotdeauna între 0 și 1/2 .
Legături între deformațiile componente și deplasări. Aceste legături sunt date de ecuațiile (3), (4). Ele au un caracter pur geometric. Aceste trei sisteme dau 3+6+6=15 ecuații pentru 15 necunoscute, adică pentru 6 tensiuni componente, 6 deformații componente și 3 deplasări componente. Ele sunt, prin urmare, suficiente pentru determinarea acestor necunoscute. Stăpânirea matematică a unui sistem atât de amplu de ecuații diferențiale este posibilă, desigur, numai în cazuri speciale. Dacă în ecuația (8) deformațiile componente sunt înlocuite cu deplasările componente, conform ecuațiilor (3) și (4), iar apoi tensiunile normale σ și tensiunile tangențiale τ, conform ecuațiilor (8 d - f), sunt introduse în condițiile de echilibru, ecuația (7), se obțin ecuațiile diferențiale numite ecuațiile fundamentale ale teoriei elasticității.
(9)
în care este 
notat operatorul Laplace. Având în vedere (2), acestea sunt trei ecuații diferențiale cu trei deplasări componente μ, ν, ω; din acestea, prin diferențiere pe baza (3), (4) și (8), se pot obține toate tensiunile și deformațiile componente. Ecuațiile (9) reprezintă adesea un punct de plecare convenabil pentru studiul cazurilor speciale.
Munca de deformare
Definiție
Când un element portant este încărcat, punctele de aplicare ale forțelor exterioare suferă deplasări elastice, iar forțele efectuează în acest timp un anumit lucru. Energia introdusă în acest mod poate trece în diferite forme. Dacă încărcarea este aplicată brusc, astfel încât procesul de deformare are o viteză considerabilă, o parte din această energie se transformă în energie cinetică, care în timp se disipă, fie prin transmiterea către teren sub forma unei unde elastice care se pierde la infinit, fie prin transformarea, prin frecare internă, în căldură. Dacă sarcinile se aplică atât de lent încât nu apare o creștere sesizabilă a energiei cinetice, adică dacă încărcările care cresc treptat de la zero sunt în echilibru permanent cu forțele interne, energia se consumă în mod evident exclusiv pentru deformarea corpului și atunci se numește lucru de deformare.
Calculul lucrului de deformare îl vom prezenta mai întâi pe un element solicitat la întindere într-o singură direcție (fig. 5).
Să presupunem că tensiunea existentă σ și dilatarea corespunzătoare ε suferă creșteri dσ și dε. Atunci forța σdF pe parcursul dε * dl va efectua lucrul σdF * dεdl = σdεdV, dacă prin dV se notează volumul elementului. Dacă tensiunea crește de la zero până la valoarea sa finală și dilatarea, în consecință, de la 0 până la ε, lucrul total efectuat pe unitatea de volum va fi:
Tot astfel, pentru un element solicitat de efortul tangențial τ (fig. 6), lucrul de deformație pe unitatea de volum (lucrul specific de deformație, potențial elastic):
din care numai una dintre cele patru forțe τ * dF efectuează lucru.
În cazul general, când asupra unui element infinitesimal acționează toate cele șase componente de tensiune, se obține lucrul specific de deformare prin însumarea lucrărilor componentelor individuale de tensiune:
(10)
Prin derivarea după limita superioară a fiecăruia dintre aceste integrale se obțin relații valabile în cazul cel mai general:
(11)
și similar pentru celelalte deformații componente. Dacă corpul este elastic, fiecărei stări determinate de tensiune îi corespunde întotdeauna aceeași stare de deformație, indiferent dacă starea a fost atinsă la încărcare sau la descărcare. Atunci sub integrale se află funcții univoce, iar energia totală consumată la încărcare și apoi la descărcare completă este a = 0, având în vedere că în acest caz limitele superioare ale integralelor devin zero. Prin urmare, energia totală transmisă corpului la încărcare este recuperată la descărcare.
Figura 6
Figura 7
Pentru un corp imperfect elastic, relația dintre tensiuni și deformații pentru întregul ciclu de încărcare și descărcare are forma aproximativ reprezentată în fig. 7 prin liniile O A B. Energia 
adusă la încărcare este egală cu suprafața OAA, iar energia restituită la descărcare cu suprafața ABA, astfel încât se pierde (se transformă în căldură) lucrul corespunzător suprafeței hașurate. Dacă într-un proces oscilatoriu tensiunea se modifică periodic între valoarea limită pozitivă 
și valoarea limită negativă, 
deformația neelastică evoluează asemănător cu ceea ce este arătat prin liniile întrerupte din fig. 7, iar la fiecare perioadă de oscilație se transformă în căldură, pe unitatea de volum, energia DABCD. Un astfel de comportament la deformare, în care deformația rămâne în urma tensiunii, se numește histerezis elastic, iar curba DABCD buclă de histerezis.
Lucrul de deformație și legea lui Hooke
Dacă în integralele din ecuația (10) se introduce legea lui Hooke, se poate efectua integrarea, iar pentru lucrul specific de deformare se obțin expresiile:
(12a)
(12b)
(12c)
Dacă a doua dintre aceste forme este introdusă în ecuația (11), se obține din nou legea lui Hooke, ecuațiile (8), în forma rezolvată după tensiuni. Afirmația că lucrul de deformație depinde de deformațiile componente, așa cum este arătat prin ecuația (12b), este prin urmare echivalentă cu legea lui Hooke. Când ecuația (12c) este diferențiată după tensiuni, se obține
(13)
Aceste formule, spre deosebire de formulele (11), sunt valabile numai pentru corpuri care se comportă conform legii lui Hooke și nu pot fi aplicate atunci când relațiile dintre tensiuni și deformații sunt diferite. Se înțelege că în partea dreaptă a ecuațiilor (13) se află numai deformațiile componente provocate de tensiuni, iar toate celelalte care ar fi putut apărea eventual din cauza modificării temperaturii, fluajului, umflării, recristalizării etc. sunt excluse.
CONSIDERAȚII INTEGRALE ÎN TEORIA ELASTICITĂȚII
Deplasări virtuale. Principiul energiei potențiale minime
Așa cum legea lui Hooke, ecuațiile (8) pot fi înlocuite printr-o singură ecuație (12b), tot astfel, în locul condițiilor de echilibru poate fi introdus principiul deplasărilor virtuale, ca lege fundamentală general valabilă a mecanicii. Această lege arată că stările de echilibru se caracterizează prin faptul că, la ele, lucrul total efectuat de toate forțele la o mică modificare a stării de deformație este egal cu zero. Dacă micile modificări ale deplasărilor elastice le notăm δμ δν, δω, atunci forțele volumice definite de ecuația (7) efectuează lucru virtual
iar forțele de suprafață px, py, pz care acționează asupra elementului dF al suprafeței exterioare a corpului dau lucru 
iar integrala triplă se referă la întregul volum, iar integrala dublă la întreaga suprafață exterioară a corpului. Pentru calcularea lucrului efectuat de forțele interioare se folosește ecuația (12b), astfel că pentru lucrul pe unitatea de volum se obține
Principiul deplasărilor virtuale oferă pe baza aceasta
(14)
Dacă încărcările X, Y, Z px, py., pz sunt considerate ca fiind componente ale forței de greutate (greutatea proprie și încărcarea exterioară), integralele din partea dreaptă reprezintă energia potențială pe care aceste sarcini au pierdut-o, în timp ce partea stângă reprezintă creșterea energiei potențiale (elastice) a corpului, astfel încât acest principiu arată că energia potențială totală a portanței și a sarcinilor așezate pe ea, în cazul echilibrului, are o valoare extremă. Dacă această valoare extremă este minimă, echilibrul este stabil.
Principiul energiei potențiale minime, exprimat prin ecuația (14), expresia (12b) pentru lucrul de deformație și condițiile de compatibilitate a deformațiilor (5), (6) constituie un sistem de ecuații suficient pentru construirea teoriei elasticității și, în esență, echivalent cu sistemul de ecuații. Acest sistem poate fi deosebit de util în cazurile în care satisfacerea ecuațiilor diferențiale (9) ridică dificultăți de calcul și, din acest motiv, trebuie căutată o soluție aproximativă, de exemplu, pentru deplasări se presupune dinainte o formă convenabilă care conține câteva constante libere, iar acestea se determină din cerința ca ecuația (14) să fie satisfăcută. Astfel, desigur, nu se obține o soluție strictă a problemei, ci doar cea mai bună aproximație ce poate fi obținută cu forma de soluție aleasă. Dacă aproximația este suficientă depinde în primul rând de forma de soluție adoptată, iar aplicarea cu succes a acestei metode cere de aceea îndemânare și experiență.
Principiul lui Castigliano
În timp ce la principiul energiei potențiale minime se compară toate stările de deformare care îndeplinesc condițiile de compatibilitate a deformațiilor și dintre ele se selectează acelea pentru care tensiunile corespunzătoare satisfac condițiile de echilibru, la principiul lui Castigliano se compară toate stările de tensiune care satisfac condițiile de echilibru și dintre ele se selectează acelea pentru care deformațiile corespunzătoare satisfac condițiile de compatibilitate a deformațiilor. Acest principiu spune: dintre toate stările de echilibru posibile, se produce în realitate aceea căreia îi corespunde lucrul de deformare cel mai mic. Principiul lui Castigliano, împreună cu ecuația (12c) pentru lucrul de deformare și condițiile de echilibru, formează un sistem de ecuații suficient pentru edificarea rezistenței materialelor. Având în vedere că acest principiu conține legea lui Hooke, posibilitatea aplicării sale este legată de ipoteza că deformările pot fi descrise complet prin această lege. Aceasta nu cere doar un comportament elastic liniar al materialului, ci exclude și variațiile de temperatură.
Comportarea materialelor peste limitele elasticității
Fenomenе la încărcare statică
Deformarea materialului sub acțiunea tensiunilor este un fenomen foarte complicat, astfel încât trebuie simplificat în diferite privințe pentru a putea fi înțeles. Una dintre aceste simplificări este ipoteza că sarcinile se aplică treptat, așa cum se procedează, de exemplu, cu probele la încercările de întindere și compresiune.
Dacă o bară de oțel solicitată la întindere este supusă unei încărcări care crește treptat și i se măsoară dilatarea ε, se obține diagrama prezentată în fig. 8. La început, dilatarea este foarte mică și proporțională cu tensiunea, așa cum cere legea lui Hooke. Începând de la o anumită tensiune, proporționalitatea încetează și dilatarea crește mai repede. Poziția exactă a limitei acestei proporționalități se poate determina cu greu. Cu cât măsurarea este mai precisă, cu atât ea rezultă mai joasă. Pentru majoritatea materialelor ea se află la σ = 0, iar legea lui Hooke reprezintă atunci doar prima aproximație a comportării elastice, primul termen al dezvoltării în seria Taylor a funcției ε = ε(σ) în vecinătatea originii coordonatelor.
Dacă bara este descărcată, se observă că, atunci când solicitarea nu a fost prea mare, dispare și deformarea, în conformitate cu legea lui Hooke. Dar și acest lucru se schimbă dacă se depășește o anumită solicitare aflată aproape de limita proporționalității, așa-numita limită de elasticitate; atunci deformarea totală se compune dintr-o parte elastică (reversibilă) și una inelastică (permanentă). Nici limita de elasticitate nu poate fi determinată exact; ea se află cu atât mai jos cu cât precizia măsurării este mai mare. Totuși, deoarece are o mare importanță tehnică, fiind limita de valabilitate în aproape toate calculele din rezistența materialelor și, în același timp, limita la care apar primele deteriorări permanente, ea este definită riguros pentru încercarea probelor printr-o convenție adoptată, astfel încât, de exemplu, ca limită 0.2% se notează acea solicitare la care dilatarea permanentă atinge 0.2%.
Imediat după depășirea limitei de elasticitate, deformarea crește brusc și poate fi observată cu ochiul liber; la o tensiune aproape constantă, bara se alungește continuu. Această tensiune se numește limită de curgere. La mașinile hidraulice de încercare a materialelor se poate observa, după începerea curgerii, și o scădere mai mult sau mai puțin pronunțată a tensiunii; așa cum este indicat în fig. 8 prin curba întreruptă; atunci maximul se numește limita superioară de curgere, iar tensiunea constantă de curgere care urmează, limita inferioară de curgere.
După ce se atinge o anumită dilatare, care este aproape complet inelastică, tensiunea începe să crească din nou, materialul se întărește. În această zonă de încărcare apare o reducere vizibilă a secțiunii transversale a tijei din cauza contracției laterale (inelastice), iar evoluția ulterioară a diagramei tensiunilor și deformațiilor depinde în primul rând de faptul dacă, la calculul tensiunii σ, forța de întindere P care acționează asupra tijei se împarte la secțiunea inițială F0 sau la secțiunea actuală F. Pentru scopuri tehnice este interesantă tensiunea P|F0 . Această tensiune trece printr-un maxim numit rezistența materialului, iar după depășirea acestui maxim, tija se îngustează puternic într-un loc și se rupe. “Tensiunea reală” P|F crește până la rupere.
Figura 8.
Comportarea altor materiale diferă în mare măsură de cea descrisă aici. Curgerea nu este adesea evidentă, iar întărirea începe imediat după depășirea limitei de elasticitate. La materialele fragile (piatră, sticlă, beton) deformările neelastice sunt în general mici și deja la o dilatare mică survine ruperea. Dilatarea totală pe care materialul o suportă până la rupere este o măsură a ductilității (opus: fragilității) materialului și ea este prescrisă cu exactitate pentru oțel în condițiile tehnice. Totuși, deoarece imediat înainte de rupere deformarea ulterioară se concentrează în zonele învecinate ale secțiunii reduse, se obține o valoare diferită a dilatării la rupere, în funcție de faptul dacă pentru lungimea de măsurare se adoptă o parte mai mare sau mai mică a barei, astfel încât pentru obținerea unor rezultate univoce și comparabile între ele trebuie adoptată dinainte o anumită convenție. Dilatarea la rupere se măsoară de regulă astfel: pe o bară rotundă cu diametrul d se marchează înainte de încercare lungimea de măsurare Ι = 10 d și din alungirea ei ΔΙ se calculează dilatarea la rupere εs_Ι = ΔΙ|Ι ._ Dacă este necesară încercarea unor bare cu altă secțiune, lungimea de măsurare se stabilește după diametrul unei bare cilindrice circulare care are aceeași arie a secțiunii transversale.
Sarcină de lungă durată
Pentru desfășurarea încercării de întindere este destul de indiferent dacă încărcarea până la rupere crește în decursul a 10 m minute sau al câtorva ore. Totuși, dacă încărcarea acționează ani sau zeci de ani, în anumite condiții se observă că și sub limita de curgere deformația sub tensiune constantă crește încet în timp. În acest caz, partea elastică, adică partea care dispare la descărcarea finală, nu se modifică simțitor. Această creștere a deformației inelastice care are loc pe parcursul unei perioade îndelungate se numește fluaj. La metale, cu excepția plumbului, fluajul este important numai la temperaturi ridicate; însă, pentru inginerul constructor, el joacă un rol la beton, care cedează ușor sub compresiune, astfel încât tensiunea crește în armătura comprimată, dacă aceasta există.
Încărcare variabilă
Pentru ca caracteristicile mecanice ale materialului, obținute la încercarea la întindere, să poată fi utilizate ca criteriu pentru încărcarea admisibilă a construcțiilor, este o condiție ca materialul, la fiecare reîncărcare, să suporte tensiunea pe care a suportat-o o dată fără deteriorare. Această condiție nu este îndeplinită dacă materialul este expus repetării frecvente a încărcărilor și descărcărilor, cum este, de pildă, cazul la elementele solicitate de forțele inerțiale ale mașinilor dezechilibrate incomplet. Prin repetarea suficient de frecventă a încărcărilor, un element structural poate ajunge la rupere chiar și la o tensiune mult sub rezistența materialului determinată prin încercarea statică obișnuită. Apariția ruperii de acest fel se numește rupere prin oboseală. Numărul n de cicluri de încărcare pe care materialul îl poate suporta depinde de mărimea tensiunii σ, astfel încât este cu atât mai mare, cu cât tensiunea este mai mică. Un exemplu tipic al acestei dependențe este arătat în fig. 9, din care se vede că pentru rezistența materialului există o limită inferioară, pe care o suportă și la un număr arbitrar de mare de cicluri de încărcare și care se numește rezistența dinamică a materialului Diagramele de acest tip (fig.9) se numesc curbe Wӧhler.
Figura 9.
Siguranța construcțiilor
Două încărcări limită sunt importante pentru structuri: încărcarea la care apar primele deteriorări permanente (limita de curgere) și încărcarea la care capacitatea portantă a structurii este epuizată, astfel încât aceasta se rupe (limita de rupere). Deoarece înainte de limita de curgere se aplică cel puțin aproximativ ipotezele rezistenței materialelor (deplasări mici, legea lui Hooke), siguranța față de deformațiile permanente poate fi apreciată cu încredere în toate acele cazuri în care reușește depășirea dificultăților matematice. Dacă tensiunea este proporțională cu încărcarea, raportul dintre tensiunea de curgere și tensiunea maximă care apare în structură este egal cu raportul dintre încărcarea la care apare curgerea și încărcarea reală și reprezintă coeficientul de siguranță la curgere. Totuși, într-o serie de cazuri acest raport simplu nu există: încovoierea când se exclud întinderile, presiunea între suprafețe convexe, sisteme a căror structură este variabilă și, ceea ce este deosebit de nefavorabil, încovoierea cu forță axială. În toate aceste cazuri o creștere relativ mică a încărcării poate duce la o creștere mare a tensiunii, iar atunci nu este suficient ca coeficientul obișnuit de siguranță să fie aplicat asupra tensiunilor, ci trebuie aplicat asupra încărcării.
Fenomenelor care se produc după depășirea limitei de curgere până la rupere li se poate urmări, în majoritatea cazurilor, doar evoluția calitativă. Dacă materialul este ductil, părțile în care s-a atins mai întâi limita de curgere și care se deformează în continuare la o tensiune constantă sau la o tensiune care crește neînsemnat participă puțin la preluarea sarcinii ulterioare, astfel încât celelalte părți ale construcției, mai puțin solicitate, contribuie mai mult la preluarea eforturilor, dacă acest lucru este posibil având în vedere structura ei. În această tendință de egalizare a vârfurilor de tensiune se află o anumită rezervă de siguranță, care poate fi valorificată prin calcul dacă deformarea permanentă a unor părți, apărută la o singură încărcare importantă, nu este dăunătoare (metoda încărcării limită).
Dacă materialul este fragil, prima deteriorare permanentă se manifestă prin crăpături, din cauza cărora în zona afectată apare o concentrare și mai puternică a tensiunilor, care provoacă imediat ruperea. Ruperea prin oboseală, chiar și la materialele ductile, are caracteristicile unei frângeri fragile.
Legături între tensiuni pentru diferite plane de secțiune
Ecuațiile de transformare
Cele nouă tensiuni componente din fig. 1 sunt legate prin trei condiții de echilibru. Cele șase mărimi rămase σx, σy, σz τxy, τyz, τzx pot, independent unele de altele, să primească valori arbitrare, după cum se vede din derivarea ecuațiilor diferențiale ale teoriei elasticității. Totuși, când aceste valori sunt date, starea de tensiune într-un punct al unui corp solid este complet determinată, adică atunci când sunt cunoscute tensiunile pentru trei plane reciproc perpendiculare, se poate stabili în mod unic și tensiunea pentru un al patrulea plan care trece prin punctul dat și a cărui normală are o direcție arbitrară.
În fig. 10 este arătat tetraedrul OABC, ale cărui trei fețe sunt paralele cu planele sistemului de coordonate x, y, z, iar a patra reprezintă un element de suprafață orientat arbitrar ABC = dF. Pentru a-i nota direcția și direcția tensiunii care se transmite prin el, se introduce un al doilea sistem de coordonate, a cărui axă ξ este perpendiculară pe dF.
Figura 10
Condiția de echilibru a forțelor care acționează asupra acestui tetraedru în direcția axei ξ dă
Dacă se ia în considerare că
se obține
și în mod similar din condiția de echilibru în direcția axei η:
Acestea sunt ecuațiile care servesc la calculul tensiunilor la transformarea coordonatelor. Este deosebit de important să se considere numai acele elemente de suprafață dF pentru care axa ξ coincide cu axa z. Formulele pentru acest caz le putem obține prin simplificarea formulelor precedente sau le putem citi direct din fig. 11:
Figura 11
Tensiunea normală ia valori extreme pentru direcțiile α = α0 , pentru care dσξ/dα = 0. Prin derivare se obține din ecuația (16)
deci, atunci când această expresie este egalată cu zero
Tensiunea τξη va fi totodată tensiunea totală de forfecare în aceste plane, dacă τyz = τzx = 0. Atunci, prin ecuația (17) sunt determinate două direcții reciproc perpendiculare pentru care: 1. tensiunea totală de forfecare este zero și, 2. tensiunea normală are valori extreme (maximum și minimum). Aceste direcții se numesc direcțiile tensiunilor principale, iar tensiunile corespunzătoare se numesc tensiuni principale. Acestea se notează cu σ1 și σ2 și pot fi calculate direct din formula
Cercul lui Mohr
Ecuațiile (16) pot fi reprezentate grafic într-un mod evident. În acest scop trebuie transformate în forma:
Aceste ecuații reprezintă în sistemul de coordonate σ, τ forma parametrică a ecuației cercului, trasat în fig. 12, ale cărui coordonate ale centrului sunt σ = 1/2 (σx + σy), τ = 0 și al cărui rază este
Acest cerc se numește cercul lui Mohr. Dacă prin punctul x se duce o dreaptă paralelă cu secțiunea x =const., prin care se transmit tensiunile σx, τxy, ea va intersecta cercul în punctul p, numit polul cercului lui Mohr. Fiecare dreaptă pξ trasată prin acest pol intersectează cercul în punctul ξ, care determină tensiunile σξ, τξη care se transmit prin secțiunea paralelă cu pξ.
În ceea ce privește semnul tensiunilor tăietoare la desenarea cercului lui Mohr, trebuie avut în vedere că ele se reprezintă în sus dacă au direcția indicată în fig. 12c. Prin urmare, dintre cele două tensiuni conjugate τxy, τyx, una este întotdeauna pozitivă, iar cealaltă negativă.
Valorilor-limită ale σ1, σ2 ale tensiunilor normale le corespund punctele 1 și 2 pe cerc, iar dreptele _p_1 și _p_2 indică direcțiile tensiunilor principale.
Reprezentarea tensiunilor care se află în planul x-y cu ajutorul cercului lui Mahr nu depinde de nicio ipoteză privind tensiunile σz, τxz, τyz perpendiculare pe acest plan.
Figura 12
Acest lucru este valabil, prin urmare, și pentru starea tridimensională cea mai generală de tensiune, dacă se compară numai acele plane de secțiune care trec toate prin aceeași dreaptă, aleasă aici ca axă z și ξ. Deoarece, conform ecuațiilor generale de transformare (15), tensiunea normală σ nu poate deveni infinită pentru niciun plan de secțiune, ea trebuie să aibă pentru un anumit plan un maxim finit σ1, iar pentru altul un minim σ3, ambele putând, firește, să fie și negative. Dacă prin vectorii σ1 și σ3 se duce un plan și se trasează cercul lui Mohr (fig. 13)
Imaginea 13
pentru tensiunile care se află în acest plan (adică toate direcțiile perpendiculare pe acest plan), atunci σ1 și σ3 sunt cele mai mari și cele mai mici tensiuni normale care pot apărea și, prin urmare, trebuie să fie reciproc perpendiculare. Dacă direcțiile 1 și 3 sunt completate cu direcția 2, astfel încât aceste trei direcții să formeze un sistem de coordonate dreptunghiular, și dacă se trasează cercurile lui Mohr pentru planele 1 ~2 și 2 ~ 3, atunci σ2 este pentru unul dintre aceste cercuri cea mai mare, iar pentru celălalt cea mai mică tensiune normală, și de aceea în secțiunile perpendiculare pe direcțiile 1, 2 și 3 tensiunea tangențială este egală cu zero. Cele trei tensiuni normale reciproc perpendiculare σ1, σ2 și σ3, cărora nu le corespund tensiuni tangențiale, se numesc tensiuni principale.
Limita de curgere și limita de rupere în starea spațială a tensiunilor
Starea tensiunilor se numește unidimensională, bidimensională sau tridimensională, altfel: liniară, plană sau spațială, după cum una, două sau toate cele trei tensiuni principale sunt diferite de zero. La elementele constructive cel mai frecvent utilizate, adică la bara întinsă, comprimată și încovoiată, starea tensiunilor, cel puțin în locurile cele mai solicitate, este unidimensională, la fel și în cazul încercărilor la întindere, compresiune sau încovoiere, care la încercarea materialelor se folosesc aproape exclusiv pentru determinarea tensiunilor admisibile. În schimb, la plăcile solicitate în planul lor sau perpendicular pe acesta, precum și la învelișuri, starea tensiunilor este bidimensională, iar în anumite cazuri apar și stări tridimensionale de tensiuni, astfel încât este necesar ca, pe baza limitei de curgere și a ruperii, determinate la starea unidimensională de tensiuni, să se tragă concluzii privind comportarea materialului în cazul stării spațiale de tensiuni.