Kumu
ʻO ka hana o ka ikaika o nā mea paʻa e hoʻoholo i nā ikaika kūwaho e hiki i kekahi mea paʻa ke kū (e like me, hale, ʻāpana kūkulu, a i ʻole lepo). I mea e pane ai i kēia nīnau, e hoʻomaka ʻia mai nā kumu ʻelua: ma kekahi ʻaoʻao, ʻaʻole pono e ʻoi aku nā koʻikoʻi i kekahi mau palena e pili ana i ke ʻano o ka mea; a ma kekahi ʻaoʻao, pono ka paʻa o ke kaulike ma waena o nā ikaika kūwaho a me nā ikaika loko. E like me kēia, hiki ke māhele ʻia nā pilikia a pau o ka ikaika o nā mea i “Nā pilikia koʻikoʻi” a me “nā pilikia paʻa.”
Ma nā koʻokoʻo a me nā lāʻau a me nā mea kākoʻo i kūkulu ʻia mai lākou (nā pāpū, nā kālai) hana ʻia ka hoʻoholo ʻana i nā ʻūhā ma nā ʻanuʻu ʻelua, ʻo ia hoʻi, ʻo ka mea mua ma muli o nā ikaika waho i hāʻawi ʻia e helu ʻia ai ka hopena o nā ikaika loko i lawe ʻia ma o ka ʻāpana keʻa, a laila ma kēia mau “ikaika ʻāpana” e hoʻoholo ʻia ai nā ʻūhā. ʻO ka ʻāpana mua o kēia kaʻina he ʻepekema kūikawā a nui hoʻi, ʻo ka statika o nā hale kūkulu, nona nā ʻano hana ponoʻī i hoʻomohala ʻia a he mea maʻamau ka hoʻokaʻawale ʻana iā ia mai ka ikaika o nā mea, nona ka hana he hoʻoholo i nā ʻūhā mai nā ikaika ʻāpana i hāʻawi ʻia.
Nā manaʻo kumu o ka ikaika kūʻē o nā mea
Hiki i ka wehewehe ʻana o ka ʻāʻī ke hiki ma o nā noʻonoʻo kumu aʻe. E hana ana ma ke kino he ʻōnaehana kaulike o nā ikaika kūwaho. E noʻonoʻo kākou ua māhele mākou i ke kino ma o kekahi ʻoki i ʻelua ʻāpana, a ua hoʻoneʻe mākou i kekahi o lāua me nā ikaika e hana ana ma luna ona; a laila, i mea e noho like ai ka kaulike o nā ikaika a me ka hoʻonohonoho ʻana o nā loli, pono e pani ʻia kona hana ma luna o ka ʻāpana ʻē aʻe e nā ikaika hoʻohui i hoʻoili ʻia ma o ka ʻili o ke ʻoki. Hoʻokaʻawale mau ʻia kēia mau ikaika “loko” ma luna o ka ʻili o ke ʻoki, no laila no kēlā me kēia ʻāpana ʻili dF e kūlike ana ka ikaika dβ. Inā hana ʻia ka pakuhi dβ dF a hana ʻia ka loli palena dF -> 0, a laila kuhikuhi kēia pakuhi i ka waiwai palena i kapa ʻia he ʻāʻī. ʻO ka ʻāʻī ma kekahi ʻāpana ʻili ua like ia me dβ, a hiki ke hoʻokaʻawale ʻia i nā ʻāpana kū pololei a me ka ʻaoʻao pili i dF, ka ʻāʻī kū pololei σ a me ka ʻāʻī ʻokiʻoki τ.
Inā huki ʻia nā māhele ma o ka kiko hoʻokahi ma nā ʻaoʻao like ʻole, e kūlike pū ana nā koʻikoʻi ʻokoʻa me lākou. ʻO ka mea nui, inā lawe ʻia mai ke kino aku he poloka kumu, i hōʻike ʻia ma ke kiʻi 1, ma kēlā me kēia o kona mau ʻaoʻao ʻeono e hana ai ka veka koʻikoʻi hiki ke māhele ʻia i ʻekolu mau ʻāpana ma ke kuhikuhi o nā koina x, y z. ʻO nā koʻikoʻi e hana ana ma nā ʻaoʻao kūʻē o ka ʻili, ʻokoʻa lāua i kekahi i kekahi, ʻoiaʻiʻo, no ka ʻāpana liʻiliʻi wale nō, no laila pono e hoʻokaʻawale ʻia 3 * 3 = 9 nā koʻikoʻi ʻāpana, i māka ʻia penei:
Hāʻawi ʻia nā koʻikoʻi maʻamau σ me ka helu o ke koʻi i loko o ke ala e kū ai lākou, a manaʻo ʻia he maikaʻi inā hoʻoulu lākou i ka huki ʻana, he maikaʻi ʻole inā hoʻoulu lākou i ke kaomi. Loaʻa i nā koʻikoʻi ʻoki τ nā helu ʻelua; ʻo ka helu mua like ia me ka helu o ke koʻikoʻi maʻamau kūpono, a ʻo ka lua e pili ana i ke koʻi ma ke ala e hana ai ke koʻikoʻi ʻoki. Inā aia ka kuhikuhi maikaʻi o ke koʻikoʻi maʻamau kūpono ma ke ala o ke koʻi hoʻonohonoho maikaʻi (ʻino), a manaʻo ʻia hoʻi ke koʻikoʻi ʻoki he maikaʻi inā hana ia ma ke ala o ke koʻi hoʻonohonoho maikaʻi (ʻino).
Kii 1.
Ka pili pū ʻana o nā ʻāʻī ʻoki
Inā e hoʻonohonoho ʻia ka kūlana no ke kīpē huinahā kumu, fig. 1, e lilo ai ka momena o nā ikaika a pau e pili ana i ke koʻi x i ʻole, loaʻa ka τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz. Mai kēia, a mai nā hoohalike ʻelua kūpono no nā koʻi y a me z, loaʻa ai ua like pū nā koʻikoʻi ʻoki me nā kuhikuhi like τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (1)
Nā loli ʻāpana
ʻO ka loaʻa ʻana o ke ʻano kino o nā koʻikoʻi i wehewehe mua ʻia, e kū mai ana ia mai ko lākou pili ʻana me ka wehewehe i loaʻa i kēlā me kēia kino ma lalo o ka hopena o nā ikaika waho. Hōʻike ʻo Kiʻi. 2 i hoʻokahi poloka kumu, ma mua o ka hoʻololi ʻia ʻana he huinahā kona ʻano a ua like nā lōʻihi o kona mau ʻaoʻao me dx, dy, dz. Hiki iā mākou ke kaha i nā lōʻihi o nā ʻaoʻao ma hope o ka hoʻololi ʻana me dx + Δdx, dy + Δdy, dz + Δdz; kapa ʻia nā huina εx = Δdx|dx, εy =Δdy|dy, εz = Δdz|dz he dilatation. He mau waiwai ʻaʻohe ana kēia, a no nā mea a pau e noʻonoʻo ʻia ana i ka hana kūkulu he liʻiliʻi lākou e like me 1. Ma waho aʻe o ka hoʻolōʻihi ʻia ʻana o nā ʻaoʻao, hiki i ka poloka kumu dx * dy * dz ke hoʻololi pū i nā kihi pololei i waena o kona mau ʻaoʻao.
Kiʻi 2. hoʻololi ʻāpana
E manaʻo ʻia ma hope o ka deforma ʻana, he like ke kihi ma waena o nā mokuna e hui ana ma ka lihi OC me 
, a pēlā pū, ʻo ka emi ʻana o ke kihi pololei ma ka lihi AO he like me γyz, a ʻo ka emi ʻana ma ka lihi OB he like me γzx. Kapa ʻia kēia mau loli kihi ʻekolu, γxy, γyz, γzx, he heʻe ʻana, a he mau mea liʻiliʻi mau nō hoʻi ia i hoʻohālikelike ʻia me 1. Me nā ʻāpana ʻeono o ε a me γ, ua hoʻoholo piha ʻia ka deforma ʻana o ka kwadera kumu “deforma ʻana liʻiliʻi”. ʻO ka loli o ka ʻāpana nui d_V = dx * dy * dz_ he ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, a mai laila, ke nānā ʻole ʻia nā huahana o ka hoʻolōʻihi ma ke ʻano he mau nui liʻiliʻi o ke kūlana kiʻekiʻe aʻe, loaʻa ka hoʻolōʻihi kupika ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2)
Nā neʻe ʻana
Hiki ke wehewehe piha ʻia ka deform ʻana o ke kino paʻa ma kēia ʻano hoʻi, ʻo ia hoʻi, e hāʻawi ʻia i kēlā me kēia o kona mau kiko iho ka neʻe i loaʻa i kēlā kiko. Inā e hoʻokaʻawale ʻia mai ka nānā ʻana nā neʻe o ka nui hope loa e kūlike ana me ka neʻe ʻana o ke kino paʻa, ma kēia ʻano, inā pono, e hoʻohana ʻia i loko o ka helu ʻana kahi ʻōnaehana koina hiki ke neʻe, a laila he liʻiliʻi mau ka neʻe ʻāpana μ, ν, ω, a he liʻiliʻi hoʻi kā lākou mau lawe ʻia ʻana ma muli o nā koina i ka hoʻohālikelike ʻia me 1. Ma lalo o kēlā manaʻo, ma muli o ke kiʻi 3, ʻo ka lōʻihi o ka ʻāpana laina OA = dx ma hope o ka deformation
no laila 
(3)
Pēlā nō, ʻike ʻia mai sl. 3 he γxy = γ1 + γ2: a pēlā pū hoʻi
(4)
Kiʻi 3 paheʻe
(5) 
(6)
Kapa ʻia kēia mau pilina he mau kūlana kūpono like, a hōʻike lākou e hiki ke hoʻohui ʻia nā mea i deform ʻia e like me ka mozaik i noho mau ka hoʻopiha ʻana o ka wahi me ka ʻoki ʻole, ʻaʻole hiki ke hoʻokō ʻia inā he kūʻokoʻa wale nā deformasi o nā mea. He mau hoohālike ʻokoʻa nā kūlana kūpono like, no laila, maopopo nō, he kūʻokoʻa kekahi i kekahi nā ʻāpana deformasi ʻeono a pau no kēlā me kēia prisma pākahi, akā ua paʻa ko lākou hoʻonohonoho ʻana i loko o kēlā me kēia ʻāpana i hāpai hope ʻia e nā kūlana (5) a me (6).
No ka mea ua loaʻa kēia mau kūlana ma ka hoʻokaʻawale ʻana mai nā hoʻohālike (3) a me (4), i ko lākou lawe ʻia ʻana e nalowale ana kekahi hapa o nā pilina i loko o nā hoʻohālike kumu. No laila, ʻaʻole lawa ka hoʻokō ʻia ʻana o kekahi wale nō o kēia mau pūʻulu hoʻohālike ʻelua; pono e hoʻokō ʻia nā pūʻulu hoʻohālike ʻelua inā makemake ʻia e hōʻoia ʻia ke kūlike o ka deformation.
Nā hoʻohālike ʻokoʻa o ka ʻōnaehana elastika
No ka helu ʻana i nā koʻikoʻi a me nā loli ma nā kino elastiki, hoʻohana ʻia nā hoohalike aʻe:
Nā kūlana kaulike o ka mea nui volumetric. Ua hoʻohana mua ʻia nā kūlana e like ai nā ikepili ma ka puni o nā axis ʻekolu i ka ʻole i ka wā o ka unuhi ʻana i ka hoʻohālikelike (1). Hāʻawi nā kūlana kaulike o nā ikaika e like me sl. 4
Kiʻi 4
(7a-c)
Inā hōʻailona ʻia nā māhele o nā ikaika puke (e laʻa me ke kaumaha, ka ikaika centrifugal) ma kēlā me kēia ʻāpana o ka nui me X, Y, Z. Nā pilina ma waena o nā koʻikoʻi a me nā loli ʻano. Ma lalo o kēia, manaʻo ʻia ka pilina ma waena o nā koʻikoʻi māhele a me nā loli māhele. Ma ka manaʻo elika, ma ke ʻano maʻamau, ʻo ka pilina laina wale nō ka mea i noʻonoʻo ʻia, a hōʻike ʻia kēia e ke kānāwai a Hooke:
(8a-c)
(8d-f)
Inā hoʻoponopono ʻia nā hoohālike (8a-c) ma nā kaomi, loaʻa
(8 a)
kso a me nā hoʻohālikelike kūpono ʻelua. ʻAʻole hōʻike ke kānāwai o Hooke i haʻi ʻia ma ka hoʻohālikelike (8) i kekahi kānāwai kūlohelohe paʻa loa i hoʻokō pololei ʻia, akā he hoʻohālike ʻana ia o ke ʻano maoli o ka hana, e haʻalele ana mai ia mea ma kahi liʻiliʻi a i ʻole nui, ma muli o ka mea a me ka nui o ke koʻikoʻi. No ka mea, ʻoi aku ka nui o nā pilikia o ka hana makemakika ʻana i ka pilikia o ke kūpaʻa o nā mea me nā pilina paʻakikī, nonlinear ma waena o nā koʻikoʻi a me nā deformation, a hiki ke hoʻokō maoli ʻia ma nā hihia maʻalahi loa wale nō, pono nō hoʻi ma nā mea (beton!) nona ka hana e haʻalele nui ana mai ke kānāwai o Hooke, e hoʻohana ʻia nā helu i hoʻokumu ʻia ma luna ona ma ke ʻano he hopena kokoke mua, a ma ka hapanui o nā hihia ʻo ia wale nō ka hopena kokoke, a ma ke ʻano maʻamau he hoʻohana nui nō hoʻi a hāʻawi i kahi ʻike ʻoi aku ma mua o ka mea wale nō he qualitative. G = E|2 (1+μ).
Pono ia e hahai pono mai ka pilina ma waena o nā pilikia a me ka loli ʻana (8), mai nā hoʻohālikelike hoʻololi (16) no nā pilikia a me ka ʻōnaehana hoʻohālikelike kūpono no nā loli ʻāpana E a me G he nui ko lāua ana me ke ana o ka pilikia a ma nā mea kūkulu hale a pau he nui lāua ma mua o nā pilikia σ a τ e hiki ke kū mai. Ma muli o kēia ʻoiaʻiʻo ka manaʻo i ʻae ʻia ma nā wahi a pau o ke kumu elasticity, he liʻiliʻi nā loli. ʻAʻohe ana o ka helu loli ʻaoʻao (ka helu Poisson) μ a aia mau ia ma waena o 0 a me 1/2 .
Nā pilina ma waena o nā hoʻololi o nā ʻāpana a me nā neʻe ʻana. Ua hāʻawi ʻia kēia mau pilina e nā hoʻohālike (3), (4). He ʻano geometrika wale nō ko lākou. Hāʻawi kēia mau ʻōnaehana ʻekolu i 3+6+6=15 mau hoʻohālike no 15 mau mea ʻike ʻole, ʻo ia hoʻi, no 6 mau ʻāʻī ʻāpana, 6 mau hoʻololi ʻāpana a me 3 mau neʻe ʻāpana. No laila ua lawa lākou no ka hoʻoholo ʻana i kēia mau mea ʻike ʻole. Hiki nō ke lanakila me ka makemakika i kēia ʻōnaehana nui loa o nā hoʻohālike ʻokoʻa, ʻoiaʻiʻo, ma nā kūlana kūikawā wale nō. Inā ma ka hoʻohālike (8) ua hoʻololi ʻia nā hoʻololi ʻāpana e nā neʻe ʻāpana e like me nā hoʻohālike (3) a me (4) a laila ua hoʻokomo ʻia nā ʻāʻī maʻamau σ a me nā ʻāʻī ʻoki τ, e like me nā hoʻohālike (8 d - f), i loko o nā kūlana kaulike, ʻoh. (7), loaʻa nā hoʻohālike ʻokoʻa i kapa ʻia he mau hoʻohālike kumu o ka manaʻo elastika.
(9)
a ʻo ia hoʻi ua māka ʻia ka mea hoʻoheheʻe Laplace ma 
. Ma muli o (2), he ʻekolu mau hoohālikelike ʻokoʻa kēia me ʻekolu neʻe ʻāpana μ, ν, ω; mai kēia mau mea, ma o ka hoʻokaʻawale ʻana ma muli o (3), (4) a me (8) hiki ke loaʻa nā ʻūhā ʻāpana a me nā hoʻololi āpau. ʻO nā hoohālikelike (9) he hoʻomaka kūpono pinepine no ke aʻo ʻana i nā hihia kūikawā.
Hana deformation
Wehewehe
Ke hoʻouka ʻia ka lāʻau kākoʻo, ua loaʻa i nā wahi hana o nā ikaika waho nā neʻe elastika, a hana nā ikaika i kekahi hana. Ma kēia ala hiki ke hoʻololi ʻia ka ikehu i lawe ʻia i nā ʻano like ʻole. Inā hoʻohua koke ʻia ka ukana, i mea e nui ai ka wikiwiki o ke kaʻina deforme, hoʻololi ʻia kekahi hapa o kēia ikehu i ikehu kinetika, a ma hope o ka manawa e hoʻopuehu ʻia ai, inā ma ka lawe ʻia ʻana i ka honua ma ke ʻano he nalu elastika e nalo ana i ka palena ʻole, a i ʻole ma ka hoʻololi ʻana ma o ka hakakā kūloko i wela. Inā kau mālie ʻia nā ukana i ʻole e ʻike ʻia ka hoʻonui ʻana o ka ikehu kinetika, ʻo ia hoʻi, inā kū paʻa nā ukana e ulu mālie ana mai ka ʻole me nā ikaika kūloko, a laila hoʻohana wale ʻia ka ikehu no ka deforme ʻana i ke kino a kapa ʻia ia he hana deforme.
E hōʻike mua mākou i ka helu ʻana o ka hana deformation ma luna o kekahi ʻāpana i hoʻouka ʻia i ka huki ʻana ma ka ʻaoʻao hoʻokahi (sl. 5).
E manaʻo ʻia e loaʻa i ke kaomi kūʻē i kēia manawa σ a me ka hoʻolōʻihi kūpono ε nā hoʻohui dσ a me dε. A laila, e hana ka ikaika σdF ma ke ala o dε * dl i ka hana σdF * dεdl = σdεdV, inā ua hōʻailona ʻia ka nui o kekahi ʻāpana liʻiliʻi ma ke ʻano he dV. Inā piʻi ke kaomi mai ka ʻole a hiki i kona waiwai hope loa, a ʻo ka hoʻolōʻihi ma muli o ia mai 0 a hiki i ε, a laila ʻo ka hana huina i hana ʻia no kēlā me kēia hui pūʻulu nui e like me kēia:
Pēlā nō hoʻi no ka mea i kau ʻia ma ka ʻāʻī ʻoki τ (sl. 6) ʻo ka hana deform no kēlā me kēia ʻāpana o ka nui (ka hana deform kikoʻī, ka potentia elastika):
ʻoiai hoʻokahi wale nō o nā ikaika ʻehā τ * dF e hana i ka hana.
Ma ka hihia maʻamau, ke hoʻopā ʻia ka ʻāpana liʻiliʻi e nā ʻāpana ʻeono o ke koʻikoʻi, loaʻa ka hana deformational kikoʻī ma ka hōʻuluʻulu ʻana i nā hana o kēlā me kēia ʻāpana koʻikoʻi:
(10)
Ma ka hoʻokaʻawale ʻana ma muli o ka palena luna o kēlā me kēia o kēia mau integral, loaʻa nā pili i kūpono i ka hihia laulā loa:
(11)
a pēlā pū no nā deforma ʻāpana ʻē aʻe. Inā he elastika ke kino, kūlike mau me kēlā me kēia kūlana kaomi i hāʻawi ʻia ka kūlana deforma hoʻokahi nō, me ka nānā ʻole inā ua hiki ʻia ke kūlana i ka wā o ka hoʻouka ʻana a i ʻole ka hoʻēmi ʻana o ka ukana. A laila, ma lalo o nā integral e kū ai nā hana nona ke ʻano hoʻokahi wale nō, a ʻo ka ikehu huina i hoʻohana ʻia i ka wā o ka hoʻouka ʻana a laila ka hoʻēmi piha ʻana he a = 0, no ka mea ma kēia hihia lilo nā palena luna o nā integral i ʻole. No laila, loaʻa hou ka ikehu huina i hāʻawi ʻia i ke kino i ka wā o ka hoʻouka ʻana ma ka wā o ka hoʻēmi ʻana.
Kiʻi 6
Kiʻi 7
No ke kino elasteki ʻole piha, loaʻa ka pilina ma waena o nā koʻikoʻi a me nā deformasi no ka pōʻai holoʻokoʻa o ka ukana ʻana a me ka wehe ukana ʻana ma ke ʻano i hōʻike kokoke ʻia ma ke kiʻi 7 me nā laina O A B. ʻO ka ikehu 
i lawe ʻia i ka wā o ka ukana ʻana ua like me ka ʻāpana OAA, a ʻo ka ikehu i hoʻihoʻi ʻia i ka wā o ka wehe ukana ʻana ua like me ka ʻāpana ABA, no laila nalowale (hoʻololi ʻia i ka wela) ka hana e kūlike ana me ka ʻāpana i kaha ʻia. Inā i loko o ke kaʻina haʻalulu e loli pinepine ai ke koʻikoʻi ma waena o ka waiwai palena maikaʻi 
a me ka waiwai palena ʻino, 
e holo like ka deformasi elasteki ʻole me ka mea i hōʻike ʻia e nā laina kiko ma ke kiʻi 7 a i kēlā me kēia wā o ka haʻalulu e hoʻololi ʻia i ka wela no kēlā me kēia ʻāpana o ka nui ka ikehu DABCD. Kapa ʻia ia ʻano hana i ka wā o ka deformasi, kahi e huli hope ai ka deformasi ma hope o ke koʻikoʻi, he histeresis elasteki, a ʻo ka piko DABCD he pōʻai histeresisa.
Hana deformation a me ke kānāwai o Hooke
Inā hoʻokomo ʻia ke kānāwai Hooke i loko o nā integral o ka hoohālike (10), hiki ke hana i ka hoʻohui ʻana, a no laila loaʻa nā ʻōlelo no ka hana hoʻohuli kikoʻī:
(12a)
(12b)
(12c)
Inā hoʻokomo ʻia ka lua o kēia mau ʻano i ka hoohālikelike (11), loaʻa hou ka kānāwai a Hooke, nā hoohālikelike (8), ma ke ʻano i hoʻoholo ʻia no nā ʻāʻī. ʻO ka ʻōlelo ʻana e pili ana ka hana hoʻololi i nā ʻāpana hoʻololi, e like me ka hōʻike ʻia ma ka hoohālikelike (12b), no laila he like ia me ke kānāwai a Hooke. Ke hoʻokaʻawale ʻia ka hoohālikelike (12c) ma muli o nā ʻāʻī, loaʻa
(13)
ʻO kēia mau ʻano, ʻokoʻa mai nā ʻano (11), e pili wale ana i nā kino e hana ana e like me ke kānāwai o Hooke, a ʻaʻole hiki ke hoʻohana ʻia ke ʻokoʻa nā pilina ma waena o nā koʻikoʻi a me nā hoʻololi. Maopopo nō ma ka ʻaoʻao ʻākau o nā hoohalike (13) aia wale nō nā hoʻololi ʻāpana i hoʻokumu ʻia e nā koʻikoʻi, a ua kāpae ʻia nā mea a pau i hiki paha ke ulu mai ma muli o ka loli o ka mahana, ka puʻu ʻana, ka pehu ʻana, ka hoʻihoʻi hou ʻana o ka kristal, a pēlā aku.
MAU NĀ ʻIKE INTEGRAL I KE KUMU O KA ELASTICITY
Nā hoʻoneʻe noʻonoʻo. Ke kumu no ka palena iki o ka ikehu hiki ke kū
E like me ke kānāwai o Hooke, hiki ke pani ʻia nā hoʻohālike (8) e hoʻokahi hoʻohālike (12b), pēlā nō hoʻi ma kahi o nā kūlana kaulike hiki ke hoʻolauna ʻia ke kumu o nā neʻe ʻike ʻole, ma ke ʻano he kānāwai kumu o ka mīkini i kūpono ma ke ao holoʻokoʻa. Hōʻike kēia kānāwai i ka ʻike ʻia o nā kūlana kaulike e ka mea ʻo ka hana huina i hoʻokō ʻia e nā ikaika a pau i ka loli liʻiliʻi o ke kūlana hoʻoʻino he ʻAʻohe. Inā hōʻailona ʻia nā hoʻololi liʻiliʻi o nā neʻe elastika me δμ δν, δω, a laila ʻo nā ikaika nui i wehewehe ʻia e ka hoʻohālike (7) ke hana nei i ka hana ʻike ʻole
a me nā ikaika ma ka ʻili px, py, pz e hana ana ma luna o ka ʻelemene dF o ka ʻili waho o ke kino hana 
ma kēia, pili ka ʻekolu integral i ka volume holoʻokoʻa, a ʻo ka ʻelua integral i ka ʻili waho holoʻokoʻa o ke kino. No ka helu ʻana i ka hana i hana ʻia e nā ikaika loko, hoʻohana ʻia ka hoohalike (12b), a no laila no ka hana ma kēlā me kēia ʻāpana volume loaʻa
Ma muli o ia mea, hāʻawi mai ke kumu o nā neʻe noʻonoʻo ʻokoʻa i
(14)
Inā ʻike ʻia nā ukana X, Y, Z px, py., pz ma ke ʻano he mau ʻāpana o ka ikaika huki honua (ka paona ponoʻī a me ka ukana waho), a laila hōʻike nā integral ma ka ʻaoʻao ʻākau i ka ikehu hiki i nalowale i kēia mau ukana, ʻoiai ka ʻaoʻao hema e hōʻike ana i ka hoʻonui ʻana o ka ikehu hiki (elastic) o ke kino, no laila hōʻike kēia kumu i ka mea holoʻokoʻa he waiwai koʻikoʻi ka ikehu hiki piha o ke kākoʻo a me nā ukana e kau ana ma luna ona i ka hihia o ke kaulike. Inā ʻo kēia waiwai koʻikoʻi he haʻahaʻa loa, paʻa ke kaulike.
ʻO ke kumu o ka liʻiliʻi o ka ikehu hiki ke hiki, i hōʻike ʻia e ka hoohālikelike (14), ka huaʻōlelo (12b) no ka hana hoʻololi, a me nā kūlana kūpono o nā hoʻololi (5), (6) he ʻōnaehana hoohālikelike e lawa ai no ke kūkulu ʻana i ka manaʻo elakika, a ma ke kumu he like me ka ʻōnaehana o nā hoohālikelike. Hiki ke lilo kēia ʻōnaehana i mea pono loa i nā hihia kahi e paʻakikī ai ka hoʻokō ʻana i nā hoohālikelike ʻokoʻa (9), a no laila pono e ʻimi i kahi pane kokoke, e laʻa me ka manaʻo mua ʻana i kahi ʻano kūpono no nā neʻe e loaʻa ana kekahi mau paʻa kūʻokoʻa, a laila hoʻoholo ʻia kēia mau mea mai ke koi e māʻona ai ka hoohālikelike (14). Pēlā nō, ʻaʻole i loaʻa kahi pane paʻa loa no ka pilikia, akā ʻo ka hoʻokokoke maikaʻi loa wale nō i hiki ke hoʻokō ʻia me ke ʻano pane i koho ʻia. Inā lawa ka hoʻokokoke, pili mua ia i ke ʻano pane i ʻae ʻia, a no laila koi ka hoʻohana kūleʻa o kēia ʻano i ka mākaukau a me ka ʻike.
Kulekele Castigliano
ʻOiai ma ke kumu o ka liʻiliʻi loa o ka ikehu hoʻonāwaliwali e hoʻohālike ʻia ai nā kūlana hoʻonāwaliwali a pau e hoʻokō ana i nā kūlana kūlike o ka hoʻonāwaliwali a ma waena o lākou e koho ʻia ai nā mea nona nā koʻikoʻi kūpono e hoʻokō ana i nā kūlana kaulike, ma ke kumu o Castigliano e hoʻohālike ʻia ai nā kūlana koʻikoʻi a pau e hoʻokō ana i nā kūlana kaulike a ma waena o lākou e koho ʻia ai nā mea nona nā hoʻonāwaliwali kūpono e hoʻokō ana i nā kūlana kūlike o ka hoʻonāwaliwali. Penei ke kumu: mai waena o nā kūlana kaulike hiki a pau, ʻo ka mea e kū maoli ai ka mea nona ka hana hoʻonāwaliwali liʻiliʻi loa. ʻO ke kumu o Castigliano me ka hoohālike (12c) no ka hana hoʻonāwaliwali a me nā kūlana kaulike he ʻōnaehana hoohālike e lawa ana no ke kūkulu ʻana i ka ikaika o nā mea. No ka mea ua komo i loko o kēia kumu ke kānāwai o Hooke, ua pili ka hiki ke hoʻohana ʻia i ka manaʻo hiki ke wehewehe piha ʻia nā hoʻonāwaliwali e kēia kānāwai. Pono kēia ʻaʻole wale i ka ʻano elasto laina o ka mea, akā e kāpae pū ana i nā hoʻololi wela.
ʻO ka hana a nā mea ma luna o nā palena o ka elasticity
Nā hanana i ka ukana kūpaʻa
He ʻano paʻakikī loa ka deform ʻana o ka mea ma lalo o ka hopena o nā koʻikoʻi, no laila pono e hoʻomaʻalahi ʻia ma nā ʻano like ʻole i mea e hiki ai ke hoʻomaopopo. ʻO kekahi o kēia mau hoʻomaʻalahi ʻana ʻo ia ka manaʻo e kau ʻia nā ukana ma ke ʻano mālie, e like me ka hana ʻana me nā laʻana i ka hoʻāʻo huki a me ka hoʻāʻo kaomi.
Inā hoʻokau ʻia kekahi koʻokoʻo kila i huki ʻia e ka ukana e ulu mālie ana a ana ʻia kona hoʻonui lōʻihi ʻana ε, loaʻa ka kiʻikuhi i hōʻike ʻia ma ka kiʻi 8. I ka hoʻomaka ʻana, he liʻiliʻi loa ka hoʻonui lōʻihi ʻana a pili like ia me ke koʻikoʻi, e like me ka koi a ke kānāwai o Hooke. Mai kekahi koʻikoʻi i hoʻoholo ʻia, pau ka pili like ʻana a ulu wikiwiki aʻe ka hoʻonui lōʻihi ʻana. Paʻakikī ke hoʻoholo pono i ke kūlana o ka palena o kēia pili like. ʻO ka ʻoi aʻe o ka pololei o ke ana ʻana, ʻo ka haʻahaʻa aʻe ia o ia waiwai. No ka hapanui o nā mea, aia ia ma σ = 0, a no laila ʻo ke kānāwai o Hooke he kokoke mua wale nō ia no ka ʻano elastika, ʻo ka lālā mua o ka hoʻomohala ʻana i ka papa Taylor o ka hana ε = ε (σ) ma kahi o ke kumu koina.
Inā hoʻokuʻu ʻia ke koʻokoʻo, ʻike ʻia inā ʻaʻole i nui loa ka nīnau, nalo pū ka loli, e like me ke kānāwai a Hooke. Akā hoʻololi hou ʻia kēia inā ʻoi aku ka nīnau ma mua o kekahi palena e kokoke ana i ka palena like, ka mea i kapa ʻia he palena elastika; a laila, mahele ka loli holoʻokoʻa i ka ʻāpana elastika (hoʻi) a me ka ʻāpana ʻaʻole elastika (paʻa mau). ʻAʻole hiki ke hoʻoholo pololei ʻia ka palena elastika, aia nō ia ma lalo aʻe ke kiʻekiʻe aʻe ka pololei o ke ana ʻana. Eia naʻe, no ka mea he waiwai ʻenekinia nui kona, no ka mea ʻo ia ka palena koʻikoʻi ma loko o ka aneane o nā helu ʻepekema a pau i ka paʻa o nā mea, a ma ka manawa hoʻokahi ʻo ia ka palena e hoʻomaka ai nā pōʻino paʻa mua, ua wehewehe ikaika ʻia ia no ka hoʻāʻo ʻana i nā laʻana ma kekahi kuʻikahi i ʻae ʻia, no laila, e laʻana, ma ke ʻano he palena 0.2% ua hōʻailona ʻia kēlā nīnau kahi e hiki ai ka hoʻolōʻihi paʻa i 0.2%.
Ma hope koke iho o ka hala ʻana i ka palena elastika, piʻi koke ka deformation a hiki ke ʻike ʻia me ka maka olohelohe; ma ke koʻikoʻi kokoke mau, e hoʻomau mau ana ka lōʻihi o ke koʻokoʻo. Kapa ʻia kēia koʻikoʻi he palena kahe. Ma nā mīkini hydraulic no ka hoʻāʻo ʻana i nā mea, hiki ke ʻike ʻia ma hope o ka hoʻomaka ʻana o ke kahe ʻana he hāʻule ʻoi aʻe a ʻuʻuku paha o ke koʻikoʻi; e like me ka mea i hōʻike ʻia ma fig. 8 me ka piko kaha; a laila kapa ʻia ka piko kiʻekiʻe he palena kahe luna, a ʻo ke koʻikoʻi kahe mau e ukali mai ana ʻo ia ka palena kahe lalo.
Ma hope o ka hiki ʻana i kekahi elongation, ʻaneʻane ʻaʻole elastika loa, hoʻomaka hou ke koʻikoʻi e piʻi aʻe, e hoʻoikaika ana i ka mea. Ma kēia māhele o ka ukana, kū mai ka emi ʻike ʻia o ka ʻāpana keʻa o ke koʻokoʻo ma muli o ka hoʻemi ʻaoʻao (ʻaʻole elastika), a ʻo ka holo hou ʻana o ka pakuhi koʻikoʻi a me ka deformasi e pili mua loa ana i ka nīnau inā i ka helu ʻana i ke koʻikoʻi σ e māhele ʻia ka ikaika huki P e hana ana ma ke koʻokoʻo me ka ʻāpana mua F0 a i ʻole me ka ʻāpana manawa F. No nā pahuhopu ʻenehana, he mea hoihoi ka koʻikoʻi P|F0 . Hele kēia koʻikoʻi ma o kahi kiʻekiʻena i kapa ʻia ka ikaika o ka mea, a i ka hala ʻana o ia kiʻekiʻena, ʻuʻuku loa ke koʻokoʻo ma kahi hoʻokahi a naha. Piʻi ka “koʻikoʻi maoli” P|F a hiki i ka hāʻule ʻana.
Kiʻi 8.
He nui nā ʻokoʻa o ka hana a nā metala ʻē aʻe mai ka mea i wehewehe ʻia ma ʻaneʻi. ʻAʻole pinepine ka kahe ʻana i ʻike ʻia, a hoʻomaka ka paʻakikī ʻana koke ma hope o ka hala ʻana o ka palena ʻelastik. Ma nā mea kīhāhā (ka pōhaku, ke aniani, ke kimeki) he liʻiliʻi loa nā deform ʻole ʻelastik a i ka liʻiliʻi wale nō o ka dilatation hiki mai ka haki. ʻO ka dilatation piha i loaʻa i ka mea a hiki i ka haki he ana ia o ka hiki ke hoʻolōʻihi ʻia (ʻo ka mea kūʻē: ka kīhāhā) o ka mea, a ua kauoha pololei ʻia ia no ke kila ma nā kūlana ʻenehana. Eia naʻe, no ka mea, ma mua koke o ka haki e kālele ʻia ai ka deform hou ma nā wahi kokoke o ka ʻāpana i ʻemi ʻia, loaʻa ka waiwai ʻokoʻa o ka dilatation i ka wā o ka haki, ma muli o ka nui a i ʻole ka liʻiliʻi o ka ʻāpana lāʻau i lawe ʻia no ka lōʻihi ana, no laila no ka loaʻa ʻana o nā hopena maopopo a hiki ke hoʻohālike pū ʻia pono e ʻae mua ʻia kekahi kūlana paʻa. Ma ke ʻano maʻamau, ana ʻia ka dilatation i ka wā o ka haki pēlā: ma luna o kahi lāʻau poepoe me ke anawaena d, ma mua o ka hoʻāʻo, kaha ʻia ka lōʻihi ana Ι = 10 d a mai kona hoʻolōʻihi ʻana ΔΙ e helu ʻia ai ka dilatation i ka wā o ka haki εs_Ι = ΔΙ|Ι ._ Inā pono e hoʻāʻo i nā lāʻau me ke ʻano ʻokoʻa o ka ʻāpana, hoʻoholo ʻia ka lōʻihi ana e like me ke anawaena o kahi lāʻau poepoe cylindrical nona ka ʻili ʻāpana like.
Kūʻa mau ka ukana
No ka holo ʻana o ka hoʻāʻo huki ʻana, kokoke like nō inā hoʻonui ʻia ka ukana a hiki i ka haki i loko o 10 m minuke a i ʻole kekahi mau hola. Eia naʻe, inā hana ka ukana no nā makahiki a i ʻole nā ʻumi makahiki, ma lalo o kekahi mau kūlana, ʻike ʻia ua hoʻonui mālie ʻia ka deformation ma lalo hoʻi o ka palena kahe i ka manawa me ka napanapa mau. Ma laila, ʻaʻole loli nui ka ʻāpana elastik, ʻo ia hoʻi ka ʻāpana e nalo ana i ka wehe hope loa. Kapa ʻia kēia piʻi ʻana o ka deformation ʻaʻole elastik e hana ana ma kahi wā lōʻihi he puʻee. Ma nā metala, koe wale nō ka kēpau, he mea nui ka puʻee ma nā wela kiʻekiʻe wale nō; akā naʻe, no ka ʻenekinia hale, he kuleana kona ma ka pōhaku paʻa e emi mālie ana ma lalo o ka paʻa, no laila e piʻi ai ka napanapa i loko o ka ʻarmature i hoʻopaʻa ʻia inā aia ia.
Ka hoʻouka loli
I mea e hiki ai ke hoʻohana ʻia nā ʻano mechanical o ka mea, i loaʻa mai ma ka hoʻāʻo huki ʻana, ma ke ʻano he ana no ka ukana ʻae ʻia o nā kūkulu, he kūlana ia e hiki i ka mea ke kū i kēlā me kēia ukana hou i ke koʻikoʻi āna i kū ai ma mua me ka ʻole o ka hōʻino. ʻAʻole hoʻokō ʻia kēia kūlana inā ua hoʻolohe pinepine ka mea i ka hoʻohou a me ka hoʻokuʻu ukana, e like me ka hihia, no ka laʻana, o nā kākoʻo i hoʻouka ʻia e nā ikaika inersia o nā mīkini i kaulike ʻole ʻia. Ma ka hoʻohou pinepine kūpono ʻana i ka ukana hiki ke alakaʻi ʻia kekahi ʻāpana kūkulu i ka haki ʻana ma kahi koʻikoʻi e waiho loa ana ma lalo o ka ikaika o ka mea i hoʻoholo ʻia ma ka hoʻāʻo statika maʻamau. Kapa ʻia ka hanana o kēia ʻano he haki ma muli o ka luhi. ʻO ka helu n o nā pōʻai ukana e hiki i ka mea ke kū, e pili ana ia i ka nui o ke koʻikoʻi σ, no laila ʻoi aku ka nui o ia helu i ka liʻiliʻi o ke koʻikoʻi. Hōʻike ʻia kekahi laʻana maʻamau o kēia pilina ma ke kii 9, kahi e ʻike ʻia ai he palena lalo ko ka ikaika o ka mea, hiki ke kū pū me ka helu pau ʻole o nā pōʻai ukana a kapa ʻia he ikaika pākīkē o ka mea Nā kaha o kēia ʻano (sl.9) i kapa ʻia he mau pihi Wӧhler.
Kiʻi 9.
Palekana o nā kūkulu
He ʻelua ukana palena nui no nā kūkulu: ka ukana e hoʻomaka ai nā pōʻino paʻa mua loa (ka palena kahe), a me ka ukana e pau ai ka hiki ke amo o ke kūkulu, a laila haki ia (ka palena haki). No ka mea ma mua o ka palena kahe e pili mau ana, ma ka liʻiliʻi loa ma kahi kokoke, nā manaʻo o ke kūpaʻa o ka mea (nā neʻe liʻiliʻi, ke kānāwai o Hooke), hiki ke helu pono ʻia ka palekana kūʻē i nā loli paʻa i nā hihia a pau e hiki ai ke lanakila ma luna o nā pilikia makemakika. Inā he kūlike ke koʻikoʻi me ka ukana, ua like ka lākiō o ke koʻikoʻi kahe i ke koʻikoʻi nui loa e puka ana i loko o ke kūkulu me ka lākiō ma waena o ka ukana e hoʻomaka ai ke kahe a me ka ukana maoli, a he koefisina palekana ia kūʻē i ke kahe. Eia naʻe, ma kekahi mau hihia ʻaʻole i loaʻa kēia lākiō maʻalahi: ka pelu ʻana i ka wā e kāpae ʻia ai ka huki, ke kaomi ma waena o nā ʻili puka, nā ʻōnaehana i loli kona kūkulu, a, ʻo ka mea ʻoi loa ke kūpono ʻole, ka pelu ʻana me ka ikaika axial. I kēia mau hihia a pau, hiki i ka hoʻonui liʻiliʻi o ka ukana ke alakaʻi i ka hoʻonui nui o ke koʻikoʻi, a laila ʻaʻole lawa ka hoʻohana ʻana i ka koefisina palekana maʻamau ma luna o nā koʻikoʻi, akā pono e hoʻohana ʻia ma luna o ka ukana.
ʻO nā hana i kū mai ma hope o ka ʻoi ʻana o ka palena yielding a hiki i ka haki ʻana, i ka hapanui o nā hihia hiki ke hahai wale ʻia ma ke ʻano wehewehe. Inā he mea hiki ke hoʻolōʻihi ʻia, ʻo nā ʻāpana i hiki mua ai ka palena yielding, a nāna e deform hou aʻe ma lalo o ke koʻikoʻi paʻa a i ʻole kahi koʻikoʻi e piʻi iki ana, he liʻiliʻi ko lākou komo ʻana i ka lawe ʻana i ke kaumaha hou aʻe, no laila, inā hiki ke nānā ʻia ma muli o ke ʻano o ka hale, ʻo nā ʻāpana ʻē aʻe i emi ke koʻikoʻi ka mea e lawe nui aʻe. I loko o kēia kūlana e hoʻolike i nā piko o ke koʻikoʻi aia kekahi waihona palekana, hiki ke hoʻohana ʻia ma ka helu inā ʻaʻole he mea ʻino ka deformation paʻa o kekahi mau ʻāpana i hana ʻia ma lalo o hoʻokahi hoʻouka koʻikoʻi nui wale nō (hana palena hoʻouka).
Inā he kīʻaha ka mea, ʻike mua ʻia ka ʻino paʻa ma nā māwae, a ma muli o ia mea e kū aʻe ai ka hoʻonui hou aʻe o ke koʻikoʻi ma kahi i pilikia, a laila hoʻomaka koke ka haki. ʻO ka haki ʻana ma muli o ka luhi, a pēlā pū me nā mea hiki ke hohola ʻia, he ʻano like me ka haki kīʻaha.
Nā pilina ma waena o nā ʻaʻōlapa no nā ʻāpana ʻoki like ʻole
Nā hoʻohālike hoʻololi
ʻO nā kūmālua o nā koʻikoʻi ʻāpana i ka fig. 1 ua hoʻopili ʻia me nā kūlana kaulike ʻekolu. Hiki i nā nui ʻeono i koe σx, σy, σz τxy, τyz, τzx ke loaʻa, kūʻokoʻa kekahi i kekahi, i nā waiwai kūʻokoʻa e like me ka mea i ʻike ʻia mai ka unuhi ʻana o nā hoohālikelike ʻokoʻa o ka manaʻo elastika. Eia naʻe, ke hāʻawi ʻia kēia mau waiwai, ua hoʻoholo piha ʻia ke kūlana koʻikoʻi ma kekahi kiko o ke kino paʻa, ʻo ia hoʻi, ke ʻike ʻia nā koʻikoʻi no nā papa ʻekolu e kū pololei ana kekahi i kekahi, hiki ke hoʻoholo hoʻokahi ʻia hoʻi ke koʻikoʻi no kekahi papa ʻehā e hele ana ma waena o ke kiko i hāʻawi ʻia a nona ka normal he kuhikuhi kūʻokoʻa.
Ma ka fig. 10 hōʻike ʻia ka tetrahedron OABC nona nā ʻaoʻao ʻekolu i kūlike me nā pā o ka ʻōnaehana kuhi x, y, z a ʻo ka ʻehā he ʻāpana ʻili i hoʻonohonoho kūʻokoʻa ʻia ABC = dF. No ka hōʻailona ʻana i kona kuhikuhi a me ke kuhikuhi o ke koʻikoʻi i hoʻoili ʻia ma o ia mea, hoʻokomo ʻia kekahi ʻōnaehana kuhi ʻē aʻe, nona ka ʻau ξ e kū pololei ana i dF.
Kiʻi 10
Hāʻawi ka kūlana kaulike o nā ikaika e hana ana ma luna o kēia tetrahedron ma ke kuhikuhi o ke koʻi ξ i
Inā e noʻonoʻo ʻia he
loaʻa
a pēlā nō hoʻi mai nā kūlana kaulike ma ke kuhikuhi o ke koʻi η:
ʻO kēia nā hoohālike i hoʻohana ʻia no ka helu ʻana i nā koʻikoʻi i ka hoʻololi ʻana o nā koina. He mea koʻikoʻi loa ka nānā ʻana i kēlā mau ʻāpana wale nō o ka ʻili dF kahi e kū like ai ka ʻākoʻakoʻa ξ me ke ʻākoʻakoʻa z. Hiki ke loaʻa nā kūlana no kēia hihia ma ka hoʻomaʻalahi ʻana i nā kūlana ma mua a i ʻole ma ka helu ʻana pololei mai ke kiʻi. 11:
Kii 11
Lawe ka koʻikoʻi normal i nā waiwai palena nui loa no nā kuhikuhi α = α0 , no ia mau mea dσξ/dα = 0. Ma ka hoʻololi ʻana, loaʻa mai ka hoʻohālikelike (16)
a laila, ke hoʻohālikelike ʻia kēia ʻōlelo me ka ʻole
ʻO ke koʻikoʻi τξη ka total shear stress hoʻi ma kēia mau pā, inā he τyz = τzx = 0. A laila, hoʻoholo ʻia e ka hoohalike (17) nā kuhikuhi kū pono ʻelua nona: 1. ʻAʻohe ka total shear stress a, 2. He mau waiwai kūikawā ko ke koʻikoʻi maʻamau (ka nui loa a me ka liʻiliʻi loa). Kapa ʻia kēia mau kuhikuhi he mau kuhikuhi o nā koʻikoʻi kumu, a ʻo nā koʻikoʻi kūlike he nā koʻikoʻi kumu. Hōʻailona ʻia lākou me σ1 a me σ2 a hiki ke helu pololei ʻia mai ke ʻano
Ka pōʻai o Mohr
Hiki ke hōʻike kiʻi ʻia nā hoohalike (16) ma ke ʻano maopopo. No kēia kumu pono e hoʻololi iā lākou i ke ʻano:
Hōʻike kēia mau hoohalike ma ka ʻōnaehana hoʻonohonoho σ, τ i ke ʻano parametric o ka hoohalike o ke pōʻai, i kaha ʻia ma ke kiʻi 12, nona nā koina o ke kikowaena σ = 1/2 (σx + σy), τ = 0 a nona ka pālākiō
Ua kapa ʻia kēia pōʻai ʻo ka pōʻai Mohr. Inā huki ʻia ma o ke kiko x kekahi laina kūlike me ka ʻoki x =const., ma luna o ia e hoʻoili ʻia ai nā koʻikoʻi σx, τxy, e ʻoki ia i ka pōʻai ma ke kiko p, i kapa ʻia ʻo ke pou o ka pōʻai Mohr. ʻO kēlā me kēia laina pξ i huki ʻia ma o kēia pou e ʻoki i ka pōʻai ma ke kiko ξ e hoʻoholo ana i nā koʻikoʻi σξ, τξη, i hoʻoili ʻia ma o ka ʻoki kūlike me pξ.
No ke kaha ʻana i ke kaapuni o Mohr, e pili ana i ke ʻano o nā ʻeha ʻoki, pono e noʻonoʻo ʻia e hoʻokomo ʻia lākou i luna inā loaʻa ke kuhikuhi i hōʻike ʻia ma ke kiʻi 12c. No laila, o nā ʻeha hui ʻelua τxy, τyx, hoʻokahi mau ke maikaʻi, a ʻo kekahi mau ke ʻino.
Kūlike nā kiko 1 a me 2 ma ke pōʻai i nā waiwai palena o nā ʻāʻī maʻamau σ1, σ2, a hāʻawi nā laina _p_1 a me _p_2 i nā kuhikuhi o nā ʻāʻī kumu.
ʻAʻole pili ka hōʻike ʻana i nā ʻeha e waiho ana i loko o ka pālahalaha x-y ma o ke kaapuni Mahr i kekahi manaʻo e pili ana i nā ʻeha σz, τxz, τyz e kū pololei ana i kēia pālahalaha.
Kiʻi 12
No laila, pili pū kēlā i ke kūlana ʻekolu-ana maʻamau loa o nā koʻikoʻi, inā e hoʻohālikelike wale ʻia nā pā pāʻālua āpau e hele ana ma o ka laina hoʻokahi, i koho ʻia ma ʻaneʻi ma ke ʻano he axis z a me ξ. Ma muli o nā hoʻohālikelike hoʻololi maʻamau (15), ʻaʻole hiki i ke koʻikoʻi maʻamau σ ke lilo i palena ʻole no kekahi pā pāʻālua, no laila pono ia e loaʻa no kekahi pā i kahi maksimum palena σ1, a no kekahi mea ʻē aʻe i kahi minimum σ3, a hiki i lāua ʻelua, ʻoiaʻiʻo, ke lilo pū i mea ʻino. Inā e huki ʻia kekahi pā ma o nā ʻaoʻao lāʻau σ1 a me σ3 a e kahakiʻi ʻia ka pōʻai a Mohr (sl. 13)
Kiʻi 13
no nā koʻikoʻi e moe ana ma kēia mokulele (ʻo ia hoʻi, nā kuhikuhi a pau i kū pololei i kēia mokulele), a laila ʻo σ1 a me σ3 nā koʻikoʻi maʻamau nui loa a liʻiliʻi loa e hiki ke puka mai, a no laila pono lāua e kū pololei kekahi i kekahi. Inā hoʻopili ʻia nā kuhikuhi 1 a me 3 me ke kuhikuhi 2, i lilo ai kēia mau kuhikuhi ʻekolu i ʻōnaehana kikowaena kūpololei, a inā kaha ʻia nā pōʻai Mahr no nā mokulele 1 ~2 a me 2 ~ 3, a laila ʻo σ2 no kekahi o kēia mau pōʻai ka koʻikoʻi maʻamau nui loa, a no kekahi ʻo ia ka mea liʻiliʻi loa, a no laila ma nā ʻoki kū pololei i nā kuhikuhi 1, 2 a me 3 ua like ka koʻikoʻi ʻoki me ka ʻole. ʻO nā koʻikoʻi maʻamau ʻekolu i kū pololei kekahi i kekahi ʻo σ1, σ2 a me σ3, i kū ʻole ai nā koʻikoʻi ʻoki, kapa ʻia he mau koʻikoʻi kumu.
Palena hua a me ka palena haki ma ke kūlana koʻikoʻi ākea
Kapa ʻia ke kūlana o nā ʻeha he hoʻokahi-, ʻelua- a i ʻole ʻekolu-dimenshena, a i ʻole: laina, pālahalaha a i ʻole mākea, ma muli o ka loaʻa ʻana o hoʻokahi, ʻelua a i ʻole nā ʻeha kumu ʻekolu i ʻokoʻa mai ka ʻole. Ma nā ʻāpana kūkulu i hoʻohana pinepine ʻia, ʻo ia hoʻi ma ka lāʻau huki, ka lāʻau pahu a me ka lāʻau kulou, he hoʻokahi-dimenshena ke kūlana o nā ʻeha, ma ka liʻiliʻi ma nā wahi i ʻoi loa ka ukana, a pēlā nō hoʻi ma nā hoʻāʻo huki, pahu a kulou, i hoʻohana ʻaneʻane wale ʻia i ka hoʻāʻo ʻana i nā mea no ka hoʻoholo ʻana i nā ʻeha ʻae ʻia. Ma ka ʻaoʻao ʻē aʻe, ma nā papa i ukana ʻia i loko o ko lākou pālahalaha a i ʻole kū pololei iā ia, a me nā ʻili, he ʻelua-dimenshena ke kūlana o nā ʻeha, a ma kekahi mau hihia ʻike pū ʻia nā kūlana ʻekolu-dimenshena o nā ʻeha, no laila pono e unuhi ʻia nā hopena e pili ana i ka hana o ka mea ma ke kūlana mākea ma muli o ka palena huli a me ka haki, i hoʻoholo ʻia ma ke kūlana hoʻokahi-dimenshena o nā ʻeha.