Temeljni pojmi
Naloga odpornosti materialov je ugotoviti, katere zunanje sile lahko prenese trdno telo (npr. zgradba, konstrukcijski del ali tla). Da bi odgovorili na to vprašanje, izhajamo iz dveh kriterijev: po eni strani napetosti ne smejo prekoračiti določenih mej, ki so odvisne od vrste materiala, po drugi strani pa mora biti ravnotežje med zunanjimi in notranjimi silami stabilno. V skladu s tem lahko vse probleme odpornosti materialov razdelimo na “probleme napetosti” in “probleme stabilnosti.
Pri palicah in nosilcih ter pri nosilcih, sestavljenih iz njih (rešetke, okvirji), se določanje napetosti opravlja v dveh korakih, in sicer tako, da se najprej na osnovi danih zunanjih sil izračuna rezultanta notranjih sil, ki se prenašajo prek prečnega prereza, nato pa se iz teh “presečnih sil” določijo napetosti. Prvi del postopka predstavlja posebno, obsežno disciplino, statiko gradbenih konstrukcij, ki ima izdelane lastne metode in se navadno ločuje od odpornosti materialov, katere naloga se omejuje na določanje napetosti iz danih presečnih sil.
Osnovni pojmi odpornosti materiala
Do definicije napetosti pridemo s pomočjo naslednjih osnovnih razmišljanj. Naj na telo deluje ravnotežni sistem zunanjih sil. Predstavljajmo si, da smo telo z poljubnim prerezom razdelili na dva dela in enega od njiju odstranili skupaj s silami, ki nanj delujejo; tedaj je treba njegovo delovanje na drugi del, da bi ravnotežje sil in razporeditev deformacij ostala nespremenjena, nadomestiti z dopolnilnimi silami, ki se prenašajo prek površine prereza. Te »notranje« sile so neprekinjeno porazdeljene po površini prereza, tako da vsakemu elementu površine dF ustreza sila dβ. Če oblikujemo količnik dβ/dF in opravimo mejni prehod dF -> 0, ta količnik teži k mejni vrednosti, ki se imenuje napetost. Napetost v določenem elementu površine je, tako kot dβ, in jo lahko razstavimo na komponenti normalno in tangencialno na dF, normalna napetost σ strižna napetost τ.
Če skozi isto točko potegnemo prereze v različnih smereh, jim bodo ustrezale tudi različne napetosti. Posebej, če iz telesa izločimo elementarni kvader, prikazan na sl. 1, bo na vsaki od njegovih šestih ploskev deloval napetostni vektor, ki ga lahko razstavimo na tri komponente v smeri koordinatnih osi x, y, z. Napetosti, ki delujejo na nasprotni strani ploskve, se med seboj razlikujejo, seveda le za diferencial, zato je treba razlikovati 3 * 3 = 9 komponentnih napetosti, ki se označujejo na naslednji način:
Normalnim napetostim σ se dodeli indeks osi, v smeri katere ležijo, in so pozitivne, če povzročajo natezanje, negativne pa, če povzročajo pritisk. Strižne napetosti τ dobijo dva indeksa; prvi je enak indeksu ustrezne normalne napetosti, drugi pa se nanaša na os, v smeri katere strižna napetost deluje. Če je pozitivna smer ustrezne normalne napetosti v smeri pozitivne (negativne) koordinatne osi, se tudi strižna napetost šteje za pozitivno, če deluje v smeri pozitivne (negativne) koordinatne osi.
Fotografija 1.
Konjugiranost strižnih napetosti
Če za elementarni kvader, sl. 1, postavimo pogoj, da je moment vseh sil glede na os x enak nič, dobimo τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz Od tod in iz dveh ustreznih enačb za osi y in z sledi, da so strižne napetosti z enakimi indeksi med seboj enake τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (1)
Komponentne deformacije
Da imajo zgoraj opredeljene napetosti fizikalni pomen, izhaja iz njihove povezave z deformacijo, ki jo doživi vsako telo pod vplivom zunanjih sil. Sl. 2 prikazuje en elementaren kvader, ki je bil pred deformacijo pravokoten in je imel dolžine robov dx, dy, dz. Dolžine robov po deformaciji lahko označimo z dx + Δdx, dy, + Δdy, dz + Δdz; količnike εx = Δdx|dx, εy =Δdy|dy, εz = Δdz|dz imenujemo raztezki. To so veličine brez dimenzije in pri vseh materialih, ki pridejo v poštev v gradbeništvu, majhne glede na 1. Poleg podaljšanja robov lahko elementarni kvader dx * dy * dz utrpi tudi spremembo prvotno pravih kotov med svojimi stranicami.
Slika 2. komponentna deformacija
Naj bo po deformaciji kot med ravninami, ki se stikajo vzdolž robu OC, enak 
in podobno naj bo zmanjšanje pravega kota vzdolž robu AO enako γyz, zmanjšanje vzdolž robu OB pa γzx. Te tri spremembe kotov γxy, γyz, γzx se imenujejo zdrsi in so prav tako vedno majhne glede na 1. S šestimi komponentami ε in γ je popolnoma določena deformacija elementarnega kvadra “deformacija v malem”. Sprememba elementa prostornine d_V = dx * dy * dz_ je ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, od koder, ko zanemarimo produkte dilatacij kot male veličine višjega reda, dobimo kubično dilatacijo ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2)
Pomiki
Deformacijo trdnega telesa je mogoče popolnoma opisati tudi tako, da za vsako od njegovih točk podamo premik, ki ga je ta točka utrpela. Če iz opazovanja izključimo premike končne velikosti, ki ustrezajo premiku togega telesa, in če je to potrebno, v računu privzamemo premakljivi koordinatni sistem, so tudi komponentni premiki μ, ν, ω vedno majhni, njihovi odvodi po koordinatah pa majhni v primerjavi z 1. Pod to predpostavko je po sl. 3 dolžina linijskega elementa OA = dx po deformaciji
torej 
(3)
Na podoben način se iz sl. 3 vidi, da je drsenje γxy γ1 + γ2: in tudi
(4)
Slika 3 zdrs
(5) 
(6)
Te zveze se imenujejo pogoji kompatibilnosti in pomenijo, da se deformirani elementi lahko sestavijo kot mozaik tako, da je pri tem prostor neprekinjeno zapolnjen, česar ni mogoče doseči, če so deformacije elementov poljubne. Pogoji kompatibilnosti so diferencialne enačbe, zato so seveda vseh šest komponentnih deformacij za vsak posamezen kvader med seboj neodvisne, vendar je njihova razporeditev v vsakem končno razprostrtem območju vezana s pogojema (5) in (6).
Ker so ti pogoji dobljeni z diferenciranjem iz enačb (3) in (4), se pri njihovem izpeljevanju izgubi del zvez, vsebovanih v prvotnih enačbah. Zato ni dovolj, da je izpolnjen samo eden od teh dveh sistemov enačb, temveč morata biti izpolnjena oba sistema enačb, če želimo zagotoviti skladnost deformacije.
Diferencialne enačbe sistema elastičnosti
Za izračun napetosti in deformacij pri elastičnih telesih služijo naslednje enačbe:
Pogoji ravnotežja volumskega elementa. Pogoji, da so momenti okoli treh osi enaki nič, so bili že uporabljeni pri izpeljavi enačbe (1). Pogoji ravnotežja sil po sl. 4
Podoba 4
(7a-c)
Če z X, Y, Z označimo komponente prostorskih sil (npr. teža, centrifugalna sila) na enoto prostornine. Povezave med napetostmi in deformacijami. Pod tem razumemo povezavo med komponentnimi napetostmi in komponentnimi deformacijami. V teoriji elastičnosti praviloma pride v poštev le linearna povezava, ki jo izraža Hookov zakon:
(8a-c)
(8d-f)
Če se enačbe (8a-c) rešijo po napetostih, dobimo
(8 a)
kso in dve ustrezni enačbi. Hookov zakon, izražen z enačbo (8), ne predstavlja kakšnega strogo izpolnjenega naravnega zakona, temveč idealizacijo dejanskega obnašanja, ki od njega bolj ali manj odstopa, odvisno od materiala in velikosti obremenitve. Ker matematična obravnava problema odpornosti materialov s zapletenimi, nelinearnimi zvezami med napetostmi in deformacijami povzroča neprimerno večje težave in jo je mogoče dejansko izvesti le v najpreprostejših primerih, je treba tudi pri tistih materialih (beton!), katerih obnašanje precej odstopa od Hookovega zakona, izračune, zasnovane na njem, uporabljati kot prvo in večinoma tudi edino približno rešitev, ki je navsezadnje praviloma zelo uporabna in daje vpogled, ki je več kot zgolj kvalitativen. G = E|2 (1+μ).
To nujno sledi iz zveze med napetostjo in deformacijo (8), iz enačb transformacije (16) za napetosti in ustreznega sistema enačb za komponentne deformacije E in G imata dimenzijo napetosti in sta pri vseh gradbenih materialih velika glede na napetosti σ in τ, ki se lahko pojavijo. Na tej dejstvi temelji predpostavka, sprejeta povsod v teoriji elastičnosti, da so deformacije majhne. Koeficient prečne razteznosti (Poissonovo število) μ je brez dimenzije in je vedno med 0 in 1/2 .
Povezave med komponentnimi deformacijami in pomiki. Te povezave so podane z enačbami (3), (4). So povsem geometrijske narave. Ti trije sistemi dajo 3+6+6=15 enačb za 15 neznank, tj. za 6 komponentnih napetosti, 6 komponentnih deformacij in 3 komponentnih pomikov. Zato zadoščajo za določitev teh neznank. Matematično obvladovanje tako obsežnega sistema diferencialnih enačb je seveda mogoče le v posebnih primerih. Če v enačbi (8) komponentne deformacije nadomestimo s komponentnimi pomiki po enačbah (3) in (4) ter nato normalne napetosti σ in strižne napetosti τ, po enačbah (8 d - f), uvedemo v pogoje ravnotežja, enačbe (7), dobimo diferencialne enačbe, ki se imenujejo osnovne enačbe teorije elastičnosti.
(9)
pri čemer je 
označen Laplaceov operator. Glede na (2) so to tri diferencialne enačbe s tremi komponentnimi pomiki μ, ν, ω; iz teh pa lahko z diferenciranjem na podlagi (3), (4) in (8) dobimo vse komponentne napetosti in deformacije. Enačbe (9) pogosto predstavljajo primerno izhodišče za preučevanje posebnih primerov.
Deformacijsko delo
Opredelitev
Ko se nosilec obremeni, točke delovanja zunanjih sil doživljajo elastične pomike, sile pa pri tem opravijo določeno delo. Na ta način dovedena energija lahko preide v različne oblike. Če je obremenitev uvedena naglo, tako da ima proces deformacije precejšnjo hitrost, se del te energije spremeni v kinetično energijo, ki se s časom razprši bodisi tako, da se prenese v tla kot elastični val, ki izgine v neskončnosti, bodisi tako, da se zaradi notranjega trenja pretvori v toploto. Če se obremenitve nanašajo tako počasi, da pri tem ne nastane opazen porast kinetične energije, torej da so obremenitve, ki postopno naraščajo od nič, v stalnem ravnovesju z notranjimi silami, se energija očitno izključno porablja za deformiranje telesa in se tedaj imenuje deformacijsko delo.
Izračun deformacijskega dela bomo najprej prikazali na delčku, obremenjenem z raztegom v eni smeri (sl. 5).
Naj obstoječa napetost σ in pripadajoča dilatacija ε doživita prirastka dσ in dε. Tedaj bo sila σdF na poti dε * dl opravila delo σdF * dεdl = σdεdV, če z dV označimo prostornino delčka. Če napetost narašča od nič do svoje končne vrednosti in dilatacija skladno s tem od 0 do ε, bo skupno opravljeno delo na enoto prostornine znašalo:
Podobno velja tudi za element, obremenjen s strižnim napetostnim stanjem τ (sl. 6), deformacijsko delo na enoto prostornine (specifično deformacijsko delo, elastični potencial):
pri čemer opravlja delo samo ena od štirih sil τ * dF.
V splošnem primeru, ko na elementarni delujejo vseh šest komponentnih napetosti, dobimo specifično deformacijsko delo s seštevanjem del posameznih komponentnih napetosti:
(10)
Z diferenciranjem po zgornji meji vsakega od teh integralov dobimo odnose, ki veljajo v najbolj splošnem primeru:
(11)
in podobno za ostale komponentne deformacije. Če je telo elastično, vsaki določeni stanju napetosti vedno ustreza isto stanje deformacije, ne glede na to, ali je stanje doseženo pri obremenjevanju ali razbremenjevanju. Tedaj so pod integrali enolične funkcije in skupna energija, porabljena pri obremenjevanju in nato popolnem razbremenjevanju, je a = 0, glede na to, da v tem primeru zgornje meje integralov postanejo nič. Zato se celotna energija, dovedena telesu pri obremenjevanju, pri razbremenjevanju povrne.
Fotografija 6
Fotografija 7
Za nepopolnoma elastično telo ima zveza med napetostjo in deformacijami za celoten cikel obremenjevanja in razbremenjevanja obliko, približno prikazano na sl. 7 z linijami O A B. Energija 
dovedena pri obremenjevanju je enaka površini OAA, energija, vrnjena pri razbremenjevanju, pa površini ABA, tako da se izgubi (pretvori v toploto) delo, ki ustreza osenčeni površini. Če se v oscilacijskem procesu napetost periodično spreminja med pozitivno mejno vrednostjo 
in negativno mejno vrednostjo, 
neelastična deformacija poteka podobno, kot je prikazano s črtkanimi črtami na sl. 7 in se pri vsaki periodi oscilacije na enoto prostornine pretvori v toploto energija DABCD. Takšno obnašanje pri deformaciji, pri katerem deformacija zaostaja za napetostjo, imenujemo elastična histereza, krivuljo DABCD pa histerezna zanka.
Deformacijsko delo in Hookov zakon
Če se v integrale v enačbi (10) uvede Hookov zakon, je mogoče izvesti integriranje, zato za specifično deformacijsko delo dobimo izraze:
(12a)
(12b)
(12c)
Če se druga od teh oblik vstavi v enačbo (11), dobimo spet Hookeov zakon, enačbe (8), v obliki, rešeni po napetostih. Izjava, da je deformacijsko delo odvisno od komponentnih deformacij, kot je prikazano z enačbo (12b), je torej enakovredna Hookeovemu zakonu. Ko se enačba (12c) diferencira po napetostih, dobimo
(13)
Ti obrazci, v nasprotju z obrazci (11), veljajo samo za telesa, ki se obnašajo po Hookejevem zakonu, in jih ni mogoče uporabiti, kadar so zveze med napetostmi in deformacijami drugačne. Razumljivo je, da se na desni strani enačb (13) nahajajo samo komponentne deformacije, povzročene z napetostmi, vse druge, ki bi morda nastale zaradi spremembe temperature, lezenja, nabrekanja, rekristalizacije itd., pa se izključijo.
INTEGRALNA NAČELA V TEORIJI ELASTIČNOSTI
Virtualni pomiki. Princip najmanjše potencialne energije
Tako kot lahko Hookov zakon, enačbe (8), nadomestimo z eno enačbo (12b), lahko tudi namesto pogojev ravnovesja uvedemo načelo virtualnih pomikov kot splošno veljaven osnovni zakon mehanike. Ta zakon pove, da so ravnotežna stanja zaznamovana s tem, da je pri njih skupno opravljeno delo vseh sil pri majhni spremembi stanja deformacije enako nič. Če majhne spremembe elastičnih pomikov označimo δμ δν, δω, tedaj prostorninske sile, določene z enačbo (7), opravljajo virtualno delo
a površinske sile px, py, pz, ki delujejo na element dF zunanje površine telesa, delo 
pri čemer se trojni integral nanaša na celoten volumen, dvojni pa na celotno zunanjo površino telesa. Za izračun dela, ki ga opravljajo notranje sile, se uporablja enačba (12b), zato se za delo na enoto prostornine dobi
Princip virtualnih premikov na tej osnovi daje
(14)
Če se obremenitve X, Y, Z px, py., pz obravnavajo kot komponente teže (lastna teža in zunanja obremenitev), integrali na desni strani predstavljajo potencialno energijo, ki so jo te obremenitve izgubile, leva stran pa predstavlja prirastek potencialne (elastične) energije telesa, tako da ta princip izraža, da ima skupna potencialna energija nosilca in bremen, ki ležijo na njem, v primeru ravnotežja ekstremno vrednost. Če je ta ekstremna vrednost minimum, je ravnotežje stabilno.
Princip minimalne potencialne energije, izražen z enačbo (14), izraz (12b) za deformacijsko delo in pogoji skladnosti deformacij (5), (6) predstavljajo sistem enačb, ki je zadosten za izgradnjo teorije elastičnosti in je v osnovi ekvivalenten sistemu enačb. Ta sistem je lahko posebej koristen v primerih, ko izpolnjevanje diferencialnih enačb (9) predstavlja računske težave in je zato treba iskati približno rešitev, npr. pri pomikih se vnaprej privzame primerna oblika, ki vsebuje nekaj prostih konstant, te pa se določijo iz zahteve, da je enačba (14) izpolnjena. Tako sicer ne dobimo stroge rešitve problema, temveč le najboljšo aproksimacijo, ki jo je mogoče doseči z izbrano obliko rešitve. Ali je približek zadosten, je v prvi vrsti odvisno od sprejete oblike rešitve, zato uspešna uporaba te metode zahteva spretnost in izkušnje.
Castiglianovo načelo
Med načelom najmanjše potencialne energije primerjamo vsa stanja deformacij, ki izpolnjujejo pogoje skladnosti deformacij, in med njimi izberemo tista, za katera ustrezne napetosti izpolnjujejo pogoje ravnotežja; pri Castiglianovem načelu pa primerjamo vsa stanja napetosti, ki izpolnjujejo pogoje ravnotežja, in med njimi izberemo tista, za katera ustrezne deformacije izpolnjujejo pogoje skladnosti deformacij. To načelo pravi: od vseh mogočih ravnotežnih stanj nastopi v resnici tisto, kateremu ustreza najmanjše deformacijsko delo. Castiglianovo načelo skupaj z enačbo (12c) za deformacijsko delo in pogoji ravnotežja tvori sistem enačb, ki zadošča za izgradnjo odpornosti materiala. Glede na to, da to načelo vsebuje Hookov zakon, je možnost njegove uporabe vezana na predpostavko, da je mogoče deformacije popolnoma opisati s tem zakonom. To zahteva ne le linearno elastično obnašanje materiala, temveč izključuje tudi temperaturne spremembe.
Obnašanje materialov nad mejo elastičnosti
Pojavi pri statični obremenitvi
Deformacija materiala pod vplivom napetosti je zelo zapleten pojav, zato ga je treba na različne načine poenostaviti, da ga lahko razumemo. Ena od teh poenostavitev je predpostavka, da se bremena nanašajo postopoma, kot se to npr. dela z vzorci pri preizkusu na nateg in tlak.
Če je jeklena palica, obremenjena na nateg, izpostavljena obremenitvi, ki postopoma narašča, in merimo njeno dilatacijo ε, dobimo diagram, prikazan na sl. 8. Na začetku je dilatacija zelo majhna in sorazmerna napetosti, kot to zahteva Hookov zakon. Od določene napetosti dalje sorazmernost preneha in dilatacija narašča hitreje. Natančnega položaja meje te sorazmernosti je težko določiti. Natančnejše kot je merjenje, toliko nižja je. Za večino materialov leži pri σ = 0, Hookov zakon pa tedaj predstavlja le prvo približanje elastičnemu obnašanju, prvi člen razvoja v Taylorjevo vrsto funkcije ε = ε (σ) v okolici koordinatnega izhodišča.
Če palico razbremenimo, opazimo, da pri ne preveliki obremenitvi izgine tudi deformacija, v skladu s Hookeovim zakonom. Toda tudi to se spremeni, če je presežena določena obremenitev, ki leži blizu meje sorazmernosti, t. i. meje elastičnosti; tedaj je skupna deformacija sestavljena iz elastičnega (povratnega) in neelastičnega (trajnega) dela. Tudi meje elastičnosti ni mogoče natančno določiti; nahaja se toliko niže, kolikor večja je natančnost merjenja. Ker pa ima velik tehnični pomen, saj predstavlja mejo uporabnosti pri skoraj vseh preračunih v odpornosti materialov, hkrati pa tudi mejo, pri kateri nastanejo prve trajne poškodbe, se za preizkušanje vzorcev strogo opredeli z neko sprejeto konvencijo, tako da se npr. kot meja 0.2% označuje tista obremenitev, pri kateri trajna dilatacija doseže 0.2%.
Takoj po prekoračitvi meje elastičnosti deformacija naglo narašča in jo je mogoče opaziti s prostim očesom; pri skoraj stalni napetosti se palica neprekinjeno podaljšuje. Ta napetost se imenuje meja tečenja. Pri hidravličnih strojih za preskušanje materialov je poleg tega po začetku tečenja mogoče opaziti bolj ali manj izrazit padec napetosti; kakor je označeno na sl. 8 s črtkano krivuljo; tedaj se maksimum imenuje zgornja meja tečenja, stalna napetost tečenja, ki nato nastopi, pa spodnja meja tečenja.
Ko je dosežena določena dilatacija, ki je skoraj povsem neelastična, napetost začne znova naraščati, material se utrjuje. V tem območju obremenitve nastane opazno zmanjšanje prečnega prereza palice zaradi (neelastične) bočne skrčitve, nadaljnji potek diagrama napetosti in deformacij pa je predvsem odvisen od tega, ali se pri izračunu napetosti σ natezna sila P, ki deluje na palico, deli z začetnim prerezom F0 ali s trenutnim prerezom F. Za tehnične namene je zanimiva napetost P|F0. Ta napetost doseže maksimum, ki se imenuje trdnost materiala, in ko je ta maksimum presežen, se palica na enem mestu močno zoži in poči. “Dejanska napetost” P|F narašča do porušitve.
Prikaz 8.
Obnašanje drugih kovin v mnogem odstopa od tukaj opisanega. Tečenje pogosto ni izrazito, strjevanje pa se začne neposredno po preseženi meji elastičnosti. Pri krhkih materialih (kamen, steklo, beton) so neelastične deformacije sploh majhne in že pri majhni raztežitvi pride do loma. Skupna raztežitev, ki jo material prestane do loma, je merilo razteznosti (nasprotno: krhkosti) materiala in je za jeklo natančno predpisana v tehničnih pogojih. Vendar pa se neposredno pred lomom nadaljnja deformacija koncentrira na okoliška mesta zoženega prereza, zato se dobiva različna vrednost raztežitve pri lomu, odvisno od tega, ali se za merilno dolžino vzame večji ali manjši del palice, tako da je treba za pridobitev enoznačnih in medsebojno primerljivih rezultatov vnaprej sprejeti določeno konvencijo. Raztežitev pri lomu se praviloma meri tako, da se na okrogli palici premera d pred preizkusom označi merilna dolžina Ι = 10 d in se iz njenega podaljšanja ΔΙ izračuna raztežitev pri lomu εs_Ι = ΔΙ|Ι . Če je treba preizkušati palice drugačnega prereza, se merilna dolžina določi glede na premer krožne cilindrične palice, ki ima enako površino prečnega prereza.
Dolgotrajna obremenitev
Za potek nateznega preskusa je precej vseeno, ali se obtežitev do porušitve povečuje v času 10 m minut ali nekaj ur. Če pa obtežitev deluje leta ali desetletja, se v določenih pogojih opazi, da tudi pod mejo tečenja deformacija pri stalni napetosti sčasoma počasi narašča. Pri tem se elastični del, tj. del, ki pri dokončni razbremenitvi izgine, občutno ne spremeni. Ta porast neelastične deformacije, ki nastaja skozi daljše obdobje, se imenuje lezenje. Pri kovinah, razen pri svincu, je lezenje pomembno le pri visokih temperaturah, za gradbenega inženirja pa ima vlogo pri betonu, ki pod pritiskom počasi popušča, tako da napetost narašča v stisnjeni armaturi, če ta obstaja.
Spremenljiva obtežba
Da bi mehanične karakteristike materiala, dobljene pri preizkusu natezanja, lahko uporabili kot merilo za dopustno obremenitev konstrukcij, je pogoj, da material pri vsaki ponovni obremenitvi prenese napetost, ki jo je nekoč brez poškodbe prenesel. Ta pogoj ni izpolnjen, če je material izpostavljen pogostemu ponavljanju obremenitev in razbremenitev, kot je npr. primer pri nosilcih, obremenjenih z vztrajnostnimi silami nepopolno uravnoteženih strojev. Z dovolj pogostim ponavljanjem obremenitve je mogoče konstrukcijski del pripeljati do porušitve tudi pri napetosti, ki leži daleč pod trdnostjo materiala, določeno z navadnim statičnim preizkusom. Pojav takšne porušitve se imenuje porušitev zaradi utrujanja. Število n ciklov obremenitve, ki jih material lahko prenese, je odvisno od velikosti napetosti σ, zato je toliko večje, kolikor manjša je napetost. Tipičen primer te odvisnosti je prikazan na sl. 9, iz katere je razvidno, da obstaja za trdnost materiala spodnja meja, ki jo prenese tudi pri poljubno velikem številu ciklov obremenitve in se imenuje dinamična trdnost materiala Diagrami te vrste (sl.9) se imenujejo Wӧhlerjeve krivulje.
Fotografija 9.
Varnost konstrukcij
Za konstrukcije sta pomembni dve mejni obremenitvi: obremenitev, pri kateri nastanejo prve trajne poškodbe (meja tečenja), in obremenitev, pri kateri je nosilnost konstrukcije izčrpana, zato se poruši (meja porušitve). Ker pred mejo tečenja vsaj približno veljajo predpostavke odpornosti materialov (majhni pomiki, Hookov zakon), je varnost proti trajnim deformacijam mogoče zanesljivo oceniti v vseh tistih primerih, kjer se uspe premagati matematične težave. Če je napetost sorazmerna obremenitvi, je razmerje napetosti tečenja proti največji napetosti, ki se pojavi v konstrukciji, enako razmerju med obremenitvijo, pri kateri nastopi tečenje, in dejansko obremenitvijo ter predstavlja varnostni koeficient proti tečenju. Vendar v številnih primerih ta preprosta zveza ne velja: pri upogibanju, kadar se izključuje natezanje, pri tlaku med izbočenimi površinami, pri sistemih s spremenljivo strukturo in, kar je zlasti neugodno, pri upogibanju z aksialno silo. V vseh teh primerih lahko sorazmerno majhno povečanje obremenitve povzroči veliko povečanje napetosti, in tedaj ni dovolj, da se običajni varnostni koeficient uporabi za napetosti, temveč ga je treba uporabiti za obremenitev.
Pojave, ki se dogajajo po prekoračitvi meje tečenja do porušitve, je v večini primerov mogoče spremljati le še kakovostno. Če je material raztezen, deli, v katerih je bila meja tečenja najprej dosežena in ki se dalje deformirajo pri stalni napetosti ali napetosti, ki le malo narašča, malo sodelujejo pri sprejemanju nadaljnje obremenitve, tako da ostali, manj obremenjeni deli konstrukcije, če je to glede na njeno strukturo mogoče, bolj sodelujejo pri nosilnosti. V tej težnji k izenačevanju vrhov napetosti leži določena varnostna rezerva, ki jo je računsko mogoče izkoristiti, če trajna deformacija posameznih delov, nastala že pri eni sami večji obremenitvi, ni škodljiva (metoda mejne obremenitve).
Če je material krhek, se prva trajna poškodba pokaže v razpokah, zaradi katerih pride na ogroženem mestu do še močnejše koncentracije napetosti, ki takoj povzroči zlom. Zlom zaradi utrujanja ima tudi pri raztegljivih materialih značilnosti krhkega loma.
Povezave med napetostmi za različne presečne ravnine
Enačbe transformacije
Devet komponentnih napetosti na sl. 1 je povezanih s tremi ravnotežnimi pogoji. Šest preostalih veličin σx, σy, σz τxy, τyz, τzx lahko neodvisno ena od druge dobijo poljubne vrednosti, kot je razvidno iz izpeljave diferencialnih enačb teorije elastičnosti. Kadar pa so te vrednosti podane, je napetostno stanje v neki točki trdnega telesa popolnoma določeno, tj. kadar so znane napetosti za tri medsebojno pravokotne ravnine, je mogoče enolično določiti tudi napetost za neko četrto ravnino, ki poteka skozi dano točko in katere normala ima poljuben smer.
Na sl 10 je prikazan tetraeder OABC, katerega tri stranice so vzporedne ravninam koordinatnega sistema x, y, z, četrta pa predstavlja poljubno orientiran element površine ABC = dF. Da bi označili njegovo smer in smer napetosti, ki se prek njega prenaša, uvedemo drugi koordinatni sistem, katerega os ξ je pravokotna na dF.
Prikaz 10
Pogoj ravnotežja sil, ki delujejo na ta tetraeder v smeri osi ξ, daje
Če upoštevamo, da je
nastane
in podobno iz ravnotežnih pogojev v smeri osi η:
To so enačbe, ki služijo za izračun napetosti pri transformaciji koordinat. Posebej pomembno je obravnavati samo take elemente površine dF, pri katerih se os ξ ujema z osjo z. Obrazce za ta primer lahko dobimo s poenostavitvijo prejšnjih obrazcev ali pa jih preberemo neposredno iz sl. 11:
Prikaz 11
Normalna napetost doseže skrajne vrednosti za smeri α = α0 , za katere je dσξ/dα = 0. Z odvajanje se iz enačbe (16) dobi
pa je, ko se ta izraz izenači z nič
Napetost τξη bo hkrati tudi celotna strižna napetost v teh ravninah, če je τyz = τzx = 0. Tedaj sta z enačbo (17) določeni dve medsebojno pravokotni smeri, za kateri: 1. celotna strižna napetost je nič in, 2. normalna napetost ima skrajni vrednosti (maksimum in minimum). Ti smeri se imenujeta smeri glavnih napetosti, ustrezni napetosti pa glavni napetosti. Označujemo ju s σ1 in σ2 ter ju je mogoče izračunati neposredno iz obrazca
Mohrjev krog
Enačbe (16) je mogoče grafično prikazati na nazoren način. V ta namen jih je treba preoblikovati v obliko:
Te enačbe predstavljajo v koordinatnem sistemu σ, τ parametrično obliko enačbe kroga, vrisanega na sl. 12, katerega koordinati središča sta σ = 1/2 (σx + σy), τ = 0 in katerega polmer je
Ta krog se imenuje Mohr-ov krog. Če skozi točko x potegnemo premico, vzporedno s presekom x =const., prek katerega se prenašajo napetosti σx, τxy, bo ta premerila krog v točki p, ki se imenuje pol Mohr-ovega kroga. Vsaka premica pξ, potegnjena skozi ta pol, seka krog v točki ξ, ki določa napetosti σξ, τξη, ki se prenašajo preko preseka, vzporednega s pξ.
Pri znaku strižnih napetosti pri risanju Mohrovega kroga je treba upoštevati, da jih nanašamo navzgor, če imajo smer, prikazano na sl. 12c. Zato je od dveh konjugiranih napetosti τxy, τyx, ena vedno pozitivna, druga pa negativna.
Skrajnim vrednostim σ1, σ2 normalnih napetosti ustrezata točki 1 in 2 na krogu, premici _p_1 in _p_2 pa določata smeri glavnih napetosti.
Prikaz napetosti, ki ležijo v ravnini x-y, z Mohrovim krogom ni vezan na nobeno predpostavko o napetostih σz, τxz, τyz, pravokotnih na to ravnino.
Prikaz 12
To torej velja tudi za najsplošnejše tridimenzionalno napetostno stanje, če primerjamo le tiste presečne ravnine, ki vse potekajo skozi isto premico, ki je tu izbrana za os z in ξ. Ker po splošnih transformacijskih enačbah (15) normalna napetost σ ne more postati neskončna za nobeno presečno ravnino, mora imeti za neko ravnino končni maksimum σ1, za drugo pa minimum σ3, pri čemer sta lahko oba, razumljivo, tudi negativna. Če skozi vektorja σ1 in σ3 potegnemo ravnino in narišemo Mohrjev krog (sl. 13)
Fotografija 13
za napetosti, ki ležijo v tej ravnini (tj. v vseh smereh, ki so pravokotne na to ravnino), sta potem σ1 in σ3 največja in najmanjša normalna napetost, ki se lahko pojavita, in zato morata biti medsebojno pravokotni. Če se smeri 1 in 3 dopolnita s smerjo 2, tako da te tri smeri tvorijo pravokotni koordinatni sistem, in če se narišejo Mahr-jevi krogi za ravnine 1 ~2 in 2 ~ 3, potem je σ2 za enega od teh krogov največja, za drugega pa najmanjša normalna napetost, in zato je v presekih, pravokotnih na smeri 1, 2 in 3, strižna napetost enaka nič. Tri medsebojno pravokotne normalne napetosti σ1, σ2 in σ3, katerim ne ustrezajo strižne napetosti, imenujemo glavne napetosti.
Meja tečenja in meja porušitve pri prostorskem stanju napetosti
Napetostno stanje imenujemo eno-, dvo- ali tridimenzionalno, drugače: linearno, ravninsko ali prostorsko, glede na to, ali so ena, dve ali vse tri glavne napetosti različne od nič. Pri konstrukcijskih delih, ki se najpogosteje uporabljajo, tj. pri nateznem, tlačnem in upogibnem palici, je napetostno stanje, vsaj na najbolj obremenjenih mestih, enodimenzionalno, prav tako pa tudi pri preizkusih nateza, tlaka ali upogiba, ki se pri preskušanju materialov skoraj izključno uporabljajo za določanje dopustnih napetosti. Nasprotno pa je pri ploščah, obremenjenih v njihovi ravnini ali pravokotno nanjo, pa tudi pri lupinah, napetostno stanje dvodimenzionalno, v določenih primerih pa se pojavljajo tudi tridimenzionalna napetostna stanja, tako da je treba na podlagi meje tečenja in porušitve, določene pri enodimenzionalnem napetostnem stanju, sklepati o obnašanju materiala v primeru prostorskega napetostnega stanja.