Tensiunile normale la barele drepte și barele cu curbură mică
Definiția forțelor secționale
Se consideră că o bară dreaptă este solicitată de forțe cu direcții arbitrare, pentru care se presupune doar că toate se află într-un singur plan (planul forțelor) care trece prin axa barei (linia care unește centrele de greutate ale secțiunilor transversale).
Fig. 1
Pentru a calcula tensiunile care acționează într-o anumită secțiune transversală n – n (fig. 1), este necesar să se cunoască forța care se transmite prin această secțiune de la o parte a tijei la cealaltă. Aceasta este, în mod evident, egală ca mărime și poziție cu rezultanta tuturor forțelor care acționează asupra unei părți a tijei. Această rezultantă se descompune în componente într-un sistem de coordonate a cărui axă x coincide cu axa tijei, iar axa z este linia de-a lungul căreia planul secțiunii transversale intersectează planul forțelor. Componenta în direcția axei z se numește forță transversală Q sau Qz și, la grinda simplă, se consideră pozitivă dacă în stânga secțiunii are sens în sus, iar în dreapta în jos.
Când bara este curbată, axele de coordonate x și z au în fiecare secțiune o altă direcție, și anume întotdeauna astfel încât axa x să fie tangentă la axa barei. Dacă planul în care se află axa barei nu coincide cu planul forțelor, sau dacă axa barei este o curbă spațială, rezultanta forțelor din stânga secțiunii are și o a treia componentă, forța transversală Qy. Cu N, Qz și Qy sunt determinate mărimea și direcția forței care se transmite prin secțiune, dar nu și poziția ei. Pentru aceasta este necesar să fie cunoscute și momentele ei față de axele de coordonate. În cazul încovoirii plane este suficient să fie cunoscut momentul de încovoiere M sau My. În cazul cel mai general mai apare încă un moment de încovoiere Mz și momentul în jurul axei x, Mx.
Cele șase forțe și momente definite în expunerea precedentă sunt cuprinse sub denumirea comună de „forțe secționale“. Determinarea lor este una dintre sarcinile de bază ale staticii construcțiilor.
Între încărcarea distribuită continuu p (dimensiune: forță pe unitatea de lungime), forța tăietoare Q și momentul de încovoiere M există, în cazul încovoirii plane, o relație simplă. Anume, din condițiile de echilibru ale unui element de bară (fig. 2) se obține
dQ + p dx = 0,
dM = Q dx;
prin urmare
Q = dM/dx,
p = - dQ/dx = - d2M/dx2. (1a, b)
Fig. 2
Distribuția tensiunilor normale
Dacă bara este solicitată numai de o forță axială, în secțiune apare doar tensiunea normală σ distribuită uniform (bară întinsă, respectiv comprimată). Dacă apare și un moment de încovoiere, aceste tensiuni trebuie într-un anumit fel să fie distribuite neuniform, astfel încât rezultanta lor să nu mai treacă prin centrul de greutate al secțiunii. Pentru a determina această distribuție, teoria tehnică a încovoirii nu pornește de la soluția strictă a ecuațiilor fundamentale, ci înlocuiește o parte dintre aceste ecuații printr-o ipoteză plauzibilă, care într-un caz deosebit de simplu este și îndeplinită riguros. Acest caz special este încovoierea unei bare prismatice drepte fără acțiunea forțelor transversale (fig. 3). Toate elementele barei suficient de îndepărtate de capetele ei suportă aceeași deformare, de unde rezultă direct că axa barei trece într-un arc de cerc și că toate planele secțiunilor transversale care inițial erau perpendiculare pe axa barei rămân plane în timpul deformării, deoarece fiecare dintre ele este un plan de simetrie pentru părțile vecine ale barei deformate. Se impune în mod firesc presupunerea că secțiunile transversale rămân aproximativ plane și atunci când momentul de încovoiere și secțiunea transversală a barei nu sunt constante, ci se schimbă treptat de-a lungul barei. Această presupunere, numită ipoteza lui Navier, stă la baza teoriei încovoirii.
Fig. 3
Mărimea tensiunilor normale
Când se îndoaie elementul drept al grinzii, o parte din „fibrele” sale, adică liniile materiale paralele cu axa barei, se întind, în timp ce cealaltă parte se scurtează (fig. 4). Între aceste două părți se află fibrele neutre z=0, a căror lungime nu se modifică la îndoire. Fie raza de curbură a acestor fibre în stare îndoită ϱ și fie ea situată în planul x-z. Din fig. 4 može se citi
Δ dx/z = _dx/_ϱ
și de aici dilatarea fibrelor calculată la distanța z de axa neutră, care este egală cu
ε = Δ dx/dx = _z/_ϱ
deci, pe baza legii lui Hooke, tensiunea
σ _= Ez/_ϱ (2)
Fig. 4
Această tensiune este proporțională cu distanța față de fibrele neutre. Un astfel de rezultat este legat de presupunerea că înainte de deformare toate fibrele elementului de bară au avut aceeași lungime, astfel încât bara a fost inițial dreaptă sau cel puțin cu o curbură atât de mică încât influența curburii poate fi neglijată. Dreapta de-a lungul căreia se intersectează stratul neutru și planul secțiunii se numește axă neutră. O adoptăm ca axă y (fig. 5). Poziția axei neutre în secțiunea transversală se obține din condiția de echilibru a forțelor în direcția axei x: dacă forța normală N=0 (încovoiere fără forță normală), atunci și rezultanta forțelor interioare exprimată prin tensiunile normale în secțiune trebuie să fie egală cu zero:
Integralul din partea dreaptă este momentul static al suprafeței în raport cu axa y. Pentru ca el să fie egal cu zero, această axă trebuie să fie una dintre axele de greutate.
Momentul M care provoacă deformarea are, față de axele y și z din planul secțiunii (fig. 5), componentele:
Ecuația (3)
prin care Iy, Iyz sunt momentele de inerție ecuatoriale și centrifugale ale secțiunii față de axele indicate.
Cel mai important este cazul special când Mz=0. Acest caz apare când Iyz=0, adică atunci când y și z sunt axele principale de inerție ale secțiunii. Aceasta înseamnă că planul de încovoiere adoptat aici, împreună cu planul x-z, coincide cu planul în care acționează momentul de încovoiere M=My, adică cu planul forțelor.
Fig. 5
Dacă din ecuațiile (2) și (3) se elimină _E/_ϱ, se obține formula pentru determinarea tensiunii la încovoiere plană (Iy=I):
σ = M/I * z (4)
pentru punctele de margine 1 și 2 în special este:
σ1 = M/I * h1 = M/W1, σ2 = - M/I * h2 = - M/W2. (5)
Mărimile W1,2 = I/h1,2 (dimensiune: lungime la puterea a treia) se numesc momente de rezistență. Dacă axa mediană orizontală este în același timp și axă de simetrie a secțiunii, atunci W1 = W2, astfel încât tensiunile la margine sunt egale în valoare absolută.
Linia elastică
Fig. 6
Importanța formelor menționate mai sus este legată de legea lui Hooke. Aceasta cere ca σ << E, deci conform (2) h << ϱ. Îndoirea totuși poate fi atât de mare încât ϱ să fie de același ordin de mărime ca și lungimea barei l. La barele curbe care intră în considerare în construcții acest caz nu apare; întotdeauna ϱ este considerabil mai mare decât l și, prin urmare, săgeata w << l (fig. 6). Atunci aproximativ este valabil:
1/ ϱ = - d2w/dx2 = -w’’
și pe baza (3):
w’’ = - M/EI.
Această ecuație și condiția de echilibru (1b) formează sistemul de ecuații diferențiale al barei încovoiate. Prin eliminare, ele pot fi reduse la o singură ecuație de ordinul al patrulea:
wIV = + p/EI
sau, în cazul în care momentul de inerție este variabil:
(EIw’’)’’ = +p.
Din ele se poate determina prin integrare forma liniei elastice atunci când încărcarea este dată de p=p(x) și când pentru fiecare caz de bară sunt cunoscute două condiții la limită. Dintre acestea, cel puțin două trebuie să se refere la deformare. Pentru detalii, v. articolul Statica construcțiilor.
Nucleul secțiunii
Dacă axa neutră taie secțiunea transversală, o împarte într-o zonă de întindere și o zonă de compresiune. La materialele cu rezistență mică la întindere apare întrebarea unde trebuie să acționeze forța de compresiune, dacă în secțiunea transversală nu trebuie să apară nicăieri întindere. Poziția punctului de aplicare al forței este atunci limitată la domeniul numit nucleul secțiunii. Limita nucleului este, evident, locul geometric al punctelor ale căror axe neutre ating perimetral secțiunea transversală. Prin aceasta este dată totodată și construcția lui.
Distanța de la limita nucleului până la centrul de greutate, măsurată în orice direcție, o vom nota cu k urmat de indicele corespunzător acelei direcții. Pentru axele principale de inerție, conform ecuației
σ = N/F + Mz/Iz y + My/Iy z (6)
termenii sunt următorii:
ky = i2z / ey, kz = i2y / ez. (7)
Pentru secțiunea transversală circulară de rază r, distanța nucleului este k = r/4, iar pentru inelul circular (rază exterioară R, rază interioară r) k = (R2 + r2) / 4R.
Pentru dreptunghi (fig. 7) este ky = 1/6 b, kz = 1/6 h. Așadar, la solicitarea unei secțiuni dreptunghiulare într-unul dintre planele de simetrie (dar numai atunci) este suficient ca rezultanta să acționeze în treimea mediană a înălțimii sau lățimii secțiunii transversale, astfel încât tensiunile din secțiune să aibă același semn.
Fig. 7
Încovoierea în domeniul plastic
Când în fibrele marginale ale barei încovoiate a fost atinsă limita de curgere, capacitatea ei portantă nu este încă epuizată, deoarece, în timp ce fibrele exterioare se deformează plastic la o tensiune constantă, în părțile situate mai aproape de axa neutră, unde limita de curgere nu a fost încă atinsă, tensiunea crește, iar astfel crește și momentul de încovoiere pe care secțiunea îl poate prelua.
Dacă este cunoscută evoluția exactă a diagramelor de tensiuni și deformații, procesul pentru secțiuni dublu simetrice (cu înălțimea h) poate fi urmărit ușor prin calcul, astfel încât, sub presupunerea că secțiunile rămân plane, din diagrama tensiunilor și deformațiilor se determină repartizarea tensiunilor σ datorate încovoierei, corespunzătoare unei dilatări adoptate a fibrelor extreme ε__r, iar de aici, prin integrare, se determină momentul încovoietor. Dacă aceasta se realizează pentru diferite ε__r și, pe de altă parte, se calculează curbura corespunzătoare a liniei de săgeată w’’ = 2 ε__r / h, se obține un șir de puncte prin care se poate trasa o curbă care dă relația dintre momentul încovoietor și curbură M = M(w’’); această relație nu mai este liniară, iar când ea este cunoscută este posibilă determinarea, prin integrare grafică, a liniei de săgeată corespunzătoare unei anumite repartizări a momentelor. Dacă secțiunea este nesimetrică, calculul devine mai complex, în sensul că pentru fiecare ε__r trebuie determinată și poziția axei neutre.
Fig. 8
Calculul se simplifică într-o anumită măsură dacă, pe lângă simetria secțiunii, se presupune și o relație simplificată între tensiuni și deformații conform fig. 8. Atunci tensiunile din încovoiere după depășirea limitei de curgere au distribuția prezentată în fig. 9, iar momentul de încovoiere este:
iar curbura liniei de săgeată se obține când ecuația (2) se aplică părții secțiunii ale cărei tensiuni se află în domeniul elastic w’’ = σf / Ez’. Dacă forma secțiunii este cunoscută pentru fiecare z’ adoptat, integralele se pot calcula. De exemplu, pentru cazul cel mai simplu al unei secțiuni transversale dreptunghiulare cu lățimea b și înălțimea h este
Dacă aici z’ se exprimă prin w’’, se obține
La secțiunile I și cele asemănătoare, traiectoria curbei M-w’’ în domeniul plastic este și mai puțin abruptă, iar momentul la care apare curgerea este atunci practic egal cu momentul maxim de încovoiere pe care secțiunea îl poate suporta în general. De aceea, importanța încovoirii plastice în construcții nu constă în mărirea momentului de încovoiere pe care secțiunea îl poate prelua, ci în faptul că marea deformație locală care apare la limita de curgere poate duce la o redistribuire favorabilă a eforturilor în sistemele static nedeterminate.
Fig. 9
Aceasta se poate explica pe exemplul unei grinzi continue peste două deschideri. Presupunem că grinda (fig. 10) are deschideri de aceeași lungime, secțiune constantă și este încărcată cu o sarcină uniform distribuită. Atunci, înainte de atingerea limitei de curgere, momentul de deasupra reazemului MB = _pl_2/8. Dacă încărcarea p crește atât de mult încât momentul în secțiunea de reazem ajunge la valoarea Mf, la care apare curgerea, la o creștere ulterioară a încărcării, curbura în acel loc va crește și ea, fără o creștere sensibilă a momentului. Se formează așa-numita balama plastică, adică grinda se comportă sub încărcarea suplimentară ca și cum deasupra reazemului intermediar ar exista o articulație. Încărcarea poate fi mărită în continuare până când și în locul momentului maxim din deschidere începe curgerea. Creșterea ulterioară a momentului de încovoiere nu mai este posibilă, iar capacitatea portantă a grinzii este epuizată. Sarcina sub care apare această stare se numește încărcare limită.
Fig. 10
În general se poate aștepta ca într-un sistem de n ori static nedeterminat să apară (n+1) articulații plastice înainte ca sistemul să devină mobil și astfel să atingă limita sa de rezistență. Totuși, această regulă are excepții în ambele sensuri. După cum arată exemplul menționat, la limita de rezistență pot apărea simultan două articulații plastice noi (în ambele deschideri), astfel încât sistemul încă imobil de până atunci trece brusc într-un sistem cu două grade de libertate. Pe de altă parte este posibil ca și cu mai puțin de (n+1) articulații plastice capacitatea portantă să fie epuizată local, de exemplu atunci când la o grindă continuă cedează numai o singură deschidere. Fig. 11 arată cum se poate întâmpla acest lucru la un sistem static dublu nedeterminat cu n=2 articulație plastică. Dacă pe partea dreaptă a grinzii se adaugă și a patra deschidere, grinda devine triplu static nedeterminată, astfel că sunt suficiente (n-1) articulații plastice pentru ca numai deschiderea din stânga să fie adusă la limita de rezistență.
Fig. 11
Tensiuni tangențiale la încovoiere
Calcul elementar
Fig. 12
Tensiunile normale σ, adică tensiunile care apar de fapt în urma încovoirii, nu sunt singurele tensiuni din bara încovoiată, ci alături de ele apar și tensiuni tăietoare, ca urmare a acțiunii forței transversale. Având în vedere că trăsătura de bază a teoriei tehnice a încovoirii constă în faptul că deformațiile provocate de tensiunile tăietoare sunt neglijate, acestea pot fi determinate numai din condițiile de echilibru. Pentru a le stabili, elementul grinzii dx se taie, așa cum este indicat în fig. 12, de un plan orizontal în două părți, iar apoi se formulează condiția de echilibru a forțelor orizontale care acționează asupra părții inferioare. În partea stângă acestea sunt forțele interne exprimate prin tensiunile σ datorate încovoirii, pentru care trebuie integrat de la z’ = z la z’ = h2
Pe partea dreaptă acționează aceleași tensiuni, dar mărite cu diferențialul corespunzător momentului de încovoiere M + dM. Diferența dintre forțele de pe ambele părți ale elementului trebuie să fie în echilibru cu forța datorată tensiunilor tangențiale τ care acționează în suprafața secțională orizontală t dx:
Aici integrala reprezintă momentul static al părții secțiunii transversale delimitate de un plan transversal orizontal, raportat la axa de greutate a secțiunii. Ea se notează cu S. Din dM/dx = Q, în baza condiției de echilibru, se obține:
τ = QS/It. (8)
Aceasta este, conform teoriei conjugării tensiunilor tangențiale, totodată valoarea tensiunii tangențiale verticale care acționează în suprafața secțiunii transversale și care, împreună cu S și t, este o funcție de z.
Fig. 13
Fig. 13.1
Ecuația (8) oferă date sigure la toate secțiunile cu pereți subțiri dacă planul de secțiune nu este așezat paralel cu axa neutră, ci în direcția grosimii peretelui. Prin urmare, profilul I se taie transversal prin inimă și transversal prin talpă, obținându-se distribuția tensiunilor prezentată în fig. 13.1. În cazul secțiunii inelare (fig. 13) tensiunile tangențiale sunt distribuite simetric față de diametrul vertical și la stânga și la dreapta axei neutre ating valoarea maximă
τ = Q / πrt.
Dacă secțiunea este tăiată în punctul cel mai înalt sau cel mai jos, distribuția tensiunilor tangențiale nu se modifică; însă, dacă este tăiată la capătul drept al diametrului orizontal (fig. 14), tensiunea tangențială în acel punct este egală cu zero, în timp ce valoarea ei se dublează la capătul stâng al aceluiași diametru.
Fig. 14
Secțiuni pline
La secțiunile pline de formă arbitrară, problema tensiunilor tangențiale este strâns legată de problematica torsiunii. Ecuația elementară (8) în acest caz nu mai este sigură. Pentru o secțiune circulară de rază r, ecuația (8) dă
τ = 4Q / 3__πr2
ca valoare medie a tensiunii tangențiale de-a lungul axei neutre, iar valoarea exactă este numai cu câteva procente mai mare.
Centrul de forfecare
Dacă pentru secțiunea U se calculează tensiunile tăietoare în modul descris mai sus, se obține distribuția tensiunilor prezentată în fig. 15. Rezultanta forțelor interne corespunzătoare este forța transversală Q. Din figură se poate observa poziția ei față de secțiune, deci că nici nu trece prin centrul de greutate al secțiunii, nici nu se află în planul inimii. Dacă forța transversală calculată pe baza forțelor exterioare nu are poziția prezentată în fig. 15, grinda nu este solicitată doar la încovoiere, ci și la torsiune.
Dacă pentru aceeași secțiune transversală se determină rezultanta corespunzătoare tensiunilor tăietoare pentru o anumită încărcare orizontală, se obține linia de acțiune a forței transversale orizontale. La intersecția acestor două linii de acțiune se află punctul caracteristic al secțiunii transversale date, numit centrul de forfecare M. În elementul portant nu apar tensiuni datorate torsiunii atunci când centrele de forfecare ale tuturor secțiunilor transversale se află pe o singură dreaptă, iar toate sarcinile perpendiculare pe axa tijei trec prin acea dreaptă. În caz contrar, momentul fiecărei sarcini față de dreapta care unește centrele de forfecare reprezintă forfecarea de torsiune.
Fig. 15
Influența forței transversale asupra încovoirii
Teoria tehnică a încovoirii se bazează pe neglijarea deformațiilor produse de tensiunile tăietoare. Prin urmare, ea se poate aplica în mod real la barele zvelte, la care această neglijare este justificată și unde forța transversală nu are o influență simțitoare asupra încovoirii.
Experiența a arătat însă că teoria tehnică a încovoirii poate fi aplicată cu un anumit succes și la stâlpi scurți și înalți, pentru care, de fapt, nu este deloc destinată. Atunci apare necesitatea ca influența deformației datorate tensiunilor tăietoare, neglijată în această teorie, să fie luată în considerare ulterior, cel puțin aproximativ.
La fel ca și tensiunile tăietoare τ produse de forțele transversale, și alunecările corespunzătoare γ_’ =_ τ_/G_ sunt distribuite neuniform pe secțiune. De aceea se introduce valoarea lor medie γ, care se determină astfel încât forța transversală, la această valoare medie a deformației, să exercite asupra elementului de grindă dx un lucru de deformație egal cu cel care s-ar obține prin integrarea lucrărilor tensiunilor tăietoare pe elementele volumetrice individuale care alcătuiesc elementul de grindă considerat:
de unde este
Integrala poate fi calculată când este cunoscută distribuția tensiunilor tangențiale pe secțiune. Deoarece toate tensiunile tangențiale sunt proporționale cu Q/F, valoarea sa este proporțională cu Q2/F2 * F, iar dacă se pune că ea este κ__Q2/F, se obține
γ = κ__Q / GF.
Constanta κ se numește coeficientul de repartizare a tensiunilor tăietoare. Pentru secțiuni dreptunghiulare, κ=1,2.
Fig. 16
Când coef. κ, și, prin urmare, și alunecarea medie γ sunt cunoscute, se poate calcula săgeata suplimentară wQ, apărută sub acțiunea forțelor transversale, care trebuie adăugată săgeților w: deoarece, potrivit fig. 16, este
deci, din cauza Q = dM/dx:
prin care constanta de integrare se obține dintr-o condiție de frontieră.