Tensões normais em barras retas e barras com pequena curvatura
Definição das forças de secção
Considere-se uma barra reta submetida a forças de direção arbitrária, admitindo-se apenas que todas se situam num mesmo plano (plano das forças) que passa pelo eixo da barra (linha que liga os centros de gravidade das secções transversais).
Fig. 1
Para calcular as tensões que atuam numa secção transversal n – n (fig. 1), é necessário conhecer a força que, através desta secção, é transmitida de uma parte da barra para a outra. Ela é, evidentemente, igual em magnitude e posição à resultante de todas as forças que atuam numa parte da barra. Esta resultante é decomposta em componentes num sistema de coordenadas cuja x-eixo coincide com o eixo da barra e cujo z-eixo é a linha ao longo da qual o plano da secção transversal intercepta o plano das forças. A componente na direção do eixo z chama-se força transversal Q ou Qz e, no caso de uma viga simples, considera-se positiva se, à esquerda da secção, tem sentido ascendente e, à direita, descendente.
Quando a barra é curva, os eixos coordenados x e z têm, em cada secção, uma direção diferente, e isso sempre de modo que o eixo x seja tangente ao eixo da barra. Se o plano em que se situa o eixo da barra não coincidir com o plano das forças, ou se o eixo da barra for uma curva espacial, a resultante das forças à esquerda da secção tem também uma terceira componente, a força transversal Qy. Com N, Qz e Qy ficam determinados a magnitude e o sentido da força transmitida através da secção, mas não a sua posição. Para isso, é necessário conhecer também os seus momentos em relação aos eixos coordenados. No caso de flexão plana, basta que seja conhecido o momento de flexão M ou My. No caso mais geral, surge ainda um momento de flexão Mz e um momento em torno do eixo x, Mx.
As seis forças e momentos definidos na exposição anterior são abrangidos pelo termo comum «esforços de secção». A sua determinação é uma das tarefas fundamentais da estática das estruturas de construção.
Entre a carga distribuída continuamente p (dimensão: força por unidade de comprimento), a força transversa Q e o momento fletor M existe, no caso de flexão plana, uma relação simples. Com efeito, das condições de equilíbrio de um elemento de barra (fig. 2) obtém-se
dQ + p dx = 0,
dM = Q dx;
portanto
Q = dM/dx,
p = - dQ/dx = - d2M/dx2. (1a, b)
Fig. 2
Distribuição das tensões normais
Se a barra estiver solicitada apenas por uma força axial, na secção aparece somente a tensão normal σ uniformemente distribuída (barra tracionada, resp. comprimida). Se, além disso, surgir um momento fletor, essas tensões devem de algum modo ficar desigualmente distribuídas, de modo que a sua resultante já não passe pelo centro de gravidade da secção. Para determinar essa distribuição, a teoria técnica da flexão não parte da solução rigorosa das equações fundamentais, mas substitui uma parte dessas equações por uma hipótese plausível que, num caso particularmente simples, é também rigorosamente satisfeita. Esse caso especial é a flexão de uma barra prismática retilínea sem atuação de forças transversais (fig. 3). Todos os elementos da barra suficientemente afastados das suas extremidades sofrem a mesma deformação, de onde se segue diretamente que o eixo da barra se transforma num arco de circunferência e que todos os planos das secções transversais, originalmente perpendiculares ao eixo da barra, permanecem planos durante a deformação, porque cada um deles é um plano de simetria para as partes vizinhas da barra deformada. Impõe-se naturalmente a hipótese de que as secções transversais permanecem aproximadamente planas mesmo quando o momento fletor e a secção transversal da barra não são constantes, mas variam gradualmente ao longo da barra. Essa hipótese, chamada hipótese de Navier, constitui a base da teoria da flexão.
Fig. 3
Grandeza das tensões normais
Quando um elemento direito de viga é fletido, uma parte das suas «fibras», isto é, das linhas materiais paralelas ao eixo da barra, alonga-se, enquanto a outra parte se encurta (fig. 4). Entre estas duas partes situam-se as fibras neutras z=0, cujo comprimento não se altera durante a flexão. Seja o raio de curvatura destas fibras no estado fletido ϱ e seja ele situado no plano x-z. A partir da fig. 4 m pode ler-se
Δ dx/z = _dx/_ϱ
e daí calcular a dilatação das fibras à distância z do eixo neutro, que é
ε = Δ dx/dx = _z/_ϱ
pelo que, com base na lei de Hooke-o, a tensão
σ _= Ez/_ϱ (2)
Fig. 4
Essa tensão é proporcional à distância das fibras neutras. Tal resultado está ligado à suposição de que, antes da deformação, todas as fibras do elemento da barra tinham o mesmo comprimento, de modo que a barra era inicialmente reta, ou pelo menos com uma curvatura tão pequena que o efeito da curvatura podia ser desprezado. A reta ao longo da qual se interceptam a camada neutra e o plano da secção denomina-se eixo neutro. Adotamo-lo como eixo y (fig. 5). A posição do eixo neutro na secção transversal obtém-se pela condição de equilíbrio das forças na direção do eixo x: se a força normal N=0 (flexão sem força normal), então também a resultante das forças internas expressa pelas tensões normais na secção deve ser igual a zero:
A integral do lado direito é o momento estático da área em relação ao eixo y. Para que seja igual a zero, esse eixo deve ser um dos eixos centrais.
O momento M que provoca a deformação tem, em relação aos eixos y e z no plano da secção (fig. 5), as componentes:
Eq. (3)
sendo Iy, Iyz os momentos de inércia equatorial e centrífugo da seção em relação aos eixos indicados.
O caso especial mais importante é quando Mz=0. Este caso ocorre quando Iyz=0, ou seja, quando y e z são os eixos principais de inércia da secção. Isto significa que o plano de flexão aqui adotado coincide com o plano x-z, no qual atua o momento fletor M=My, isto é, com o plano das forças.
Fig. 5
Se das equações (2) e (3) se eliminar _E/_ϱ, obtém-se a forma para determinar as tensões na flexão pura (Iy=I):
σ = M/I * z (4)
para os pontos de borda 1 e 2 é especialmente:
σ1 = M/I * h1 = M/W1, σ2 = - M/I * h2 = - M/W2. (5)
As grandezas W1,2 = I/h1,2 (dimensão: comprimento ao cubo) chamam-se momentos resistentes. Se o eixo horizontal do centro de gravidade coincidir também com o eixo de simetria da secção, então W1 = W2, pelo que as tensões de bordo são iguais em valor absoluto.
Linha elástica
Fig. 6
A importância dos padrões acima referidos está ligada à lei de Hooke. Isso exige que σ << E, portanto, segundo (2) h << ϱ. No entanto, a curvatura pode ser tal que ϱ seja da mesma ordem de grandeza que o comprimento da barra l. Nos elementos curvos que interessam na construção civil, este caso não ocorre; ϱ é sempre consideravelmente maior do que l e, por conseguinte, a flecha w << l (fig. 6). Então, aproximadamente, vale:
1/ ϱ = - d2w/dx2 = -w’’
e com base em (3):
w’’ = - M/EI.
Esta equação e a condição de equilíbrio (1b) constituem um sistema de equações diferenciais de uma barra fletida. Por eliminação, podem ser reduzidas a uma única equação de quarta ordem:
wIV = + p/EI
ou, no caso de o momento de inércia ser variável:
(EIw’’)’’ = +p.
Através deles, por integração, pode-se encontrar a forma da linha elástica quando a carga é dada por p=p(x) e quando, para cada caso da barra, são conhecidas duas condições de contorno. Destas, pelo menos duas devem referir-se à deformação. Para mais pormenores, ver o artigo Estática das estruturas de construção.
Núcleo da secção
Se o eixo neutro cortar a secção transversal, ele divide-a numa zona de tração e numa zona de compressão. Nos materiais com baixa resistência à tração, coloca-se a questão de onde deve atuar a força de compressão, se na secção transversal não pode ocorrer tração em nenhum ponto. A posição do ponto de aplicação da força fica então limitada à região chamada núcleo da secção. O limite do núcleo é, evidentemente, o lugar geométrico dos pontos cujos eixos neutros tangenciam a secção transversal ao longo do contorno. Assim, fica também definida a sua construção.
A distância da fronteira do núcleo ao centro de gravidade, medida em qualquer direção, será indicada por k com o índice correspondente a essa direção. Para os eixos principais de inércia, segundo a equação
σ = N/F + Mz/Iz y + My/Iy z (6)
as expressões são as seguintes:
ky = i2z / ey, kz = i2y / ez. (7)
Para uma secção transversal circular de raio r, a distância do núcleo é k = r/4, e para um anel circular (raios: exterior R, interior r) k = (R2 + r2) / 4R.
Para o retângulo (fig. 7) tem-se ky = 1/6 b, kz = 1/6 h. Assim, sob carregamento de uma seção retangular num dos planos de simetria (mas só então) basta que a resultante atue no terço médio da altura ou da largura da seção transversal, para que as tensões na seção tenham o mesmo sinal.
Fig. 7
Flexão na zona plástica
Quando, nas fibras extremas de uma barra fletida, é atingido o limite de escoamento, a sua capacidade resistente ainda não se esgota, pois, enquanto as fibras exteriores se deformam plasticamente sob tensão constante, nas partes situadas mais próximas do eixo neutro, onde o limite de escoamento ainda não foi atingido, a tensão aumenta, aumentando assim também o momento fletor que a secção pode suportar.
Se o curso exato do diagrama de tensões e deformações for conhecido, o processo, para secções duplamente simétricas (altura h), pode ser facilmente acompanhado por cálculo, de modo que, admitindo que as secções permanecem planas, se determine, a partir do diagrama de tensões e deformações, a distribuição das tensões σ devidas à flexão correspondente a uma determinada dilatação adotada das fibras extremas ε__r e, daí, por integração, se determine o momento fletor. Se isto for feito para diferentes ε__r e, por outro lado, se calcular a curvatura correspondente da linha de flecha w’’ = 2 ε__r / h, obtém-se uma série de pontos através dos quais se pode traçar uma linha que fornece a relação entre o momento fletor e a curvatura M = M(w’’); esta relação já não é linear e, quando conhecida, permite determinar, por integração gráfica, a linha de flecha correspondente a uma dada distribuição de momentos. Se a secção for assimétrica, o cálculo torna-se mais complexo, na medida em que, para cada ε__r, também é necessário determinar a posição do eixo neutro.
Fig. 8
O cálculo é simplificado em certa medida se, além da simetria da seção, for também admitida a relação simplificada entre tensões e deformações, de acordo com a fig. 8. Nesse caso, as tensões devidas à flexão, após ultrapassado o limite de escoamento, têm a distribuição mostrada na fig. 9, e o momento fletor é:
e a curvatura da linha de flecha obtém-se quando a equação (2) é aplicada à parte da secção cujas tensões se encontram na zona elástica w’’ = σf / Ez’. Se a forma da secção for conhecida para cada z’ adotado, os integrais podem ser calculados. Por exemplo, no caso mais simples de uma secção transversal retangular de largura b e altura h, tem-se
Se aqui z’ for expresso em função de w’’, obtém-se
No caso de perfis I e semelhantes, o traçado da curva M-w’’ na zona plástica é ainda mais achatado e o momento em que ocorre o escoamento é então praticamente igual ao maior momento fletor que a secção pode suportar. Por isso, a importância da flexão plástica na construção civil não consiste no aumento do momento fletor que a secção pode suportar, mas sim no facto de a grande deformação local que ocorre no limite de escoamento poder conduzir a uma alteração favorável da distribuição dos esforços em sistemas estáticamente indeterminados.
Fig. 9
Isto pode ser explicado pelo exemplo de uma viga contínua sobre dois vãos. Suponhamos que a viga (fig. 10) tenha vãos de igual comprimento, secção constante e esteja carregada por uma carga uniformemente distribuída. Então, antes de atingir o limite de escoamento, o momento sobre o apoio MB = _pl_2/8. Se a carga p aumentar tanto que o momento na secção de apoio atinja o valor Mf, no qual ocorre o escoamento, com o aumento posterior da carga nesse ponto a curvatura também aumentará sem acréscimo sensível do momento. Forma-se o chamado rótula plástica, isto é, a viga, sob a carga adicional, comporta-se como se houvesse uma rótula sobre o apoio intermédio. A carga pode ser aumentada ainda mais até que o escoamento também se inicie no ponto do maior momento no vão. O aumento posterior do momento fletor já não é mais possível e a capacidade resistente da viga fica esgotada. A carga sob a qual ocorre esse estado chama-se carga limite.
Fig. 10
Em geral, pode-se esperar que, num sistema estáticamente indeterminado n vezes, tenha de surgir (n+1) rótulas plásticas antes que o sistema se torne móvel e, assim, atinja o seu limite de capacidade resistente. Esta regra, porém, tem exceções em ambos os sentidos. Como mostra o exemplo referido, no limite de capacidade resistente podem surgir simultaneamente duas novas rótulas plásticas (em ambos os vãos), de modo que o sistema, até então ainda imóvel, passa de repente a um sistema com dois graus de liberdade. Por outro lado, é possível que a capacidade resistente se esgote localmente mesmo com menos de (n+1) rótulas plásticas, por exemplo quando, numa viga contínua, cede apenas um vão. A fig. 11 mostra como isso pode acontecer num sistema estaticamente duplamente indeterminado com n=2 rótulas plásticas. Se, no lado direito da viga, se acrescentar ainda um quarto vão, a viga torna-se estaticamente tripla indeterminada, sendo então suficientes (n-1) rótulas plásticas para levar apenas o vão esquerdo ao limite de capacidade resistente.
Fig. 11
Tensões de cisalhamento na flexão
Cálculo elementar
Fig. 12
As tensões normais σ, ou seja, as tensões que na verdade surgem devido à flexão, não são as únicas tensões na barra fletida; além delas, também aparecem tensões de corte devido à ação da força transversal. Tendo em conta que a característica fundamental da teoria técnica da flexão consiste em desprezar as deformações devidas às tensões de corte, estas só podem ser determinadas a partir da condição de equilíbrio. Para a estabelecer, o elemento de viga dx é cortado, como indicado na fig. 12, por um plano horizontal em duas partes, e estabelece-se a condição de equilíbrio das forças horizontais que atuam sobre a parte inferior. Do lado esquerdo, trata-se das forças internas expressas pelas tensões σ devidas à flexão, que devem ser integradas de z’ = z até z’ = h2
No lado direito atuam as mesmas tensões, porém aumentadas pelo diferencial, em conformidade com o respetivo momento fletor M + dM. A diferença entre as forças em ambos os lados do elemento deve estar em equilíbrio com a força resultante das tensões de cisalhamento τ que atuam na superfície de secção horizontal t dx:
Aqui, a integral representa o momento estático da parte da secção transversal separada por um plano transversal horizontal em relação ao eixo centroidal da secção. Ele é обозначado por S. De dM/dx = Q, a partir da condição de equilíbrio, obtém-se:
τ = QS/It. (8)
Isso é, de acordo com o princípio da conjugação das tensões de corte, simultaneamente o valor da tensão de corte vertical que atua na superfície da secção transversal e que, juntamente com S e t, é função de z.
Fig. 13
Fig. 13.1
A equação (8) fornece dados fiáveis em todas as secções de paredes delgadas, se o plano da secção não for colocado paralelamente ao eixo neutro, mas na direção da espessura da parede. Assim, o perfil I é cortado transversalmente pela alma e transversalmente pela flange, obtendo-se a distribuição de tensões apresentada na fig. 13.1. No caso da secção anular (fig. 13), as tensões de corte distribuem-se simetricamente em relação ao diâmetro vertical e, à esquerda e à direita da linha neutra, atingem o máximo
τ = Q / πrt.
Se a secção for cortada no ponto mais alto ou mais baixo, a distribuição das tensões de corte não se altera; no entanto, se for cortada na extremidade direita do diâmetro horizontal (fig. 14), a tensão de corte nesse ponto é igual a zero, enquanto o seu valor duplica na extremidade esquerda do mesmo diâmetro.
Fig. 14
Secções cheias
Nos perfis maciços de forma arbitrária, o problema das tensões de corte está estreitamente ligado à questão da torção. A equação elementar (8) nesse caso já não é fiável. Para uma secção circular de raio r, a equação (8) fornece
τ = 4Q / 3__πr2
como valor médio da tensão de corte ao longo do eixo neutro, sendo o valor exato apenas alguns por cento superior.
Centro de corte
Se, para a secção U, as tensões de cisalhamento forem calculadas da maneira descrita acima, obtém-se a distribuição de tensões mostrada na fig. 15. A resultante das forças internas correspondentes é a força transversal Q. Pela figura pode-se ver a sua posição em relação à secção, ou seja, que ela nem passa pelo centro de gravidade da secção, nem se encontra no plano da alma. Se a força transversal calculada com base nas forças externas não tiver a posição mostrada na fig. 15, a viga não é solicitada apenas à flexão, mas também à torção.
Se, para a mesma seção transversal, se determinar a resultante correspondente às tensões de cisalhamento para uma determinada carga horizontal, obtém-se a linha de ação da força transversal horizontal. No cruzamento dessas duas linhas de ação encontra-se o ponto característico da seção transversal dada, denominado centro de cisalhamento M. No apoio não surgem tensões devidas à torção quando os centros de cisalhamento de todas as seções transversais se situam numa mesma reta e todas as cargas perpendiculares ao eixo da barra passam por essa reta. Caso contrário, o momento de cada carga em relação à reta que une os centros de cisalhamento representa o cisalhamento torsional.
Fig. 15
Influência da força transversal na flexão
A teoria técnica da flexão baseia-se na desconsideração das deformações devidas às tensões de corte. Assim, ela pode realmente ser aplicada a barras esbeltas, nas quais essa simplificação é justificada e onde a força transversal não exerce influência sensível sobre a flexão.
A experiência, no entanto, mostrou que a teoria técnica da flexão pode, com certo êxito, ser aplicada também a apoios curtos e altos, para os quais, na verdade, ela não foi concebida. Nesse caso, surge a necessidade de considerar, pelo menos aproximadamente e a posteriori, a influência da deformação devida às tensões de cisalhamento, que nesta teoria é desprezada.
Do mesmo modo que as tensões de cisalhamento τ devidas às forças transversais e os correspondentes deslizamentos γ_’ =_ τ_/G_ estão distribuídos de forma não uniforme pela seção. Por isso, introduz-se o seu valor médio γ, determinado de modo que a força transversal, para esse valor médio da deformação, realize no elemento de viga dx um trabalho de deformação igual ao que se obteria pela integração dos trabalhos das tensões de cisalhamento nos elementos volumétricos individuais que compõem o elemento de viga considerado:
de onde resulta
A integral pode ser calculada quando é conhecida a distribuição das tensões de cisalhamento na seção. Como todas as tensões de cisalhamento são proporcionais a Q/F, o seu valor é proporcional a Q2/F2 * F, e, colocando-se que ele é κ__Q2/F, obtém-se
γ = κ__Q / GF.
A constante κ chama-se coeficiente de distribuição das tensões de corte. Para secções retangulares, κ=1,2.
Fig. 16
Quando o coef. κ, e, por conseguinte, o deslizamento médio γ, são conhecidos, pode-se calcular a flecha adicional wQ, causada pela ação das forças transversais, que deve ser somada às flechas w: pois, conforme a fig. 16, é
por isso, devido a Q = dM/dx:
sendo que a constante de integração é obtida a partir de uma condição de contorno.