Vienkārša locīšana un parastā spēka locīšana

Normāls spriegums reālā stāvoklī stieņi un stieņi ar nelielu izliekumu

Bīdes spēku definīcija

Ļaujiet taisnam stienim būt noslogotam ar patvaļīga virziena spēkiem, kas atrodas tikai vienā plaknē (spēka plaknē), kas iet caur stieņa asi (līnija, kas savieno šķērsgriezumu centroīdus).

Sl. 1

Lai aprēķinātu spriegumus, kas darbojas šķērsgriezumā n - n (1. att.), ir jāzina spēks, kas caur šo posmu tiek pārnests no vienas stieņa daļas uz otru. Pēc lieluma un stāvokļa tas acīmredzami ir vienāds ar visu to spēku rezultantu, kas iedarbojas uz vienu stieņa daļu. Šis rezultāts tiek sadalīts komponentos koordinātu sistēmā, kuras x- ass sakrīt ar nūjas asi, a z- līnijas ass, pa kuru šķērsgriezuma plakne krustojas ar spēka plakni. Komponents ass virzienā z to sauc par šķērsvirziena spēku Q vai Q_z un vienkārša stara gadījumā tas tiek uzskatīts par pozitīvu, ja virziens pa kreisi no sekcijas ir uz augšu, bet pa labi - uz leju.

Kad stienis ir izliekts, koordinātu asis x i z tiem ir atšķirīgs virziens katrā šķērsgriezumā, un tā tas ir vienmēr x- ass pieskares stieņa asij. Ja plakne, kurā atrodas stieņa ass, nesakrīt ar spēku plakni vai ja stieņa ass ir telpiska līkne, rezultējošajam spēkam pa kreisi no krustojuma ir trešā sastāvdaļa, šķērsspēks. Q_y. Tā N, Q_z i Q_y tiek noteikts šķērsgriezumā pārnestā spēka lielums un virziens, bet ne tā atrašanās vieta. Šim nolūkam ir jāzina tā momenti attiecībā pret koordinātu asīm. Plakanās lieces gadījumā pietiek zināt lieces momentu M vai M_y. Vispārīgākajā gadījumā parādās cits lieces moments M_z un brīdis par x- asis, M_x.

Iepriekšējā prezentācijā definētie seši spēki un momenti ir iekļauti ar vispārpieņemto nosaukumu "krustošanās spēki". To noteikšana ir viens no būvkonstrukciju statikas pamatuzdevumiem.

Starp nepārtraukti sadalītu slodzi p (izmērs: spēks uz garuma vienību), šķērsspēki Q un lieces moments M plakanas lieces gadījumā pastāv vienkārša sakarība. Proti, no viena stieņa elementa līdzsvara stāvokļa (2. att.) tiek iegūts

dQ + p dx = 0,

dM = Q dx;

tāpēc

Q = dM/dx, 

p = – dQ/dx = - d²M/dx². (1.a, b)

Sl. 2

 

Normālo spriegumu sadalījums

Ja stienis ir noslogots tikai ar aksiālu spēku, sekcijā parādās tikai vienmērīgi sadalīts normālspriegums σ (pievelciet vai nospiediet stieni). Ja papildus parādās lieces moments, šiem spriegumiem kaut kādā veidā ir jābūt nevienmērīgi sadalītiem, lai to radītais vairs neizietu caur sekcijas smaguma centru. Lai noteiktu šo izkārtojumu, tehniskā lieces teorija nesākas no stingra pamatvienādojumu atrisinājuma, bet aizvieto vienu šo vienādojumu daļu ar ticamu pieņēmumu, kas arī stingri izpildās vienā īpaši vienkāršā gadījumā. Šis īpašais gadījums ir prizmatiska stieņa taisna locīšana bez šķērsspēku iedarbības (3. att.). Visi stieņa elementi, kas atrodas pietiekami tālu no tā galiem, cieš vienādu deformāciju, no kā uzreiz izriet, ka stieņa ass pārvēršas apļa lokā un visas šķērsgriezumu plaknes, kas sākotnēji bija perpendikulāras stieņa asij. stienis deformācijas laikā paliek plakans, jo katrs no tiem ir simetrijas plakne blakus esošajām deformētā stieņa daļām. Ir dabiski pieņemt, ka šķērsgriezumi paliek aptuveni plakani arī tad, ja lieces moments un stieņa šķērsgriezums nav nemainīgs, bet gan pakāpeniski mainās gar stieni. Šis pieņēmums sauc Navjē- šī hipotēze ir lieces teorijas pamatā.

Sl. 3

Normālo spriegumu lielums

Kad īsts sijas elements ir saliekts, viena tā "šķiedru" daļa, t.i. materiāla līniju paralēli stieņa asij, tiek izstiepta, bet otra daļa ir saīsināta (4. att.). Starp šīm divām daļām atrodas neitrālas šķiedras z=0, kuras garums lieces laikā nemainās. Lai šo šķiedru izliekuma rādiuss būtu saliektā stāvoklī ϱ un ļaujiet viņam gulēt x-z dzīvoklis. No att. 4 var izlasīt

Δ dx/z = dx/ϱ

un no turienes aprēķiniet šķiedru dilatāciju attālumā z no neitrālās ass, kas ir

ε = Δ dx/dx = z/ϱ

tāpēc tas ir balstīts uz Hookešī likuma sprieguma

σ = Ez/ϱ (2)

Sl. 4

Šis spriegums ir proporcionāls attālumam no neitrālās šķiedras. Šāds rezultāts ir saistīts ar pieņēmumu, ka pirms deformācijas visas stieņa elementa šķiedras bija vienāda garuma, tāpēc stienis sākotnēji bija taisns vai vismaz ar tik mazu izliekumu, ka izliekuma ietekmi var atstāt novārtā. . Līniju, pa kuru krustojas neitrālais slānis un griezuma plakne, sauc par neitrālu asi. Mēs viņu adoptējam y- ass (5. att.). Neitrālās ass novietojums šķērsgriezumā tiek iegūts no spēku līdzsvara stāvokļa virzienā x-vārpstas: ja tas ir normāls spēks N=0 (liece bez normālā spēka), tad iekšējo spēku rezultantam, kas izteikts ar normāliem spriegumiem griezumā, arī jābūt vienādam ar nulli:

Labajā pusē esošais integrālis ir virsmas statiskais moments attiecībā pret y- ass. Lai tā būtu vienāda ar nulli, šai asij jābūt vienai no gravitācijas asīm.

Momentam M, kas izraisa deformāciju, attiecībā pret yizu šķērsgriezuma plaknes asīm (5. att.) ir šādas sastāvdaļas:

Viens. (3)

kur viņi ir I_y, Es_yz sekcijas ekvatoriālais un centrbēdzes inerces moments attiecībā pret norādītajām asīm.

Vissvarīgākais ir īpašais gadījums, kad M_z=0. Šis gadījums notiek, kad I_yz=0, t.i. kad tie ir y i z sekcijas galvenās inerces asis. Tas nozīmē, ka šeit pieņemtā lieces plakne ir ar xz-plakne sakrīt ar plakni, kurā iedarbojas lieces moments M=M_y, tas ir no spēka plaknes.

Sl. 5

Ja no vienādojuma (2) un (3) tiek izslēgts E/ϱ, tiek iegūta forma sprieguma noteikšanai plakanā liecē (I_y=I):

σ = M/I * z (4)

jo īpaši malas punktam 1 un 2 ir:

σ₁ = M/I * h₁ = M/W₁, σ₂ = – M/I * h₂ = – V/S₂. (5)

Izmēri W_1,2 = I/h_1,2 (izmērs: garums līdz trešdaļai) sauc par pretestības momentiem. Ja horizontālā gravitācijas ass ir arī griezuma simetrijas ass, tad tā ir W₁ = W₂, tāpēc malu spriegumi ir vienādi absolūtā lielumā.

Elastīga līnija

Sl. 6

Iepriekš minēto modeļu nozīme ir saistīta ar Huka likumu. Tas prasa, lai tā būtu σ << E, tāpēc saskaņā ar (2) h << ϱ. Tomēr liecei jābūt tik lielai, lai tā būtu ϱ tādā pašā lielumā kā stieņa garums l. Ar izliektiem stieņiem, kas tiek ņemti vērā būvniecībā, šis gadījums nenotiek; tā vienmēr ir ϱ ievērojami lielāka par li tāpēc novirze w << l (6. att.). Tad aptuveni:

1/ ϱ = - d²w/dx² = -w''

un pamatojoties uz (3):

w'' = – M/EI.

Šis vienādojums un līdzsvara nosacījums (1b) veido saliekta stieņa diferenciālvienādojumu sistēmu. Izslēdzot, tos var reducēt uz vienu ceturtās kārtas vienādojumu:

w^IV = + p/EI

vai, ja inerces moments ir mainīgs:

(EIw'')'' = +p.

No tiem ar integrāciju var atrast elastīgās līnijas formu, kad ir dota slodze p=p(x) un kad katram stieņa gadījumam ir zināmi divi robežnosacījumi. No tiem vismaz diviem ir jāattiecas uz deformāciju. Sīkāku informāciju skatiet rakstu Būvkonstrukciju statika.

Galvenā sadaļa

Ja neitrālā ass sagriež šķērsgriezumu, tā sadala to spriegojuma zonā un saspiešanas zonā. Materiālu ar zemu stiepes izturību gadījumā rodas jautājums, kur spiedes spēkam vajadzētu uzbrukt, ja šķērsgriezumā nekur nedrīkst rasties spriedze. Pēc tam spēku uzbrukuma punkta atrašanās vieta tiek ierobežota ar apgabalu, ko sauc galvenā sadaļa. Kodola robeža ir acīmredzams ģeometrisks punktu lokuss, kura neitrālās asis pieskaras apkārtmēra šķērsgriezumam. Tas arī dod tā konstrukciju.

Serdes robežas attālums no smaguma centra, mērot jebkurā virzienā, tiks apzīmēts ar k indekss, kas atbilst šim virzienam. Galvenajām inerces asīm saskaņā ar vienādojumu

σ = N/F + M_z/I_z y + M_y/I_y ar (6)

izteicieni ir šādi:

k_y =i²_z /e_y, k_z =i²_y /e_z. (7)

Apļveida šķērsgriezumam ar rādiusu r serdes attālums ir k = r/4, un apļveida gredzenam (rādiusi: ārējais R, iekšējais r) k = (R² +r²) / 4R.

Taisnstūrim (7. att.) tā ir k_y = 1/6 b, k_z = 1/6 h. Tāpēc, noslogojot taisnstūra šķērsgriezumu vienā no simetrijas plaknēm (bet tikai tad), pietiek ar to, ka rezultējošie uzbrūk šķērsgriezuma augstuma vai platuma vidējā trešdaļā, lai spriegumi šķērsgriezumam ir tāda pati zīme.

Sl. 7

Liekšana plastmasas reģionā

Kad saliektā stieņa malu šķiedrās ir sasniegta tecēšanas robeža, tā nestspēja vēl nav izsmelta, jo, kamēr ārējās šķiedras pie pastāvīga sprieguma tiek plastiski deformētas, daļās, kas atrodas tuvāk neitrālajai asij, kur iznākums. punkts vēl nav sasniegts, palielinās spriegums, tādējādi palielinot lieces momentu, ko sekcija var uzņemt.

Ja ir zināma precīza spriedzes un deformācijas diagrammas gaita, process tiek veikts vairākiem simetriskiem posmiem (augstumiem h) var viegli sekot aprēķiniem tādā veidā, ka, pieņemot, ka šķērsgriezumi paliek plakani, sprieguma sadalījumu nosaka no sprieguma-deformācijas diagrammas σ lieces dēļ, kas atbilst kādai pieņemtajai gala šķiedru dilatācijai ε_r un no turienes, integrējot, nosaka lieces momentu. Ja tas tiek īstenots dažādiem ε_r un no otras puses, tiek aprēķināta atbilstošā lieces līnijas līkne w'' = 2 ε_r / h, tiek iegūta punktu virkne, caur kurām var novilkt līniju, kas dod saistību starp lieces momentu un līkni M = M(w''); šī sakarība vairs nav lineāra, un, kad tā ir zināma, ar grafisku integrāciju iespējams noteikt dotajam momentu sadalījumam atbilstošo novirzes līniju. Ja krustojums ir asimetrisks, aprēķins kļūst sarežģītāks, jo katram ε_r viņam arī jānosaka neitrālās ass pozīcija.

Sl. 8

Aprēķins zināmā mērā tiek vienkāršots, ja papildus sekcijas simetrijai tiek pieņemts vienkāršots savienojums starp spriegumu un izplešanos saskaņā ar att. 8. Tad spriegumi, kas radušies lieces dēļ pēc tecēšanas robežas pārsniegšanas, ir izkārtojušies, kā parādīts att. 9 un lieces moments ir:

tātad lieces līnijas līkne tiek iegūta, kad vienādojums (2) tiek piemērots sekcijas daļai, kuras spriegumi atrodas elastīgajā zonā w'' = σ_f / Ez'. Ja katram pieņemtajam ir zināma sekcijas forma z' integrāļus var aprēķināt. Piemēram vienkāršākajam taisnstūra šķērsgriezuma platuma gadījumam b un augstums h je

Ja šeit z' izteikti izmantojot w'', tiek iegūts ar

I-posmos un līdzīgos plūst M-w'' līkne plastiskajā apgabalā ir vēl plakanāka, un moments, kurā notiek piekāpšanās, ir praktiski vienāds ar lielāko lieces momentu, ko šķērsgriezums kopumā var izturēt. Tāpēc plastmasas lieces nozīme būvniecībā nav sekcijas izturīgā lieces momenta palielināšana, bet gan fakts, ka lielā lokālā deformācija, kas rodas tecēšanas punktā, var izraisīt labvēlīgas spēku sadalījuma izmaiņas statiski nenoteiktas sistēmas.

Sl. 9

To var izskaidrot ar piemēru par nepārtrauktu staru kūli pa diviem laukiem. Lai balstam (10. att.) ir vienāda garuma lauki, nemainīgs šķērsgriezums un tas ir noslogots ar vienādi sadalītu slodzi. Tad pirms ienesīguma robežas sasniegšanas brīdis ir pāri atbalstam M_B = pl²/8. Ja slodze p palielināties tik daudz, lai brīdis atbalsta sadaļā sasniegtu vērtību M_f pie kura notiek piekāpšanās, ja šajā punktā slodze tiek vēl vairāk palielināta, arī izliekums palielināsies bez ievērojama griezes momenta pieauguma. Tā sauktais plastmasas savienojums, tas ir sija uzvedas zem papildu slodzes tā, it kā virs vidējā atbalsta būtu savienojums. Slodzi var vēl vairāk palielināt, līdz pat vislielākajā lauka brīdī sākas raža. Tālāk lieces momenta palielināšana vairs nav iespējama un sijas nestspēja ir izsmelta. Slodzi, pie kuras rodas šis nosacījums, sauc par robežslodzi.

Sl. 10

Parasti var sagaidīt, ka vienā n reizes jāparādās statiski nenoteiktai sistēmai (n+1) plastmasas savienojumus, pirms sistēma kļūst kustīga un tādējādi sasniedz savu nestspēju. Tomēr šim noteikumam ir izņēmumi abos virzienos. Kā redzams iepriekš minētajā piemērā, pie nestspējas robežas vienlaikus var parādīties divi jauni plastmasas savienojumi (abos laukos), tā ka sistēma, joprojām nekustīga, pēkšņi pārvēršas par sistēmu ar divām brīvības pakāpēm. No otras puses, ir iespējams, ka pat ar mazāk nekā (n+1) plastmasas savienojumu nestspēja ir lokāli izsmelta, piem. kad nepārtraukta atbalsta gadījumā piekāpjas tikai viens lauks. Sl. 11 parāda, kā tas var notikt statiski divreiz nenoteiktai sistēmai ar n=2 plastmasas savienojumi. Ja atbalsta labajā pusē tiek pievienots ceturtais lauks, atbalsts kļūst trīskāršs statiski nenoteikts, tāpēc pietiek (n-1) plastmasas savienojumi, lai noslogotu tikai kreiso lauku līdz slodzes robežai.

Sl. 11

 

Bīdes spriegumi lieces laikā

Elementārs aprēķins

Sl. 12

Normāli spriegumi σ, tas ir spriegumi, kas faktiski parādās lieces dēļ, nav vienīgie spriegumi izliektajā stieņā, bet tiem papildus parādās šķērsspēka darbības rezultātā radušies bīdes spriegumi. Ņemot vērā, ka tehniskās lieces teorijas pamatīpašība ir tāda, ka bīdes spriegumu radītās deformācijas tiek ignorētas, tās var noteikt tikai no līdzsvara apstākļiem. Lai to uzstādītu, sijas elements dx tiek sagriezts, kā parādīts attēlā. 12 norādīts, horizontālā plakne divās daļās, tāpēc ir iestatīts līdzsvara nosacījums horizontāli spēki, kas iedarbojas uz apakšējo daļu. Kreisajā pusē ir iekšējie spēki, kas izteikti kā spriegumi σ lieces dēļ, kas būtu jāintegrē no z' = z do z' = h₂

Labajā pusē darbojas tie paši spriegumi, bet palielināti par diferenciāli atbilstoši attiecīgajam lieces momentam M + dM. Starpībai starp spēkiem abās elementa pusēs jābūt līdzsvarā ar spēku, ko rada bīdes spriegumi τ, kas iedarbojas horizontālajā šķērsgriezuma laukumā t dx:

Šeit integrālis attēlo šķērsgriezuma daļas statisko momentu, ko atdala horizontālā šķērsplakne attiecībā pret griezuma centroidālo asi. Tas ir atzīmēts ar S. Tā dM/dx = Q no līdzsvara nosacījumiem iegūstam:

τ = QS/It. (8)

Atbilstoši novietojumam uz bīdes spriegumu konjugāta tas vienlaikus ir vertikālā bīdes sprieguma lielums, kas iedarbojas šķērsgriezuma laukumā un kas kopā ar S i t, funkcija z.

Sl. 13

Sl. 13.1

(8) vienādojums sniedz ticamus datus par visām sekcijām ar plānām sienām, ja griezuma plakne nav novietota paralēli neitrālajai asij, bet gan sienas biezuma virzienā. Tāpēc I-profils tiek nogriezts šķērsvirzienā pāri ribai un šķērsvirzienā pāri atlokam, kā rezultātā tiek iegūts spriedzes sadalījums, kas parādīts attēlā. 13.1. Gredzenveida sekcijas gadījumā (13. att.) bīdes spriegumi tiek sadalīti simetriski attiecībā pret vertikālo diametru un sasniedz maksimumu pa kreisi un pa labi no neitrālās līnijas.

τ = Q / πrt.

Ja posms tiek nogriezts augstākajā vai zemākajā punktā, bīdes spriegumu sadalījums nemainās; tomēr, ja to nogriež horizontālā diametra labajā galā (14. att.), bīdes spriegums šajā punktā ir vienāds ar nulli, bet tā vērtība dubultojas tā paša diametra kreisajā galā.

Sl. 14

Pilnas sadaļas

Patvaļīgas formas cietu sekciju gadījumā bīdes spriegumu problēma ir cieši saistīta ar vērpes problēmu. Tādā gadījumā elementārais vienādojums (8) vairs nav ticams. Apļveida rādiusa daļai r vienādojums (8) dod

τ = 4Q/3πr²

kā bīdes sprieguma vidējo vērtību pa neitrālo asi, un precīzā vērtība ir tikai par dažiem procentiem lielāka.

Bīdes centrs

Ja U veida sekcijai bīdes spriegumus aprēķina iepriekš aprakstītajā veidā, spriedzes sadalījums, kas parādīts att. 15. Atbilstošo iekšējo spēku rezultants ir šķērsspēks Q. Attēlā var redzēt tā stāvokli attiecībā pret sekciju, lai tas neiet cauri sekcijas smaguma centram un neatrodas ribas plaknē. Ja šķērsspēkam, kas aprēķināts, pamatojoties uz ārējiem spēkiem, nav att. 15, sija tiek noslogota ne tikai liekot, bet arī vērpjot.

Ja vienam un tam pašam šķērsgriezumam nosaka bīdes spriegumiem atbilstošu rezultātu horizontālai slodzei, iegūst horizontālā šķērsspēka uzbrukuma līniju. Šo divu uzbrukuma līniju krustpunktā ir dotajam šķērsgriezumam raksturīgs punkts, ko sauc bīdes centrs M. Vērpes spriegumi balstā neparādās, ja visu šķērsgriezumu bīdes centri atrodas uz vienas taisnes, un visas slodzes, kas ir perpendikulāras stieņa asij, iet caur šo taisni. Pretējā gadījumā katras slodzes moments attiecībā pret līniju, kas savieno bīdes centrus un atspoguļo vērpes bīdi.

Sl. 15

Šķērsspēka ietekme uz lieci

Liekšanas inženierzinātņu teorija balstās uz bīdes spriegumu radīto deformāciju neievērošanu. Tāpēc to tiešām var attiecināt uz slaidiem stieņiem, kur šī nolaidība ir attaisnojama un kur šķērsspēkam nav jūtamas ietekmes uz lieci.

Taču pieredze rāda, ka lieces tehnisko teoriju ar zināmiem panākumiem var piemērot īsiem, augstiem balstiem, kuriem tā patiesībā nemaz nav paredzēta. Tad tiek norādīta nepieciešamība vismaz aptuveni ņemt vērā bīdes spriegumu radītās deformācijas ietekmi, kas šajā teorijā ir atstāta novārtā.

Kā arī bīdes spriegumi τ šķērsspēku un atbilstošās slīdēšanas dēļ γ' = τ/G tie ir sadalīti nevienmērīgi visā sadaļā. Tāpēc tiek ieviesta to vidējā vērtība γ, ko nosaka tā, lai šķērsspēks pie šīs deformācijas vidējās vērtības tiktu iedarbināts uz sijas elementu dx deformācijas darbs, kas vienāds ar to, ko iegūtu, integrējot bīdes spriegumu darbu uz atsevišķiem tilpuma elementiem, kas veido sijas novērojamo elementu:

no kurienes tas ir

Integrāli var aprēķināt, ja ir zināms bīdes spriegumu sadalījums pa sekciju. Tā kā visi bīdes spriegumi ir proporcionāli J/A, tas ir, tā vērtība ir proporcionāla Q₂/F² * F, tā liekot, ka viņa ir κQ²/F, tiek iegūts

γ = κQ / GF.

Konstante κ sauc par koeficientu. bīdes spriegumu sadalījums. Tas ir paredzēts taisnstūrveida sekcijām κ= 1,2.

Sl. 16

Kad koeficients ir zināms. κ, un tādējādi nozīmē slīdēšanu γ, var aprēķināt papildu novirzi w_Q, ko rada šķērsvirziena spēku ietekme, kas jāpievieno izliecēm w: jo saskaņā ar att. Ir 16

tāpēc tas ir tāpēc Q = dM/dx:

kur integrācijas konstante iegūta no viena robežnosacījuma.