Normālie spriegumi taisnos stieņos un stieņos ar nelielu izliekumu
Šķērsspēku definīcija
Pieņemsim, ka taisns stienis ir noslogots ar patvaļīga virziena spēkiem, par kuriem vienīgi tiek pieņemts, ka visi tie atrodas vienā plaknē (spēku plaknē), kas iet caur stieņa asi (līniju, kas savieno šķērsgriezumu smaguma centrus).
Att. 1
Lai aprēķinātu spriegumus, kas darbojas kādā šķērsgriezumā n – n (att. 1), ir jāzina spēks, kas caur šo šķērsgriezumu tiek pārvadīts no viena stieņa daļas uz otru. Pēc lieluma un novietojuma tas acīmredzami ir vienāds ar visu spēku rezultantu, kas iedarbojas uz vienu stieņa daļu. Šo rezultantu sadala komponentēs koordinātu sistēmā, kuras x-ass sakrīt ar stieņa asi, bet z-ass ir līnija, pa kuru šķērsgriezuma plakne šķeļ spēku plakni. Komponentu z ass virzienā sauc par šķērsspēku Q jeb Qz, un vienkāršai sijai tas tiek uzskatīts par pozitīvu, ja pa kreisi no šķērsgriezuma tam ir virziens uz augšu, bet pa labi — uz leju.
Kad stienis ir izliekts, koordinātu asīm x un z katrā šķērsgriezumā ir cita virziena, un tas vienmēr ir tā, ka x-ass ir stieņa ass tangente. Ja plakne, kurā atrodas stieņa ass, nesakrīt ar spēku plakni vai ja stieņa ass ir telpiska līkne, spēku rezultante pa kreisi no šķērsgriezuma satur arī trešo komponenti — šķērsspēku Qy. Ar N, Qz un Qy ir noteikts spēka lielums un virziens, kas tiek pārnests caur šķērsgriezumu, bet ne tā novietojums. Lai to noteiktu, jāzina arī tā momenti attiecībā pret koordinātu asīm. Plakanās lieces gadījumā pietiek zināt lieces momentu M vai My. Vispārīgākajā gadījumā parādās vēl viens lieces moments Mz un moments ap x-asi, Mx.
Seši spēki un momenti, kas definēti iepriekšējā izklāstā, tiek apvienoti kopējā apzīmējumā „šķērsspēki“. To noteikšana ir viens no būvkonstrukciju statikas pamatuzdevumiem.
Starp nepārtraukti sadalītu slodzi p (izmērs: spēks uz garuma vienību), šķērsspēkiem Q un lieces momentu M plaknās lieces gadījumā pastāv vienkārša sakarība. Proti, no viena stieņa elementa līdzsvara nosacījumiem (sl. 2) iegūst
dQ + p dx = 0,
dM = Q dx;
tāpēc
Q = dM/dx,
p = - dQ/dx = - d2M/dx2. (1a, b)
att. 2
Normālspriegumu sadalījums
Ja stienis ir noslogots tikai ar aksiālu spēku, šķēlumā parādās tikai vienmērīgi sadalīts normālspriegums σ (stiepts, resp. spiests stienis). Ja turklāt rodas lieces moments, šie spriegumi kaut kādā veidā jāizkārto nevienmērīgi, lai to rezultants vairs neietu caur šķēluma smaguma centru. Lai noteiktu šo sadalījumu, tehniskā lieces teorija neiziet no stingra pamatvienādojumu risinājuma, bet daļu šo vienādojumu aizstāj ar ticamu pieņēmumu, kas vienā īpaši vienkāršā gadījumā vienlaikus ir arī stingri izpildīts. Šis īpašais gadījums ir taisna prizmatiska stieņa liece bez šķērsspēku iedarbības (att. 3). Visi stieņa elementi, kas ir pietiekami tālu no tā galiem, piedzīvo vienādu deformāciju, no kā tieši izriet, ka stieņa ass pāriet apļa lokā un ka visas šķērsgriezumu plaknes, kas sākotnēji bija perpendikulāras stieņa asij, deformācijas laikā paliek plakanas, jo katra no tām ir simetrijas plakne blakus deformētā stieņa daļām. Dabiski rodas pieņēmums, ka šķērsgriezumi aptuveni paliek plakani arī tad, ja lieces moments un stieņa šķērsgriezums nav konstanti, bet gan pakāpeniski mainās gar stieni. Šis pieņēmums, ko sauc par Navjē hipotezi, ir lieces teorijas pamatā.
Att. 3
Normālo spriegumu lielums
Kad saliec taisnu sijas elementu, viena daļa tā „šķiedru”, t. i., materiālo līniju, kas paralēlas stieņa asij, tiek izstiepta, bet otra daļa saīsinās (att. 4). Starp šīm abām daļām atrodas neitrālās šķiedras z=0, kuru garums lieces laikā nemainās. Pieņemsim, ka šo šķiedru liekuma rādiuss saliektā stāvoklī ir ϱ un ka tas atrodas x-z plaknē. No att. 4 m var nolasīt
Δ dx/z = _dx/_ϱ
un no tā aprēķinātā šķiedru deformācija attālumā z no neitrālās ass, kas ir
ε = Δ dx/dx = _z/_ϱ
tad, pamatojoties uz Hooke-a likumu, spriegums
σ _= Ez/_ϱ (2)
Att. 4
Šis spriegums ir proporcionāls attālumam no neitrālajām šķiedrām. Šāds rezultāts ir saistīts ar pieņēmumu, ka pirms deformācijas visas stieņa elementa šķiedras bija vienāda garuma, tā ka stienis sākotnēji bija taisns vai vismaz ar tik mazu izliekumu, ka izliekuma ietekmi var neņemt vērā. Taisne, pa kuru krustojas neitrālais slānis un šķēluma plakne, tiek saukta par neitrālo asi. To pieņemam par y-asi (sl. 5). Neitrālās ass stāvokli šķērsgriezumā nosaka no spēku līdzsvara nosacījuma x-ass virzienā: ja normālais spēks N=0 (liece bez normālā spēka), tad arī iekšējo spēku rezultante, kas izteikta ar normālajiem spriegumiem šķēlumā, ir jābūt vienādai ar nulli:
Labajā pusē esošais integrālis ir laukuma statiskais moments attiecībā pret y-asi. Lai tas būtu vienāds ar nulli, šai asij jābūt vienai no smaguma centra asīm.
Moments M, kas izraisa deformāciju, attiecībā pret y un z asīm šķērsgriezuma plaknē (att. 5) ir komponentes:
Vien. (3)
kur Iy, Iyz ir šķērsgriezuma ekvatoriālais un centrbēdzes inerces moments attiecībā pret norādītajām asīm.
Svarīgākais ir īpašais gadījums, kad Mz=0. Šis gadījums rodas, kad Iyz=0, t. i., kad y un z ir šķērsgriezuma galvenās inerces asis. Tas nozīmē, ka šeit pieņemtā lieces plakne ar x-z-plakni sakrīt ar plakni, kurā darbojas lieces moments M=My, t. i., ar spēku plakni.
Att. 5
Ja no vienādojumiem (2) un (3) izslēdz _E/_ϱ, iegūst formulu sprieguma noteikšanai pie vienmērīgas lieces (Iy=I):
σ = M/I * z (4)
malējām punktām 1 un 2 īpaši ir:
σ1 = M/I * h1 = M/W1, σ2 = - M/I * h2 = - M/W2. (5)
Lielumus W1,2 = I/h1,2 (dimensija: garums kubā) sauc par pretestības momentiem. Ja horizontālā smaguma ass vienlaikus ir arī šķērsgriezuma simetrijas ass, tad W1 = W2, tāpēc malas spriegumi pēc absolūtās vērtības ir vienādi.
Elastīgā līnija
att. 6
Iepriekš minēto attiecību nozīme ir saistīta ar Huka likumu. Tas prasa, lai σ << E, tātad saskaņā ar (2) h << ϱ. Tomēr liecei drīkst būt tik liela vērtība, ka ϱ ir tādas pašas kārtas lielums kā stieņa garums l. Būvniecībā izmantojamiem liektiem stieņiem šis gadījums nerodas; vienmēr ϱ ir ievērojami lielāks par l, un tādēļ ieliece w << l (att. 6). Tad aptuveni der:
1/ ϱ = - d2w/dx2 = -w’’
un pamatojoties uz (3):
w’’ = - M/EI.
Šis vienādojums un līdzsvara nosacījums (1b) veido saliekta stieņa diferenciālvienādojumu sistēmu. To, likvidējot mainīgos, var reducēt uz vienu ceturtās kārtas vienādojumu:
wIV = + p/EI
vai, gadījumā, ja inerces moments ir mainīgs:
(EIw’’)’’ = +p.
No tiem, integrējot, var noteikt elastīgās līnijas formu, ja dota slodze p=p(x) un katrā stieņa gadījumā ir zināmi divi robežnosacījumi. No tiem vismaz diviem jāattiecas uz deformāciju. Sīkāk sk. rakstu Būvkonstrukciju statika.
Šķērsgriezuma kodols
Ja neitrālā ass šķērso šķērsgriezumu, tā sadala to stiepes zonā un spiedes zonā. Materiāliem ar nelielu stiepes stiprību rodas jautājums, kur jāiedarbojas spiedes spēkam, ja šķērsgriezumā nedrīkst nekur rasties stiepe. Tad spēka iedarbības punkta novietojums ir ierobežots ar apgabalu, ko sauc par šķērsgriezuma kodolu. Kodola robeža acīmredzot ir punktu ģeometriskā vieta, kuru neitrālās asis tangenciāli pieskaras šķērsgriezumam pa perimetru. Tādējādi ir dota arī tā konstrukcija.
Kodola robežas attālumu no smaguma centra, izmērītu jebkurā virzienā, apzīmēsim ar k ar indeksi, kas atbilst attiecīgajam virzienam. Galvenajām inerces asīm saskaņā ar vienādojumu
σ = N/F + Mz/Iz y + My/Iy z (6)
izteiksmes ir šādas:
ky = i2z / ey, kz = i2y / ez. (7)
Apļveida šķērsgriezumam ar rādiusu r inerces rādiuss ir k = r/4, bet apļveida gredzenam (rādiusi: ārējais R, iekšējais r) k = (R2 + r2) / 4R.
Taisnstūrim (att. 7) ir ky = 1/6 b, kz = 1/6 h. Tātad, noslogojot taisnstūrveida šķērsgriezumu vienā no simetrijas plaknēm (bet tikai tad), pietiek, lai rezultants iedarbotos uz šķērsgriezuma augstuma vai platuma vidējo trešdaļu, lai spriegumi šķērsgriezumā būtu ar vienādu zīmi.
Att. 7
Liekšana plastiskajā apgabalā
Kad saliektā stieņa malējās šķiedrās ir sasniegta tecēšanas robeža, tā nestspēja ar to vēl nav izsmelta, jo, kamēr ārējās šķiedras plastiski deformējas pie nemainīga sprieguma, tajās daļās, kas atrodas tuvāk neitrālajai asij un kur tecēšanas robeža vēl nav sasniegta, spriegums palielinās, un līdz ar to palielinās arī lieces moments, ko šķērsgriezums spēj uzņemt.
Ja ir zināms precīzs spriegumu un deformāciju diagrammas gaita, procesu divsimetriskām šķērsgriezuma formām (augstums h) var viegli aprēķināmi izsekot tā, ka, pieņemot, ka šķērsgriezumi paliek plakani, no spriegumu un deformāciju diagrammas nosaka spriegumu σ sadalījumu lieces dēļ, kas atbilst kādai pieņemtai galējo šķiedru dilatācijai ε__r, un no tā, integrējot, nosaka lieces momentu. Ja to veic dažādām ε__r un no otras puses aprēķina atbilstošo ielieces līknes izliekumu w’’ = 2 ε__r / h, iegūst punktu kopu, caur kuriem var novilkt līkni, kas dod sakarību starp lieces momentu un izliekumu M = M(w’’); šī sakarība vairs nav lineāra, un, kad tā ir zināma, ar grafisku integrāciju ir iespējams noteikt ielieces līkni, kas atbilst dotajam momentu sadalījumam. Ja šķērsgriezums ir nesimetrisks, aprēķins kļūst sarežģītāks, jo katram ε__r vēl jānosaka arī neitrālās ass novietojums.
Att. 8
Aprēķins zināmā mērā vienkāršojas, ja papildus šķērsgriezuma simetrijai pieņem arī vienkāršotu sakarību starp spriegumiem un deformācijām pēc att. 8. Tad spriegumiem lieces dēļ pēc plūšanas robežas pārsniegšanas ir attēlā 9 parādītais sadalījums, un lieces moments ir:
un tā lieces līknes izliekums tiek iegūts, kad vienādojumu (2) piemēro šķērsgriezuma daļai, kuras spriegumi elastīgajā apgabalā w’’ = σf / Ez’. Ja šķērsgriezuma forma katram pieņemtajam z’ ir zināma, integrāļus var aprēķināt. Piemēram, vienkāršākajā gadījumā taisnstūrveida šķērsgriezumam ar platumu b un augstumu h ir
Ja šeit z’ izsaka ar w’’, iegūst
I veida šķērsgriezumiem un tiem līdzīgiem plūsma M-w’’ līknes plastiskajā apgabalā ir vēl vairāk izlīdzināta, un moments, pie kura iestājas tecēšana, tad praktiski ir vienāds ar lielāko lieces momentu, ko šķērsgriezums vispār var izturēt. Tāpēc plastiskās lieces nozīme būvniecībā nesastāv no lieces momenta palielināšanas, ko šķērsgriezums var nest, bet gan tajā, ka lielā lokālā deformācija, kas rodas tecēšanas robežā, var novest pie labvēlīgas spēku pārdales statiski nenoteiktās sistēmās.
Att. 9
To var izskaidrot, aplūkojot nepārtrauktu siju pār diviem laidumiem. Pieņemsim, ka sija (att. 10) ir ar vienāda garuma laidumiem, konstantu šķērsgriezumu un ir noslogota ar vienmērīgi sadalītu slodzi. Tad pirms tecēšanas robežas sasniegšanas moments virs balsta ir MB = _pl_2/8. Ja slodze p tiek tik ļoti palielināta, ka momenta vērtība balsta šķērsgriezumā sasniedz Mf, pie kuras iestājas tecēšana, tad, turpinot slodzi palielināt, šajā vietā pieaugs arī izliekums bez būtiska momenta pieauguma. Rodas tā sauktais plastiskais šarnīrs, t. i., papildu slodzes ietekmē sija uzvedas tā, it kā virs vidējā balsta būtu šarnīrs. Slodzi var turpināt palielināt, līdz tecēšana sākas arī vietā, kur laidumā ir lielākais moments. Tālāka lieces momenta palielināšana vairs nav iespējama, un sijas nestspēja ir izsmelta. Slodzi, pie kuras iestājas šis stāvoklis, sauc par robežslodzi.
att. 10
Vispārīgi var gaidīt, ka vienā n reizes statiski nenoteiktā sistēmā būs jāparādās (n+1) plastiskajiem šarnīriem, pirms sistēma kļūst kustīga un tādējādi sasniedz savu nestspējas robežu. Tomēr šim likumam ir izņēmumi abos virzienos. Kā rāda minētais piemērs, nestspējas robežā vienlaikus var rasties divi jauni plastiskie šarnīri (abos laidumos), tā ka līdz tam vēl nekustīga sistēma pēkšņi pāriet sistēmā ar divām brīvības pakāpēm. No otras puses, iespējams, ka arī ar mazāk nekā (n+1) plastiskajiem šarnīriem nestspēja tiek lokāli izsmelta, piemēram, ja nepārtrauktam balstam izšķīst tikai viens laidums. Sl. 11 rāda, kā tas var notikt vienā statiski divreiz nenoteiktā sistēmā ar n=2 plastiskajiem šarnīriem. Ja balsta labajā pusē pievieno vēl arī ceturto laidumu, balsts kļūst statiski trīskārt nenoteikts, un pietiek ar (n-1) plastiskajiem šarnīriem, lai tikai kreiso laidumu novestu līdz nestspējas robežai.
Att. 11
Bīdes spriegumi liecē
Elementārs aprēķins
att. 12
Normālie spriegumi σ, t. i., spriegumi, kas faktiski rodas lieces rezultātā, nav vienīgie spriegumi saliektā stienī, bet līdz ar tiem parādās arī bīdes spriegumi šķērsspēka iedarbības dēļ. Ņemot vērā, ka tehniskās lieces teorijas pamatīpatnība ir tā, ka deformācijas bīdes spriegumu dēļ tiek ignorētas, šos spriegumus var noteikt tikai no līdzsvara nosacījumiem. Lai to izvirzītu, sijas elements dx tiek, kā norādīts att. 12, pārgriezts ar horizontālu plakni divās daļās, un pēc tam tiek formulēts līdzsvara nosacījums horizontālajiem spēkiem, kas iedarbojas uz apakšējo daļu. Kreisajā pusē tie ir iekšējie spēki, kas izteikti ar spriegumiem σ lieces dēļ, kuri jāintegrē no z’ = z līdz z’ = h2
Labajā pusē darbojas tie paši spriegumi, taču tie ir palielināti par diferenciāli atbilstoši attiecīgajam lieces momentam M + dM. Spēku starpībai abās elementa pusēs jābūt līdzsvarā ar spēku, ko izraisa bīdes spriegumi τ, kas darbojas horizontālajā šķērsgriezuma virsmā t dx:
Šeit integrālis attēlo šķērsgriezuma daļas, kas nodalīta ar horizontālu šķērsplakni, statisko momentu attiecībā pret šķērsgriezuma smaguma asi. To apzīmē ar S. No dM/dx = Q līdzsvara nosacījuma iegūst:
τ = QS/It. (8)
Tas saskaņā ar bīdes spriegumu konjugētības principu vienlaikus ir vertikālā bīdes sprieguma lielums, kas darbojas šķērsgriezuma virsmā un kas kopā ar S un t ir funkcija no z.
att. 13
Att. 13.1
Vienādojums (8) sniedz drošus datus visiem plānsienu šķērsgriezumiem, ja šķēluma plakni novieto nevis paralēli neitrālajai asij, bet gan sienas biezuma virzienā. Tādēļ I-profilu šķeļ šķērsām caur sieniņu un šķērsām caur plauktu, iegūstot spriegumu sadalījumu, kas parādīts att. 13.1. Gredzenveida šķērsgriezumā (att. 13) bīdes spriegumi ir simetriski izvietoti attiecībā pret vertikālo diametru un pa kreisi un pa labi no neitrālās līnijas sasniedz maksimumu
τ = Q / πrt.
Ja šķērsgriezums tiek atvērts augstākajā vai zemākajā vietā, bīdes spriegumu sadalījums nemainās; tomēr, ja tas ir atvērts horizontālā diametra labajā galā (att. 14), bīdes spriegums šajā vietā ir vienāds ar nulli, bet tā vērtība tā paša diametra kreisajā galā dubultojas.
Att. 14
Pilnie šķērsgriezumi
Masīviem jebkuras formas šķērsgriezumiem bīdes spriegumu problēma ir cieši saistīta ar vērpes problemātiku. Elementārais vienādojums (8) šādā gadījumā vairs nav drošs. Apļveida šķērsgriezumam ar rādiusu r vienādojums (8) dod
τ = 4Q / 3__πr2
kā vidējo bīdes sprieguma vērtību gar neitrālo asi, bet precīzā vērtība ir tikai par dažiem procentiem lielāka.
Bīdes centrs
Ja U-sadaļai sīko spriegumu aprēķina iepriekš aprakstītajā veidā, iegūst spriegumu sadalījumu, kas parādīts attēlā 15. Atbilstošo iekšējo spēku rezultējošais ir šķērsspēks Q. No attēla var redzēt tā novietojumu attiecībā pret šķērsgriezumu, tātad tas neiet ne caur šķērsgriezuma smaguma centru, ne atrodas ribas plaknē. Ja šķērsspēkam, kas aprēķināts, pamatojoties uz ārējiem spēkiem, nav attēlā 15 parādītās pozīcijas, sija nav noslogota tikai uz lieci, bet arī uz vērpi.
Ja vienam un tam pašam šķērsgriezumam nosaka rezultantu, kas atbilst bīdes spriegumiem kādam horizontālam slogam, iegūst horizontālā šķērsspēka iedarbības līniju. Šo abu iedarbības līniju krustpunktā atrodas raksturīgais punkts dotajam šķērsgriezumam, ko sauc par bīdes centru M. Sijai nerodas spriegumi torzijas dēļ, ja visu šķērsgriezumu bīdes centri atrodas uz vienas taisnes un visi spēki, kas ir perpendikulāri stieņa asij, šķērso šo taisni. Pretējā gadījumā katra spēka moments attiecībā pret taisni, kas savieno bīdes centrus, rada torzijas bīdi.
att. 15
Šķērsspēka ietekme uz lieci
Tehniskā lieces teorija balstās uz deformāciju, ko izraisa bīdes spriegumi, neievērošanu. Tādēļ to patiesi var piemērot slaidiem stieņiem, kur šāda neievērošana ir pamatota un kur šķērsspēkam nav būtiskas ietekmes uz lieci.
Tomēr pieredze ir parādījusi, ka tehnisko lieces teoriju ar zināmiem panākumiem var piemērot arī īsiem, augstiem balstiem, kuriem tā patiesībā nemaz nav paredzēta. Tad rodas nepieciešamība deformācijas ietekmi, ko šajā teorijā neņem vērā bīdes spriegumu dēļ, vismaz aptuveni ņemt vērā papildus.
Tāpat kā bīdes spriegumi τ transversālo spēku iedarbībā un tiem atbilstošie slīdes pārvietojumi γ_’ =_ τ_/G_ ir nevienmērīgi sadalīti pa šķēlumu. Tāpēc ievieš to vidējo vērtību γ, ko nosaka tā, lai transversālais spēks pie šīs vidējās deformācijas vērtības uz sijas elementa dx veiktu deformācijas darbu, kas ir vienāds ar to darbu, kas iegūts, integrējot bīdes spriegumu darbus atsevišķajos tilpuma elementos, kas veido aplūkoto sijas elementu:
no kurienes tas ir
Integrāli var aprēķināt, kad ir zināms bīdes spriegumu sadalījums šķērsgriezumā. Tā kā visi bīdes spriegumi ir proporcionāli Q/F, tad tā vērtība ir proporcionāla Q2/F2 * F, tādēļ, pieņemot, ka tā ir κ__Q2/F, iegūst
γ = κ__Q / GF.
Konstanti κ sauc par bīdes spriegumu sadalījuma koeficientu. Taisnstūra šķērsgriezumiem κ=1,2.
att. 16
Ja koeficients κ, un līdz ar to arī vidējā slīdēšana γ, ir zināma, var aprēķināt papildu ieliekumu wQ, kas rodas šķērsspēku iedarbībā un kas jāpieskaita ieliekumiem w: jo saskaņā ar att. 16 ir
tāpēc, ņemot vērā Q = dM/dx:
turklāt integrācijas konstanti iegūst no viena robežnosacījuma.