Normale spannings by reguit stawe en stawe met ’n klein kromming
Definisie van snitkragte
Laat ’n reguit staaf belas word deur kragte van willekeurige rigting, waarvan slegs aanvaar word dat hulle almal in een vlak lê (kragvlak) wat deur die as van die staaf gaan (die lyn wat die swaartepunte van die dwarsdeursnedes verbind).
Figuur 1
Om die spannings te bereken wat in ’n sekere dwarsdoorsnee n – n (sl. 1) werk, moet die krag bekend wees wat deur hierdie deursnee van een deel van die staaf na die ander oorgedra word. Dit is duidelik in grootte en ligging gelyk aan die resulterende krag van al die kragte wat op een deel van die staaf inwerk. Hierdie resulterende krag word ontbind in komponente in ’n koördinaatstelsel waarvan die x-as saamval met die as van die staaf, en die z-as die lyn is langs welke die vlak van die dwarsdoorsnee die kragvlak sny. Die komponent in die rigting van die z-as word transversale krag Q of Qz genoem en word by ’n eenvoudige balk as positief beskou as dit links van die deursnee opwaarts en regs afwaarts gerig is.
Wanneer die staaf krom is, het die koördinaatasse x en z in elke deursnee ’n ander rigting, en wel altyd so dat die x-as tangent is aan die as van die staaf. As die vlak waarin die as van die staaf lê nie saamval met die kragvlak nie, of as die as van die staaf ’n ruimtekurwe is, het die resultante van die kragte links van die deursnee ook ’n derde komponent, die dwarskrag Qy. Met N, Qz en Qy is die grootte en rigting van die krag wat oor die deursnee oorgedra word, bepaal, maar nie sy posisie nie. Hiervoor moet sy momente ten opsigte van die koördinaatasse ook bekend wees. In die geval van buiging in ’n vlak is dit voldoende dat die buigmoment M of My bekend is. In die mees algemene geval verskyn nog ’n buigmoment Mz en die moment om die x-as, Mx.
Die ses kragte en momente wat in die voorafgaande uiteensetting gedefinieer is, word onder die oorkoepelende benaming “snypuntekragte” saamgevat. Die bepaling daarvan is een van die basiese take van die statika van boustrukture.
Tussen die voortdurend verspreide belasting p (dimensie: krag per eenheid lengte), die dwarskrag Q en die buigmoment M bestaan daar in die geval van vlakbuiging ’n eenvoudige verband. Naamlik, uit die ewewigstoestand van ’n staafelement (fig. 2) kry ons
dQ + p dx = 0,
dM = Q dx;
dus
Q = dM/dx,
p = - dQ/dx = - d2M/dx2. (1a, b)
Fig. 2
Verdeling van normale spannings
As ’n staaf slegs deur ’n aksiale krag belas word, verskyn daar in die dwarssnit slegs ’n eweredig verspreide normale spanning σ (’n getrekte, resp. gedrukte staaf). As daar boonop ’n buigmoment voorkom, moet hierdie spannings op ’n sekere manier ongelyk versprei wees, sodat hulle resultant nie meer deur die swaartepunt van die snit gaan nie. Om hierdie verdeling te bepaal, vertrek die tegniese buigingsteorie nie van ’n streng oplossing van die grondvergelykings nie, maar vervang ’n deel van hierdie vergelykings deur ’n aanneemlike veronderstelling wat in een besonder eenvoudige geval terselfdertyd streng vervul is. Hierdie spesiale geval is die buiging van ’n reguit prismatiese staaf sonder die werking van dwarskragte (fig. 3). Alle elemente van die staaf wat voldoende ver van sy punte af is, ondergaan dieselfde vervorming, waaruit direk volg dat die as van die staaf in ’n sirkelboog oorgaan en dat alle vlakke van dwarssnitte wat oorspronklik loodreg op die as van die staaf was, tydens vervorming vlak bly, omdat elkeen ’n simmetrievlak vir die aangrensende dele van die vervormde staaf is. Dit lê voor die hand om aan te neem dat die dwarssnitte ook ongeveer vlak bly wanneer die buigmoment en die dwarssnit van die staaf nie konstant is nie, maar geleidelik langs die staaf verander. Hierdie aanname, wat die Navier-hipotese genoem word, lê aan die grondslag van die buigingsteorie.
Fig. 3
Grootte van normale spannings
Wanneer ’n reguit balkelement gebuig word, rek een deel van sy “vesels”, d.w.s. materiële lyne parallel met die as van die staaf, terwyl die ander deel verkort (fig. 4). Tussen hierdie twee dele lê die neutrale vesels z=0, waarvan die lengte tydens buiging nie verander nie. Laat die krommingsradius van hierdie vesels in gebuigde toestand ϱ wees en laat dit in die x-z vlak lê. Uit fig. 4 m kan gelees word
Δ dx/z = _dx/_ϱ
en van daar die rek van die vesels op die afstand z van die neutrale as bereken, wat beloop
ε = Δ dx/dx = _z/_ϱ
en is die spanning volgens Hooke-se wet
σ _= Ez/_ϱ (2)
Fig. 4
Hierdie spanning is proporsioneel aan die afstand van die neutrale vesels. So ’n resultaat hou verband met die aanname dat voor vervorming al die vesels van die staafelement ewe lank was, sodat die staaf oorspronklik reg was, of ten minste met so ’n klein kromming dat die invloed van die kromming verwaarloos kan word. Die reguit lyn waarlangs die neutrale laag en die vlak van die snit mekaar sny, word die neutrale as genoem. Ons neem dit as die y-as (fig. 5). Die posisie van die neutrale as in die dwarssnit word verkry uit die voorwaarde van ewewig van kragte in die rigting van die x-as: as die normaalkrag N=0 (buiging sonder normaalkrag), dan moet die resultant van die interne kragte uitgedruk deur middel van normale spannings in die snit ook nul wees:
Die integraal aan die regterkant is die statiese moment van die oppervlak met betrekking tot die y-as. Om dit nul te laat wees, moet hierdie as een van die swaartepunte-asse wees.
Die moment M wat vervorming veroorsaak, het ten opsigte van die y- en z-asse in die vlak van die deursnee (sl. 5) die komponente:
Vergl. (3)
waarby Iy, Iyz die ekwatoriale en sentrifugale traagheidsmoment van die deursnee met betrekking tot die aangeduide asse is.
Die belangrikste is die spesiale geval wanneer Mz=0. Hierdie geval doen hom voor wanneer Iyz=0, d.w.s. wanneer y en z die hoofinersie-asse van die deursnee is. Dit beteken dat die buigvlak wat hier as die x-z-vlak aanvaar is, saamval met die vlak waarin die buigmoment M=My optree, d.w.s. met die kragvlak.
Fig. 5
As _E/_ϱ uit die vergelykings (2) en (3) geëlimineer word, word die vormule vir die bepaling van die spanning by suiwer buiging verkry (Iy=I):
σ = M/I * z (4)
vir die randpunte 1 en 2 veral is:
σ1 = M/I * h1 = M/W1, σ2 = - M/I * h2 = - M/W2. (5)
Die groottes W1,2 = I/h1,2 (dimensie: lengte tot die derde mag) word weerstandsmomente genoem. As die horisontale swaartepuntas terselfdertyd die simmetrie-as van die deursnee is, dan is W1 = W2, en die randspannings is dus in absolute waarde gelyk.
Elastiese lyn
Fig. 6
Die belang van die bogenoemde patrone hou verband met die Hooke se wet. Dit vereis dat σ << E, dus volgens (2) h << ϱ. Die buiging mag egter so groot wees dat ϱ van dieselfde orde van grootte as die lengte van die staaf l is. By gebuigde stawe wat in die boubedryf ter sprake kom, kom hierdie geval nie voor nie; ϱ is altyd aansienlik groter as l en dus w << l (fig. 6). Dan geld benaderd:
1/ ϱ = - d2w/dx2 = -w’’
en op grond van (3):
w’’ = - M/EI.
Hierdie vergelyking en die ewewigsvoorwaarde (1b) vorm ’n stelsel differensiaalvergelykings van die gebuigde staaf. Deur uitskakeling kan hulle tot een vierde-orde vergelyking herlei word:
wIV = + p/EI
of, in die geval dat die traagheidsmoment veranderlik is:
(EIw’’)’’ = +p.
Uit hulle kan deur integrasie die vorm van die elastiese lyn bepaal word wanneer die las p=p(x) gegee is en wanneer vir elke geval van die staaf twee grensvoorwaardes bekend is. Van hierdie twee moet minstens twee op vervorming betrekking hê. Vir besonderhede sien die artikel Statika van boukonstruksies.
Kern van die deursnee
As die neutrale as die dwarsdoorsnee sny, verdeel dit dit in ’n trekzone en ’n drukzone. By materiale met ’n lae treksterkte ontstaan die vraag waar die drukkrag moet aangryp, as daar in die dwarsdoorsnee nêrens trek mag voorkom nie. Die ligging van die aangryppunt van die krag is dan beperk tot die gebied wat kern van die deursnee genoem word. Die grens van die kern is duidelik die meetkundige plek van punte waarvan die neutrale asse die dwarsdoorsnee langs sy omtrek raak. Hiermee word ook die konstruksie daarvan gegee.
Die afstand van die kerngrens vanaf die swaartepunt, gemeet in enige rigting, sal ons aandui met k as die indeks wat met daardie rigting ooreenstem. Vir die hoof-inertie-asse volgens die vergelyking
σ = N/F + Mz/Iz y + My/Iy z (6)
die terme is die volgende:
ky = i2z / ey, kz = i2y / ez. (7)
Vir die sirkelvormige dwarsdeursnee met radius r is die kernafstand k = r/4, en vir ’n sirkelring (radiusse: buite R, binne r) k = (R2 + r2) / 4R.
Vir die reghoek (fig. 7) is ky = 1/6 b, kz = 1/6 h. Dus, by belasting van ’n reghoekige deursnee in een van die simmetrievlakke (maar slegs dan) is dit voldoende dat die resultant in die middelste derde van die hoogte of breedte van die dwarsdeursnee aangryp, sodat die spannings in die deursnee dieselfde teken het.
Fig. 7
Buiging in die plastiese gebied
Wanneer die vloeigrens in die buitenste vesels van ’n gebuigde staaf bereik is, is sy dravermoë daarmee nog nie uitgeput nie, want terwyl die buitenste vesels plasties by ’n konstante spanning vervorm, neem die spanning toe in die dele wat nader aan die neutrale as lê, waar die vloeigrens nog nie bereik is nie, en daarmee neem ook die buigmoment toe wat die deursnee kan opneem.
As die presiese verloop van die spanning- en vervormingsdiagram bekend is, kan die proses vir dubbelsimmetriese deursnee-oppervlaktes (hoogte h) maklik rekenkundig gevolg word deur op hierdie wyse, met die veronderstelling dat die deursnee-oppervlaktes vlak bly, uit die spanning- en vervormingsdiagram die spanningverdeling σ as gevolg van buiging te bepaal wat ooreenstem met ’n bepaalde aangenome dilatasie van die uiterste vesels ε__r en van daar af deur integrasie die buigmoment te bepaal. As dit vir verskillende ε__r uitgevoer word en aan die ander kant die ooreenstemmende kromming van die afbuigingslyn w’’ = 2 ε__r / h bereken word, verkry mens ’n reeks punte waardeur ’n lyn getrek kan word wat die verband tussen buigmoment en kromming gee M = M(w’’); hierdie verband is nie meer lineêr nie, en wanneer dit bekend is, is dit moontlik om deur grafiese integrasie die afbuigingslyn te bepaal wat by ’n gegewe verdeling van momente pas. As die deursnee asimmetries is, word die berekening ingewikkelder, in soverre daar vir elke ε__r ook nog die posisie van die neutrale as bepaal moet word.
Fig. 8
Die berekening word in ’n sekere mate vereenvoudig indien daar, benewens die simmetrie van die deursnee, ook ’n vereenvoudigde verband tussen spanning en verlengings volgens fig. 8 aangeneem word. Dan het die spannings as gevolg van buiging ná die oorskryding van die vloeigrens die verspreiding wat in fig. 9 getoon word, en die buigmoment is:
en die kromming van die deurligtingslyn word verkry wanneer vergelyking (2) toegepas word op die deel van die deursnee waarvan die spannings in die elastiese gebied w’’ = σf / Ez’ is. As die vorm van die deursnee vir elke aangeneemde z’ bekend is, kan die integrale bereken word. Byvoorbeeld, vir die eenvoudigste geval van ’n reghoekige dwarsdeursnee met breedte b en hoogte h is
As z’ hier deur w’’, uitgedruk word, word verkry
By I-profiele en soortgelyke profiele is die verloop van die M-w’’-kromme in die plastiese gebied nog platter, en die moment waarby vloei intree, is dan in die praktyk gelyk aan die grootste buigmoment wat die profiel enigsins kan dra. Daarom lê die betekenis van plastiese buiging in die konstruksie nie in die verhoging van die buigmoment wat die profiel kan dra nie, maar daarin dat die groot plaaslike vervorming wat by die vloeigrens intree, tot ’n gunstige verandering in die verspreiding van kragte by staties onbepaalde stelsels kan lei.
Fig. 9
Dit kan verduidelik word aan die hand van die voorbeeld van ’n deurlopende draer oor twee velde. Laat die draer (fig. 10) velde van gelyke lengte, ’n konstante deursnee hê en met ’n eweredig verspreide las belas wees. Dan is, voor die bereiking van die vloeigrens, die moment bo die steun MB = _pl_2/8. As die las p só verhoog word dat die moment in die steun-deursnee die waarde Mf bereik waar vloeif begin, sal by verdere verhoging van die las op daardie plek ook die kromming toeneem sonder ’n merkbare toename in moment. Daar ontstaan die sogenaamde plastiese skarnier, d.w.s. die draer gedra hom onder bykomende belasting asof daar bo die middelste steun ’n skarnier bestaan. Die las kan verder verhoog word totdat vloeing ook by die plek van die grootste moment in die veld begin. Verdere verhoging van die buigmoment is dan nie meer moontlik nie en die draagvermoë van die draer is uitgeput. Die las waarby hierdie toestand intree, word die grenslas genoem.
Fig. 10
In die algemeen kan verwag word dat in ’n n-maal staties onbepaalde stelsel ((n+1) plastiese skarniere moet ontstaan voordat die stelsel beweeglik word en sodoende sy grens van dravermoë bereik. Hierdie reël het egter in albei rigtings uitsonderings. Soos die genoemde voorbeeld toon, kan by die grens van dravermoë twee nuwe plastiese skarniere terselfdertyd ontstaan (in albei velde), sodat die tot dusver nog onbeweeglike stelsel skielik oorgaan in ’n stelsel met twee vryheidsgrade. Aan die ander kant is dit moontlik dat selfs met minder as ((n+1) plastiese skarniere die dravermoë plaaslik uitgeput word, byvoorbeeld wanneer by ’n deurlopende draer net een veld meegee. Fig. 11 toon hoe dit by ’n staties dubbel onbepaalde stelsel met n=2 plastiese skarniere kan gebeur. As aan die regterkant van die draer ook nog ’n vierde veld bygevoeg word, word die draer drievoudig staties onbepaald, en dan is ((n-1) plastiese skarniere voldoende om net die linker veld tot by die grens van dravermoë te bring.
Fig. 11
Skuifspanning by buiging
Elementêre berekening
Fig. 12
Normale spanninge σ, d.w.s. die spanninge wat in werklikheid as gevolg van buiging voorkom, is nie die enigste spanninge in die gebuigde staaf nie; daarby verskyn ook skuifspanninge as gevolg van die werking van die dwarskrag. Aangesien die basiese kenmerk van die tegniese teorie van buiging is dat vervormings as gevolg van skuifspanninge verwaarloos word, kan hierdie slegs uit die ewewigsvoorwaardes bepaal word. Om dit op te stel, word die balkelement dx soos op fig. 12 aangedui, deur ’n horisontale vlak in twee dele gesny, en dan word die ewewigsvoorwaarde van horisontale kragte wat op die onderste deel werk, opgestel. Aan die linkerkant is dit die interne kragte uitgedruk deur spanninge σ as gevolg van buiging, waarvoor van z’ = z tot z’ = h2 geïntegreer moet word
Aan die regterkant werk dieselfde spanninge, maar verhoog met die differensiaal volgens die ooreenstemmende buigmoment M + dM. Die verskil tussen die kragte aan beide kante van die element moet in ewewig wees met die krag as gevolg van die skuifspanning τ wat in die horisontale dwarsoppervlak t dx inwerk:
Hier stel die integraal die statiese moment voor van die deel van die dwarsdeursnee wat deur die horisontale dwarsvlak afgesonder is ten opsigte van die swaartekragas van die deursnee. Dit word aangedui met S. Uit dM/dx = Q volgens die ewewigsvoorwaarde word verkry:
τ = QS/It. (8)
Dit is volgens die standpunt van die konjugasie van skuifspannings terselfdertyd die grootte van die vertikale skuifspanning wat in die oppervlak van die dwarssnit werk en wat, saam met S en t, ’n funksie van z is.
Fig. 13
Fig. 13.1
Die vergelyking (8) lewer betroubare gegewens by alle dwarsdeursnitte met dun wande, indien die snyvlak nie parallel met die neutrale as geplaas word nie, maar in die rigting van die wanddikte. Daarom word die I-profiel dwars deur die web en dwars deur die flens gesny, waardeur die spanningverdeling verkry word wat op fig. 13.1 getoon word. By die ringvormige deursnee (fig. 13) is die skuifspannings simmetries rondom die vertikale deursnee en bereik links en regs op die neutrale lyn hulle maksimum.
τ = Q / πrt.
As die deursnee by die hoogste of laagste punt gesny word, verander die verspreiding van die skuifspannings nie; as dit egter aan die regterkant van die horisontale deursnee gesny word (fig. 14), is die skuifspanning op daardie plek gelyk aan nul, terwyl die waarde daarvan op die linkerkant van dieselfde deursnee verdubbel.
Fig. 14
Volledige deursnee
By soliede deursnee van willekeurige vorm is die probleem van skuifspannings nou verbind met die probleem van torsie. Die elementêre vergelyking (8) is in daardie geval nie meer betroubaar nie. Vir ’n sirkelvormige deursnee met radius r gee vergelyking (8)
τ = 4Q / 3__πr2
as die gemiddelde waarde van die skuifspanning langs die neutrale as, en die presiese waarde is slegs ’n paar persent groter.
Skuifsentrum
As die skuifspannings vir die U-deursnee bereken word op die wyse soos hierbo beskryf, word die spanningsverdeling verkry wat in fig. 15 getoon word. Die resulterende krag van die ooreenstemmende interne kragte is die transversale krag Q. Uit die figuur kan sy posisie in verhouding tot die deursnee gesien word, dus gaan dit nie deur die swaartepunt van die deursnee nie, en lê ook nie in die vlak van die rib nie. As die transversale krag wat op grond van eksterne kragte bereken is nie die posisie het wat in fig. 15 getoon word nie, word die balk nie net aan buiging blootgestel nie, maar ook aan torsie.
As vir dieselfde dwarsdoorsnee die resultant bepaal word wat met die skuifspannings vir ’n sekere horisontale belasting ooreenstem, word die aanvallyn van die horisontale dwarskrag verkry. In die snit van hierdie twee aanvallyne lê die kenmerkende punt vir die gegewe dwarsdoorsnee, wat die skuifsentrum M genoem word. In die draagbalk kom geen spannings as gevolg van torsie voor wanneer die skuifsentra van al die dwarsdoorsnedes op een reguit lyn lê, en al die laste loodreg op die as van die staaf deur daardie lyn gaan. Andersins is die moment van elke las met betrekking tot die lyn wat die skuifsentra verbind en die torsionele skuif verteenwoordig.
Fig. 15
Invloed van dwarskrag op buiging
Die tegniese teorie van buiging berus op die verwaarlosing van vervormings as gevolg van skuifspannings. Daarom kan dit werklik toegepas word op slanke stawe, waar hierdie verwaarlosing geregverdig is en waar die dwarskrag geen merkbare invloed op buiging het nie.
Ervaring het egter getoon dat die tegniese buigingsteorie met ’n sekere sukses ook op kort, hoë draers toegepas kan word, waarvoor dit in werklikheid glad nie bedoel is nie. Dan ontstaan die behoefte dat die invloed van vervorming as gevolg van skuifspannings, wat in hierdie teorie verwaarloos is, ten minste ongeveer later in ag geneem word.
Net soos skuifspannings τ as gevolg van dwarskragte en die ooreenstemmende glidings γ_’ =_ τ_/G_ oneweredig oor die dwarsdoorsnit versprei is. Daarom word hul gemiddelde waarde γ ingevoer, wat so bepaal word dat die dwarskrag by hierdie gemiddelde vervormingswaarde op die balkelement dx ’n vervormingsarbeid verrig gelyk aan dié wat sou verkry word deur die arbeid van die skuifspannings op die afsonderlike volumeelemente waaruit die beskoude balkelement bestaan, te integreer:
waaruit volg
Die integraal kan bereken word wanneer die verspreiding van skuifspannings oor die deursnee bekend is. Aangesien al die skuifspannings eweredig is aan Q/F, is die waarde daarvan eweredig aan Q2/F2 * F, en as daar gestel word dat dit κ__Q2/F is, verkry ons
γ = κ__Q / GF.
Die konstante κ word die koëffisiënt van die verdeling van skuifspanning genoem. Vir reghoekige deursnitte is κ=1,2.
Fig. 16
Wanneer die koëff. κ, en daarmee ook die gemiddelde skuif γ bekend is, kan die bykomende deursakking wQ, ontstaan deur die werking van dwarsskeerkagte, bereken word, wat by die deursakkings w gevoeg moet word: want volgens fig. 16 is
en daarom is dit as gevolg van Q = dM/dx:
waarby die integrasiekonstante uit een randvoorwaarde verkry word.