Tegasan normal pada batang lurus dan batang dengan kelengkungan kecil
Definisi daya keratan
Anggaplah sebatang rod lurus dibebani oleh daya dari arah sewenang-wenangnya, dengan satu-satunya andaian bahawa semuanya terletak dalam satu satah (satah daya) yang melalui paksi rod (garis yang menghubungkan pusat-pusat graviti keratan rentas).
Raj. 1
Untuk mengira tegasan yang bertindak pada sesuatu keratan rentas n – n (raj. 1), perlu diketahui daya yang dipindahkan melalui keratan ini dari satu bahagian batang ke bahagian yang lain. Daya ini jelas sama, dari segi magnitud dan kedudukan, dengan hasil tambah semua daya yang bertindak pada satu bahagian batang. Hasil tambah ini diuraikan kepada komponen-komponen dalam sistem koordinat yang paksi x-nya bertepatan dengan paksi batang, manakala paksi z ialah garis di sepanjang mana satah keratan rentas memotong satah daya. Komponen dalam arah paksi z dipanggil daya melintang Q atau Qz dan bagi rasuk mudah dianggap positif jika di sebelah kiri keratan arahnya ke atas, dan di sebelah kanan ke bawah.
Apabila rod melengkung, paksi koordinat x dan z mempunyai arah yang berbeza pada setiap keratan, dan sentiasa sedemikian rupa sehingga paksi x menjadi tangen kepada paksi rod. Jika satah tempat paksi rod terletak tidak bertepatan dengan satah daya, atau jika paksi rod ialah lengkung ruang, resultan daya di sebelah kiri keratan juga mempunyai komponen ketiga, iaitu daya melintang Qy. Dengan N, Qz dan Qy ditentukan magnitud dan arah daya yang dipindahkan melalui keratan, tetapi bukan kedudukannya. Untuk ini, momen berkenaan paksi koordinatnya juga perlu diketahui. Dalam kes lenturan satah, memadai jika momen lentur M atau My diketahui. Dalam kes yang paling umum, satu lagi momen lentur Mz dan momen sekitar paksi x, Mx, turut muncul.
Enam daya dan momen yang ditakrifkan dalam penerangan sebelumnya dirangkum di bawah istilah umum „daya keratan“. Penentuannya ialah salah satu tugas asas statik struktur binaan.
Antara beban teragih berterusan p (dimensi: daya per unit panjang), daya melintang Q dan momen lenturan M terdapat hubungan mudah dalam kes lenturan satah. Iaitu, daripada syarat keseimbangan bagi satu unsur rod (raj. 2) diperoleh
dQ + p dx = 0,
dM = Q dx;
oleh itu
Q = dM/dx,
p = - dQ/dx = - d2M/dx2. (1a, b)
Gamb. 2
Taburan tegasan normal
Jika batang hanya dibebani dengan daya paksi, pada keratan rentas hanya timbul tegasan normal σ yang diedarkan seragam (batang tegangan, atau batang mampatan). Jika selain itu turut timbul momen lentur, tegasan-tegasan ini mesti diedarkan secara tidak seragam dengan cara tertentu, sehingga resultannya tidak lagi melalui pusat berat keratan rentas. Untuk menentukan susunan ini, teori teknikal lenturan tidak bermula daripada penyelesaian ketat persamaan asas, tetapi menggantikan sebahagian persamaan ini dengan andaian yang munasabah, yang dalam satu kes yang sangat mudah juga dipenuhi secara ketat. Kes khas ini ialah lenturan batang prisma lurus tanpa pengaruh daya melintang (raj. 3). Semua unsur batang yang cukup jauh dari hujungnya mengalami deformasi yang sama, yang secara langsung membawa kepada kesimpulan bahawa paksi batang berubah menjadi lengkok bulatan dan semua bidang keratan rentas yang pada asalnya tegak lurus kepada paksi batang kekal rata semasa deformasi, kerana setiap satunya merupakan bidang simetri bagi bahagian-bahagian bersebelahan batang yang terdeformasi. Secara semula jadi timbul andaian bahawa keratan rentas kekal hampir rata juga apabila momen lentur dan keratan rentas batang tidak malar, tetapi berubah secara beransur-ansur sepanjang batang. Andaian ini, yang disebut hipotesis Navier, menjadi asas teori lenturan.
Raj. 3
Magnitud tegasan normal
Apabila unsur lurus rasuk dibengkokkan, sebahagian daripada “iranya”, iaitu garis bahan yang selari dengan paksi batang, memanjang, manakala bahagian yang lain memendek (raj. 4). Di antara kedua-dua bahagian ini terletak serat neutral z=0, yang panjangnya tidak berubah semasa pembengkokan. Misalkan jejari kelengkungan serat-serat ini dalam keadaan bengkok ialah ϱ dan ia terletak dalam satah x-z. Daripada raj. 4 m boleh dibaca
Δ dx/z = _dx/_ϱ
dan daripada itu, regangan gentian yang dikira pada jarak z dari paksi neutral, yang bersamaan dengan
ε = Δ dx/dx = _z/_ϱ
maka berdasarkan hukum Hooke-nya tegasan
σ _= Ez/_ϱ (2)
Raj. 4
Tegasan ini berkadar dengan jarak dari serat neutral. Hasil sedemikian berkaitan dengan andaian bahawa sebelum ubah bentuk, semua serat unsur batang mempunyai panjang yang sama, jadi batang pada asalnya lurus, atau sekurang-kurangnya dengan kelengkungan yang begitu kecil sehingga kesan kelengkungan boleh diabaikan. Garis lurus di mana lapisan neutral dan satah keratan bersilang dipanggil paksi neutral. Ini kita ambil sebagai paksi y- (raj. 5). Kedudukan paksi neutral dalam keratan rentas diperoleh daripada syarat keseimbangan daya dalam arah paksi x-: jika daya normal N=0 (lenturan tanpa daya normal), maka resultan daya dalaman yang dinyatakan melalui tegasan normal dalam keratan juga mestilah sama dengan sifar:
Kamiran di sebelah kanan ialah momen statik luas berkenaan paksi y. Supaya ia sama dengan sifar, paksi ini mesti menjadi salah satu paksi pusat graviti.
Momen M yang menyebabkan ubah bentuk mempunyai komponen berbanding paksi y dan z dalam satah keratan (raj. 5):
Pers. (3)
di mana Iy, Iyz ialah momen inersia ekuatorial dan sentrifugal bagi keratan rentas berhubung dengan paksi yang ditandakan.
Kes yang paling penting ialah kes khas apabila Mz=0. Kes ini berlaku apabila Iyz=0, iaitu apabila y dan z ialah paksi inersia utama keratan rentas. Ini bermaksud bahawa satah lenturan yang diandaikan di sini bertepatan dengan satah x-z, iaitu dengan satah tempat bertindak momen lenturan M=My, yakni dengan satah daya.
Raj. 5
Jika daripada persamaan (2) dan (3) dihapuskan _E/_ϱ, diperoleh bentuk untuk menentukan tegasan pada lenturan seragam (Iy=I):
σ = M/I * z (4)
bagi titik tepi 1 dan 2 secara khusus ialah:
σ1 = M/I * h1 = M/W1, σ2 = - M/I * h2 = - M/W2. (5)
Kuantiti W1,2 = I/h1,2 (dimensi: panjang kuasa tiga) dipanggil momen rintangan. Jika paksi pusat graviti mendatar pada masa yang sama merupakan paksi simetri keratan rentas, maka W1 = W2, maka tegasan tepi adalah sama dari segi nilai mutlak.
Garis anjal
Gamb. 6
Kepentingan pola-pola di atas berkaitan dengan hukum Hooke. Ini menuntut bahawa σ << E, jadi menurut (2) h << ϱ. Namun, lenturan boleh sahaja sedemikian rupa sehingga ϱ berada pada orde magnitud yang sama dengan panjang batang l. Bagi batang bengkok yang relevan dalam pembinaan, keadaan ini tidak berlaku; ϱ sentiasa jauh lebih besar daripada l dan oleh itu pesongan w << l (raj. 6). Maka secara anggaran berlaku:
1/ ϱ = - d2w/dx2 = -w’’
dan berdasarkan (3):
w’’ = - M/EI.
Persamaan ini dan syarat keseimbangan (1b) membentuk sistem persamaan pembezaan bagi batang yang melentur. Melalui penyingkiran, ia boleh dikurangkan kepada satu persamaan tertib keempat:
wIV = + p/EI
atau, dalam kes saat inersia berubah:
(EIw’’)’’ = +p.
Daripadanya, melalui pengintegralan, bentuk garis anjal dapat ditentukan apabila beban p=p(x) diberikan dan apabila dua syarat sempadan diketahui bagi setiap kes batang. Sekurang-kurangnya dua daripada syarat ini mesti berkaitan dengan deformasi. Untuk butiran lanjut lihat artikel Statika struktur binaan.
Inti keratan
Jika paksi neutral memotong keratan rentas, ia membahagikannya kepada zon tegangan dan zon tekanan. Bagi bahan dengan kekuatan tegangan yang rendah, timbul persoalan di mana daya tekan harus bertindak, jika pada keratan rentas tidak boleh berlaku tegangan di mana-mana. Kedudukan titik tindakan daya kemudian dihadkan kepada kawasan yang disebut teras keratan. Sempadan teras jelas merupakan lokus titik-titik, yang paksi neutralnya menyentuh keratan rentas pada kelilingnya. Dengan ini sekali gus diberikan juga pembinaannya.
Jarak sempadan inti dari pusat berat, diukur dalam mana-mana arah, akan kita nyatakan dengan indeks k yang sepadan dengan arah itu. Bagi paksi inersia utama menurut persamaan
σ = N/F + Mz/Iz y + My/Iy z (6)
istilahnya adalah seperti berikut:
ky = i2z / ey, kz = i2y / ez. (7)
Bagi keratan rentas bulat berjari-jari r, jarak teras ialah k = r/4, dan bagi gelang bulat (jari-jari: luar R, dalam r) k = (R2 + r2) / 4R.
Bagi segi empat tepat (raj. 7) ialah ky = 1/6 b, kz = 1/6 h. Maka, apabila keratan rentas segi empat tepat dibebankan dalam salah satu satah simetri (tetapi hanya pada ketika itu) memadai agar resultan bertindak dalam satu pertiga tengah ketinggian atau lebar keratan rentas, supaya tegasan dalam keratan rentas mempunyai tanda yang sama.
Raj. 7
Lenturan dalam kawasan plastik
Apabila had alah dicapai pada gentian tepi batang yang dibengkokkan, keupayaan menanggung bebannya masih belum habis, kerana ketika gentian luar berubah bentuk secara plastik pada tegasan yang malar, pada bahagian yang lebih dekat dengan paksi neutral, di mana had alah belum lagi dicapai, tegasan meningkat, dan dengan itu turut meningkat momen lentur yang dapat ditahan oleh keratan.
Jika aliran tepat rajah tegasan dan regangan diketahui, proses bagi keratan simetri ganda (tinggi h) dapat diikuti dengan mudah secara pengiraan dengan cara bahawa, dengan andaian keratan kekal rata, daripada rajah tegasan dan regangan ditentukan taburan tegasan σ akibat lenturan yang sepadan dengan suatu regangan hujung gentian ε__r yang diambil, dan daripada itu momen lentur ditentukan melalui pengamiran. Jika ini dilakukan untuk pelbagai ε__r dan, di sisi lain, kelengkungan yang sepadan bagi garis pesongan dikira w’’ = 2 ε__r / h, diperoleh satu siri titik yang melaluinya dapat dilukiskan satu garis yang memberikan hubungan antara momen lentur dan kelengkungan M = M(w’’); hubungan ini tidak lagi linear, dan apabila ia diketahui, garis pesongan yang sepadan dengan taburan momen tertentu dapat ditentukan melalui pengamiran grafik. Jika keratan tidak simetri, pengiraan menjadi lebih rumit, kerana bagi setiap ε__r kedudukan paksi neutral juga mesti ditentukan.
Raj. 8
Pengiraan ini menjadi agak lebih mudah jika, selain simetri keratan rentas, diandaikan juga hubungan yang dipermudah antara tegasan dan regangan menurut raj. 8. Maka, tegasan akibat lenturan selepas melepasi had alah mempunyai susunan yang ditunjukkan pada raj. 9 dan momen lentur ialah:
maka kelengkungan garisan lenturan diperoleh apabila persamaan (2) digunakan pada bahagian keratan yang tegangannya berada dalam kawasan anjal w’’ = σf / Ez’. Jika bentuk keratan bagi setiap z’ yang diambil adalah diketahui, kamiran boleh dikira. Contohnya, untuk kes paling mudah keratan rentas segi empat tepat dengan lebar b dan tinggi h ialah
Jika di sini z’ dinyatakan melalui w’’, diperoleh
Bagi keratan-I dan yang seumpamanya, alur lengkung M-w’’ dalam kawasan plastis adalah lebih mendatar, dan momen pada saat pengaliran bermula pada masa itu secara praktikal sama dengan momen lentur maksimum yang dapat ditanggung oleh keratan itu. Oleh itu, kepentingan lenturan plastis dalam pembinaan bukanlah terletak pada peningkatan momen lentur yang boleh dibawa oleh keratan, tetapi pada hakikat bahawa ubah bentuk tempatan yang besar yang berlaku pada had aliran boleh membawa kepada perubahan susunan daya yang menguntungkan dalam sistem tak tentu statik.
Raj. 9
Ini boleh dijelaskan dengan contoh rasuk berterusan merentasi dua bentang. Andaikan rasuk (raj. 10) mempunyai bentang sama panjang, keratan rentas seragam dan dikenakan beban teragih seragam. Maka sebelum mencapai had alah, momen di atas sokongan MB = _pl_2/8. Jika beban p ditingkatkan sehingga momen dalam keratan sokongan mencapai nilai Mf di mana alah bermula, pada peningkatan beban seterusnya pada tempat itu juga lengkungan akan bertambah tanpa pertambahan momen yang ketara. Terdapat apa yang disebut sendi plastik, iaitu rasuk di bawah beban tambahan bertindak seolah-olah di atas sokongan tengah terdapat sendi. Beban boleh terus ditingkatkan sehingga di tempat momen maksimum dalam bentang juga bermula alah. Peningkatan lanjut momen lentur tidak lagi mungkin dan kapasiti galas rasuk telah habis. Beban yang menyebabkan keadaan ini dinamakan beban had.
Gamb. 10
Secara umum, boleh dijangka bahawa dalam suatu sistem yang tidak tentu secara statik sebanyak n kali, perlu muncul (n+1) sendi plastis sebelum sistem menjadi boleh bergerak dan dengan itu mencapai had dayanya. Namun, peraturan ini mempunyai pengecualian ke kedua-dua arah. Seperti yang ditunjukkan oleh contoh tersebut, pada had daya boleh muncul serentak dua sendi plastis baharu (dalam kedua-dua bentang), sehingga sistem yang masih kaku sebelum itu tiba-tiba bertukar menjadi sistem dengan dua darjah kebebasan. Sebaliknya, adalah mungkin bahawa walaupun dengan kurang daripada (n+1) sendi plastis, daya tahan telah habis secara setempat, misalnya apabila pada galang berterusan hanya satu bentang yang gagal. Raj. 11 menunjukkan bagaimana ini boleh berlaku pada suatu sistem yang tidak tentu secara statik dua kali dengan n=2 sendi plastis. Jika pada sebelah kanan galang ditambah pula bentang keempat, galang menjadi tidak tentu secara statik tiga kali, maka (n-1) sendi plastis sudah mencukupi untuk membawa hanya bentang kiri ke had daya.
Raj. 11
Tegasan ricih semasa lenturan
Pengiraan asas
Gamb. 12
Tegasan normal σ, iaitu tegasan yang sebenarnya timbul akibat lenturan bukanlah satu-satunya tegasan dalam batang yang melentur, tetapi di samping itu juga timbul tegasan ricih akibat tindakan daya melintang. Memandangkan ciri asas teori teknikal lenturan ialah pengabaian ubah bentuk akibat tegasan ricih, tegasan ini hanya boleh ditentukan daripada syarat keseimbangan. Untuk menetapkan ini, unsur rasuk dx dipotong, seperti yang ditunjukkan pada raj. 12, oleh satah mendatar kepada dua bahagian, lalu syarat keseimbangan daya mendatar yang bertindak ke atas bahagian bawah ditetapkan. Di sebelah kiri, ini ialah daya dalaman yang dinyatakan oleh tegasan σ akibat lenturan, yang hendak diintegrasikan dari z’ = z hingga z’ = h2
Di sebelah kanan bertindak tegasan yang sama, tetapi ditambah dengan diferensial mengikut momen lentur yang sepadan M + dM. Perbezaan antara daya pada kedua-dua sisi elemen mestilah seimbang dengan daya akibat tegasan ricih τ yang bertindak pada permukaan keratan mendatar t dx:
Di sini, kamiran mewakili momen statik bahagian keratan rentas yang dipisahkan oleh satah keratan rentas mendatar berbanding paksi pusat keratan. Ia dilambangkan dengan S. Dengan dM/dx = Q daripada syarat keseimbangan diperoleh:
τ = QS/It. (8)
Menurut prinsip kesalinggandingan tegasan ricih, ini pada masa yang sama ialah magnitud tegasan ricih menegak yang bertindak pada permukaan keratan rentas dan, bersama-sama dengan S dan t, merupakan fungsi z.
Gamb. 13
Raj. 13.1
Persamaan (8) memberikan data yang boleh dipercayai bagi semua keratan berdinding nipis jika satah keratan tidak diletakkan selari dengan paksi neutral, tetapi dalam arah ketebalan dinding. Oleh itu, profil-I dipotong secara melintang melalui web dan secara melintang melalui flange, yang menghasilkan taburan tegasan seperti yang ditunjukkan pada raj. 13.1. Bagi keratan cincin (raj. 13), tegasan ricih tersusun secara simetri berbanding diameter menegak dan di kiri serta kanan pada garis neutral mencapai maksimum
τ = Q / πrt.
Jika keratan dipotong pada titik paling tinggi atau paling rendah, susunan tegasan ricih tidak berubah; namun, jika ia dipotong pada hujung kanan diameter mendatar (raj. 14), tegasan ricih pada titik itu adalah sifar, manakala nilainya menjadi dua kali ganda pada hujung kiri diameter yang sama.
Raj. 14
Keratan penuh
Bagi keratan padu berbentuk sebarang, masalah tegasan ricih berkait rapat dengan isu kilasan. Persamaan asas (8) dalam kes itu tidak lagi boleh dipercayai. Bagi keratan bulat dengan jejari r, persamaan (8) memberikan
τ = 4Q / 3__πr2
sebagai nilai purata tegasan ricih sepanjang paksi neutral, dan nilai tepatnya hanya beberapa peratus lebih besar.
Pusat ricih
Jika tegasan ricih untuk keratan U dikira dengan cara yang diterangkan di atas, maka taburan tegasan yang ditunjukkan pada raj. 15 diperoleh. Hasilan daya dalaman yang sepadan ialah daya melintang Q. Daripada rajah dapat dilihat kedudukannya berhubung dengan keratan, iaitu bahawa ia tidak melalui pusat graviti keratan, dan juga tidak terletak dalam satah rusuk. Jika daya melintang yang dikira berdasarkan daya luaran tidak mempunyai kedudukan seperti yang ditunjukkan pada raj. 15, rasuk itu tidak hanya dibebani dalam lenturan, tetapi juga dalam kilasan.
Jika resultan untuk keratan rentas yang sama ditentukan dan sepadan dengan tegasan ricih bagi sesuatu beban mendatar, terhasil garis tindakan daya melintang mendatar. Pada persilangan dua garis tindakan ini terletak titik ciri bagi keratan rentas tersebut, yang disebut pusat ricih M. Dalam anggota tidak timbul tegasan akibat torsi apabila pusat ricih semua keratan rentas terletak pada satu garis lurus, dan semua beban yang tegak lurus terhadap paksi batang melalui garis itu. Jika tidak, momen setiap beban terhadap garis yang menghubungkan pusat-pusat ricih merupakan ricih torsion.
Raj. 15
Kesan daya melintang terhadap lenturan
Teori teknikal pembengkokan berasaskan pengabaian ubah bentuk akibat tegasan ricih. Oleh itu, ia sebenarnya boleh digunakan pada batang langsing, di mana pengabaian ini adalah wajar dan daya melintang tidak memberi kesan ketara pada pembengkokan.
Pengalaman, namun demikian, menunjukkan bahawa teori lenturan teknikal boleh dengan kejayaan tertentu juga digunakan pada penyokong pendek dan tinggi, walaupun pada hakikatnya teori itu sama sekali tidak ditujukan untuknya. Maka timbul keperluan supaya pengaruh ubah bentuk akibat tegasan ricih, yang dalam teori ini diabaikan, diambil kira sekurang-kurangnya secara anggaran sebagai tambahan.
Begitu juga seperti tegasan ricih τ akibat daya melintang dan gelinciran yang bersesuaian γ_’ =_ τ_/G_ diagihkan secara tidak sekata pada keratan. Oleh itu diperkenalkan nilai puratanya γ, yang ditentukan supaya daya melintang pada nilai purata ubah bentuk ini melakukan kerja ubah bentuk pada unsur rasuk dx yang sama dengan kerja yang akan diperoleh dengan mengintegralkan kerja tegasan ricih pada unsur-unsur isipadu individu yang membentuk unsur rasuk yang diperhatikan ini:
daripada sini
Kamiran boleh dikira apabila taburan tegasan ricih pada keratan rentas diketahui. Oleh sebab semua tegasan ricih berkadar dengan Q/F, maka nilainya berkadar dengan Q2/F2 * F, lalu dengan meletakkannya sebagai κ__Q2/F, diperoleh
γ = κ__Q / GF.
Pemalar κ disebut pekali taburan tegasan ricih. Bagi keratan rentas segi empat tepat, κ=1,2.
Gamb. 16
Apabila pekali κ diketahui, dan dengan itu juga gelinciran purata γ, lenturan tambahan wQ, yang terhasil daripada tindakan daya transversal, boleh dikira dan perlu ditambah kepada lenturan w: kerana menurut raj. 16 ialah
maka oleh sebab Q = dM/dx:
di mana pemalar pengamiran diperoleh daripada satu syarat sempadan.