Tensiones normales en barras rectas y barras con pequeña curvatura
Definición de esfuerzos internos
Sea una barra recta cargada con fuerzas de dirección arbitraria, respecto de las cuales solo se supone que todas se encuentran en un mismo plano (plano de fuerzas) que pasa por el eje de la barra (línea que une los centros de gravedad de las secciones transversales).
Fig. 1
Para calcular las tensiones que actúan en una determinada sección transversal n – n (fig. 1), es necesario conocer la fuerza que se transmite a través de esta sección de una parte de la barra a la otra. Ella es, evidentemente, igual en magnitud y posición a la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre una parte de la barra. Esta resultante se descompone en componentes en un sistema de coordenadas cuyo eje x-coincide con el eje de la barra, y el eje z-es la línea a lo largo de la cual el plano de la sección transversal corta el plano de las fuerzas. La componente en dirección del eje z se denomina fuerza transversal Q o Qz y en una viga simple se considera positiva si a la izquierda de la sección tiene dirección ascendente y a la derecha descendente.
Cuando la barra es curva, los ejes de coordenadas x y z tienen en cada sección una dirección distinta y siempre de modo que el eje x sea tangente al eje de la barra. Si el plano en el que yace el eje de la barra no coincide con el plano de las fuerzas, o si el eje de la barra es una curva espacial, la resultante de las fuerzas a la izquierda de la sección tiene además un tercer componente, la fuerza transversal Qy. Con N, Qz y Qy quedan determinados el valor y la dirección de la fuerza que se transmite a través de la sección, pero no su posición. Para ello es necesario conocer también sus momentos respecto de los ejes de coordenadas. En el caso de flexión plana basta con que se conozca el momento flector M o My. En el caso más general aparece además otro momento flector Mz y el momento alrededor del eje x, Mx.
Las seis fuerzas y momentos definidos en la exposición anterior se agrupan bajo el nombre común de «fuerzas de sección». Su determinación es una de las tareas fundamentales de la estática de las estructuras de edificación.
Entre la carga distribuida de forma continua p (dimensión: fuerza por unidad de longitud), la fuerza transversal Q y el momento flector M existe, en el caso de flexión plana, una relación simple. En efecto, a partir de las condiciones de equilibrio de un elemento de barra (fig. 2) se obtiene
dQ + p dx = 0,
dM = Q dx;
por lo tanto
Q = dM/dx,
p = - dQ/dx = - d2M/dx2. (1a, b)
Fig. 2
Distribución de las tensiones normales
Si una barra está cargada solo con una fuerza axial, en la sección aparece únicamente la tensión normal σ distribuida uniformemente (barra traccionada, o bien comprimida). Si además aparece un momento flector, estas tensiones deben distribuirse de algún modo de forma no uniforme, de manera que su resultante ya no pase por el centro de gravedad de la sección. Para determinar esta distribución, la teoría técnica de la flexión no parte de la solución rigurosa de las ecuaciones fundamentales, sino que sustituye una parte de estas ecuaciones por una suposición plausible que, en un caso especialmente sencillo, se cumple también rigurosamente. Este caso especial es la flexión de una barra prismática recta sin acción de fuerzas transversales (fig. 3). Todos los elementos de la barra que están suficientemente alejados de sus extremos sufren la misma deformación, de lo cual se deduce inmediatamente que el eje de la barra se transforma en un arco de circunferencia y que todos los planos de las secciones transversales, que originalmente eran perpendiculares al eje de la barra, permanecen planos durante la deformación, porque cada uno de ellos es un plano de simetría para las partes vecinas de la barra deformada. Surge de forma natural la suposición de que las secciones transversales permanecen aproximadamente planas también cuando el momento flector y la sección transversal de la barra no son constantes, sino que varían gradualmente a lo largo de la barra. Esta suposición, denominada hipótesis de Navier, constituye la base de la teoría de la flexión.
Fig. 3
Magnitud de las tensiones normales
Cuando se dobla el elemento recto de una viga, una parte de sus «fibras», es decir, de las líneas materiales paralelas al eje de la barra, se alarga, mientras que la otra parte se acorta (fig. 4). Entre estas dos partes se encuentran las fibras neutras z=0, cuya longitud no cambia durante la flexión. Sea el radio de curvatura de estas fibras en estado flexionado ϱ y sea que se encuentre en el plano x-z. De la fig. 4 može se leer
Δ dx/z = _dx/_ϱ
y a partir de ello calcular la deformación de las fibras a la distancia z del eje neutro, que es
ε = Δ dx/dx = _z/_ϱ
por lo que, sobre la base de la ley de Hooke, la tensión
σ _= Ez/_ϱ (2)
Fig. 4
Esta tensión es proporcional a la distancia respecto a las fibras neutras. Tal resultado está vinculado con la hipótesis de que antes de la deformación todas las fibras del elemento de la barra tenían la misma longitud, de modo que la barra era inicialmente recta, o al menos tenía una curvatura tan pequeña que el efecto de la curvatura podía despreciarse. La recta en la que se cortan la capa neutra y el plano de la sección se denomina eje neutro. Lo adoptamos como eje y (fig. 5). La posición del eje neutro en la sección transversal se obtiene a partir de la condición de equilibrio de fuerzas en la dirección del eje x: si la fuerza normal N=0 (flexión sin fuerza normal), entonces también la resultante de las fuerzas internas expresada mediante tensiones normales en la sección debe ser igual a cero:
La integral del lado derecho es el momento estático del área respecto al eje y. Para que sea igual a cero, este eje debe ser uno de los ejes centroidales.
El momento M que provoca la deformación tiene, respecto de los ejes y y z en el plano de la sección (fig. 5), las componentes:
Ecuación (3)
siendo Iy, Iyz los momentos de inercia ecuatorial y centrífugo de la sección con respecto a los ejes indicados.
El caso especial más importante es cuando Mz=0. Este caso se presenta cuando Iyz=0, es decir, cuando y y z son los ejes principales de inercia de la sección. Esto significa que el plano de flexión aquí adoptado coincide con el plano x-z\ y con el plano en el que actúa el momento flector M=My, es decir, con el plano de las fuerzas.
Fig. 5
Si de las ecuaciones (2) y (3) se elimina _E/_ϱ, se obtiene el formato para determinar la tensión en la flexión simple (Iy=I):
σ = M/I * z (4)
para los puntos extremos 1 y 2 es especialmente:
σ1 = M/I * h1 = M/W1, σ2 = - M/I * h2 = - M/W2. (5)
Las magnitudes W1,2 = I/h1,2 (dimensión: longitud al cubo) se llaman momentos resistentes. Si el eje horizontal del centro de gravedad coincide además con el eje de simetría de la sección, entonces W1 = W2, por lo que las tensiones extremas son iguales en valor absoluto.
Línea elástica
Fig. 6
La importancia de las formas anteriores está relacionada con la ley de Hooke. Esto exige que σ << E, por lo tanto, según (2) h << ϱ. No obstante, la flexión puede ser tal que ϱ sea del mismo orden de magnitud que la longitud de la barra l. En las barras flexionadas que interesan en la construcción, este caso no se presenta; siempre ϱ es considerablemente mayor que l y, por consiguiente, la flecha w << l (fig. 6). Entonces aproximadamente vale:
1/ ϱ = - d2w/dx2 = -w’’
y sobre la base de (3):
w’’ = - M/EI.
Esta ecuación y la condición de equilibrio (1b) forman el sistema de ecuaciones diferenciales de la barra flexionada. Mediante eliminación, pueden reducirse a una sola ecuación de cuarto orden:
wIV = + p/EI
o, en caso de que el momento de inercia sea variable:
(EIw’’)’’ = +p.
A partir de ellas puede encontrarse por integración la forma de la línea elástica cuando se da la carga p=p(x) y cuando para cada caso de barra se conocen dos condiciones de contorno. De estas, al menos dos deben referirse a la deformación. Para más detalles, véase el artículo Estática de las estructuras de construcción.
Núcleo de la sección
Si el eje neutro corta la sección transversal, la divide en una zona de tracción y una zona de compresión. En materiales con baja resistencia a la tracción surge la cuestión de dónde debe actuar la fuerza de compresión, si en la sección transversal no debe aparecer tracción en ningún punto. La posición del punto de aplicación de la fuerza queda entonces limitada a la región denominada núcleo de la sección. El límite del núcleo es evidentemente el lugar geométrico de los puntos cuyos ejes neutros son tangentes a la sección transversal en todo su contorno. Con ello queda dada también su construcción.
La distancia del límite del núcleo al centro de gravedad, medida en cualquier dirección, la обозначaremos con el índice k correspondiente a esa dirección. Para los ejes principales de inercia, según la ecuación
σ = N/F + Mz/Iz y + My/Iy z (6)
los términos son los siguientes:
ky = i2z / ey, kz = i2y / ez. (7)
Para una sección transversal circular de radio r, la distancia al núcleo es k = r/4, y para un anillo circular (radios: exterior R, interior r) k = (R2 + r2) / 4R.
Para el rectángulo (fig. 7) es ky = 1/6 b, kz = 1/6 h. Por tanto, al cargar una sección rectangular en uno de los planos de simetría (pero solo entonces) basta con que la resultante incida en el tercio central de la altura o del ancho de la sección transversal, para que las tensiones en la sección tengan el mismo signo.
Fig. 7
Flexión en el ámbito plástico
Cuando en las fibras extremas de una barra sometida a flexión se ha alcanzado el límite elástico, con ello su capacidad portante todavía no se ha agotado, porque mientras las fibras exteriores se deforman plásticamente a tensión constante, en las partes situadas más cerca del eje neutro, donde el límite elástico aún no se ha alcanzado, la tensión aumenta, y con ello también aumenta el momento flector que la sección puede soportar.
Si se conoce el desarrollo exacto del diagrama de tensiones y deformaciones, el proceso para secciones doblemente simétricas (de altura h) puede seguirse fácilmente por cálculo de la siguiente manera: suponiendo que las secciones permanecen planas, a partir del diagrama de tensiones y deformaciones se determina la distribución de tensiones σ debidas a la flexión que corresponde a una determinada dilatación adoptada de las fibras extremas ε__r y, a partir de ahí, mediante integración, se determina el momento flector. Si esto se realiza para distintos ε__r y, por otra parte, se calcula la curvatura correspondiente de la línea de flecha w’’ = 2 ε__r / h, se obtiene una serie de puntos por los que puede trazarse una línea que da la relación entre el momento flector y la curvatura M = M(w’’); esta relación ya no es lineal y, cuando se conoce, es posible determinar por integración gráfica la línea de flecha que corresponde a una distribución dada de momentos. Si la sección es asimétrica, el cálculo se vuelve más complejo en la medida en que para cada ε__r también debe determinarse la posición del eje neutro.
Fig. 8
El cálculo se simplifica en cierta medida si, además de la simetría de la sección, se supone también una relación simplificada entre tensiones y deformaciones según la fig. 8. Entonces, las tensiones debidas a la flexión, una vez superado el límite de fluencia, tienen la distribución mostrada en la fig. 9 y el momento flector es:
y así la curvatura de la línea de flecha se obtiene cuando la ecuación (2) se aplica a la parte de la sección cuyas tensiones están en la zona elástica w’’ = σf / Ez’. Si la forma de la sección es conocida para cada z’ adoptado, los integrales pueden calcularse. Por ejemplo, para el caso más simple de una sección transversal rectangular de anchura b y altura h es
Si aquí z’ se expresa mediante w’’, se obtiene
En las secciones en I y similares, el trazado de la curva M-w’’ en la zona plástica es aún más tendido y el momento en el que aparece la fluencia es entonces prácticamente igual al mayor momento flector que la sección puede soportar en absoluto. Por ello, la importancia de la flexión plástica en la construcción no consiste en aumentar el momento flector que la sección puede soportar, sino en que la gran deformación local que aparece en el límite de fluencia puede provocar una redistribución favorable de esfuerzos en sistemas estáticamente indeterminados.
Fig. 9
Esto puede explicarse con el ejemplo de una viga continua de dos vanos. Supongamos que la viga (fig. 10) tiene vanos de igual longitud, sección constante y está cargada con una carga uniformemente repartida. Entonces, antes de alcanzar el límite de fluencia, el momento sobre el apoyo MB = _pl_2/8. Si la carga p aumenta hasta tal punto que el momento en la sección del apoyo alcance el valor Mf, en el que se produce la fluencia, con un ulterior aumento de la carga en ese lugar también aumentará la curvatura sin un incremento apreciable del momento. Se forma el llamado articulación plástica, es decir, la viga bajo carga adicional se comporta como si sobre el apoyo intermedio existiera una articulación. La carga puede seguir aumentando hasta que también en el lugar del mayor momento en el vano comience la fluencia. Un ulterior aumento del momento flector ya no es posible y la capacidad portante de la viga queda agotada. La carga bajo la cual se produce este estado se denomina carga límite.
Fig. 10
En general puede esperarse que en un sistema estáticamente indeterminado en n grados tenga que aparecer (n+1) rótulas plásticas antes de que el sistema se vuelva móvil y alcance así su límite de capacidad portante. Sin embargo, esta regla tiene excepciones en ambos sentidos. Como muestra el ejemplo mencionado, en el límite de capacidad portante pueden aparecer simultáneamente dos nuevas rótulas plásticas (en ambos tramos), de modo que un sistema que hasta entonces aún era inmóvil pasa de repente a un sistema con dos grados de libertad. Por otro lado, es posible que incluso con menos de (n+1) rótulas plásticas la capacidad portante se agote localmente, por ejemplo, cuando en una viga continua cede solo un tramo. La fig. 11 muestra cómo puede suceder esto en un sistema estáticamente dos veces indeterminado con n=2 rótulas plásticas. Si en el lado derecho de la viga se añade además un cuarto tramo, la viga pasa a ser estáticamente tres veces indeterminada, por lo que bastan (n-1) rótulas plásticas para llevar solo el tramo izquierdo al límite de capacidad portante.
Fig. 11
Tensiones cortantes en la flexión
Cálculo elemental
Fig. 12
Las tensiones normales σ, es decir, las tensiones que en realidad aparecen a causa de la flexión, no son las únicas tensiones en la barra flexionada, sino que junto a ellas aparecen también tensiones cortantes debidas a la acción de la fuerza transversal. Dado que la característica fundamental de la teoría técnica de la flexión es que se desprecian las deformaciones debidas a las tensiones cortantes, estas solo pueden determinarse a partir de las condiciones de equilibrio. Para plantearlas, el elemento de viga dx se corta, como se indica en la fig. 12, por un plano horizontal en dos partes, y se establece la condición de equilibrio de las fuerzas horizontales que actúan sobre la parte inferior. En el lado izquierdo son las fuerzas internas expresadas por las tensiones σ debidas a la flexión, para las cuales hay que integrar desde z’ = z hasta z’ = h2
En el lado derecho actúan las mismas tensiones, pero aumentadas por el diferencial de acuerdo con el correspondiente momento flector M + dM. La diferencia entre las fuerzas a ambos lados del elemento debe estar en equilibrio con la fuerza debida a las tensiones cortantes τ que actúan en la superficie de sección horizontal t dx:
Aquí, la integral representa el momento estático de la parte de la sección transversal delimitada por un plano transversal horizontal con respecto al eje del baricentro de la sección. Se обозначa con S. De dM/dx = Q_, a partir de la condición de equilibrio, se obtiene:
τ = QS/It. (8)
Esto corresponde, según el principio de conjugación de las tensiones cortantes, al valor de la tensión cortante vertical que actúa en la superficie de la sección transversal y que, junto con S y t, es función de z.
Fig. 13
Fig. 13.1
La ecuación (8) proporciona datos fiables en todas las secciones de paredes delgadas si el plano de la sección no se dispone paralelo al eje neutro, sino en la dirección del espesor de la pared. Por consiguiente, el perfil I se corta transversalmente a través del alma y transversalmente a través del ala, obteniéndose la distribución de tensiones mostrada en la fig. 13.1. En la sección anular (fig. 13), las tensiones cortantes se distribuyen simétricamente respecto del diámetro vertical y alcanzan su máximo a izquierda y derecha de la línea neutra
τ = Q / πrt.
Si la sección se corta en el punto más alto o más bajo, la distribución de las tensiones cortantes no cambia; sin embargo, si se corta en el extremo derecho del diámetro horizontal (fig. 14), la tensión cortante en ese punto es igual a cero, mientras que su valor se duplica en el extremo izquierdo de ese mismo diámetro.
Fig. 14
Secciones macizas
En secciones macizas de forma arbitraria, el problema de las tensiones cortantes está estrechamente relacionado con la torsión. La ecuación elemental (8) en ese caso ya no es fiable. Para una sección circular de radio r, la ecuación (8) da
τ = 4Q / 3__πr2
como valor medio de la tensión cortante a lo largo del eje neutro, y el valor exacto es solo algunos por cientos mayor.
Centro de corte
Si para la sección en U se calculan las tensiones cortantes del modo descrito arriba, se obtiene la distribución de tensiones mostrada en la fig. 15. La resultante de las fuerzas internas correspondientes es la fuerza transversal Q. De la figura puede verse su posición con respecto a la sección; es decir, que no pasa por el centro de gravedad de la sección ni se encuentra en el plano del alma. Si la fuerza transversal calculada a partir de las fuerzas externas no tiene la posición mostrada en la fig. 15, la viga no está sometida solo a flexión, sino también a torsión.
Si para la misma sección transversal se determina la resultante que corresponde a las tensiones cortantes para una determinada carga horizontal, se obtiene la línea de acción de la fuerza transversal horizontal. En la intersección de estas dos líneas de acción se encuentra el punto característico de la sección transversal dada, que se denomina centro de cortante M. En la viga no aparecen tensiones debidas a la torsión cuando los centros de cortante de todas las secciones transversales yacen sobre una misma recta y todas las cargas perpendiculares al eje de la barra pasan por esa recta. En caso contrario, el momento de cada carga respecto de la recta que une los centros de cortante constituye la torsión cortante.
Fig. 15
Influencia de la fuerza transversal sobre la flexión
La teoría técnica de la flexión se basa en despreciar las deformaciones debidas a las tensiones cortantes. Por ello, en realidad solo puede aplicarse a barras esbeltas, en las que esta simplificación está justificada y donde la fuerza transversal no tiene una influencia apreciable sobre la flexión.
Sin embargo, la experiencia ha demostrado que la teoría técnica de la flexión puede aplicarse con cierto éxito también a las vigas cortas y altas, para las que en realidad no está destinada. Entonces surge la necesidad de tener en cuenta posteriormente, al menos de forma aproximada, la influencia de la deformación debida a las tensiones cortantes, que en esta teoría se desprecia.
Del mismo modo que las tensiones cortantes τ debidas a las fuerzas transversales y los correspondientes deslizamientos γ_’ =_ τ_/G_ se distribuyen de manera no uniforme sobre la sección. Por ello se introduce su valor medio γ, que se determina de modo que la fuerza transversal, con este valor medio de deformación, realice en el elemento de viga dx un trabajo de deformación igual al que se obtendría integrando los trabajos de las tensiones cortantes sobre los distintos elementos volumétricos que forman el elemento de viga considerado:
de donde
La integral puede calcularse cuando se conoce la distribución de las tensiones cortantes en la sección. Como todas las tensiones cortantes son proporcionales a Q/F, su valor es proporcional a Q2/F2 * F, por lo que, suponiendo que sea κ__Q2/F, se obtiene
γ = κ__Q / GF.
La constante κ se denomina coeficiente de distribución de las tensiones cortantes. Para secciones rectangulares, κ=1,2.
Fig. 16
Cuando se conoce el coef. κ, y con ello el deslizamiento medio γ, puede calcularse la flecha adicional wQ, producida por la acción de fuerzas transversales, que debe sumarse a las flechas w: porque según la fig. 16 es
por lo que, debido a Q = dM/dx:
con lo cual la constante de integración se obtiene a partir de una condición de contorno.