Normale spanningen bij rechte staven en staven met geringe kromming
Definitie van de snedekrachten
Laat een rechte staaf worden belast met krachten van willekeurige richting, waarvan alleen wordt aangenomen dat zij alle in één vlak liggen (krachtenvlak) dat door de as van de staaf gaat (de lijn die de zwaartepunten van de dwarsdoorsneden verbindt).
Afb. 1
Om de spanningen te berekenen die in een bepaalde dwarsdoorsnede n – n (afb. 1) werken, moet men de kracht kennen die via deze doorsnede van het ene deel van de staaf op het andere wordt overgebracht. Zij is blijkbaar qua grootte en ligging gelijk aan de resultante van alle krachten die op één deel van de staaf aangrijpen. Deze resultante wordt ontbonden in componenten in een coördinatenstelsel waarvan de x-as samenvalt met de as van de staaf, en de z-as de lijn is waarlangs het vlak van de dwarsdoorsnede het krachtvlak snijdt. De component in de richting van de z-as wordt de dwarskracht Q of Qz genoemd en wordt bij een eenvoudige balk als positief beschouwd als zij links van de doorsnede naar boven is gericht en rechts naar beneden.
Wanneer een staaf gebogen is, hebben de coördinaatassen x en z in elke doorsnede een andere richting, en wel steeds zo dat de x-as raaklijn is aan de hartlijn van de staaf. Als het vlak waarin de hartlijn van de staaf ligt niet samenvalt met het vlak van de krachten, of als de hartlijn van de staaf een ruimtelijke kromme is, heeft de resultante van de krachten links van de doorsnede ook een derde component, de dwarskracht Qy. Met N, Qz en Qy zijn grootte en richting van de kracht bepaald die via de doorsnede wordt overgedragen, maar niet haar ligging. Hiervoor moeten ook de momenten ten opzichte van de coördinaatassen bekend zijn. In het geval van vlak buigen is het voldoende dat het buigmoment M of My bekend is. In het meest algemene geval verschijnt nog een ander buigmoment Mz en een moment om de x-as, Mx.
De zes krachten en momenten die in het voorgaande zijn gedefinieerd, worden samengevat onder de verzamelnaam „snedekrachten“. Hun bepaling is een van de basisopgaven van de statica van bouwconstructies.
Tussen de continu verdeelde belasting p (dimensie: kracht per lengte-eenheid), de dwarskracht Q en het buigmoment M bestaat in het geval van vlakke buiging een eenvoudige relatie. Uit de evenwichtsvoorwaarden van een staafelement (afb. 2) volgt namelijk
dQ + p dx = 0,
dM = Q dx;
daarom
Q = dM/dx,
p = - dQ/dx = - d2M/dx2. (1a, b)
Afb. 2
Verdeling van de normale spanningen
Als een staaf alleen door een axiale kracht wordt belast, verschijnt in de doorsnede slechts de gelijkmatig verdeelde normale spanning σ (getrokken, resp. gedrukt staaf). Als daarbij ook een buigmoment optreedt, moeten deze spanningen op de een of andere manier ongelijkmatig verdeeld zijn, zodat hun resultante niet langer door het zwaartepunt van de doorsnede gaat. Om deze verdeling te bepalen, vertrekt de technische buigingstheorie niet van een strikte oplossing van de fundamentele vergelijkingen, maar vervangt zij een deel van deze vergelijkingen door een plausibele veronderstelling die in één bijzonder eenvoudig geval tegelijk ook strikt vervuld is. Dit speciale geval is het buigen van een recht prismatische staaf zonder inwerking van dwarskrachten (afb. 3). Alle delen van de staaf die voldoende ver van haar uiteinden verwijderd zijn, ondergaan dezelfde vervorming, waaruit rechtstreeks volgt dat de as van de staaf overgaat in een cirkelboog en dat alle vlakken van de dwarsdoorsneden die oorspronkelijk loodrecht op de as van de staaf stonden, bij de vervorming vlak blijven, omdat elk daarvan een symmetrievlak is voor de aangrenzende delen van de vervormde staaf. Het ligt voor de hand aan te nemen dat de dwarsdoorsneden ook bij een niet-constante buigmoment en dwarsdoorsnede van de staaf, die zich langs de staaf geleidelijk wijzigen, ongeveer vlak blijven. Deze aanname, de Navier-hypothese genoemd, vormt de basis van de buigingstheorie.
Afb. 3
Grootte van de normaalspanningen
Wanneer een recht balkelement wordt gebogen, rekt een deel van zijn „vezels”, d.w.z. materiële lijnen die evenwijdig zijn aan de as van de staaf, uit, terwijl het andere deel verkort (afb. 4). Tussen deze twee delen liggen de neutrale vezels z=0, waarvan de lengte bij het buigen niet verandert. Laat de kromtestraal van deze vezels in gebogen toestand ϱ zijn en laat deze in het x-z vlak liggen. Uit afb. 4 može se pročitati
Δ dx/z = _dx/_ϱ
en daaruit de rek van de vezels op afstand z van de neutrale as berekenen, die bedraagt
ε = Δ dx/dx = _z/_ϱ
en is op basis van de Hooke-wet de spanning
σ _= Ez/_ϱ (2)
Fig. 4
Deze spanning is evenredig met de afstand tot de neutrale vezels. Een dergelijk resultaat hangt samen met de veronderstelling dat vóór de vervorming alle vezels van het staafelement even lang waren, zodat de staaf oorspronkelijk recht was, of ten minste zo licht gekromd dat de invloed van de kromming kan worden verwaarloosd. De lijn waarlangs de neutrale laag en het snijvlak elkaar snijden, wordt de neutrale as genoemd. Deze nemen wij aan als de y-as (afb. 5). De positie van de neutrale as in de doorsnede wordt verkregen uit de evenwichtsvoorwaarde van krachten in de richting van de x-as: als de normaalkracht N=0 (buiging zonder normaalkracht), dan moet ook de resultante van de inwendige krachten uitgedrukt via de normale spanningen in de doorsnede gelijk aan nul zijn:
De integraal aan de rechterzijde is het statisch moment van de oppervlakte ten opzichte van de y-as. Opdat deze gelijk zou zijn aan nul, moet deze as een van de zwaartelijnen zijn.
Het moment M dat de vervorming veroorzaakt, heeft ten opzichte van de y- en z-assen in het vlak van de doorsnede (afb. 5) de componenten:
Verg. (3)
waarbij Iy, Iyz de equatoriale en centrifugale traagheidsmomenten van de doorsnede ten opzichte van de aangeduide assen zijn.
Het belangrijkst is het bijzondere geval wanneer Mz=0. Dit geval treedt op wanneer Iyz=0, d.w.z. wanneer y en z de hoofdtraagheidsassen van de doorsnede zijn. Dit betekent dat het hier aangenomen buigvlak samenvalt met het x-z-vlak, met het vlak waarin het buigmoment M=My werkt, d.w.z. met het vlak van de krachten.
Afb. 5
Als uit de vergelijkingen (2) en (3) _E/_ϱ wordt geëlimineerd, ontstaat de formule voor het bepalen van de spanning bij zuivere buiging (Iy=I):
σ = M/I * z (4)
voor de randpunten 1 en 2 is in het bijzonder:
σ1 = M/I * h1 = M/W1, σ2 = - M/I * h2 = - M/W2. (5)
De grootheden W1,2 = I/h1,2 (dimensie: lengte tot de derde) worden weerstandsmomenten genoemd. Als de horizontale zwaarte- as tevens de symmetrie-as van de doorsnede is, dan is W1 = W2, zodat de randspanningen qua absolute waarde gelijk zijn.
Elastische lijn
Afb. 6
Het belang van de hierboven genoemde vormen hangt samen met de wet van Hooke. Dit vereist dat σ << E, dus volgens (2) h << ϱ. De buiging mag echter zo groot zijn dat ϱ van dezelfde orde van grootte is als de lengte van de staaf l. Bij gebogen staven die in de bouwkunde relevant zijn, doet dit geval zich niet voor; ϱ is altijd aanzienlijk groter dan l en dus is de doorbuiging w << l (fig. 6). Dan geldt bij benadering:
1/ ϱ = - d2w/dx2 = -w’’
en op basis van (3):
w’’ = - M/EI.
Deze vergelijking en de evenwichtsvoorwaarde (1b) vormen een systeem van differentiaalvergelijkingen van de gebogen staaf. Door eliminatie kunnen zij worden herleid tot één vergelijking van de vierde orde:
wIV = + p/EI
of, in het geval dat het traagheidsmoment veranderlijk is:
(EIw’’)’’ = +p.
Hieruit kan door integratie de vorm van de elastische lijn worden gevonden wanneer de belasting p=p(x) gegeven is en voor elke staaf de twee grensvoorwaarden bekend zijn. Van deze moeten er ten minste twee betrekking hebben op de vervorming. Voor bijzonderheden zie het artikel Statica van bouwwerken.
Kern van de doorsnede
Als de neutrale as de dwarsdoorsnede snijdt, verdeelt zij deze in een trekkingszone en een drukzone. Bij materialen met een lage treksterkte rijst de vraag waar de drukkracht moet aangrijpen, als in de dwarsdoorsnede nergens trek mag optreden. De ligging van het aangrijpingspunt van de kracht is dan beperkt tot een gebied dat het kerngebied van de doorsnede wordt genoemd. De grens van de kern is duidelijk de meetkundige plaats van de punten waarvan de neutrale assen de dwarsdoorsnede langs de omtrek raken. Daarmee is tevens de constructie ervan gegeven.
De afstand van de kerngrens tot het zwaartepunt, gemeten in om het even welke richting, zullen we aanduiden met k met een index die overeenkomt met die richting. Voor de hoofdtraagheidsassen volgens de vergelijking
σ = N/F + Mz/Iz y + My/Iy z (6)
de uitdrukkingen zijn als volgt:
ky = i2z / ey, kz = i2y / ez. (7)
Voor een cirkelvormige dwarsdoorsnede met straal r is de kernafstand k = r/4, en voor een ringvormige doorsnede (stralen: buiten R, binnen r) k = (R2 + r2) / 4R.
Voor de rechthoek (fig. 7) geldt ky = 1/6 b, kz = 1/6 h. Dus bij belasting van een rechthoekige doorsnede in een van de symmetrievlakken (maar alleen dan) is het voldoende dat de resultante aangrijpt in het middelste derde deel van de hoogte of breedte van de doorsnede, opdat de spanningen in de doorsnede hetzelfde teken hebben.
Afb. 7
Buiging in het plastische gebied
Wanneer in de randvezels van een gebogen staaf de vloeigrens is bereikt, is zijn draagvermogen daarmee nog niet uitgeput, omdat, terwijl de buitenste vezels plastisch vervormen bij constante spanning, in de delen dichter bij de neutrale as, waar de vloeigrens nog niet is bereikt, de spanning toeneemt, en daarmee ook het buigmoment dat de doorsnede kan opnemen.
Als het exacte verloop van het spannings- en vervormingsdiagram bekend is, kan het proces voor dubbelsymmetrische doorsneden (hoogte h) eenvoudig rekenkundig worden gevolgd door, onder de aanname dat de doorsneden vlak blijven, uit het spannings- en vervormingsdiagram de spanningsverdeling σ door buiging te bepalen die overeenkomt met een aangenomen rek van de uiterste vezels ε__r en daaruit door integratie het buigmoment te bepalen. Als dit voor verschillende ε__r wordt uitgevoerd en anderzijds de overeenkomstige kromming van de doorbuigingslijn w’’ = 2 ε__r / h wordt berekend, verkrijgt men een reeks punten waardoor een lijn kan worden getrokken die het verband tussen buigmoment en kromming geeft M = M(w’’); dit verband is niet langer lineair, en wanneer het bekend is, kan door grafische integratie de doorbuigingslijn worden bepaald die overeenkomt met een gegeven momentverdeling. Als de doorsnede asymmetrisch is, wordt de berekening ingewikkelder, doordat voor elke ε__r ook de ligging van de neutrale as nog moet worden bepaald.
Afb. 8
De berekening wordt in zekere mate vereenvoudigd als naast de symmetrie van de doorsnede ook een vereenvoudigd verband tussen spanningen en vervormingen volgens afb. 8 wordt aangenomen. Dan hebben de spanningen door buiging na overschrijding van de vloeigrens de verdeling zoals weergegeven in afb. 9 en is het buigend moment:
en zo wordt de kromming van de doorbuigingslijn verkregen wanneer vergelijking (2) wordt toegepast op het deel van de doorsnede waarvan de spanningen in het elastische gebied w’’ = σf / Ez’. Als de vorm van de doorsnede voor elke gekozen z’ bekend is, kunnen de integralen worden berekend. Bijvoorbeeld, voor het eenvoudigste geval van een rechthoekige dwarsdoorsnede met breedte b en hoogte h geldt
Als hier z’ wordt uitgedrukt met behulp van w’’, dan verkrijgt men
Bij I-profielen en dergelijke is het verloop van de M-w’’-kromme in het plastische gebied nog vlakker, en het moment waarbij vloeien optreedt is dan praktisch gelijk aan het grootste buigmoment dat de doorsnede in het algemeen kan opnemen. Daarom bestaat het belang van plastisch buigen in de bouwkunde niet uit het vergroten van het buigmoment dat de doorsnede kan dragen, maar uit het feit dat de grote lokale vervorming die optreedt bij de vloeiingsgrens kan leiden tot een gunstige verandering van de krachtverdeling bij statisch onbepaalde systemen.
Afb. 9
Dit kan worden toegelicht aan de hand van het voorbeeld van een doorlopende ligger over twee velden. Stel dat de ligger (afb. 10) velden van gelijke lengte heeft, een constante doorsnede en wordt belast met een gelijkmatig verdeelde belasting. Dan is, vóór het bereiken van de vloeigrens, het moment boven de steun MB = _pl_2/8. Als de belasting p zó wordt vergroot dat het moment in de steundoorsnede de waarde Mf bereikt waarbij vloeien optreedt, zal bij verdere belastingstoename op die plaats ook de kromming toenemen zonder merkbare toename van het moment. Er ontstaat de zogenaamde plastische scharnier, d.w.z. de ligger gedraagt zich onder extra belasting alsof boven de middelste steun een scharnier aanwezig is. De belasting kan verder worden verhoogd totdat ook op de plaats van het grootste moment in het veld vloeien begint. Verdere toename van het buigmoment is dan niet meer mogelijk en het draagvermogen van de ligger is uitgeput. De belasting waarbij deze toestand optreedt, wordt de grensbelasting genoemd.
Afb. 10
In het algemeen kan worden verwacht dat in een n-maal statisch onbepaald systeem (n+1) plastische scharnieren moeten ontstaan voordat het systeem verplaatsbaar wordt en daarmee zijn draaggrens bereikt. Deze regel kent echter uitzonderingen in beide richtingen. Zoals het genoemde voorbeeld laat zien, kunnen aan de draaggrens gelijktijdig twee nieuwe plastische scharnieren ontstaan (in beide velden), zodat het tot dan toe nog onverplaatsbare systeem plotseling overgaat in een systeem met twee vrijheidsgraden. Anderzijds is het mogelijk dat ook met minder dan (n+1) plastische scharnieren de draagkracht lokaal uitgeput raakt, bijvoorbeeld wanneer bij een doorlopende balk slechts één veld bezwijkt. Afb. 11 laat zien hoe dit kan gebeuren bij een statisch tweemaal onbepaald systeem met n=2 plastische scharnieren. Als aan de rechterzijde van de balk ook nog een vierde veld wordt toegevoegd, wordt de balk driemaal statisch onbepaald, zodat (n-1) plastische scharnieren voldoende zijn om alleen het linker veld tot aan de draaggrens te brengen.
Afb. 11
Afschuifspanningen bij buiging
Elementaire berekening
Afb. 12
De normale spanningen σ, d.w.z. de spanningen die in werkelijkheid door buiging ontstaan, zijn niet de enige spanningen in de gebogen staaf; daarnaast ontstaan ook schuifspanningen door de werking van de dwarskracht. Aangezien het basiskenmerk van de technische buigtheorie is dat vervormingen door schuifspanningen worden verwaarloosd, kunnen deze alleen uit de evenwichtsvoorwaarde worden bepaald. Om deze op te stellen wordt het balkelement dx, zoals op afb. 12 aangegeven, door een horizontaal vlak in twee delen gesneden, waarna de evenwichtsvoorwaarde van de horizontale krachten die op het onderste deel werken wordt opgesteld. Aan de linkerzijde zijn dat de inwendige krachten uitgedrukt door de spanningen σ door buiging, waarvoor men moet integreren van z’ = z tot z’ = h2
Aan de rechterzijde werken dezelfde spanningen, maar vergroot met het differentiaal overeenkomstig het bijbehorende buigmoment M + dM. Het verschil tussen de krachten aan beide zijden van het element moet in evenwicht zijn met de kracht ten gevolge van de afschuifspanningen τ die werken in het horizontale doorsnede-oppervlak t dx:
Hier stelt de integraal het statische moment voor van het deel van de dwarsdoorsnede dat door een horizontaal doorsnedevlak is afgescheiden, ten opzichte van de zwaartepuntsas van de doorsnede. Het wordt aangeduid met S. Uit dM/dx = Q volgt uit het evenwichtsvoorwaarde:
τ = QS/It. (8)
Dat is volgens het principe van de conjugatie van schuifspanningen tegelijkertijd de grootte van de verticale schuifspanning die in het vlak van de doorsnede werkt en die, samen met S en t, een functie van z is.
Afb. 13
Afb. 13.1
De vergelijking (8) geeft betrouwbare gegevens voor alle dunwandige doorsneden als het snijvlak niet parallel aan de neutrale as wordt geplaatst, maar in de richting van de wanddikte. Dienovereenkomstig wordt het I-profiel dwars door het lijf en dwars door de flens gesneden, waardoor de spanningsverdeling ontstaat die in afb. 13.1 is weergegeven. Bij de ringvormige doorsnede (afb. 13) zijn de schuifspanningen symmetrisch verdeeld ten opzichte van de verticale diameter en bereiken ze links en rechts op de neutrale lijn hun maximum
τ = Q / πrt.
Als de doorsnede op het hoogste of laagste punt is doorgesneden, verandert de verdeling van de schuifspanningen niet; is zij echter doorgesneden aan het rechtereinde van de horizontale diameter (afb. 14), dan is de schuifspanning op die plaats gelijk aan nul, terwijl haar waarde aan het linkereinde van dezelfde diameter verdubbelt.
Afb. 14
Volle doorsneden
Bij massieve doorsneden van willekeurige vorm is het probleem van de schuifspanningen nauw verbonden met de problematiek van torsie. De elementaire vergelijking (8) is in dat geval niet langer betrouwbaar. Voor een cirkelvormige doorsnede met straal r geeft vergelijking (8)
τ = 4Q / 3__πr2
als gemiddelde waarde van de schuifspanning langs de neutrale as, terwijl de exacte waarde slechts enkele procenten hoger is.
Schuifcentrum
Als voor de U-door-snede de schuifspanningen worden berekend op de hierboven beschreven manier, verkrijgt men de spanningsverdeling weergegeven op afb. 15. De resultante van de overeenkomstige inwendige krachten is de dwarskracht Q. Uit de afbeelding kan men haar positie ten opzichte van de doorsnede zien, dus dat zij noch door het zwaartepunt van de doorsnede gaat, noch in het vlak van de rib ligt. Als de op basis van de uitwendige krachten berekende dwarskracht niet de op afb. 15 weergegeven positie heeft, wordt de ligger niet alleen op buiging belast, maar ook op torsie.
Als voor dezelfde dwarsdoorsnede de resultante wordt bepaald die overeenkomt met de schuifspanningen voor een bepaalde horizontale belasting, dan verkrijgt men de werklijn van de horizontale dwarskracht. Op het snijpunt van deze twee werklijnen bevindt zich voor de betreffende dwarsdoorsnede het karakteristieke punt, dat het afschuifcentrum M wordt genoemd. In de ligger treden geen spanningen op ten gevolge van torsie wanneer de afschuifcentra van alle dwarsdoorsneden op één rechte lijn liggen en alle belastingen loodrecht op de as van de staaf door die rechte lijn gaan. In het andere geval vormt het moment van elke belasting ten opzichte van de lijn die de afschuifcentra verbindt de torsionele afschuiving.
Afb. 15
Invloed van de dwarskracht op buiging
De technische buigtheorie is gebaseerd op het verwaarlozen van vervormingen als gevolg van schuifspanningen. Daarom kan zij in de praktijk alleen worden toegepast op slanke staven, waarbij deze verwaarlozing gerechtvaardigd is en waarbij de dwarskracht geen merkbare invloed heeft op de buiging.
De ervaring heeft echter aangetoond dat de technische buigtheorie met enig succes ook kan worden toegepast op korte, hoge liggers, waarvoor zij in feite helemaal niet bedoeld is. Dan blijkt de behoefte om het effect van vervorming door schuifspanningen, dat in deze theorie verwaarloosd wordt, althans bij benadering alsnog in rekening te brengen.
Evenals de schuifspanningen τ als gevolg van dwarskrachten en de overeenkomstige glijdingen γ_’ =_ τ_/G_ zijn ongelijkmatig over de doorsnede verdeeld. Daarom wordt hun gemiddelde waarde γ ingevoerd, die zo wordt bepaald dat de dwarskracht bij deze gemiddelde vervormingswaarde op het balkelement dx een vervormingsarbeid verricht die gelijk is aan de arbeid die zou ontstaan door integratie van de arbeid van de schuifspanningen over de afzonderlijke volume-elementen waaruit het beschouwde balkelement bestaat:
waaruit volgt
De integraal kan worden berekend wanneer de verdeling van de schuifspanningen over de doorsnede bekend is. Aangezien alle schuifspanningen evenredig zijn met Q/F, is haar waarde evenredig met Q2/F2 * F, en als men stelt dat zij κ__Q2/F is, volgt
γ = κ__Q / GF.
De constante κ wordt de coëfficiënt van de verdeling van schuifspanningen genoemd. Voor rechthoekige doorsneden is κ=1,2.
Afb. 16
Wanneer de coëfficiënt κ, en daarmee ook het gemiddelde glijden γ, bekend is, kan de aanvullende doorbuiging wQ, veroorzaakt door de werking van dwarskrachten, worden berekend; deze moet bij de doorbuigingen w worden opgeteld: want volgens afb. 16 is
dus geldt wegens Q = dM/dx:
waarbij de integratieconstante wordt verkregen uit één randvoorwaarde.