Normální napětí u přímých prutů a prutů s malým zakřivením
Definice vnitřních sil
Uvažujme přímou tyč zatíženou silami libovolného směru, o nichž se pouze předpokládá, že všechny leží v jedné rovině (rovina sil), která prochází osou tyče (přímka spojující těžiště příčných průřezů).
Obr. 1
Aby bylo možné vypočítat napětí působící v nějakém příčném průřezu n – n (obr. 1), je třeba znát sílu, která se přes tento průřez přenáší z jedné části prutu na druhou. Ta je zjevně velikostí i polohou rovna výslednici všech sil působících na jednu část prutu. Tato výslednice se rozkládá na složky v souřadném systému, jehož osa x splývá s osou prutu a osa z je přímka, podél níž rovina příčného průřezu protíná rovinu sil. Složka ve směru osy z se nazývá příčná síla Q nebo Qz a u prostého nosníku se považuje za kladnou, je-li vlevo od řezu směrem vzhůru a vpravo směrem dolů.
Je-li tyč zakřivená, mají souřadné osy x a z v každém průřezu jiný směr, a to vždy tak, že osa x je tečnou k ose tyče. Jestliže rovina, v níž leží osa tyče, se neshoduje s rovinou sil, nebo je-li osa tyče prostorová křivka, má výslednice sil vlevo od průřezu i třetí složku, příčnou sílu Qy. Ze N, Qz a Qy jsou určeny velikost a směr síly přenášené přes průřez, nikoli však její poloha. K tomu je třeba znát i její momenty vzhledem k souřadným osám. V případě rovinného ohybu stačí znát ohybový moment M nebo My. V nejobecnějším případě se objevuje ještě jeden ohybový moment Mz a moment kolem osy x, Mx.
Šest sil a momentů definovaných v předchozím výkladu je zahrnuto pod společný název „průřezové síly“. Jejich určení je jedním ze základních úkolů statiky stavebních konstrukcí.
Mezi spojitě rozloženým zatížením p (rozměr: síla na jednotku délky), příčnou silou Q a ohybovým momentem M existuje v případě rovinného ohybu jednoduchý vztah. Z podmínek rovnováhy jednoho prvku prutu (obr. 2) se získá
dQ + p dx = 0,
dM = Q dx;
proto
Q = dM/dx,
p = - dQ/dx = - d2M/dx2. (1a, b)
Obr. 2
Rozdělení normálových napětí
Je-li tyč zatížena pouze osovou silou, v průřezu se objeví jen rovnoměrně rozložené normálové napětí σ (tahová, resp. tlaková tyč). Působí-li navíc ohybový moment, musí být tato napětí určitým způsobem nerovnoměrně rozložena, takže jejich výslednice již neprochází těžištěm průřezu. K určení tohoto rozložení technická teorie ohybu nevychází z přesného řešení základních rovnic, nýbrž nahrazuje jednu část těchto rovnic pravděpodobným předpokladem, který je v jednom zvláště jednoduchém případě zároveň i přesně splněn. Tímto zvláštním případem je ohyb přímé prizmatické tyče bez působení příčných sil (obr. 3). Všechny prvky tyče, které jsou dostatečně vzdáleny od jejích konců, podstupují stejné přetvoření, z čehož bezprostředně plyne, že osa tyče se mění v kruhový oblouk a že všechny roviny příčných průřezů, které byly původně kolmé na osu tyče, zůstávají při deformaci rovinné, protože každá z nich je rovinou symetrie pro sousední části deformované tyče. Přirozeně se nabízí předpoklad, že příčné průřezy zůstávají přibližně rovinné i tehdy, když ohybový moment a příčný průřez tyče nejsou konstantní, nýbrž se podél tyče plynule mění. Tento předpoklad, nazývaný Navierova-ova hypotéza, tvoří základ teorie ohybu.
Obr. 3
Velikost normálních napětí
Když se ohne přímý prvek nosníku, jedna část jeho „vláken“, tj. materiálových linek rovnoběžných s osou tyče, se prodlužuje, zatímco druhá část se zkracuje (obr. 4). Mezi těmito dvěma částmi leží neutrální vlákna z=0, jejichž délka se při ohýbání nemění. Nechť je poloměr křivosti těchto vláken v ohnutém stavu ϱ a nechť leží v rovině x-z. Z obr. 4 može se vyčíst
Δ dx/z = _dx/_ϱ
a odtud vypočtená dilatace vláken ve vzdálenosti z od neutrální osy, která činí
ε = Δ dx/dx = _z/_ϱ
a na základě Hookeova- zákona napětí
σ _= Ez/_ϱ (2)
Obr. 4
Toto napětí je úměrné vzdálenosti od neutrálních vláken. Takový výsledek souvisí s předpokladem, že před deformací byla všechna vlákna prvku tyče stejně dlouhá, takže tyč byla původně přímá, nebo alespoň s tak malým zakřivením, že vliv zakřivení lze zanedbat. Přímka, v níž se protíná neutrální vrstva a rovina průřezu, se nazývá neutrální osa. Tu přijímáme za y-osu (obr. 5). Poloha neutrální osy v příčném průřezu se získá z podmínky rovnováhy sil ve směru x-osy: je-li normálová síla N=0 (ohyb bez normálové síly), pak i výslednice vnitřních sil vyjádřená prostřednictvím normálových napětí v průřezu musí být rovna nule:
Integrál na pravé straně je statický moment plochy vzhledem k ose y. Aby byl roven nule, musí být tato osa jednou z těžišťových os.
Moment M, který vyvolává deformaci, má vzhledem k osám y a z v rovině průřezu (obr. 5) složky:
Rov. (3)
přičemž Iy, Iyz jsou ekvatoriální a odstředivý moment setrvačnosti průřezu vzhledem k označeným osám.
Nejdůležitější je zvláštní případ, kdy Mz=0. Tento případ nastává, když Iyz=0, tj. když jsou y a z hlavní osy setrvačnosti průřezu. To znamená, že rovina ohybu, která je zde přijata jako rovina x-z, splývá s rovinou, v níž působí ohybový moment M=My, tj. s rovinou sil.
Obr. 5
Když se z rovnic (2) a (3) eliminuje _E/_ϱ, dostane se vzorec pro určení napětí při prostém ohybu (Iy=I):
σ = M/I * z (4)
pro krajní body 1 a 2 platí zvlášť:
σ1 = M/I * h1 = M/W1, σ2 = - M/I * h2 = - M/W2. (5)
Velikosti W1,2 = I/h1,2 (rozměr: délka na třetí) se nazývají odolnostní momenty. Je-li vodorovná těžištná osa zároveň osou symetrie průřezu, pak W1 = W2, a okrajová napětí jsou tedy absolutně stejná.
Průhybová čára
Obr. 6
Význam výše uvedených tvarů souvisí s Hookeovým zákonem. To vyžaduje, aby σ << E, tedy podle (2) h << ϱ. Ohyb však smí být takový, aby ϱ bylo stejného řádu jako délka prutu l. U ohýbaných prutů, které přicházejí v úvahu ve stavebnictví, tento případ nenastává; vždy je ϱ podstatně větší než l a tudíž průhyb w << l (obr. 6). Pak přibližně platí:
1/ ϱ = - d2w/dx2 = -w’’
a na základě (3):
w’’ = - M/EI.
Tato rovnice a podmínka rovnováhy (1b) tvoří soustavu diferenciálních rovnic ohnuté tyče. Eliminací je lze převést na jednu rovnici čtvrtého řádu:
wIV = + p/EI
nebo, v případě, že je moment setrvačnosti proměnný:
(EIw’’)’’ = +p.
Integrací z nich lze nalézt tvar elastické čáry, je-li dáno zatížení p=p(x) a jsou-li pro každý případ prutu známy dvě okrajové podmínky. Z nich se alespoň dvě musí týkat deformace. Podrobnosti viz článek Statika stavebních konstrukcí.
Jádro průřezu
Pokud neutrální osa protíná příčný průřez, dělí jej na tahovou zónu a tlakové pásmo. U materiálů s malou pevností v tahu vyvstává otázka, kde má působit tlaková síla, jestliže v příčném řezu nesmí nikde dojít k tahu. Poloha působiště síly je pak omezena na oblast, která se nazývá jádro průřezu. Hranice jádra je zjevně geometrickým místem bodů, jejichž neutrální osy tečně obepínají příčný průřez po obvodu. Tím je zároveň dána i jeho konstrukce.
Vzdálenost hranice jádra od těžiště, měřenou v libovolném směru, budeme označovat indexem k, který odpovídá danému směru. Pro hlavní osy setrvačnosti podle rovnice
σ = N/F + Mz/Iz y + My/Iy z (6)
výrazy jsou následující:
ky = i2z / ey, kz = i2y / ez. (7)
Pro kruhový průřez o poloměru r je vzdálenost jádra k = r/4, a pro kruhový prstenec (poloměry: vnější R, vnitřní r) k = (R2 + r2) / 4R.
Pro obdélník (obr. 7) je ky = 1/6 b, kz = 1/6 h. Při zatížení obdélníkového průřezu v jedné z rovin symetrie (ale jen tehdy) tedy stačí, aby výslednice působila ve střední třetině výšky nebo šířky příčného průřezu, a napětí v průřezu mají stejné znaménko.
Obr. 7
Ohyb v plastické oblasti
Když bylo v okrajových vláknech ohýbaného prutu dosaženo meze kluzu, jeho únosnost tím ještě není vyčerpána, protože zatímco se vnější vlákna plasticky deformují při konstantním napětí, v částech ležících blíže k neutrální ose, kde meze kluzu dosud nebylo dosaženo, se napětí zvyšuje, a tím se zvětšuje i ohybový moment, který může průřez přenést.
Je-li znám přesný průběh diagramu napětí a deformací, lze proces u dvojitě symetrických průřezů (výšky h) snadno počítačově sledovat tak, že se za předpokladu, že průřezy zůstávají rovinné, z diagramu napětí a deformací určí rozdělení napětí σ od ohybu odpovídající určité přijaté dilataci krajních vláken ε__r a odtud se integrací určí ohybový moment. Provede-li se to pro různé ε__r a na druhé straně se vypočte příslušná křivost čáry průhybu w’’ = 2 ε__r / h, získá se řada bodů, jimiž lze vést křivku udávající vztah mezi ohybovým momentem a křivostí M = M(w’’); tento vztah již není lineární, a když je znám, lze grafickou integrací určit čáru průhybu odpovídající danému rozdělení momentů. Je-li průřez nesymetrický, výpočet se stává složitějším v tom, že je třeba pro každé ε__r ještě určit i polohu neutrální osy.
Obr. 8
Výpočet se do jisté míry zjednoduší, jestliže se kromě symetrie průřezu předpokládá i zjednodušený vztah mezi napětími a přetvořeními podle obr. 8. Pak mají napětí od ohybu po překročení meze kluzu rozložení znázorněné na obr. 9 a ohybový moment je:
a křivka průhybu se pak získá, když se rovnice (2) použije na část průřezu, jejíž napětí jsou v elastické oblasti w’’ = σf / Ez’. Je-li pro každé zvolené z’ znám tvar průřezu, lze integrály vypočítat. Např. pro nejjednodušší případ obdélníkového průřezu o šířce b a výšce h je
Jestliže se zde z’ vyjádří pomocí w’’, dostává se
U I-průřezů a jim podobných je průběh křivky M-w’’ v plastické oblasti ještě plošší a moment, při němž nastává tečení, je tehdy prakticky roven největšímu ohybovému momentu, který může průřez vůbec přenést. Proto význam plastického ohýbání ve stavebnictví nespočívá ve zvětšení ohybového momentu, který může průřez nést, ale v tom, že velká lokální deformace nastávající na mezi tečení může vést k příznivé změně rozložení sil u staticky neurčitých soustav.
Obr. 9
To lze vysvětlit na příkladu spojitého nosníku přes dvě pole. Uvažujme, že nosník (obr. 10) má pole stejné délky, konstantní průřez a je zatížen rovnoměrně rozloženým zatížením. Pak je před dosažením meze kluzu moment nad podporou MB = _pl_2/8. Zvýší-li se zatížení p natolik, že moment v podpěrném průřezu dosáhne hodnoty Mf, při níž nastává tečení, při dalším zvyšování zatížení se na tomto místě zvětšuje i zakřivení bez znatelného přírůstku momentu. Vzniká tzv. plastický kloub, tj. nosník se při dodatečném zatížení chová tak, jako by nad střední podporou byl kloub. Zatížení lze dále zvyšovat, dokud nezačne tečení i v místě největšího momentu v poli. Další zvětšování ohybového momentu již není možné a nosnost nosníku je vyčerpána. Zatížení, při němž nastává tento stav, se nazývá mezní zatížení.
Obr. 10
Obecně lze očekávat, že v jednom n-krát staticky neurčitém systému se musí objevit (n+1) plastických kloubů, než se systém stane pohyblivým a tím dosáhne své meze únosnosti. Toto pravidlo má však výjimky v obou směrech. Jak ukazuje uvedený příklad, na mezi únosnosti mohou současně vzniknout dva nové plastické klouby (v obou polích), takže dosud nepohyblivý systém najednou přechází do systému se dvěma stupni volnosti. Na druhé straně je možné, že i s méně než (n+1) plastickými klouby bude únosnost místně vyčerpána, např. když u spojitého nosníku povolí jen jedno pole. Obr. 11 ukazuje, jak se to může stát u jednoho staticky dvojnásobně neurčitého systému s n=2 plastické klouby. Přidá-li se na pravé straně nosníku ještě čtvrté pole, stává se nosník staticky trojnásobně neurčitým, takže k tomu, aby pouze levé pole bylo dovedeno na mez únosnosti, stačí (n-1) plastických kloubů.
Obr. 11
Smykové napětí při ohybu
Elementární výpočet
Obr. 12
Normální napětí σ, tj. napětí, která se ve skutečnosti vyskytují v důsledku ohybu, nejsou jediná napětí v ohnuté tyči, ale vedle nich se objevují i smyková napětí v důsledku působení příčné síly. Vzhledem k tomu, že základní vlastností technické teorie ohybu je to, že se deformace způsobené smykovými napětími zanedbávají, lze je určit pouze z podmínky rovnováhy. Aby bylo možné tuto podmínku stanovit, element nosníku dx se, jak je naznačeno na obr. 12, rozřízne vodorovnou rovinou na dvě části a stanoví se podmínka rovnováhy vodorovných sil působících na dolní část. Na levé straně jsou to vnitřní síly vyjádřené napětími σ v důsledku ohybu, u nichž je třeba integrovat od z’ = z do z’ = h2
Na pravé straně působí stejné napětí, avšak zvětšené o diferenciál v souladu s příslušným ohybovým momentem M + dM. Rozdíl mezi silami na obou stranách prvku musí být v rovnováze se silou způsobenou smykovým napětím τ, které působí v horizontální průřezové ploše t dx:
Zde integrál představuje statický moment části průřezu vymezené vodorovnou příčnou rovinou vzhledem k těžišťové ose průřezu. Označuje se S. Z dM/dx = Q z podmínky rovnováhy plyne:
τ = QS/It. (8)
To je podle vztahu pro konjugovanost smykových napětí zároveň hodnota svislého smykového napětí působícího v ploše příčného průřezu a který je spolu s S a t funkcí z.
Obr. 13
Obr. 13.1
Rovnice (8) poskytuje spolehlivé údaje u všech tenkostěnných průřezů, pokud se průřezová rovina nevede rovnoběžně s neutrální osou, ale ve směru tloušťky stěny. Proto se I-profil řeže příčně přes stojinu a příčně přes pásnici, čímž se získá rozložení napětí znázorněné na obr. 13.1. U prstencového průřezu (obr. 13) jsou smyková napětí rozložena symetricky vzhledem k svislému průměru a vlevo i vpravo na neutrální čáře dosahují maxima
τ = Q / πrt.
Pokud je průřez rozříznut v nejvyšším nebo nejnižším místě, rozdělení smykových napětí se nemění; jestliže je však rozříznut na pravém konci vodorovného průměru (obr. 14), smykové napětí v tomto místě je rovno nule, zatímco jeho hodnota se na levém konci téhož průměru zdvojnásobuje.
Obr. 14
Plné průřezy
U plných průřezů libovolného tvaru je problém smykových napětí úzce spojen s problematikou torze. Elementární rovnice (8) v tom případě již není spolehlivá. Pro kruhový průřez o poloměru r dává rovnice (8)
τ = 4Q / 3__πr2
jako střední hodnotu smykového napětí podél neutrální osy, přičemž přesná hodnota je jen o několik procent vyšší.
Střed smyku
Pokud se pro U-průřez vypočítají smyková napětí způsobem popsaným výše, získá se rozložení napětí zobrazené na obr. 15. Výslednice odpovídajících vnitřních sil je příčná síla Q. Z obrázku je patrná její poloha vzhledem k průřezu, tedy že neprochází těžištěm průřezu ani neleží v rovině stojiny. Nemá-li příčná síla vypočtená na základě vnějších sil polohu zobrazenou na obr. 15, není nosník namáhán jen na ohyb, ale i na torzi.
Určí-li se pro stejný průřez výslednice odpovídající smykovým napětím pro nějaké vodorovné zatížení, získá se působiště vodorovné příčné síly. V průsečíku těchto dvou působišť leží charakteristický bod daného průřezu, který se nazývá střed smyku M. V nosníku se neobjevují napětí v důsledku torze, jestliže středy smyku všech příčných průřezů leží na jedné přímce a všechna zatížení kolmá na osu tyče procházejí touto přímkou. Jinak moment každého zatížení vzhledem k přímce spojující středy smyku představuje torzní smyk.
Obr. 15
Vliv příčné síly na ohyb
Technická teorie ohybu vychází ze zanedbání deformací způsobených smykovými napětími. Proto ji lze skutečně použít na štíhlé pruty, u nichž je toto zanedbání odůvodněné a kde příčná síla nemá patrný vliv na ohyb.
Zkušenost však ukázala, že technickou teorii ohybu lze s určitým úspěchem použít i na krátké, vysoké nosníky, pro něž ostatně vůbec není určena. V takovém případě vyvstává potřeba vliv přetvoření v důsledku smykových napětí, který je v této teorii zanedbán, vzít alespoň přibližně dodatečně v úvahu.
Stejně jako smyková napětí τ v důsledku příčných sil a odpovídající smyky γ_’ =_ τ_/G_ jsou nerovnoměrně rozloženy v průřezu. Proto se zavádí jejich střední hodnota γ, která se určuje tak, aby příčná síla při této střední hodnotě přetvoření vykonala na prvku nosníku dx deformační práci stejnou, jako by byla získána integrací prací smykových napětí na jednotlivých objemových prvcích tvořících uvažovaný prvek nosníku:
odkud je
Integrál lze vypočítat, je-li znám rozdělení smykových napětí po průřezu. Protože všechna smyková napětí jsou úměrná Q/F, je jeho hodnota úměrná Q2/F2 * F, a položíme-li, že je rovna κ__Q2/F, dostaneme
γ = κ__Q / GF.
Konstanta κ se nazývá součinitel rozdělení smykových napětí. Pro obdélníkové průřezy je κ=1,2.
Obr. 16
Je-li znám koef. κ, a tím i střední kluz γ, lze vypočítat dodatečný průhyb wQ, vzniklý působením příčných sil, který je třeba přičíst k průhybům w: neboť podle obr. 16 je
a proto z Q = dM/dx:
přičemž integrační konstanta se získá z jedné okrajové podmínky.