Κανονικές τάσεις σε ευθύ ραβδους και ραβδους με μικρή καμπυλότητα
Ορισμός των τεμνουσών δυνάμεων
Έστω ότι μια ευθύγραμμη ράβδος φορτίζεται με δυνάμεις οποιασδήποτε διεύθυνσης, για τις οποίες υποτίθεται μόνο ότι όλες βρίσκονται σε ένα επίπεδο (επίπεδο δυνάμεων) που διέρχεται από τον άξονα της ράβδου (τη γραμμή που ενώνει τα κέντρα βάρους των εγκάρσιων διατομών).
Σχ. 1
Για να υπολογιστούν οι τάσεις που δρουν σε κάποια εγκάρσια διατομή n – n (σχ. 1), πρέπει να είναι γνωστή η δύναμη που μεταφέρεται μέσω αυτής της διατομής από το ένα τμήμα της ράβδου στο άλλο. Αυτή είναι προφανώς ίση, ως προς το μέτρο και τη θέση, με τη συνισταμένη όλων των δυνάμεων που καταπονούν το ένα τμήμα της ράβδου. Η συνισταμένη αυτή αναλύεται σε συνιστώσες σε ένα σύστημα συντεταγμένων, του οποίου ο άξονας x συμπίπτει με τον άξονα της ράβδου, ενώ ο άξονας z είναι η γραμμή κατά μήκος της οποίας το επίπεδο της εγκάρσιας διατομής τέμνει το επίπεδο των δυνάμεων. Η συνιστώσα προς τον άξονα z ονομάζεται εγκάρσια δύναμη Q ή Qz και για μια απλή δοκό θεωρείται θετική αν αριστερά της τομής έχει κατεύθυνση προς τα πάνω και δεξιά προς τα κάτω.
Όταν η ράβδος είναι καμπύλη, οι συντεταγμένοι άξονες x και z έχουν σε κάθε διατομή διαφορετική διεύθυνση και μάλιστα πάντοτε έτσι ώστε ο x-άξονας να είναι εφαπτομένη στον άξονα της ράβδου. Αν το επίπεδο στο οποίο βρίσκεται ο άξονας της ράβδου δεν συμπίπτει με το επίπεδο των δυνάμεων, ή αν ο άξονας της ράβδου είναι χωρική καμπύλη, η συνισταμένη των δυνάμεων αριστερά της διατομής έχει και τρίτη συνιστώσα, την εγκάρσια δύναμη Qy. Με τα N, Qz και Qy καθορίζονται το μέγεθος και η διεύθυνση της δύναμης που μεταδίδεται μέσω της διατομής, αλλά όχι και η θέση της. Για αυτό πρέπει να είναι γνωστές και οι ροπές της ως προς τους συντεταγμένους άξονες. Στην περίπτωση της επίπεδης κάμψης αρκεί να είναι γνωστή η ροπή κάμψης M ή My. Στη γενικότερη περίπτωση εμφανίζεται ακόμη μία ροπή κάμψης Mz και η ροπή γύρω από τον x-άξονα, Mx.
Οι έξι δυνάμεις και ροπές που ορίστηκαν στην προηγούμενη ανάπτυξη περιλαμβάνονται με την κοινή ονομασία «τέμνουσες δυνάμεις». Ο προσδιορισμός τους αποτελεί ένα από τα βασικά καθήκοντα της στατικής των δομικών κατασκευών.
Μεταξύ του συνεχώς κατανεμημένου φορτίου p (διάσταση: δύναμη ανά μονάδα μήκους), της εγκάρσιας δύναμης Q και της ροπής κάμψης M υπάρχει στην περίπτωση επίπεδης κάμψης μια απλή σχέση. Συγκεκριμένα, από τη συνθήκη ισορροπίας ενός στοιχείου δοκού (σχ. 2) προκύπτει
dQ + p dx = 0,
dM = Q dx;
επομένως
Q = dM/dx,
p = - dQ/dx = - d2M/dx2. (1a, b)
Εικ. 2
Κατανομή των κανονικών τάσεων
Αν η ράβδος φορτίζεται μόνο με αξονική δύναμη, στη διατομή εμφανίζεται μόνο ο ομοιόμορφα κατανεμημένος κανονικός τάση σ (εφελκυόμενη, ή αντίστοιχα θλιβόμενη ράβδος). Αν μαζί με αυτό εμφανίζεται ροπή κάμψης, αυτές οι τάσεις πρέπει κατά κάποιο τρόπο να κατανέμονται ανισομερώς, έτσι ώστε η συνισταμένη τους να μην διέρχεται πλέον από το κέντρο βάρους της διατομής. Για να προσδιοριστεί αυτή η κατανομή, η τεχνική θεωρία κάμψης δεν ξεκινά από τη ακριβή λύση των βασικών εξισώσεων, αλλά αντικαθιστά ένα μέρος αυτών των εξισώσεων με μια εύλογη υπόθεση, η οποία σε μια ιδιαίτερα απλή περίπτωση είναι ταυτόχρονα και αυστηρά ικανοποιημένη. Αυτή η ειδική περίπτωση είναι η κάμψη ευθύγραμμης πρισματικής ράβδου χωρίς δράση εγκάρσιων δυνάμεων (σχ. 3). Όλα τα στοιχεία της ράβδου που βρίσκονται αρκετά μακριά από τα άκρα της υφίστανται την ίδια παραμόρφωση, από όπου συνάγεται άμεσα ότι ο άξονας της ράβδου μετατρέπεται σε κυκλικό τόξο και ότι όλα τα επίπεδα των εγκάρσιων διατομών, που αρχικά ήταν κάθετα στον άξονα της ράβδου, κατά την παραμόρφωση παραμένουν επίπεδα, επειδή καθένα από αυτά είναι επίπεδο συμμετρίας για τα γειτονικά τμήματα της παραμορφωμένης ράβδου. Φυσικά προκύπτει η υπόθεση ότι οι εγκάρσιες διατομές παραμένουν κατά προσέγγιση επίπεδες και όταν η ροπή κάμψης και η εγκάρσια διατομή της ράβδου δεν είναι σταθερές, αλλά μεταβάλλονται βαθμιαία κατά μήκος της ράβδου. Αυτή η υπόθεση, που ονομάζεται υπόθεση Navier, αποτελεί τη βάση της θεωρίας κάμψης.
Σχ. 3
Μέγεθος των κανονικών τάσεων
Όταν κάμπτεται ένα ευθύ στοιχείο δοκού, ένα μέρος των «ινών» του, δηλαδή των υλικών γραμμών παράλληλων προς τον άξονα της ράβδου, επιμηκύνεται, ενώ το άλλο μέρος βραχύνεται (σχ. 4). Μεταξύ αυτών των δύο τμημάτων βρίσκονται οι ουδέτερες ίνες z=0, των οποίων το μήκος δεν μεταβάλλεται κατά την κάμψη. Έστω ότι η ακτίνα καμπυλότητας αυτών των ινών στη λυγισμένη κατάσταση είναι ϱ και ότι βρίσκεται στο επίπεδο x-z. Από το σχ. 4 m μπορεί να διαβαστεί
Δ dx/z = _dx/_ϱ
και από εκεί υπολογιζόμενη η παραμόρφωση των ινών σε απόσταση z από τον ουδέτερο άξονα, η οποία είναι
ε = Δ dx/dx = _z/_ϱ
οπότε, με βάση τον νόμο του Hooke-, η τάση
σ _= Ez/_ϱ (2)
Σχ. 4
Αυτή η τάση είναι ανάλογη της απόστασης από τις ουδέτερες ίνες. Το αποτέλεσμα αυτό συνδέεται με την υπόθεση ότι πριν από την παραμόρφωση όλες οι ίνες του στοιχείου της ράβδου είχαν ίσο μήκος, έτσι ώστε η ράβδος αρχικά ήταν ευθεία, ή τουλάχιστον με τόσο μικρή καμπυλότητα ώστε η επίδραση της καμπυλότητας να μπορεί να παραμεληθεί. Η ευθεία κατά την οποία τέμνονται το ουδέτερο στρώμα και το επίπεδο της τομής ονομάζεται ουδέτερος άξονας. Τον υιοθετούμε ως άξονα y (σχ. 5). Η θέση του ουδέτερου άξονα στην εγκάρσια διατομή προκύπτει από τη συνθήκη ισορροπίας των δυνάμεων στη διεύθυνση του άξονα x: αν η κανονική δύναμη N=0 (κάμψη χωρίς κανονική δύναμη), τότε και η συνισταμένη των εσωτερικών δυνάμεων που εκφράζεται μέσω των κανονικών τάσεων στη διατομή πρέπει να είναι ίση με μηδέν:
Το ολοκλήρωμα στη δεξιά πλευρά είναι η στατική ροπή της επιφάνειας ως προς τον άξονα y. Για να είναι ίσο με μηδέν, αυτός ο άξονας πρέπει να είναι ένας από τους άξονες του κέντρου βάρους.
Η ροπή M που προκαλεί παραμόρφωση έχει ως προς τους άξονες y και z στο επίπεδο της διατομής (σχ. 5) τις συνιστώσες:
Εξίσ. (3)
όπου Iy, Iyz είναι η ισημερινή και η φυγόκεντρη ροπή αδράνειας της διατομής ως προς τους σημειωμένους άξονες.
Η σημαντικότερη είναι η ειδική περίπτωση όταν Mz=0. Η περίπτωση αυτή προκύπτει όταν Iyz=0, δηλαδή όταν οι y και z είναι οι κύριοι άξονες αδράνειας της διατομής. Αυτό σημαίνει ότι το επίπεδο κάμψης που έχει εδώ ληφθεί ως το x-z-επίπεδο ταυτίζεται με το επίπεδο στο οποίο δρα η ροπή κάμψης M=My, δηλαδή με το επίπεδο των δυνάμεων.
Σχ. 5
Αν από τις εξισώσεις (2) και (3) απαλειφθεί το _E/_ϱ, προκύπτει ο τύπος για τον προσδιορισμό των τάσεων κατά την επίπεδη κάμψη (Iy=I):
σ = M/I * z (4)
για τα ακραία σημεία 1 και 2 ιδιαίτερα ισχύει:
σ1 = M/I * h1 = M/W1, σ2 = - M/I * h2 = - M/W2. (5)
Τα μεγέθη W1,2 = I/h1,2 (διάσταση: μήκος εις την τρίτη) ονομάζονται ροπές αντίστασης. Αν ο οριζόντιος κεντροβαρικός άξονας ταυτίζεται και με τον άξονα συμμετρίας της διατομής, τότε W1 = W2, οπότε οι ακριανές τάσεις είναι ίσες ως προς την απόλυτη τιμή.
Ελαστική γραμμή
Εικ. 6
Η σημασία των παραπάνω μορφών συνδέεται με τον νόμο του Hooke. Αυτό απαιτεί να είναι σ << E, άρα σύμφωνα με (2) h << ϱ. Η κάμψη όμως επιτρέπεται να είναι τόσο μεγάλη ώστε η ϱ να είναι της ίδιας τάξης μεγέθους με το μήκος της ράβδου l. Στα καμπύλα δοκάρια που ενδιαφέρουν την οικοδομική αυτή η περίπτωση δεν εμφανίζεται· πάντοτε η ϱ είναι πολύ μεγαλύτερη από το l και συνεπώς η βύθιση w << l (σχ. 6). Τότε ισχύει κατά προσέγγιση:
1/ ϱ = - d2w/dx2 = -w’’
και με βάση (3):
w’’ = - M/EI.
Αυτή η εξίσωση και η συνθήκη ισορροπίας (1b) αποτελούν σύστημα διαφορικών εξισώσεων λυγισμένης ράβδου. Με απαλοιφή μπορούν να περιοριστούν σε μία εξίσωση τέταρτης τάξης:
wIV = + p/EI
ή, στην περίπτωση που η ροπή αδράνειας είναι μεταβλητή:
(EIw’’)’’ = +p.
Από αυτές μπορεί με ολοκλήρωση να βρεθεί το σχήμα της ελαστικής γραμμής όταν δίνεται το φορτίο p=p(x) και όταν για κάθε περίπτωση ράβδου είναι γνωστές δύο οριακές συνθήκες. Από αυτές τουλάχιστον δύο πρέπει να αφορούν την παραμόρφωση. Για λεπτομέρειες βλ. το άρθρο Στατική των δομικών κατασκευών.
Πυρήνας διατομής
Αν ο ουδέτερος άξονας τέμνει τη διατομή, τη χωρίζει σε ζώνη εφελκυσμού και ζώνη πίεσης. Στα υλικά με μικρή αντοχή σε εφελκυσμό τίθεται το ερώτημα πού πρέπει να επιδρά η θλιπτική δύναμη, αν στη διατομή δεν επιτρέπεται να εμφανιστεί εφελκυσμός πουθενά. Η θέση του σημείου εφαρμογής της δύναμης περιορίζεται τότε στην περιοχή που ονομάζεται πυρήνας της διατομής. Το όριο του πυρήνα είναι προφανώς ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, των οποίων οι ουδέτεροι άξονες εφάπτονται περιμετρικά στη διατομή. Με αυτό δίνεται ταυτόχρονα και η κατασκευή του.
Την απόσταση του ορίου του πυρήνα από το κέντρο βάρους, μετρημένη προς οποιαδήποτε διεύθυνση, θα τη συμβολίσουμε με k, δείκτη που αντιστοιχεί στη συγκεκριμένη διεύθυνση. Για τους κύριους άξονες αδράνειας, σύμφωνα με την εξίσωση
σ = N/F + Mz/Iz y + My/Iy z (6)
οι όροι είναι οι εξής:
ky = i2z / ey, kz = i2y / ez. (7)
Για κυκλική διατομή ακτίνας r η απόσταση του πυρήνα είναι k = r/4, ενώ για κυκλικό δακτύλιο (ακτίνες: εξωτερική R, εσωτερική r) k = (R2 + r2) / 4R.
Για το ορθογώνιο (σχ. 7) ισχύει ky = 1/6 b, kz = 1/6 h. Επομένως, κατά τη φόρτιση ορθογωνικής διατομής σε ένα από τα επίπεδα συμμετρίας (αλλά μόνο τότε) αρκεί η συνισταμένη να δρα στο μεσαίο τρίτο του ύψους ή του πλάτους της εγκάρσιας διατομής, ώστε οι τάσεις στη διατομή να έχουν το ίδιο πρόσημο.
Σχ. 7
Κάμψη στην πλαστική περιοχή
Όταν στα ακραία ίνα της καμπτόμενης ράβδου έχει φτάσει το όριο διαρροής, η φέρουσα ικανότητά της δεν έχει ακόμη εξαντληθεί, διότι ενώ τα εξωτερικά ίνα παραμορφώνονται πλαστικά με σταθερή τάση, στα μέρη που βρίσκονται πιο κοντά στον ουδέτερο άξονα, όπου το όριο διαρροής δεν έχει ακόμη επιτευχθεί, η τάση αυξάνεται, και έτσι αυξάνεται και η ροπή κάμψης που μπορεί να παραλάβει η διατομή.
Αν είναι γνωστή η ακριβής πορεία του διαγράμματος τάσεων και παραμορφώσεων, η διαδικασία για τις διπλά συμμετρικές διατομές (ύψους h) μπορεί εύκολα να παρακολουθηθεί υπολογιστικά με τον εξής τρόπο: με την παραδοχή ότι οι διατομές παραμένουν επίπεδες, από το διάγραμμα τάσεων και παραμορφώσεων προσδιορίζεται η κατανομή των τάσεων σ λόγω κάμψης, η οποία αντιστοιχεί σε κάποια επιλεγμένη επιμήκυνση των ακραίων ινών ε__r, και από εκεί με ολοκλήρωση προσδιορίζεται η ροπή κάμψης. Αν αυτό γίνει για διαφορετικά ε__r και από την άλλη υπολογιστεί η αντίστοιχη καμπυλότητα της γραμμής κάμψης w’’ = 2 ε__r / h, προκύπτει μια σειρά σημείων μέσω των οποίων μπορεί να χαραχθεί γραμμή που δίνει τη σχέση μεταξύ ροπής κάμψης και καμπυλότητας M = M(w’’); η σχέση αυτή δεν είναι πλέον γραμμική, και όταν είναι γνωστή είναι δυνατόν με γραφική ολοκλήρωση να προσδιοριστεί η γραμμή κάμψης που αντιστοιχεί σε δεδομένη κατανομή ροπών. Αν η διατομή είναι ασύμμετρη, ο υπολογισμός γίνεται πιο σύνθετος, στο μέτρο που για κάθε ε__r πρέπει ακόμη να καθοριστεί και η θέση του ουδέτερου άξονα.
Σχ. 8
Ο υπολογισμός απλοποιείται σε ορισμένο βαθμό, αν εκτός από τη συμμετρία της διατομής υποτεθεί και απλουστευμένη σχέση μεταξύ τάσεων και παραμορφώσεων σύμφωνα με το σχ. 8. Τότε οι τάσεις λόγω κάμψης μετά την υπέρβαση του ορίου διαρροής έχουν τη διάταξη που φαίνεται στο σχ. 9 και η ροπή κάμψης είναι:
και έτσι η καμπυλότητα της γραμμής βύθισης προκύπτει όταν η εξίσωση (2) εφαρμοστεί στο τμήμα της διατομής του οποίου οι τάσεις βρίσκονται στην ελαστική περιοχή w’’ = σf / Ez’. Αν είναι γνωστή η μορφή της διατομής, για κάθε επιλεγμένο z’ τα ολοκληρώματα μπορούν να υπολογιστούν. Π.χ. για την απλούστερη περίπτωση ορθογωνικής εγκάρσιας διατομής πλάτους b και ύψους h είναι
Αν εδώ το z’ εκφραστεί μέσω του w’’, προκύπτει
Στα I-προφίλ και παρόμοια, η πορεία της καμπύλης M-w’’ στην πλαστική περιοχή είναι ακόμη πιο ήπια και η ροπή στην οποία εμφανίζεται η διαρροή είναι τότε πρακτικά ίση με τη μέγιστη ροπή κάμψης που μπορεί γενικά να αντέξει η διατομή. Γι’ αυτό η σημασία της πλαστικής κάμψης στην οικοδομική δεν έγκειται στην αύξηση της ροπής κάμψης που μπορεί να φέρει η διατομή, αλλά στο ότι η μεγάλη τοπική παραμόρφωση που εμφανίζεται στο όριο διαρροής μπορεί να οδηγήσει σε ευνοϊκή μεταβολή της κατανομής των δυνάμεων σε στατικά αόριστα συστήματα.
Σχ. 9
Αυτό μπορεί να εξηγηθεί με το παράδειγμα μιας συνεχούς δοκού πάνω από δύο ανοίγματα. Ας θεωρήσουμε ότι η δοκός (σχ. 10) έχει ανοίγματα ίσου μήκους, σταθερή διατομή και ότι είναι φορτισμένη με ομοιόμορφα κατανεμημένο φορτίο. Τότε πριν από την επίτευξη του ορίου διαρροής η ροπή πάνω από τη στήριξη MB = _pl_2/8. Αν το φορτίο p αυξηθεί τόσο ώστε η ροπή στη διατομή στήριξης να φθάσει την τιμή Mf στην οποία επέρχεται διαρροή, με περαιτέρω αύξηση του φορτίου στο σημείο αυτό θα αυξάνεται και η καμπυλότητα χωρίς αισθητή αύξηση της ροπής. Δημιουργείται ο λεγόμενος πλαστικός αρμός, δηλαδή η δοκός υπό το πρόσθετο φορτίο συμπεριφέρεται σαν να υπάρχει αρμός πάνω από την ενδιάμεση στήριξη. Το φορτίο μπορεί να αυξάνεται περαιτέρω μέχρι να αρχίσει διαρροή και στο σημείο της μέγιστης ροπής στο άνοιγμα. Περαιτέρω αύξηση της ροπής κάμψης δεν είναι πλέον δυνατή και η φέρουσα ικανότητα της δοκού εξαντλείται. Το φορτίο υπό το οποίο επέρχεται αυτή η κατάσταση ονομάζεται οριακό φορτίο.
Εικ. 10
Γενικά μπορεί να αναμένεται ότι σε ένα n φορές στατικώς αόριστο σύστημα θα πρέπει να εμφανιστούν (n+1) πλαστικές αρθρώσεις πριν το σύστημα καταστεί κινητό και έτσι φθάσει το όριό του ως προς τη φέρουσα ικανότητα. Ο κανόνας αυτός, ωστόσο, έχει εξαιρέσεις και προς τις δύο κατευθύνσεις. Όπως δείχνει το παραπάνω παράδειγμα, στο όριο της φέρουσας ικανότητας μπορούν να εμφανιστούν ταυτόχρονα δύο νέες πλαστικές αρθρώσεις (και στα δύο ανοίγματα), έτσι ώστε το μέχρι τότε ακίνητο σύστημα να μεταβεί ξαφνικά σε σύστημα με δύο βαθμούς ελευθερίας. Από την άλλη πλευρά είναι δυνατόν ακόμη και με λιγότερες από (n+1) πλαστικές αρθρώσεις να εξαντληθεί τοπικά η φέρουσα ικανότητα, π.χ. όταν σε συνεχή φορέα υποχωρεί μόνο ένα άνοιγμα. Το σχ. 11 δείχνει πώς μπορεί να συμβεί αυτό σε ένα στατικώς διπλά αόριστο σύστημα με n=2 πλαστικές αρθρώσεις. Αν στη δεξιά πλευρά του φορέα προστεθεί και τέταρτο άνοιγμα, ο φορέας γίνεται τριπλά στατικώς αόριστος, οπότε αρκούν (n-1) πλαστικές αρθρώσεις ώστε μόνο το αριστερό άνοιγμα να φθάσει στο όριο της φέρουσας ικανότητας.
Σχ. 11
Τάσεις διάτμησης κατά την κάμψη
Στοιχειώδης υπολογισμός
Εικ. 12
Οι κανονικές τάσεις σ, δηλαδή οι τάσεις που στην πραγματικότητα εμφανίζονται λόγω κάμψης, δεν είναι οι μόνες τάσεις στη λυγισμένη ράβδο, αλλά μαζί τους εμφανίζονται και διατμητικές τάσεις λόγω της δράσης της εγκάρσιας δύναμης. Δεδομένου ότι το βασικό χαρακτηριστικό της τεχνικής θεωρίας κάμψης είναι ότι παραμελούνται οι παραμορφώσεις λόγω διατμητικών τάσεων, αυτές μπορούν να προσδιοριστούν μόνο από τη συνθήκη ισορροπίας. Για να τεθεί αυτή, το στοιχείο δοκού dx τέμνεται, όπως υποδεικνύεται στη σχ. 12, από οριζόντιο επίπεδο σε δύο μέρη, και τίθεται η συνθήκη ισορροπίας των οριζόντιων δυνάμεων που δρουν στο κάτω μέρος. Στην αριστερή πλευρά αυτές είναι οι εσωτερικές δυνάμεις που εκφράζονται με τις τάσεις σ λόγω κάμψης, τις οποίες πρέπει να ολοκληρώσουμε από z’ = z έως z’ = h2
Στη δεξιά πλευρά δρουν οι ίδιες τάσεις, αλλά αυξημένες κατά το διαφορικό σύμφωνα με την αντίστοιχη ροπή κάμψης M + dM. Η διαφορά μεταξύ των δυνάμεων στις δύο πλευρές του στοιχείου πρέπει να βρίσκεται σε ισορροπία με τη δύναμη λόγω των διατμητικών τάσεων τ που δρουν στην οριζόντια διατομική επιφάνεια t dx:
Εδώ το ολοκλήρωμα αντιπροσωπεύει τη στατική ροπή του τμήματος της διατομής που απομονώνεται από οριζόντιο εγκάρσιο επίπεδο ως προς τον κεντροβαρικό άξονα της διατομής. Συμβολίζεται με S. Με dM/dx = Q από τη συνθήκη ισορροπίας προκύπτει:
τ = QS/It. (8)
Σύμφωνα με την αρχή της συζεύξεως των διατμητικών τάσεων, αυτό είναι ταυτόχρονα το μέγεθος της κατακόρυφης διατμητικής τάσης που ενεργεί στην επιφάνεια της διατομής και η οποία, μαζί με τα S και t, είναι συνάρτηση του z.
Σχ. 13
Σχ. 13.1
Η εξίσωση (8) παρέχει αξιόπιστα δεδομένα σε όλες τις διατομές με λεπτά τοιχώματα, εφόσον το επίπεδο της τομής δεν τοποθετηθεί παράλληλα προς τον ουδέτερο άξονα, αλλά προς τη διεύθυνση του πάχους του τοιχώματος. Επομένως, η διατομή Ι τέμνεται εγκάρσια στο κορμό και εγκάρσια στο πέλμα, οπότε προκύπτει η κατανομή των τάσεων που φαίνεται στο σχ. 13.1. Στην κυκλική διατομή (σχ. 13) οι διατμητικές τάσεις κατανέμονται συμμετρικά ως προς την κατακόρυφη διάμετρο και αριστερά και δεξιά στη γραμμή ουδετέρου άξονα φθάνουν στο μέγιστο
τ = Q / πrt.
Αν η διατομή κοπεί στο υψηλότερο ή στο χαμηλότερο σημείο, η κατανομή των διατμητικών τάσεων δεν μεταβάλλεται· ωστόσο, αν κοπεί στο δεξιό άκρο της οριζόντιας διαμέτρου (σχ. 14), η διατμητική τάση σε εκείνο το σημείο είναι ίση με το μηδέν, ενώ η τιμή της διπλασιάζεται στο αριστερό άκρο της ίδιας διαμέτρου.
Σχ. 14
Συμπαγείς διατομές
Στα συμπαγή διατομές οποιουδήποτε σχήματος το πρόβλημα των διατμητικών τάσεων συνδέεται στενά με το ζήτημα της στρέψης. Η στοιχειώδης εξίσωση (8) στην περίπτωση αυτή δεν είναι πλέον αξιόπιστη. Για κυκλική διατομή ακτίνας r η εξίσωση (8) δίνει
τ = 4Q / 3__πr2
ως μέση τιμή της διατμητικής τάσης κατά μήκος του ουδέτερου άξονα, ενώ η ακριβής τιμή είναι μόνο κατά μερικά τοις εκατό μεγαλύτερη.
Κέντρο διάτμησης
Αν για τη διατομή U υπολογιστούν οι διατμητικές τάσεις με τον τρόπο που περιγράφηκε παραπάνω, προκύπτει η κατανομή τάσεων που φαίνεται στο σχήμ. 15. Η συνισταμένη των αντίστοιχων εσωτερικών δυνάμεων είναι η εγκάρσια δύναμη Q. Από το σχήμα μπορεί να φανεί η θέση της ως προς τη διατομή, δηλαδή ότι ούτε διέρχεται από το κέντρο βάρους της διατομής ούτε βρίσκεται στο επίπεδο του κορμού. Αν η εγκάρσια δύναμη που υπολογίζεται βάσει των εξωτερικών δυνάμεων δεν έχει τη θέση που φαίνεται στο σχήμ. 15, ο φορέας δεν καταπονείται μόνο σε κάμψη, αλλά και σε στρέψη.
Αν για την ίδια διατομή προσδιοριστεί η συνισταμένη που αντιστοιχεί στις διατμητικές τάσεις για κάποιο οριζόντιο φορτίο, προκύπτει η γραμμή δράσης της οριζόντιας εγκάρσιας δύναμης. Στο σημείο τομής αυτών των δύο γραμμών δράσης βρίσκεται το χαρακτηριστικό σημείο για τη συγκεκριμένη διατομή, το οποίο ονομάζεται κέντρο διάτμησης M. Στον φορέα δεν εμφανίζονται τάσεις λόγω στρέψης όταν τα κέντρα διάτμησης όλων των διατομών βρίσκονται πάνω σε μία ευθεία και όλα τα φορτία κάθετα στον άξονα της ράβδου διέρχονται από αυτή την ευθεία. Διαφορετικά, η ροπή κάθε φορτίου ως προς την ευθεία που συνδέει τα κέντρα διάτμησης εκφράζει τη στρεπτική διάτμηση.
Εικ. 15
Επίδραση της διατμητικής δύναμης στην κάμψη
Η τεχνική θεωρία της κάμψης βασίζεται στην παραμέληση των παραμορφώσεων λόγω διατμητικών τάσεων. Επομένως μπορεί πραγματικά να εφαρμοστεί σε λεπτές ράβδους, στις οποίες αυτή η παραμέληση είναι δικαιολογημένη και όπου η εγκάρσια δύναμη δεν έχει αισθητή επίδραση στην κάμψη.
Η εμπειρία έχει όμως δείξει ότι η τεχνική θεωρία της κάμψης μπορεί με κάποια επιτυχία να εφαρμοστεί και σε κοντούς, υψηλούς φορείς, για τους οποίους στην πραγματικότητα δεν προορίζεται καθόλου. Τότε προκύπτει η ανάγκη η επίδραση της παραμόρφωσης λόγω των διατμητικών τάσεων, η οποία σε αυτή τη θεωρία παραμελείται, να ληφθεί τουλάχιστον κατά προσέγγιση εκ των υστέρων υπόψη.
Όπως και οι διατμητικές τάσεις τ λόγω των εγκάρσιων δυνάμεων και οι αντίστοιχες ολισθήσεις γ_’ =_ τ_/G_ κατανέμονται ανισομερώς στη διατομή. Γι’ αυτό εισάγεται η μέση τιμή τους γ, η οποία καθορίζεται έτσι ώστε η εγκάρσια δύναμη, με αυτή τη μέση τιμή παραμόρφωσης, να παράγει στο στοιχείο της δοκού dx έργο παραμόρφωσης ίσο με εκείνο που θα προέκυπτε από την ολοκλήρωση των έργων των διατμητικών τάσεων στα επιμέρους στοιχειώδη τμήματα όγκου που συνθέτουν το εξεταζόμενο στοιχείο της δοκού:
από όπου είναι
Το ολοκλήρωμα μπορεί να υπολογιστεί όταν είναι γνωστή η κατανομή των διατμητικών τάσεων στη διατομή. Εφόσον όλες οι διατμητικές τάσεις είναι ανάλογες με Q/F, η τιμή του είναι ανάλογη με Q2/F2 * F, οπότε θέτοντας ότι είναι κ__Q2/F, προκύπτει
γ = κ__Q / GF.
Η σταθερά κ ονομάζεται συντελεστής κατανομής των διατμητικών τάσεων. Για ορθογωνικές διατομές είναι κ=1,2.
Εικ. 16
Όταν είναι γνωστός ο συντελεστής κ, και συνεπώς η μέση ολίσθηση γ, μπορεί να υπολογιστεί η πρόσθετη βύθιση wQ, που προκαλείται από τη δράση των εγκάρσιων δυνάμεων και πρέπει να προστεθεί στις βυθίσεις w: γιατί σύμφωνα με το σχήμα 16 είναι
γιατί, λόγω του Q = dM/dx:
με την οποία η σταθερά ολοκλήρωσης προκύπτει από μία οριακή συνθήκη.