Normalspänningar i raka stänger och stänger med liten krökning
Definition av tvärkrafter
Antag att en rak stång belastas av krafter med godtycklig riktning, varvid endast antas att de alla ligger i ett och samma plan (kraftplan) som går genom stångens axel (linjen som förbinder tvärsnittens tyngdpunkter).
Fig. 1
För att beräkna de spänningar som verkar i ett tvärsnitt n – n (fig. 1), måste man känna till den kraft som överförs genom detta tvärsnitt från en del av stången till den andra. Den är uppenbarligen till storlek och läge lika med resultanten av alla krafter som verkar på en del av stången. Denna resultant delas upp i komponenter i ett koordinatsystem vars x-axel sammanfaller med stångens axel och vars z-axel är den linje längs vilken tvärsnittets plan skär kraftplanet. Komponenten i riktningen för z-axeln kallas tvärkraft Q eller Qz och anses för en enkel balk vara positiv om den till vänster om snittet är riktad uppåt och till höger nedåt.
När stången är krökt har koordinataxlarna x och z i varje snitt en annan riktning, och alltid så att x-axeln är tangent till stångens axel. Om planet i vilket stångens axel ligger inte sammanfaller med kraftplanet, eller om stångens axel är en rymdkurva, har kraftresultanten till vänster om snittet också en tredje komponent, tvärkraften Qy. Med N, Qz och Qy bestäms storleken och riktningen för den kraft som överförs genom snittet, men inte dess läge. För detta måste även dess moment med avseende på koordinataxlarna vara kända. Vid plan böjning räcker det att böjmomentet M eller My är känt. I det mest allmänna fallet uppträder ytterligare ett böjmoment Mz och ett moment kring x-axeln, Mx.
De sex krafter och moment som definierats i den föregående framställningen sammanfattas under den gemensamma benämningen ”snittkrafter”. Deras bestämning är en av de grundläggande uppgifterna inom byggnadsstatiken.
Mellan den kontinuerligt fördelade belastningen p (dimension: kraft per längdenhet), tvärkraften Q och böjmomentet M finns i fallet med plan böjning ett enkelt samband. Närmare bestämt erhålls ur jämviktsvillkoren för ett stavelement (fig. 2)
dQ + p dx = 0,
dM = Q dx;
därför
Q = dM/dx,
p = - dQ/dx = - d2M/dx2. (1a, b)
Fig. 2
Fördelning av normalspänningar
Om en stång belastas endast med en axiell kraft uppträder i snittet endast en jämnt fördelad normalspänning σ (dragen respektive tryckt stång). Om dessutom ett böjmoment uppträder, måste dessa spänningar på något sätt vara ojämnt fördelade, så att deras resultant inte längre går genom snittets tyngdpunkt. För att bestämma denna fördelning utgår den tekniska böjningsteorin inte från en strikt lösning av grundekvationerna, utan ersätter en del av dessa ekvationer med ett plausibelt antagande, som i ett särskilt enkelt fall samtidigt också är strikt uppfyllt. Detta specialfall är böjning av en rak prismatisk stång utan inverkan av tvärkrafter (fig. 3). Alla delar av stången som ligger tillräckligt långt från dess ändar utsätts för samma deformation, varav omedelbart följer att stångens axel övergår i en cirkelbåge och att alla plan genom tvärsnitten, som ursprungligen stod vinkelrätt mot stångens axel, vid deformationen förblir plana, eftersom vart och ett av dem är ett symmetriplan för de angränsande delarna av den deformerade stången. Det är naturligt att anta att tvärsnitten också förblir ungefär plana när böjmomentet och stångens tvärsnitt inte är konstanta, utan gradvis förändras längs stången. Detta antagande, som kallas Naviers hypotes, ligger till grund för böjningsteorin.
Fig. 3
Normalspänningarnas storlek
När en rak balkdel böjs, sträcks en del av dess ”fibrer”, dvs. materiallinjer parallella med stångens axel, medan den andra delen förkortas (fig. 4). Mellan dessa två delar ligger de neutrala fibrerna z=0, vilkas längd inte ändras vid böjning. Antag att krökningsradien för dessa fibrer i böjt tillstånd är ϱ och att den ligger i x-z planet. Av fig. 4 može se pročitati
Δ dx/z = _dx/_ϱ
och därav beräkna fiberdeformationen på avståndet z från neutralaxeln, vilken är
ε = Δ dx/dx = _z/_ϱ
så att enligt Hookes- lag uppstår spänning
σ _= Ez/_ϱ (2)
Fig. 4
Denna spänning är proportionell mot avståndet från de neutrala fibrerna. Ett sådant resultat är kopplat till antagandet att före deformation var alla fibrer i stavens element lika långa, så att staven ursprungligen var rak, eller åtminstone hade en så liten krökning att krökningens inverkan kan försummas. Den linje där det neutrala lagret och snittplanet skär varandra kallas neutralaxel. Denna antar vi som y-axel (fig. 5). Läget för neutralaxeln i tvärsnittet erhålls ur jämviktsvillkoret för krafter i riktning x-axeln: om normalkraften N=0 (böjning utan normalkraft), måste även resultantens av de inre krafterna uttryckt genom normalspänningarna i snittet vara lika med noll:
Integralen på höger sida är ytans statiska moment i förhållande till y-axeln. För att den ska vara lika med noll måste denna axel vara en av tyngdaxlarna.
Momentet M som orsakar deformationen har i förhållande till axlarna y och z i snittplanet (fig. 5) komponenterna:
Ekv. (3)
varvid Iy, Iyz är tvärsnittets ekvatoriella och centrifugala tröghetsmoment i förhållande till de angivna axlarna.
Det viktigaste är det speciella fallet när Mz=0. Detta fall inträffar när Iyz=0, dvs. när y och z är tvärsnittets huvudtröghetsaxlar. Det betyder att den böjplan som här har antagits sammanfaller med x-z-planet med det plan i vilket böjmomentet M=My verkar, dvs. med kraftplanet.
Fig. 5
Om _E/_ϱ elimineras ur ekvationerna (2) och (3), erhålls uttrycket för bestämning av spänningen vid plan böjning (Iy=I):
σ = M/I * z (4)
för kantpunkterna 1 och 2 gäller särskilt:
σ1 = M/I * h1 = M/W1, σ2 = - M/I * h2 = - M/W2. (5)
Storheterna W1,2 = I/h1,2 (dimension: längd upphöjd till tre) kallas motståndsmoment. Om den horisontella tyngdaxeln samtidigt är symmetriaxeln för tvärsnittet, då är W1 = W2, och därmed är randspänningarna lika stora i absolutvärde.
Elastisk linje
Fig. 6
Betydelsen av de ovan nämnda formerna är knuten till Hookes lag. Detta kräver att σ << E, alltså enligt (2) h << ϱ. Böjningen får dock vara så stor att ϱ är av samma storleksordning som stångens längd l. För böjda stänger som är aktuella inom byggnadstekniken inträffar inte detta fall; ϱ är alltid avsevärt större än l och därmed är nedböjningen w << l (fig. 6). Då gäller ungefär:
1/ ϱ = - d2w/dx2 = -w’’
och på grundval av (3):
w’’ = - M/EI.
Denna ekvation och jämviktsvillkoret (1b) utgör ett system av differentialekvationer för den böjda stången. Genom eliminering kan de reduceras till en enda ekvation av fjärde ordningen:
wIV = + p/EI
eller, om tröghetsmomentet är variabelt:
(EIw’’)’’ = +p.
Genom integration av dessa kan formen på den elastiska linjen bestämmas när lasten p=p(x) är given och när två randvillkor är kända för varje stångfall. Av dessa måste minst två avse deformationen. För detaljer se artikeln Statik för byggnadskonstruktioner.
Tvärsnittets kärna
Om den neutrala axeln skär tvärsnittet delar den det i en dragzon och en tryckzon. För material med låg draghållfasthet uppstår frågan var tryckkraften bör angripa, om det i tvärsnittet inte får uppstå drag någonstans. Kraftens angreppspunkt begränsas då till det område som kallas tvärsnittets kärna. Kärnans gräns är uppenbart den geometriska orten för de punkter vars neutrala axlar tangerar tvärsnittets periferi. Därmed ges också dess konstruktion.
Avståndet mellan kärngränsen och tyngdpunkten, mätt i vilken riktning som helst, betecknar vi med k med ett index som motsvarar den riktningen. För huvudtröghetsaxlarna enligt ekvationen
σ = N/F + Mz/Iz y + My/Iy z (6)
uttrycken är följande:
ky = i2z / ey, kz = i2y / ez. (7)
För ett cirkulärt tvärsnitt med radien r är kärnavståndet k = r/4, och för en cirkulär ring (radier: yttre R, inre r) k = (R2 + r2) / 4R.
För rektangeln (fig. 7) gäller ky = 1/6 b, kz = 1/6 h. Alltså räcker det, vid belastning av ett rektangulärt tvärsnitt i ett av symmetriplanen (men endast då), att resultantkraften angriper i den mellersta tredjedelen av tvärsnittets höjd eller bredd, så att spänningarna i tvärsnittet får samma tecken.
Fig. 7
Böjning i det plastiska området
När flytgränsen har uppnåtts i den böjda stångens kantfibrer är dess bärförmåga ännu inte uttömd, eftersom medan de yttre fibrerna plastiskt deformeras vid konstant spänning, ökar spänningen i de delar som ligger närmare neutralaxeln, där flytgränsen ännu inte har uppnåtts, och därmed ökar också det böjmoment som tvärsnittet kan bära.
Om det exakta förloppet för spännings- och deformationsdiagrammen är känt, kan processen för dubbelsymmetriska tvärsnitt (höjd h) lätt följas beräkningsmässigt på så sätt att, under antagandet att tvärsnitten förblir plana, spänningsfördelningen σ till följd av böjning, som motsvarar en antagen töjning i ytterfibrerna ε__r, bestäms ur spännings- och deformationsdiagrammen och därav böjmomentet bestäms genom integrering. Om detta genomförs för olika ε__r och man å andra sidan beräknar motsvarande krökning av nedböjningslinjen w’’ = 2 ε__r / h, erhålls en serie punkter genom vilka man kan dra en linje som ger sambandet mellan böjmoment och krökning M = M(w’’); detta samband är inte längre linjärt, och när det är känt kan nedböjningslinjen som motsvarar en given momentfördelning bestämmas genom grafisk integration. Om tvärsnittet är osymmetriskt blir beräkningen mer komplicerad, eftersom man för varje ε__r dessutom måste bestämma neutralaxelns läge.
Fig. 8
Beräkningen förenklas till viss del om man, utöver snittets symmetri, även antar ett förenklat samband mellan spänningar och deformationer enligt fig. 8. Då har spänningarna till följd av böjning efter att flytgränsen överskridits den fördelning som visas i fig. 9, och böjmomentet är:
och böjlinjens krökning erhålls när ekvation (2) tillämpas på den del av tvärsnittet vars spänningar i det elastiska området är w’’ = σf / Ez’. Om tvärsnittets form är känd för varje valt z’ kan integralerna beräknas. T.ex. för det enklaste fallet med ett rektangulärt tvärsnitt med bredd b och höjd h gäller
Om z’ här uttrycks med hjälp av w’’, erhålls
För I-profiler och liknande är förloppet för M-w’’-kurvan i det plastiska området ännu flackare, och momentet vid vilket flytning inträder är då praktiskt taget lika med det största böjmoment som tvärsnittet över huvud taget kan bära. Därför ligger betydelsen av plastisk böjning i byggnadstekniken inte i att öka det böjmoment som tvärsnittet kan bära, utan i att den stora lokala deformation som uppstår vid flytgränsen kan leda till en gynnsam förändring av kraftfördelningen i statiskt obestämda system.
Fig. 9
Detta kan förklaras med exemplet av en kontinuerlig balk över två spann. Anta att balken (fig. 10) har spann med lika längd, konstant tvärsnitt och att den är belastad med jämnt utbredd last. Då är momentet över stödet före uppnådd flytgräns MB = _pl_2/8. Om lasten p ökas så mycket att momentet i stödsektionen når värdet Mf vid vilket flytning inträffar, kommer vid fortsatt ökning av lasten på denna plats även krökningen att öka utan märkbar momentökning. En s.k. plastisk led bildas, dvs. balken beter sig under tilläggslasten som om det fanns en led över mellanstödet. Lasten kan ökas vidare tills även flytning börjar vid platsen för det största momentet i spannet. Ytterligare ökning av böjmomentet är då inte längre möjlig och balkens bärförmåga är uttömd. Den last vid vilken detta tillstånd inträder kallas gränslast.
Fig. 10
I allmänhet kan man förvänta sig att i ett n-faldigt statiskt obestämt system måste (n+1) plastiska leder uppkomma innan systemet blir rörligt och därmed når sin bärförmågegräns. Denna regel har emellertid undantag i båda riktningarna. Som det nämnda exemplet visar kan två nya plastiska leder uppträda samtidigt vid bärförmågegränsen (i båda fälten), så att det dittills ännu orörliga systemet plötsligt övergår till ett system med två frihetsgrader. Å andra sidan är det möjligt att bärförmågan lokalt uttöms redan med färre än (n+1) plastiska leder, t.ex. när endast ett fält i en kontinuerlig balk ger vika. Fig. 11 visar hur detta kan inträffa för ett statiskt tvåfaldigt obestämt system med n=2 plastiska leder. Om man dessutom lägger till ett fjärde fält på balkens högra sida blir balken statiskt tredubbelt obestämd, och då räcker det med (n-1) plastiska leder för att enbart det vänstra fältet ska föras till bärförmågegränsen.
Fig. 11
Skjuvspänningar vid böjning
Elementär beräkning
Fig. 12
Normalspänningarna σ, dvs. de spänningar som i själva verket uppträder till följd av böjning, är inte de enda spänningarna i den böjda stången, utan därutöver uppträder även skjuvspänningar till följd av den tvärgående kraftens inverkan. Eftersom den grundläggande egenskapen hos den tekniska böjningsteorin är att deformationer på grund av skjuvspänningar försummas, kan dessa bestämmas endast ur jämviktsvillkoret. För att ställa upp detta delas balkelementet dx upp, såsom i fig. 12 anges, av ett horisontellt plan i två delar, och jämviktsvillkoret för de horisontella krafter som verkar på den nedre delen upprättas. På vänster sida är dessa de inre krafter som uttrycks genom spänningarna σ till följd av böjning, vilka ska integreras från z’ = z till z’ = h2
På högra sidan verkar samma spänningar, men ökade med differentialen i enlighet med det motsvarande böjmomentet M + dM. Skillnaden mellan krafterna på båda sidor om elementet måste vara i jämvikt med kraften på grund av skjuvspänningarna τ som verkar i den horisontella snittytan t dx:
Här representerar integralen det statiska momentet av den del av tvärsnittet som avskilts av ett horisontellt tvärplan i förhållande till tvärsnittets tyngdaxel. Den betecknas med S. Av dM/dx = Q enligt jämviktsvillkoret erhålls:
τ = QS/It. (8)
Detta är enligt satsen om skjuvspänningars konjugering samtidigt storleken på den vertikala skjuvspänning som verkar i tvärsnittsytan och som tillsammans med S och t är en funktion av z.
Fig. 13
Fig. 13.1
Ekvationen (8) ger tillförlitliga värden för alla tvärsnitt med tunna väggar, om snittplanet inte läggs parallellt med neutralaxeln utan i väggtjocklekens riktning. Därför skärs I-profilen tvärs genom livet och tvärs genom flänsen, varigenom den spänningsfördelning erhålls som visas i fig. 13.1. För ringtvärsnittet (fig. 13) är skjuvspänningarna symmetriskt fördelade i förhållande till den vertikala diametern och når sitt maximum till vänster och höger om neutrallinjen
τ = Q / πrt.
Om tvärsnittet skärs vid det högsta eller lägsta stället, ändras inte fördelningen av skjuvspänningarna; om det däremot skärs vid den högra änden av den horisontella diametern (fig. 14), är skjuvspänningen på den platsen lika med noll, medan dess värde fördubblas vid den vänstra änden av samma diameter.
Fig. 14
Massiva tvärsnitt
Vid massiva tvärsnitt av godtycklig form är problemet med skjuvspänningar nära knutet till torsionsproblematiken. Den elementära ekvationen (8) är i detta fall inte längre tillförlitlig. För ett cirkulärt tvärsnitt med radien r ger ekvationen (8)
τ = 4Q / 3__πr2
som ett medelvärde av skjuvspänningen längs neutralaxeln, och det exakta värdet är endast några procent högre.
Skjuvningscentrum
Om skjuvspänningarna för ett U-tvärsnitt beräknas på det sätt som beskrivits ovan, erhålls den spänningsfördelning som visas i fig. 15. Resultanten av de motsvarande inre krafterna är tvärkraften Q. Av figuren kan dess läge i förhållande till tvärsnittet ses, alltså att den varken går genom tvärsnittets tyngdpunkt eller ligger i livets plan. Om den tvärkraft som beräknats utifrån de yttre krafterna inte har det läge som visas i fig. 15, belastas balken inte endast av böjning utan också av torsion.
Om resultant som motsvarar skjuvspänningarna bestäms för ett och samma tvärsnitt för en viss horisontell belastning, erhålls angreppslinjen för den horisontella tvärkraften. I skärningen mellan dessa två angreppslinjer ligger den karakteristiska punkten för det givna tvärsnittet, vilken kallas skjuvcentrum M. I balken uppträder inga spänningar till följd av torsion när skjuvcentrumen för alla tvärsnitt ligger på en och samma räta linje, och alla laster vinkelräta mot stavens axel passerar genom denna linje. I motsatt fall utgör momentet för varje last i förhållande till den linje som förbinder skjuvcentrumen ett torsionsskjuv.
Fig. 15
Transversal krafts inverkan på böjning
Den tekniska böjningsteorin bygger på att deformationer till följd av skjuvspänningar försummas. Därför kan den i praktiken tillämpas på slanka stavar, där detta försummande är motiverat och där tvärkraften inte har någon märkbar inverkan på böjningen.
Erfarenheten har emellertid visat att den tekniska böjningsteorin med viss framgång kan tillämpas även på korta, höga balkar, för vilka den i själva verket inte alls är avsedd. Då uppstår behovet att i efterhand, åtminstone ungefärligt, beakta inverkan av deformationen till följd av skjuvspänningarna, som i denna teori försummas.
På samma sätt som skjuvspänningarna τ till följd av tvärkrafter och de motsvarande glidningarna γ_’ =_ τ_/G_ är de fördelade ojämnt över tvärsnittet. Därför införs deras medelvärde γ, som bestäms så att tvärkraften vid detta medeldeformationsvärde utför ett deformationsarbete på balkelementet dx som är lika med det som skulle erhållas genom integrering av arbetena för skjuvspänningarna på de enskilda volymelement som utgör det betraktade balkelementet:
varav följer
Integralen kan beräknas när fördelningen av skjuvspänningar över tvärsnittet är känd. Eftersom alla skjuvspänningar är proportionella mot Q/F, är dess värde proportionellt mot Q2/F2 * F, och om man sätter att det är κ__Q2/F, erhålls
γ = κ__Q / GF.
Konstanten κ kallas för koefficienten för fördelningen av skjuvspänningar. För rektangulära tvärsnitt är κ=1,2.
Fig. 16
När koefficienten κ, och därmed det genomsnittliga glidet γ, är känd, kan den extra nedböjningen wQ, som uppstår genom tvärkrafter, beräknas och läggas till nedböjningarna w: eftersom enligt fig. 16 är
och därför gäller på grund av Q = dM/dx:
varvid integrationskonstanten erhålls ur ett randvillkor.