Tegangan normal pada batang lurus dan batang dengan kelengkungan kecil
Definisi gaya penampang
Misalkan batang lurus dibebani oleh gaya-gaya dengan arah sembarang, dengan satu-satunya asumsi bahwa semuanya terletak pada satu bidang (bidang gaya) yang melalui sumbu batang (garis yang menghubungkan titik berat penampang-penampang melintang).
Gbr. 1
Agar dapat menghitung tegangan yang bekerja pada suatu penampang n – n (gbr. 1), perlu diketahui gaya yang melalui penampang ini dipindahkan dari satu bagian batang ke bagian lainnya. Besarnya dan kedudukannya jelas sama dengan resultan semua gaya yang bekerja pada salah satu bagian batang. Resultan ini diuraikan menjadi komponen-komponen dalam sistem koordinat yang sumbu x-nya berimpit dengan sumbu batang, dan sumbu z-nya adalah garis di mana bidang penampang memotong bidang gaya. Komponen searah sumbu z disebut gaya transversal Q atau Qz dan pada balok sederhana dianggap positif jika di sebelah kiri penampang arahnya ke atas, dan di sebelah kanan ke bawah.
Apabila batang melengkung, sumbu koordinat x dan z pada setiap penampang memiliki arah yang berbeda, dan selalu demikian sehingga sumbu x merupakan tangen terhadap sumbu batang. Jika bidang tempat sumbu batang terletak tidak berimpit dengan bidang gaya, atau jika sumbu batang merupakan kurva ruang, resultan gaya di sebelah kiri penampang juga memiliki komponen ketiga, yaitu gaya transversal Qy. Dengan N, Qz dan Qy ditentukan besarnya dan arah gaya yang diteruskan melalui penampang, tetapi bukan kedudukannya. Untuk ini perlu diketahui juga momennya terhadap sumbu-sumbu koordinat. Dalam kasus pembengkokan bidang, cukup diketahui momen lentur M atau My. Dalam kasus yang paling umum muncul satu momen lentur lagi Mz dan momen terhadap sumbu x, Mx.
Enam gaya dan momen yang didefinisikan pada uraian sebelumnya dirangkum dengan istilah umum „gaya penampang“. Penentuannya adalah salah satu tugas dasar statika konstruksi bangunan.
Antara beban terdistribusi kontinu p (dimensi: gaya per satuan panjang), gaya transversal Q dan momen lentur M terdapat hubungan sederhana dalam kasus lentur bidang. Tepatnya, dari syarat keseimbangan suatu elemen batang (gambar 2) diperoleh
dQ + p dx = 0,
dM = Q dx;
oleh karena itu
Q = dM/dx,
p = - dQ/dx = - d2M/dx2. (1a, b)
Gbr. 2
Distribusi tegangan normal
Jika batang hanya dibebani oleh gaya aksial, pada penampang hanya muncul tegangan normal σ yang terdistribusi merata (batang tarik, atau batang tekan). Jika selain itu juga muncul momen lentur, tegangan-tegangan ini harus dengan cara tertentu terdistribusi tidak merata, sehingga resultannya tidak lagi melalui titik berat penampang. Untuk menentukan distribusi ini, teori lentur teknik tidak berangkat dari penyelesaian ketat persamaan dasar, melainkan mengganti sebagian persamaan tersebut dengan asumsi yang masuk akal yang dalam satu kasus yang sangat sederhana sekaligus terpenuhi secara ketat. Kasus khusus ini adalah lentur batang prismatik lurus tanpa pengaruh gaya transversal (gambar 3). Semua elemen batang yang cukup jauh dari ujung-ujungnya mengalami deformasi yang sama, dari mana langsung mengikuti bahwa sumbu batang berubah menjadi busur lingkaran dan bahwa semua bidang penampang melintang yang mula-mula tegak lurus pada sumbu batang tetap datar selama deformasi, karena masing-masing merupakan bidang simetri bagi bagian-bagian batang yang berdekatan yang terdeformasi. Secara alami timbul dugaan bahwa penampang melintang tetap kira-kira datar bahkan ketika momen lentur dan penampang batang tidak konstan, melainkan berubah secara bertahap sepanjang batang. Asumsi ini, yang disebut hipotesis Navier, menjadi dasar teori lentur.
Gbr. 3
Besar tegangan normal
Ketika elemen balok yang lurus dibengkokkan, salah satu bagian dari “serat”-nya, yaitu garis-garis material yang sejajar dengan sumbu batang, memanjang, sedangkan bagian lainnya memendek (gambar 4). Di antara kedua bagian ini terdapat serat netral z=0, yang panjangnya tidak berubah saat pembengkokan. Misalkan jari-jari kelengkungan serat-serat ini dalam keadaan bengkok adalah ϱ dan letaknya berada pada bidang x-z. Dari gambar 4 m dapat dibaca
Δ dx/z = _dx/_ϱ
dan dari sana dihitung regangan serat pada jarak z dari sumbu netral, yang besarnya
ε = Δ dx/dx = _z/_ϱ
maka berdasarkan hukum Hooke- tegangan
σ _= Ez/_ϱ (2)
Gbr. 4
Tegangan ini sebanding dengan jarak dari serat netral. Hasil seperti itu berkaitan dengan asumsi bahwa sebelum deformasi semua serat elemen batang memiliki panjang yang sama, sehingga batang pada awalnya lurus, atau setidaknya memiliki kelengkungan yang begitu kecil sehingga pengaruh kelengkungan dapat diabaikan. Garis di mana lapisan netral dan bidang penampang saling berpotongan disebut sumbu netral. Ini kita ambil sebagai sumbu y (gbr. 5). Posisi sumbu netral pada penampang diperoleh dari syarat keseimbangan gaya dalam arah sumbu x: jika gaya normal N=0 (lentur tanpa gaya normal), maka resultan gaya internal yang dinyatakan melalui tegangan normal pada penampang juga harus sama dengan nol:
Integral di sisi kanan adalah momen statis luas terhadap sumbu y. Agar nilainya nol, sumbu ini harus menjadi salah satu sumbu melalui titik berat.
Momen M yang menyebabkan deformasi memiliki komponen terhadap sumbu y dan z pada bidang penampang (gambar 5) berupa:
Pers. (3)
di mana Iy, Iyz adalah momen inersia ekuatorial dan sentrifugal penampang terhadap sumbu yang ditunjukkan.
Kasus khusus yang paling penting adalah ketika Mz=0. Kasus ini terjadi ketika Iyz=0, yaitu ketika y dan z merupakan sumbu inersia utama penampang. Ini berarti bidang lentur yang diambil di sini berimpit dengan x-z-bidang dengan bidang tempat bekerja momen lentur M=My, yaitu bidang gaya.
Gbr. 5
Jika dari persamaan (2) dan (3) dieliminasi _E/_ϱ, diperoleh bentuk untuk menentukan tegangan pada lenturan seragam (Iy=I):
σ = M/I * z (4)
untuk titik tepi 1 dan 2 secara khusus berlaku:
σ1 = M/I * h1 = M/W1, σ2 = - M/I * h2 = - M/W2. (5)
Besaran W1,2 = I/h1,2 (dimensi: panjang pangkat tiga) disebut momen tahan. Jika sumbu berat horizontal sekaligus merupakan sumbu simetri penampang, maka W1 = W2, sehingga tegangan tepi sama besar secara mutlak.
Garis elastis
Gbr. 6
Pentingnya pola-pola di atas terkait dengan hukum Hooke. Ini mensyaratkan bahwa σ << E, jadi menurut (2) h << ϱ. Namun pembengkokan boleh sedemikian rupa sehingga ϱ berada pada orde besaran yang sama dengan panjang batang l. Pada batang-batang bengkok yang relevan dalam teknik bangunan, keadaan ini tidak terjadi; selalu ϱ jauh lebih besar daripada l dan dengan demikian lendutan w << l (gambar 6). Maka secara pendekatan berlaku:
1/ ϱ = - d2w/dx2 = -w’’
dan berdasarkan (3):
w’’ = - M/EI.
Persamaan ini dan syarat keseimbangan (1b) membentuk sistem persamaan diferensial batang yang dibengkokkan. Dengan eliminasi, keduanya dapat direduksi menjadi satu persamaan orde keempat:
wIV = + p/EI
atau, dalam hal momen inersia berubah:
(EIw’’)’’ = +p.
Dari persamaan itu, melalui integrasi, bentuk garis elastis dapat ditentukan bila beban p=p(x) diberikan dan bila untuk setiap kasus batang diketahui dua syarat batas. Dari syarat-syarat ini setidaknya dua harus berkaitan dengan deformasi. Untuk rincian lihat artikel Statika konstruksi bangunan.
Inti penampang
Jika sumbu netral memotong penampang melintang, maka ia membaginya menjadi zona tarik dan zona tekan. Pada bahan dengan kuat tarik yang kecil timbul pertanyaan di mana gaya tekan harus bekerja, jika di penampang melintang tidak boleh terjadi tarik di mana pun. Kedudukan titik kerja gaya itu kemudian dibatasi pada daerah yang disebut inti penampang. Batas inti jelas merupakan tempat kedudukan titik-titik, yang sumbu netralnya menyinggung penampang melintang pada kelilingnya. Dengan demikian konstruksinya juga telah diberikan.
Jarak batas inti dari titik berat, yang diukur dalam arah apa pun, akan kita tandai dengan indeks k yang sesuai dengan arah tersebut. Untuk sumbu utama inersia menurut persamaan
σ = N/F + Mz/Iz y + My/Iy z (6)
Istilah-istilahnya adalah sebagai berikut:
ky = i2z / ey, kz = i2y / ez. (7)
Untuk penampang melintang lingkaran berjari-jari r, jarak inti adalah k = r/4, dan untuk cincin lingkaran (jari-jari: luar R, dalam r) k = (R2 + r2) / 4R.
Untuk persegi panjang (gbr. 7) berlaku ky = 1/6 b, kz = 1/6 h. Jadi, pada pembebanan penampang persegi panjang dalam salah satu bidang simetri (namun hanya dalam hal itu) cukup bila resultan gaya bekerja pada sepertiga tengah tinggi atau lebar penampang, sehingga tegangan pada penampang memiliki tanda yang sama.
Gbr. 7
Pembengkokan pada daerah plastis
Ketika batas luluh pada serat tepi batang yang dibengkokkan telah tercapai, daya dukungnya dengan demikian belum habis, karena selama serat luar mengalami deformasi plastis pada tegangan konstan, pada bagian yang terletak lebih dekat ke sumbu netral, tempat batas luluh belum tercapai, tegangan meningkat, sehingga momen lentur yang dapat dipikul penampang juga meningkat.
Jika alur yang tepat dari diagram tegangan dan deformasi diketahui, proses untuk penampang simetris ganda (tinggi h) dapat dengan mudah ditelusuri secara perhitungan dengan cara, dengan asumsi bahwa penampang tetap datar, dari diagram tegangan dan deformasi ditentukan distribusi tegangan σ akibat pembengkokan yang sesuai dengan regangan ujung serat ε__r tertentu yang diambil, lalu dari situ melalui integrasi ditentukan momen pembengkokan. Jika ini dilakukan untuk berbagai ε__r dan di sisi lain dihitung kelengkungan garis lendutan yang sesuai w’’ = 2 ε__r / h, diperoleh serangkaian titik yang melaluinya dapat digambarkan garis yang memberikan hubungan antara momen pembengkokan dan kelengkungan M = M(w’’); hubungan ini tidak lagi linear, dan bila hubungan ini diketahui, melalui integrasi grafis dapat ditentukan garis lendutan yang sesuai dengan distribusi momen yang diberikan. Jika penampang tidak simetris, perhitungannya menjadi lebih kompleks, karena untuk setiap ε__r juga harus ditentukan posisi sumbu netral.
Gbr. 8
Perhitungan sampai batas tertentu disederhanakan jika, selain simetri penampang, diasumsikan juga hubungan yang disederhanakan antara tegangan dan regangan menurut gambar 8. Maka tegangan akibat lentur setelah melampaui batas leleh memiliki distribusi yang ditunjukkan pada gambar 9 dan momen lenturnya adalah:
maka kelengkungan garis lendutan diperoleh ketika persamaan (2) diterapkan pada bagian penampang yang tegangannya berada dalam daerah elastis w’’ = σf / Ez’. Jika bentuk penampang untuk setiap z’ yang diambil diketahui, integralnya dapat dihitung. Misalnya, untuk kasus paling sederhana penampang persegi panjang dengan lebar b dan tinggi h adalah
Jika di sini z’ dinyatakan dengan w’’, diperoleh
Pada penampang I dan yang serupa dengannya, bentuk kurva M-w’’ di daerah plastis menjadi lebih mendatar, dan momen saat mulai mengalir praktis sama dengan momen lentur terbesar yang sama sekali dapat dipikul penampang. Karena itu, arti pembengkokan plastis dalam konstruksi tidak terletak pada peningkatan momen lentur yang dapat dipikul penampang, melainkan pada kenyataan bahwa deformasi lokal besar yang terjadi pada batas luluh dapat menyebabkan perubahan yang menguntungkan dalam distribusi gaya pada sistem statis tak tentu.
Gbr. 9
Hal ini dapat dijelaskan pada contoh balok menerus di atas dua bentang. Misalkan balok (gbr. 10) mempunyai bentang dengan panjang sama, penampang konstan, dan dibebani dengan beban merata. Maka sebelum mencapai batas luluh, momen di atas tumpuan MB = _pl_2/8. Jika beban p dinaikkan sedemikian rupa sehingga momen pada penampang tumpuan mencapai nilai Mf saat luluh terjadi, pada kenaikan beban selanjutnya kelengkungan di tempat itu akan bertambah tanpa kenaikan momen yang berarti. Terbentuklah yang disebut sendi plastis, yakni balok di bawah beban tambahan berperilaku seolah-olah di atas tumpuan tengah terdapat sendi. Beban dapat terus dinaikkan sampai pada tempat momen terbesar di bentang juga mulai terjadi luluh. Kenaikan lebih lanjut dari momen lentur tidak lagi mungkin dan daya dukung balok habis. Beban saat keadaan ini terjadi disebut beban batas.
Gbr. 10
Secara umum dapat diharapkan bahwa pada suatu sistem yang secara statis tak tentu sebanyak n kali harus muncul (n+1) sendi plastis sebelum sistem menjadi dapat bergerak dan dengan demikian mencapai batas daya dukungnya. Namun, aturan ini memiliki pengecualian ke dua arah. Seperti yang ditunjukkan contoh tersebut, pada batas daya dukung dapat muncul secara bersamaan dua sendi plastis baru (pada kedua bentang), sehingga sistem yang sebelumnya masih tidak dapat bergerak tiba-tiba berubah menjadi sistem dengan dua derajat kebebasan. Di sisi lain, mungkin juga bahwa dengan kurang dari (n+1) sendi plastis, daya dukung sudah habis secara lokal, misalnya ketika pada balok kontinu hanya satu bentang yang gagal. Gbr. 11 menunjukkan bagaimana hal ini dapat terjadi pada suatu sistem yang secara statis tak tentu ganda dengan n=2 sendi plastis. Jika pada sisi kanan balok ditambahkan pula bentang keempat, balok menjadi secara statis tak tentu tiga kali, sehingga (n-1) sendi plastis sudah cukup untuk membawa hanya bentang kiri ke batas daya dukung.
Gbr. 11
Tegangan geser pada pembengkokan
Perhitungan elementer
Gbr. 12
Tegangan normal σ, yaitu tegangan yang sebenarnya muncul akibat pembengkokan, bukan satu-satunya tegangan pada batang yang dibengkokkan, melainkan di sampingnya juga muncul tegangan geser akibat pengaruh gaya transversal. Mengingat ciri dasar teori teknis pembengkokan adalah bahwa deformasi akibat tegangan geser diabaikan, tegangan ini hanya dapat ditentukan dari syarat keseimbangan. Untuk menetapkan hal ini, elemen balok dx dipotong, seperti yang ditunjukkan pada gambar 12, oleh bidang horizontal menjadi dua bagian, lalu ditetapkan syarat keseimbangan gaya-gaya horizontal yang bekerja pada bagian bawah. Di sisi kiri adalah gaya-gaya internal yang dinyatakan oleh tegangan σ akibat pembengkokan, yang harus diintegralkan dari z’ = z sampai z’ = h2
Di sisi kanan bekerja tegangan yang sama, tetapi ditambah dengan diferensial sesuai dengan momen lentur yang bersangkutan M + dM. Selisih gaya pada kedua sisi elemen harus setimbang dengan gaya akibat tegangan geser τ yang bekerja pada bidang penampang horizontal t dx:
Di sini integral mewakili momen statik dari bagian penampang yang dipisahkan oleh bidang penampang horizontal terhadap sumbu berat penampang. Ini dilambangkan dengan S. Dari dM/dx = Q menurut syarat keseimbangan diperoleh:
τ = QS/It. (8)
Itu, menurut prinsip konjugasi tegangan geser, sekaligus merupakan besaran tegangan geser vertikal yang bekerja pada bidang penampang dan yang, bersama dengan S dan t, merupakan fungsi dari z.
Gbr. 13
Gbr. 13.1
Persamaan (8) memberikan data yang andal untuk semua penampang berdinding tipis jika bidang penampang tidak ditempatkan sejajar dengan sumbu netral, melainkan searah dengan ketebalan dinding. Oleh karena itu profil I dipotong melintang melalui badan dan melintang melalui sayap, sehingga diperoleh distribusi tegangan yang ditunjukkan pada gambar 13.1. Pada penampang cincin (gambar 13) tegangan geser terdistribusi simetris terhadap diameter vertikal dan di kiri serta kanan pada garis netral mencapai maksimum
τ = Q / πrt.
Jika penampang dipotong pada titik tertinggi atau terendah, distribusi tegangan geser tidak berubah; namun, jika dipotong pada ujung kanan diameter horizontal (gbr. 14), tegangan geser pada titik itu sama dengan nol, sedangkan nilainya menjadi dua kali lipat pada ujung kiri diameter yang sama.
Gbr. 14
Penampang penuh
Pada penampang penuh dengan bentuk sembarang, masalah tegangan geser sangat terkait erat dengan persoalan torsi. Persamaan elementer (8) dalam hal itu tidak lagi dapat diandalkan. Untuk penampang lingkaran berjari-jari r, persamaan (8) memberikan
τ = 4Q / 3__πr2
sebagai nilai rata-rata tegangan geser sepanjang sumbu netral, sedangkan nilai tepatnya hanya beberapa persen lebih besar.
Titik geser
Jika tegangan geser dihitung untuk penampang U dengan cara yang dijelaskan di atas, diperoleh distribusi tegangan yang ditunjukkan pada gambar 15. Resultan gaya dalam yang bersangkutan adalah gaya transversal Q. Dari gambar dapat dilihat posisinya terhadap penampang, yaitu bahwa gaya ini tidak melalui pusat berat penampang, dan juga tidak terletak pada bidang badan. Jika gaya transversal yang dihitung berdasarkan gaya luar tidak memiliki posisi yang ditunjukkan pada gambar 15, balok tidak hanya dibebani lentur, tetapi juga torsi.
Jika untuk penampang yang sama ditentukan resultan yang sesuai dengan tegangan geser untuk suatu beban horizontal, diperoleh garis kerja gaya transversal horizontal. Pada perpotongan kedua garis kerja ini terdapat titik karakteristik untuk penampang tersebut, yang disebut središte smicanja M. Pada balok tidak muncul tegangan akibat torsi ketika pusat geser semua penampang melintang terletak pada satu garis lurus, dan semua beban yang tegak lurus terhadap sumbu batang melalui garis itu. Jika tidak, momen setiap beban terhadap garis yang menghubungkan pusat geser merupakan geser torsi.
Gbr. 15
Pengaruh gaya transversal terhadap lenturan
Teori teknis pembengkokan didasarkan pada pengabaian deformasi akibat tegangan geser. Karena itu teori ini sebenarnya dapat diterapkan pada batang ramping, pada mana pengabaian ini dapat dibenarkan dan gaya transversal tidak mempunyai pengaruh yang berarti pada pembengkokan.
Namun pengalaman menunjukkan bahwa teori lentur teknis dapat, dengan keberhasilan tertentu, juga diterapkan pada balok pendek dan tinggi, yang sebenarnya sama sekali bukan tujuannya. Maka timbul kebutuhan agar pengaruh deformasi akibat tegangan geser, yang dalam teori ini diabaikan, diperhitungkan setelahnya, setidaknya secara perkiraan.
Demikian pula, tegangan geser τ akibat gaya transversal dan perpindahan yang sesuai γ_’ =_ τ_/G_ terdistribusi tidak merata pada penampang. Karena itu diperkenalkan nilai rata-ratanya γ, yang ditentukan sedemikian rupa sehingga gaya transversal pada nilai rata-rata deformasi ini melakukan kerja deformasi pada elemen balok dx yang sama dengan kerja yang diperoleh dengan mengintegrasikan kerja tegangan geser pada elemen-elemen volume individual yang membentuk elemen balok yang ditinjau:
dari mana
Integral dapat dihitung bila distribusi tegangan geser pada penampang diketahui. Karena semua tegangan geser sebanding dengan Q/F, maka nilainya sebanding dengan Q2/F2 * F, sehingga dengan menetapkan bahwa nilainya κ__Q2/F, diperoleh
γ = κ__Q / GF.
Konstanta κ disebut koefisien distribusi tegangan geser. Untuk penampang persegi panjang, κ=1,2.
Gbr. 16
Jika koef. κ, dan dengan demikian selip rata-rata γ, telah diketahui, maka lendutan tambahan wQ, yang timbul akibat gaya transversal, dapat dihitung dan harus ditambahkan pada lendutan w: karena menurut gambar 16 adalah
sehingga karena Q = dM/dx:
di mana konstanta integrasi diperoleh dari salah satu syarat batas.