Tensións normais en barras rectas e barras con pequena curvatura
Definición das forzas cortantes
Sexa unha barra recta sometida a forzas de dirección arbitraria, das cales só se supón que todas xacen nun mesmo plano (plano de forzas) que pasa polo eixe da barra (liña que une os centros de gravidade das seccións transversais).
Fig. 1
Para calcular as tensións que actúan nunha sección transversal n – n (fig. 1), é necesario coñecer a forza que a través desta sección se transmite dunha parte da barra á outra. Esta, evidentemente, é igual en magnitude e posición á resultante de todas as forzas que actúan sobre unha parte da barra. Esta resultante descomponse en compoñentes nun sistema de coordenadas cuxo eixe x coincide co eixe da barra, e o eixe z coa liña ao longo da cal o plano da sección transversal corta o plano das forzas. A compoñente na dirección do eixe z denomínase forza transversal Q ou Qz e, no caso dunha viga simple, considérase positiva se á esquerda da sección ten sentido cara arriba e á dereita cara abaixo.
Cando a barra é curva, os eixes de coordenadas x e z teñen en cada sección unha dirección distinta e sempre tal que o eixe x é tanxente ao eixe da barra. Se o plano no que xace o eixe da barra non coincide co plano de forzas, ou se o eixe da barra é unha curva espacial, a resultante das forzas á esquerda da sección ten tamén unha terceira compoñente, a forza transversal Qy. Con N, Qz e Qy determínanse a magnitude e a dirección da forza que se transmite a través da sección, pero non a súa posición. Para iso é necesario coñecer tamén os seus momentos respecto aos eixes de coordenadas. No caso da flexión plana abonda con coñecer o momento flector M ou My. No caso máis xeral aparece outro momento flector Mz e o momento arredor do eixe x, Mx.
As seis forzas e momentos definidos na exposición anterior agrúpanse baixo o nome común de «forzas seccionais». A súa determinación é unha das tarefas fundamentais da estática das estruturas de construción.
Entre a carga distribuída continuamente p (dimensión: forza por unidade de lonxitude), a forza transversal Q e o momento flector M existe no caso da flexión plana unha relación sinxela. É dicir, a partir das condicións de equilibrio dun elemento de barra (fig. 2) obtense
dQ + p dx = 0,
dM = Q dx;
polo tanto
Q = dM/dx,
p = - dQ/dx = - d2M/dx2. (1a, b)
Fig. 2
Distribución das tensións normais
Se a barra está cargada só cunha forza axial, na sección aparece unicamente unha tensión normal σ uniformemente distribuída (barra traccionada, ou ben comprimida). Se ademais aparece un momento flector, estas tensións deben distribuírse dun modo non uniforme, de xeito que a súa resultante xa non pase polo centro de gravidade da sección. Para determinar esta distribución, a teoría técnica da flexión non parte da solución rigorosa das ecuacións fundamentais, senón que substitúe unha parte destas ecuacións por unha hipótese plausible que, nun caso particularmente sinxelo, tamén se cumpre rigorosamente. Este caso especial é a flexión dunha barra prismática recta sen actuación de forzas transversais (fig. 3). Todos os elementos da barra que están suficientemente afastados dos seus extremos sofren a mesma deformación, do que se deduce directamente que o eixe da barra se converte nun arco circular e que todos os planos das seccións transversais que inicialmente eran perpendiculares ao eixe da barra permanecen planos durante a deformación, porque cada un deles é un plano de simetría para as partes veciñas da barra deformada. Resulta natural supor que as seccións transversais permanecen aproximadamente planas tamén cando o momento flector e a sección transversal da barra non son constantes, senón que cambian gradualmente ao longo da barra. Esta hipótese, chamada hipótese de Navier, constitúe a base da teoría da flexión.
Fig. 3
Magnitude das tensións normais
Cando se flexa un elemento recto dunha viga, unha parte dos seus “fíos”, é dicir, das liñas materiais paralelas ao eixe da barra, estírase, mentres que a outra parte acúrtase (fig. 4). Entre estas dúas partes sitúanse os fíos neutros z=0, cuxa lonxitude non cambia ao dobrarse. Supoñamos que o radio de curvatura destes fíos no estado dobrado é ϱ e que se atopa no plano x-z. Da fig. 4 m pódese ler
Δ dx/z = _dx/_ϱ
e a partir diso calcular a dilatación das fibras a unha distancia z do eixo neutro, que resulta
ε = Δ dx/dx = _z/_ϱ
polo que, con base na lei de Hooke, a tensión
σ _= Ez/_ϱ (2)
Fig. 4
Esta tensión é proporcional á distancia respecto das fibras neutras. Tal resultado está vinculado coa premisa de que, antes da deformación, todas as fibras do elemento da barra tiñan a mesma lonxitude, de modo que a barra era inicialmente recta, ou polo menos cunha curvatura tan pequena que o seu efecto pode desprezarse. A liña ao longo da cal se cortan a capa neutra e o plano da sección chámase eixe neutro. Adoptámolo como eixo y\ (fig. 5). A posición do eixe neutro na sección transversal obténse a partir da condición de equilibrio das forzas na dirección do eixo x: se a forza normal N=0 (flexión sen forza normal), entón tamén a resultante das forzas internas expresada mediante as tensións normais na sección debe ser igual a cero:
A integral do lado dereito é o momento estático da superficie con respecto ao eixe y. Para que sexa igual a cero, este eixe debe ser un dos eixes centroidais.
O momento M que provoca a deformación ten, con respecto aos eixes y e z no plano da sección (fig. 5), compoñentes:
Ecuación. (3)
sendo Iy, Iyz o momento de inercia ecuatorial e centrífugo da sección con respecto aos eixos indicados.
O caso especial máis importante é cando Mz=0. Este caso prodúcese cando Iyz=0, é dicir, cando y e z son os eixes principais de inercia da sección. Isto significa que o plano de flexión adoptado aquí coincide co plano x-z, co plano no que actúa o momento de flexión M=My, é dicir, co plano das forzas.
Fig. 5
Se das ecuacións (2) e (3) se elimina _E/_ϱ, obtense o esquema para determinar a tensión na flexión simple (Iy=I):
σ = M/I * z (4)
para os puntos de bordo 1 e 2 en especial é:
σ1 = M/I * h1 = M/W1, σ2 = - M/I * h2 = - M/W2. (5)
As magnitudes W1,2 = I/h1,2 (dimensión: lonxitude ao cubo) chámanse momentos resistentes. Se o eixe horizontal do centro de gravidade é ao mesmo tempo o eixe de simetría da sección, entón W1 = W2, polo que as tensións nos bordos son iguais en valor absoluto.
Liña elástica
Fig. 6
A importancia dos patróns citados arriba está ligada á lei de Hooke. Isto require que σ << E, polo tanto segundo (2) h << ϱ. Non obstante, a flexión pode ser tal que ϱ sexa da mesma orde de magnitude que a lonxitude da barra l. Nas barras curvas que interesan na construción este caso non se dá; ϱ é sempre considerabelmente maior ca l e, polo tanto, a frecha w << l (fig. 6). Entón, aproximadamente, vale:
1/ ϱ = - d2w/dx2 = -w’’
e con base en (3):
w’’ = - M/EI.
Esta ecuación e a condición de equilibrio (1b) forman un sistema de ecuacións diferenciais da barra curvada. Mediante eliminación poden reducirse a unha soa ecuación de cuarto grao:
wIV = + p/EI
ou, no caso de que o momento de inercia sexa variable:
(EIw’’)’’ = +p.
A partir delas pódese determinar por integración a forma da liña elástica cando se dá a carga p=p(x) e cando, para cada caso de barra, se coñecen dúas condicións de contorno. Delas, polo menos dúas deben referirse á deformación. Para máis detalles, véxase o artigo Estática das estruturas de construción.
Núcleo da sección
Se o eixe neutro corta a sección transversal, divídea nunha zona de tracción e nunha zona de compresión. Nos materiais con baixa resistencia á tracción xorde a cuestión de onde debe actuar a forza de compresión, se na sección transversal non debe aparecer tracción en ningún lugar. A posición do punto de aplicación da forza queda entón limitada á área que se chama núcleo da sección. O límite do núcleo é, evidentemente, o lugar xeométrico dos puntos cuxos eixes neutros son tanxentes á periferia da sección transversal. Con iso queda tamén dada a súa construción.
A distancia do límite do núcleo ao centro de gravidade, medida en calquera dirección, indicarémola co índice k correspondente a esa dirección. Para os eixes principais de inercia segundo a ecuación
σ = N/F + Mz/Iz y + My/Iy z (6)
os termos son os seguintes:
ky = i2z / ey, kz = i2y / ez. (7)
Para unha sección transversal circular de radio r, a distancia do núcleo é k = r/4, e para un anel circular (raios: exterior R, interior r) k = (R2 + r2) / 4R.
Para o rectángulo (fig. 7) ky = 1/6 b, kz = 1/6 h. Polo tanto, cando se carga unha sección rectangular nun dos planos de simetría (pero só entón), abonda con que a resultante actúe no terzo medio da altura ou da largura da sección transversal para que as tensións na sección teñan o mesmo signo.
Fig. 7
Flexión na zona plástica
Cando nas fibras extremas dunha barra dobrada se acadou o límite de fluencia, a súa capacidade portante aínda non está esgotada, porque mentres as fibras exteriores se deforman plasticamente cunha tensión constante, nas partes máis próximas ao eixe neutro, onde o límite de fluencia aínda non se acadou, a tensión aumenta, e con iso tamén aumenta o momento flector que a sección pode soportar.
Se se coñece o curso exacto do diagrama de tensións e deformacións, o proceso para seccións dobremente simétricas (de altura h) pode seguirse doadamente por cálculo, de tal maneira que, partindo da suposición de que as seccións permanecen planas, a partir do diagrama de tensións e deformacións se determina a distribución das tensións σ debidas á flexión correspondente a unha certa dilatación adoptada das fibras extremas ε__r e, a partir de aí, por integración, determínase o momento flector. Se isto se aplica para distintos ε__r e, pola outra banda, se calcula a curvatura correspondente da liña de frecha w’’ = 2 ε__r / h, obtense unha serie de puntos polos que se pode trazar unha liña que dá a relación entre o momento flector e a curvatura M = M(w’’); esta relación xa non é lineal e, cando se coñece, é posible determinar por integración gráfica a liña de frecha correspondente a unha determinada distribución de momentos. Se a sección é asimétrica, o cálculo complícase máis, na medida en que para cada ε__r hai que determinar ademais a posición do eixo neutro.
Fig. 8
O cálculo simplifícase en certa medida se, ademais da simetría da sección, se supón tamén unha relación simplificada entre as tensións e as dilatacións segundo a fig. 8. Entón, as tensións debidas á flexión ao superarse o límite de fluencia teñen a distribución mostrada na fig. 9 e o momento flector é:
de modo que a curvatura da liña de flecha se obtén cando a ecuación (2) se aplica á parte da sección cuxas tensións están na zona elástica w’’ = σf / Ez’. Se se coñece a forma da sección para cada z’ asumido, os integrais poden calcularse. Por exemplo, para o caso máis sinxelo dunha sección transversal rectangular de ancho b e altura h é
Se aquí z’ se expresa mediante w’’, obtense
Nos perfís en I e similares, a evolución da curva M-w’’ na zona plástica é aínda máis plana e o momento no que se produce o fluír é entón practicamente igual ao maior momento flector que o perfil pode soportar en absoluto. Por iso, a importancia da flexión plástica na construción non consiste no aumento do momento flector que a sección pode soportar, senón en que a gran deformación local que se produce no límite de fluencia pode levar a un cambio favorable da distribución de esforzos nos sistemas estáticamente indeterminados.
Fig. 9
Isto pode explicarse co exemplo dunha viga continua sobre dous vanos. Supoñamos que a viga (fig. 10) ten vanos de igual lonxitude, sección constante e que está cargada cunha carga uniformemente distribuída. Entón, antes de alcanzar o límite de fluencia, o momento sobre o apoio é MB = _pl_2/8. Se a carga p aumenta tanto que o momento na sección de apoio acade o valor Mf no que se produce a fluencia, ao seguir aumentando a carga nese punto aumentará tamén a curvatura sen un incremento apreciable do momento. Fórmase o chamado engarce plástico, é dicir, a viga compórtase baixo a carga adicional como se sobre o apoio intermedio existise unha articulación. A carga pode seguir aumentando ata que tamén no punto do momento máximo no vano comece a fluencia. Xa non é posible aumentar máis o momento flector e a capacidade portante da viga esgótase. A carga baixo a que se produce este estado chámase carga límite.
Fig. 10
En xeral, pódese esperar que nun sistema estaticamente indeterminado n veces teña que aparecer (n+1) articulacións plásticas antes de que o sistema se volva desprazable e así acade o seu límite de capacidade portante. Esta regra, con todo, ten excepcións en ambos sentidos. Como mostra o exemplo citado, no límite de capacidade portante poden aparecer ao mesmo tempo dúas novas articulacións plásticas (nos dous vanos), de xeito que o sistema ata entón aínda inmóbil pasa de súpeto a un sistema con dous graos de liberdade. Por outra banda, é posible que, con menos de (n+1) articulacións plásticas, a capacidade portante se esgote localmente, por exemplo cando nunha viga continua falla só un vano. A fig. 11 mostra como isto pode ocorrer nun sistema estaticamente dúas veces indeterminado con n=2 articulacións plásticas. Se no lado dereito da viga se engade tamén un cuarto vano, a viga convértese en estáticamente indeterminada por triplicado, polo que abonda con (n-1) articulacións plásticas para levar só o vano esquerdo ao límite de capacidade portante.
Fig. 11
Tensións cortantes na flexión
Cálculo elemental
Fig. 12
As tensións normais σ, é dicir, as tensións que realmente aparecen debido á flexión non son as únicas tensións na barra curvada, senón que xunto a elas aparecen tamén tensións cortantes debidas á acción da forza transversal. Tendo en conta que a característica fundamental da teoría técnica da flexión é que se desprezan as deformacións debidas ás tensións cortantes, estas só poden determinarse a partir da condición de equilibrio. Para establecer isto, o elemento da viga dx córtase, como se indica na fig. 12, por un plano horizontal en dúas partes, e establécese a condición de equilibrio das forzas horizontais que actúan sobre a parte inferior. No lado esquerdo son as forzas internas expresadas polas tensións σ debidas á flexión, que hai que integrar de z’ = z a z’ = h2
No lado dereito actúan as mesmas tensións, pero incrementadas polo diferencial de acordo co momento flector correspondente M + dM. A diferenza entre as forzas en ambos lados do elemento debe estar en equilibrio coa forza debida ás tensións de cortadura τ que actúan na superficie horizontal de sección t dx:
Aquí a integral representa o momento estático da parte da sección transversal illada por un plano transversal horizontal con respecto ao eixo de gravidade da sección. Denótase con S. A partir de dM/dx = Q e das condicións de equilibrio obtense:
τ = QS/It. (8)
Segundo o principio de conxugación das tensións cortantes, é ao mesmo tempo o valor da tensión cortante vertical que actúa na superficie da sección transversal e que, xunto con S e t, é función de z.
Fig. 13
Fig. 13.1
A ecuación (8) ofrece datos fiables en todas as seccións de paredes delgadas se o plano de sección non se dispón paralelo ao eixe neutro, senón na dirección do espesor da parede. Polo tanto, o perfil en I córtase transversalmente a través da alma e transversalmente a través da ala, obténdose a distribución de tensións mostrada na fig. 13.1. No caso da sección anular (fig. 13) as tensións cortantes distribúense simetricamente con respecto ao diámetro vertical e, á esquerda e á dereita da liña neutra, acadan o máximo
τ = Q / πrt.
Se a sección se corta no punto máis alto ou máis baixo, a distribución das tensións cortantes non cambia; con todo, se se corta no extremo dereito do diámetro horizontal (fig. 14), a tensión cortante nese punto é igual a cero, mentres que o seu valor se duplica no extremo esquerdo do mesmo diámetro.
Fig. 14
Seccións cheas
Nos perfís macizos de forma arbitraria, o problema das tensións cortantes está estreitamente ligado á cuestión da torsión. A ecuación elemental (8) nese caso xa non é fiable. Para a sección circular de raio r, a ecuación (8) dá
τ = 4Q / 3__πr2
como valor medio da tensión cortante ao longo do eixe neutro, e o valor exacto é só uns poucos por cento maior.
Centro de corte
Se para a sección en U se calculan as tensións cortantes do xeito descrito arriba, obtense a distribución de tensións mostrada na fig. 15. A resultante das forzas internas correspondentes é a forza transversal Q. Da figura pódese ver a súa posición respecto da sección, é dicir, que non pasa polo centro de gravidade da sección nin se atopa no plano da alma. Se a forza transversal calculada a partir das forzas externas non ten a posición mostrada na fig. 15, a viga non está solicitada só á flexión, senón tamén á torsión.
Se para a mesma sección transversal se determina a resultante que corresponde ás tensións cortantes para unha determinada carga horizontal, obtense a liña de acción da forza transversal horizontal. No punto de intersección destas dúas liñas de acción atópase o punto característico para a devandita sección transversal, que se denomina centro de cortante M. No elemento resistente non aparecen tensións debidas á torsión cando os centros de cortante de todas as seccións transversais se atopan nunha mesma recta e todas as cargas perpendiculares ao eixe da barra pasan por esa recta. En caso contrario, o momento de cada carga con respecto á recta que une os centros de cortante representa o cortante torsional.
Fig. 15
Influencia da forza transversal sobre a flexión
A teoría técnica da flexión baséase en descoidar as deformacións debidas ás tensións cortantes. Polo tanto, realmente pode aplicarse a barras esveltas, nas que esta simplificación está xustificada e onde a forza transversal non ten unha influencia apreciable sobre a flexión.
A experiencia mostrou, non obstante, que a teoría técnica da flexión pode aplicarse con certo éxito tamén a soportes curtos e altos, para os que en realidade non está destinada. Entón xorde a necesidade de ter en conta posteriormente, polo menos de forma aproximada, a influencia da deformación debida ás tensións cortantes, que nesta teoría se despreza.
Do mesmo xeito que as tensións cortantes τ debidas ás forzas transversais e os correspondentes deslizamentos γ_’ =_ τ_/G_ están distribuídos de forma desigual na sección. Por iso introdúcese o seu valor medio γ, que se determina de modo que a forza transversal, con este valor medio da deformación, realiza no elemento da viga dx un traballo de deformación igual ao que se obtería integrando os traballos das tensións cortantes nos elementos de volume individuais que constitúen o elemento de viga considerado:
de onde é
O integral pode calcularse cando se coñece a distribución das tensións de corte na sección. Como todas as tensións de corte son proporcionais a Q/F, o seu valor é proporcional a Q2/F2 * F, polo que, considerando que é κ__Q2/F, obtense
γ = κ__Q / GF.
A constante κ chámase coeficiente de distribución das tensións cortantes. Para as seccións rectangulares, κ=1,2.
Fig. 16
Cando se coñece o coef. κ, e con iso o deslizamento medio γ, pódese calcular a frecha adicional wQ, producida pola acción das forzas transversais, que debe engadirse ás frechas w: pois segundo a fig. 16 é
e por iso, debido a Q = dM/dx:
polo que a constante de integración se obtén dunha condición de contorno.