Tensioni nurmali in aste dritte è in aste cù una piccula curvatura
Definizione di e forze di sezzione
Sia una barra diritta caricata da forze di direzzione arbitraria, di e quali si suppone solu ch’elle si trovinu tutte in un listessu pianu (pianu di e forze) chì passa per l’asse di a barra (a linea chì cunghjunge i centri di gravità di e sezioni trasversali).
Fig. 1
Per calculà e tensione chì agiscenu in una certa sezzione trasversale n – n (fig. 1), ci vole à cunnosce a forza chì, à traversu sta sezzione, hè trasmessa da una parte di a barra à l’altra. Ella hè evidentemente uguale, per grandezza è pusizione, à a risultante di tutte e forze chì agiscenu nant’à una parte di a barra. Sta risultante si scompone in cumpunenti in un sistema di coordenate chì hà l’asse x chì currisponde à l’asse di a barra, è l’asse z a linea longu a quale u pianu di a sezzione trasversale taglia u pianu di e forze. A cumpunente in a direzzione di l’asse z si chjama forza trasversale Q o Qz è, in u casu d’una trave simplice, hè cunsiderata pusitiva s’è à manca di a sezzione hà direzzione in altu, è à diritta in bassu.
Quand’ellu hè curvatu a barra, l’assi di coordenate x è z anu in ogni sezzione una direzzione differente, è sempre in modu chì l’asse x sia tangente à l’asse di a barra. S’è u pianu in u quale si trova l’asse di a barra ùn currisponde micca cù u pianu di e forze, o s’è l’asse di a barra hè una curva spaziale, a risultante di e forze à manca di a sezzione hà ancu una terza cumpunente, a forza trasversale Qy. Cù N, Qz è Qy sò determinate a grandezza è a direzzione di a forza trasmessa à traversu a sezzione, ma micca a so pusizione. Per quessa hè necessariu chì sianu cunnisciuti dinù i so momenti in rapportu à l’assi di coordenate. In u casu di flessione piana basta ch’ellu sia cunnisciutu u momentu di flessione M o My. In u casu più generale apparisce un altru momentu di flessione Mz è un momentu annantu à l’asse x, Mx.
E sei forze è i mumenti definiti in l’esposizione precedente sò raggruppati sottu à u nome cumunu di «forze di sezzione». A so determinazione hè unu di i compiti di basa di a statica di e strutture di custruzzione.
Trà a carica distribuita in modu cuntinuu p (dimensione: forza per unità di lunghezza), a forza trasversale Q è u mumentu flettente M esiste in casu di flessione piana una relazione simplice. Vale à dì, da e cundizioni d’equilibriu d’un elementu di barra (fig. 2) si ottene
dQ + p dx = 0,
dM = Q dx;
dunque
Q = dM/dx,
p = - dQ/dx = - d2M/dx2. (1a, b)
Fig. 2
Ripartizione di e tensione nurmali
S’è a barra hè caricata solu da una forza assiale, in a sezzione apparisce solu a tensione nurmale distribuita uniformemente σ (barra tesa, rispettivamente compressa). S’è, in più, apparisce un mumentu di flessione, ste tensioni devenu in qualchì manera esse distribuite in modu disuniforme, accussì chì a so risultante ùn passi più per u centru di gravità di a sezzione. Per determinà st’andatura, a teoria tecnica di a flessione ùn parte micca da una suluzione stretta di l’equazioni fundamentali, ma rimpiazza una parte di ste equazioni cù un’ipotesi plausibile chì, in un casu particularmente simplice, hè à tempu ancu strettamente rispettata. Stu casu particulare hè a flessione di una barra prismatica diritta senza azzione di forze trasversali (fig. 3). Tutti l’elementi di a barra chì sò abbastanza luntani da i so estremi subiscenu a stessa deformazione, da induve ne vene direttamente chì l’asse di a barra si trasforma in un arcu di cerchju è chì tutti i piani di e sezioni trasversali, chì à l’origine eranu perpendiculari à l’asse di a barra, fermanu piani durante a deformazione, perchè ognunu d’elli hè un pianu di simmetria per e parte vicine di a barra deformata. Si impone naturalmente l’ipotesi chì e sezioni trasversali ferminu à pocu pressu piane ancu quandu u mumentu di flessione è a sezzione trasversale di a barra ùn sò micca custanti, ma cambianu à pocu à pocu longu à a barra. Sta supposizione, chjamata l’ipotesi di Navier, hè à a basa di a teoria di a flessione.
Fig. 3
Dimensione di e tensioni nurmali
Quandu un elementu dirittu di trave si piega, una parte di i so «fibri», vale à dì di e linee materiale parallele à l’assi di a barra, si stende, mentre ch’è l’altra parte si accorcia (fig. 4). Trà ste duie parte si trovanu e fibri neutrali z=0, a so lunghezza ùn cambia micca durante a flessione. Sia u raghju di curvatura di ste fibri in statu piegatu ϱ è sia ch’ellu si trovi in u pianu x-z. Da a fig. 4 m si pò leghje
Δ dx/z = _dx/_ϱ
è da quì a dilatazione calculata di e fibre à a distanza z da l’assu neutru, chì hè uguale à
ε = Δ dx/dx = _z/_ϱ
per quessa, nantu à a basa di a lege di Hooke-u sforzu
σ _= Ez/_ϱ (2)
Fig. 4
Sta tensione hè prupurziunale à a distanza da e fibre neutre. Un tale risultatu hè ligatu à l’ipotesi chì, prima di a deformazione, tutte e fibre di l’elementu di a barra eranu di listessa lunghezza, in modu chì a barra era inizialmente dritta, o almenu cù una curvatura cusì chjuca chì l’influenza di a curvatura pò esse trascurata. A linea longu à quale u stratu neutru è u pianu di a sezzione si taglianu si chjama assu neutru. L’adupremu cum’è y-assu (sl. 5). A pusizione di l’assu neutru in a sezzione trasversale si ottene da a cundizione d’equilibriu di e forze in a direzzione di l’x-assu: s’ellu a forza nurmale N=0 (flessione senza forza nurmale), tandu ancu a risultante di e forze interne espressa per mezu di e tensioni nurmali in a sezzione deve esse uguale à zero:
L’integrale à diritta hè u mumentu staticu di a superficia in raportu à l’asse y. Per ch’ellu sia uguale à zero, issu asse deve esse unu di l’assi di u centru di gravità.
U mumentu M chì provoca a deformazione hà, in raportu à l’assi y è z in u pianu di a sezzione (fig. 5), e cumpunente:
Eq. (3)
induve Iy, Iyz sò u mumentu d’inerzia equatoriale è quellu centrifugale di a sezzione in relazione à l’assi marcati.
U casu speziale u più impurtante hè quandu Mz=0. Stu casu si presenta quandu Iyz=0, vale à dì quandu y è z sò l’assi principali d’inerzia di a sezzione. Ciò significa chì u pianu di flessione chì quì hè aduttatu coincide cù u pianu x-z, vale à dì cù u pianu in u quale agisce u mumentu flettente M=My, vale à dì cù u pianu di e forze.
Fig. 5
S’è da l’equazioni (2) è (3) si elimina _E/_ϱ, si ottene u mudellu per determinà a tensione à a flessione diritta (Iy=I):
σ = M/I * z (4)
per i punti di cunfina 1 è 2 in particulare hè:
σ1 = M/I * h1 = M/W1, σ2 = - M/I * h2 = - M/W2. (5)
E grandezze W1,2 = I/h1,2 (dimensione: lunghezza à a terza) sò chjamate mumenti resistenti. S’ellu l’asse di gravità orizontale hè à tempu ancu l’asse di simetria di a sezzione, tandu W1 = W2, è dunque e tensioni di bordu sò uguali in valore assulutu.
Linea elastica
Fig. 6
L’impurtanza di i mudelli sopra mintuvati hè ligata à a lege di Hooke. Quessa richiede chì σ << E, dunque secondu (2) h << ϱ. Tuttavia, a flessione pò esse tale chì ϱ sia di u listessu ordine di grandezza chè a lunghezza di a verga l. In e verghe incurvate chì entranu in cunsiderazione in a custruzzione, stu casu ùn si produce micca; ϱ hè sempre assai più grande chè l è, di cunsiguenza, a freccia w << l (fig. 6). Allora vale approssimativamente:
1/ ϱ = - d2w/dx2 = -w’’
è nantu à a basa di (3):
w’’ = - M/EI.
Questa equazione è a cundizione d’equilibriu (1b) formanu un sistema d’equazioni differenziali di a barra incurvata. Per eliminazione, ponu esse ridutte à una sola equazione di quartu ordine:
wIV = + p/EI
o, in casu chì u mumentu d’inerzia sia variabile:
(EIw’’)’’ = +p.
Da elli, per integrazione, si pò truvà a forma di a linea elastica quand’ellu hè datu u caricu p=p(x) è quand’eppuru per ogni casu di verga sò cunnisciute duie cundizioni limite. Di queste, almenu duie devenu riferissi à a deformazione. Per i ditaglii v. l’articulu Statica di e strutture edili.
Nucleu di a sezzione
S’è l’asse neutru taglia a sezzione trasversale, a divide in una zona di trazzione è una zona di cumpressione. In u casu di materiali cù una piccula resistenza à a trazzione, si pone a quistione induve deve agisce a forza di cumpressione, s’ellu in a sezzione trasversale ùn deve nasce in nisun locu trazzione. A pusizione di u puntu d’applicazione di a forza hè tandu limitata à a zona chjamata core di a sezzione. U cunfini di u core hè chjaramente u locu geometricu di i punti, i cui assi neutri tangenu a sezzione trasversale nant’à u perimetru. Cusì ne hè data dinù a so custruzzione.
A distanza di u cunfini di u nucleu da u centru di gravità, misurata in ogni direzzione, a indicheremu cù l’indice k chì currisponde à quella direzzione. Per l’assi principali d’inerzia secondu l’equazione
σ = N/F + Mz/Iz y + My/Iy z (6)
i termini sò i seguenti:
ky = i2z / ey, kz = i2y / ez. (7)
Per una sezione trasversale circulare di raghju r, a distanza di u nucleu hè k = r/4, è per un anellu circulare (raghji: esternu R, internu r) k = (R2 + r2) / 4R.
Per un rettangulu (fig. 7) vale ky = 1/6 b, kz = 1/6 h. Dunque, quandu si carica una sezzione rettangulare in unu di i piani di simetria (ma solu tandu), basta chì a risultante agisca in u terzu mediu di l’altezza o di a larghezza di a sezzione trasversale, per chì e tensioni in a sezzione abbianu u listessu segnu.
Fig. 7
Piegatura in a zona plastica
Quandu in e fibre di bordu di una verga flette a limitazione di scorrimentu hè stata righjunta, a so capacità portante ùn hè ancu esaurita, perchè mentre e fibre esterne si deformanu plasticamente à tensione custante, in e parte più vicine à l’asse neutru, induve a limitazione di scorrimentu ùn hè ancu stata righjunta, a tensione cresce, è cun ella cresce dinù u mumentu di flessione chì a sezzione pò accoglie.
S’è u cursu esattu di i diagrammi di tensione è di deformazione hè cunnisciutu, u prucessu, per e sezzioni doppiamente simmetriche (altezza h), pò esse seguitatu facilmente per via di u calculu, in modu chì, sottu à l’ipotesi chì e sezzioni ferminu piane, da u diagramma di tensione è di deformazione si determina a ripartizione di e tensioni σ per via di a flessione, chì currisponde à una certa dilatazione adottata di e fibre estreme ε__r, è da quì si determina per integrazione u mumentu flettente. S’ellu si face què per valori sfarenti di ε__r è, d’altronde, si calculeghja a curvatura currispundente di a linia di freccia w’’ = 2 ε__r / h, si ottene una seria di punti per i quali si pò traccia una linia chì dà a leia trà u mumentu flettente è a curvatura M = M(w’’); sta leia ùn hè più lineare, è quandu hè cunnisciuta hè pussibule, per integrazione grafica, di determinà a linia di freccia chì currisponde à a ripartizione data di i mumenti. S’è a sezzione hè asimmetrica, u calculu diventa più cumplessu, in quantu per ogni ε__r ci vole ancu à determinà a pusizione di l’asse neutru.
Fig. 8
U calculu si simplifica in una certa misura s’ellu, oltre à a simmetria di a sezzione, si assume dinù una relazione simplificata trà e tensioni è e dilatazioni secondu a fig. 8. Tand’elli, e tensioni da flessione dopu avè superatu u limitu di snervamentu anu a ripartizione prisentata in a fig. 9 è u mumentu di flessione hè:
è cusì a curvatura di a linea di flessione si ottene quandu l’equazione (2) hè applicata à a parte di a sezzione chì e so tensioni sò in a zona elastica w’’ = σf / Ez’. S’ellu hè cunnisciuta a forma di a sezzione per ogni z’ aduttatu, l’integrali si ponu calculà. Per esempiu, per u casu più simplice d’una sezzione trasversale rettangulare di larghezza b è d’altezza h hè
Se quì z’ si esprime per mezu di w’’, si ottene
In u casu di e sezzioni I è simule, l’andatura di a curva M-w’’ in a zona plastica hè ancu più piatta, è u mumentu à quale si produce a scurrenza hè tandu praticamente uguale à u mumentu di flessione massimu chì a sezzione pò sustene in generale. Per quessa, l’impurtanza di a flessione plastica in a custruzzione ùn cunsiste micca in l’aumentu di u mumentu di flessione chì a sezzione pò purtà, ma in u fattu chì a grande deformazione lucale chì si produce à a limitazione di scurrenza pò purtà à un cambiamentu favurevule di a ripartizione di e forze in i sistemi statiticamente indeterminati.
Fig. 9
Quessu si pò spiegà à l’esempiu d’un sustegnu cuntinuu sopra à dui campi. Ch’ellu sia u sustegnu (fig. 10) cù campi di listessa lunghezza, una sezzione custante, è ch’ellu sia caricatu da una carica uniformemente distribuita. Allora, prima di raghjunghje u limitu di snervamentu, u mumentu annantu à u sustegnu MB = _pl_2/8. S’è a carica p hè aumentata à tal puntu chì u mumentu in a sezzione d’appoghju ghjunghje à u valore Mf induve principia u snervamentu, cù un aumentu ulteriore di a carica in quellu locu cresce ancu a curvatura senza un aumentu sensibile di u mumentu. Si crea u chjamatu giuntu plasticu, vale à dì chì u sustegnu si cumporta sott’à carica supplementaria cum’è s’ellu ci fussi un giuntu sopra à l’appoghju medianu. A carica pò esse aumentata di più sin’à chì ancu in u locu di u mumentu massimu in u campu principii u snervamentu. Un aumentu ulteriore di u mumentu flettente ùn hè più pussibule è a capacità portante di u sustegnu hè esaurita. U pesu sottu u quale si face stu statu si chjama carica limite.
Fig. 10
In generale si pò aspettà chì in un sistema staticamente indeterminatu n volte deve apparisce (n+1) cerniere plastiche prima chì u sistema diventi mobile è raghjunghji cusì u so limitu di capacità portante. Sta regula, però, hà eccezzioni in i dui sensi. Cum’è mostra l’esempiu mintuvatu, à u limitu di capacità portante ponu apparisce à tempu duie nove cerniere plastiche (in i dui campi), cusì chì u sistema fin’à tandu sempre immobile passa d’un colpu à un sistema cù dui gradi di libertà. D’altronde hè pussibule chì ancu cù menu di (n+1) cerniere plastiche a capacità portante sia esaurita lucalmente, per esempiu quand’ellu cede solu un campu in una trave cuntinua. A fig. 11 mostra cumu què pò accade in un sistema staticamente doppiamente indeterminatu cù n=2 cerniera plastica. S’è nant’à u latu dirittu di a trave s’aghjusta ancu un quartu campu, a trave diventa triplicamente staticamente indeterminata, è basta (n-1) cerniere plastiche per purtà solu u campu di manca à u limitu di capacità portante.
Fig. 11
Tensioni di tagliu à a flessione
Calculu elementariu
Fig. 12
I tennsioni nurmali σ, vale à dì i tennsioni chì in realtà appariscenu per via di a flessione, ùn sò micca l’unichi tennsioni in a barra incurvata, ma accantu à elli appariscenu dinù tennsioni di tagliu per via di l’azzione di a forza trasversale. Siccome a caratteristica fundamentale di a teoria tecnica di a flessione hè chì e deformazioni per via di i tennsioni di tagliu sò trascurate, questi si ponu determinà solu da a cundizione d’equilibriu. Per stabilì la, l’elementu di trave dx hè tagliatu, cum’è indicatu in a fig. 12, da un pianu orizzontale in duie parte, è si pone a cundizione d’equilibriu di e forze orizzontali chì agiscenu nant’à a parte inferiore. À manca, si tratta di e forze interne espresse da i tennsioni σ per via di a flessione, da integrà da z’ = z à z’ = h2
À diritta agiscenu e stesse tensioni, ma aumentate di u differenziale in cunfurmità cù u mumentu di flessione currispundente M + dM. A sfarenza trà e forze nant’à i dui lati di l’elementu deve esse in equilibriu cù a forza duvuta à e tensioni di tagliu τ chì agiscenu nant’à a superficia di sezzione horizontale t dx:
Quì l’integrale rapresenta u mumentu staticu di a parte di a sezzione trasversale staccata da u pianu trasversale orizzontale in raportu à l’asse baricentru di a sezzione. Hè indicatu cù S. Da dM/dx = Q per via di e cundizioni d’equilibriu si ottene:
τ = QS/It. (8)
Sicondu u principiu di a cunghjucazione di e tensioni di tagliu, hè à tempu a grandezza di a tensione di tagliu verticale chì agisce nantu à a superficia di a sezzione trasversale è chì, inseme cù S è t, hè una funzione di z.
Fig. 13
Fig. 13.1
L’equazione (8) furnisce dati affidabili in tutti i sezzioni à parete fina, s’è u pianu di sezzione ùn hè micca messu parallelu à l’asse neutru, ma in direzzione di u spessore di u muru. Dunque u prufilu I hè tagliatu trasversalmente à traversu a riba è trasversalmente à traversu a flange, ciò chì dà a ripartizione di e tensioni prisentata in fig. 13.1. In a sezzione anulare (fig. 13) e tensioni di tagliu sò ripartite simetricamente in raportu cù u diametru verticale è à manca è à diritta nant’à a linea neutra ghjunghjenu à u massimu
τ = Q / πrt.
S’ellu hè tagliatu in u puntu più altu o più bassu, a ripartizione di e tensioni di tagliu ùn cambia; ma s’ellu hè tagliatu à l’estremità diritta di u diametru orizontale (fig. 14), a tensione di tagliu in quellu puntu hè uguale à zeru, mentri u so valore si raddoppia à l’estremità manca di u listessu diametru.
Fig. 14
Sezzioni piene
In i sezioni pieni di forma arbitraria, u prublema di e tensioni di tagliu hè strettamente ligatu à a questione di a torsione. L’equazione elementaria (8) in stu casu ùn hè più affidabile. Per una sezzione circulare di raghju r l’equazione (8) dà
τ = 4Q / 3__πr2
cum’è valore mediu di a tensione di tagliu longu à l’assi neutru, è u valore esattu hè solu di qualchì percentuale più grande.
Centru di tagliu
S’è per a sezzione U si calculanu e tensioni di tagliu in u modu discrittu sopra, si ottene a ripartizione di tensioni rapresentata in a fig. 15. A risultante di e forze interne currispundente hè a forza trasversale Q. Da a figura si pò vede a so pusizione in raportu à a sezzione, dunque ch’ella ùn passa nè per u centru di gravità di a sezzione, nè si trova in u pianu di l’anima. S’è a forza trasversale calculata annantu à e forze esterne ùn hà micca a pusizione rapresentata in a fig. 15, a trave ùn hè caricata solu à flessione, ma dinù à torsione.
S’ellu si determina pè a stessa sezzione trasversale a risultante chì currisponde à i tensiòni di tagliu per qualchì carica urizzuntale, si ottene a linea d’azzione di a forza trasversale urizzuntale. À l’intersezzione di ste duie linee d’azzione si trova u puntu caratteristicu per a detta sezzione trasversale, chì si chjama sede di tagliu M. In u purtatore ùn appariscenu tensiòni per via di a torsione quandu e sedi di tagliu di tutte e sezzioni trasversali ghjè nantu à una stessa diritta, è tutte e cariche perpendiculare à l’asse di a barra passanu per quella diritta. Altrimente, u mumentu di ogni carica rispettu à a diritta chì unisce e sedi di tagliu raprisenta u tagliu torsiunale.
Fig. 15
Influenza di a forza trasversale nant’à a flessione
A teoria tecnica di a flessione si basa annantu à a trascurazione di e deformazioni causate da i sforzi di tagliu. Dunque pò esse veramente applicata à bastoni snelli, induve sta trascurazione hè ghjustificata è induve a forza trasversale ùn hà micca un’influenza sensibile nant’à a flessione.
L’esperienza hà però dimustratu chì a teoria tecnica di a flessione si pò, cun un certu successu, applicà ancu à sustegni corti è alti, per i quali ella in realtà ùn hè micca destinata. Allora si face sente a necessità di tene in contu, almenu apprussimativamente è dopu, l’influenza di a deformazione per via di i sforzi di tagliu, chì in sta teoria hè stata trascurata.
Di listessa manera chè i sforzi di tagliu τ per via di e forze trasversali è i currispondenti scorrimenti γ_’ =_ τ_/G_ sò ripartiti in modu irregulare nantu à a sezzione. Per quessa si introduce u so valore mediu γ, chì si determina in modu chì a forza trasversale, à stu valore mediu di deformazione, compie nant’à l’elementu di trave dx un travagliu di deformazione uguale à quellu chì si utteneria integrendu i travagli di i sforzi di tagliu nant’à i sfarenti elementi di volume chì cumpònenu l’elementu di trave cunsideratu:
da induve hè
L’integrale pò esse calculata quandu hè cunnisciuta a ripartizione di e tensioni di tagliu nant’à a sezzione. Siccomu tutte e tensioni di tagliu sò prupurziunali à Q/F, u so valore hè prupurziunale à Q2/F2 * F, è mettendu chì ellu sia κ__Q2/F, si ottene
γ = κ__Q / GF.
A custante κ hè chjamata coeff. di distribuzione di e tensioni di tagliu. Per e sezzioni rettangulare κ=1,2.
Fig. 16
Quandu u coeff. κ, è dunque u scivulamentu mediu γ, hè cunnisciutu, si pò calculà a freccia supplementaria wQ, nata da l’azzione di e forze trasversali, chì deve esse aghjunta à e frecce w: perchè secondu a fig. 16 hè
dunque per via di Q = dM/dx:
cù què a custante d’integrazione si ottene da una cundizione di cunfini.