خمش ساده و خمش با نیروی محوری

تنش‌های نرمال در میله‌های مستقیم و میله‌های با انحنای کم

تعریف نیروهای مقطعی

فرض کنید یک میلهٔ مستقیم با نیروهایی با جهت دلخواه بارگذاری شده باشد، که فقط چنین فرض می‌شود همه در یک صفحه (صفحهٔ نیروها) قرار دارند و این صفحه از محور میله می‌گذرد (خطی که مراکز ثقل مقاطع عرضی را به هم وصل می‌کند).

شکل 1

برای محاسبه تنش‌هایی که در یک مقطع عرضی n – n (شکل 1)作用 می‌کنند، لازم است نیرویی شناخته شود که از طریق این مقطع از یک بخش میله به بخش دیگر منتقل می‌شود. این نیرو از نظر اندازه و موقعیت، آشکارا برابر برآیند همه نیروهایی است که بر یک بخش میله اثر می‌کنند. این برآیند به مؤلفه‌هایی در دستگاه مختصاتی تجزیه می‌شود که محور x آن با محور میله منطبق است و محور z آن خطی است که در امتداد آن، صفحه مقطع عرضی، صفحه نیروها را قطع می‌کند. مؤلفه در جهت محور z را نیروی عرضی Q یا Qz می‌نامند و در تیر ساده، اگر در سمت چپ مقطع رو به بالا و در سمت راست رو به پایین باشد، مثبت در نظر گرفته می‌شود.

وقتی میله خمیده است، محورهای مختصات x و z در هر مقطع جهتی دیگر دارند و همواره به‌گونه‌ای‌اند که محور x مماس بر محور میله است. اگر صفحه‌ای که محور میله در آن قرار دارد با صفحهٔ نیروها منطبق نباشد، یا اگر محور میله یک منحنی فضایی باشد، برآیند نیروها در سمت چپ مقطع، مؤلفهٔ سومی نیز دارد، یعنی نیروی برشی عرضی Qy. با N, Qz و Qy اندازه و جهت نیرویی که از مقطع منتقل می‌شود تعیین می‌شود، اما نه محل آن. برای این منظور لازم است ممان‌های آن نسبت به محورهای مختصات نیز معلوم باشند. در حالت خمش ساده، کافی است ممان خمشی M یا My معلوم باشد. در حالت کلی‌تر، یک ممان خمشی دیگر Mz و ممان حول محور x، یعنی Mx، نیز ظاهر می‌شود.

شش نیرو و ممان تعریف‌شده در توضیحات پیشین، تحت عنوان مشترک «نیروهای مقطعی» قرار می‌گیرند. تعیین آن‌ها یکی از وظایف بنیادی استاتیک سازه‌های ساختمانی است.

میان بارگذاری پیوسته‌توزیع‌شده p (با بُعد: نیرو بر واحد طول)، نیروی برشی Q و ممان خمشی M در حالت خمش ساده رابطه‌ای ساده وجود دارد. یعنی از شرط تعادل یک المان میله (شکل 2) به دست می‌آید

dQ + p dx = 0,

dM = Q dx;

بنابراین

Q = dM/dx, 

p = - dQ/dx = - d2M/dx2.        (1a, b)

شکل. 2

توزیع تنش‌های نرمال

اگر میله فقط تحت نیروی محوری قرار داشته باشد، در مقطع تنها تنش نرمالِ یکنواخت σ (میلهٔ کششی، یا فشاری) پدید می‌آید. اگر علاوه بر آن ممان خمشی نیز وجود داشته باشد، این تنش‌ها باید به نحوی به‌طور نامساوی توزیع شوند، به‌گونه‌ای که برآیند آن‌ها دیگر از مرکز ثقل مقطع عبور نکند. برای تعیین این توزیع، نظریهٔ فنیِ خمش از حل دقیق معادلات بنیادی آغاز نمی‌کند، بلکه بخشی از این معادلات را با یک فرض معقول جایگزین می‌کند که در یک حالت به‌ویژه ساده، در عین حال به‌طور دقیق نیز برقرار است. این حالت ویژه، خمشِ مستقیمِ یک میلهٔ منشوری بدون اثر نیروهای عرضی است (شکل 3). همهٔ اجزای میله که به اندازهٔ کافی از دو سر آن دور باشند، تغییرشکل یکسانی را تحمل می‌کنند، و از این‌جا مستقیماً نتیجه می‌شود که محور میله به کمان دایره‌ای تبدیل می‌شود و همهٔ صفحاتِ مقاطع عرضی که در آغاز بر محور میله عمود بودند، هنگام تغییرشکل صاف باقی می‌مانند، زیرا هر یک از آن‌ها صفحهٔ تقارنِ بخش‌های مجاورِ میلهٔ تغییرشکل‌یافته است. به‌طور طبیعی این فرض مطرح می‌شود که مقاطع عرضی حتی وقتی ممان خمشی و مقطع عرضی میله ثابت نباشند و در امتداد میله به‌تدریج تغییر کنند نیز تقریباً صاف باقی بمانند. این فرض که فرضیهٔ ناویه نام دارد، اساس نظریهٔ خمش را تشکیل می‌دهد.

شکل 3

اندازهٔ تنش‌های نرمال

هنگامی که یک عنصر مستقیمِ تیر خم می‌شود، بخشی از «الیاف» آن، یعنی خطوط مادیِ موازی با محور میله، کشیده می‌شوند، در حالی که بخش دیگر کوتاه می‌شود (شکل 4). میان این دو بخش، الیاف خنثی z=0 قرار دارند که طولشان هنگام خم شدن تغییر نمی‌کند. فرض کنید شعاع انحنای این الیاف در حالت خم‌شده ϱ باشد و در صفحهٔ x-z قرار داشته باشد. از شکل 4 m می‌توان خواند

Δ dx/z = _dx/_ϱ

و از آنجا کرنش الیاف را در فاصله z از محور خنثی محاسبه کرد که برابر است با

ε = Δ dx/dx = _z/_ϱ

بنابراین بر اساس قانون Hooke تنش

σ _= Ez/_ϱ   (2)

شکل 4

این تنش با فاصله از الیاف خنثی متناسب است. چنین نتیجه‌ای مبتنی بر این فرض است که پیش از تغییرشکل، همهٔ الیاف عنصر میله هم‌طول بوده‌اند، به‌طوری‌که میله در اصل راست بوده است، یا دست‌کم انحنای آن آن‌قدر کوچک بوده که اثر انحنا را بتوان نادیده گرفت. خطی که لایهٔ خنثی و صفحهٔ مقطع یکدیگر را قطع می‌کنند، محور خنثی نام دارد. آن را به‌عنوان محور y می‌پذیریم (شکل 5). جایگاه محور خنثی در مقطع عرضی از شرط تعادل نیروها در راستای محور x به دست می‌آید: اگر نیروی نرمال N=0 (خمشی بدون نیروی نرمال) باشد، آنگاه برآیند نیروهای داخلی که از طریق تنش‌های نرمال در مقطع بیان می‌شود نیز باید برابر صفر باشد:

انتگرال در سمت راست، ممان استاتیکی سطح نسبت به محور y است. برای اینکه آن برابر صفر باشد، این محور باید یکی از محورهای گذرنده از مرکز ثقل باشد.

گشتاور M که موجب تغییر شکل می‌شود، نسبت به محورهای y و z در صفحه مقطع (شکل 5) دارای مؤلفه‌های زیر است:

معادله. (3)

که در آن Iy, Iyz ممان‌های اینرسی استوایی و گریز از مرکزِ مقطع نسبت به محورهای مشخص‌شده هستند.

مهم‌ترین حالت ویژه زمانی است که Mz=0. این حالت هنگامی رخ می‌دهد که Iyz=0، یعنی وقتی که y و z محورهای اصلی ممان اینرسی مقطع هستند. این بدان معناست که صفحهٔ خمش که در اینجا به‌صورت صفحهٔ x-z\ پذیرفته شده است، با صفحه‌ای که در آن ممان خمشی M=My اثر می‌کند، یعنی با صفحهٔ نیروها، منطبق می‌شود.

شکل 5

اگر از معادلات (2) و (3) مقدار _E/_ϱ حذف شود، الگوی تعیین تنش در خمش ساده (Iy=I) به‌دست می‌آید:

σ = M/I * z   (4)

برای نقاط کناری 1 و 2 به‌طور خاص:

σ1 = M/I * h1 = M/W1, σ2 = - M/I * h2 = - M/W2.   (5)

کمیت‌های W1,2 = I/h1,2 (بعد: طول به توان سه) را ممان‌های مقاومتی می‌نامند. اگر محور ممان اولیِ افقی هم‌زمان محور تقارن مقطع باشد، آنگاه W1 = W2، بنابراین تنش‌های کناری از نظر مقدار مطلق برابرند.

خط الاستیک

شکل. 6

اهمیت الگوهای یادشده به قانون هوک مربوط است. این امر ایجاب می‌کند که σ << E باشد، یعنی بر اساس (2) h << ϱ. با این حال خمش می‌تواند آن‌قدر باشد که ϱ هم‌مرتبه با طول میله l شود. در میله‌های خمیده‌ای که در ساختمان‌سازی مطرح‌اند، این حالت رخ نمی‌دهد؛ همواره ϱ به‌مراتب بزرگ‌تر از l است و بنابراین خیز w << l (شکل 6). در این صورت تقریباً برقرار است:

1/ ϱ = - d2w/dx2 = -w’’

و بر اساس (3):

w’’ = - M/EI.

این معادله و شرط تعادل (1b) یک دستگاه معادلات دیفرانسیلِ میله خمیده را تشکیل می‌دهند. با حذف، می‌توان آن‌ها را به یک معادله درجه چهار کاهش داد:

wIV = + p/EI

یا، در صورتی که ممان اینرسی متغیر باشد:

(EIw’’)’’ = +p.

از آن‌ها می‌توان با انتگرال‌گیری شکل خط الاستیک را زمانی به‌دست آورد که بار p=p(x) داده شده باشد و برای هر موردِ میل، دو شرط مرزی معلوم باشد. از این دو، دست‌کم دو شرط باید به تغییر شکل مربوط باشند. برای جزئیات، ر.ک. مقاله استاتیک سازه‌های ساختمانی.

هسته مقطع

اگر محور خنثی، مقطع عرضی را قطع کند، آن را به ناحیه کشش و ناحیه فشار تقسیم می‌کند. در مواد با مقاومت کششی کم، این پرسش مطرح می‌شود که نیروی فشاری باید از کجا وارد شود، اگر در مقطع عرضی در هیچ‌جا نباید کششی به وجود آید. در آن صورت، محل اثر نیرو به ناحیه‌ای محدود می‌شود که هسته مقطع نام دارد. مرز هسته آشکارا مکان هندسی نقاطی است که محورهای خنثای آن‌ها، مقطع عرضی را در پیرامون آن مماس می‌شوند. بدین ترتیب، ساخت آن نیز به‌دست می‌آید.

فاصلهٔ مرز هسته از مرکز ثقل، که در هر جهتی اندازه‌گیری می‌شود، را با شاخص k که متناظر با همان جهت است نشان خواهیم داد. برای محورهای اصلی لختی، بر اساس معادله

σ = N/F + Mz/Iz y + My/Iy z  (6)

عبارت‌ها به شرح زیر هستند:

ky = i2z / ey,      kz = i2y / ez.   (7)

برای مقطع عرضی دایره‌ای با شعاع r، فاصله هسته k = r/4 است، و برای حلقهٔ دایره‌ای (شعاع‌ها: بیرونی R، درونی r) k = (R2 + r2) / 4R.

برای مستطیل (شکل 7) داریم: ky = 1/6 b، kz = 1/6 h. بنابراین، هنگام بارگذاری یک مقطع مستطیلی در یکی از صفحات تقارن (اما فقط در آن حالت) کافی است برآیند در یک‌سوم میانی ارتفاع یا عرض مقطع وارد شود تا تنش‌ها در مقطع هم‌علامت باشند.

شکل. 7

خم‌شدن در ناحیه پلاستیک

وقتی در الیاف کناریِ میلهٔ خمیده حد تسلیم حاصل شده باشد، ظرفیت باربری آن هنوز تمام نشده است، زیرا تا زمانی که الیاف بیرونی به‌طور پلاستیک تحت تنش ثابت تغییر شکل می‌دهند، در بخش‌هایی که به محور خنثی نزدیک‌ترند و حد تسلیم هنوز به آن‌ها نرسیده است، تنش افزایش می‌یابد و در نتیجه ممان خمشی‌ای که مقطع می‌تواند تحمل کند نیز بیشتر می‌شود.

اگر روند دقیق نمودار تنش و تغییرشکل معلوم باشد، فرآیند را برای مقاطع دوبارمتقارن (با ارتفاع h) می‌توان به‌سادگی به‌صورت محاسباتی دنبال کرد، بدین‌ترتیب که با فرض باقی‌ماندن مقاطع به‌صورت صفحه‌ای، از نمودار تنش و تغییرشکل، توزیع تنش σ ناشی از خمش که متناظر با کرنشِ پذیرفته‌شده‌ای در الیاف کناری ε__r است تعیین می‌شود و از آنجا با انتگرال‌گیری، لنگر خمشی به دست می‌آید. اگر این کار برای مقادیر مختلف ε__r انجام شود و از سوی دیگر، انحنای متناظر خط خیز w’’ = 2 ε__r / h محاسبه گردد، مجموعه‌ای از نقاط به دست می‌آید که می‌توان از میان آن‌ها خطی را رسم کرد که رابطه میان لنگر خمشی و انحنا M = M(w’’) را نشان می‌دهد؛ این رابطه دیگر خطی نیست، و هنگامی که آن شناخته شود، با انتگرال‌گیری گرافیکی می‌توان خط خیزی را تعیین کرد که با توزیع معین لنگرها متناظر است. اگر مقطع نامتقارن باشد، محاسبه پیچیده‌تر می‌شود، از این جهت که برای هر ε__r باید موقعیت محور خنثی نیز تعیین شود.

شکل 8

محاسبه تا حدی ساده می‌شود اگر علاوه بر تقارن مقطع، رابطه ساده‌شده میان تنش و کرنش نیز مطابق شکل 8 فرض شود. آنگاه تنش‌ها ناشی از خم‌شدگی پس از عبور از حد تسلیم، توزیعی مطابق شکل 9 دارند و ممان خمشی عبارت است از:

و در نتیجه، انحنای خط خمش زمانی به دست می‌آید که معادلهٔ (2) بر بخشی از مقطع اعمال شود که تنش‌های آن در ناحیهٔ الاستیک به‌صورت w’’ = σf / Ez’ هستند. اگر شکل مقطع برای هر z’ مفروض معلوم باشد، انتگرال‌ها را می‌توان محاسبه کرد. مثلاً برای ساده‌ترین حالتِ مقطع مستطیلی با عرض b و ارتفاع h داریم

اگر در این‌جا z’ به‌وسیلهٔ w’’ بیان شود، به‌دست می‌آید

در مقاطع I و مشابه آن‌ها، روند منحنی M-w’’ در ناحیه پلاستیک باز هم ملایم‌تر است و ممان لحظه‌ای که در آن جاری شدن آغاز می‌شود، در آن صورت عملاً برابر با بزرگ‌ترین ممان خمشی است که مقطع اصلاً می‌تواند تحمل کند. از این رو، اهمیت خمش پلاستیک در ساختمان‌سازی در افزایش ممان خمشی قابل تحمل توسط مقطع نیست، بلکه در این است که تغییر شکل موضعی بزرگی که در حد جاری شدن پدید می‌آید می‌تواند به تغییر مطلوب توزیع نیروها در سیستم‌های نامعین استاتیکی بینجامد.

شکل. 9

این را می‌توان با نمونه یک تیر پیوسته بر روی دو دهانه توضیح داد. فرض کنید تیر (شکل 10) دهانه‌هایی با طول برابر، مقطع ثابت داشته باشد و با بار گسترده یکنواخت بارگذاری شده باشد. در این صورت، پیش از رسیدن به حد تسلیم، لنگر بر روی تکیه‌گاه MB = _pl_2/8 خواهد بود. اگر بار p آن‌قدر افزایش یابد که لنگر در مقطع تکیه‌گاهی به مقدار Mf برسد که در آن تسلیم آغاز می‌شود، با افزایش بیشتر بار در آن نقطه، انحنا نیز بدون افزایش محسوس لنگر افزایش خواهد یافت. اصطلاحاً یک مفصل پلاستیک ایجاد می‌شود، یعنی تیر تحت بار اضافی چنان رفتار می‌کند که گویی در بالای تکیه‌گاه میانی مفصل وجود دارد. بار را می‌توان باز هم افزایش داد تا زمانی که در محل بزرگ‌ترین لنگر در دهانه نیز تسلیم آغاز شود. افزایش بیشتر لنگر خمشی دیگر ممکن نیست و ظرفیت باربری تیر به پایان رسیده است. باری که در آن این حالت رخ می‌دهد، بار حدی نامیده می‌شود.

شکل. 10

به‌طور کلی می‌توان انتظار داشت که در یک سیستم با n درجه نامعینی استاتیکی، پیش از آن‌که سیستم متحرک شود و بدین‌سان به حد باربری خود برسد، باید (n+1) مفصل پلاستیکی پدید آید. با این حال، این قاعده در هر دو جهت استثناهایی دارد. همان‌گونه که مثال یادشده نشان می‌دهد، در حد باربری ممکن است هم‌زمان دو مفصل پلاستیکی جدید (در هر دو دهانه) ایجاد شوند، به‌طوری‌که سیستمی که تا آن زمان هنوز نامتحرک است، ناگهان به سیستمی با دو درجه آزادی تبدیل شود. از سوی دیگر ممکن است حتی با کمتر از (n+1) مفصل پلاستیکی نیز ظرفیت باربری به‌صورت موضعی تمام شود، مثلاً هنگامی که در یک تیر پیوسته فقط یک دهانه تسلیم شود. شکل 11 نشان می‌دهد که این امر چگونه می‌تواند در یک سیستم با دو بار نامعینی استاتیکی و n=2 مفصل پلاستیکی رخ دهد. اگر در سمت راست تیر، دهانه چهارم نیز افزوده شود، تیر سه‌بار نامعین استاتیکی می‌شود، و بنابراین (n-1) مفصل پلاستیکی برای رساندن فقط دهانه چپ به حد باربری کافی است.

شکل 11

تنش‌های برشی در خم‌شدگی

محاسبه ابتدایی

شکل. 12

تنش‌های نرمال σ، یعنی تنش‌هایی که در واقع در اثر خمش پدید می‌آیند، تنها تنش‌های موجود در میله خمیده نیستند؛ بلکه علاوه بر آن‌ها، تنش‌های برشی نیز در اثر نیروی عرضی ظاهر می‌شوند. با توجه به این‌که ویژگی اصلی نظریه فنیِ خمش در این است که تغییرشکل‌های ناشی از تنش‌های برشی نادیده گرفته می‌شوند، این تنش‌ها را فقط می‌توان از شرط تعادل تعیین کرد. برای تنظیم این شرط، عنصر تیر dx همان‌گونه که در شکل 12 نشان داده شده، با یک صفحه افقی به دو بخش بریده می‌شود و سپس شرط تعادلِ نیروهای افقی وارد بر بخش پایینی نوشته می‌شود. در سمت چپ، این‌ها نیروهای داخلی‌اند که با تنش‌های σ ناشی از خمش بیان می‌شوند، که باید از z’ = z تا z’ = h2 انتگرال‌گیری شود

در سمت راست همان تنش‌ها عمل می‌کنند، اما به‌اندازه دیفرانسیل مطابق با گشتاور خمشی مربوط M + dM افزایش‌یافته‌اند. اختلاف بین نیروها در دو سوی عضو باید با نیروی ناشی از تنش‌های برشی τ که در سطح مقطع افقی t dx عمل می‌کنند، در تعادل باشد:

در اینجا انتگرال، ممان استاتیکیِ بخشی از سطح مقطع است که توسط یک صفحه افقی جدا شده و نسبت به محور ثقلیِ مقطع سنجیده می‌شود. این ممان با S نشان داده می‌شود. با dM/dx = Q از شرط تعادل به دست می‌آید:

τ = QS/It.  (8)

این، بنا بر اصل هم‌قرینیِ تنش‌های برشی، در عین حال مقدار تنش برشیِ عمودیِ وارد بر سطح مقطع است و که همراه با S و t تابعی از z است.

شکل. 13

شکل 13.1

معادله (8) در تمام مقاطع با دیواره نازک داده‌های قابل اعتمادی فراهم می‌کند، اگر صفحه مقطع نه موازی با محور خنثی، بلکه در جهت ضخامت دیواره قرار گیرد. بنابراین مقطع I به‌طور عرضی از جان و به‌طور عرضی از بال بریده می‌شود و توزیع تنشِ نشان‌داده‌شده در شکل 13.1 به دست می‌آید. در مقطع حلقوی (شکل 13) تنش‌های برشی به‌صورت متقارن نسبت به قطر قائم توزیع شده‌اند و در چپ و راستِ خط خنثی به بیشینه می‌رسند

τ = Q / πrt.

اگر مقطع در بالاترین یا پایین‌ترین نقطه بریده شود، توزیع تنش‌های برشی تغییر نمی‌کند؛ اما اگر در انتهای راستِ قطر افقی بریده شود (شکل 14), تنش برشی در آن نقطه برابر صفر است، در حالی که مقدار آن در انتهای چپ همان قطر دو برابر می‌شود.

شکل 14

مقاطع پُر

در مقاطع توپر با هر شکل دلخواه، مسئله تنش‌های برشی به‌طور نزدیک با موضوع پیچش مرتبط است. معادله ابتدایی (8) در این حالت دیگر قابل اعتماد نیست. برای مقطع دایره‌ای با شعاع r، معادله (8) می‌دهد

τ = 4Q / 3__πr2

به‌عنوان میانگین تنش برشی در امتداد محور خنثی، و مقدار دقیق فقط چند درصد بیشتر است.

مرکز برش

اگر برای مقطع U تنش‌های برشی به روشی که در بالا توضیح داده شد محاسبه شوند، توزیع تنشِ نشان‌داده‌شده در شکل 15 به‌دست می‌آید. برآیند نیروهای داخلی متناظر، نیروی عرضی Q است. از شکل می‌توان موقعیت آن را نسبت به مقطع دید، یعنی نه از مرکز ثقل مقطع می‌گذرد و نه در صفحهٔ جان قرار دارد. اگر نیروی عرضی محاسبه‌شده بر اساس نیروهای خارجی موقعیتی مانند شکل 15 نداشته باشد، عضو تنها تحت خمش قرار ندارد، بلکه تحت پیچش نیز هست.

اگر برای همان مقطع عرضی، برآیندی متناظر با تنش‌های برشی برای یک بارگذاری افقی تعیین شود، خط اثر نیروی برشی عرضی افقی به دست می‌آید. در تقاطع این دو خط اثر، نقطه‌ای مشخص برای آن مقطع عرضی قرار دارد که مرکز برش M نامیده می‌شود. در عضو، هنگامی که مراکز برش همه مقاطع عرضی روی یک خط راست قرار داشته باشند و همه بارهای عمود بر محور عضو از همان خط بگذرند، تنش‌های ناشی از پیچش پدید نمی‌آیند. در غیر این صورت، گشتاور هر بار نسبت به خطی که مراکز برش را به هم وصل می‌کند، برش پیچشی را نشان می‌دهد.

شکل. 15

اثر نیروی عرضی بر خمش

نظریه فنیِ خمش بر نادیده گرفتن تغییرشکل‌های ناشی از تنش‌های برشی استوار است. بنابراین در واقع می‌توان آن را برای اعضای لاغر به‌کار برد، جایی که این نادیده‌گرفتن موجه است و نیروی عرضی تأثیر محسوسی بر خمش ندارد.

با این حال تجربه نشان داده است که نظریه فنی خمش را می‌توان با موفقیت نسبی بر تیرهای کوتاه و بلند نیز به کار برد، برای تیرهایی که در واقع اصولاً برای آن‌ها در نظر گرفته نشده است. در این صورت نیاز پدید می‌آید که اثر تغییرشکل ناشی از تنش‌های برشی، که در این نظریه نادیده گرفته شده است، دست‌کم به‌طور تقریبی، بعداً نیز منظور شود.

همچنین مانند تنش‌های برشی τ ناشی از نیروهای عرضی و لغزش‌های متناظر γ_’ =_ τ_/G_ به‌صورت نامنظم در سطح مقطع توزیع شده‌اند. از این‌رو مقدار میانگین آن‌ها γ وارد می‌شود، که به‌گونه‌ای تعیین می‌شود که نیروی عرضی، در این مقدار میانگین تغییرشکل، بر عنصر تیر dx کار تغییرشکل انجام دهد که برابر با کاری باشد که با انتگرال‌گیری از کار تنش‌های برشی بر روی تک‌تک عناصر حجمی تشکیل‌دهنده عنصر موردنظر تیر به‌دست می‌آمد:

از این‌رو

انتگرال را می‌توان وقتی محاسبه کرد که توزیع تنش‌های برشی در مقطع معلوم باشد. از آنجا که همه تنش‌های برشی متناسب با Q/F هستند، مقدار آن متناسب با Q2/F2 * F است، و با قرار دادن این‌که برابر κ__Q2/F است، به‌دست می‌آید

γ = κ__Q / GF.

ثابت κ را ضریب توزیع تنش‌های برشی می‌نامند. برای مقاطع مستطیلی، κ=1,2 است.

شکل. 16

وقتی ضریب κ معلوم باشد، و بدین ترتیب لغزش متوسط γ نیز معلوم باشد، می‌توان خمش اضافی wQ را که بر اثر نیروهای عرضی ایجاد شده است و باید به خمش‌های w افزوده شود، محاسبه کرد؛ زیرا طبق شکل 16

بنابراین، به سبب Q = dM/dx:

که در آن ثابت انتگرال‌گیری از یکی از شرایط مرزی به‌دست می‌آید.