Нармальныя напружанні ў прамых стрыжнях і стрыжнях з малой крывізной
Вызначэнне папярочных сіл
Няхай прамы стрыжань нагружаны сіламі адвольнага напрамку, пра якія толькі мяркуецца, што ўсе яны ляжаць у адной плоскасці (плоскасць сіл), якая праходзіць праз вось стрыжня (лінія, што злучае цэнтры цяжару папярочных перасекаў).
Мал. 1
Каб разлічыць напружанні, якія дзейнічаюць у нейкім папярочным перасеку n – n (мал. 1), неабходна ведаць сілу, якая праз гэты перасек перадаецца з адной часткі стрыжня на другую. Яна па велічыні і становішчы відавочна роўная выніковай усіх сіл, што ўздзейнічаюць на адну частку стрыжня. Гэтая выніковая раскладаецца на кампаненты ў сістэме каардынат, чыя x-вось супадае з воссю стрыжня, а z-вось — з лініяй, уздоўж якой плоскасць папярочнага перасеку перасякае плоскасць сіл. Кампанента ў кірунку восі z называецца папярочнай сілай Q або Qz і для простай бэлькі лічыцца станоўчай, калі злева ад перасеку мае кірунак уверх, а справа ўніз.
Калі стрыжань крывы, каардынатныя восі x і z у кожным перасеку маюць іншы напрамак, прычым заўсёды так, што x-вось з’яўляецца датычнай да восі стрыжня. Калі плоскасць, у якой ляжыць вось стрыжня, не супадае з плоскасцю сіл, або калі вось стрыжня з’яўляецца прасторавай крывой, раўнадзейная сіл злева ад перасеку мае і трэцюю складовую — папярочную сілу Qy. Па N, Qz і Qy вызначаюцца велічыня і напрамак сілы, якая перадаецца праз перасек, але не яе становішча. Для гэтага неабходна, каб былі вядомыя і яе моманты адносна каардынатных восяў. У выпадку плоскага выгібу дастаткова, каб быў вядомы момант выгібу M або My. У найбольш агульным выпадку з’яўляецца яшчэ адзін момант выгібу Mz і момант вакол x-восі, Mx.
Шэсць сіл і момантаў, вызначаных у папярэднім выкладзе, аб’яднаныя агульнай назвай «перасекальныя сілы». Іх вызначэнне — адна з асноўных задач статыкі будаўнічых канструкцый.
Паміж бесперапынна размеркаванай нагрузкай p (вымярэнне: сіла на адзінку даўжыні), папярочнай сілай Q і момантам выгібу M існуе ў выпадку плоскага выгібу простая залежнасць. А менавіта, з умовы раўнавагі аднаго элемента стрыжня (рыс. 2) атрымліваецца
dQ + p dx = 0,
dM = Q dx;
таму
Q = dM/dx,
p = - dQ/dx = - d2M/dx2. (1a, b)
Мал. 2
Размеркаванне нармальных напружанняў
Калі стрыжань нагружаны толькі восевай сілай, у перасеку ўзнікае толькі раўнамерна размеркаванае нармальнае напружанне σ (расцягнуты, адпаведна сціснуты стрыжань). Калі пры гэтым узнікае момант выгібу, гэтыя напружанні павінны быць неяк нераўнамерна размеркаваны, так што іх рэзультанта ўжо не праходзіць праз цэнтр цяжару перасеку. Каб вызначыць гэты размеркаванне, тэхнічная тэорыя выгібу не зыходзіць са строгага рашэння асноўных раўнанняў, а замяняе частку гэтых раўнанняў праўдападобным дапушчэннем, якое ў адным асабліва простым выпадку разам з тым і строга выконваецца. Гэты спецыяльны выпадак — выгін прамога прызматычнага стрыжня без дзеяння папярочных сіл (мал. 3). Усе элементы стрыжня, якія знаходзяцца дастаткова далёка ад яго канцоў, перажываюць аднолькавую дэфармацыю, адкуль непасрэдна вынікае, што вось стрыжня пераходзіць у кругавую дугу і што ўсе плоскасці папярочных перасечак, якія першапачаткова былі перпендыкулярныя восі стрыжня, пры дэфармацыі застаюцца плоскімі, бо кожная з іх з’яўляецца плоскасцю сіметрыі для суседніх частак дэфармаванага стрыжня. Натуральна напрошваецца дапушчэнне, што папярочныя перасечкі застаюцца прыблізна плоскімі і тады, калі момант выгібу і папярочны перасек стрыжня не з’яўляюцца сталымі, а паступова змяняюцца ўздоўж стрыжня. Гэтае дапушчэнне, якое называецца Нав’е-вай гіпотэзай, ляжыць у аснове тэорыі выгібу.
Мал. 3
Велічыня нармальных напружанняў
Калі прамы элемент бэлькі згінаецца, адна частка яго «валокнаў», г. зн. матэрыяльных ліній, паралельных восі стрыжня, расцягваецца, у той час як другая частка скарачаецца (мал. 4). Паміж гэтымі дзвюма часткамі ляжаць нейтральныя валокны z=0, даўжыня якіх пры згіне не змяняецца. Няхай радыус крывізны гэтых валокнаў у выгнутым стане будзе ϱ і няхай ён ляжыць у плоскасці x-z. З мал. 4 m можна прачытаць
Δ dx/z = _dx/_ϱ
і адсюль разлічаная дэфармацыя валокнаў на адлегласці z ад нейтральнай восі, якая роўная
ε = Δ dx/dx = _z/_ϱ
тады на падставе закона Hooke-а напружанне
σ _= Ez/_ϱ (2)
Мал. 4
Гэта напружанне прапарцыйнае адлегласці ад нейтральных валокнаў. Такі вынік звязаны з дапушчэннем, што да дэфармацыі ўсе валокны стрыжня былі аднолькавай даўжыні, так што стрыжань першапачаткова быў прамы, альбо прынамсі з такой малой крывізной, што ўплыў крывізны можна занядбаць. Прамая, па якой перасякаюцца нейтральны слой і плоскасць перасеку, называецца нейтральнай воссю. Яе прымаем за y-вось (мал. 5). Палажэнне нейтральнай восі ў папярочным перасеку атрымліваецца з умовы раўнавагі сіл у напрамку x-восі: калі нармальная сіла N=0 (выгін без нармальнай сілы), тады і выніковая ўнутраных сіл, выражаная праз нармальныя напружанні ў перасеку, павінна быць роўная нулю:
Інтэграл у правай частцы — статычны момант плошчы адносна восі y. Каб ён быў роўны нулю, гэтая вось павінна быць адной з восей цэнтра цяжару.
Момант M, які выклікае дэфармацыю, адносна восяў y і z у плоскасці сячэння (сл. 5) мае кампаненты:
Раўн. (3)
пры гэтым Iy, Iyz — экватарыяльны і цэнтрабежны момант інерцыі перасеку адносна абазначаных восяў.
Найважнейшы ёсць спецыяльны выпадак, калі Mz=0. Гэты выпадак надыходзіць, калі Iyz=0, г. зн. калі y і z з’яўляюцца галоўнымі восямі інерцыі папярочнага сячэння. Гэта азначае, што прынятая тут плоскасць выгібу з x-z-плоскасцю супадае з плоскасцю, у якой дзейнічае момант выгібу M=My, г. зн. з плоскасцю сіл.
Мал. 5
Калі з раўнанняў (2) і (3) выключыць _E/_ϱ, атрымліваецца формула для вызначэння напружання пры простым выгібе (Iy=I):
σ = M/I * z (4)
для крайніх пунктаў 1 і 2 асабліва маем:
σ1 = M/I * h1 = M/W1, σ2 = - M/I * h2 = - M/W2. (5)
Велічыні W1,2 = I/h1,2 (памернасць: даўжыня ў кубе) называюцца супраціўнымі момантамі. Калі гарызантальная цэнтральная вось адначасова з’яўляецца воссю сіметрыі папярочнага перасеку, тады W1 = W2, і краявыя напружанні па абсалютнай велічыні роўныя.
Эластычная лінія
Мал. 6
Значнасць прыведзеных вышэй формул звязана з законам Гука. Гэта патрабуе, каб σ << E, значыць паводле (2) h << ϱ. Аднак выгіб можа быць настолькі вялікі, што ϱ мае той жа парадак велічыні, што і даўжыня стрыжня l. Для выгнутых стрыжняў, якія маюць значэнне ў будаўніцтве, гэты выпадак не ўзнікае; заўсёды ϱ значна большая за l, а значыць прагін w << l (рыс. 6). Тады прыблізна выконваецца:
1/ ϱ = - d2w/dx2 = -w’’
і на падставе (3):
w’’ = - M/EI.
Гэтае раўнанне і ўмова раўнавагі (1b) утвараюць сістэму дыферэнцыяльных раўнанняў выгнутага стрыжня. Пры выключэнні яны могуць быць зведзены да аднаго раўнання чацвёртага парадку:
wIV = + p/EI
ці, у выпадку, калі момант інерцыі зменлівы:
(EIw’’)’’ = +p.
З іх шляхам інтэгравання можна знайсці форму пругкай лініі, калі зададзена нагрузка p=p(x) і калі для кожнага выпадку стрыжня вядомыя дзве гранічныя ўмовы. З іх прынамсі дзве павінны адносіцца да дэфармацыі. Для падрабязнасцей гл. артыкул Статыка будаўнічых канструкцый.
Ядро сячэння
Калі нейтральная вось перасякае папярочны перасек, яна падзяляе яго на зону расцяжэння і зону ціску. Для матэрыялаў з нізкай трываласцю на расцяжэнне ўзнікае пытанне, дзе павінна дзейнічаць сіла ціску, калі ў папярочным перасеку нідзе не павінна ўзнікаць расцяжэння. Палажэнне пункта прыкладання сілы ў такім выпадку абмежавана вобласцю, якая называецца ядром перасеку. Мяжа ядра відавочна з’яўляецца геаметрычным месцам пунктаў, нейтральныя восі якіх датыкаюцца да папярочнага перасеку па абводзе. Такім чынам адначасова задаецца і яго пабудова.
Адлегласць мяжы ядра ад цэнтра цяжару, вымераную ў любым напрамку, абазначым k з індэксам, які адпавядае гэтаму напрамку. Для галоўных восяў інерцыі паводле раўнання
σ = N/F + Mz/Iz y + My/Iy z (6)
выразы наступныя:
ky = i2z / ey, kz = i2y / ez. (7)
Для круглага папярочнага сячэння радыусам r адлегласць да ядра складае k = r/4, а для круглага кальца (радыусы: знешні R, унутраны r) k = (R2 + r2) / 4R.
Для прамавугольніка (мал. 7) ky = 1/6 b, kz = 1/6 h. Такім чынам, пры нагрузцы прамавугольнага перасеку ў адной з плоскасцей сіметрыі (але толькі тады) дастаткова, каб выніковая сіла праходзіла ў сярэдняй трэці вышыні або шырыні папярочнага перасеку, і напружанні ў перасеку мелі адзін і той жа знак.
Мал. 7
Выгіб у пластычнай вобласці
Калі ў краявых валокнах выгнутага стрыжня дасягнута мяжа цякучасці, яго нясучая здольнасць тым самым яшчэ не вычарпана, бо пакуль знешнія валокны пластычна дэфармуюцца пры сталым напружанні, у частках, што ляжаць бліжэй да нейтральнай восі, дзе мяжа цякучасці яшчэ не дасягнута, напружанне павялічваецца, а разам з ім павялічваецца і момант выгібу, які перасек можа ўспрыняць.
Калі дакладны ход дыяграмаў напружання і дэфармацый вядомы, працэс для двухасіметрычных перасекаў (вышыні h) можна лёгка разлікова адсочваць так, што, пры дапушчэнні, што перасекі застаюцца плоскімі, з дыяграмаў напружання і дэфармацый вызначаецца размеркаванне напружанняў σ ад згіну, якое адпавядае нейкай прынятай дэфармацыі крайніх валокнаў ε__r і адсюль інтаграваннем вызначаецца момант згіну. Калі гэта выканаць для розных ε__r і з другога боку разлічыць адпаведную крывізну лініі прагіну w’’ = 2 ε__r / h, атрымліваецца шэраг пунктаў, праз якія можна правесці лінію, што дае сувязь паміж момантам згіну і крывізной M = M(w’’); гэта сувязь ужо не лінейная, а калі яна вядомая, можна графічным інтаграваннем вызначыць лінію прагіну, якая адпавядае дадзенаму размеркаванню момантаў. Калі перасек неасіметрычны, разлік становіцца больш складаным настолькі, што для кожнага ε__r трэба яшчэ вызначыць і становішча нейтральнай восі.
Сл. 8
Разлік у пэўнай ступені спрашчаецца, калі, акрамя сімметрыі сячэння, прыняць і спрошчаную сувязь паміж напружаннямі і дэфармацыямі паводле рыс. 8. Тады напружанні ад выгіну пасля перавышэння мяжы цякучасці маюць размеркаванне, паказанае на рыс. 9, і момант выгіну роўны:
і таму крывізна лініі прагібу атрымліваецца, калі раўнанне (2) прымяніць да часткі перасеку, напружанні якой знаходзяцца ў пругкай вобласці w’’ = σf / Ez’. Калі вядомая форма перасеку для кожнага прынятага z’, інтэгралы можна вылічыць. Напр., для найпрасцейшага выпадку прамавугольнага папярочнага перасеку шырынёй b і вышынёй h гэта
Калі тут z’ выразіць праз w’’, атрымліваецца
Для I-перасекаў і падобных да іх ход крывой M-w’’ у пластычнай вобласці яшчэ больш палогі, і момант, пры якім надыходзіць цячэнне, тады практычна роўны найбольшаму моманту згіну, які перасек увогуле можа вытрымаць. Таму значэнне пластычнага згіну ў будаўніцтве заключаецца не ў павелічэнні моманту згіну, які можа несці перасек, а ў тым, што вялікая лакальная дэфармацыя, якая ўзнікае на мяжы цячэння, можа прывесці да спрыяльнай змены размеркавання сіл у статычна няпэўных сістэмах.
Мал. 9
Гэта можна растлумачыць на прыкладзе бесперапыннай бэлькі праз два пралёты. Няхай бэлька (мал. 10) мае пралёты аднолькавай даўжыні, пастаянны перасек і няхай яна нагружана раўнамерна размеркаванай нагрузкай. Тады да дасягнення мяжы цякучасці момант над апорай MB = _pl_2/8. Калі нагрузку p настолькі павялічыць, што момант у апорным перасеку дасягне велічыні Mf, пры якой надыходзіць цякучасць, то пры далейшым павелічэнні нагрузкі ў гэтым месцы будзе павялічвацца і крывізна без заўважнага прырашчэння моманту. Утвараецца так званы пластычны шарнір, г.зн. бэлька пад дадатковай нагрузкай паводзіць сябе так, нібы над сярэдняй апорай ёсць шарнір. Нагрузку можна і далей павялічваць, пакуль і ў месцы найбольшага моманту ў пралёце не пачнецца цякучасць. Далейшае павелічэнне згінальнага моманту ўжо немагчыма, і нясучая здольнасць бэлькі вычарпана. Вага, пры якой надыходзіць гэты стан, называецца гранічнай нагрузкай.
Мал. 10
Увогуле можна чакаць, што ў адной n раз статычна няпэўнай сістэме павінна ўзнікнуць (n+1) пластычных шарніраў, перш чым сістэма стане рухомай і тым самым дасягне сваёй мяжы апорнай здольнасці. Аднак у гэтым правіле ёсць выключэнні ў абодва бакі. Як паказвае прыведзены прыклад, на мяжы апорнай здольнасці могуць адначасова ўзнікнуць два новыя пластычныя шарніры (у абодвух пралётах), так што дагэтуль яшчэ нерухомая сістэма раптам пераходзіць у сістэму з двума ступенямі свабоды. З другога боку, магчыма, што і пры менш чым (n+1) пластычных шарнірах апорная здольнасць будзе лакальна вычарпана, напрыклад, калі ў бесперапыннай бэльцы адмовіць толькі адзін пралёт. Рыс. 11 паказвае, як гэта можа адбыцца ў адной статычна двойчы няпэўнай сістэме з n=2 пластычнымі шарнірамі. Калі з правага боку бэлькі дадаць яшчэ і чацвёрты пралёт, бэлька становіцца статычна тройчы няпэўнай, таму дастаткова (n-1) пластычных шарніраў, каб толькі левы пралёт давесці да мяжы апорнай здольнасці.
Мал. 11
Напружанні зруху пры выгіне
Элементарны разлік
Мал. 12
Нармальныя напружанні σ, г. зн. напружанні, якія фактычна ўзнікаюць у выніку згіну, не з’яўляюцца адзінымі напружаннямі ў выгнутым стрыжні, бо побач з імі ўзнікаюць і зруховыя напружанні пад дзеяннем папярочнай сілы. З улікам таго, што асноўная асаблівасць тэхнічнай тэорыі згіну заключаецца ў тым, што дэфармацыі ад зруховых напружанняў ігнаруюцца, гэтыя напружанні можна вызначыць толькі з умовы раўнавагі. Каб сфармуляваць яе, элемент бэлькі dx разразаюць, як паказана на мал. 12, гарызантальнай плоскасцю на дзве часткі, пасля чаго запісваюць умову раўнавагі гарызантальных сіл, што дзейнічаюць на ніжнюю частку. Злева гэта ўнутраныя сілы, выражаныя напружаннямі σ ад згіну, якія трэба інтэграваць ад z’ = z да z’ = h2
З правага боку дзейнічаюць тыя ж напружанні, але павялічаныя на дыферэнцыял у адпаведнасці з адпаведным момантам выгібу M + dM. Розніца паміж сіламі па абодвух баках элемента павінна быць у раўнавазе з сілай ад зрухальных напружанняў τ, якія дзейнічаюць у гарызантальнай папярочнай плоскасці t dx:
Тут інтэграл уяўляе сабой статычны момант часткі папярочнага перасеку, выдзеленай гарызантальнай папярочнай плоскасцю, адносна цэнтральнай восі перасеку. Ён абазначаецца S. З dM/dx = Q з умовы раўнавагі атрымліваецца:
τ = QS/It. (8)
Гэта, згодна з прынцыпам кан’югацыі зрухаючых напружанняў, адначасова велічыня вертыкальнага зрухаючага напружання, якое дзейнічае ў паверхні папярочнага перасеку і якое разам з S і t з’яўляецца функцыяй ад z.
Мал. 13
Рыс. 13.1
Ураўненне (8) дае надзейныя даныя для ўсіх тонкасценных перасекаў, калі плоскасць перасеку не ставіцца паралельна нейтральнай восі, а ў напрамку таўшчыні сценкі. Таму I-профіль пераразаецца папярочна праз рэбру і папярочна праз фланец, у выніку чаго атрымліваецца размеркаванне напружанняў, паказанае на сл. 13.1. У кальцавым перасеку (сл. 13) зрухальныя напружанні размеркаваны сіметрычна адносна вертыкальнага дыяметра і злева і справа на нейтральнай лініі дасягаюць максімуму
τ = Q / πrt.
Калі перасек разрэзаны ў найвышэйшым або найніжэйшым месцы, размеркаванне зрухавых напружанняў не змяняецца; аднак, калі ён разрэзаны на правым канцы гарызантальнага дыяметра (рыс. 14), зрухавае напружанне ў гэтым месцы роўнае нулю, а на левым канцы таго ж дыяметра яго велічыня падвойваецца.
Мал. 14
Поўныя перасекі
Для суцэльных перасекаў адвольнай формы праблема зрухавых напружанняў цесна звязана з праблематыкай кручэння. Элементарнае раўнанне (8) у гэтым выпадку ўжо не з’яўляецца надзейным. Для круглага перасеку радыуса r раўнанне (8) дае
τ = 4Q / 3__πr2
як сярэдняе значэнне зрухальнага напружання ўздоўж нейтральнай восі, а дакладнае значэнне толькі на некалькі працэнтаў большае.
Цэнтр зруху
Калі для U-перасеку вылічваюцца зрухальныя напружанні спосабам, апісаным вышэй, атрымліваецца размеркаванне напружанняў, паказанае на рыс. 15. Рэзантанта адпаведных унутраных сіл — гэта папярочная сіла Q. З малюнка відаць яе становішча адносна перасеку, дык што яна ні не праходзіць праз цэнтр цяжару перасеку, ні не ляжыць у плоскасці рэбра. Калі папярочная сіла, разлічаная на падставе знешніх сіл, не мае становішча, паказанага на рыс. 15, бэлька загружана не толькі на згінанне, але і на кручэнне.
Калі для таго ж папярочнага перасеку вызначыць выніковую, якая адпавядае зрухавым напружанням для пэўнай гарызантальнай нагрузкі, атрымліваецца лінія дзеяння гарызантальнай папярочнай сілы. У перасячэнні гэтых дзвюх ліній дзеяння знаходзіцца характэрная кропка для дадзенага папярочнага перасеку, якая называецца цэнтрам зруху M. У нясучым элеменце напружанні з прычыны кручэння не ўзнікаюць, калі цэнтры зруху ўсіх папярочных перасечак ляжаць на адной прамой, а ўсе нагрузкі, перпендыкулярныя восі стрыжня, праходзяць праз гэтую прамую. У адваротным выпадку момант кожнай нагрузкі адносна прамой, якая злучае цэнтры зруху, і ўтварае крутыльнае зрухаванне.
Мал. 15
Уздзеянне папярочнай сілы на выгінанне
Тэхнічная тэорыя выгінання грунтуецца на ігнараванні дэфармацый, выкліканых напружаннямі зруху. Таму яна сапраўды можа прымяняцца да тонкіх стрыжняў, для якіх такое ігнараванне апраўданае і дзе папярочная сіла не аказвае адчувальнага ўплыву на выгінанне.
Аднак вопыт паказаў, што тэхнічную тэорыю выгіну можна з пэўным поспехам ужываць і да кароткіх, высокіх носьбітаў, для якіх яна, уласна кажучы, зусім не прызначана. Тады ўзнікае неабходнасць, каб уплыў дэфармацыі ў выніку зрухальных напружанняў, які ў гэтай тэорыі занядбаны, быў хаця б прыблізна ўлічаны дадаткова.
Таксама як і зрухальныя напружанні τ ў выніку папярочных сіл і адпаведныя слізганні γ_’ =_ τ_/G_ размеркаваны няроўна па сячэнні. Таму ўводзіцца іх сярэдняе значэнне γ, якое вызначаецца так, каб папярочная сіла пры гэтай сярэдняй велічыні дэфармацыі выконвала на элеменце бэлькі dx дэфармацыйную работу, роўную той, якая атрымалася б шляхам інтэгравання работ зрухальных напружанняў на асобных аб’ёмных элементах, што складаюць разгляданы элемент бэлькі:
адкуль
Інтэграл можна разлічыць, калі вядомы размер ссоўваючых напружанняў па сячэнні. Паколькі ўсе ссоўваючыя напружанні прапарцыйныя Q/F, то яго значэнне прапарцыйнае Q2/F2 * F, а калі пакласці, што яно роўнае κ__Q2/F, атрымліваецца
γ = κ__Q / GF.
Канстанта κ называецца каэф. размеркавання напружанняў зруху. Для прамавугольных перасекаў κ=1,2.
Мал. 16
Калі каэф. κ, а значыць і сярэдняе слізгаценне γ, вядомы, можна вылічыць дадатковы прагін wQ, які ўзнік пад дзеяннем папярочных сіл і які трэба дадаць да прагінаў w: бо паводле рыс. 16 гэта
таму з прычыны Q = dM/dx:
пры гэтым інтэграцыйная канстанта атрымліваецца з адной гранічнай умовы.