Düz çubuklar ve az eğrili çubuklarda normal gerilmeler
Kesme kuvvetlerinin tanımı
Düz bir çubuk, yalnızca hepsinin çubuğun ekseninden geçen aynı düzlemde (kuvvetler düzlemi) bulunduğu varsayılan, keyfi yönlü kuvvetlerle yüklenmiş olsun (bu eksen, kesit ağırlık merkezlerini birleştiren çizgidir).
Şek. 1
Bir n – n enine kesitinde etkili olan gerilmeleri hesaplayabilmek için (şek. 1), bu kesit aracılığıyla çubuğun bir parçasından diğerine aktarılan kuvvetin bilinmesi gerekir. Bu kuvvet, büyüklük ve konum bakımından açıkça çubuğun bir parçasına etki eden tüm kuvvetlerin bileşkesine eşittir. Bu bileşke, x-ekseni çubuğun ekseniyle çakışan ve z-ekseni enine kesit düzleminin kuvvet düzlemini kestiği doğru olan bir koordinat sisteminde bileşenlerine ayrılır. z ekseni doğrultusundaki bileşen, enine kuvvet Q veya Qz olarak adlandırılır ve basit kirişte, kesitin solunda yukarı, sağında aşağı yönlü ise pozitif kabul edilir.
Çubuk eğri olduğunda, koordinat eksenleri x ve z her kesitte farklı bir doğrultuya sahiptir ve bu daima x-ekseni çubuğun eksenine teğet olacak biçimdedir. Çubuğun ekseninin bulunduğu düzlem, kuvvetler düzlemiyle çakışmazsa veya çubuk ekseni uzaysal bir eğri ise, kesitin solundaki kuvvetlerin bileşkesi üçüncü bir bileşen, enine kuvvet Qy de içerir. N, Qz ve Qy ile kesitten iletilen kuvvetin büyüklüğü ve doğrultusu belirlenir, ancak konumu belirlenmez. Bunun için koordinat eksenlerine göre momentlerinin de bilinmesi gerekir. Düz eğilme durumunda eğilme momenti M veya My’nin bilinmesi yeterlidir. En genel durumda ayrıca bir eğilme momenti Mz ve x-ekseni etrafında bir moment, Mx, ortaya çıkar.
Önceki açıklamada tanımlanan altı kuvvet ve moment, ortak olarak “kesit kuvvetleri” adı altında toplanır. Bunların belirlenmesi, yapı statiğinin temel görevlerinden biridir.
Sürekli yayılı yük p (boyut: birim uzunluk başına kuvvet), enine kuvvet Q ve eğilme momenti M arasında, düz eğilme durumunda basit bir ilişki vardır. Nitekim bir çubuk elemanının dengesi koşullarından (şek. 2) elde edilir
dQ + p dx = 0,
dM = Q dx;
bu nedenle
Q = dM/dx,
p = - dQ/dx = - d2M/dx2. (1a, b)
Şek. 2
Normal gerilmelerin dağılımı
Ako je štap opterećen samo aksijalnom silom, u preseku se pojavljuje samo ravnomerno raspoređeni normalni napon σ (zategnuti, odn. pritisnuti štap). Ako se uz to pojavljuje moment savijanja, ovi naponi moraju na neki način da budu neravnomerno raspoređeni, tako da njihova rezultanta više ne prolazi kroz težište preseka. Da bi se odredio ovaj raspored, tehnička teorija savijanja ne polazi od strogog rešenja osnovnih jednačina, nego zamenjuje jedan deo ovih jednačina plauzibilnom pretpostavkom koja je u jednom naročito jednostavnom slučaju ujedno i strogo ispunjena. Ovaj specijalni slučaj je savijanje pravog prizmatičnog štapa bez delovanja transverzalnih sila (sl. 3). Svi elementi štapa koji su dovoljno udaljeni od njegovih krajeva trpe istu deformaciju, odakle neposredno sledi da osovina štapa prelazi u kružni luk i da sve ravni poprečnih preseka koje su prvobitno bile upravne na osovinu štapa prilikom deformacije ostaju ravne, jer je svaka od njih ravan simetrije za susedne delove deformisanog štapa. Prirodno se nameće pretpostavka da poprečni preseci ostaju približno ravni i kada moment savijanja i poprečni presek štapa nisu konstantni, već se duž štapa postepeno menjaju. Ova pretpostavka koja se naziva Navier-ova hipoteza leži u osnovi teorije savijanja.
Şek. 3
Normal gerilmelerin büyüklüğü
Bir kirişin düz elemanı eğildiğinde, onun “liflerinin”, yani çubuğun eksenine paralel malzeme doğrularının bir kısmı uzar, diğer kısmı ise kısalır (şek. 4). Bu iki kısmın arasında, eğilme sırasında boyu değişmeyen nötr lifler z=0 yer alır. Bu liflerin eğilmiş durumdaki eğrilik yarıçapı ϱ olsun ve bunun x-z düzleminde bulunduğu kabul edilsin. Şek. 4 m’den okunabilir
Δ dx/z = _dx/_ϱ
ve buradan, nötr eksenden z uzaklıktaki liflerin hesaplanan uzaması, ki şu değerdir
ε = Δ dx/dx = _z/_ϱ
ve Hooke-yasasına göre gerilme
σ _= Ez/_ϱ (2)
Şek. 4
Bu gerilme, nötr liflerden olan uzaklıkla orantılıdır. Böyle bir sonuç, deformasyondan önce çubuk elemanının tüm liflerinin eşit uzunlukta olduğu, dolayısıyla çubuğun başlangıçta düz olduğu ya da eğriliğin etkisinin ihmal edilebilecek kadar küçük olduğu varsayımına bağlıdır. Nötr tabaka ile kesit düzleminin kesiştiği doğruya nötr eksen denir. Bunu y ekseni olarak kabul ederiz (şek. 5). Kesitte nötr eksenin konumu, x ekseni doğrultusundaki kuvvet dengesi koşulundan elde edilir: normal kuvvet N=0 (normal kuvvetsiz eğilme) ise, kesitteki normal gerilmeler aracılığıyla ifade edilen iç kuvvetlerin bileşkesi de sıfıra eşit olmalıdır:
Sağ taraftaki integral, yüzeyin y eksenine göre statik momentidir. Bunun sıfıra eşit olması için bu eksen ağırlık merkezi eksenlerinden biri olmalıdır.
Deformasyona neden olan M momentinin, kesit düzlemindeki y ve z eksenlerine göre bileşenleri şöyledir (şek. 5):
Denk. (3)
burada Iy, Iyz kesitin belirtilen eksenlere göre ekvatoral ve santrifüj atalet momentidir.
En önemli özel durum, Mz=0 olduğunda ortaya çıkar. Bu durum, Iyz=0 olduğunda, yani y ve z kesitin asal atalet eksenleri olduğunda meydana gelir. Bu, burada kabul edilen ve x-z-düzlemi ile çakışan eğilme düzleminin, eğilme momenti M=My’nin etki ettiği düzlemle, yani kuvvetler düzlemiyle çakıştığı anlamına gelir.
Şek. 5
Denklemlerden (2) ve (3) _E/_ϱ elimine edilirse, düz eğilmede gerilmenin belirlenmesi için formül elde edilir (Iy=I):
σ = M/I * z (4)
1 ve 2 kenar noktaları için özellikle:
σ1 = M/I * h1 = M/W1, σ2 = - M/I * h2 = - M/W2. (5)
W1,2 = I/h1,2 (boyut: uzunluğun küpü) değerlerine mukavemet momentleri denir. Eğer yatay ağırlık ekseni aynı zamanda kesitin simetri ekseni ise, o zaman W1 = W2, dolayısıyla kenar gerilmelerinin mutlak değerleri eşittir.
Elastik çizgi
Şek. 6
Yukarıda belirtilen bağıntıların önemi Hooke yasasına bağlıdır. Bu, σ << E olmasını gerektirir; dolayısıyla (2)’e göre h << ϱ. Ancak eğilme, ϱ’nin çubuğun uzunluğu l ile aynı mertebede olmasına yetecek kadar olabilir. İnşaatta dikkate alınan eğilmiş çubuklarda bu durum ortaya çıkmaz; her zaman ϱ, l’den çok daha büyüktür ve buna göre sehim w << l olur (şek. 6). O hâlde yaklaşık olarak şunlar geçerlidir:
1/ ϱ = - d2w/dx2 = -w’’
ve (3) esas alınarak:
w’’ = - M/EI.
Bu denklem ve denge koşulu (1b) eğilmiş çubuğun diferansiyel denklemler sistemini oluşturur. Bunlar yok etme yoluyla dördüncü dereceden tek bir denkleme indirgenebilir:
wIV = + p/EI
veya, atalet momentinin değişken olması durumunda:
(EIw’’)’’ = +p.
Bunlardan, yükleme p=p(x) verildiğinde ve her bir çubuk durumu için iki sınır koşulu bilindiğinde integrasyon yoluyla elastik eğrinin şekli bulunabilir. Bunlardan en az ikisi deformasyona ilişkin olmalıdır. Ayrıntılar için bkz. Yapıların statiği.
Kesit çekirdeği
Eğer nötr eksen kesiti enine keserse, onu çekme bölgesi ve basınç bölgesi olarak ayırır. Çekme dayanımı düşük malzemelerde, enine kesitte hiçbir yerde çekme olmaması gerekiyorsa basınç kuvvetinin nereden etkimesi gerektiği sorunu ortaya çıkar. O zaman kuvvetin etki noktasının konumu kesit çekirdeği denilen alanla sınırlıdır. Çekirdeğin sınırı açıkça, nötr eksenleri enine kesite çevresi boyunca teğet olan noktaların geometrik yeridir. Bununla birlikte onun konstrüksiyonu da verilmiş olur.
Çekirdek sınırının ağırlık merkezine uzaklığını, herhangi bir doğrultuda ölçülmüş olarak, o doğrultuya karşılık gelen k indisiyle göstereceğiz. Asal atalet eksenleri için denkleme göre
σ = N/F + Mz/Iz y + My/Iy z (6)
ifadeler şunlardır:
ky = i2z / ey, kz = i2y / ez. (7)
Dairesel kesit yarıçapı r için çekirdek uzaklığı k = r/4’dir; dairesel halka için (yarıçaplar: dış R, iç r) k = (R2 + r2) / 4R’dir.
Dikdörtgen için (şek. 7) ky = 1/6 b, kz = 1/6 h. Dolayısıyla, dikdörtgen kesitin yüklenmesinde simetri düzlemlerinden birinde (ama yalnızca o durumda) bileşke kuvvetin kesit yüksekliğinin veya genişliğinin orta üçte birine etki etmesi yeterlidir; böylece kesitteki gerilmeler aynı işaretli olur.
Şek. 7
Plastik bölgede eğilme
Bükülmüş çubuğun kenar liflerinde akma sınırına ulaşıldığında, taşıma kapasitesi bununla henüz tükenmiş olmaz; çünkü dış lifler sabit gerilme altında plastik olarak şekil değiştirirken, akma sınırına henüz ulaşılmamış olan nötr eksene daha yakın kesimlerde gerilme artar, böylece kesitin alabileceği eğilme momenti de artar.
Gerilme ve deformasyon diyagramının kesin seyri biliniyorsa, çift simetrik kesitler (yükseklik h) için süreç, kesitlerin düz kaldığı varsayımı altında, gerilme ve deformasyon diyagramından, uç liflerin benimsenen bir ε__r uzamasına karşılık gelen eğilmeden doğan σ gerilme dağılımının belirlenmesi ve buradan entegrasyonla eğilme momentinin bulunması yoluyla kolayca hesaplanabilir. Bu, farklı ε__r değerleri için yapılır ve öte yandan uygun sehim eğrisi eğriliği w’’ = 2 ε__r / h hesaplanırsa, içinden eğilme momenti ile eğrilik arasındaki bağı veren bir çizginin geçirilebileceği bir dizi nokta elde edilir M = M(w’’); bu bağıntı artık doğrusal değildir ve bilindiğinde, grafiksel entegrasyonla verilen moment dağılımına karşılık gelen sehim eğrisi belirlenebilir. Kesit asimetrikse, her ε__r için nötr eksenin konumunun da ayrıca belirlenmesi gerektiğinden hesaplama daha karmaşık hale gelir.
Şek. 8
Kesitin simetrisinin yanı sıra şek. 8’deki gibi gerilmeler ile şekil değiştirmeler arasında sadeleştirilmiş bir ilişki de varsayılırsa, hesap belli ölçüde kolaylaşır. O zaman akma sınırı aşıldıktan sonra eğilme gerilmelerinin dağılımı şek. 9’de gösterildiği gibidir ve eğilme momenti şöyledir:
ve bu nedenle eğilme eğrisi, denklem (2) kesitin gerilmeleri elastik bölgede w’’ = σf / Ez’ olan kısmına uygulandığında elde edilir. Her kabul edilen z’ için kesit biçimi biliniyorsa integraller hesaplanabilir. Örneğin, genişliği b ve yüksekliği h olan en basit dikdörtgen kesit durumunda şöyledir
Burada z’ w’’ yardımıyla ifade edilirse, elde edilir
I-kesitlerde ve benzerlerinde, plastik bölgede M-w’’ eğrisinin seyri daha da yatıktır ve akmanın başladığı moment, pratikte kesitin genel olarak taşıyabileceği en büyük eğilme momentine eşittir. Bu nedenle inşaatta plastik eğilmenin önemi, kesitin taşıyabileceği eğilme momentini artırmasında değil, akma sınırında oluşan büyük yerel deformasyonun statik belirsiz sistemlerde kuvvet dağılımının elverişli biçimde değişmesine yol açabilmesindedir.
Şek. 9
Bu, iki açıklıklı sürekli bir kiriş örneğiyle açıklanabilir. Kirişin (şek. 10) eşit uzunlukta açıklıklara, sabit bir kesite sahip olduğunu ve düzgün yayılı yük ile yüklendiğini varsayalım. O zaman akma sınırına ulaşılmadan önce mesnet üzerindeki moment MB = _pl_2/8 olur. Eğer yük p, mesnet kesitindeki moment akmanın başladığı Mf değerine ulaşacak kadar artırılırsa, yük daha da artırıldığında o noktadaki eğrilik de momentte belirgin bir artış olmaksızın artar. Böylece sözde bir plastik mafsal oluşur; yani kiriş ek yük altında, orta mesnet üzerinde mafsal varmış gibi davranır. Yük, açıklıktaki en büyük momentin bulunduğu yerde de akma başlayıncaya kadar daha da artırılabilir. Eğilme momentinin daha fazla artırılması artık mümkün değildir ve kirişin taşıma gücü tükenmiştir. Bu durumun oluştuğu yüke sınır yük denir.
Şek. 10
Genel olarak, n kez statikçe belirsiz bir sistemde sistemin hareketli hale gelip böylece taşıma sınırına ulaşmasından önce (n+1) plastik mafsalın oluşması gerektiği beklenebilir. Ancak bu kuralın her iki yönde de istisnaları vardır. Verilen örneğin gösterdiği gibi, taşıma sınırında aynı anda iki yeni plastik mafsal (her iki açıklıkta) oluşabilir; böylece o ana kadar hareketsiz olan sistem bir anda iki serbestlik dereceli bir sisteme dönüşür. Öte yandan, (n+1)’den daha az plastik mafsalla da taşıma gücünün yerel olarak tükenmesi mümkündür; örneğin sürekli bir kirişte yalnızca bir açıklık yetersiz kaldığında. Şek. 11, n=2 plastik mafsala sahip statikçe iki kez belirsiz bir sistemde bunun nasıl olabileceğini göstermektedir. Kirişin sağ tarafına dördüncü bir açıklık da eklenirse, kiriş statikçe üç kez belirsiz olur; bu durumda yalnızca sol açıklığı taşıma sınırına getirmek için (n-1) plastik mafsal yeterlidir.
Şek. 11
Eğilmede kesme gerilmeleri
Temel hesap
Şek. 12
Normal gerilmeler σ, yani gerçekte eğilmeden dolayı ortaya çıkan gerilmeler, eğilmiş çubuktaki tek gerilmeler değildir; bunların yanında enine kuvvetin etkisiyle kayma gerilmeleri de ortaya çıkar. Kayma gerilmelerine bağlı şekil değişimleri göz ardı edildiğinden, eğilmenin teknik teorisinin temel özelliği bunların yalnızca denge koşullarından belirlenebilmesidir. Bunu kurmak için, kiriş elemanı dx, şekil 12’de gösterildiği gibi, yatay bir düzlemle iki parçaya ayrılır ve alt parçaya etki eden yatay kuvvetlerin denge koşulu yazılır. Sol tarafta bunlar, eğilmeden kaynaklanan σ gerilmeleriyle ifade edilen iç kuvvetlerdir; bunlar z’ = z ile z’ = h2 arasında integre edilmelidir
Sağ tarafta, ilgili eğilme momenti M + dM uyarınca diferansiyel kadar artırılmış aynı gerilmeler etki eder. Elemanın iki tarafındaki kuvvetler arasındaki fark, yatay kesit yüzeyi t dx üzerinde etkileyen kayma gerilmeleri τ’den kaynaklanan kuvvetle dengede olmalıdır:
Burada integral, yatay bir enine düzlemle ayrılmış kesit bölümünün, kesitin ağırlık merkez eksenine göre statik momentini temsil eder. Bu, S ile gösterilir. dM/dx = Q bağıntısından denge koşuluyla şu elde edilir:
τ = QS/It. (8)
Bu, kayma gerilmelerinin eşleniklik ilkesine göre aynı zamanda kesit yüzeyinde etkileyen ve S ile t ile birlikte z’nin fonksiyonu olan düşey kayma gerilmesinin büyüklüğüdür.
Şek. 13
Şek. 13.1
Denklem (8), kesit düzlemi nötr eksene paralel değil de duvar kalınlığı yönünde yerleştirilirse, ince cidarlı tüm kesitlerde güvenilir veriler sağlar. Buna göre I-profili, gövde üzerinden enine ve flanş üzerinden enine kesilir; böylece şek. 13.1’de gösterilen gerilme dağılımı elde edilir. Halka kesitte (şek. 13) kayma gerilmeleri düşey çap’a göre simetrik olarak dağılmıştır ve nötr çizgi üzerinde sağda ve solda maksimuma ulaşır
τ = Q / πrt.
Kesit en üst ya da en alt noktada kesilmişse, kesme gerilmelerinin dağılımı değişmez; ancak sağ uçtaki yatay çapın sonunda kesilmişse (şek. 14), o noktadaki kesme gerilmesi sıfıra eşittir, buna karşılık aynı çapın sol ucunda değeri iki katına çıkar.
Şek. 14
Tam kesitler
Herhangi bir biçimdeki dolu kesitlerde kayma gerilmeleri problemi, burulma problemiyle yakından bağlantılıdır. Bu durumda temel denklem (8) artık güvenilir değildir. Yarıçapı r olan dairesel kesit için denklem (8) verir
τ = 4Q / 3__πr2
nötr eksen boyunca kesme gerilmesinin ortalama değeri olarak; gerçek değer ise yalnızca birkaç yüzde daha büyüktür.
Kayma merkezi
Bir U-kesit için yukarıda açıklanan şekilde kesme gerilmeleri hesaplanırsa, Şek. 15’de gösterilen gerilme dağılımı elde edilir. Karşılık gelen iç kuvvetlerin bileşkesi enine kuvvet Q’dur. Şekilden bunun kesite göre konumu görülebilir; yani ne kesit ağırlık merkezinden geçer ne de gövde düzleminde yer alır. Dış kuvvetlere göre hesaplanan enine kuvvetin Şek. 15’de gösterilen konumu yoksa, kiriş yalnızca eğilme değil, burulma da yükü altındadır.
Aynı kesit için belirli bir yatay yüklemeye karşılık gelen bileşke, kayma gerilmelerine bağlı olarak belirlenirse, yatay enine kuvvetin etki doğrusu elde edilir. Bu iki etki doğrusunun kesişiminde, verilen kesit için kayma merkezi M olarak adlandırılan karakteristik nokta bulunur. Bir taşıyıcıda, tüm kesitlerin kayma merkezleri tek bir doğru üzerinde yer aldığında ve çubuğun eksenine dik tüm yükler bu doğru üzerinden geçtiğinde, burulmadan kaynaklanan gerilmeler oluşmaz. Aksi halde her yükün, kayma merkezlerini birleştiren doğruya göre momenti burulma kayması oluşturur.
Şek. 15
Enine kuvvetin eğilmeye etkisi
Mühendislik eğilme teorisi, kayma gerilmelerinden kaynaklanan şekil değiştirmelerin ihmal edilmesine dayanır. Buna göre, bu teori gerçekten yalnızca ince çubuklara uygulanabilir; burada bu ihmal haklıdır ve enine kuvvetin eğilme üzerinde belirgin bir etkisi yoktur.
Bununla birlikte deneyim, teknik eğilme teorisinin aslında hiç amaçlanmadığı kısa, yüksek taşıyıcılara da belli bir başarıyla uygulanabildiğini göstermiştir. Bu durumda, bu teoride ihmal edilen kayma gerilmeleri nedeniyle oluşan deformasyon etkisinin, en azından yaklaşık olarak, sonradan dikkate alınması gereği ortaya çıkar.
Kesme kuvvetlerinden kaynaklanan kesme gerilmeleri τ ve bunlara karşılık gelen kaymalar γ_’ =_ τ_/G_ de kesitte eşit olmayan biçimde dağılmıştır. Bu nedenle, bunların ortalama değeri γ tanıtılır; bu değer, enine kuvvetin bu ortalama deformasyon değeri altında dx kiriş elemanı üzerinde, söz konusu kiriş elemanını oluşturan tek tek hacim elemanlarındaki kesme gerilmelerinin işlerinin integrallenmesiyle elde edilecek işe eşit deformasyon işi yapacak şekilde belirlenir:
buradan
İntegral, kesit boyunca kesme gerilmelerinin dağılımı bilindiğinde hesaplanabilir. Tüm kesme gerilmeleri Q/F ile orantılı olduğundan, bunun değeri Q2/F2 * F ile orantılıdır; dolayısıyla bunun κ__Q2/F olduğu kabul edilirse, elde edilir
γ = κ__Q / GF.
κ sabitine kayma gerilmelerinin dağılım katsayısı denir. Dikdörtgen kesitler için κ=1,2.
Şek. 16
κ katsayısı ve dolayısıyla ortalama kayma γ bilindiğinde, enine kuvvetlerin etkisiyle oluşan ve w sehimlerine eklenmesi gereken ilave sehim wQ hesaplanabilir; çünkü şekil 16’ye göre bu şöyledir:
çünkü Q = dM/dx:
bu sırada integrasyon sabiti bir sınır koşulundan elde edilir.