سادي موڙجڻ ۽ عام قوت سان موڙجڻ

سڌن ڍالن ۽ ٿوري وڪڙ وارن ڍالن ۾ نارمل دٻاءُ

ڪٽائي قوتن جي تعريف

فرض ڪريو ته سڌي راڊ تي اهڙين قوتن جو لوڊ آهي، جن جو رخ صوابديدي آهي، ۽ صرف اهو فرض ڪيو وڃي ٿو ته اهي سڀ هڪ ئي سطح (قوتن جي سطح) ۾ آهن، جيڪا راڊ جي محور مان گذري ٿي (اهو خط جيڪو سيڪشنن جي مرڪزن کي ڳنڍي ٿو).

سل.1

ڪنهن ڪراس سيڪشن n – n (شڪل 1) ۾ ڪم ڪندڙ دٻائن کي حساب ڪرڻ لاءِ اهو ڄاڻڻ ضروري آهي ته انهيءَ سيڪشن ذريعي ڇڙ جي هڪ حصي کان ٻئي حصي ڏانهن ڪهڙي قوت منتقل ٿئي ٿي. اها ظاهر آهي ته مقدار ۽ مقام جي لحاظ کان انهن سڀني قوتن جي نتيجي برابر هوندي آهي، جيڪي ڇڙ جي هڪ حصي تي اثر انداز ٿين ٿيون. هن نتيجي قوت کي هڪ اهڙي ڪوآرڊينيٽ سسٽم ۾ جزن ۾ ورهايو ويندو آهي، جنهن جي x-محور ڇڙ جي محور سان ۽ z-محور انهيءَ لڪير سان ملي ٿي، جنهن سان ڪراس سيڪشن جو مٿاڇرو قوتن جي ميدان کي ڪٽي ٿو. z محور جي رخ واري جز کي عبوري قوت Q يا Qz چيو ويندو آهي، ۽ سادي بيم لاءِ ان کي مثبت ان وقت سمجهيو ويندو آهي جڏهن سيڪشن جي کاٻي پاسي مٿانهون رخ هجي ۽ ساڄي پاسي هيٺانهون.

جڏهن ڇَڙو وڪريل هجي، تڏهن هم آهنگ محور x ۽ z هر هڪ سيڪشن ۾ ٻي رخ رکن ٿا، ۽ هميشه ائين ته x-محور ڇڙي جي محور کي ٽانجنٽ هوندو آهي. جيڪڏهن اهو جهاز، جنهن ۾ ڇڙي جو محور واقع آهي، قوتن جي جهاز سان نه ملي، يا جيڪڏهن ڇڙي جو محور خلائي وڪرو هجي، ته سيڪشن جي کاٻي پاسي قوتن جي نتيجي ۾ ٽين جزو، يعني عرضي قوت Qy به شامل ٿيندي آهي. N, Qz ۽ Qy سان سيڪشن مان منتقل ٿيندڙ قوت جي ماپ ۽ رخ ته طئي ٿين ٿا، پر ان جي جاءِ نه. ان لاءِ ضروري آهي ته ان جا لمحات به هم آهنگ محورَن جي نسبت ڄاتل هجن. سڌي وڪڙ جي حالت ۾ وڪڙ جو لمحو M يا My ڄاڻڻ ڪافي آهي. سڀ کان عام حالت ۾ هڪ وڌيڪ وڪڙ جو لمحو Mz ۽ x-محور بابت لمحو Mx ظاهر ٿئي ٿو.

گذريل بيان ۾ بيان ڪيل ڇهه قوتون ۽ مومينٽ گڏيل نالي „ڪراس سيڪشن قوتون“ سان سڏجن ٿا. انهن جو تعين عمارتن جي جوڙجڪن جي اسٽيٽڪس جي بنيادي ڪمن مان هڪ آهي.

مسلسل ورهايل لوڊ p (جسم: في يونٽ ڊيگهه تي قوت)، ٽرانسورسل قوت Q ۽ موڙڻ وارو مومنٽ M جي وچ ۾ سڌي موڙڻ جي حالت ۾ هڪ سادو لاڳاپو هوندو آهي. يعني، هڪ راڊ عنصر جي توازن جي شرط مان (شڪل 2) حاصل ٿئي ٿو

dQ + p dx = 0,

dM = Q dx;

تنهن ڪري

Q = dM/dx, 

p = - dQ/dx = - d2M/dx2.        (1a, b)

سل.2

تناؤن جي نارمل ورڇ

Ako je štap opterećen samo aksijalnom silom, u preseku se pojavljuje samo ravnomerno raspoređeni normalni napon σ (zategnuti, odnosno pritisnuti štap). Ako se uz to pojavljuje moment savijanja, ovi naponi moraju na neki način biti neravnomerno raspoređeni, tako da njihova rezultanta više ne prolazi kroz težište preseka. Da bi se odredio ovaj raspored, tehnička teorija savijanja ne polazi od strogog rešenja osnovnih jednačina, nego zamenjuje jedan deo ovih jednačina plauzibilnom pretpostavkom koja je u jednom naročito jednostavnom slučaju ujedno i strogo ispunjena. Ovaj specijalni slučaj je savijanje pravog prizmatičnog štapa bez delovanja transverzalnih sila (sl. 3). Svi elementi štapa koji su dovoljno udaljeni od njegovih krajeva trpe istu deformaciju, odakle neposredno sledi da osovina štapa prelazi u kružni luk i da sve ravni poprečnih preseka koje su prvobitno bile upravne na osovinu štapa prilikom deformacije ostaju ravne, jer je svaka od njih ravan simetrije za susedne delove deformisanog štapa. Prirodno se nameće pretpostavka da poprečni preseci ostaju približno ravni i kada moment savijanja i poprečni presek štapa nisu konstantni, već se duž štapa postepeno menjaju. Ova pretpostavka koja se naziva Navier-ova hipoteza leži u osnovi teorije savijanja.

سل.3

نارمل دٻاءَ جي مقدار

جڏهن شعاع جو سڌو عنصر موڙيو وڃي ٿو، ته ان جي “فائبرن” مان هڪ حصو، يعني ڇڙي جي محور جي متوازي مادي لائينون، ڊگهيون ٿين ٿيون، جڏهن ته ٻيو حصو ننڍو ٿئي ٿو (شڪل 4). انهن ٻن حصن جي وچ ۾ غيرجانبدار فائبر z=0 واقع هوندا آهن، جن جي ڊيگهه موڙڻ وقت تبديل نه ٿيندي آهي. فرض ڪريو ته انهن فائبرن جو وڪريل حالت ۾ وڪر جو ريڊيس ϱ آهي ۽ اهو x-z جهاز ۾ واقع آهي. شڪل 4 m مان پڙهي سگهجي ٿو

Δ dx/z = _dx/_ϱ

۽ اتان کان neutral محور کان فاصلي z تي فائبرن جي ڊگھائي واڌ جو حساب ڪيو وڃي ٿو، جيڪا هيٺئين برابر آهي

ε = Δ dx/dx = _z/_ϱ

ته Hooke-ovog قانون جي بنياد تي دٻاءُ

σ _= Ez/_ϱ   (2)

سل.4

هي دٻاءُ غير مرڪزي رڳن کان فاصلي جي تناسب ۾ آهي. اهڙو نتيجو هن مفروضي سان لاڳاپيل آهي ته بگاڙ کان اڳ بار جي عنصر جا سڀئي رڳ برابر ڊگهه وارا هئا، تنهنڪري بار شروعات ۾ سڌو هو، يا گهٽ ۾ گهٽ ايتري ننڍڙي وڪڙ سان هو جو وڪڙ جو اثر نظرانداز ڪري سگهجي. اها سڌي ليڪ جنهن تي غير جانبدار تہه ۽ سيڪشن جي سطح هڪ ٻئي کي ڪٽين ٿيون، غير جانبدار محور سڏبي آهي. اسان ان کي y-محور طور اختيار ڪريون ٿا (شڪل 5). ڪراس-سيڪشن ۾ غير جانبدار محور جي جاءِ x-محور جي رخ ۾ قوتن جي توازن جي شرط مان حاصل ٿئي ٿي: جيڪڏهن نارمل قوت N=0 هجي (نارمل قوت کان سواءِ موڙڻ)، ته پوءِ سيڪشن ۾ نارمل دٻائن وسيلي ظاهر ڪيل اندروني قوتن جو نتيجو به صفر هجڻ گهرجي:

ساڄي پاسي وارو انٽيگرل y-محور جي حوالي سان ايراضيءَ جو اسٽيٽڪ مومنٽ آهي. جيئن ته اهو صفر جي برابر هجڻ گهرجي، هي محور مرڪزي محورن مان هڪ هجڻ لازمي آهي.

مومينٽ M، جيڪو بگاڙ پيدا ڪري ٿو، ڪراس-سيڪشن جي سطح ۾ y ۽ z محورّن جي لحاظ کان هي جزا رکي ٿو (شڪل 5):

مسا. (3)

جن ۾ Iy, Iyz اوائلي ۽ مرڪزي جَڙت جا لمحات آهن، سي نشان لڳايل محورَن جي لحاظ سان ڪراس سيڪشن جا آهن.

سڀ کان اهم خاص حالت اها آهي جڏهن Mz=0. هي حالت تڏهن پيدا ٿئي ٿي جڏهن Iyz=0 هجي، يعني جڏهن y ۽ z سيڪشن جون بنيادي جڙت محور هجن. ان جو مطلب آهي ته هتي اختيار ڪيل موڙڻ واري جهاز x-z-جهاز سان ملي ٿو، انهيءَ جهاز سان جنهن ۾ موڙڻ وارو مومنٽ M=My ڪم ڪري ٿو، يعني قوتن واري جهاز سان.

سل.5

جيڪڏهن مساواتن (2) ۽ (3) مان _E/_ϱ ختم ڪيو وڃي، ته برابر موڙڻ وقت تناءُ طئي ڪرڻ لاءِ نمونو ملي ٿو (Iy=I):

σ = M/I * z   (4)

1 ۽ 2 واري ڪناري جي نقطن لاءِ خاص طور تي هي آهي:

σ1 = M/I * h1 = M/W1, σ2 = - M/I * h2 = - M/W2.   (5)

مقدار W1,2 = I/h1,2 (ماپ: ڊيگهه جو طاق) کي مزاحمتي مومنٽ چيو ويندو آهي. جيڪڏهن افقي مرڪزي محور ساڳئي وقت ڪراس سيڪشن جي هم آهنگي جو محور هجي، ته W1 = W2, تنهنڪري ڪنارن وارا دٻاءُ مطلق قدر ۾ برابر هوندا آهن.

لچڪدار لڪير

تصوير. 6

مٿي بيان ڪيل صورتن جي اهميت هوڪ جي قانون سان لاڳاپيل آهي. ان لاءِ ضروري آهي ته σ << E هجي، يعني (2) موجب h << ϱ. بهرحال موڙ ايترو ٿي سگهي ٿو جو ϱ جو ماپ l جيترو ئي هجي. تعميراتي ڪم ۾ جن مڙيل راڊن کي ڌيان ۾ رکيو ويندو آهي، اُنهن ۾ اهو حال پيدا نٿو ٿئي؛ هميشه ϱ، l کان گهڻو وڏو هوندو آهي ۽ تنهن ڪري جهڪاءُ w << l (شڪل 6). تڏهن لڳ ڀڳ هي لاڳو ٿئي ٿو:

1/ ϱ = - d2w/dx2 = -w’’

۽ (3 ) جي بنياد تي:

w’’ = - M/EI.

هي مساوات ۽ توازن جي شرط (1b) موڙيل ڏنڊ جي تفاضلي مساواتن جو هڪ نظام ٺهن ٿا. انهن کي حذف ڪرڻ سان هڪ چوٿين درجي واري مساوات ۾ آڻي سگهجي ٿو:

wIV = + p/EI

يا، ان صورت ۾ جڏهن inertia جو moment بدلجندڙ هجي:

(EIw’’)’’ = +p.

انهن مان انٽيگريشن ذريعي لچڪدار لڪير جي شڪل ڳولي سگهجي ٿي جڏهن لوڊ p=p(x) ڏنل هجي ۽ ڇڙ جي هر ڪيس لاءِ ٻه حدّي شرط معلوم هجن. انهن مان گهٽ ۾ گهٽ ٻه ڊيفارميشن سان لاڳاپيل هجڻ گهرجن. وڌيڪ تفصيل لاءِ ڏسو مقالو عمارت ساز جوڙجڪن جي اسٽيٽڪس.

ڪراس-سيڪشن جو مرڪز

جيڪڏهن نيوٽرل محور عرضي سيڪشن کي ڪٽي ٿو، ته اهو ان کي ڇڪتاڻ واري زون ۽ دٻاءُ واري زون ۾ ورهائي ٿو. گهٽ ڇڪتاڻ واري مضبوطي وارن مواد لاءِ اهو سوال اڀري ٿو ته دٻاءُ واري قوت ڪٿي لاڳو ٿيڻ گهرجي، جيڪڏهن عرضي سيڪشن ۾ ڪٿي به ڇڪتاڻ نه ٿيڻ گهرجي. ان صورت ۾ قوت جي حمله واري نقطي جي جاءِ ان علائقي تائين محدود ٿي وڃي ٿي، جنهن کي سيڪشن جو مرڪز سڏيو وڃي ٿو. مرڪز جي حد واضح طور تي انهن نقطن جو هندسي مڪان آهي، جن جون نيوٽرل اوسيون عرضي سيڪشن کي ڪنڊن سان ڇهن ٿيون. ان سان گڏوگڏ ان جي تعمير به ڏني وئي آهي.

مرڪزِ ثقل کان ڪور جي حد تائين فاصلو، جيڪو ڪنهن به رخ ۾ ماپيو وڃي، ان کي ان رخ سان لاڳاپيل k اشارو سان ظاهر ڪنداسين. بنيادي جڙت محورَن لاءِ مساوات موجب

σ = N/F + Mz/Iz y + My/Iy z  (6)

اصطلاح هيٺيان آهن:

ky = i2z / ey,      kz = i2y / ez.   (7)

گول ڪراس سيڪشن جنهن جو ريڊيس r هجي، ان لاءِ ڪور جو فاصلو k = r/4 آهي، ۽ گول انگوٽي لاءِ (ريڊيس: ٻاهرين R، اندروني r) k = (R2 + r2) / 4R.

مستطيل لاءِ (شڪل 7) ky = 1/6 b, kz = 1/6 h. تنهن ڪري، مستطيل ڪراس سيڪشن تي ڪنهن هڪ هم-محوري سطح ۾ لوڊ وجهڻ وقت (پر صرف تڏهن) ايترو ڪافي آهي ته نتيجي جو اثر ڪراس سيڪشن جي اوچائي يا ويڪر جي وچئين ٽئين حصي ۾ پوي، ته جيئن سيڪشن اندر دٻاءُ هڪ ئي نشان جا رهن.

سل.7

پلاسٽڪ علائقي ۾ موڙڻ

جڏهن موڙيل ڏنڊي جي ڪناري وارن فائبرن ۾ تسليم ٿيڻ جي حد پهچي وڃي ٿي، تڏهن به ان جي بار کڻڻ جي صلاحيت ختم نه ٿيندي آهي، ڇاڪاڻ⁠تہ جڏهن ٻاهرين فائبر مستقل دٻاءَ هيٺ پلاسٽڪ طور بگڙن ٿا، ته غيرجانبدار محور جي ويجهو انهن حصن ۾، جتي تسليم ٿيڻ جي حد اڃا نه پهتي آهي، دٻاءُ وڌي ٿو، ۽ ان سان گڏ سيڪشن طرفان برداشت ٿي سگهندڙ موڙيندڙ لمحو به وڌي ٿو.

جيڪڏهن دٻاءُ ۽ بگاڙ جي آريگرام جي صحيح وهڪري معلوم هجي، ته ٻٽي هم-محوري حصن (اوچائي h) لاءِ عمل کي حسابي طور آسانيءَ سان هن طريقي سان پٺيان لڳائي سگهجي ٿو ته، حصن جي سڌو رهڻ جي فرض هيٺ، دٻاءُ ۽ بگاڙ جي آريگرام مان موڙڻ سبب پيدا ٿيندڙ دٻاءُ σ جي ورڇ طئي ڪئي وڃي، جيڪا ڪنارن جي فرض ڪيل ڊگھائي وڌاءُ ε__r سان مطابقت رکي ٿي، ۽ اتان انٽيگريشن ذريعي موڙڻ وارو لمحو طئي ڪيو وڃي. جيڪڏهن اهو مختلف ε__r لاءِ ڪيو وڃي ۽ ٻئي طرف لاڳاپيل جهڪاءَ واري ليڪ جي وڪڙ w’’ = 2 ε__r / h حساب ڪيو وڃي، ته اهڙن نقطن جو سلسلو ملي ٿو جن مان هڪ ليڪ ڪڍي سگهجي ٿي جيڪا موڙڻ واري لمحي ۽ وڪڙ جي وچ ۾ لاڳاپو ڏئي ٿي M = M(w’’); هي لاڳاپو هاڻي لڪيرِي نه رهيو آهي، ۽ جڏهن اهو معلوم هجي ته گرافڪ انٽيگريشن ذريعي اهڙي جهڪاءَ واري ليڪ طئي ڪري سگهجي ٿي جيڪا ڏنل لمحن جي ورڇ سان مطابقت رکي. جيڪڏهن حصو غيرهم-محوري هجي، ته حساب وڌيڪ پيچيده ٿي وڃي ٿو، ڇو ته هر ε__r لاءِ نيوٽرل محور جي جڳهه به طئي ڪرڻي پوي ٿي.

سل. 8

حساب ڪجهه حد تائين سولو ٿي وڃي ٿو جيڪڏهن ڪراس سيڪشن جي هم آهنگي سان گڏ دٻائن ۽ ڊگھائي تبديلين جي وچ ۾ سادي لاڳاپي کي به شڪل 8 موجب فرض ڪيو وڃي. تڏهن وهڪري جي حد پار ٿيڻ کان پوءِ موڙجڻ سبب دٻائن جي ورڇ شڪل 9 ۾ ڏيکاريل هوندي آهي ۽ موڙجڻ جو مومينٽ هي آهي:

۽ ان ڪري لڙهڻ واري لڪير جي وڪڙ تڏهن حاصل ٿئي ٿي جڏهن مساوات (2) سيڪشن جي انهي حصي تي لاڳو ڪئي وڃي جنهن جا دٻاءَ لچڪدار علائقي ۾ w’’ = σf / Ez’ هجن. جيڪڏهن هر اختيار ڪيل z’ لاءِ سيڪشن جي شڪل معلوم هجي ته انٽيگرل ڳڻپ ڪري سگهجن ٿا. مثال طور، مستطيل ڪراس-سيڪشن جي سڀ کان سادي صورت، جنهن جي ويڪر b ۽ اوچائي h هجي، لاءِ هي آهي

جيڪڏهن هتي z’ کي w’’ جي مدد سان ظاهر ڪيو وڃي، ته ملي ٿو

I-سيڪشن ۽ انهن جهڙن ۾، پلاسٽڪ علائقي ۾ M-w’’ وکر جي رفتار اڃا به وڌيڪ هموار هوندي آهي، ۽ جنهن مومنٽ تي وهڻ شروع ٿئي ٿو، اهو عملي طور تي ان وڌ ۾ وڌ موڙڻ واري مومنٽ جي برابر هوندو آهي، جيڪو سيڪشن ڪڏهن به برداشت ڪري سگهي ٿو. انهيءَ ڪري، تعمير ۾ پلاسٽڪ موڙڻ جي اهميت ان ڳالهه ۾ نه آهي ته سيڪشن جي کڻڻ واري موڙڻ واري مومنٽ وڌي وڃي، بلڪه ان ۾ آهي ته وهڻ جي حد تي پيدا ٿيندڙ وڏي مقامي وڪر سبب بيٺڪيت کان اڻڄاتل نظامن ۾ قوتن جي ورڇ ۾ فائديمند تبديلي اچي سگهي ٿي.

سل.9

هي ڳالهه ٻن اسپينن وارن لڳاتار بيم جي مثال سان سمجهي سگهجي ٿي. فرض ڪريو ته بيم (شڪل 10) جا اسپين برابر ڊگھائي جا آهن، ڪراس-سيڪشن مستقل آهي ۽ اهو يڪسان ورهايل لوڊ سان لوڊ ٿيل آهي. تڏهن ييلڊ جي حد تي پهچڻ کان اڳ سُهاري تي مومينٽ MB = _pl_2/8 هوندو آهي. جيڪڏهن لوڊ p ايترو وڌايو وڃي جو سُهاري واري سيڪشن ۾ مومينٽ Mf جي انهيءَ قيمت تي پهچي وڃي جنهن تي ييلڊنگ شروع ٿئي ٿي، ته پوءِ لوڊ وڌيڪ وڌائڻ سان انهيءَ جاءِ تي وڪڙ وڌندو، پر مومينٽ ۾ نمايان واڌ نه ٿيندي. ائين سڏيل پلاسٽڪ جوڙ ٺهي ٿو، يعني اضافي لوڊ هيٺ بيم ائين عمل ڪري ٿو ڄڻ وچئين سُهاري مٿان جوڙ هجي. لوڊ وڌيڪ وڌائي سگهجي ٿو جيستائين اسپين ۾ وڌ ۾ وڌ مومينٽ واري هنڌ تي به ييلڊنگ شروع نه ٿئي. هاڻي موڙيندڙ مومينٽ کي وڌيڪ وڌائڻ ممڪن نه رهندو آهي ۽ بيم جي کڻڻ جي صلاحيت ختم ٿي وڃي ٿي. جنهن لوڊ تي اها حالت پيدا ٿئي ٿي، ان کي حدّي لوڊ چيو ويندو آهي.

تصوير. 10

عام طور تي اهو اميد ڪري سگهجي ٿو ته n ڀيرا جامد طور اڻمقرر نظام ۾، نظام جي هلندڙ ٿيڻ ۽ انهيءَ سان پنهنجي برداشت جي حد تائين پهچڻ کان اڳ (n+1) پلاسٽڪ ڳنڍڻا ضرور پيدا ٿيندا. بهرحال، هن قاعدي جون ٻنهي پاسن کان استثنائون موجود آهن. جيئن ڏنل مثال ڏيکاري ٿو، برداشت جي حد تي هڪ ئي وقت ٻه نوان پلاسٽڪ ڳنڍڻا پيدا ٿي سگهن ٿا (ٻنهي اسپنن ۾)، اهڙيءَ طرح اڃا تائين غيرهلندڙ نظام اوچتو ٻن آزاديءَ جي درجن واري نظام ۾ بدلجي وڃي ٿو. ٻئي پاسي، (n+1) کان گهٽ پلاسٽڪ ڳنڍڻن سان به برداشت مقامي طور ختم ٿي سگهي ٿي، مثال طور جڏهن مسلسل بيم ۾ صرف هڪ اسپن ناڪام ٿئي. شڪل 11 ڏيکاري ٿي ته اهو n=2 پلاسٽڪ ڳنڍڻن واري هڪ جامد طور ٻه ڀيرا اڻمقرر نظام ۾ ڪيئن ٿي سگهي ٿو. جيڪڏهن بيم جي ساڄي پاسي هڪ چوٿون اسپن به وڌايو وڃي، ته بيم ٽي ڀيرا جامد طور اڻمقرر ٿي وڃي ٿو، ۽ فقط کاٻي اسپن کي برداشت جي حد تائين آڻڻ لاءِ (n-1) پلاسٽڪ ڳنڍڻا ڪافي آهن.

سل.11

موڙ دوران ڪٽڻ وارا تناؤ

ابتدائي حساب

تصوير. 12

عام دٻاءَ σ، يعني اهي دٻاءَ جيڪي حقيقت ۾ موڙجڻ سبب ظاهر ٿين ٿا، موڙيل ڏنڊ ۾ اڪيلا دٻاءَ نه آهن؛ انهن سان گڏ ترسيل قوت جي اثر سبب ڇڪڻ وارا دٻاءَ به ظاهر ٿين ٿا. جيئن ته موڙڻ جي فني نظريي جي بنيادي خصوصيت اها آهي ته ڇڪڻ وارن دٻائن سبب ٿيندڙ بگاڙ کي نظرانداز ڪيو وڃي ٿو، تنهنڪري انهن کي رڳو توازن جي شرط مان طئي ڪري سگهجي ٿو. اهو شرط قائم ڪرڻ لاءِ، بيم جو عنصر dx، جيئن شڪل 12 ۾ ڏيکاريل آهي، افقي سطح سان ٻن حصن ۾ ڪٽيو ويندو آهي، ۽ پوءِ هيٺئين حصي تي اثرانداز ٿيندڙ افقي قوتن لاءِ توازن جي شرط رکي ويندي آهي. کاٻي پاسي اهي اندروني قوتون آهن جيڪي موڙجڻ سبب پيدا ٿيندڙ دٻائن σ سان ظاهر ٿين ٿيون، جن کي z’ = z کان z’ = h2 تائين انٽيگرل ڪرڻو آهي

ساڄي پاسي ساڳيا تناؤ ڪم ڪن ٿا، پر لاڳاپيل موڙيندڙ لمحي M + dM موجب هڪ تفاوت جيترو وڌايل. عنصر جي ٻنهي پاسن تي قوتن جو فرق افقي ڪٽ واري مٿاڇري t dx ۾ ڪم ڪندڙ ڪٽڻ وارن تناؤ τ سبب پيدا ٿيندڙ قوت سان توازن ۾ هجڻ گهرجي:

هتي انٽيگرل هڪ افقي ڪراس سيڪشنل سطح سان الڳ ڪيل حصي جو جامد مومينٽ ظاهر ڪري ٿو، جيڪو سيڪشن جي مرڪزي محور جي نسبت هوندو آهي. ان کي S سان ظاهر ڪيو ويندو آهي. dM/dx = Q سان توازن جي شرط مان هي نتيجو ملي ٿو:

τ = QS/It.  (8)

هي ڪترڻ وارن دٻائن جي همجنسيت بابت اصول موجب ساڳئي وقت عمودي ڪترڻ واري دٻاءُ جي قيمت آهي، جيڪو صليب واري ڪٽ جي مٿاڇري ۾ عمل ڪري ٿو ۽ جيڪو S ۽ t سان گڏ z جو فنڪشن آهي.

سل.13

شڪل 13.1

مساوات (8) سڀني پتلي ڀتين وارن سيڪشنن لاءِ قابل اعتماد ڊيٽا ڏئي ٿي، جيڪڏهن سيڪشن جي ريت کي neutral axis جي متوازي نه، پر ڀت جي ٿولهه جي رخ ۾ رکيو وڃي. تنهن ڪري I-پروفائل کي ويب جي پار ۽ فلينج جي پار ڪٽيو وڃي ٿو، جنهن سان شڪل 13.1 ۾ ڏيکاريل دٻاءَ جي ورڇ ملي ٿي. انگوزي نما سيڪشن (شڪل 13) ۾ shear stresses عمودي قطر جي حوالي سان هموار ترتيب سان ورهايل هوندا آهن ۽ کاٻي ۽ ساڄي پاسي neutral line تي وڌ ۾ وڌ قدر تائين پهچن ٿا

τ = Q / πrt.

جيڪڏهن سيڪشن کي سڀ کان مٿي يا سڀ کان هيٺان هنڌ تي ڪٽيو وڃي، ته ڪترائي دٻائن جي ورڇ نه بدلبي؛ پر جيڪڏهن ان کي افقي قطر جي ساڄي ڇيڙي تي ڪٽيو وڃي (sl. 14), ته ان هنڌ تي ڪترائي دٻاءُ صفر برابر هوندو، جڏهن ته ساڳئي قطر جي کاٻي ڇيڙي تي ان جي قيمت ٻيڻِي ٿي ويندي.

شڪل 14

مڪمل سيڪشن

پوريون ڪراس سيڪشنون، ڪنهن به شڪل جون هجن، انهن ۾ ڪِرندڙ دٻاءَ جو مسئلو ٽورشن جي مسئلي سان ويجهڙائيءَ سان لاڳاپيل آهي. اهڙي حالت ۾ بنيادي مساوات (8) وڌيڪ قابلِ اعتماد نه رهي ٿي. r نيم وارن گول ڪراس سيڪشن لاءِ مساوات (8) ڏئي ٿي

τ = 4Q / 3__πr2

مرڪزي محور سان گڏ ڪٽڻ واري تناؤ جي وچولي قدر طور، ۽ صحيح قدر صرف ڪجهه سيڪڙو وڌيڪ هوندي آهي.

ڪٽائيءَ جو مرڪز

جيڪڏهن U-سيڪشن لاءِ مٿي بيان ڪيل طريقي سان ڪٽندڙ دٻاءُ ڳڻيا وڃن، ته دٻاءُ جي اها ورڇ حاصل ٿئي ٿي جيڪا sl. 15 ۾ ڏيکاريل آهي. لاڳاپيل اندروني قوتن جو نتيجو عرضي قوت Q آهي. شڪل مان ان جو سيڪشن جي نسبت سان مقام ڏسي سگهجي ٿو، يعني اهو نه سيڪشن جي مرڪزِ ثقل مان گذري ٿو، نه ئي ريب جي سطح ۾ واقع آهي. جيڪڏهن ٻاهرين قوتن جي بنياد تي ڳڻيل عرضي قوت جو مقام sl. 15 ۾ ڏيکاريل مقام جهڙو نه هجي، ته بيم تي رڳو موڙ جو لوڊ نه هوندو، پر ٽورشن جو به.

جيڪڏهن ساڳئي عرضي حصي لاءِ ڪنهن افقي لوڊ جي ڪري ڪٽائشي دٻائن سان لاڳاپيل نتيجائي قوت طئي ڪئي وڃي، ته افقي ترسيري قوت جي عمل واري لڪير حاصل ٿئي ٿي. انهن ٻنهي عمل وارين لڪن جي ڇيد ۾ انهيءَ ڏنل عرضي حصي لاءِ هڪ خصوصي نقطو هوندو آهي، جنهن کي ڪٽڻ جو مرڪز M. چيو وڃي ٿو. حمال ۾ ٽورشن سبب دٻاءُ تڏهن پيدا نٿو ٿئي جڏهن سڀني عرضي حصن جا ڪٽڻ مرڪز هڪ ئي سڌي لڪير تي هجن، ۽ سمورا بار، جيڪي ڇڙ جي محور سان عمودي هجن، انهيءَ لڪير مان گذرن. ٻي حالت ۾، هر بار جو ان لڪير جي حوالي سان مومنٽ، جيڪا ڪٽڻ مرڪزن کي ڳنڍي ٿي، ٽورشنل ڪٽڻ کي ظاهر ڪري ٿو.

سل.15

پار-قوت جو موڙڻ تي اثر

موڙڻ جي فني نظريي جو بنياد ڪَٽڻ واري دٻاءَ سبب ٿيندڙ تبديلين کي نظرانداز ڪرڻ تي آهي. تنهنڪري ان کي حقيقت ۾ سنهڙن ڇڙن تي لاڳو ڪري سگهجي ٿو، جتي هي نظراندازي مناسب آهي ۽ جتي عبوري قوت جو موڙڻ تي ڪو نمايان اثر نٿو پوي.

تجربي مان البته ظاهر ٿيو آهي ته فني وڪڙجڻ واري نظريي کي ڪجهه ڪاميابيءَ سان ننڍن، اوچن حمالن تي به لاڳو ڪري سگهجي ٿو، جن لاءِ اهو اصل ۾ بلڪل به ترتيب ڏنل ناهي. تڏهن ضرورت پيدا ٿئي ٿي ته ڪٽائشي دٻائن سبب ٿيندڙ بگاڙ جو اثر، جيڪو هن نظريي ۾ نظرانداز ڪيو ويو آهي، گهٽ ۾ گهٽ لڳ ڀڳ، پوءِ حساب ۾ آندو وڃي.

ساڳيءَ طرح، ترسيري قوتن سبب پيدا ٿيندڙ ڪٽائشي دٻاءُ τ ۽ لاڳاپيل سرڪڻيون γ_’ =_ τ_/G_ به حصي تي غير يڪسان ورهايل هونديون آهن. تنهنڪري انهن جي سراسري قيمت γ متعارف ڪرائي وڃي ٿي، جيڪا اهڙيءَ طرح مقرر ڪئي وڃي ٿي جو هن سراسري بگاڙ تي ترسيري قوت شعاع جي عنصر dx تي ايترو بگاڙ ڪم ڪري، جيترو اوترو ڪم انهن ڪٽائشي دٻائن جي ڪم کي جدا جدا حجمي عنصرن تي گڏ ڪري حاصل ٿئي، جيڪي ڏٺل شعاعي عنصر کي جوڙين ٿا:

جتان

انٽيگرل حساب ڪري سگهجي ٿو جڏهن ڪراس سيڪشن تي ڪٽڻ وارن دٻائن جي ورڇ معلوم هجي. جيئن ته سڀئي ڪٽڻ وارا دٻاءَ Q/F سان متناسب آهن، تنهنڪري ان جي قيمت Q2/F2 * F سان متناسب ٿيندي، ۽ جڏهن ان کي κ__Q2/F رکون ٿا، تڏهن حاصل ٿئي ٿو

γ = κ__Q / GF.

مستقل κ کي ڪٽڻ وارن دٻاءَ جي ورڇ جو ڪوئفينٽ سڏيو وڃي ٿو. مستطيل ڪراس-سيڪشن لاءِ κ=1,2 آهي.

تصوير. 16

جڏهن کويف. κ, ۽ ان سان گڏ سراسري سلائيڊنگ γ معلوم هجي، تڏهن ضمني جهڪاءُ wQ، جيڪو ٽرانسورس قوتن جي اثر سان پيدا ٿيو آهي، ڳڻپ ڪري سگهجي ٿو، جنهن کي w جهڪائن ۾ شامل ڪرڻو پوندو: ڇو ته شڪل 16 موجب هي آهي

تنهنڪري Q = dM/dx جي ڪري:

جنهن ۾ انٽيگريشن مستقل هڪ حدّي شرط مان حاصل ٿئي ٿو.